This is a digital copy of a book that was preserved for générations on library shelves before it was carefully scanned by Google as part of a project
to make the world's books discoverable online.
It has survived long enough for the copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject
to copyright or whose légal copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books
are our gateways to the past, representing a wealth of history, culture and knowledge that 's often difficult to discover.
Marks, notations and other marginalia présent in the original volume will appear in this file - a reminder of this book' s long journey from the
publisher to a library and finally to y ou.
Usage guidelines
Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to the
public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing this resource, we hâve taken steps to
prevent abuse by commercial parties, including placing technical restrictions on automated querying.
We also ask that y ou:
+ Make non-commercial use of the files We designed Google Book Search for use by individuals, and we request that you use thèse files for
Personal, non-commercial purposes.
+ Refrain from automated querying Do not send automated queries of any sort to Google's System: If you are conducting research on machine
translation, optical character récognition or other areas where access to a large amount of text is helpful, please contact us. We encourage the
use of public domain materials for thèse purposes and may be able to help.
+ Maintain attribution The Google "watermark" you see on each file is essential for informing people about this project and helping them find
additional materials through Google Book Search. Please do not remove it.
+ Keep it légal Whatever your use, remember that you are responsible for ensuring that what you are doing is légal. Do not assume that just
because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other
countries. Whether a book is still in copyright varies from country to country, and we can't offer guidance on whether any spécifie use of
any spécifie book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search means it can be used in any manner
any where in the world. Copyright infringement liability can be quite severe.
About Google Book Search
Google's mission is to organize the world's information and to make it universally accessible and useful. Google Book Search helps readers
discover the world's books while helping authors and publishers reach new audiences. You can search through the full text of this book on the web
at|http : //books . google . corn/
A propos de ce livre
Ceci est une copie numérique d'un ouvrage conservé depuis des générations dans les rayonnages d'une bibliothèque avant d'être numérisé avec
précaution par Google dans le cadre d'un projet visant à permettre aux internautes de découvrir l'ensemble du patrimoine littéraire mondial en
ligne.
Ce livre étant relativement ancien, il n'est plus protégé par la loi sur les droits d'auteur et appartient à présent au domaine public. L'expression
"appartenir au domaine public" signifie que le livre en question n'a jamais été soumis aux droits d'auteur ou que ses droits légaux sont arrivés à
expiration. Les conditions requises pour qu'un livre tombe dans le domaine public peuvent varier d'un pays à l'autre. Les livres libres de droit sont
autant de liens avec le passé. Ils sont les témoins de la richesse de notre histoire, de notre patrimoine culturel et de la connaissance humaine et sont
trop souvent difficilement accessibles au public.
Les notes de bas de page et autres annotations en marge du texte présentes dans le volume original sont reprises dans ce fichier, comme un souvenir
du long chemin parcouru par l'ouvrage depuis la maison d'édition en passant par la bibliothèque pour finalement se retrouver entre vos mains.
Consignes d'utilisation
Google est fier de travailler en partenariat avec des bibliothèques à la numérisation des ouvrages appartenant au domaine public et de les rendre
ainsi accessibles à tous. Ces livres sont en effet la propriété de tous et de toutes et nous sommes tout simplement les gardiens de ce patrimoine.
Il s'agit toutefois d'un projet coûteux. Par conséquent et en vue de poursuivre la diffusion de ces ressources inépuisables, nous avons pris les
dispositions nécessaires afin de prévenir les éventuels abus auxquels pourraient se livrer des sites marchands tiers, notamment en instaurant des
contraintes techniques relatives aux requêtes automatisées.
Nous vous demandons également de:
+ Ne pas utiliser les fichiers à des fins commerciales Nous avons conçu le programme Google Recherche de Livres à l'usage des particuliers.
Nous vous demandons donc d'utiliser uniquement ces fichiers à des fins personnelles. Ils ne sauraient en effet être employés dans un
quelconque but commercial.
+ Ne pas procéder à des requêtes automatisées N'envoyez aucune requête automatisée quelle qu'elle soit au système Google. Si vous effectuez
des recherches concernant les logiciels de traduction, la reconnaissance optique de caractères ou tout autre domaine nécessitant de disposer
d'importantes quantités de texte, n'hésitez pas à nous contacter. Nous encourageons pour la réalisation de ce type de travaux l'utilisation des
ouvrages et documents appartenant au domaine public et serions heureux de vous être utile.
+ Ne pas supprimer r attribution Le filigrane Google contenu dans chaque fichier est indispensable pour informer les internautes de notre projet
et leur permettre d'accéder à davantage de documents par l'intermédiaire du Programme Google Recherche de Livres. Ne le supprimez en
aucun cas.
+ Rester dans la légalité Quelle que soit l'utilisation que vous comptez faire des fichiers, n'oubliez pas qu'il est de votre responsabilité de
veiller à respecter la loi. Si un ouvrage appartient au domaine public américain, n'en déduisez pas pour autant qu'il en va de même dans
les autres pays. La durée légale des droits d'auteur d'un livre varie d'un pays à l'autre. Nous ne sommes donc pas en mesure de répertorier
les ouvrages dont l'utilisation est autorisée et ceux dont elle ne l'est pas. Ne croyez pas que le simple fait d'afficher un livre sur Google
Recherche de Livres signifie que celui-ci peut être utilisé de quelque façon que ce soit dans le monde entier. La condamnation à laquelle vous
vous exposeriez en cas de violation des droits d'auteur peut être sévère.
À propos du service Google Recherche de Livres
En favorisant la recherche et l'accès à un nombre croissant de livres disponibles dans de nombreuses langues, dont le français, Google souhaite
contribuer à promouvoir la diversité culturelle grâce à Google Recherche de Livres. En effet, le Programme Google Recherche de Livres permet
aux internautes de découvrir le patrimoine littéraire mondial, tout en aidant les auteurs et les éditeurs à élargir leur public. Vous pouvez effectuer
des recherches en ligne dans le texte intégral de cet ouvrage à l'adresse] ht tp : //books .google . corn
J"
COURS
D'ANALYSE MATHÉMATIQUE.
33'207 PARIS. — IMPRIMERIE GAUTUIER-VILLARS,
Quai des Grands-Auguntins, 55.
NALYSE MATHEMATIQUE
KrtouAiH) COURSAT.
Prnfosftetir à la Facïiïté tîcs Sciences de Paris*
TOKORIE IlES FONCTrOJiS ANALYTIQUES.
ÏATlOirs ftlFFEnENTlELLE». — EQUATIONS AUX DKElVKKfl rAriTtRLLKS.
KLKMKNTB DU CALCUL HES VAIIIATIONB-
^UBMC U:~ART
PRÉFACE.
Ce volume renferme Ici fin de nion Couri» de la FaciiUé des
Sciences. La théorie des (oDClions aiiulj^lic|ties occupe presque la
moitié du volume, et* fjui s'explique suffi sa m ni eut par le rôle pré-
pondérant de ces fonctioufi dans l*Analjsc nioderae. Uaus celle
exposilioM, je me suis placé presque constainmenl au point de vue
de Cauchj, Sans nier Tinlérél des méthodes fondées uni(|uenient
sur les propriétés des séries entières, il me semble que les deux
tliéorles, bien loin de s'opposer, se complètent admiral>lemenl. Si
l'emploi exclusif des séries entières peut séduire certains esprits
syslémaliquei, je ne pense [>as ee[>endaut qu'aucun d'eux ait pu
I songer à bannir de renseignement les méthodes si simples et si
' fécondes de Caucby.
Quoiqtàe je n'aie pas voulu m'astreindre a ne pas dépasser les
limites, toujours un peu étroites, d'un programme d^examen, ce
volume e^t avant tout un livre d'enseignement. Dans aucune
direction, je n'ai cherché à conduire le lecleur jus(|u\iux bornes
1 actuelles de la Science. .Fai seulement essayé de faire une place, à
ieôtéde théories depuis lt.*nt;lemps classiques, à quelques théories
plus récentes. Mou but sera atteint si je puis inspirera quelques
lecteurs le désir d'en apprendre davantage.
MM. Emile Cotlou cl Jeun Clairin m'ont conlinué leur précieux
concours pour la correction des épreuves; M» Louis Dunojer,
I élève ù TEcole Normale, a bien voulu, lui aussi, prendre sa part
VI PREFACE.
de celte lâche ingrate. M. Gauthier-Villars, après avoir accueilli
cet ouvrage avec empressement, n'a rien négligé pour assurer
la perfection de Texécution typographique. C'est pour moi un
agréable devoir de leur adresser à lous mes sincères remercie-
ments.
ai mai igo5.
E. GouBS\T.
COURS
D'ANALYSE MATHÉMATIQUE.
El CHAPITRE XIII.
L - GÉNÉRALITÉS, - FONCTIONS MONOGÈNES.
239. Déâjiitîoiis. — On appelle quaniité imaginaire , ou
quantité complexe,, toute expression de la forme a -h bi% a et b
élaol deux nombres réels quelconques, et i un symbole parti-
culier que Ton a été conduit à introduire en vue de donner à
Palgèbre |»lus de gémira lité. Une quantité complexe n'est au fbnd
qu'un âvslèrae de deux quantités réelles, rangées dans un certain
ordre. Quoique des expressions telles que a -^ bi n'aient par
elles-mêmes aucune sig:nilîration concrète, on convient de leur
appliquer les règles ordinaires du caicul algébrique, eu conve-
nant en oulr6 de remplacer partout le carré /* par — i,
X quantités ima^nnaires a — bi et a' *- ù' i sont dites
tes, si Von a a^^a^ b*^^b. La somme de deux quantités
imaginaires a -\- bi et c-i-di est un symbole de même forme
4- t{b -+- rf) ; de même la différence a -r- bi — {c-\- di) est
cgaic à a — c-^ifb — d), Pour obtenir le produit de a -h 6i
par c -"- di^ on etlectue ce produit par la règle habituelle de la
mulltpiication algébrique, et Ion remplace i^ par — i, ce qui
doone
{ a - bi){c -^ di) — ac — hd t- « ( ad -h bc ),
CHAPITRE XIII.
FONCTIONS D TNE YARIABLE COMPLEXE.
Le quotient de a -r ùi par c ^ di est un troisième symbole
ima^ÎTiaire x-\-yi qui, tniiltiplié par c -+- di^ reproduit a -h bi.
L'égalité
a -^ bi ^= {c -î- ijli){x -k- yi)
équivaut, d'après la règle de la mulliplieation, aux deux relatioDs
cw — dy = a, dx ->r cy = à,
d*où l'on lire
ac H" bd
y-
bd
hc — ad
Le quotient de a f- bi par c r di se représente par ïa notation
habituelle des fractions algébriques, et l'on écrit
x-^yi =
bi
di'
pour calculer commodément x et y^ W suffit de multiplier les
deux termes de cette fraction par c — di et de développer les
produits indiqués.
Toutes les propriétés des opérations fondamentales de Falgébre
s*étendent aux opérations effectuées sur les symboles imaginaires;
A, B, C, . . . désignant des symboles imaginaires, on a
AB^B.A, A.B.C ^ A.(B.C), A(B -r- C) = AB h- AC, ...,
et ainsi de suite* Les deux imaginaires a ^ bi et a — bi sont
des imaginaires conjuguées. Les deux imaginaires a -r- bi et
— a — 6i, dont la somme est nulle, sont opposées ou symé^
triques.
Étant donné dans un plan un système de deux axes rectangu-
laires ayant la disposition habituelle, on représente la quantité
imaginaire a -r bi par le point M du plan xOy^ dont les coor-
données sont :r = a^ y^zb. On donne ainsi une significatian
concrète à des expressions purement symboliques, et toute pro-
position établie pour les quantités imaginaires correspond à un
ihéorrme de géoméirie plime* Mais les plus grands avantages de
cette représentation apparaîtront encore mieux dans la suite. Les
quantités réelles correspondent à des points de Taxe Ox qai, pour
cette raison, est appelé aussi axe réel. Deux imaginaires conju-
guées a 4- bi et a — bi correspondent à deux points symélriqMe«i
1. — GÉ>iÉRALITÉS. — FONCTIONS lIONOGéPTES.
iporl à Ox; deux quantités opposées a -^ bi et — a — bi
représentées par des poinls sjaiélriques relalivenienl au
poÎDt O.
BLa quanlîté a -\- bi qui correspond au poÎDl M de coordon-
fiée^ (^a^ ù) s'appelle aussi quelquefois Vajflxe de ce point. Quand
il ny aura aucune ambiguïté à craindre, nous désignerons par la
même lettre une quantité imaginaire et le point qui la représente.
JûigQons Torigine au point m de coordonnées (a, 6). La dis-
t tance Om s'appelle le modale de 6f -t- bi^ et Fangle dont il faut
fâtre tourner une demi-droite couchée sur Ox pour Taïnener
sur Om (cet angle étant compl*? comme en trigonoméhie de O^
vers Oy) est V argument de a -h bi. Soient p et ti> le module et
Tarçtunent de a -H bi-^ entre les quantités réelles a, 6, p, ti>j on a
tieux relations ti ^ p coscij, b ^ p sintij, d'où l'on tire
p = v^^i-— - '
6»,
/««-f-éTî
/a« -4- 6«
,c module, nombre essenlicllenient posilifj est déterminé sans
ambiguïté, tandis que Targument, notant coimu que par ses
l^es irigonomélrfques» n'est déterminé qu*a un multiple près
de 2:t, ce qui était évident d'après la définition même. Toute
quantité imaginaire admet donc une infinité d'arguments^ lormant
uoe progression arithmétique de raison 2?:. l*our que deux quan-
liés imaginaires soient égales, les modtdes doivent être égaux;
faut de plus que les arguiuents difTérent d'un mulliple de 2ti
ces conditions sont suffisantes . Le module d\ine quantité ima-
aaîr€ ^ se représente par la même notation \z\ que la valeur
bsolue d^une quantité réelle.
Soient 5 = </ -f- bi^ z' ^ a' -^ b' i deux quantités imaginaires,
el m, in* les points correspondants; la somme 34-3' est repré-
léc par le point nf, sommet du parallélogramme construit
nirr Om et Om\ Les trois côtés du triangle Omm^* {fin- ^^) sont
«x respeclivemcnt aux modules des quantités Zy z'^ z H- z\ On
coorlal que le module d'une somme de deux quantités est
inférieur ùu au plus égal à la somme des modules des deux
iermeSf ei supérieur ou au moins égal à leur différence. Deux
quantités opposées ayant le même module, le théorème est vrai
lus^i |M)or le module d'une d i d'ère n ce. Enfin on voit de la même
4 CHAPITRE XIII. — FONCTIONS d'cNE VARIABLE COMPLEXE.
façon que le module de la somme d'un nombre quelconque de
quanlilés imaginaires esl au plus égal à la somme des modules,
Tégalilé ne pouvant avoir lieu que si tous les points qui repré-
Fig. 53.
sentent ces diverses quantités sont sur une demi-droite issue de
l'origine.
Si parle point m on mène les deux droites mx\ my^ ^ parallèles
à Ox et à Oyy les coordonnées du point m' dans ce système d'axes
sont a'— a et b' — b {fig- 54). Le point m! représente donc
Fig. 54.
!f
/y/^
1 ^
f-'
71..
jd'
0
.r
z! — z dans le nouveau système; le module de z' — z est égal à la
longueur mm' et l'argument est égal à l'angle 0 que fait la direc-
tion mm' avec mx'. Menons par O un segment 0/7i| égal et paral-
lèle au segment mm'\ l'extrémité m^ de ce segment représente
z' — z dans le système d'axes O^, Oy. Mais la figure 0mm' m^
est un parallélogramme; le point m^ est donc le point symétrique
de m par rapport au milieu c du segment 0/n'.
Rappelons encore la formule qui donne le module et l'ar?*!
I
I
I
— GÉNËKALITÉS. — FONCTIONS MONOOÊNES. 5
ment du produit d^in nombre quelconque de facteurs. Soient
Sk = pjt(C05 wjt -h t sin iûi) ik — if ^, . . .. n)
ces facteurs; la règle de multipticatioo, combinée avec les formules
d^addiliou des lignes trigonomélriqnes, donne pour le produit
ee qui montre que le modale du produit est égal au produit
des modules, et ^argument du produit égal à la somme des
arguments. On en déduit sans peine la célijbre formule deMoivre
qui renferme, sous une forme extrêmement condensée, toutes les
formules de multiplication des fonctions circulaires*
L^introdiiction des sjoiboles imaginaires a permis de donner à
la théorie des équations algébriques une généralité et une svmé-
Irie parfaites. C'est du reste à propos des équations du second
degré que ces expressions se sont oflTertes pour la première fois.
Leur importance n'esl pas moins grande en Anatvse, et nous
allons d'abord expliquer d\ine façon précise ce qu'il faut entendre
par ces mots : fonction d'une variable imaginaire,
260. Fonctions continues dWe variable complexe. — Une
quantité complexe z=^ x -\-yi^ où x et y sont deux variables
réelles indépendantes, est une variable complexe. Si Ton conserve
an pioi de fonction son acception la plus générale, il parait
naturel de dire que toute autre quantité imaginaire a, dont la
valeur dépend de celle de z^ est une fonction de z. Un certain
oombre de définitions s'étendent d^elles-mémes. Ainsi, on dira
c|n*uac fonction u=f{s) c&i continue si le module de la diflTé-
rence/(s -t- /*) —f(z) tend vers zéro lorsque le module de h tend
ver* xéro, c'est-à-dire si à tout nombre positif c on peut faire oor-
respondre un autre nombre positif t| tel que Ton ait
\f(s^h)-/(M)\<l,
IXNirTu que \h\ soit inférieur à t).
Vnrt série
it lesdiiférents termes sont fonctions de la variable complexe 3,
Cl CMAPITHIÎ Xni. — FONCTIONS DUKE VARIABLK COMPLEXE,
est uniformément convergente dans une région A du plan si à
tout nombre positif z on peut faire correspondre un nombre
entier N tel que Ton ait
pour toutes les valeurs de z prises dans la région A, pourvu que/t
soît^N» On démontre comme plus haut (l, n" 173) que la somme
d'une série uniformément convergente dans une région A, et dont
tous les termes sont des fonctions continues de z dans celle ré-
gion, est elle-même une fonction continue de la variable z dans la
môme région. Une série est encore uniformément convergente si,
pour toutes les valeurs de :; considérées, le module d'un terme
quelconque \Ufi\ est inférieur au terme correspoudant tv* d'une
série convergente, dont tous les termes sont des nombres con-
stants et positifs. La série est alors à la fois absolument et unifor*
mémenl convergente.
Toute fonction continue de la variable complexe z est de la
forme u^=^V{x^ j) ^ ^Q.{^j y\ P <5t Q étant des fonctions
réelles continues des deux variablL^s réelles x^ y. Si l'on n'ajoutait
pas d'autres conditions, l'étude des fonctions d'une variable com-
plexe z reviendrait donc au fond à Télude d'un système de deux
ibnctions de deux variables réelles; l'emploi du symbole i n'amè-
nerait que des simplificatioos illusoires. Pour que Ja théorie des
fonctions d'une variable complexe présente quelque analogie avec
ta théorie des fonctions d'une variable réelle, nous cbercherons
ïivec Caucliv à quelles coudîliuns doivent satisfaire les fonctions P
et Q pour que l'expression P H- /Q possède la propriété fonda-
mentale des fonctions d'une variable réelle auxquelles s'applique
le calcul infinitésimaL
2tîl, Fonctions monogènes- — Si y{^) est une (onction de la
variable réelle x admettant une dérivée, le rapport ^^-^- -' — ^ —
tend vers/\j7) lorsque h tend vers zéro. Cherchons de même
dans quels cas le quotient
tend vers une limite déterminée, lorsque le module de \z ter *
I
I
I* — GËNERALITES. — FONCTIONS MOXOGENES. 7
▼€rs zëro, c'esl'à-dire lorsque ùkX et à/ teodent séparémeol vers
zéro. Il est facile de prévoir que cela n^aura pas lien si les fonc-
tions Vi^JC^y) et Qf-a?!^) sont quelconques, car la limite du rap-
port précédent dépend en général de la Hmîtc du rapport ^>
c'csl-â-dire de la façon dont le point qui représente la valeur
de ^ -^ A se rapproclie du point qui représente ly valeur de z*
Laissons d'abord y constant et attribuons à x une valeur voi-
siDe X -^ Ax, il vient
Aw _ Pta? -^ Ajt, jM — Pf r, Y\ . Q(:r — Aa?, ^) — Q(a?. ^r>,
pour que ce rapport ait une limite, il faut que les fondions P et Q
tdcnettcnt des dérivées partielles par rapport a x^ et cette limite
a pour expression
lim— - = 7-
Supposons ensuite x constant, et donnons à y la valeur j^ -f- Ak»
fioos avons
et le rapport aura une limite égale à
oy ùy
poorvu que les fonctions l* el Q admettent des dérivées par-
tielles par rapport à y. Pour que les limites du rapport — soient
les mêmes dans les deux cas, il faut ([ue Ton ait
dx
àP
Or
dx
Supposons que les fonctions P et Q vérifient ces conditions,
I ■ jy • / ■ Il ^f^ ^P ^Q àO . , -
€l Que les dérivées partielles -r-i -r-» -^* v^ soient des fonctions
» » àx ùy i>x ùy
continues. Si nous attribuons uKiintenant à J? el à^des accrois-
scmeais quelconques Ajt, Ay, nous pouvons écrire, en désignant
0 CHAPITBE XI n, — FONCTIONS d'ONE VARIABLE COMPLEXE.
par 0 eX Q' des nombres positifs plus pelils que un,
àP -Pix-*- Ar, j -^ Aj) — Pf^ H^ Ajp, y) -h P(^ -h àap, /) ^ P(jf, y)
et Ton a de même
fj c', Êj, e', élanl infiniment pelils en même temps que Ax el ày,
La dîflTérence àti = AP -{- i àQ peul s'<5crire, en tenant comple
des conditions (i),
7Ï et Tfi' étant infiniment jielits. TI vient donc
.àQ r, AjF H- Tj'A^^
àjc
A^
tày
si [tJ et |V| sont pins petits qu'un nombre a, le module du terme
complémentaire est inférieur à 2a. Ce terme tend donc vers zéro
lorsque A^c et Ay tendent vers zéro» et Ton a
,. Au àP
^s éx
Les conditions (i) sont donc nécessaires et suffisantes pour que le
rapport — ait une limite unique pour ctiac|ue valeur de Zy pourvu
que les dérivées partielles des fonctions P el Q soient continues,
La fonction u est dite une fonction monogène ou analytique (*)
de la variable z\ si on la représente par/(5), la dérivée /'(s) est
égale à Tune quelconque des expressions suivantes qui sont équi-
valentes :
-, dP ,dQ dQ .dP dp dp dQ dQ
( ' ) Le mot monogéne a été souvent cmplo>(> par Cauchy. On dît aussi quclf|uefoi»
rynectique. Nous ciiiploicrons plulôt le mot analytique; on montrera plus loir
que celle définitîoD csi bien d'accord avec celle qui a été donnée anléncurfinf
(1, Q- igi).
1- — aÊXÊRAUTt:S. — I"ON<:TIONS MONOCÈNES, f|
II est ejâsentiel de remarquer qu'aucune des deux fonctions
P(jp, y)^ Q(^> .y) "^ peut être prise arbitrairemenL En efîel,
supposons que les fonctions P et Q admeltent des dérivées du
second ordre; sî Fon difrëj-enlie la première des relations (i) par
rapport à x^ la seconde par rapport à j^, il vieni, en ajoutant les
denx relations obteoues,
ày^
cl l'on démontre de la même façon que i on a A^t^ _= n. Les deux
fonctions P(jr,^), Q(^î/) sont donc deux solutions de l'équa-
lion de Laplace.
Inversement, toute solution de réquation de Lapkce peut être
prise pour l'une des Ibnctions P ou Q. Soit par exemple ^{x^y)
ane solution de cette équation; les deux relations (i), où Q est
considérée comme une fonction inconnue» sont coinpalîbles, et
Texpressian
- C
f|ai est déterrainée à une constante près C, est une fonction mono-
gène dont la partie réelle est P(jr, >').
LVltide des fonctions analytiques d*une variable complexe z
revient donc au fond à 1 étude d'un sjslème de deux, fonç-
ai lions P(x, y), Q(j:, j^) de deux variables réelles x et y^ sàtisfai-
' sanl aux relations ( i)^ et Ton pourrait développer toute la théorie
^^ »aos employer le symbole « {*). Nous continuerons ce|vendant à
^B OOttS servir du syinbùlisme de Cauchy, tout en faisant remarquer
que la difTérencc des deux métbodes est au fond plus apparente
que réelle* Toul théorème établi pour une fonction analvliquey"(s)
te imduit immédiatement par \\\\ iliéorème équivalent relatif aux
fooctioDS p et Q, et inversement.
E^^rnplts. — La foDction m = ar* — y^-^%ijry est une i'oiNiion ana-
Ijtiqnr, car les relations (i) sont vérifiéesi et la dérivée esla^r -f- at^ = a^;
f*lle fopeiîon u n'est autre que (;r -^ t^)'= 4*. Au rontrafre, Teiiprcs-
(^i en générât 4 ce pojtii de vue que se placent les géomètres iillemaDd&
cjc é «v%iie ée. Rf émana.
lO CHAPJTRE XIII. — FONCTIOaVS b'ITNE VAfllABLK COMPLETE.
sion V = x^ iy n'est pas une fonclion analytique; on a, en effet,
à.s " 1t -^ i ^y ày
At'
et il est clair que la limite du ra|jport — dépend de la lîmile du rap-
À^
port
ày
Quand on pose x ^ p cosia, y -^ p sinio, en appliquant les formiiles du
changement de variables (I, n° TiH, p. 84)? l<îs relations (r) devienot^nt
(3)
àP
àQ dQ
âP
dui ^ ùo ém dp
( costii — / sin (i> ),
et la dérivée a pour expression
On vérifie oiscroent^ au moyen de ces formules, que la fonction
^m z= o'« ( C09 m tu -+- i sin m a* )
t
est une fonction analytique de ^s^ dont la dérivée est égale a
m p'"" ' { cos m i'ù -^ i sin wii»» ) ( cos iù — t si n ti> ) — m ^ ^" - ' .
262. Fonctions holomorphes. — Les gériéralilés qui préct»deiit
sont t^ncore un peu vagues, car il n*a pas été question jusqu'ici
des limites entre lesquelles on fait varier la variable z.
Une porlîon A du plan est dite connexe ou d'un seul tenant
lorsque Ton peut joindre deux points quelconques pris dans celte
portion par un ctiemin conlinu qui est situé lui-même tout entier
dans cette portion du plan. Une portion connexe, et située tout
entière à dislance finie, peut être limitée par une ou plusieurs
courbes furniées, parmi lesquelles il y a toujours une courbe
fermée qui la limite cxtérieuremenl. Une portion du plan sMlen-
danl à rînGni peut se composer de Tensemble des points situés à
Pextéricur d'une ou de plusieurs courbes fermées; elle peut aussi
être limitée par des courbes ayant des branches infinie^* Quand il
ii^jr aura pas d'ambiguïté à craindre, nous emploierons iodiflTérem-
ment le mot aire ou région pour d«-'signer une portion connexe
du plan.
I. — 6GNKIIAL1TÉS. — FONCTIONS MONaCKXES. If
ljncfoncUon/(5) delà variable complexe 5 est dite holomorphe
dans une région conneie A du plan, st elle satisfait aux condilions
suivantes :
1* A tout point :; de A correspond une valeur dëlerminée
2" /(^) est une fonction continue de z lori^que le point z se
déplace dans A, c-est-à-dîre que le module de /( z -h h ) ~f{z)
tend vers zéro avec le module de h ;
3" y(^'i admet en chaque point ^ de A une dérivée uniquey(5),
c'est-à-dire qu'à tout point z correspond un nombre complexe
f'(z) tel que le module de la dlITércoce
/(z -4^ h ) ~ f{Z)
—/'{^)
I
tend Tcrs zéro lorsque \h\ tend vers zéro. A tout nombre positif e,
on peut alors faire correspondre un autre nombre positif t^ tel
qtie Ton ait
ii\ |/(;î^/0-/(5)-/f/'(5)|<£|A|
jKiunru que \k\ soit inférieur à T|.
Nous ne ferons pour le moment aucune hypothèse relativement
an valeurs défi s) le long du contour qui limite A. Quand nous
dirons qu'une fonctioo /{s) est holomorphe à Tintérieur d'une
aire A limitée par un contour fermé F et sur le contour lui-
méme^ il faudra entendre par là que /"( «) est holomorphe dans
ttoe région •V renfermant le contour F et la région A.
Une fonction analjttqoe f{z) n'est pas nécessairement holo-
morphe dans tout son domaine d'existence ; elle admet en général
def points singuliers, qui peuvent être d^espèces très variées. Il
«eraii prématuré d'indiquer dès maintenant une classification de
cet points sinj^uliers, dont la nature nous sera révélée précisément
par IV'ludc qui va être laite.
983* Fonctions rationnelles. — Les règles qui donnent la dé-
rivée d*u«e somme, d'un produit, d*un quotient, étant des consé-
^senccâ logiques de la dcfinitiou de la dérivée, sVtendent aux
fonctions d'une variable com|)lexe. Il en est de même de la règle de
A: A: iiî.kri .T'iine fonction de fonction. Soit u ==/(Z ) une fonction
Jî CHAPITRE XIII* — FONCTIONS DUNE VARIABLE COMPLETEE.
analeptique de la variable complexe Z; si Ton remplace Z par une
aolre roDCLÎoo analytique f(^) J*une autre variable complexes,
li est encore une fonction analytique de la variable z. On a, en
effet,
lorsque jA:;| tend vers/.éro, ïI en est de même de |AZ| et chacun des
rapports -^^ -— tend vers une limite déterminée. Le rapport
tend donc lui-même vers une limite
A2
Noas avons déjà vérifié plus haut (n° 261) que la fonction
était une fonction analytique de z^ ayant pour dérivée ws"*^'.
On peut le voir directemenl comme dans le cas d'une variable
réelle. En effet, la formule du binoniCj qui repose un iq ut' ment
sur les propriétés de la multiplication, s'étend évidemmcul aux
quantités complexes. Nous pouvons donc écrire, m étant un
nombre entier positif,
et par suite
(4 H- AV"
~- mc'w-*-}-
, I m i m — \\ . ,
L i.a
lue le
il est clair que Je second membre a pour limite ms"'"* lorsqi^
module de h tend vers zéro*
Tout polynôme entier a coeflicients quelconques est donc aussi
une fonction analytique, qui est holomorpbe dans tout le plan. Une
fonction rationnelle» c*est-à-dire le quotient de deux polynômes
entiers P(5), Q('S), que Ton peut supposer premiers entre euit,
est aussi une fonction analytique, mais elle admet un cerLiàio
nombre de points singulierSj les racines de l'équation Q(;5)^o.
Elle est holomorpbe dans toute région du plan ne renfermant
aucune de ces racines.
î. — GBNilALITÊS, — FONCTIONS MOTVnr.ÈNES. tS
26^. Étude de quelques fonctions irrationnelles > — Lorsque le
point s décrit une courbe continue^ les coordonnées x ely^ ainsi
que le module p, varient d'une manière continue, et il en est de
même de Targument, pourvu que la courbe décrite ne passe pas
par rorigine. Si le point z décrit une courbe fermée, x,^ et p re-
viennent à leurs valeurs initiales, mais il n'en est pas toujours ainsi
de r»rgument. Si rorigine est en dehors de Taire enveloppée par
la courbe fermée ^/ig- "iS*), il est clair que raigumenl revient à
valeur initiale; mais il n'en est plus de même si le point s
(écrit une courbe telle que MoNPMu, ou M^npqMQ (fig* 55*)*
Fig. 55-.
'&
Dans le premier cas, l'argument reprend sa valeur initiale aug-
mentée de a7î> et, dans le second cas, il rejirend sa valeur ioi-
liale augmentée de \t.. Il est clair que Ton peut faire décrire à la
variable z des courbes fermées telles que» si Ton suit la variation
continue de Targument le long de Tune d'elles, la valeur finale
diffère de la valeur initiale de AfiTz^ n élaol un nombre entier
irbitriiire, positif ou négatif. D'une façon générale, lorsque 3
décrit tmc courbe fermée, Targuraenl de z — a reprend sa valeur
inîliale pourvu que le point a soit en dehors de Taire enveloppée
-pir celte courbe fermée, mais on peut toujours choisir la courbe
décrite par s de façon que la valeur finale de Targumenl de :; — a
soit égale à la valeur initiale augmentée de ^niz,
r îâ posé, considérons Féquation
uu m est un nombre entier positif. A toute valeur de 3, sauf:: =^ o,
l4 CHAPITRE XIII. — FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE.
celte relation fait correspondre m valeurs distinctes de u. Si nous
posons en eflTet
z = p(co5(u -i- c siniu), u = r(coso -H isin^ ),
la relation (5) est équivalente aux deux suivantes :
r*^ z^ ^^ /iio = Cl) -T- aAn;
on tire de la première r=p'", c'est-à-dire que r est égal à
la racine m**"* arithmétique du nombre positif p. Nous avons
ensuite cp = et, pour obtenir toutes les valeurs distinctes
de u^ il suffit de donner au nombre entier arbitraire k les m
valeurs entières consécutives o, 1,2, . . ., m — 1 ; nous obtenons
ainsi les expressions des m racines de Péquation (5)
(6) aA. = p'" cos(^ ^ — j-h«sinr — \U (A: = o, 1,2, . . .,7w — 1); .
on représente encore par z"*^ l'une quelconque de ces racines.
Lorsque la variable z décrit une courbe continue, chacune de ces
racines varie elle-même d'une manière continue. Si ;; décrit une
Kig
56-.
-©^
\..
0
^
)
Fig.
56".
r
^^
\
1 0
^
J
courbe fermée laissant l'origine à l'extérieur, Targumenlcû revient
à sa valeur initiale, et chacune des racines i/o^ '^ij •••) Um^s
décrit également une courbe fermée ifig- oG**). Mais si le point 5
décrit la courbe MoNPMo {Jig- 55^), co se change en (o -;- 27:, la
valeur finale de la racine w/est égale à la valeur initiale de m/^i, et
les courbes décrites par les dilTérents points racines forment une
seule courbe fermée {fig> 56^;.
I. — GÊNÉEULITES. — PONCTIONS MONOGÉNKS. |5
Ces m racmes £1^, i/|, . . ., Um-\ ^^ permutent donc circutaire-
ment lorsque la variable z décrit dans le sens direct une courbe
fermée sans point double renfermant Torigine. Il est clair que Ton
peut faire décrire à w un chemin formé tel que Tune de^ racines
partant de la valeur initiale 2/q, [>ar exemple, sa valeur lie aie soit
égale à l'une quelconque des autres racines, A moins de rejeter la
continiiilé^ on ne peut donc considérer les m racines de Téqua-
tion (5) comme autant de fonctions distinctes de ^, mais nomme m
branches distinctes d'une même fonclion. Le point -s = o, autour
duquel se permulent ces m valeurs de w, est appelé point critique
ou point de rami/ication.
Pour que les m valeurs de u puissent être considérées comme
fonctions distinctes de z^ il faut interrompre la continuité de
*ês racines le long d^une ligne indéfinie issue de Torigine, On
petil se représenter d\ine façon concrète cette solution de conli-
ooilé de la manière suivante. Imaginons que, dans le plan où l'on
représeoie la valeur de ^, on trace une coupure indéfinie suivant
une denii-droite issue de Torigine, par exemple suivant la deuu-
droîle OL {/ig^ 07), et qu'où écarte légèrement les deux bords de
Fig. ^7.
bou|iuir, de façon que le cliemin suivi par la variable ne
I poisse passer d^in bord à Tautre. Dans ces conditions, un chemin
ifcmic qiJi'Iconquc ne peut entourer Torigine ; à chaque valeur de z
[eorrcfpond une valeur bien déterminée des m racines W|, que
Iruti abliendra en prenant pour rargumeot tu la valeur comprise
Iteirc a cl a — 271. Mais il faut observer que les valeurs de W| en
fdeiix points luflniment voisins m, m\ de part et d^autre de la cou-
iMfef ne sont pas les mêmes. La valeur de 1/4 au point m' est égale
l6 CHAPITRE XIII. — KON'CTIONS D UNE VARIABLE COMPLEXE
27:
à la valeur de m au point w, muUipliée par (cos — ^ + /sîn — \
Chacune des racines de l'équation (5) est une fonction mono-
gène. Soit I/o une des racines pour une valeur donnée ^o; à une
valeur z voisine de :?« correspond une valeur u voisine de Uq, Au
lieu de chercher la limite du rapport -'-^11— ?, on peut chercher la
z — Zq
limite du rapport inverse
a — Mo
cette limite est égale à /;îwJ''*. On a donc, pour la dérivée de i/,
l'expression
11 \ u
//' -
— _ . — — —
m M'"-* m z
que l'on peut encore écrire, en introduisant les exposants négatifs.
u' = .- 3"» ;
m
mais, pour avoir sans ambiguïté lu valeur de la dérivée qui cor-
respond à l'une des racines, il vaut mieux prendre l'expres-
sion A l'intérieur d'une courbe fermée ne renfermant pas
m z *
l'origine, chacune des déterminations de \/ z est une fonction holo-
morphe. L'équation u^^—.Aiz — a) admet de même m racines
qui se permutent circulairement autour du point critique z = a.
Considérons encore l'équation
{ 7 ) a* — *A {z — e^ )\ z — Ci ) . . . ( z — e„),
où ei, 62-, • ' ", (iit sont u quantités distinctes. Désignons par les
mêmes lettres les points qui représentent ces n quantités. Posons
A = R(cosa-r-/ sina), z ~ f^-- ?*(coso>A-t- tsincu^fc), (A: =: i,a, . . . , n),
u = r(cosO -+- esinO);
tù/t représente Tangle que fait avec la direction Ox la direc-
tion c/çZ du point c^ au point z. On tire de l'équation (7)
I* — GEMKRALITES, — FONCTIONS IfOXOGENCS.
celte ëquatîoii admet donc deux racines oppos<5es
Mi=(Rpipt--P«r
[cos('
-■)
^8;
lij = (RplPj . _ pn)
sjn f
[/a -1-11*1 -
« H- tiii -f-. . .-^ tu,
=)
')]
,.„.( )j
I
Lorsque la variable z décrit uoe courbe fermée C renferniant à
rînl^rfeur/> des points <?|, 6*2, . . - , e/,, il j a/? des arguineiils «i>i,
tûjy . . . t (^n C|ui augmenlent de :<&ti; l*arguaient de t£^ et celui de CI2
aogmcntent donc de pr.. Si p est pair, les deux racines repren-
liciit leurs valeurs initiales, si p est iimpair, elles se permulenl-
En particulier^ si le contour renferme un seul point e^ les deux
racines se permutent, Les n points e/ sont des points de rainlûca-
tjon. Pour t|ue les deux racinrs a^ et w^ restent des fonctions
bien déterminées de :^, il suffira de tracer un syslème de coupures
de façon quVne courbe fermée quelconque renferme toujours un
nombre pair de points critiques. On pourra par exenqjle tracer
uoe coupure indéllnie suivant une demi-droite issue de chacun
des points e/, de façon que ces coupures ne se croise ut pas. Mais
CD peut opérer de bien d ^autres façons. Si, par exemple, i! j a
quatre points critiques e», e^, e%^ e^^ on pourra tracer une cou-
pore suivant le segment de droite ^ie«i, et une seconde coupure
suivant le serment e^e^^
965. FoncHonfi uniformes et multiformes. — Les exemples
élémeolaires que nous venons de traiter mettent en évidence un
bil Ire* important. La valeur d'unr fonction /(^) de la variable z
nr ^ I -iH pas toujours uniquement de la valeur même de z; mais
ri. aussi dépendre dans une certaine mesure de la loi de
soccesKioo des V£|leurs prises par la variable pour parvenir d^une
ETur ÎDttiole h la valeur actuelle, en d'autres termes, du cliemîn
|Mir la variable.
Reprcnon»^ par exemple, la fonction u ^ y z. Si oous allons
du point Mo au point M par les deux chemins MoNM et Mo? M
[^g* iJ / eu prenant dans les deux cas la même valeur iniriafe
C„ ît i
t8 CHAPITRE Xlli. — FONCrrONS D*UNE VARIAlîLE COMPLEXE.
pour «, nous D*obiieDdrons pas en M la même valeur, car les
deux valeurs oblenues pour rargumenl de z différeront de 'àtz.
On est donc cooduit à introduire une nouvelle dîsUnclion.
Uue l'oncUon analytïquey** :;) esl dite uni/orme on monodrome
dans une région A lorsque tous les chemins situés dans A, qui
vont d%in point z^^ à un autre poiul quelconque z. conduit^enl à
la même valeur finale poury'(j^i. Lorsque la valeur (inale de/*(^)
n'est pas la même pour tous les chemîus possibles, la fonction esl
multiforme.
Une fonction holomorphe dans une région A est forcement
uniforme duns celte réf^ioji. D'une façon générale, pour qu'une
fonction /(s) soit uniforme dans une aire donnée, it faut et il
suffit qu'un clieniïu fermé c|uelconque décril par la variable
ramène la fonction à sa valeur initiale. Si, en eflet, en allant
du point A au point B par les deux chemins AMB (fig* 58)
et AlNB, on arrive dans les deux cas au point B avec la même
détermination pour f[^\r ^^ ^^^ clair que, en faisant décrire à
la variable le contour fermé AMBNA, on reviendra au point A
avec la valeur initiale de /*(-).
Réci[> roque ment, sujq>osous que, la variable z décrivant le
contour AMBNA, on revienne au point de départ avec la valeur
initiale u^^ et soit u^ la valeur de la fonction au pnint B, après
que -3 a décrit le cliemin AMIi. Lorsque z décrit Tare BNA, la
fonclion part de la valeur K| jjour arriver a la valeur it^\ donc
inversement le chemin ANB conduira de la valeur ^^q à la^^leurM^
c'est-à-dire à la nif'^me valeur que le chemin AMB.
Il est à remarquer qu'une fonction peut ne pas être uniforme
dans une aire, sans présenter de points critiques dans celle aîre*
Considérons par exemple la porliou du plan comprise entre deux
cercles concentriques C, C, ayant pour centre l'orrgiur.» Lri f mr^
JL
lion w =r w"' ne piéscnte aucun point critique dans cette icijnju.
II. — sKHics entikuks \ ti:»mI'S imacin aires. it)
Iccpeodant, elle n*y est pas iiiiîrorme, car si Ton (ait décrire k la
I variable s un cercle concentrique, campris entre C et C\ la fonc-
I 1
llian 5*" est mullipliée par cos — H- i sin — •
IL — SERIES tLNTÏÊIlES V TIvlîMES IMVCIXAHiES,
TRANSCENDANTES ÉLÉMENTAIIIES.
206. Cercle de conTergence. — Les raisonnements enjplojés
[dans Pétode des séries entières (I, Chap. IX) s'étendenï d'eux-
t inénies aux séries entières à ternies imaginaires; il suffit de rem-
placer la valeur absolue par le module. Nous rappellerons suc-
• ctQctement la suite des théorèmes et les résultats.
Soit
m
a«-f- rtiî -+- cri5*-4-. . .H- a^^**^.
noe série entière où les coefOcients et la variable peuvent avoir
des valeurs imaginaires quelconques. ConsidcTons en même temps
la série des modules
fUo\
Ag-i- A, /' -t- Aj/*
.^ A«r^* h...
111 A,— ^a^^, r=^\z\; on a dcmontré (1, n"" 177) rexislencc d'un
^nombre positif R tel que la série (lo) est convergente pour toute
paleor de r<cR, et divergente pour toute valeur de r>R. Ce
rticimbre R est é§fal à Tinverse de hi plus grande des limites des
I Icrrnes de la suite
A,, /Â7* V''A|,
V A/i,
rcomme cas particulier, il peut èltc nul ou itilini.
De CCS propriétés du nombre R il résulte immédiatement que
lli nérir, (y) est absolument convergente loisquele module de z est
I iorérieur è R. Elle ne peut être convergente pour une valeur 3^^
[de 5 de module supérieur à R, car k série des modules (lo") serait
Icoaveri^cnle pour des valeurs de /■ supérieures à R(I, n** 177), Si^de
Iror *rnrne ceulre. on décrit, dans If* plan de la variable z, un
[ccil.. _- - ' rajuu R i /ig. hg), la série entière (9 I est absolument
[ronvtfriÇenie pour tout point intérieur au cercle C et divergente
lool point extérieur I ce qui explique le nom de cercle de
ao CHAPITRE XIIL — FONCTIONS D*UNK VAHIABLE CO&IPLEKB.
convergence donné à ce cercle. En un point du cercle C lui-même,
la série peut être convergente ou divergente, suivant les cas.
A l'inlérieur d%in cercle G concentrique au premier, et dont
le ra^on W est inférieur à R^ la série (g) est uniformément con-
vergente. Car pour tout point înléricur à C on a évidemment
et Ton peut choisir le nombre n assea grand pour que le second
membre soit inférieur à tout nombre positif donné e, quel que
soit p. On en conclut ijue la somme de la série (g) est une fonc-
tion continue y(iî) de la variable z en tout point intérieur au
cercle de convergence (I, n" 178).
En diO^ërenliant terme à terme la série (9) on nombre quelconque
Fig
.5».
^<^iX
0
Je
de fois, on obtient un nombre indélinl de séries entières /i(5)
f^{z)^ ..*,/w{2\ . . , qui admeltenl le même cercle de conve
gence que la première ( K n" 179)* Pour démontrer que fi(i) est 1
dérivée de f{s)j nous sommes obligés de modifier un peu rordf
des raisonnements suivi dans le cas d^une variable réelle. Etaa
donné un point z intérieur au cercle C, de ce point comc
centre décrivons nn cercle c langent intérieurement au cercle
et prenons un paint voisin z -^ h intérieur a c; si r et p sont I
modules de z et de A, on a r4-p<cR {Jig' ^9). La somc
/(z-hh) de la série est égale à la somme de la série à doul
entrée
1(11)
II. — SERIES EÎSTIËRRS A TEAUES IMAamAIRCS.
qnand on fait la somme par colonnes. Mais celte série est absolu-
ment convergente, car si Ton remplace chaque terme par son mo-
dule on a une série double à termes positifs dont la somme esl
Ai(r-j-p)-
Anir-py-
On peut donc faire la somme de la série double (i i) par lignes
horizontales, et Ton a, par conséquent, pour tout point z -\- h
inléneur au cercle €^ la relation
P(i5) f^z-^h)=f{i)-^hMs)
A»
AU)^.
A«
:/«(«)■
La série du second membre est certainement converg;ente dès que
le module de A est inférieur à R — r, mais elle peut l^être dans
une plus grande étendue. On tire de cette formule
h)—fii)
h
^Ji(^)^~M^)
f^n^v
■M^)'
le second membre est une fouclîon continue de h qui tend vers
/t{s), lorsque, z restant fixe, le module de A lend vers zéro.i-^a
I fonction /(s) admet donc, en chaque point intérieur au cercle C,
.tme dérivée unique qui est représentée par la série /< (5). Les
/onctions /i.(^\ . , .;/ft(z), . . * représenleul de même les déri-
-irée» successives de /(s), et la formule (1 'a) est identique i'* la for-
pnole de Taylor» Toute série entière représente donc une fonc-
tion holomorphe à l' intérieur €Îu cercle de convergence, La
^ftuîte des dérivées de cette fonction esl illimitée, et toutes ces
I^Uérivées sont également des fonctions bolomorphcs dans le même
I^Bcrde.
^M Si la série ( 9 > est convergente eu un point Z du cercle de con*
^Plrergcnce^ la somme y(Z) de la série est la limite vers laquelle teud
la somme /{z) lorsque le point z lend vers le point Z en restant
! rajron qui aboutit à ce point* On le démontre comme au
5 en posant ^ ^ ZO et faisant croître 6 de o à 1 » Le théorème
j» iintnriii'; \iii. — foxctionb d lng variaeilë couplexe*
est encore vnu lor?if|i(e z, tuul en restant à l'intëneiir du cercle,
tend vers Z suivant ufte r ou rite qui n^e.si pas tangente en Z au
cercle de convergence ( ' k
Lorst|iie le téymx R eîît infini, le cercle de convergence embrasse
tout le plan, et la foncliany"(5) est holomorphe pour loule valeur
de z. On dit que c*est une fonciion entière; l'étude de ces trans-
cendâmes est un des objets les plus in» portants de TA naisse.
Nous allons étudier dans les paragraphes suivants les transcen-
dantes classiques élémenlaîres,
Î67, Série» de séries. — Etant donnée une série entière (9) à coeffi-
cients quelconque?^, nous diron*» t»ncore qu'une autre f^crit* eniiêre Scx„5",
dont tous les coefficientH sont réels ei po^iïifs^ esl majorante pour la
première série, si Ton a, pour lonle valeur de n, |«j»|5«rt* Toiiies les
conséquences déduites de IVniploi des fouclî*ïns majorantes (n"* i81-18i>
s'appliquent sans modilkaUon au cas des variables imaginaires. Voici une
autre application*
Soit
(|3)
/tt( 5 > -^/i ( • ) -h/î( -) "h . . .-T-/rtU) -f- . . ,
une série dont chnque terme est lui-même la somme d'une série entière
convergente dans un cercle de rayon égal on supérieur à un nombre R > 0|
/i{z) = fï|0-T'*'/J'S-f-,..-h «/rt5« -r-
Imaginons chaque terme de la série (j 3) remplacé par son développement
suivant les puissances de z; nous obtenons une série à double eulrée dlonl
[ cbaque colonne est formée par le développement d'une fonction y/(5).
Lorsque cette série est absolument convergenie pour une valeur de z de
module p, c'est-a-dire lorsque la série double Xi^l^^^^lP" ^^^ conver-
i n
gcnlc, on peut faire la somme de la première série double par lignes borî-
Eoniaies, [jour loule valeur de z dont le module ne dépasse pas p, et Jon
obtient ïe développemeirt de la somme F(z) de la série (l3) suivant les
puissances de z
F(5) -= It^-^
Kz--^...
«ifl
(rt = o, 1^ a,
G^est au fond le même raisonnement qui donne le développement de
/( M -^ h ) suivant les puissances de /i.
Il* — SÉRIkS ENTIÉAES A TKDMES lAlAtîINAIllEg.
a3
Supposons par exemple que la sènc /i(z) ncimetle une fonction majo-
rante de la forme — -» cl i|ue la série ZMi soit eUe-même convergente.
Dans la tuerie à double entrée, le nioctule du terme général sera plus petîi
que Mi' — ^- Pourvu que Ton ait \£\ -Z '% celle série est absolumenl con-
vcrgcnlc, car la série des modules e^t convergente, et sa somme est infé-
neure a
I
268. l*a fonction exponentielle. — Lu défi n il Ion arithmé-
tique de la foncliori exponeiUii'lïe u*a évidcoimcnt aucun sens
lorsque Teicposaiil est imaginaire. Pour généraliser la déOnllion,
il faul donc parlir d'une propriété susceptible de s^étendre au cas
d*UDe variable complexe» Nous partirons de la propriété exprimée
par la relation fonctionnelle a^ x a^'-=^ a*^^'. Proposons-nous de
délcrminer une sérîe entière /(s), convergente dans un cercle de
rayon R, telle que Ton ait
*Mi
/(5-t-y)=/(^)/(V);
pourvu que les modules de js, 5', z -^ z^ soteal inférieurs à R, ce
♦ . R
qui aura lieu certainemenl si \z\ et \z'\ sont inférieurs à — • Si Ton
fail 5'= o dans la relation précédente, elle devient
/(5)^/(5)/(o);
00 doil donc avoiry*! o ; =^ i, et nous écrirons la série cberchée
/t-;^i-
a^
5«-
II
Remplaçons successivement dans celle série z par A/<, puis
X'/y X et // étant deux constantes et l une variable auitiliaire,
faîfionj le produit des deux séries; il vient
«t
2) CHAPITRE XIII. - FONCTIONS D'lNE VARIABLE COMPLEXE.
D'autre part, on a
I
L^ égalité fÇkt -h y^' t) =^ /{Kt)/(V t) doit avoir lieu pour toutes
les valeurs de )., V, t, telles que |)x| < i, |X'| < i, |/| < — ; il faut
donc que les deux séries soient identiques, c'est-à-dire que Ton ail
a,i(X -+-X')« = a„X«-f- - a„_ia,X«->X'
^_ ^^^_i}a„_,a,X'«-«X'«-i-...-+-a«X'^
ce qui entraîne les relations a„ = an-\ ^i , «/i = ^2«/i_2î • • ■ • q"C
l'on peut réunir en une condition unique
(16) ap^q—apOq^
p e\ q étant deux nombres entiers positifs quelconques. Pour
en trouver la solution générale, supposons 9 = 1, et faisons suc-
cessivement /> :r^ i , /> == i>. , /? ::=r 3 , . . . ; il vicnt a^r=a\^ puis •
a3=a2fl| = aj, ..., et enfin a„=fl". Les expressions ainsi
obtenues satisfont bien à la condition (16), et la série cherchée
est de la forme
f(z^ — IH 1 ■ — -- -4-. ..H — 1-. ..;
cette série est convergente dans tout le plan, et la relation
/(5-V)=/(^)/(y)
est vérifiée, quels que soient z et 5'.
La série précédente dépend d'une constante arbitraire a\ ; nous
poserons, en supposant ai r— . i,
z -* 5"
(17) e-— I-^ -H r-...-î f-...,
I \,>. I . i . . . /i
de sorte que la solution générale du problème posé est e*»'.
La fonction entière e' coïncide avec la fonction exponentielle
étudiée en Algèbre <?*, lorsque z a une valeur réelle x^ et l'on a
toujours, quels que soient 5 et z\ g-+-'z=: e« x e*'. La dérivée de e-
esl encore égale à la fonction elle-même. On a, d'après la forinulc
d'addition.
II. ~ SÉRIES ENTIERES A TERMES IJUAGINMIRE!?. l5
pour pouvoir calculer e* lorsque z b une valeur imaginaire j- H-^>'k
il sufLit de savoir calculer eT*, Or le développement de ey^ peiii
s'écrire, en groupant ensemble les termes de même parité,
on recooDdît au second membre les développements de cosy et
de siuy^ et Ton a, r étant rée!^
^L e^' — cosy -+- t si nj'.
RemptaçoDS e^' par cette expression dans la formule précédente,
il vient
la /onction e^'^y^ a pour module e^ et pour argument y.
I Cette formule met en évidence une propriété importante de e';
quand ou cliange z en z -^ 2T^t\ x ne cliunge pas el y augmente
de 2 7*^ ce qui ne change pas la valeur du second membre de la
formule (18). On a dooce*+^^'= e*; la f onction exponentielle e*
admet la période 'àtJ.
Proposoos-nous encore de résoudre l'équation e^ —^ A, où A est
une quantité imaginaire 4}uel conque di (Té rente de zt^ro. Soient p
et ù> le module et l'argument de A; on doit avoir
ce qui exige que Ton ait
«^■^ — pi y = iu -H aX^x.
On lire de la première relations r^ lo^-^p, le si«^ne lo^ di'îsignant
toajotirs le logarithme népérien d^un nombre positif, louant à y^
il n*est déterminé qu'à un multiple de 2 7t prés. Si Ton avait A — o,
Téqualion e^ =^ o conduirait à une impossibilité. Donc réqua-
|liO#r e* ^= V, où A est différent de zéroj admet une infinité de
rtitiines, comprises dans la formule logp -\- i(tù 4- 2^:t 1; r équa-
tion «•^^ o n'admet aucune racine, réelle ou imaginaire.
Remarque. — On pourrait aussi définir e^ comme la limite du
palynome (*-+- — ) ' lorsque m croît indéfiniment. La méthode
employée en Algèbre pour démontrer que ce poljnome a pour
lifBite la série (17) s'applique encore lorsipie z est imaginaire.
26 (JiAPniib: xtïi. - FONCTIONS d'une variable complexe*
269. Fonctions circulaires. — Pour définir sin r et cosz lorsque z
est imaginaire, nous éleadrons immédialement aux valeurs ima-
ginaires tes séries entières éLablies dans le cas ûû la variable esl
réelle, et nous poserons
(19)
<?•' — j —
celte égalité peut s*écrire, d'après les formules (19),
(ao) e*'=^ cosz -4- tsîn;.
En changeant z en — 3, il vient encore
g~zi = C0S5 — i'sins,
et Ton tire inversement de ces deux relations
.(21)
fii^e-zi
Ce sont les formules Lien connues d'Euler qui ramènent les
fonctions circulaires à la foncLiou expo oenli elle. Il lies inellent en
évideDcc la périodicité de ces fonctions, car les seconds membres
ne changent pas quand on change z en 5 H- 2 t:. Si on les ajoute
après les avoir élevées au carré, il vient
Prenons encore la formule d^addition ^1*+*'^'-= e^*e*'\ ou
eos{; i- z') 4- i Hin(- -- z' )
= f C0S5 -h *8În3)(cOS5'-H tsîti^')
= C05 5 cas 5* — siïiîsin^'— n sîn5 cos5 — sinz cosi r,
Ce sont là des transcendantes entières, auxquelles s'étendent
toutes les propriétés des fonctions circulaires. Ainsi on voit, sur
les formule» 119), que la dérivée de sin z esl coss, et que la dérivée
de cos:j est — s\uz; ^'inz se change en — sin-S, tandis que cos^
ne change pas, quand on change z en — z.
Ces nouvelles transcendantes se raniénenL à la foncLiou expo-
nentielle. Écrivons en eflet le dévelop[}ement de ^*S en réunissant
ensemble les termes de même parité,
Il* — ^ïEmES EiVTlËRES A TËRAIES IJUAGf NOIRES
cliaDgeons dans cette forniiile z en — z^ z' en — z\ il vient
et Ton lire de ces deux formules
cc)9( 5 -4" 2* ^ = cos S cos S* — sin X si n s\
Les formules d'addition s'étendent donc au cas des arguments
imaginaires^ ainsi que toutes leurs conséquences. Proposons-nous,
par exemple, de calculer la partie réelle et le coefficient de i
dans cos(>r^)'/) et sîn(j; -r-^*)* Nous a%'ons d*abord, d'après
les formules d'Euler,
COSJ't
sin^i
ï7
= isinliypj^;
les formules dVddition donnent ensuite
oo%(x-^jrii ^ cosxcosj^i ^ sin*r sir» >/— cos-rcosbypj^ — t sinxsinbyp^,
*iii{jr-r-j^i) = sin4:cos_^t -hcosjr siji j £ = <\n j^ voshypy -h icoix sinhyp/.
Les autres fonctions circulaires se ramènent aux précédentes.
On a par exempte
cos^
I €'*-
ce qui peut encore s^écrîre
le second membre est une fonction rationnelle de e^*' ; la tangente
•diDCI donc la période t..
ilO. Logarithmes. — Etant donnée une quantité imu^inaire J*
diBerente de aséro, nous avons déjà vu ( n** 268 j quel ^équation e**^^ z
admet une intlnîté de racines. Soit a = x -t- (r ; p et ù> désignant
le module et Targument de 5, on tloit avoir
f,x ^ p y = to -^ 1 A ît.
L*ane quelconque de ces racines est dite le logarithme de 5,
■28 CHAPITRE Xni. — FONCTIONS O'CNE VARIABLE COUPLE \K.
et on la représente par Log(5)- On peut donc écrire
Log(5 \ = logp -i- i((a ^- i/ciz)f
le i>îgDe log étant réservé au logarithme népérien ordinaire d^iin
nombre positif. Toute quantité réelle ou imaginaire^ différenle
de 7,érOj admet donc une infinité de logarilhnies, formant une
progression arithmétique de raison nni. En particulier si z est
un nombre réel et positif x, on a w 3^ o, et en prenant A' ^ o,
on retrouve le logarithme ordinaire; mais il y a en outre une
infinité de valeurs imaginaires pour le logarithme, de la forme
îoga; -h 2/rir/\ Si z est réel et négatif, on peut prendre to ^^ ti^
et toutes les déterminations du logarithme sont imaginaires.
Soit z* une autre quantité imaginaire de module p' et d'argu-
ment to'. On a
Log(^') = logp'-^ i((jii'h- aA'-TT);
en ajoutant les rîeux logarithmes, il vient
Log^'-) -+- \jyg(s) ~ logpp' -+- if tt» -H ni'-^2(X--+- X'' lit].
Comme ^p' est égal au module de zz\ et to -h t*j' égal à son
argument, on peut encore écrire cette formule
Log(^i — Log(^') = Log(^5'),
ce qui montre que, quand on ajoute à Tune quelconque des
valeurs de Log(^) Fune quelconque des valeurs de Log(^^» la
somme est une des délerminntions <le Log(^^').
Imaginons maintenant que la variuble :; décrive dans son plan
une courbe continue quelconque, ne passant pas par l'origine;
le long de cette courbe, ù et to varient d'une manière continue et
i! en est de même des dilTé renies déterminations du logarithme.
Mais il peut se présenter deux cas bien distincts lorsque la va-
riable s décrit une courbe fermée. Quand z parlant d'un point ««
revient à ce point après avoir df'crit une courbe fermée ne renfer-
mant pas Torigine à son intérieur, Fargument w de « reprend sa
valeur initiale Wq, et les dilTérentes délei mina lions du logarithme
reviennent respectivement a leurs valeurs initiales. Si Ton repré-
sentait chaque valeur du logarithme par un point, chacun de ces
points décrirait une courbe fermée. Au contraire, si la variable z
décrit une courbe fermée telle que la courbe MoNM P (yî:,*'* 55*)^
»
11. — aÉAIES ENTIÈRES A TEHM(i;â lAlAGlNAIRES. ay
l'argument de z augmente de 2tî, el chaque détermination du
logarithme reprend sa valeur initiale augmentée de 2Tzi. D^une
façon générale, lorsque z décrll une courbe fermée quelconque, la
valeur linaledu logarithme est égale à la valeur iniliale augmentée
de aArTîi, k désignant un nombre entier positif ou négatif que
Ton obtiendra en mesurant l'angle dont a tourné le rayon vecteur
joignant rprigine au points. Il est donc impossible de considérer
les différentes déterminations de Log(^) comme autant de fonc-
ItODS distinctes de ^, si Ton n*apporte aucune restriction à la
variation de cette variable, puisqu'on peut passer de Tune à
Tautre par continuité. Ce sont autant de branches d'une même
fonction f qui se permutent autour du point critique ^ = o*
A rintérieur d'une aire limitée par une seule courbe fermée et
ne renfermant pas rorij2;inej chacune des délcrminations de Log(5)
CSl une fonction continue et uni (orme Je z. Pour prouver que
Il une fonction holomorphe, il suflit de montrer qu'elle admet
~oe dérivée unique en chaque jioint. Soient z et z^ deux valeurs
voisines de la variable et Log(:;), Log{z^) les valeurs voisines de
la détermination choisie du logarithme; lorsque z^ tend vers :;, le
module de Log{Zi) — Log(5) tend vers zéro. Posons Log(c) :^ w,
hogi^s^) ^^ u^; nous avons
LQg(g,) — Log{s} Ui — u
*r
srsque ii| tend vers u, le quotient
tU-
II
a pour limite la
dérivée de e", c'est-à-dire e" ou z. Le logîiritlime a donc une
dérivée unique en chaque point qui est égale u ^^
D^une façon générale, Lûg(^ -- a) admet une iu liai te de Jcter-
cntnalions qui se permutent autour du point critique z =^ a, et la
dérivée de cette fonction est égale à <
La fonction ;;"*, où m est un nombre queltonque^ réel ou com-
plexe, se définit au mojen de Tégalité
à tooiiis que m ne soit un nombre réel et comuiensurable, cette
ftiDClioD admet, comme le logarithme iui-iuéme, une infinité de
30 CHVPITHfe: XIII. — FONCTIONS o'iNE VARiAOLE COMl'I.EXE.
déterminalioïis, qui se permutenl quand la variable tourne autour
du point ^ ^ o. Il suffira de tracer une coupure indéfinie suivaor
une demi-droîle issue de l'origine pour que chaque branche soil
une foncLton holoniorphe dans tout le plan. La dérivée a pour
expression
m
^mLoris) ^ /7ii'«"*
et il est clair que Ton doit prendre la même valeur pour l*arga-
ment de z dans la fonclion et dans sa dérivée.
271. Fonctions inverses : arcsîn^, arclaiigs. — Les fonctions
inverses de sin5, cos5, tan^^ se définissent d^une façon analogue.
Ainsi on délinÎL la fonction a = arcsîn^ piir la relation
z ^ 6îti t( ;
pour résoudre celte équation par rapport k ;/, on l'écrit
« = : — : r- f
et Ton est conduit k une équation du second degré
(a'i) U* — 2i'^U — j = o
pour déterminer rinconnue auxiliaire U =: e*". On tire de cette
U = *5 -t /T
(%i) tt — arc Sinz — -. Log(£i ±: $/i — 5*),
L'équation ^ = sin« admet donc deux séries de racines, pro*
venant d'une part des deux valeurs dn radical ^/i — 5-, d'autre
part des déterminations en nombre infini du logaritbnic. Mais
si Ton connaît l'une de ces délcrnona lions, on peut en déduire
aisément toutes les autres. Soient U^=:p'e'***' et lj"=3 p^er^*** les
deux rariucs de réquation (22); on a entre ces racines la rela-
tion U'U"=^ — 1, el par suite p'p''^ 1 , to'-h <«»''=( 2 /i H- i )7z. On
peut évidemment supposer w*':^ tc — tii', et Ton a
Log( U' I = — logp'-»- i(7T — tù-\- 'lA'ir).
Toutes les déterminations de arcsiiis sont donc comprises dans
l'une des deux formules
arc sins = tAj'-+- nÂ^'n — ilogp\ arc 5lnz = ir h- ^Ar'ir — <
If|a^on peut encore écrire, en posant u' =^ ti>'^ ilogù\
(X) arc sio5 ^ w'-t- aA'^,
(BV arc sin5 = ( aX-*-^ t )7r — «\
tlogp',
I
Lorsque Ja variable z décrit une courbe coiMinue, les diverses
déterminations du logarithme de la formule (aj) varient en
géûëral d'une manière conlinue./Les seuls points critiques que
l'on puisse avoir sont les points z ^^ zïz i ^ autour desquels les
deux valeurs du radical y/i — z'^ se permutent ; il ne peut y avoir
de valeur de z annulant is ± y^i — ^^, car, en élevant au carré les
deux membres de Téquation iz^ ^\/^ — ^^r ^^ ^" ^''c i = o.
Imaginons que l'on trace deux coupures le long de Taxe réel,
Tune allant de — oo au | oint — i , Tautre du point 4-1 à -|- QO. Si
le chemin décrit par lu %^ariaLle est assujetti à ne pas francliir ces
deux coupures, les diverses déterminations de arcsin^ sont des
fonctions uniformes de z. En effet, lorscpie la variable ;: décrit un
cbemin fermé ne franchissant aucune de ces coupures, les deux
racines U', U" de T équation (2?,) décrivent aussi des courbes
fermées. Aucune de ces courbes ne renferme Torigioe à i' inté-
rieur î^j la courbe décrite par la racine U' par exemple comprenait
i'ûrififine à Tiolérieur, cette courbe couperait au moins une fois
Wxe Oy\ CD un point situé au-dessus de 0\r. Or à une valeur
Ût V de la forme ia(Qi>-u), la relation (2a) fait correspondre
tme valeur "^ de s, réelle et "> i . La courbe décrite par le
point z devrait donc traverser la coupure qui va de -i- i à -i- ûo.
Le* diverses délenniua lions de arc sin z sont en outre des fonc-
lîooft bolomorpbes de z. En effet, soient u et ;/, deux valeurs voi-
sin iës de arc sin^, correspondant à deux valeurs voisines :: et Zy de
la variable. Ou a
«i — u _ r* r — u
iSS^ne le module de w» — u tend vers zéro, le rapport précédent
Si
CHAPITRE XIIK
FONCTIONS D UNE VARIABLE COMt'I
a pour limite
Les deux valeurs de la
se cor-
respondenl aux deux séries de valeurs (A) et (B) de arcsin^.
Quaûd Oïl o*inipose aucune restriction â la variation de ^, on
peut passer d'une valeur inilîale détermioëe de arcsin^ à une
quelconque des délermi nations, en faisant décrire à la variable z
une courbe fermée convenable. En effet, on voit d'abord que
lorsque z décrit., autour du point ^ iz^ i , une courbe fermée laissant
le point 3 = — là rextérieur, les deux valeurs du radical \/i — «*
se permutent et Ton passe d'une détermination de la série (A) à
une détermination de la série (B), Supposons ensuite que l'on
fasse décrire à z une circonférence de rayon R supérieur à un,
avant pour centre Tori^îne; les deux points U', U*' décrivent
chacun une courbe fermée. Au point ;; — -h R, rë<|nation (22)
fait correspondre deux valeurs de U, U^=^ la, U*':^ / jî, où a et ^
sont positifs j au point ^= — R^ la même équation fait corres-
pondre les valeurs U'^ — îa', D" --^ —^P\ a' et [3' étant encore
posilifs. Les courbes fermées décrites par chacun des deux points
U', U*^ coupent donc Taxe Oy en deux points, Ton au-dessus,
Fautre au-dessous du point O; chacun des logarithmes Log(U'),
Lo^iU' ) aug^mente ou diininue de 2 7tt.
On dciinit de même la fonction arc tangxî au moyen de la rela-
tion tangw ^^ ^, ou
on en tire
e'*"=:
et par suiie
1 <?»«•
— 1
/ tflW'
-t" ]
'
l-h iz
1 — is
i
i
—
— >
Z
- Vï
f\tr l
/ -
— Z
Cette expression met en évidence les deux points critiques loga-
rithmiques it ide la fonction arc tan^^^. Quand la variable z tourne
autourd'un de ces points, Logf-: — -^j augmente ou diminue de 27;/,
et arc tang^ augmente ou diminue de t:.
272. AppMcatîon au caloal intégral. ~ Les dérivées des fonc-
tions que nous venons de définir ont la même expression que
Il, — SERIES ENTIEEIL; A TERMES IMAGINAIRES»
lorsque la variable est rrelle, Inverseruenl, les règles qui donnriil
lies fouctionts priniiLÎves s'élenJciit aussi aux fondions el»_^nien^
laires de \ariablcs complexes. Ainsi, en désignant par i f[z)dz
loiile fonclion de la variable complexe :; doiU la dérivée esiy(^).
on a
/
Xdz
{z^ay*
s
Xdz
m >i,
Ces deux formules jiermeltenl de trouver une fonclian primitive
d'une fonction rationnelle queleonqne, à coeflicients réels ou ima-
ginaires, pourvu qu*on eonuaîsse les racines du dénominatewr.
Considérons en particulier une fonction rationnelle à coeffi-
cienis réels d'nne variable réelle x\ Si le dénominateur a des
raeîties imaginaires, elles sont conjuguées deux a deux, et avec le
même degré de multipHcilé. Soient a -\- |3f cl a — [i/deux raciues
conjuguées dordre // de multiplicité. Dans la décomjjosition en
I fractions simples, si Ton opère pour les racines imaginaires cofiiiTïc
pour les racines réelles, la racine a -+- |ï/ fournira une suite de
fractions simples
|€l Ia racine a — ^i fouruiia une suite analogue dont les numéia-
lears seront conjugués des précédents. Réunissons, dans la tVmc-
lion primitive, les tenues qui proviennent ries ftiiclions eonju-
Iguées; nous durons, si /> > i .
^ I f M^,^Nf,i: M;,— N^f 1
M,
i^f,t)(T— %-h ^hp-^-^.
et: le ouméraleur est évidemment la somme de {leu\ pohnomes
lïmagitiaires conjugués. St /> ^^^ i , ou a
M|-^Nt/
-.r/j-
= ( M,^ N,i) Log[(2P— zj -^ '^i\ ^ (Ml— N, 0 Log[(,r ^ «; ^ pt],
r* , tT ^ 3
CHAE^ITRK \U\. — FONCTIONS II LVNE VAIUAHLK roMl^LKXC.
lieiii[)la<^oïis les lagîjiithmes parleur* cx|ircssioiis développées^
il reste au second membre
M I J cig [ ( j* — ï }* T- p * ] ^ * ^ I a rc t a n g
il s II ni t tic remplacer arc tîing— ^— pyr / ** — arc iBUg- — k — } pour
retrouver le rcsiiltaL oblenu direclerueoL sans riolroduclion de
symboles imaginaires (I, n*' lOÎÎ)-
Considérons encore Tinlégrale indëiïnie
f
V^A;
•iBx^C
(jiii a deux formes essentiellemenl didereules i l^ rj** 105), suivant^
le signe de A. L*nilroducl!on d^ine variable complexe ramène les
deux formules à une seule; en clFet, si, dans hi (ormule
/
clj;
Vl
^ Log(j7 ^ |/n-x*),
nous ehangeons x en /.r, il vient
et le second membre re présente précisé nient arc s!n.r.
L^inlroduclion de symboles imaginaires dans le calcul inlcgral \
permet donc de ramener Tune à l'autre des formules dont on ne
pourrait saisir la parenté, si Ton ne sortait pas du domaine réel|
Wiiei encore un exe m (de de sîmplifiealioii dû à Femplo! des ima-
ginaires. On a, ft et /> étant réels,
^. i^ht V ffj. ^
g^a-hbih
a — (h
ht
«>-
- e^'^i^osbx -i- f siu 6^) ;
égalons les parties réelles et les coefficîenls de /, et nous avons du
nii^me cotip deux intégrales déjà calculées (1, iV 119)
a'
6^
IT. — séntËS ENnéREs a TEnyEâ iuaginaiiies. 35
In ramftiK* de même les dcuv înlégrales
à riulégrale j x'^ e^'^'^^^-^ dx j que Ton calcule par tme suîle d'in'
lég ration s par parties*
27S. Décomposition en éléments simples d'une fonction ration-
nelle de nin^ et de e.o^z. — Klsirit donnée une fonelion ralionnelle
de siri^ el de cos^, F(sni:;^ cos^}^ si Ton y remplace sïri^ et cosz
par leurs expressions tirées des formules d*Euler, elle se change
en tinc fonction rationnelle R(/) de t^e^^. Celte fonction K{/).
décomposée en éléments simple';, se composera d'abord d'une
partie entière, et d%iue suite de fractions provenant des racines du
dénomifiatenr de H(')* Si ce dénominateur admet la racine £ r^ u,
nous réunirons à la [*artie entière les fractions pruveiiauL Je celle
racine, ce <|Hi chinn* ra on polynume on une fonction riiliojinrlle
H.(/)
^K„,r'
lesiposaiit m pouvant avoir des valeurs négatives.
Soit i :^3 a une racine dilTércote dezcro du dénomioaleur. Cette
racine donnera une suite de fractions simples
/-"-r^
A,
Lîi racine n n 'étant |ias nulle, soit a une racine de rétjua-
Vion e^' = « ; ; — — ; petit s^exprimer très simplement au mo\en
lie coi'
On a, en elFel,
eut = i --■ ~— = M H ] »
cl I on en tire înverâemeut
I i * / . --^\
— — = — = — I -t- 4 coi ;
la fraction rationnelle /(^) se cliange Jonc ciï un polynôme de
36 CHAPITRE XIII. — FONCTIONS d'uNK VARIABLE COMPLEXE.
degré n en col^^ — >
AJh- A\cot^^^ -h A^cotM "~°^ W. ..H- A^cot^*^ ~ ' j .
Les puissances successives de la cotangenle jusqu^à la /i'^°»<^
peuvent à leur tour s'exprimer au moyen des dérivées successives
jusqu'à la (/? — i^^n'c. ^^ eflTel, on a d'abord
dcoiz I
— -j — = r-j- = - I — col' -s,
ce qui permet d'exprimer cot^^ au moyen de —rr~^ ^^ ''o° ^^'
montre aisément de proche en proche que, si la loi est vraie
jusqu'à col" 5, elle est encore vraie pour cof^* >s. Le polynôme
précédent de degré n en cot^^-;^ — se changera en une expression
linéaire par rapport à cot et à ses dérivées,
;; — a d / z — a\ rf"-* / z — a^
Xo-t- «.1)1 cot h tl»j -j- ( cot ) H-. . .-}- cl./i ~i : ( cot ) •
2 az \ "i- / az"-* \ 'î I
Opérons de même avec toutes les racines 6, c, . . . , / du déno-
minateur de R(i) différentes de zéro, et ajoutons les résultats
obtenus après avoir remplacé t par e*' dans R, (^). La fonclion
rationnelle considérée F(sini;, cos^) se composera de deux parties
(2.5) F(sin5, cos5) = 4>(3)4-^7c);
la fonction ^(^î), q"i est Tanalogue de la partie entière d'une
fonclion rationnelle de la variable, esl de la forme
(26) <!>(;;)= C -h 2(a,„co5m^ -h p,„sinm5),
où m est un nombre enlier non nul. Quant à ^^(:î), qui est l'ana-
logue de la partie fractionnaire d'une fonclion rationnelle, c'est
une expression de la forme
(^7)
a ./- — «\ , d iz-%\ , flf«-i /z-^a\
î; — SÉRIES ENTfÈRES A TERMES IMAGrNAIRES. Sy
Bsl la fonclion cnt (- J (|yi j^uie ici le ruîe tl'élrmcnt siinpli»^
comme la fraction nnûr une lûnclion nilioiitielle. (*elle dé-
j — ti '
compositioti do F(siriw, cos:;) se prèle faciluincnt a l'inlégralioii ;
on a en ellet
fcolLZl dz = . Log [siu (^)] '
et \^% aulres termes s'înLr^^reiil îmaiétlialemi-iiL l*uiir t|ue la fonc-
lîoD primitive soii pf'*riodiqiie il faut et il stinît que tous les coef-
ricienls C, .L|, iU»i, . . », soient nuls.
Pralîrjtieinenl, il nV^t jjas loiijoiiis iit'eessaîre de passer par
toutes ces I ra n s lor mations successives pour me tire la fimction
F($in5. COS5) sous la forme lîiialc (aS). Soit a une valeur de z
rendant la foncliou F îuiiiiie; on peut toujours, par une simple
divisiou, calculer les coenicienls de y- -j •— » dans la
^ — % ( ^ — 1 )î
partie infîDic pour :; == a (I, n*' 183). (Tautro part, on a
coi-
K
P(3 — a) étant une série entière ; eu égalant les coetlieieuts des
I puissances siiccesstveâ de — dans les deux membres «le la for-
[mute* (^j), OQ aura donc facilement *t|, -I-m, ...» -l^i.
Preooiï* par exemple la I onction — — ~ oui devient, en
LpusaDl c^* =:z t^ e*'=; a,
'\at
rt(/iH-i)_/(fi*-4-l)'
[le dénuriiinaleur admet les deux racines simples ^ :=:^ r/^ / r= - et
lie numérateur est de degré inférieur à celui du dénominateur,
IOq oara dooc une décomposition de la forme
^= C -f- ^i> eut -
llli COL-
déterminer .1-^ multipllims les deux lucmlu-es [lar :; — jï,
[ef faUonfï erisuile z %\ \\ \un\ X.
Un trouve de
iméme i»l» =
asm s
Remplaçons .t et \\\i par ces valeurs et faisons
/
z =^ M, on iroLive C = o, el II rcsle la Ibrimilo
~ =^ : COt
col
Remarque. — Lors(|»e Ui fonction F(sinw, cosr) admel la
période 71, on peut Texprliner ralîonnellement au moyen de e-*',
et prciidrn poirr élrmenls simples col(:^ — at), col(3 — p), . . •*
27 i. Développement deLog{i n- :?), — Les Ira nsc en dan les qne
nous avons deiinies sonl de denx sortes : les unes, comme e-, sin^.
cos 3, sont holomorplies dans lonl le {diin, tandis ipie Log(^),
arclatigs^ *,. présentent des points singuliers, et ne peuvent
être représe niées par des développements en séries entières con-
vergentes dans lonl le plan. IMais on a encore des développe*
nients valables ponr certaines parties dn plan; nous allons le
montrer pour la fonction logarithmique.
Une simjde division conduit à la formide élémentaire
^ -h :;- — 3"* . , ♦ 4- (— ï )" x« :
si Ton a I-:; I <; ï . le reste — tend vers z.éro lorsque n croît indé-
finimenl el, à l'intérieur* du cercle i\ de rayon 1 , on a
I -+- 5
Soît F(^) la série obtenue en inléj^ranl terme i\ Icrme
5V
cette série est convergente dans ce cercle, et représente une fonc-
— * Nous connaissons
lion holomorphe dont U dérivée F'( 5) = —
déjà une fonction dont la dérivée esl la même; e*cst Log(i -^ 3).
La différence Lo^{i -\- z) — F(5)/ se réduit donc à une eoo-
slante (♦); |)Our déterminer cette constante, it faut préciser ta
(*) Pour que lîi dérivée d'iifu- foiictunï atiajytîque \h Yj"soit nulle, il fayl
que l'un iiil ( n* ïiOt) ^ = o, ,
donc constante.
o, cl par suiU^ — = -— = o; \ et 1 sanx
11. — SÉBÎKS ENTIERES A TKR5JKS IMACI.XAIUKS. Ht)
délerminatioti choi!»îe du loiçaiitlune. Si nous prenons celle qui
>*aiiniile pour z = o, on a, pour tout [ioînl inlérîenr à C,
;: s» z^ 5*
Joignons Ir poiîit A au poiril M qui représente z (fig* 60); le
module de t^z esl représenlé par la long^neur /' ^ AM, et l'on
peiil prendre pour argnment l'an^rle a que fait AM avec AO, ang^le
qui reste compris entre — ^ et -H - lorsque le poiol M reste à
rûilërieur de C* La délerminalion du iogariUune qui s'annule
pour r =^ o est égale à logA"+ i%^ et la fomiiile ('.^8) ne présente
aucune atnbîguïté.
En changeant dans cette formule -^ en — 3, el relianehanl les
deux fonnules, on a encore
Ï^^TOn remplace ensuite z par tz^ on retrouve le développement
fde are tang^
I / I -f- 1 5 \ _ 5 z* 5*
dir 1,...-:^ .= _. ,og^— — -:^J - ^ _ — -1- — ^
lrie(iil$; rcalc con^crgcnti' en luut poiiH du cercli^ de convergence
40 CHAPITRE XIII. — FONCTIONS D UNK VARIABLE COJIPLEXK.
sauf au point A. En eiïet, soit z = e*^ un point M' de ce cercle; les deux
séries
COS2 9 cos3 0 cos40
cosO 1 h...,
•2 J 4
. „ sinsiO sin30 siniO
sin 0 i -^ h . . .
•2 3 4
sont l'une et l'autre convergentes sauf pour 0 = (aXr-f- i )i: (1, n" 166).
D'après le théorème d'Abel, la somme de la série au point M' est la limite
vers laquelle tend la somme de la série en un point M situé sur le
rayon OM'. Si Ton suppose 6 compris entre — t et -i- i:, l'angle a a pour
0 0
limite -> et le module AM a pour limite 'i cos-. Nous pouvons donc écrire
, , . . cos 2 6 cos 3 6 cos 40
lopr ( 2 cos - I = cosO —
log ( 2 cos - )
2 3 4
0 . . sin'20 sin30 , ^n ^ x
- = smO H ... ( — t:<0<t:).
'?. 2 i
Si, dans la dernière formule on remplace 9 par 0 — t:, on retrouve une
formule déjà établie directement (I, n** 198).
275. Extension de la formule du binôme. — Dans un Mémoire
fondamental pour la théorie des séries entières, Abel s'est pro-
posé de déterminer la somme de la série convergente
/ , , m ni(ni — i)^
^im,z) = i-^ - z-^ — ;;2-,-...
* i m(m — \)...(ni — p-r-i)
[ l .'1. ,. p
pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de m et de j, pourvu
que l'on ait |3| << i • On pourrait y arriver au moyen d'une équa-
tion difiérentielle, comme on l'a indiqué à propos des variables
réelles (I, n° 179). La méthode suivante, qui offre une applica-
tion des résultats du n" 268, se rapproche davantage de la marche
suivie par Abel. Pour cela, nous supposerons z donné et |3| <^i,
et nous étudierons les propriétés de '^(m, :;) considérée comme
fonction de m. Si m est un nombre entier positif, celte fonction
se réduit évidemment au polynôme (i -r- zY" . Si m et m' sont
deux valeurs quelconques du paramètre m, on a toujours
(3(>) ?(7'iî -^j'f (''^'1 -=) ~ '^{ni- - m\ z).
En effet, effectuons le produit des deux séries 'f(w, z),
II. — SKHIES KXTIERES A TERMES IMVtiJNArriES. 4 F
}^m\ s) par la rt*gle ordinaire ; le coeÛicicnl, de zp d'Ans le prodiiil
B^t égal à
ttD posant pour abréger
m(rn — i ) . , .f wi — X -v- 1 )
ifH =
:^ir~F
T^clatiou ronclionnetlo seni êtahlie si l'on monlre queFexpres'
Isiaii (.^i)e$l idenlifuie au coeffictcnï. de zP dans 'z[tN t m\ r)j
c'est-à-dire à (m -i-m')p. On pourrail veiifier directement l'iden-
iité
î mais le calcul est inutile si Ton observe que In relation (3o) est
I cerUioement vérifiée toutes les fois que m et m' sont des nombres
€atier5 positil's. Les deux membres de la i'orruule (-*?) soul des
ipolYaomes entiers en m et m'qui sonl é*^aux toutes les fois que m
et m' sont des nombres entiers positifs: chmc îls sont identiques.
D'autre part, '^(m, z) peut être dévelo|)pée en série enlirre
ontonnce suivant les puissances croissantes de m. lin efVet, si
[tious effectuons tous les produits indiqués, 'f{m, z) peut tïLrc con-
sidérée comme la somme d'une série double
©( W, 5 ï =r 1 -t- — - —
-r-
m- ^j m' _j
•1 2
-?-■■
*
nit*
U 2 . . . /I
Zf*-^.
tttand on fait la somme (nir colonnes. Celte série double est abso-
lurnent convergente. En efl'et, soient |cj = p et ]//j]=it; si Ton
^tnplace chaque terme par son module, la somme des termes de
DDitvelle série com[ïi'i^ dans la (p -f- ly"^*"*-' colonne est égale à
^ ir-h l),,J^-h p — \ )
?'%
i ,1, . . p
'e-ît le terme général d'une série coiiverij^ente. On [>eiit donc
i'i CtUPITRL' XIII, — rO>CTIOXS 0 INK VABIABLK COMPLEXE.
faire la somme de la série double (33) par lif^nes, et IVm obtient
pour '^{m^ z) un développement en série entière
^(/îi, -3) = IH m H-
«î
l)*Hprès la relation (3o) cl les résii liais rtiililis |>In5 haut (n^ 268),
celte série tloit être idenlitjue ii r"-'". Or le coefficienl de m
•■^Log(i-h 3);
on a donc
(34)
Ç)(fll, Z} = e'"'ôï(l+5)^
!a détermination du lo^^^arithme étant celle <]uî s'annide pour
z ^o. On représente encore celte expression ]>ur (1 H- ^)'"î mais,
pour savuH" sans ambij^uilé la valeur dont ï\ s'a-^^ît, il est commode
de se reporter à l'expression e'"*-'^i '^='.
Soit m^^a-h'^i; r el a ayani la même signification qu'ati
paragraphe précédent, on a
Ftiur tonnincr ro sujet, êludiuii^i encore ïa séné sur le cercle de eon-
vct'gence. Soit Lî,| le module du terme {généra ï, pour un point z de ce
cercle; le rapjïort de deux termes consécutifs de la série dcî» utoduks
I wi — « -H î
est ejiïal à
v^d
1 c'est-a-dire, si /« = jjt. -+- v/, à
fO*
la function t&(«) restaiu finie lorsque ^ croît indéfiainient, D'aprê!? une ré^lo
de conver|;ence cnnnue (1» n" 163). eeltc série ej^t conveif^enle lorsijui'
^ -I- I > I et diverj;er>re dans tous les aulies cas. La série (>9 } esf donc
absolument convergente en tous les points tht ccrde de corne rire nrr
lorsque ^i est positif.
Si |A -+- 1 est négatif ou nul» le module du leiim- i;ru»*ral ne sa jamm^
en décroissant, puisque le raj^port ''^^ est constaaimeul supciîeur a
Un
l'unité. La série est divergente en tous les points dit cercle, lorsque
l'on a jij — 1.
n reste à étudier le cas où l'on a — i <I |^5o. Considérons lu série dont
m. — NOTIONS s LU l.V Hi:iMU:si;NT\riUN (O-NFOUMK. H
teimie général csl UJ; ic rap|iorl âc deux termes consécutifs est égaï ^j
9\( fi)
(i— n — _ ^ ^^ ^i^iL^L
\ tt n* / H
l€l, si Ton choisit p a^sez j^rand poiir que Ton ail /î(|1 -^ i) > i, celte *^énr
Ispra convergente- Il i^Vnsiiïi que IS^^ et par f^uhv le niodiile du terme
I général U^ tendeni vers zéro. Cela éUinl. diin^ riilenliic
o( ;«. 5 )(i -
^) — o( /« -+- I, -5 ),
, prenons srulenienl don*^ les iîeu\ membres les lermes rie degré inférieur
, i»u égal à «; il re*tc la relaiinn
Sn(t-T-s) = s;,-f-
m( m — I )* . J m
■•)
t ,'A. . . n
^/it-i^
t Sy el S^ désignant rc^^pectivemenl la somme des (n -h t) preuiiers terme?
I de f (»i, -s) et de ç(m -+- j, z\. Si h partie réelle t\p m est comprise entre
' — t et il, Ià partie réelle de m -^ i est positive. Supposons \s\ = i; lorsque
fie nombre n rroit iniléflnimeiiî, SI, tcntï ver*, une limite, et le terme eoin-
fdénnentaîre icnd ver^ 7,éro; il en résulte que S„ tend aussi ver*, uit**
limite* à moins que Ton n'ait i -î- -s = o. Donc, lorsque — ^i<fA = *i| /«
Siérie est convergente en tous les points du cercle de com'erffencef sauf
' au point s = — t.
111. — iNOTtONS suit LA BEPHÉSENÏ ATIO\ CÛM-'OB.VIK.
3f76. Interprétation géométrique de la dérivée. — Soit // =: X-f- Y/
îine fcinclion iinalylii[ru^ J*^ la %'ariabl<* cuiiiplexe :;. holomorphe
îV rintérieur îWm ccmlour rfrrmé (1; uinis re|>résenl*Tons la valeur
Ide tt pur le poiiil Je cooi*do nuées X^ Y dans, un svj^léme d'axes
f rectangulaire s; pour la commi>diti* des énoncés qui vojil suivre^
itiuti^ supposerons les axes OX, i)\ respectiveiuenl pandlùles aux
laxes OX et oy et de même disposition que les preuiiers, dans le
Ifn^mt* plan ou dans un plan parallèle au f>lao J'oy. Lorsque le
Ipoînl z «lécril Taire A limitée par le eonïour C, le point u de
leoordonnées (X. Y) décrit dans son plan ujje aire A'; la rela-
ioa M^=/{s) déÉînit doue un certain niudr de eorrespondance
l'Ulrr les points de deux plans, ou de deux pointions de plan. Mais.
cmusc des relatiojis qui lient les dérivées des fonctions X, ^ , Il
*t évident que ce mode de correspondance doit posséder des
propriciés parlicaliéi*es; nous allons luoiitrer que /rs angles sont
ûonset^'és.
44 CHAPITRE XIII. — FONCTIONS d'lNE VARIABLE COMPLEXE.
Soient :; et Zi deux points voisins de Taire A, u et U\ les points
correspondants de l'aire A'; d'après la définition même de la
dérivée, le quotient -^^ a pour limite la dérivée /'(:;) lorsque
le module de Zi — z tend vers zéro, de quelque façon que Zt — :;
tende vers zéro. Supposons que le point :;, se rapproche du
point z en décrivant une courbe C, dont la tangente au point z
fait un angle a avec la parallèle à la direction ox] le point Ui
décrira lui-même une courbe C passant par le point w. Ecartons
le cas oii f^(z) serait nul, et soient p et to le module et l'argument
Fi g. Gi».
Fig. 61»».
y
\
D
je
-
X
JC'
0
JD
Y
\
r
w
X'
0
.
X
dey''(:;) ; soient de même /* et i\ les dislances zz^ et UU\^ a' l'angle
que fait la direction zz^ avec la parallèle zx^ k or, ^ l'angle que
fait la direction iiu^ avec la j)arallèle «X' à OX. Le module du
quotient ^ _ ^ est égal à —y et l'argument à jî'-
les deux relations
a'. On a donc
(35)
lim^l
Iiin( 3'— a') = to -h aA-TT.
Occupons-nous seulement de la seconde de ces relations; on
peut y supposer /r = o, puisque cela revient à augmenter l'ar-
gument (i) d'un multiple de i>.t:. Lorsque le pointai se rapproche
du point z en décrivant la courbe C, a' tend vers la limite a, ji'
tend donc vers une limite lï, et l'on a ^ = a |- w, ce qui exprime
que/?o///- avoir la direction de la tangente à la courbe décrite
par le point u^ il su/Jit de /aire tourner d'un angle constant co
la direction de la tangente à la courbe décrite par z. On sup-
pose bien entendu dans cet énoncé que Ton fait correspondre les
directions des deux tangentes qui correspondent à un même sens
de parcours des points :; et u.
lit. — NOTIONS SIR LA Rlil'RtiSKNTATlON CONFDhMK. i >
Suil U une autre courbe du [ilnn .my passanl pyr le [loiiii :;,
ti soil D' la courbe corresponilanle du jilaii XOV; les lelttesvet S
lesignaiit les nnj;;lrs qu«* foiU fes direclions coiTt^spuiulanlcs des
ingeiiteé à ces deux courbes avec zx' ou n\\ nous avons ii lu
fois
P = 2-H(U, §:^YH-<
Ici par siiîle 2 — ? = y — a. Les coarhes C et D' je coupent sous le
même an^^le que les courbes C e/ D. Nous voyons de phi s i|iie
le senà de rolatiun des angles est conservé. Il est h reniiiitjupr
que la dt'^mon si ration ne s*;ipplîqne plus s\ f'{z) == o.
Si en particulier on consub'-iv* dans l'un dcî^ deux plans xov
[ou XOY deux familles de courber ottliognnale^, tes courbes cor»
[ifspondante'i dans l'antre plan furnierotU aussi deux familles
[de courbes orllio^onales. Par exemple les deux familles de
Icourbes \ — (1, \ ^^ C\ et les deux familles de courbes
l<î6t
mfM\f{z)= C, ary/ti) -= C
l'arme ut sur le plan coy des rc seaux arllic>jj;nnaTrx, car les courbes
[correâpondanl*'s snr le plan \0\ sont iï\uH: part les deux s_)s*
I ternes de parai t«*des aux axes de coordonnées ^ d'antre part les cer-
[des ajâni pour ci/ntre l'orii^iiie et les droites issues de l'origine.
Extmpiet* — r Soil V=^^, at étant un iiôriilire n-el et p^isit if. Ivn
|dé§îguacit par r el 0 les coonJcinnécs polaires de iy par r ei 0' les toor-
|<lotitiee!i polaires île >5', Ja relation piL*iédente est équivalente aux Jeux
ireblioci» r — r^, H' = a^J, On passe doue du poiiit z au jïohit c'^cn élevjuil
Ile ra^^oti vecteur k la puissanee i el iniilh pliant Tan^le polaire jiar a. Les
niigles 0OIII coriM^rves, sauf ceux qui onl leur sotiunet à ruri^ine^ i;|ui sont
Itaii!^ muilipliéf par un facteur constani ol.
1* Cunsidcrons la Iransfonnatioii bilîiiè;nre
a z ~î- ù
" c, d s>»iit de> roustaïUes quelconques. Dans eertains ea^ pariieu^
»^ on viiU immédiatement connneni on passe du poinl s au point z\
«ons par e\cu»ple la iiansfoi mation z'^=^-^ù; soienl z = a^-hyiy
l'rnx' — yi.ù = at-^^tja relation précédente donner'^ j' -ha, j'=y-r-fj,
; qui inotilre qu'où pa^se du point z au point z' par une translation. Soît
'lie même ^^=a5; p et tu désignant le module et Targument de a, on
««t»r*=: p/*, *i'= ew -H 0. On passe donc du |>oint «au |)oinl^'en auj^men-
taitl Itt raj^oti vecteur dan* un rap]iort eonstant p, et faisant rourncr le
,\(ï ClIAriTRE \in. — POCTIONS lïLNE VARiAULI-: roMPLEXK.
nouveau ra^on vecletir d'un anj^le confiant ti>. Oti obthMii rlone la trans-
formiilion defirae par lu formuïiî z'^aZj en cnmliinaut une transforma-
tion par liomiitlictie avec une rotation. Considérons enlin la relaliuit
r, ô, r\ 0' ayant toujours la même sig^nificalion. on doit avoir rr'^t,
0-h6'=o, Le produit des ravoiis %ecieur« e*^! donc égal à runilé, lamlis
que les angles polaires sont égaux et d<î si^^Jies contraires. Étant donné
un cercle C de rentre A et de rayon H, nouis appellerons inversion par
rapport à ce cercle lu transformation par rayons vecteurs réciproques de
pôle A et de module H*, On obtient donc la transfornïatîon dêli nie par la
fc»rmide z'z = i en eirectuant d'abord une inversion par rapport au cercle
de rayon un décrit de l'origine comme centre^ puis en prenant le -Symé-
trique du point obtenu [on' rapport à Ta^e ot.
La transformation la plus générale de la forme (37) peut être obtenue
en combinant les transformations particulières que nous venons d'étudier.
Si c = o, on peut remplu^^ei la transformation ( i7j par la suite des deu%
transformations
a , f>
d'"
s ^ ,
si c n*esl pas nul, un peut écrire» en e lier tuant bi division,
a bç — ad
V c* « -1- vd
et ta 1 1 ansforn^alion peut être remplacée par la suite des liaosfortnatîôns
Zi,— (bc — ad)s^, z'^ z^-f~y
Toutes ces transforuiations particulières conservent ïes angles et le sens
de rotation, et cliangcnt les cercles en cercles; il en est donc de même de
lu transformation générale (ij), appelée pour cette raison transfortnotion
circulaire. Les lignes droites doivent, dans cet énoncé, être con'*îdérécs
comme des cercles tle rayon infini.
3" Soit
4' = ( 4; - e j )'«. t 3 >- *!, )"»i ...(z-€f, r,',
^1} *Jt "M C/i étrtnt des quantités quelconques, et les exposants wi,,
m,, ,.., m,, étant des nombres réeîs, positifs ou négatifs. Soient \1, Ej,
Ej, ,,., E^ les points qui représentent respectivement les quantités ^» i?j,
tfj, - . ,, epi soient de |dus r,, rj, . , ., r^, les distances MEi, ME,. . . ., Mli^,
et 0|, Oj, ..., Hp les angles que font les ilirectîoirs EiM, £,11!, .,., E^M
avec ïes parallèles à Ox. I^e moilule et l'argument de ^' sont respective-
IIK — XUTIONS SLR LA ïlEPftÊ,SE.NTAT10N CoNFOttSIt:. \'
ti<înt i'^*rT**~>r1!r et «tiO, -«-. . .-^ m^O^, ; ics deux familles de courbe?^
r7' f^* . . . r*i;i' ^ C, wi, 0, -T- «f 1 ïij -T- . . . //J,i &,i = C
■orment donc un réseau orlhogonaL Lorsque les exposants wi|, /;*•, . . ., m^,
ont des nombres rai ion ne! s, toutes ces enurbes sont al*;éljnques. Si Tou
p«ir cvemple p = -a, mi= mt= i, une «les fiimilles se crmipose île cassi-
noîdc» k deux foyers, et la seconde faniiHc est ftirtnée |u'*r des ïiyperboles
équilatëres.
277. Recherche générale des transformatîong conformes. —
LVxamen de la }»rr> position ructpruqire de celle qtii viejU d'être
établie nous conduit à traiter un problème plus généraï. Ktîinl
1 données deux surfaces 2, H', faisons-les correspondre poitit j>iir
(point d'une faeou fjuelconqne (en observant cependant r:ntaîn<^s
conditions qui vont être préeisées)| et cberchoiis dans tpieU cas
[les angles seront conservés dans cette transformation. Soient x,
l j, z les roordonnées reclanf^ulaîres d'un point de S, j^', y\ z^ les
> coordonnc^es rectangulaires d'un poitil de X'. Nous supposerons
les six coordonnées x, jk, 3, x\ y^ z' exprimées en fonction de
Jeux paramètres variables w, i-, de façon que les points corres-
pondants des deux surfaces correspondent à un mr)me svslènie de
valeurs des pu rame 1res t/, i-
(39)
nous admettrons de plus que les fondions y, *^, ... sont con-
tioues, ainsi que leurs dérivées partielles du premier ordre,
ltirsc|ue les points (jr,^, z) el (j?', r\ z*) restent dans des régions
[déterminées des deux surfaces !t] et S'. Rappelons encore les nnia-
tiioos ^I, tr 131)
VH\
-->{%)'■
-■-^m-
~ f)u àç
°=K^:)'
'= S
— — G'== "yf — Y
</#* = Eiiu^-r-^Fdu di^^ G rf**«, da*^ = E' dW^ -+- 1 F' du f/^' 4- GV/r».
Soieal C et D deux courbes de la surface 2, passant par un
[poinl m de celte surface, C et D' les courbes correspondantes
Idc b «urface 2'^ passant |>ar le point m\ Le loni^ de la courbe C,
48 CHAPITRE xm. — fonctions d'lne variable complexe.
les 'paramètres //, \> sont fonctions d'une seule variable auxi-
liaire C, et nous désignerons les différentielles par du et dv; de
même le long de D, u et v sont fonctions d'une autre variable /' et
nous désignerons les différentielles par ou et 8(^. D'une façon
générale, nous distinguerons par les lettres d et o les différen-
tielles relatives à un déplacement sur la courbe C et sur la
Fig. 62*.
Fig. 62»».
courbe D. Les paramètres directeurs de la tangente à la courbe C
sont respectivement
dx = -r- du -{- --- dVy dy
du dv ^ -^
-f- du-h -^ dç, dz = -r^ du h- -^ dv;
ou âv Ou àv
les paramètres directeurs de la tangente à la courbe D sont de
même
Ox ^ ôx ^
or =. -T- OW H Ot',
Ou (iv
dy
ày ,.,
0 K = -7^ oa -h -7- 0^',
•^ du âv ,
^ dz ^ Oz ^
OZ = -T— ou -i — Of.
ou dv
Soit o) l'angle des tangentes aux deux courbes C et D; cosw est
donné par la formule
dx ùx H- dy oy -h dz os
ydx'^ -\- dy^ -\- dz^ ^ox^ -h oj'* -j- 0^-
qui peut s'écrire, en tenant compte des notations (39),
Eduou-^ F (du ov -^ dv ou) -^ G dv Zv
(4o) COS CO =
/E du"^ -\- 'i¥ du dv -^ G dv^ /E 8m» -h 2 F ou oi> -1- G ov^
On a de même, tu' étant l'angle des tangentes aux deux
courbes C et D',
, M' du ou -+- V'(du io -r- d{> ou) -h G'dif ov
(4i) costo = —
s/li'du^-h X F' du dv -+- G'dv^' \fE'ou^-r-'i V'ou ov -+- G'oV
Pour que la transformation considérée ne change pas la valeur
— NOTIONS SL'rt L\ HKI»RliSE\TiTJON CONKOHHK-
Ides angleSj il l'andra que riui ail cosw'^^: cosei>, quels que soinii
pu, rfi', 3m, 5%*; les deux ineuihres de régalilé
COi^tii' = rfïs*iu
KOril des foncUons rationnelles des deux rapnorts
r/i-
ih
a pitons ^-» -j- (iiit iJiji-
vent être ég:ales^ quelles que soienL les valeurs de ces deux rrî|î-
porls. Il Aiirl |irMir t:ela que It^s coefr*c!enls correspondants des
deux fractions soient proportionnels, c^esL-à-dire que Fou ait
r(4a)
G'
= X',
/. (Hant uiii* fonclîon quelconque des paramètres n^ i', et ces con-
ditions sont évidemment sunisanles, car eosoj, par exemple, est
une fonction homogène de degré zéro de E, F, G.
Lf»-s ï!ondilions (4a) peuvent être remplacées par un*r relation
unique tis''^^=:K^ds'^y ou
Ut/
f/x' = A (/s ;
elle exprime que le rapport de Jeux arcs iujiniment petits corre>"
pondants tend vers une limite indépendante de du et de r/e,
liirsque ces deux ares diminuent lodçfiuiuient. (^ctte condition
rend le résultat presque inluiLil. En elTet, prenons sur la première
surf^ice un triangle infininieut petit aùc^ el soil a'f/c le triangle
f correspoûilant de la seconde surlace. Assimilons ces deux triangles
I , , . , .,* . I ti* h' a' f' L' c'
a des triangles reclilignes; puisque les rapports —j-y —7» ~r-
tendent vers la même limite />(//, t\), ces triangles sont smiUlahles
^ la limite el les angles corres[)ou(lîiuls sont égaux.
On voit que deux ligures iuliuîrueut petites des deux surfaces
peuvent être considérées comme semblables, [ïuisijue li-s lou-
I guetir^ des arcs sont proportionnelles et les angles égaux; c'est\
pour cela qn*on donne souvent le nom de representafion crm-j
forme k toute correspondance qui conserve les angles. ^
Etant données deux surfaces î^, S', et une coirespondance déter-
inrnée qui fait correspondre ces deu\ surfaces poîiit par point-^ ou
peut toujours reeunuiiîlre si les condllious (fi) sont vérilices et,
par suite, si Ton a une représentation conforme des deux sur-
faces Tune sur rautre* Mais Ton peut avoir d*au très [iroblèmcs a
G,, II. 4
50 CIIAE'ITBi: XIII. — FONCTIONS 1*1 NE VAHlABLi: CUMPLEVE,
résoudre; par exemple, les surfaces S et S' ëtanl données, un [unil
se proposer de déterrnînrr loti Les les correspondances entre les
points de ces deux stirCaces qui eonservcul les anodes. Supposons
les coordonnées (x, )', z) d^iii point de S exprimées en fonction du
deux paramètres («, t') et les coordonnées {x\y, z') d'un point
de 2' exprimées en fonction de denx autres paramètres (w', r');
soient
ds^ = E du*- ^'AFdu (h -^ G ch^, ds'*- = EWw'^ -- 3 F'du'dv^ G'rfv'»,
les expressions des carrés des éléments linéaires. Le problème
cpril s'agît de résoudre revienl à cehii-cl ; Tromper deux fonc-
tions f/' = 7î,(«, r), ç^^T^^i^u^ v) (elles que l'on a ii identique-
ment .
E'dT.\ H- 2 F'rfiîjrfTti-^ G'^/rî = 1*( E ^«t H- a F du dv -^ G rft * ),
1 <?'/ff/ii une fonction indéterminée des variables «, i\ Il résulte
de la théorie générale des éf| nations didérenlfelles que ce pro*
blènie admet toujours une inlinité de solutions; nous n'en traite*
rons i[ue quelques cas particuliers.
278* Représentation conforme d'un plan sur un plan. — Toute
correspondance entre les points de deux plans est déliuic par des
formules telles que
(44) \^P(T,y), Y-Q{a^.j).
les deux plans étant ra]i portés à des coordonnées rectangulaires
{x^y) et (X, Y). Diaprés ce qu'on vient de voir, pour que cette
transformation conserve les angles, il faut et il su f lit ({ne Ton ait
d\^^d\^-= l^{dx^-hdy^),
X étant une fonction quelconque de ^, J'j iudépendanle des dilTé-
rentielles. En développant les dilTérentielles dX, rfY, et identiiiant
les deux mendires^ on trouve que les fonctions P(jr, j^)et Q(<ari^)
doivent satisfaire aux deux relations
Les dérivées partielles — » ~ ne peuvent être nulles a la fois.
Ith
KOTÏO!»ÎS 5LR LA REPRESENTATION CONFOHÎÏE* 31
ir la première des relations ( 'i-^) donnerait aussi -^ =? -- = o*
Il les ionclions P et Q seraient conslanles. Par siiile, on petil
'écrire, d\i|)rrs la dernière relalioo,
OÙ _ _ àV
u élaiU une inconnue auxiliaire. En |Jorlant ces valeurs dans la
Ipremière condllion (45), celle-ci devieni
<'-'[(f)'-^(f)']-
rçrfon en lire a ^ z± i . On do il donc avoir, soit
\^^ ^ ôx ùy iiy Ojc
soit
I :i ^,
Le premier syslèrae de conditions exprime que P + iQ esl une
fonction analytique de x-k-ir^ quant au second système, on le
ramène au premier en cliangeant Q en — Q, c*est-à-dire en pre-
nant la symétrique de la figure transformée par rapport à OX.
En définitive^ à tonte re[>j'i''senlarioii conforme à\\n |jlan sur un
plan correspond une solutiou tlu système (4^) <il» p^f' suite, une
l'onction analytique. Si Ton suppose les axes OX et OY respec*
ilivement parallèles aux axes ox^ oy^ le sens de rotation des
angles est conservé un non, suivant que les fondions P et Q véri-
lient les équations (4<») ou (47)-
f79, Théofème de Riemami. — Étant i!fiiii>és dans le plan de h\
SAvii^hit* z une aiic .\ liriiilèo par un seuï contour (ou contour siifjjjle),
I ei dsins le plan fie Isi variable a un cercle C, Kîeinafiu a démontre ^^u'il
[e3kt«taii une fonction analytique u ^^/{z), holomtuplie dior^^ l'iiirc A, et
I telle qtt'A rhaquc point de l'aire A corresponde un point da rercle et
qy'în%er»enieiit à un point du cercle corresponde un (xiint et un seul
f cte AJ Lu fonction f(z) tlcpend encore <Je trois constanLe*^ arbiiriiiresi
I rrcllc4 dont un peut disposer »ie frtçon que le centre du eeicle corresponde
à un paint dctcriiiuié de l'aire A, tandis qu'un point arbitnirrenient choi&i
ir la ctrconféretice correspond ;i un point dcternunê du contour de A.
CHAPtTRIS \Ill. — FONCTIONS H UNE VARIARLK rOMPLIÎVK.
Nou5 nfi <lonneri>ns pas ici la d é ru on st ration dtî ce thi-uièine ii*>nt nttu*.
înclifjucriiris seulement quelque."* e\cin|)leî4.
Rtrniarqiifiris «eu k me ni qtron jiciil rem()lacer le cerrle C par un (ii^mi-
plan. En elIrU >iip]ï*isun*i (juo dans J*! plan des tt, la circonft'i enee C pa^se
tjnr r^rii^ine; la iiansfoininliori «;' =; — leiuidîite cette circonférence nar
une ilruile, et le cercle lut-mérne par la jinrtion du plan des u' située diin
ci**té lie t'cUe ihoile, prolonj^ée indélînitneiit dan* les deux sen*!.
•^^tr^»/^(«.«.. — . ^^«.x .^ _ « . * étant réel et pusîtif: eon^idériins la
portion A du jdan coin[)rise entre la direction o:ret nue de ' ' **- * *
f* ti I ■« ificiit*- nit^ I dti'i 1 I n r> l'I^ In I (
Erempies. — i" Soit u = «^. i étant réel et positif: eon^idérons la
portion A du jdan coin[)rise entre la direction o:ret nue dctni-drotte indé-
finie i«5ue de Tro î_;inc et faisant l'ani^le jt. avec ox(^ = "^)- Soient z = re''^
u = Be'*»*, toi doit avoii'
H = r^, tu = - ;
Jorsque fc point ^ décrit la portion A du plan» /' varie de o à h- x, et 0 ileo
à a:: : R varie donc de o ii -h î« et tw de o à t:. Le point ii clécrit donc le
demi-plan situi^' on-dessus de Taxe OX, et à un point de ce denii-jdan ne
correspond qu'nn point de A, car on a invcr^enjcnt r = H*, •) = atcD.
rrcniois encore la purtion B du [dan ilcâ z limitée piir tleux arc^ de
cercle qtii se coupent. Soient ^o, ^j les points d'inlersectinn ; fi Ton
eireclue d'abord hi transformation
l'aire B est remplacée jjar une portion A do jdan ile> -' comprise entre
deux rayons indéfinis issus <le Torigine, car le lonj; d'un arc de cercle
passant pai le* |>oînt'i -y, ^i^ raiguinent de —
conserve une valeur
constante. En apjdiqnani ensuite la transformation précédente h — < ^ >\
nous voyons *pic la fonction
"=(s-)'
permet irellectner la représentation confornu' de l'aire B sur nn demi-plan,
en choisissant at convenableaienl.
2" Soit a = cosj. Faisons décrire à * la demi-Lande iiiilélinie H, oti
AOBA' (yi^, 6i), définie par les inégalités o-x^tZj J^^«i ci chercljonî^
la région décrite par le point u = X -*- \ L Nous a\ons iri ( o* i(i9 )
(48)
X = cosx
ey-
Y = — ûnT
ey—e-y
LtosqiMJ j^ varie île o à -t Y est ciorsl.inimrut né^alif. et le point u
reste dans le demi-plan sitoé au-dessous de Taxe X'OX. A tout point du
l;i région H corre^pontl dune un iminl «In «luini-pltin dç^ n, el lui^que le
point z er^t sur fe conloiir ilt^ R, m\ a Y = t», rar Vnn dt^s (Jihix liic-
I teurb ^in^iT* nu — est nuL fnvcrsfmeni h luul poml Jn (leiiii-pJan
^tles u au-de^sou<i de U.V cnrrespund un point et un seul ijt.^ la ijuride H
*lan* le plan des z. En elîeri isî 5' f ^i une racine de réquatioii « = cr>!>5,
routes le* autres lacities 5«»nï c«.»mjins.es «bus b formule ^^-=b;\ Suji-
Kig. 63.
.y
» 1
A
j 1
A'
0
B
*p
C'
I posons le rnefricient de £ dans ^' prpsuîf. il m^ jit^ut y avr^îr i|u'un de ces
poiou racines dans la ïjande B, car tuus les [>oînt<^ 'j^At: — -s' sont au-
dessous de ox. It y a imijouis un dt^s poinU ■iAît-t--s' situé dans R; en
effet, îl y a toujours un de ces points dunt l" abscisse est comprise entre o
et 'Jt:. Celle abscisse ne peut être comprise entre 7: et s-rt, car la valeur
Ir^MTespondanie «le Y serait positive. Ce point est donc situé dans R.
On %oil aisérneni, au moyen des formules (48), que lorsque le point z
décrk une poriiun de parallèle a ox dans b bande B» le point u décrit
ï ilcini'ellip^e. Lorsque le jioinl z décrit une parallèle â oy^ te puint u
[iJecrit une demi-branche d'hyperbole. Toutes ces coniques ont pour foyers
llrs points G, G* de Taxe OX. d'abscisses H- 1 et — k
V Soîl
K9> «= -wi — '
ciaill réel et positif, l'our tjuc |u[ snît inférieur à Tunilé, il faut et i\
bllCBlt comme le montre un calcul lacile, que Ton ail cos^- >o.Si j varie
— a à -^- a, nous voyons qu'à 1*1 liande indéliuie comprise entre les
irii% droite» y =^ — ^% y = -^ *7, coricspond dans le plan des « le cercle G
ie rayon un décrit de Toriiçine comme centre* Inversement à tout point
le ec cercle correspond un seul point de lu bande indéfinie, car les valeurs
54 CHAPJTHK Xltl. — F0XCTI0X9 D'UNK VVHIVBLK COMPLEXE.
de z qui en ire?^ ponde ni à une valeur de tt forme iit une progresîîîon
arilbinélique rie raison \aL 11 ne peuL donc y avoir plus d'une valeur
de z dans la bande con<»idércc. D'ailleurs il y ïi toujours une de ce<i racines
où le coefficieuL de i est compris entre — a et ia, ei ce coeffirient ne peut
être compris entre a et 3«, car la valeur corre^îpon^ïante île \u\ serait
supérieure à un.
280, Cartes géograpMq^ues^ — Faire la carie tl'inie sorlace,
c'est faire corr€ s pondre les points de celte surface à ceux d'un
plan de façon que les angles soient conservés. Supposons les coor-
données d'un poînl de la surface considt^rée S exprimées en fonc-
tion de deu\ paramt:lres viiriables (n^ i^), cl soit
ds^ = E du^ -4- a P rf« dif H- G dif*j
le carré de l'élément linéaire. Soient (a, p) les coordonnées rec-
langulaires du point d'un plan P i\in correspond nu [ïoint (rt, v)
de la surface. 11 s'a;^nl de trouver les deux fonctions
de lelle façon que l'on ait identiquement
E if «* Hh a F du dv ^ G rfi»* = l ( da^^-^ d^^ ),
1 étant une fonction *|uel conque de a, fi, ne renfermant pas les
dilTérenlielles. Ce problème admet une in II ni Lé de sol niions qui
peuvent toutes se déduire de l'une d'elles au moyen des transfor-
mations con formes j 'l^j^ étudiées, d'un plan sur un plan. Sup-
posons, en effet, que Ton ail à ta fois
ds*=l(da*^d^*'), ds*- Vidot'*-^ dp);
on aura aussi
de sorte que xH-^ï/, ou x — Ji/, sera une lonction anal\ tique
de a'-i- p'i. La récifiroque est évidente.
Exemples : i"* Projection de Mercator, ~ On peut toujours
faire la carte d'une surface de révolution de façon que les méri-
diens et les parallèles correspondent à des parallèles auv axes de 1
ordonnées. Soient, en offel,
co
a* = p cosw,
p *ïîn w,
« ^J<9h
ut. — NOTIONS SliR IK REI'IIÉSENTATJON CONFORME* >5
le^ coordonnées d\m poinl d'une surface de révohilion auloiir
de azi on a
ds*--
^fjiii petit s'écrire
iui^-
^?'].
^.çî= 5?(/fXî^r/Y*>
.en poîsanl
\ =
^ r^i-^fH-,
dp.
Dans le cas d^mc sphère de ra\oji R, nous pouvons écrire les
coordonnées
R cosO,
d(\^
;r = H sinO cas©! ^ = R «inQ **inQ,
ds^=^ R*(rfO*-t- *.îiiîO</îiVi — R^sins^ («f^
et nous poserons
>fi obtient ainsi la projection dite de A/ercator, dans laquelle
les méridiens sont reprcscnLés par des parallèles à Taxe OY, et
le« parallèles par des segmeut?^ île droites parallèles a OX. Pour
obtenir toute la surface de la sphère, il suffit de faire varier îp
* de o à 2 7: el 0 de o à tt; X varie de o à 27: et Y de — go à -h 00. La
I carte a donc T aspect d'une bîuidc indéllnic de largeur stTi. Les
I courbes situées sur la surface de la sphère rpii coupent tous les
méridiens sous un auf^Ie constant , ou loxodroinies, sont repré-
Mfp'.'w §iïr la carte par des lignes droites,
1^ Projection stéréoantphifpte . — On peut encore écrire le
^e«rré de rélément linéaire de la sphère
1/*» =
. /) / Rît/0* j.,^ n , A
\otx
ds^ = \ t^os^ - (ifp* -^ p* rJfo^ }j
56 CIIAHTHK XIN, — l'ONCTlUN» liL\E VAllJ\ilLK <:yStl*LlCXK.
en posant
p == H tau;;- ♦ tu ^ c.
Maïs f/p^-r c-VAt»''' représente le c«irr<'' de rélémenl linéaire tlu
[ilmi en coordonnées polaires (p, t.j); il suffit donc pour avoir une
refHi'senl;itii>a cnnlonne de la sphrre de fidre rarres|>on«Jie it un
poinl [H^ '^) de la surface de la splière le poinl d^in plan de coor-
données |>cdaîres (p, w). On voit ininiédiatenrenl, eu faisant la
ligure, que p el (t> sont les coordonnées de la projection sléréojj;ra-
phiqite sur le plan de i'é€[ualeur du poinl (H, ij;) de la sphère, le
point de vue étant Tun des |>nles,
3" Carie du tore, — Con -si lierons ïe ture enj^cïKlrô pMr la rcxolulioti
d*une circonférence de rayon R autour d'un axe situé dans son planf a
une distance a clu centre ilu rercle (nous supposerons^ a > R). L*!i\c de
rcvolulinn étant juis pour a\c des ^, cl le plan minllan du tore étant pri*
pour plan <les Ty, nous pourrons i*crire les coordonnées d'un point tîc Vu
surface
ar — (a -^ B eosOjcn?^^, >- = (a +- B cos^fi ) §in cp, -^HsînO,
et il sutfua de la ire varier 0 cl '^ de — t: à -f- -. On driluit de i'e> formules
L ' ^^ ^ HcosQ)*J *
pciur fiiirc la raitc fie la surface, nous po^^erons (i^fj/r n^ llii
ou
La surface toi aie du lore correspond ainfii point par jioint a celle d'uit
îi îî e
rcclanf^le dont les dimensions des côtés «►ont -kt. et
\^o,
-'X-
r/0 ie
— - -a ro
-^ecosô /ï — e*
"i<'
v/i — e»
281. Courbes isothermes. — Suit V{t. y) une solution de réqnalion
de La pi ace
les courbes représentées p.ir ré(|uation
(>«) \}{x,y)^C,
III. — NOTIONS M K LA H Kl'
[où C e*t une cnn-iiantL' iuliili aire. foim+Mii uiu! fiinjille *le combes iso"
^ ihertftes. \ louli? >a|utHm Uix, ri cîe réquniîon de La|jlace, un penl en
îi**4icier une autre V(x, j*) telle que V -v- i\ soit nnt* fnriclinn anahncjue
ée ^ -^ ri: \ûs rehitîon^
fponirent que les «ieu\ faïnilles de tmrrlics i^^ntliermc^
isont orthogonales^ car les foeffieieTits angulaires îles iim^^'enti-s aii\
[courbe* C et C sont res]jet'lî\einenl
dV âV
à\ à\
dx * dy ÙT ' ày
I Donc le* trajectoires oriho^iuïales «l'une l'ami Ile «le eonibes isoUiermefi
fornicnt une autre famille rîe courbes i*ini hennés. On oïiiiendrii lonn les
systèmes conjii|;iiès de courbes isoibernies en eonsirléranl une fonction
ttnjiUtique /(s), et en prenant le^ courbes pour lesquelles la partie réelle
de y*.-)» ou le coefficient de /, conserve une valeur constante. Les
courbe«k pour lesquelles le nmdnïe R, nu T^rf^ument Q de f(z\^ reste
^constants forment aussi 4eii\ système> conjugués isoibennes; cor la [)arlie
[rcelle de la fonction analytique Lo^[y( j)] est égale à logR^ el le coefll-
[rient de i à iï.
On obtient également de?» systèmes îsotbernïcs conjugués, en considérant
fie* courbes décrites par le point de coonlonnées X, Y^ où /( - ) =^ X -+- *Y,
[lorsqu'on attribue à x o\î 'a y une valeur constiMite. Il suflîl en eiïet de
[regarder in%er?»enienl x -^ iy comme une fonction analytique de \ -^ /Y.
Irius généraîcmenl, toute transformation entre les points de deuît plans
rqui conserve les angles ebangc une famille de courions isothermes en une
[fiouvelle famille de courbes isoiherntes. Soient
:t=p{x\y), y ^g(^\y)
le» formules défini'>«'8int une Iransbïrniatiyn qui conserve les angles, et
îoîl ^*(x\ y') le résultat obtenu en tempbiçtint x et y par p(.t\ y' )
et qi J^ ^ y ) %\^%is \}ix,y). Tout revient » ilémonirer qioi ^{x\y'\ est une
jlution de rérjuation de Laplaee, jiourvu qu'il en soit ainsi de \}{x^y).
raient n^tilTre aucune difficulté (i»oi> GïiajK Jl; cvercice 9, f», 96]; mais
théorème peut aussi s*étaldir sans aucun culcul. Ivn elfet, nous pouvons
»uppti!»er que les fonctions /?fj^\ j-'*) et qix\y) vérifient les relation^
Ôp Ùq
Oq
•riSfie trinsformation par symétrie change évidcjnment une famille de
orbe^ Uothermes en une nouvelle fumîlle de courbes isoi bennes, La
58 CHAPITRE XIII. — F0:«i:T10NS iVlNE VARIABLE COMPLEXE.
fonction x -^ ly — p-¥- tq est alor-s une fonclion analytique; de ^'= ar' h- iy\
et U H- 1 V devient également après la substitution une fonction ana-
lytique ^{3r\y)^ i'^{x\y) de la même variable -3'(n''i63). Le«i deii\
familles de courbes
flonneni donc un nom eau réseau orlbo^^tnal fnrnïé fie Amxw faiiiillc? îso-
ihernici* conju jouées.
Par exemple, des ceccles concentriques et ^es rayons issus du centre
forment deux familles isothermes conjujîuéeF, mmme on fe voit inunédia-
lement en considérant la fonction analytique Loj^-s» En elfectuant nne
transformation par rayons veeteurf^ réci[»roques, on en conclut que des
cercles [ia««.ant par denv points llxes forment éjïal entent un s>?*tème iso-
therme, Le système conjiïgué est également eomposé de cercles.
De même des ellipses humofocalcs forment un système isotherme. N^uus
avons vu plus haut en elFet que le point u = cosî décrit des ellipses liomo-
focales lorsque l'on fait (îécrire au point - des parallèles à Taxe oxin" 279).
Le système conjugué se compose des hyperboles boinofocaîes et ortho-
gonnles.
Remarque. — Pour qu^tne famille de courbes représentée par une
équation P(^,^) = C soit isotherme^ il n*est pas nécessaire que la fonc-
tion Vix^y) soit sobition de l'équation de La place. Mn elîet, ces courbes
sont aussi représentées par réquatiun '^[V{x^ y)] ^ C, quelle que suît la
fonction <^, et il suffit que l'on puisse prendre pour celte fonction ^ une
forme telle que U(jr, ^) = ç(P) vérifie l'équatîon de Laplace» Kn faisant
le calcul, on trouve que l'on doit avoir
dp'^ L\^/ "^1^7 \^dP\àx* "*"iÔ^/**'
il fiitidra donc que le rapport
m-
ne dépende que da P et. si cette contlition est satisfaîtCi on obtiendra \a ^
fonction cp par deux qua il ratures.
IV, - PRODl'lTS INFINIS.
282 . D éfini t i on s et g é né r alités . — 1^' i ii n l d o n f i v € 1 1 o e .s ti î l e î n d é-
finie, à te roi es réels ou iina^inairesj
U0, a,, ttf, u„, ...
$S le prodiiîl P,^ tenti vers une liniik' P lorsque n augmente indé-
finiment, on dit r|ne le proijuit iuiîiii
Kso n
( I -h W„ ) - ( t H- W„ ){ I -h Ui ) ( I + «î ) . . . (I H* W„ ) . * .
Pn =
I
— >
€Sl convergent : le nombre P es^t par définition la valeur de ce
produit.
Il est clair que si Wtn dos faclt/urs i -j- '/,« est nul, tous les pro*
duîls P„, où /i^/??, sont nuls; on a donc P = o. Mais il peut aussi
^ arriver que le produit P„ tende vers zéro sans qiraucun des fac-
H leurs I -h Un, soil niiL Tel est le cas du produit
qui tend évidemment vers zéro lorsque n croît indéfiniment. Les
règles qui permettent de décider de la convergence d\in produit
inlini the s*appli«]uanl pas toujours à ce cas singulier, nous réser-
veroDîi le nom de produit convergent aux produits infinis pour
lesquels l*„ tend vers uwg limite P tiifférente de zéro; lorsque P,,
a zéro pour limite, nous dirons que le jïroduit est mtl, tandis
qu'il sera appelé divergent , si l\ ne tend vers aucune limite.
Pour <|ti'un produit infini soit convergent, sans être nul,* il est
nécessaire que «^ tende vers zéro. En elTet, si P,, tend vers onc
limite P, la difFérenee V„— P,,_, = l\,_i u^^ doit tendre vers zéro;
le facteur Pj|,i a\ant une liaiiic difFérente de zéro, il laitt donc
que le fadeur w„ tende vers zéro. Le raisonnement ne s'applique
plus si le produit est nul; on vérifie aisément sur re\em|de cité
plus haut que Un ne tend pas vers zéro.
D'après une remarque antérieure (L n" 157), Pétudc de la con-
vergence ou de la divergence d'un produit infini se ramène i'i
r.;!!!/!^ it^x la niénie question pour une série. Posons
I
I
,= **o= <!*+- ««)*
P,— \\,— (I -^ Mo)«lr
6ii
^lUIMTRI^ XIII.
Ffixr.TioN!? li i:m: vahublk i nM('iJ:\i
et» d'une manière générale,
el considérons la sth-fe iiuxifîatre
(5H) l'u -+- *i H- . . * ^ r« -^ —
La soin me ^ft^^ t^i -+- i"i 4-* - . H- *•/! est évidemment égale ii l*,,, de
sorte que celle série est ctm verge nie ou divergente en même lem|>*
que le prodinl inlini n(i 4- "w); lorsque fa série est convergea le,
Sîi su m me ^ est éj^^ide à la valeur I* du (irodiiil infini, y
â83. Produits absolumant convergents. — Supposons d'tdjurd
qne Ions les nom lires n,t soient réels el posiliTs. Le jjnjduil V„
Vil en eroîssanl avec n el, pour démontrer la convergence, il suf-
fira tle prouver cjue ce produit 1% reste inférieur à nu nombre
lixe, quel que ^oil fi* On a, d'une jjarl,
!'«> I -^ w^^ //i — .. .-+- Un;
d'autre pari, on a, x étant positif, i -t- j' <i^^'i et par suite,
La première inégalité montre que, si le produit V„ U^nd vers une
limite P; on a constamment ;/,jH- «, — «.. H- «/, < IV La série à
termes positifs *
est donc convergente. Inversement, supposons cette série con-
vergente et soit S sa somme; la seconde inégalité donne l\r<Cc*^.
Le produit P„ lend donc vers une limite, el Ton en conclut que
le produit infini I I ( i 4- «/i), où ions ies nomi^n^s ti„ soni réels
et positifs, est convergent on divergent ^n tnetne temps que la
série (5^).
Considérons maintenant un |irodnil irilini, ii tenues qnfU
conques, réels ou imagiuaires,
(55 ) ( I -^ /!„ h; 1 -K «I ) . . . ( I -h M« ) , . .
et 5oit Ui^^ \tti\^ Si lu série
comme on Vu fait remarquer^ la timiLe du produil
lorsque n augmente !nil«nînîirienl. Dans ces condilions, le pro-
'i- ICI
Juîl I I (i 4- n») est dit cibsoiumeni convergent.
Les proiluUs infinis aljsoliiment convergents oflrenl nn inlcrtH
parlieulier, eoiiinie les séries aljsoliinu'ol conver^^euLes, avec
lesquelles ils ont de grandes analogies. Ainsi, dans tin produit
injini ahsolunienl convergeni, on peut modifier Vordre des
facteurs d* une façon cirhllraire sans changer le produit. Hou^
di'iricintreruns d'abord qnetanl donné nn produit lu lin i ahsolu-
Dieol convergent, à lont nombre ]>osîlif £ on peut faire corres-
pondre lin nombre entier n lel que la diflerencc entre ronflé et
\c priHloit d'un 110 ni lire qneleonqne de fa c leurs
ait tin module inférieur à s, lorsque tons les indices a, [i, , , , ^\
■Sfini supérieurs à /f. On a, en effets eojnme on le voit inimédia-
Itemciit en supposant les deux |noduits développés,
et, par 5Uiie,
Kl-
«3e»H
^?h..(l
«X ) ^
■ I I < «î'^
^ih-
€U4lMTIïfc: Ttlll. — FONCTION» JJ*Li.\E VAUI\MLE ClOMULEXE.
mais, la série î:lU/éhi ni corivergenle, on peul prendre le nombre n
assez grand pour que la somme Ua 4- Up 4- - - . -^ U>, soîl plus
peliLe que log(i-|-£), lorsque tous les indices at, [i, .-•,>, sont
supt'rieiirs à n. Le second membre de Tiné^alilé précédenle pet»l
donc être rendu moindre f|ue loul nombre posilif £, en prenant
le nombr»^ entier // assez grand.
Ceci prouve, observons-le en pjissanl, qu'un prof/ftif absoitt-
ment convergeift ne p(ntl être nul à moina qttnn des facteurs
du produit ne soit nuL Stjp posons en effet qu'aucun des fadeurs
du produit ne soit nu); choisissons le nombre u assez grand pour
que Ton ait, ipiel que soîl le noml)re posiliJ />,
a é\i%n\ un iit>mbre positif ittférieur \i \\m\U'j \\ est clair que le
-I- » ,
module du ju oduit inliiit I 1 (i 4- ^'//+v) ^<n'à supérieur a i— a et,
par conséquent, le produit l* qui esl égal au précédcnl multiplié
par Ffl ne pourra être nuL
f*ela posé, soient
( 59 ) (1 -h «0 ) (1 -^ «i ) . . * ( ï ^ W;j ) . ^ *
uii produit infini absolument convert^enL et
( 60 ) ( t -h Wç )( I ^ «'j ) . . , ( I -h £/'„, ) . . .
un autre produit ijifjui com|>osé des même* facteurs [jris dans un
autre oi'dre. Ce second produit esl aussi iibsolument convergent,
car la série SU^ est conq^osée des nié mes termes que la série 2U|.
Appelons V et P les valeurs de ces àK'Aw produits (og) et (Oo).
Soit Vff le jn^oduit ét^s n -\- \ premiers f'actetirs lIu produit (St));
tous ces facteurs se retrouvent dans le produit {60)^ et nous
pouvons prendre un nombre m>n tel que le produit P^^, ren-
fenne tous les facteurs de P^,. Nous avons alors
tous les ludices a, fi, .,-,). étant supérieurs à //, et, d'après ce
que nous vei>ons de voir, on peut cboisir le nojnbre n assex grttnd
I
ausiii j>elil que suit le nooibre [>os!u(' t. Or, lorsque /f augmenle
iadéfiinmeot, il en csl de même de ///, el le rapport j^ a pour
limite TT* Il Tant donc que ï'oii iVit ]^'-= P.
i8l. Produits uniformément cooTergents. — Considérons
encore un produit infini (5i). où ^Oh '^n •* ♦» thn *-• sont de*»
fonctions continues, réelles ou iuia^'^inaires, d'une on plusieurs
\ariables x, y, /, -.., ce qui comprend évitlemnieut le cas
^ OÙ «0, «I, «2, ... seraient des fonctions d'une variable com-
plexe z. Nous dirons que ce priKlniï est un {'/armement cofivcr-
gent dans un certain domaine O, sj la série ^r,^ définie plus Iniul,
dont la somme est égale au produit infini, est elle-même unifor-
mément convergente dans ce domaine. Le produit l*est alors nue
fonction continue des variables indépendantes.
Un produit infini est uniforméuieat conver^^enl, s'il en est ainsi
de ta série
reprenons en eflet la série (5.^), nous avons
i'«_,^...-hP^^^,= Vn^p— \*n— t',J(f H- U«^i)*,.(l-r-Mfl^,;) — l];
00 a d'ailleurs les inégalités évidentes
Ut-
^}(i^ ««^î)..
H,,^n) - 1 1< eLW.>r..,-H, ,^.t,.,„,.
Maïs la série (fit), êlant uniformément convergente dans le
I domaine D. représente une fnnction continue qui reste inférieure
a une certaine limite M» et Ton [icnl choisir un nombre N assez
[graud pour que la somme suivante, où /ijN,
[reste inférieure, quel que soit p, à un nombre positif a dans le
Ifndine domaine. On aura donc» le nombre n ayant été choisi de
i\\ CHAPITRE XIM. — FDM:TI(>NS [j'iNE WKtlMLK COA|l*LE\K,
Ceci [rroiive bien que I» série ^v,i est nnUovmvuicnl convt i Lj^ente,
iHiis*|u'oti neiil loii jours i^fïoisir a *!f* fijçoti i suti^sfaire à la conJi-
liofi (,*^(e* — i) << £, aussi pelit que sorl s.
Par exemple, le produit lufini
F. = .= .,-..)(.-f:)...(.-i!)...
représenle une i'oiiclioïi continue de la variable complexe z^ car
la série ^^"4" *^^^ unifoniiéuieul eoiivergenle a rinléi'ienr du ne
courbe fermée (|uelfor*([ue, (^e produit est nul pour ;; = u, dri,
±2, . * • el pour ces valLMirs seulement .
Ri' iit arque, — Toutes les propriétés précédentes s'étendent
sans difficulté aux produits infinis n(i -h timit)^ ï^»*' cbatpie facteur
est aflecté de deux indices distincts m^ /i, pouvant varier sépa-
rément de o à H- X. liOrsque fa série double SU,«rt est conver-
gente, le produit précédent a une valeur bien déterminée, qui ne
dépend pas de la façon dont (hï fait rroîlre le moubie des facleiirs.
De nièmi' quunt* sérii* double id>siduinent convt^rgenle peut être,
irnne infinité de jnaniéres, ttansftprmée en une série ordinaire, un
produit doiddenient infini, tel que le précédent, |ient élrc d*une
infinité de manières traiisformé en iiji produit simplement infini
ubstdumt'ul convergent Si tous les termes r/,i„i sojit des fonctituis
cimtinues de certaines variables oc^ y% . . - , el si la séiie 2IU/«m esl
uniformétnenl cun verge nie dans nu certain domaine D, le pro-
duit infini IIi i ^ u,ft,i) esl lui-même uniformément cou verge ni, et
représente uj»e foncliiu» cou l inné de jr, y^ . . , dans le domaine 1).
58.1- produits infinis réels, — Heprenons un produit iiifiiiî »]r faneurs
réi*k
pour cludit-r le ras où it y a uiu; irilinité de termes né^^iUirs dans la suite u^^,
Ui^ «î, .,.. f.ors€|ue tous ces ir.niies sont^ à parlir d'iijj cortniii lunit;,
compris entre — i et o, on est conduit ti «^ludicr un produit inliiii irl <]uc
tC'4 ) ( I — i'o ) ( i — r, u . .M — i'rt ). . .
IV. -= PliDOriTS INFIMS. "^^^■~ B5
loù Ço^ t'i, , v,ty ... sont iioskifs et inférieurs à i. Il est v\n]r que le
■ produit (i — *>0)..,(i — v„) va en décroissani lorsque n atignfiiînte, et que
' re produit resle positif: il lend donc vers \ine limite lorsque n croît îiîdé-
Imimeiitt mais celle limtlc peut ctre zéro ou un nombre positif. Si la
t«*i'Tie ZiU est convergente, le produit infini (62) est ab«ulumenl conver-
j;«»nr: le produit (î — ^ i'o) . * . f i — v^,) a donc une lin:ite dilîctfntc d«*
*,-ro (n^2«3).
Pour voir re «|ui nrrivt^ lorsque Iû série ^v,- est divergente, remarqiious
que Ton a, quelle «juc soîl la valeur réelle de jr,
i-l-;r < e*,
rar la fonction e^ — ^ — 1 esi minimum pour x = o. Un pcul doue êcrirt!
i~Vo<e-% I — ii<t-^'s ...|
et pur suite
i I — v^n I — r, K . .( r - r„ ) < c-'>'.'^^*^."-*'«V
l*a comme l'a **- l'i -+-*.* -f- t'« ougmente indéfînhnenl avec /i, et par suite
le produit in fini est nuL
Lorsque la suite «o, u^^ ..., Uft, ... renferme une infinîié de termes
po&itifs et une infinité tic ternîtes né;jatifs, le |iroduit infini ne |*eul être
ronvcrgcnt sans être nul que si le terme général itn tend vers xéro (n** 283).
Supposons; qu*il en soit ainsi : comme on peut toujours négli|;jer un nombre
liHÎ de fiicleitrs au débtit, nous adiiicltn»ii'? que tfnH les facteurs *oni posi-
tifs. Le produit F%, contient alors un certain nojubrede facteurs supérieure
à I et un certain nombre de faeieurî> inférieurs à 1 : le seul cas douteuv
i^Èl évidemment celui où le produit des facteurs supérieure à 1 augmente
itidéfiniMierit» landis que le jiroilnît des facteurs inférieurs â 1 tend vers
léro, lorsque n augmente indéfmimejit. Le produit infini peut être con-
vergent ou divergent suivant les cas; mais il vM facile de démontrer, eu
r,iÎ5onnani comme [»our les séries semi-convergentes, (I, n" i6tî) que,
dans un produit de celte espèce ^ on jieut toujours disposer les facteurs
•tans un ordre tel que le pix^duii F*^, ait pour limite un nombre positif
quelconque donne à l'avance.
Lorsque la série I^u^ est convergente, on a une réj^le précise. Le pro-
duit r« iend ver$ une limite positive ou tend vers zéro, suivant que
ta iérie Si*J e*î convergente ou dit^ergente.
Pour le ttemonlrer, remarquons que le rapport
lot; ( I H- j: ) — j-
a p*»or limite — » Inrsquc r teud vers zéro; nous pi>uvon< \\Qni: écrire
1.»-^ I
*--«),
tnïl.
m
CHAPITRE XIII. — FOMTKJNS DLNlt: VAHIVItlj: i:i*MPLEX.E.
la valeur iiiisuluc lîe a riant inféiieujc ii - pourvy nue la vali^ur absolue
de :e soit inférieure à une certaine limite, Putstjue «« It^iïil vers zéro
quanJ n croll indcdliMmenl, et que l'on peut faire commencer le proiluii
infitii à tel fadeur que l'on veut, il esici4iiir permis di; supposer que Wm a
l0g(l -+-«„) — Uq — —^ (i -+- fjy ),
log(l -h Ml) = fl| (I H- Oi),
liHis les nombres 0,^, du ..., Ô,, ctaiiL compris cnlrc — et -+- - • On
déduit de là
(t>i) logPrt= wu -f-«i -+-... -^w„'— - «J(r-T-lïg)-,..— ;- ff;(i a„);
lorsque le? fletix séries 21ï/,i et — mJ sont convergentes^ le second membre
tend vers une limite finie quand n eroît indétininient, rar /iJ([-i-0^) est
compris entre — ^ et - «J» Le piuduîl 1\^ tend donc vers une lîjnite diiïcrenLL-
dc y.én*. Au contraire^ lorsque lii ^éric Sf(* est diverj;;enlt% le recoud
membre de la formule (61) croit indélinimeut en valeur absolue en restant
négatif, et par suite ?« tend \ers zéro.
La même égalité (63) prouve que le jiroduil iullni est divergent ou nul
lorsque Ja féerie Ew^ est diverj^ente et la série -wj convergente. Mais il
est i\ remarquer que le produit infuii (leut être conver^^eut lorsque les deu\
séries ^ ti,t et S«J sont di verj»entes* Prenons |jar exemple Ug — «^ = at ^ o,
cl, pour « > I,
[ t j 1
yn yn " n y n
la sérier «/,cst divergente, caria somme Sj^^est supérieure à - h- ^-4-.#.H — ;
il en est de même, pour la même raison, de SfiJ. Cependant le produit infini
est convergent, car le piodutt de 'in facteuris est égal a
(-î)(-s)-(-^.>
\f. — PHOIHITS
tandis que le produit de 2/1— î facteurs est égal au produit |irt'cédein
tnullijilié par le facteur i —
Exemples : 1* La série
//i
qui a pour limite l'unité (').
I
r
'an
€si convergente ainsi que la *iêne obleuue en élevanl ses unincs au rai ré.
I^ proiluil infini correspondant
I 3 3 5
A '1 * 4 i
Vin -ht
ftn
lônc convergent; an a vu déjà qtj'ïl étail égal à - ( 1, n" 116), Pniir le
IrAnsformer en un prodtiit absolument converge ut. il suflit de réunir dcu\
facleufs consécutifs, ce qui donne
'i-ui-v^y
' tenda
Soil u^-j- Ui-r- — f MrtHr.*. une série à termes réels iJans laquelle
rai^pôrl de deux termes consécutifs est une fonction rationnelle de n
nt vers l'unité lorsque n auf^mcnte intléfinimeni
En lai^ant décote le cas oii Tun des lermes de cette série serait nul ou
lAiliii, on peut encore écrire
n/ ai— ^1 ç("^)\
étant une fonction raiîonuelïe de */ qui reste inférieure en valeur
tiluc à un nombre fixe. Si Ton a «i — 61 > o, tous les termes de la série
iH)
2(
«1 ~ l^i
V« J
finmcnt par être poiiitifs^ et celte série est divergente; le terme gé-
néral u^^i de la première série augmente donc indéfiniment en valeur
«bsolue* Si «1 — bi = 0, la série (64) est absolun»ent convergente, et u„+i
(') Voir Caucuy^ Cours d'Analyse ou Œuvres comptétes, lomc 11!^ a* séric^
AOte L\; PAiiraaatti)! {Afathemaiische Annaierît tomes 22, 33 et 42).
68 CHAPITnE XI U. — FONCTIONS D'UXE VVBIABLE COMPLEXE.
rend %ers une limilc finie rlilTérenlc île zéro. EuIIiIt si ai — ^i<Io, tous les
termes de la çérie (GJ) finîssenl |iar être ni^galif^^, el celte série est di^cr-
genle; ^«+1 tend donc vers xcro lorsque n croît jndéfiiument. Ces rêçullals
!ïonL dus à Gauss (voir 1, n" l(î3).
286. Développement en série entière d'un produit infini. — Soit
un produit infini, où chacune d<^s fondions rtf penl être tirve-
lopf>ée en série enlicrc
«^ = ait, -4- rt/ 1 ^ -f- . , . -4- at„ -s" -h - . . i i ^ o, i . % , , ,),
Supposons que la série (InuLle 7 ^l'^i>i|'" *oit convergente
i n
pour une vu leur [îosiltve de r clioisie convenablenieut; clyns ces
conditions la série
est absolu ni eut el niiîrormétneiU converj^enle à l^iulérienr du
cercle C de rayon /■, ayant pour cm Ire Torigine, Le produit F{ 5)
est lui-même alisolunieiU et uniformément convergent et repré-
sente-, par conséqui'iil j une fond ion continue de z dans ce cercle.
Nous allons montrer rpie ce produit peut être développé en une
série entière eoiiver|;ente.
Posons^ comme plus haut,
Vn= (fH- ffn)(t -^ ni).. ,(1^ M,|_, )M«;
il suHU de démonlt^er rpte la somme de la série
qui est éj^ale au produit ijdini F(^), est développable en série
entière. Or, si Von pose encore
il est cliiîr que le produit
r;, = { I -h «i ) ( f -f- «; ) . . . (iH- w;,..4 > «;,
est tine ffyjïction majorante jiour r,,, La série (66) pourra donc
élre ordonnée siiivanl les puissances de :; s'il en est de même de
la série auxiliaire
Si l'on développe chaque lennc de celle tlerIlH'^rc en série
[entière, on a une série double dont efiaque coefficîenl esl )H>sitif,
'et il suffil pour notre olîjet de prouver <|ue celle série double esl
convergente quand on y rem[dace:; par r. Désignons par U^, el VJ^
[les valeurs des fonctions ul^ et v'„ pour ^ = r; nous avons
v;, = t.^u;)(i-f-uij...(i^u;._i)u;
[et par conséquent
tiu encore
Vi -h v; -h . . , -+- v; < ct«^^^.HHt:„.
I
Lorsque n augmente indéfiniment, la somme UJj -]- - - - H- L','^
lend vers une limite, puisque la série 7 U^^ est supposée convcr-
f;ente« La série double (67) est donc absolument convergente si
Ton a |jj£r; la série double obtenue en développant cbaque
terme i'n de la série (66) est donc a /oriiori absoimnent couver-
geute à Tinté rieur du cercle C, el Ton [ïeul rordonner suivant les
puissances entières de z.
Le coefficient bp de zP dans le développement de F(:;) est éj^al,
d'après cela, a la limite pour ft iniini ilti coeflîcient bpfide s^ dans
la somme *'oH- i-i H-. • .-H i'w, ou ce qui revii'ui au méuie, dans le
développement du protluit
ce coeflicient s'obtiendra donc en étendant aux produits infinis
la régie ordinaire qui donne le coeOicient d'une puissance de z
[dans le produit d'un nombre fini de poljnomes.
Par exemple, le produit infini
F(5) = (i-
5«){l-h^'')..^(H- 5'";..»
esl développable suivant les puissances de Zy pourvu c|ue Ton
[aîl|x|<C t* Une puissance quelconque de z, soit z^j figurera dans
70 CHAÏ*ITIIE Xttl* — h^NCTlONS lï'riNK YAIUABLL IIDMl'LEXK.
ce développeinenl avec un coefficient égal a un, car LouL nombre
entier N peut ôlre éeiil, triine f'aron et d'tioe seule, sous la forme
il*une somme de piiissaiices de à. On a donc, si |5[<^i,
ce qu*on peut aussi démontrer 1res simplement au nioven de
l'idenlîlé
i — z'"
(69)
(I "H z){i -^ 5*)(i -h ^M- ■ ' f ï -+- ^*""*).
EXERCICES.
1. Déterminer la fonction anaKiiqne /'(i) = X -h i Y dont la partie
r^Jelle X est cgalc à
même question en supposant que \ -h Y est éj^aîe a ïa fonction précé-
ilentf.
!2. Soit 'f(/?*i /?) = o réi|tiation tanj^tîiitit Ile iTune t^mrlu* algéUrîque
réelle, c'esl-à-dire la foniliiion pour que la droite y — mx -\- p ^oit tan-
gente à celle courbe. Les lacine* de réqnatiojï ^(it — «5)^^o sonl le*
animes des fovers réeln de eciie niurlie.
3. Si p et q sont deux nombres eniiers premiers entre eux, les dciiit
expressions (y^)'' et }/ zP sont équivalentes. Qu'aii ive-t-il. toisqur /i et ^
ont un plus grand commun di\iseur t/ > 1?
i. Trouver le modiile el Targument de e'^>', en le considéraivt comme
I -h * — ) ) lorsque le nombre entier m aug-
mente indéfiniment.
5. Établir bvs formules suivantes, où m est un nombre entier positif,
ti'^' cos'" -s — 2 cos niz -^ 'i m cos ( m — i)z
m ( /n — I )
Ka
- eo^ ( tfi — i ) :;
M m est impair
le d
emier ternie est un terme en tos4
m est pair, le
lerme qui termine le développement est indépendant de z el éjjal à
KXEACICES*
On a de même, si m est impair,
{ a I )"* fin '" 5 = !i t si n mz — %itns\n{m — i)z -h . - . ,
cL SI m esl pair»
(». Démon Ire r les furmuli^^
c*os a -ï- eosi ( a H- £/ ; -h . . . -i- co^ (an- /*« ) = — — ^ ^- cos (an J 1
sîao -î-sîn(a H- ^) -4-. . .H- sin(a -+- /16) =
'"r'^ W'
7. On demande lii va leur finale <le uicsiij- hii><|ue In varîable j décrit
le segment tic droite allanl d*.* I^irigine au poinl 1 -^ / * hi valeur iuitîâle
«le arc «in 5 riant o.
8. Démontrer la continuité dune série cnlière ay moyen de la for-
mule fn" ii. p. 21)
JOn prend une fitnetiou majorante convenable jiour la série du second
«itembre.]
ty. Calculer les intégrales
/ T'» e**^ <^o$ ù X €i.T y I .T^e**-^sinbx ctr,
cot ( jr — a) coL(>' — ù) . . . col{j? — ijdjr.
/■
10, htani lion née dan-^ le |dan Toy unr roui lie fi-r niée C, |>résentani
fin nombre ♦juelronque i\c points doubles, ei décrite dans un sens con-
venu, on îilîecle chaque réj^ion du |>bin déterminée par celte courbe d'un
COefVicicnl numérique d'après la rèj^le du n** 90 (I). Soient H^ K* i\eu\ vé-
^on9 lîmîtropbc* si-parées par un nvr. ab du contour parcouru de *i
*er§ 6, le coeflicicfU île l'aire ù ^aucbe e?l supérieur d'une unité au coef-
licîeni de Taire à ilnnle et la réi^iou extérieure au omlour G a le en effi-
cient n.
Sioil s^ un point ph& dans Tune de ces régions et N le eoefficienl cor-
7» ciiu^iim; xiii. — fonctioas i> lne variable ijosh'LFAE*
respondani, Dérnonlrcr f]ue ^Xtt représenle la variciuon de rargiimenl
de z — ^ûj lorstîue le poiïil ^ tl«"( lil la couiLl^ G dnn^ le ^t^n^ con\enu,
11. Kn rtiiiliaiJt le tiévrlo]i|iemeiil de Lop f ^ ) sur le ceicle de con-
vergence, démontrer rjtir l;i ^vhmiuc de, la «.érîc
sinQ fin 30 sin5f» sinfîrtH-ï)Cl
est égale h Tt ^t suîv4int qutî l'on a sin(ï Jo {Cf. I, n' 1Ï18).
l!2. Etudiée les Lf»uil)e«i décrites par îe point Z = ^', lorsque le point z
fiécrit une li*;ne druile mu une cîrcujiftTence.
13. Lu relation 'iZ = j -^ — permet d'eiïcctuer lu représiMitait<^ri i-on-
forme d»; Taire eouipiise entre deux ollip<ïes honiofocfile^ sur une Cfni-
roiine eirrulaire ctiuiprisc entre deux cercles coneeutrirjucs.
[On prendra par exemple ,3 — Z -h /Z*^c-, en convenant de tracer
flans îe plan de<i Z une coupure rectïlignc ( — c, -f-c) el de elioisir poni
le radicid urie valeur positive lorsque Z est rëel et plus grand que rj.
14. Toute iransforniation circulaire -3' =
peut s*ob tenir par la
Ci -h d
eonibinaison d'un nombre />cï/r d'inversions, îiéciproque-
15. Toute Iran s for ma lion iléHnie pai^ la relation c'= ;i ofii 5^
désigne lu quantité conjuguée de ^, résulte d'uj* nonJire impair d*inver-
sions. liée ip roque.
ILî. Transformations fuchsiennes.
Toute transformation cireu-
rs oij a, b^ c^ d sont des norabrea réels satisfaisant k \û
laire z ^ —
cz -i- d
relation ad — 6c = 1, fait correspondre à tout point z situé au-de^îiUî^
de o.r un point z' situé du même cAté.
Le"^ deux intégrales définies
/
\/dw^ -\- Uy"^
dT dv
f fdx d\
' JJ ~J^
sont des invar ta niXf relativement à toutes ces trauîïl'armations.
La transformation précédente admet deux points doubles qui corres-
pondent aux racines a, ^ de l'équation cz-^hid — a)z — 6 = 0. Sî ot el ^
,1 ... . . ,., . , a^ -hù , ^
sont réels et distincts, on iieut écrire t équation ^ = -; sous la tornif
équivalente
K\Knt:ït:i';s.
/k élaot réel» et îa iransformaiîon e&l dite /lyperhoiù/ffc. Si x et ^ sont
imagÎDaircs conjuguées^ on peut écrire iViiuoliuii
«i» clant réel (transformation elliptique). Si ^ = a. ou peut *îcrîre
3 el /'étant réels. La traiisfiirmation tM i\y\w\tii: parabo/ifjfte.
17, Soh z'^/iz) une transforniatiou furh^icnne. Posons
Z^^/iz), Z^=/iZi\ ..., i,,=/{j„_i).
Démontrer que tou^ Jes poînl^ z, Zi. z^, ... z,, sont sur une circonfé-
rence. Le point Zn tend -il vers une |jo*ition limite lorsque n a ug meute
itidéGniroent?
18. Etant donné un cltcIc C iIc centre 0 €t de rayon R, deux poinlsîVI,
M' situés sur une demi-droite issue du ceutre 0 sont dits symétriques
rapport à ce cercle si Ion a OM x 0M'= R*.
i^cla po^, soient C, C dcu\ cercles dans un même plant et M un poini
Quelconque de ce plan. On jircnd le svmi'tiiqne M^ de M ]mv rîïjqojrl à C,
puis le symétrique iM', de Mj par iap|M*rt à C\ |»uis le sy m cl ri que IVltde iM'j
par rapport a C^ et ainsi de suite indênnimcnt. Ktadici' la di^iril>utLon dan^
le plan des point* Mi, M\^ M^, ^M',. ....
19* Quclk e^l la fonction analytique Z :=/{z) permcUanl tle passer'de
la projection di^ Mcrrator à la pri>jcciion slcrêographique?
D*. Tt»ules les familles isothermes conqiosées île cercles sont formées
^cercles passant par doux points fixes^ distincts ou confondus, réels ou
laiagîfiaires.
I LVquation d'une famille de cercles, dépendant d'un paramètre va-
riable X, peut s'écrire» en po^^ani z = x -h iy, -;« = jt — /k,
zz^t -H a 5 -h 6 5o H- c = o,
a, 6, c éiaal des fonctions du paramétre A. Pour que cette fa ni il le soit
7l CHAPITRE XIII. — FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE.
isotherme, il faudra que l'on ait = o. En faisant le calcul, on dô-
* dzdzo *
montre le théorème énoncé
]
21. Pour qu'un produit infini soit convergent sans être nul, il faut et il
suffit qu'à tout nombre positif s on puisse faire correspondre un nombre
entier n tel que l'on ait
|(l-h W;,-K,)(l-r- //.,^i)...(I-f- ll,n_y,) — I I < £,
quel que soit le nombre entier/?.
22'. Si \g\< I, on a Tidentitc
(i-+-y)(i-+-y*)...(i-h <7'')...=
[KtLER.]
[Pour le démontrer, on transforme le produit infini du premier membre
en un produit infini à deux indices, en mettant sur une première ligne les
facteurs i -H g', i -»- 7', i -+ çr*, . . . , i -+- r/'", . . . , sur une seconde ligne les
facteurs n- y', 1 -+- 7*, . . . , 1 -h (y')*", . . . , et l'on applique la formule (68)
du texte.]
23. Développer suivant les puissances de z les produits infinis
F(5) — (l-h TZ)(l-hX^z).,.(l-hX''z)...y
<P(z) = (i-^ xz){i-^.r^z) ...(i -t-.r*«+»5)
[On peut, par exemple, se si*rvir des relations V (xz)(i -h xz) = F(5),
<l>{x^z)(\-hxz) =*(^).l
2i*. En supposant \x\ < i, démontrer la formule d'Euler
(I — x)(i —:r«)(i —ar5 )...(!— - a:").. .
3/l'— « ."î/l'-f-/!
= 1 X — X^- - X^ — X"^ -{-■ X^* — ,..-- X * X * H-....
[ Voir J. Bertrand, Calcul différentiel^ page 828.]
25*. La série à termes |)ositifs Wo-h «i-f-. . .-f- Un-^-.- est convergente
nu divergente en même temps que la scno 1 h...-! h...
5y S\ s„
où S,i — //u-1- Wi-T-. . .-r- lf„.
[On peut écrire
Ûi-'Sht
et appliquer le théorème du n° 285].
IAbel.]
CHAPITRE XIV,
THÉORIE GÉNÊHALE ïîHS FONCTIONS ANALYTIQUES, D APRES CAUCHV.
I. ^ INTÉGRALES DÉPINIES PRISES ENTRE DES LIMITES IMAGINAIRES.
287. DéânitioDS et généralités, — Les résullals exposes daiisk-
C^|i;j|)itr€ précotleiil sont ititlcpendanls des tryvuux de Caiiclij, et
pour la phiparl ardérieiirs à ces l rivaux. Nous tilloris niaiiileiianl
reprendre rélnde <les fonctions aniilylifpïc> à lui point de \i\e 5ys-
léinaliqiie^ et pcmrsiiivre les consr(pieiices lognjnes de hi iléfinflion
même de ees ionelions. Nons rappellerons tpi'une fônrlioTi f{z)
É'Sl holomorplie dans ,nne aire A : i** si à tout j>oint pris dans
Taire A correspond une valeur déLerminée de /{z)'^ 2'* si celte
> aleur varie d'une inanîùre coiitimie avec j; 3" si, ponrloiii points
pris dans A, le rapport
fjs^ h}—/{z)
h
letid vers une linnle /"'(-) lorscpie le nnidtile île It Uud vers zéro.
La eonsîd<^ration des intégrales définies, (piand la variable passe
par one siiile de valeurs imaginaires, esL due à Caiicliy ('); c'est
Torigine de méthodes nouvelles el fécondes.
Soity(s) iine fonclinn eonlîuue de :;le lonj; d'un arc de courbe
AMB(^/7^^ (yi), ruanjuons surccl are flecourl>e un certain nomlïre
de points de division z», J,, Z2, * * * , ^//,u ^^ succédant dans Tordre
des Hidiees croissants fpjand on pHrcourL Tare de A vers B, le^
points z^ et z^ coïncidanl avec les evtréniilés A e( U.
Considérons lu somme
^ = A -/)(«! - -5g) H-/( 5i )( ^t - ^i ) -^ ' ■ •
-^/(-*-l )(** — -Ar-l) ^ - ■ - H-/( -/«-l )( -' - -/*^l );
(*> Mémoire iut* Um intégrai es déjinîei priscâ entre des (imites imagi-
76 CHAPITRE XIV. — FONCTIONS ANALYTIQUES D^PDÈS CAL'CHY.
lorsque le nombre des points de divison 3|, ..., z„_i augmente
indéfiniment de façon que les modules de toutes les dilTércnces
^1 — ^0» ^2 — ^lï •••9 deviennent plus petits que tout nombre
Kig. Gi
y
B
/*«-.
M
4:
x«
0
a>
positif choisi arbitrairement, la somme S tend vers une limite,
qu'on appelle l'intégrale définie de /(z) le long de AMB, et qu'on
représente par le svmbole
f f(z)dz.
Séparons en effet la partie réelle et le coeffîcient de i dans S;
soient
f{z) = X-4- Yi, Zk^ori.'^yki,
X et Y étant des fonctions continues le long de AMB. Nous pou-
vons écrire la somme S, en réunissant les termes analogues,
S = Xo(^i — a-o) H-. . .-H Xa-.., {Xk—Xk-i ) -h. . .H- X,|_i(a7'— Xn-i )
-+-«'[Xo(7i-ro) -»-••.]
-i-i[Yo(a'i — aro)-i-...].
Lorsque le nombre des divisions augmente indéfiniment, la
somme des termes d'une même ligne a pour limite une intégrale
curviligne prise le long de AMB, et la limite de S est égale à la
somme de quatre intégrales curvilignes (*)
Ç f(z)dz= f {\(ix-\dy)-^i f {Ydx-i-Xdr).
'-(AMH) «/(AMBj *^(A.\lBi
( ' ) Pour éviter des complicalions inutiles dans les démonstrations, nous suppo-
serons que les coordonnées x, ^, d'un point de l'arc AMB sont des fonctions
conlinuesx = ^{t),y =.^{t) d'un paramètre ^, qui ne présentent qu'un nombre
IT^TKGRALES ENTftE DES LIMITES 1MAG»NVIR
Il reisiille îiiirnt'iliatenîenl Je lu défi nil ion que Ton a
/-+-/= ...
Nous aurons souvent Lcsoîn par la suite de connaître une Jînyle
5U péri cure du module iftine intégrale définie. Soit M un nombre
plus i;rand i|ue le module de J{^) le lonj; de Tare x\MB; sait P le
pcrimî^lre de la ligne polygonale inscrite dont les sommets sont les
poînt;^ r^, :îi, r^., • • . , ^«-u ^'» H esï clair que Ton a |S| <C M<P el,
par suile, en faisant croître indclininn^nt le nombre îles [)oinls de
division, on aura à l.i limite
•■(AMUf
L désignant la lon^^nenr de Tare AMB.
ti88. Changements de variables. — Considérons le cas, très
Irc-quent dans les a|qdicalions, on les coordonnées ^, y d'nn point
de Tare AB sont des fondions conl innés d'un paramétre variable iy
x=:f(t)^ y^^^(t)y admettant des dérivées elles-mêmes conti-
nues ^'(/), *Y(/), de ïelle [aeon i|ue, t variant de % à 9j., le point Çt^y)
décrive le chemin d'intégration de A vers B. Soit V{l) et Q{t) les
rûncilons de t obtenues en rem|daçant dans X et Y les variables x
ci y par ^(i) et à{i) rejspccli veinent. D'après la formule établie
pour les intégrales curvilignes (1, n** 93), nous avons
/.il». « ',.
-'URt
r^
I \ ity ^ Y ffj ~- I {V{t)^yU)^ Q ( t )'i'( i ) I dt.
•^-Alï
/ini de iiid&iiiiunis ou dr mitiirniniis entre A tt 0. On (leut alors dëcumpu^er le
rlicmin d'Jolégration ca un nombre fiiii d'arcs, dont chacun est représcnlé par
une ^uaUon telle que ^= Ff jtr)^ lu fonciiuu T élaiil continue entre tes limites
rjOfTefpoftdantCf.» ou encore en un uuîiibre Uni d arrs dont ctiaciin est représenté
p«r une èqutitîon telle que jt = G( k)» Il n'y u aucun tnconvcuîcnt à faire cette
li^potbrM", CAtt dans luiiLcs le^ applicatiouSt le dioi:c du etieuiin d'intégration
|iré^fite taujourâ un ccrlaîn df^ié d'arlntraiie. D'aillenr^, nous avons fait.
tintiliritenienL la mcrne liypotloHe dans la ttoknic des iiitcgmlea curvilignes
(f, M" tK'V%, 120), D'apr(is un lliroràrnc gém-rai ilc AL Jordan , l'arc de conrbe AMB
MPra liMtjour^ rerliliabk, c'est-*! -dire que le pêrtmètrc de ta ligne polvgun^ile doni
Ici» ««-'tiiitiet^ sont les points de division ^l,. ^,, . . .^ ^rt-,i ^ tendra verâ une limite I.,
94n% qu'il »oîl oéccs*aire de ^u[)(iosci <|iie tri fonctiouf « (i), 'J/(/ ^ ont des dérivées.
78 CIIAPÏTIli: XIV, — FONCTIONS ANALYTIQUES O'APHÉS CXCCHV.
A jouions CCS deuK relalions^ après avoir niiilliplié le^ Jeii\
meiiiljres de la secotule par /; il vieoL
II) f f{z)dz^- f \\'ii)^iqit)\[^'{f)^i'yij)](lt.
C*e5t précisément le résiitlîtl i[mc Ton tihlicrit en a|ipliqiiaiTl à l'iit-
icgrale j f{z)dz\'é. ronnnle établie pour les intégrales définies dans
le cas de foneiiniTS et de v;jriîd)les réelles; |>our avoir la nouvelle
inlé^^rale, il siiffil de remplacer^ dans f{z)dz^ z par ^{t) H~ i*l{t 1.
et dz |ïar ['^'(/) 4- ry(i)] rf^ Le calcul de j f{z)dz se trouve
ainsi ramené au calcul de deux intégrales déiiiiies ordinaires. Si le
rlieiniti A. MB se compose de plusieurs se«;ments de courbes dis-
tincie>, on ;iji|)bf|uera la forjnulç à cliacun de ces seg^nienls sépa-
lémcnl.
(jOnsidérons par exemple 1 inlégrale délinic / — ^. On ne
peut intégrer le louj^ de l'axe réel^ puisque la fonction a inté-
î^rer devient inlinie pour ^ = 0, mais on peut suivre un cbeiuin
quelconque ne passant pas p;ir Turi^ine, Faisons décrire à z une
tleini-circonfércnce de rayon un déciite \\r foiigine pour centre;
il su Hit pour cela de poser z ^= e^' et de faire varier / de t «i o. Il
vient
f
i H / fit :
2;
c^est prétiséuicnt le ré^uUat que Ton obtiendrait en ap[>liquant
la formule fondamentale du calcul intégral à la fonctioti primi-
tive — ^•
l^lys générakvment, soit z — ^(w) une fonction CLinlinue d'une nouvelle
variable complexe «^J-hTj* telle que, lorsque a décrit dans soa plan
un clicinîn CNE>, la variable z décrive l'aie AMB. An\ points de division
de Taie A.Mlt correspondent sur Tare CN [) des poiols de division Ui^^ «j,
"t< »*'» Wjt-tt Wjtt . . ., u\ Si ta funclion ^{u) admet une dé rivée f*(a) le
long de t'arc CND, nous pou von «^ écrire 1
1/*— Uk-X
«^ tendant vers xéro lorsque Uk se rapprocbc de w*_i en restant sur Va
I. — INTEUMALES UN TBi: DK6 LJVIITKJ^ m.U.IN-MBRS,
7\}
Icourbe GND. La somnif S con>îtl*}irc plus Iinut ^levieni, en rempla-
çant 54 — - ^ji_i P'^< rcxpri-ssion luôe de lYgalité précrdenlc,
S ^ ^/(^A-t ) ?ï «A- i )( WA — «Jt-i I -^ ^ h/( Sk^i ) ( WA — «A- 1 )*
I^ première partie du *^ec(♦nd tuenjbre a pour limite l'intégrale dcfmif
iQuaDt iiu leririe complémentaire^ son module eï-t plus (jeiit (jue r^ML\
ïr^ étant un nombre iH>siiif supérieur à lous les moduïes |ia.| et L' étant la
I longueur de l'arc CND» Si Ton peut prendre les points de division assert
! raitiproclié» pour que lous les modules [îa| soient inférieur!» à un noujbre
positif arbitraire, ve terme roniplénientaire Uni\ vers /.êro et l'on a la for-
mule générnlc du cliangeiuent de vat iable
Celte formule est applieablc toutes les fois que <p(w) est une fonction
botomorplie; on démontrera en etFel un peu plus loin que la liérhée d'une
rooction holoinorpbe est aussi une fr»ïieii<»n bolomorphe (i)f vo/r ri- 2113 ►.
(*) Cette propriété étant admise, ou démunire sarn peine la proposition suî-
%ânte :
Suit /{s) une fottciion holomorphe clans iitte région ^ nie Kdu plan. A tout
fiombre ponîti/ s, on peut faire vorrespondre un attire nombre posiii/ r, iel
*/U€ l'an aii •
I h
'/'(^) <*.
j iortfue zei i -h h sont deux points de A dont ia distance \ h | est inférieure à r,.
Sait en ciïel /( ^ ) = P (jt, >')-+' '*Q(J^* >^)> A = AxH- « ày* D'après le calcul
I fait pla» litftft pour trouver les conditions d'existence d'une dérivée unique (n* *2Gl),
[oQ peut éerire
/< g -4- A )-/(:;) ^,f.. [Pxf-^H-QAx.^v)-P;(jr,y)]A.r
{ Vy f j -hlj-, r H- fr A ri — Py ( ^> r )1 ^^'
àx-i-iSy
dérifée» P^, Fy, Q!zf Q'y étant continues dans l'aire Ap nn peut trouver un
[iiOHibrc f) tel que les module» des coefOcJcnii de Aj? cl de Ay soient inrérîeurs
là j* longue ^'Xs*^ ly- est < r,. L'inégalité écrite plus tiaut sera donc assurée
4
8o CïiAî'lTHK \IV, — PONCTIONS ANALYTIQUtîS D^Aï^aBS CArCIIY,
289. Pormules d© Weierstrass et de M. Barboux. — - Lu tli''mon-
stralion de la formule de la moyenne (I, n" 74) repose sur iles iné-
i^alilés, qui n*onL plus île sens préeis qiiâud il s'îigit de quaoLilés
eomplexes. Ce[>L*nd;inL i\L W t iciàlrass el M* Darhoux ont ol)tenu
flans celte voie des résultats intéressants, en considéraul ties înté-
;;rales prises le long d'un se*; ment de Taxe réel. Nous avon!^ vu
plus haut que Ton pouvait ramener le cas d'un elieniin quelcouque
à ce cas particulier, moyennant certaines hypatlièses d'un cjraclèrc
1res général sur le chemin d'intégration.
Soit 1 une intégrale délinîe de lu forme suivante :
/'(;), *s{i)y 'i(^) étant trois fonctions réelles de la variable réelle /,
eonlinues dans Tintervalle (ut, p); d'après la déûnilion même de
l'intégrale, on a évidemment
Su[vposons, pour fixer les îtlées, a<^p, ei admettons de plus
^ue/(^.) est positif cuire a et [3. L'intervalle (a^ p) étant subdi-
visé en intervalles plus petits (a, £,), (/,, Z^)» • * m '^^ module de
l'élément
de I est éf;al û /(a_i )| 'f (^-i ) -|- e"'i'(./A-i )|(/a ^ /A^i ) ; on a drmc
MIS / /W)io(0-^rJ.(Ol<^^
OU, en appliquant la foimiile de la moyenne à cette nouvelle
intégrale, et désit;nant par l une valeur réelle de /, comprise
entre a et p,
^t Von H |/tj <r,. Cda tHanl, si la foiicli«in ^(«) est holonior|»lic, loiis >es mo-
liulcâ |£4| scroijl |ihis pcUls qu'un iioriilire positif dounc t, puurvii que U dis-
^lancc de deux poinls dr division c«in*it'cutifs de l'iirc CND soiL infcriciirc ou
tiuiidïre corie>|iï>otiyfil t,^ vi lu formule f î) ^cra i*tiiblir.
réGRALES KNTne ME^ limites IJUAUtXAJnSS
le rësullal peut encon
^écrire, eo posant F(/ i = ç(f ) -^i'^{t)
h)
étant un no0ibre complexe de mofiuie inférieur ou éf^itl à un:
'est la formule de M. Darboux,
Où du il à M. Weierstrass une expression plus précise, que
*on peul rallacher à des considérations élémenlaîres de slalî(pie.
Lorsque / varie de x à ^, le point de coordonnées .r = '^(^),
^=♦^(0 décrit uu certain arc de courbe L. Soient (jrfi, j',j)
(jTi, yi), ..., ^f(-~tf Xft-i)^ —-1 Itî^ points de L qui corres-
pondeut aux valeurs a, /(, . . , /^ ^ . , ., de /. Posons
L
I
h
^ ^ ^-fifk-i)/(Jk-i)ifk~'n-\i
Y -
d*aprc§ le ihëorrnie dc< nunnenls, X et \ sont les coordon-
nées du centre de gravité d'un sy^tcnie de masses (dacées auv
I points (xo.yùS (^n^**)? - • » i^k-ifyk^i)^ " -, rfe la li|;ne L, la
masse ptacëeati point (jr;^_,, ^a., ) étant égale à/(^jt-i)(/A — h-i)-
Il est clair que ce centre de ^^ravitc est a rinlérieur de tout con-
lour fermé convexe C, cnvelojtpant !a lit;ne L, Lorsipie le nomlire
des intervalles augmente indélînîjnent, le point (\, Y) n pour
limite un point i w, * i de coordonnées
/ fi()o{i)dt
.{i '
/ /{t)dt
t)'l{i)tif
1 f(t)d(
qoî est lui-rnênie à Tintérienr de C* On ()eul réunir ces deux for-
Ulules en une seule, en écrivant
I ^
,,[i
) I fituU^ L f ' /{ijdi.
X élant l'allixe d'uu [toi ut silné à /^ifit* rieur de lout contour
IJIermé convexe enveloppant ht /ii^'ne !..
Il csl clair que, dans le cas général, le facteur Z de M. Weier-
8a
CHAPITRE XIV.
FONCTrONS ANALV noues U AtMIES CiMrCUT.
Strass peut varier dans un dumaine beaucoup plus resLrfint cim^
le facteur À F (^;) de M. Darboux.
îàDO. Intégrales le long d'un contour fermé. — Dan» les p ara-
graphes précédents, il sttflllde sup[>oser que/(^)csl une fonction
conliiiue de la variable complexe z le loug du clieniin d'inté-
gration. Nous allons mîiinlejmnl supposer de plus que fiz) est
une fond ton luKiljtiipjc, el nous avons d'abord à étudier l'in-
fluente du clieniin .^uivi \\\\y la varialde, pour aller de A en B, sur
la valeur de Ti ni effraie défînic.
Si fine /onction /(^) fjfi holomorphr à rititv rieur d'une
courbe fermée, el sur la courue eile-mrme^ Cifiirgrale f /[z)dSf
prise le long de cette courbe, est égale à zéro.
Pour démontrer ce tliéorrrue Jondauiental, dû à (^aucbY^ nous
établirons d* abord cpicltpies ieuiniCïi :
i" Les intégrales f flz, i zclz^ prii^es le long d'une courLe
fermée quelconque, sont nulles. En ellet, d\i|irès la délmiliori
même. Tin tég raie / dz^ prise suivarjt un c lie m in quefcooquc entre
deux puinls j», z^, est égale à :;, — j^^, et cette intégrale est nulle,
si le cbeuïiu e^t fermé, puisqu'on a alors Zi = z»* Ouant à riiitt-
grale / zdzj elle est égale a la soiunie de deux intégrales curvi-
lignes
/ s dz = / (^ -+- iy ) { d.r -h idy} —- j ^ djr —y dy — t f V dx --t dy\
mais les deux intégrales curvilignes, prises le long d'une courbe
fermée, soni toujours nulles, car on a sous le signe /des expres-
sions P rf*i? 4- 0 dy. qui satisfont à la condition -- = -^^ < 1, n" 152».
^ ' ' * ôy dx
2° Si Ton décompose Taire limitée j>ar un eoulour quelconque C
en parties ]dus petites par des courbes transversales menées d'une
façon arbitraire, la somme des intégrales 1 /{zjdz prises dans le
mérae sens le long du con Lotir de ebaeune de ces parties est égale
ËGH\LES E.VrBE DES
jmegralr j f{^z)ch prise le long du cnnlour LoIbI i\. Il esi clair
en elîV't que cbarjue portion des courbes auviliaires LracL'CS sé]>are
deux. jM^'gions cou ligues et doit être parcoiirne deux loiï^i dans des
[sens opposés. En ajoutant lyutivs les intégrales, il restera donc
seulement les intégrales prises le long des arcs du contour, doni
la somme est Tîntégrale / J{z)dz,
Cela pose, imaginons rjue Ton décompose Taire A, d\ine part
en parties régulii^res qui seront des carrés ayant leurs côtés paral-
lèles aux axes Ox, Oy^ d'autre part en parties irrégulières qui
seront des portions de carrés dont une partie serait en dehors du
Fig. 65.
c
/.
^""^
>>^
/
_
ir
~^A '
fZ
1
— f_
\
\l
*^ ''
' l
<^
//
^\
4-
^^
-y
Hoiir C Ces carrés n*ont d'ailleurs pas nécessairement te même
côté* Par exemple, on peut imaginer que Ton ait d'abord tracé
drinc réseaux de parallèles à Oa' et à Oy, la distance de deux paral-
lèles voisines étant coiislante et égale à /^ puis qu*ou déeoinpose
quelques-uns des carrés ainsi obtenus en carrés plus petits par de
tiùtifelles parallèles aux axes. Quel que soit le mode de subdi-
vision adopté, su[)posoDs qu'il y ait N parties régulières et N'
parties irrégu Itères; numérotons les parties régulières dans un
I ordre quelconque de i à N, et les parties irrégulièies de i à N",
Soieui // le c6té du i'*""" carré, et /^ le ciHé du carré auquel appai-
tient la k^*^* partie ii régulière, L la longueur du contour C et -.1.
faire d^un polygonr qui reni'erme la courbe C à rintèrieur.
Suit aicrf le i^***** carré {fig* 65); Zi étant un point j>ri.s a Tin-
j icrieur ou sur les côtés de ce carré, et z un point quelconque sur
2: -«uni: n**r inu, imu— a me .*• !^e m :anrr ^Jit liii-m^
kr» lien: 'In. -!n u^uui
•*t. t*» ,f Tm»— nu'»* "i "in tr'ri.i-r. i i»^ ia i
'•».^ »îuvu .. ♦^.•» Il ^^xr'\ lui p^eaferme U k"^ '' partie irréipiii*rre.
l
}. — INTÉGRALBS ENTRE DES LIMITES IMAGIÎ^AIBES. 85
ajoutant tuiilesces inégalités, on voit que Ton aura a fortiori,
(9>
f f{z) dz < r, [4 v/a{ Iwr ^ ^^\) -^ ^ Hy\
\ élanl une limite supérieure des eûtes l\. Lorsque le nombre des
carrés augmente indêfiiumenl, de faron que tous les côtés /| et l\
ien<lcnt vers zéro, la somme Sw/-^ -(^j^ iinil par élre inférieure à X,
Dans le second memlire de riuét^alité (9) nous avons donc le pro-
diiil d'un facteur qui ie>le iini par v\\\ fai:tcur T| qui peut être suj>
posé plus petit que tout nornlirc positif donné* Ceci ne peut avoir
lieu que si le premier membre est nul; on a donc
/-
'^(C)
f{z)ds =0,
Pour que la conclusion précédente soit légitime, il faut élre assuré que
Von peut prendre ]<*s «limeiïHirjiiîi, t!es carrés as^^e?, petites pour qu'en choî-
îis^sanl convciiatïlciijenl le^ points Zi ei z\^ les modules de toutes les quan-
lilcsi^, e'j^ soient moindres qu'un nombre positif donné à Tavance f\{^)»
^^ou1^ dirons pour abréger qu'une région limilée par une courbe fermée y,
Située dans la rég^ion du plan limitée par le contour G» satisfait à la con-
«iiiiou ïi) relativement au nombre t^ s'il est possible de trouver à l'iuté-
ueuT iJe la courbe y ou sur ectle courbe elie-nième un point z* tel que Ton
*it constamment
{^)
\f(z^-f{^^-^(z-^)f(^^\^\s-^z:\r,
lorsque z décrit la courbe y Tout revient à démontrer que l'on peut
chùiiir les dimensions dt;s carrés assez petites pour que toutes les
intrtict considérées^ régulières et irrégulières, satisfassent à la con-
" ' ' to ni 3) re la t iv ernent a u no m b re r^ *
^oui établirons ce nouveau lenune par le procédé bien connu des subdi-
vt^on«i successive^. Imaginons d'abord que Ton oit mené deux réseaux de
f**r4ll^lcs aux axes QjCy Oj', la dislance de deux parallèles voisines étant
•"^nsiHnte et égale à /. Parrui les parties obtenues, les unes peuvent satis-
'^'^c à U condition (x), lamlis que les autres n'y satisfont pas. Sans rien
f^tiaii^t^'f (mx parties qui satisfont à la condition (a), nous partapjerons les
*utrfs en parties plus petites en joignant les milieux des côtés opposés
'^'ïQï les carréâ qui forment ces parties iiu qui les renferment. Si, après
Cette nouvelle opération, il reste des parties ne satisfaisant pas â la con^
""ion j a }, nous recommencerons la même opération sur ces parties, et
'•^f*! fie suite. En continuant de la sorte, il ne peut se présenter que deux
V) TranMaeHons of ihe American Mathemaiical Society. Vol. t, itiOo, p. i^.
«6
rAtMHTWE XIV.
lONCTIQNS ANAUTIOLES H VPWES «.AlCIIV.
ras; ou bien, on arrivera à n'avuir que des régions qui saLisfonl à ïkt con-
dition (a), et alors le lemmf s<»ra démontré, ou bien, aii<.si loin que l'on
aille dans la suile des û[iérarions, on trouvera toujours des partie*: qui ne
satisfont pas à cette condition.
S'il en est ainsi, il faudra qu'en subdivisant indéfiniment par le procédé
indiqué Tune de* parties régulière* ou irréi^uïiéres obreniies après la pre-
niiëre division, on n'arrive jamai? h des rëf^ions saLisfaisanr toutes à la
condition (st); «loit Aj cette partie. Après la seconde subdivision^ cette
partie Ai en renferme une autre Ai, qui ne peut pas non plus être subdi-
visée en régions satisfaisant toutes à la condition (ah Le raisfoinement
pouvant se continuer indéfiniment^ nous aurions une suite de régious
A,. A,, A, A„, ...,
qui sont des carrés ou des portions de carrés, dont chacune est comprise
dans la précédente, et dont les dimensions tendent vers zéro, b>r$que n
auj^m^ute indérininieTit. Il ) a donc un point limite z^ .situé à rintérieur
du Contour C ou sur ce contour lui-ménjc. Puisque, par bvpolbése, la
fonction /{ :i ) ailmcl une dérivée y'( .3^1) pour z =^ Zq^ fin peut trouver un
nombre :; tel que Vnn ait
pourvu que |^ — -,>| soit < p. Soit e le cercle de rayon 2 décrit du point «y
comme centre* A partir d'une valeur de n asseï grande, Taire A^ sera inté-
rieure au cercle c et Ton aura pour tous les points du contour de Taiie A,,
D^aîlleurs il est clair que le point Zt^ est à l'intérieur de A,, ou sur le con-
tour; cette aire devrait donc satisfaire a la condition ( a ) relativement à t^.
Nous sommes par conséquent conduits à une roui radiction en admettant
que le îcuime n'est pas exact.
Le théorème sVHeiid iiussî aux cûiUr>iirï> forrïiéî^ de* plusîeui^s
courbes fermée?; distinctes^ nioveniraiil 11 no coiivciilion cnnve-
nal>le sur les sens de parcours, (^nnsidérnns, par e\cn>|de, une
fonction y*(-:ï) holomorphe ù l'inlériein^ de Faire A liniilée par la
conrbe fermée C et les deux courbes intérieures C\ (>", et sur ces
courbes elles-mêmes (Jig' 66). Le contour toi «il F de IVire A est
formé de ces trois courbes distinctes, et nous dîrous que ce con-
tour est décrit dans le sens direct f|unud oti [îiisse a j^auchc l'aire A;
les flèches in di<| lient stir bi li^^ure le sens du piii cours direel pour
cliJicune des courbes. Alovenuaut cette cou vent ion, ou ;j toujours
/ /( z ) iiz = o»
I. — INTËGnALRS ENTIlt: UKS LIMITES iMAHrXAlRES. 87
rintégrale éUnt prise le ton^ du contotir lotal dans le sens direcL
La démonstralion donné*? [lonr une îiire ii un senl conloiir s'ap-
plniut* enrnrp ici; on peu! aii<;si ramener ce cas an nn^ci^flenl, en
riieoant les transversales ah, cd, ol appliqnanl le théorème à la
courbe fermée abmbandcpcfJqa (I, n'* IdH)*
Il est qaelf|uefo!s cHiiimode dans les îi|>pHcalions d'écrîre la
for mule précédenle
f /iz)dz^ f f{s)d3^^ f f(z)ds,
les Iroîs intégrales élanl |>t"iî^e> alor:* dan^ le même sens, e'e^l-
ii-dire que les deu\ dernières doivc^nl. être prises en sens inverse
de celui indrc|né par les llèches.
Kevcooiis à la fjueslion proposée an début de ee paragraplie;
Fi g. 66.
^^
^^d
la réponse esl maîntenaul bien facile. Soîl/\:^) une fonction holo-
fiiorplic dans y ne ré^non A, Au plan; étant donnés deux che-
itns AMB, \iNB, ayant mêmes extréniité?>, et situés lout entiers
ifts celle région, il** donneront la même valeur pour Tinlé-
^ale i f\5)d^^ pourvu que la lonction /'(^) sait holomorphe à
rint^eur de la courbe fermée formée par le chemin AMB, suivi
du chemin BNA. (Nous supposerons pour li\er les idées, que celle
courbe fi*rnn*e ne présente pas de pninï doidde.) En effet, la somme
le* deux intégrales le long île AMB et le long ile BMA étaiit rjulb*,
c'est que les deux intégrales le long de AMB et le long de ANB
soDl égales. On peut encore énoncer le réïinltat comme il suit :
iieujc c/tctnins AMB ei ANB, tryanl les mêmes exircmités don-
ifini la nt**me valeur pour r intégrale i f{z)dz^ si ton peut
88 CIMI'ITnE XIV. — FONCTIONS ANALYTIOt'KS t>*APfti:S CAICIIV.
passer de fan à i^ autre par une déformation continue sans
rencontrer aucun point on ia fonction cesse d'être holomorphc.
Cet i^înoncH s'tippJîc|ue alors m^me que les deux chemîriîî auraienl
un nombre i|iieli anqite de poinrs cominiins, outre les deux oxtn'-
mites (1, n'* 132). On en eonchil que, lorsqii*une fonction /"( 5)
est holoniorplie dans une aire limitée par une seule courbe
fermée, rinlégrale t fiz)dz^ pri$e le long^ d'un con lotir fermé
queleonque si lue dan si celte aire, est égale à zéro. Maïs il ne
faudrait pas élendre celle conclusion au cas d'une aire liiTiilée par
plusieurs courbes fermées distîncles. Considérons, [lar exemple,
une fonction f{z) liolnniorfdie dans la couronne comprise entre
deux cercles concentriques C, C\ Soit O' un cercle ayant le même
centre et compris entre Cet C; l'intégrale 1 f(z)dz^ prise le long
de C", n'est pas nulle en général. Le ihéorcme de Cauchv prouve
seulement que la valeur de cette intégra te reste la même, quand
on fait varier le ra^on du cercle (/ ( ^ ).
(*) Le théorème général de Cauchy est encore vrai, sans; qu*il soit nécessaire
de supposer lV\îïitence de la fonction /(z) en detiors de l*aire A timitée par le
contour C, ni IVxistencc d'une dérivée en cliaque point de G. Il suffit qae la
fonclion /(z) soiL holoniorphc en lout point de Taire A^ et €ùntinue sur fe con-
tour C^ c*est'à-diie que fa valeur /(Z) de la fonctîou en un point Z de C varie
d^iine manière ionUnue avec la po^^ition du point Z sur ee contour, fL que la
différence /(Z) —/{z)^ où z est un point intérieur, tende uniformément vers
tàto en même lemps que fZ — 5[. Eu effet» supposons d'abord que loule denii-
droite^ issue d'un point déterminé a de A, rencontre le contour C en un seul
point* Lorsque le point z décrit C, le point aH-0(x — a) (où 0 esl un nombre
réel compris entre o et i) décrit un conlour C* sîlué dans A. La diffcTence des
deux intégrales, le long des contours C et C\ est égale iï
-'tc^
et l'on peut prendre la difTcrence j — 9 asses petite pour que [cl soit inférieur
À tout nombre positif donné, car on peul écrire la fonclion sous le signe l
LMntcgrale le lactg de C étant nuUe^ on a donc aussi
L
fiz)dz^o.
m
Dans le cas d'un coutour C de formi* quelconque^ un remplacera ce contour
par une suite de contours fermes remplissant la condition précédente) en menant
des transversale^ convenablement disposées.
I. l\TÉGR\I.K!5 KNTRE DES JJMITIIîî ÏMAGIXAIRES. 8g
^91. Extension des formules du calcul îutégraL — Soity(3)
une fonclion holomorpfie drms une aire A liniitëe pfir un civutour
si m pie C. L' i n t égru le c f é fi n i €
«t»(Z)= f fiz)ds,
prise depuis on poiul fixe ^^ jusqu'à un point variable Z suivant
uncliemin siUié dans r^ire A, est, d'après ce que nous venons de
voir, une fonction bien Jélennint^e dtî la liinilc supérieure Z.
Moiia allons monirer que cette fonction *1>(Z) esl aussi une fane*
lion holornorphe de Z dont la dérivée eêi/{X), Soit eu effet Z -f- A
011 poiïil voisin ; notis avons
^z^A
et tious pouvons sup]ioser celte dernière ialéj^rale prii^e suivant le
segment de droite qui joint les deux, points Z et Z ^ h. Si les deux
poinls sont Irès rapprocliês, /(w) diffère très peu de /(Z) le long
de ce clieinin, et Tyii peut écrire
l|é(âDt moindre que tout nombre |>osllirdonné y^ pourvu que lh\
»oit assez pelÎL 11 vient alors en divisant par h
^fZ" h) --4»(Z)
-fil)
le module de la dernière intégrale esl inféiienr à vi |AL et p:ir suite
ie premier membre a |)our liuiiteyYZ) lorsque h tend vers zéro.
Si Ton coniiaîi déjà une fonction F(Z) ajanl pour dérivée /(Z),
fcs deux fonctions f^(Z) et F(Z) ne diffèrent que par une cori^
sUnte (n'* 274; note), et Ton voit que la formule fondamentale
[du calcul intégral s*étend au cas des variables îma*;înaires
(ic»)
/■>.
)ds^¥(so -F(5o).
^etle formule, élal>He en supposant que les deux fonctions /(^j,
'(5) sont liolûmorplies à Tintérieur de A, est applicable a des
irconstances plus g^énérales. Il peut se faire que la fonction F(5),
"00 les deux à la fois,/(:?) et F(::), admettent des déterminations
gô rin(>[TtiE \iv. — fo>ctioxs 4XAlythjues d'après ciuchy.
multiples; l'inlég^rale a un sens précis pourvu i|ue U'choîjïin flio-
tt^gralion ne passe jmr aucun des points critiques de ces fonctions.
Dans l^jp|»liritlion de hi formule, SI faudra choisir une détermina^
lion initiale F(^ti) de la fonction |iriruilive, cl suivre ta variation
continue de cette fonction lorsf[ue la variable z décrit l-e chemin
dMnlégraliorî ; de plus, %] /(^z) est elle-même une ronctioii multi-
forme, parmi les déterminations de F(3), il faudra en cluiisir une
dont la dérivée soÎL égale à la détermination prise pour /*(:;),
Toutes les fois que Ton peut enfermer le chemin d'intégration
à l'inlérieur d\me aire à contour sijnfïlc, où les branches consi-
dérées lies deux fonctions y(v), l* ( :^ ) sont lioloiucu phes, nous
pouvons ciinsidé^rer la formule connue démontrée. Or, on peut
toujourSj fjuel que soit le chemin d*iutégratiou, le décomposer en
plusieurs arcs pour lescjucls la condition précédente soit remplie,
et appliquer la formule (iu) à cliacun d'eux séparément. En ajou-
tant les résultats^ on voit que la foiuiule <isl générale, pourvu
qu*on rap[djque avec les précautions nécessaires.
Soîtj (mr exemple^ à calculer Tinlégrale définie / z^Ulz^ prise
r.
suivant un ehemiii queh'ouquc ne passant [>as par I orjgrne,
m étant un notubre réel ou complexe difïereut de — i. \jnii fouc-
tion primitive est - — > et la (brmule générale (loj devient ici
5'« dz =
jî'«+i_jîyi+
pour lever taiuLiguïté que présente celle formule lorsque ttt n'est
pas un nombre entier, écrivons- la
r-
;'" dz ^
^\m-k-hL91iiSi\ ^(ii»-l-t)Loii;»t
La valeur initiale Log(5„) étant choisie, la valeur de 5'" est
fixée par là même tout le long du chemin d*intéj;ration, ainsi que
la valeur iinale Log(vi ). La valeur de rinlégrale dépend a la fois
de la valeur initiale choisie pour Log(-3o) et du chemin d'intégra-
tion* De inéiue, la formule
s:
fis)
^-- h''iî[/(-lO-bOg[/t 4^0)1
l
ne présente aucune difficulté trirUerprélalHni, pourvu <|uo le long
du chemin d'intégration la îoucùfyn /{z ) soit cnnllnuc ^^l ne s'iïn-
nule pas. Le |Hinit u ^^f{z] Aviixl dans son plan *in are de courbe
ne passant [>as par l'origine, et le second membre est égal a la
variation, de ho^{u) le long de cet are de ronrbe.
Observons encore, sans qu'il soil uércssidre d^y insister, que
la formule d'intégration par (>arties, étant une conséquence de la
formule (lo), sVHend par là niéine aux intégrales de fonctions
d'une variable complexe.
29î2, Autre démonstration des résultats précédents. - Les prn-
priélés des iotégrales j f[z)dz offrent une grande analogie avec les
propriétés des intégrales curvilignes, où la condition d'Jntégrabilité
csl vérifiée (I, n" 152). Riemann a montré en elFet que le théo-
rème de Cauchy se déduisait imun'diatement du théorème ana-
logue relatif aux inLéjj;rales curvilignes. "Sml f{z } = X -r /Y une
fonction hôlomorphe de z à Ti^itérieur d'une :ure A à cotJtonr
**unplc; r intégrale |>rise le long iViiu contour fermé C sittié dans
celle rtirc est la somme de deux intégrales curvilignes
f /(Zfdz^ f Xdx^Y ciy-^i f Y dx -r \ dy,
fit d'il prés les relations qui lient les dérivées des forjciiuns \, Y,
dx
dY
rc* ticiiv intégrales curvilignes sont nulles (') (I, n'* 152).
lien résulte que l'intégrale / f{z)iiz^ prise d'urj puint fi\e Z^^
jusqu'à un point varialjle z^ est une loncliou unilbrine ^{z) dans
/aire A, Séparons la partie réelle et le coefficient de i dans cette
fonction,
^< ^ ; — V(x, y ) ^- f Q( r, y),
P<jf,jr;= / Xdj^-Ydy, Q(^,J^l=/ Ydx^\€ly\
(•) tl est  remarquer que la ilémonsiraltd ri de Rieiiiaun suppose ta continuité
y , . . 6\ ù\ , , , , ^,
fis ùv •'
ga ciiAinTHE \\\\ — fonctions analytiques I> apkes cauciit*
les foncllnrià P vi Q ad met Le ni les dérivées partie II es
4/P ^, c^Q ., ôQ
Y,
X,
àiT * dy ' tir 0}'
qui satisfont aux conditions
£P _ dQ ^ _ _ ^
Par conséqueol, P -H iQ est une fonelîan liolomorphe de z dont
la dérivée est X -i- /Y, c'esl-à-direy'{ 3),
Si la fonction /(z) est discontinue en un certain nombre de
points dans A, i! en csl de même de l\ine au moins des fonc-
tions X, Y, et les intégrales curvilignes P(j:, j'), Q(^, >"j admet-
tent en général tics périodes provenant de lacets décrits autour des
points de discontinuité (!, n" 153)* Il en sera donc de même de
Pintégrale / /(:;) fh* Nous reprendrons Tétude de ces périodes^
après avoir approfondi la nature des points sintj^uliers de f(z).
— l
nou« avons, en séparant ta partie rceJlc et îe coeffi citant de f.
X ^ '-Vof ^^'> "-'j.u.
3f cLr ■+- y dy
-t- 1
^ xdy — ydr
La partie réelle est cgale û '-log{jr'-hjK')j *\^^^ 'ju^ *^^it ^t- chtiiiin suî\i.
Quant au rot^fficienl de i, nous avons vu qu'il admet Ui période 7.T.; il
est égal à Tanj^le clonL a tourné le rayon vecteur joignant Toriglne au
point (:t,y), ÎNous reirouv(His hum les diverses délerminariuiis de Log(-2)»
IL
iNTEGK\LE UK CAtlCHY. - SERIES !>E TAYLOB ET DE LAURENT-
POI^TS SINGULIERS. - RÉSlDt S.
Noiis allons mainlenanl exposer une suite de résultats nouveaux
et imporlantSj f|ue Caiichy a déduils de la considération des inté-
grales définies prises enlre des H nulles imaginaires.
293. Formule fondamentale. — Soit /[z) une fonction liolo-
morpbe dans une aire tinie A, limitée par un contour F^ formé par
11. — IXTKGHALE DK CALCJJV. • 9^
une OU plusieurs courbes fermées disiirnies, el coQlfnue sur ce
[conlour lui-rnéirie» Si x est un [îoIiU ^ ' » de Taire A, la ronetinn
esl liolamorphc daoâ la même réj,non, sauf au poiul 5 =: JC.
Dii point X comme centre, rlécrivons un cercle v de rayon p^
silué tout entier dans Taire A; la fonction précédente est alors
holoniorphe dans la région du plan limitée par le conloiir F et le
Fig. 67.
@^
Q
\\
<^crcleY, ^^ '**" P*-'^*^ '*^^ appliquer le llicort^^uie général (n" 290),
Supposons, pour fixer le* idées, que le contour l'soit composé de
^«^"ux courbes fermées C, C {Jig' T>^); nous avons alors
*^(Ci ^—^ J<C1 -'-^ ..'y, ^ —
'^» h'fiis inlégrules étant prises dans le sens indiqiu^ par les tièclies,
ce rpj on peut encore écrire
r f(z)dz ^ r /uuiz
pgrale / désignant l'intéf^ralc prise le long du contour total F
dans le sens direct. Si le rayon p du cercle y est très petit, la
valeur de /{^) en un point de ce cercle dilTèrc 1res peu de /{^)y
vmé
Jy-
V\ Dattsce qui suit, nous aurons «ouvenlà caiisidL'rer&imultan^'nicnt plusieurs
Utiaillités complexes. Nous les déaigacrons iiicliiréreitj tuent par ks lettres x, z,
A moins que ccta ne soit indiqué, Va lettre x ne sera plus réservée poar
ner uue variable réelle.
I
9< CIlVI'tTRi: Xt\. - FONCTIONS ANAUTIQI7ES I>'aI'RÈS CAUCflV.
|U| clanL Lrè.s peliL Rem plaçons /(;;) par telÎL' valeur* il vicol
/( z ) fiz ^, r dz r B *iz
(it)
Lrt preniièrf iiUugraU- du second membre se calcule aisément;
H Fou pose 5 ^^ .r -h ^^/.^^S elle devient
Lu seconde îiîtégrîik' i — ^ - est donc indépendante du rayon p
de la L'irconfé renée y; d'au lie pari, si |R[ reste in ferle or à nn
uoml^re positif 7k, le uioditle de celle inlégrale esl pïus pelit que
— 27cp = 27rT». Or, puisque Ui fonction y(:;) est continue pour
5 = j?, on peut choisir le ravon p assex petit pour que Tj soit
aussi petit qu'on fe veuL C^elte intégrale est donc nulle, et, en
divisant par atzi les deux membres de la formule (ii), il vient
{\i)
f(^)
C'est la formule fondamentale de Caueby. Elle ex|>rime b* videnr
delà ronct!yoy"( c) eu un point quelconque :r intérieur au contoui
au moyen des valeurs de la uième fonction tout le long de ce
contour.
Soil X -r- àx un point voisin de x, que nous supposerons par
exem|ile ît rinlérieur du cercle v de ravon p. >ious avons aussi
/iz^dz
Ax
et par suite, eu rclrriucliaot membre à jnembre, et divisant par Aj
- J? ) ( 5 — dF — XX)
Lorsque Xx Uuà vers zéro, la Ibnctioo sous le signe / a pou
limite — ^ ''— . * i^our démontrer rit^oureusement due l'on a le 1
*iroit d'appliquer la i'ormule de difïereuliaïion habituelle^ ëct
UNTELÏULK iJE ^i.VlCIIÏ.
95
vons celle intégrale
fisjdz
\.r fi z ) dz
X — tkX)
Soient M une liniile supt^rieiire <Je 1/(^)1 le long de F, L la lon-
gueur de ce conloiir, et 5 une limite inférieure de la dislance d'un
poinl quelconque du cercle v a un point quelconque de P, Le mo-
dule de la dernière intégrale esit inférieur à '-^ |Aj?| et par consé-
queul tend vers zéro en même temps qur |Ax|. En passant à la
liniile, on a donc
U3
'Ju démontre de la même façon que la formule habiuielle de
dillérenliation sous le signe / esl applicable à celle nouvelle inté-
griilc(')et à toutes celles qui sVn deduisenl, et Ton obtient suc-
cessivement
cï, iune façon générale»
Nous vojons donc qtip si une loncliun f(z) est hokunorphe
*i*û)i une certaine région du plan, la suite des dérivées successives
'1^ cette fonclion eî*l illiaïilée, el toutes ces dérivées sont aussi des
f<»octions bolomorpbes dans la même région. Il est à renjarquer
i)ue nous sommes arrivés à ce résultai en supposant seulement
laJslence de la première dérivée.
â94. Série de Taylor. Soil /[z) rt ne fonclion koiofnorf*h€
à {intérieur d'un cercle G de centre a ; fa valeur de cette fonc-
{*) La formule générale de Jiiréremialifin sous le signe / sefa établie pb
oin (Ctiap. WIlj.
96 CHAPITRE XIV. ~ FONCTIONS ANALYTIQUES D*APRÉS CAUCHY.
lion en un point quelconque x pris dans ce cercle est égale à
la somme de la série convergente
(/(^)=/(a)-f--^-p?/(a)
H ^/'(a)-r-...H L/U)(a).^....
\ i . 2 "^ 1 . 2 . . . /i "^
Nous pouvons supposer pour la démonstration que la fonction
f{z) est holomorphe sur la circonférence C elle-même; en eflTet,
X étant un point quelconque intérieur au cercle, on peut toujours
trouver une circonférence C de centre a et de raj'on inférieur à
celui de C, qui renferme le point x à l'intérieur, et Ton raisonnera
sur ce cercle C comme nous allons le faire avec C. Cela posé,
X étant un point à l'intérieur de C, nous avons d'après la for-
mule fondamentale
écrivons sous la forme suivante
z — X
(19. bis) fix) =—. f ^— dz;
1
a — {x — a)
— a \ X — a \
ou, en effectuant la division jusqu'à un reste de degré n -î- i en
X — a,
I I r — a ix — <i )'
z — x~ z — a~^{z — a)2 {z—af
(x — a)"- (x — a)'^-^^
{z— a)«-^» {z — x)(z — a)«-^i
Remplaçons par cette expression dans la formule (12 bis),
z -~~ X
et faisons sortir du signe / les facteurs x — a, (x — a)-\ ...,
indépendants de z, il vient
les coefficients Jo, Ji , • • • > ht et le reste R,, ayant pour valeurs
j ^ 1 r f{z)dz j ^ I r f(z>iHz
* -^r.ij z — a ' * iTÙJ^iz — a)
(16) <
^ fiz^dz I r (x—aY^^ f(z)tfz
0*
il r f(z)dz _ I r (or-^Y^\ f(z
X
II. — iNTt:t;iuLK i>K CVHJIÏ.
l»7
Lorsque le nombre n angrnenle indéRnimenî, le reslc H„ leiiJ
rcrs jséro. Soient en effet M une limite supérieure du module de
^f{z) loul le long du cercle C^ R le ravon de ce cercle el r le mo-
dule de x — cï* On al^ ^x! > R — r el par suite < ,,-'^ »
lorsque z décrît le cercle C; le module de R^ est donc inférieur h
vers zéro, lorsque n au^jmeute iudt'lintjnent. II s'enMiît ijuey(x)
est égal à la somme de la série convergente
/(j?) = J^-h J,(jr — a)-4-...-*- Jrt(.r — a)" -h
Or^^i Ton faîl j? = ^/ dans les formules (12), {i3), (i î)j ^e con-
tour F étant le cercle C, il \u'nt
J,-/(a>, Jr=/(rt'
J« =
f^^'Hn)
1.2.
la série obtenue est donc identique à la série (t5), c'est-à-dire à
lasfrie de Taylor.
Le cercle G est un cercle de centre a à Tin teneur duquel ta
foûclion est liolomorplie ; il est clijir que Ton obtiendra le plus
grand cercle salisraisant à celle condilion en prenant pour rajon
la distance du pointez au point singulier de /(;;) le jïIus rapprocb*:*
de fï. Cesl aussi le cercle de convergence de la strie qui est au
>ecotHi membre (' ).
t^l important théorème met en évidence ridentité des deux
deOTnliotis que nous avons dojinécs pour les fotictions analytiques
(D"* tlM el -01). En ellt:!, toute série enlicrc repiéscnte une lonc-
t'oii holomorplie dans son cercle de convergence (n" 266), cl
'n?cr*einenl nous venons devoir que toute fonclioa holomorphe
d^ns un cercle de rentre a peut être développée en série entière
'»rti«»Diiée suivant les puissances de j? — a, et convergente dans ce
^trclt». Rem<irquons aussi qu'un certain nombre de résultats éta-
H* antérieurement deviennent presque intuitifs; par exemple, en
»pli»|iiunt le théorème aux fonctions Log(i -h z) et (i -j- j)"', qui
*<*ol huIoinorpUes dans le cercle de rajon un ajanl pour centre
(') CdU dcrnicre conclusion ciîge, sur la nblure des pf>înls siognliers» quelques
Hpitcttioas «|ui Âcrout duunccs daiià le CUupilre cgub^crc au proIongcuieoL uttii»
G . IL 7
98 CHAI*lTtlE XIV — FONCTIONS ANALYTIQUES 0* APRÈS CAlCHï.
l'origine^ on relroove les l'ortjjules des n"* 271 cl 27;)* Coïisidéronî»
encore ïe quotient dt^ deux sërîes eolic^res '— — -» convergentes Tune
et Taiilie dans un cercle de linun 11; si la série îp(j7) n'est pas nulle
pour j: = o, comme elle est continue, on penL décrire un eerclt:'
de rajon r^Rj ^ rintérieur duquel elle ne s'annule pas. La fonc-
tion — — ' est alors ho loin or p h e dans le cercle de rayon r et par
su île peut être développée en série entière dans le voisinage de
Torigine (1, n* 183). On pourra vériller de même le théorème
relatif a la siibslitution d'une série dans une autre série, elc^^
Remarque. — Soi 1^(5) une Ion cl ion holomorphe à Tîntérieur
d'un cercle C de centre a et de rayon r^ et continue sur ce cercle
lui-même. Le module |/{-)| de la fonction sur le cercle C est
une fonction continue, dont nous désignerons la valeur maximum
par 0]l(r). D'autre part le coefficient a^ de {^x — ^)" dans le
développement dc/(:r) est égal à — /^"^(rt), c'est-à-dire à
/( s ) dz
de sorte que *')n(/') est supérieur a tous les proiluils A^r'" (*).
On pourra prendre 311 (r) à la place de M dans Texpression de la
fonction majorante (L n'' 181).
293. Théorème de Llouville. — Si la fonction f{x) est holo-
morphe pour toute valeur iiiiic de x, le développemenL par la for-
mule de Taylor est valable > quel que soil a^ dans toute l'étendue
du plan, et la fonction considérée est une fonction entière. Des
(*) Les mcgalités (17) sont intéressa ntea^ surtout parce qu'clïes éublisscni une
relation entre l'ordlrc de grdndrur des cocOictenlsi d^unea^ric enli^^rc et l^ordre d©
grandeur de ta fonttiiin ; Ù\L (r) n'est pas d'aillrurs en j^iéntral je plus petit nombre
qui satisfait à ces inégalités^ comme nn le voit imni(^diatcmcni lorsi^ae tous les
coefficients a^sont réels et posilifs, Ces inc^galilés (17) peuvent être ciablies sans
recourir à llniégrale de Caucliy (Mbray, Leçons nouvefles sur t*anaty$e it^fini-
lest mate, i. I, p, 99).
I
11. — IJiTKGKÀLE DE tALCilV. fjf)
expressions obtenues pour les coefficients on conclut ajscment la
proposition suivante, tlne à Lioiiville :
Tonte fonction entière^ dont ta moclide reste inférieur à un
nombre fi Jte M, se réduit à une consianle.
Supposon!^ en cfTet que Ton développe f{.r) suivant les puis-
sances de X — «, et soîl. an le cùelïicienl de (r — f/)". Il est clair
«jne OT^(r) est inférieur à M, quel que soit le rayon ;■, et par
suite l^rtl Cât <1 — • Mais le rayon r peut être pris aussi granti
i\\ùin le veut; on a (Jonc a,i= o, si /i 5 ï j et f{x) se réduit à une
coiutante /(«),
Plus génûralemeol, soil/(x) une fonction entière telle que U-
module de * --- reste inférieur à un uonihre flie M, pour les valeurs
itsdç module supérieur à un nombre positif R; la fonction f{x)
^e réduit à un polynôme, de degré m au plus. Imaginons en
effet t|ue Ton développe y(^) suivant les puissances de x, et
»olt a^ le coefficieut de x". Si h* ruyon r du cercle C est supé-
ricurà R, on a DJl{r)<Z M/*'", et par suite |flfrt| < Mr'^~''. SI n > m,
t^wadonu aa^=^ o, puisque Mr"'~" peut élre rendu plus [)Otil que
tout nombre donné, en cboisisstmt r assez grand,
29(j, Série de Laurent. — Le raisonnement par lequel Caucliv
'icmootrc la formule de Taylor est susceptible de généralisations
ifleiidues. Ainsi, soit f{z) une fonction holoniurplic dans une
"'ouronne circulaire comprise enire deux cercles concenlrîques C,
C» ftjfant pour centre le point a; nous allons montrer que la
^leur f(^x) de la fonction en un point quelconque x pris dans
^Ue région est égale à la somme de deux séries convergentes,
* Uni ordonnée suivan t les puissances positives de x — a, Vautre
^uimnt les puissances positiies de ( ' ).
Nous pouvons supposer^ comme tout à Theure, que la fonc-
Mon/(5)est Koloniorpiie sur les cercles C, C eux-mêmes. Soient
Rj R' les rayon.s de ces cercles et r le module de x -^ ai si O est
t ' I Comptes tendus de l 'Académie des Sciences, lome XVtl. — Voir Œuvres
f/f r.^u,rhx ,'• •rie, tome VIH ; p. ii5.
lOO CHAPITRE XIV. — FONCTIONS ANALYTIQUES D'aPRÈS CAUCIIY.
le cercle inlérieur, on a R'<;/'<R- Du point x comme centre
décrivons un petit cercle y, situé tout entier entre C et C. Nous
avons l'égalité
r f(z)dz ^ r /(z)dz _^ f /(
/(z)rfz
les intégrales étant prises dans un sens convenable; la dernière
intégrale, prise le long de y, est égale à 2Tzi/(x), et nous pouvons
encore écrire la relation précédente
les intégrales étant toujours prises dans le même sens.
Nous trouvons encore, en reprenant les raisonnements du n**29i,
que Ton a
(»9) -^- / , ^ = Jo-h Ji(x -- a) -\- ,. .-^- 5 „{x ^ ay -h ... ,
les coeflîcients Jo, Ji, •••, J/i, •••, étant donnés par les for-
mules (i6). Pour développer en série la seconde intégrale, obser-
vons que Ton a
I I / i \ I z — a
X — a\ z — rt| X — a (x — a)*
(;; — a)«-» (z — ^ )«
(x — a)' {x — z){x — a)"
et que l'intégrale du terme complémentaire
l'Ljç.^ \x — a/ x — z
tend vers zéro lorsque n augmente indéfiniment. En effet, si M' est
le module maximum de/(3) le long de C, le module de celte inté-
grale est inférieur à
M'R' /IV\«
I [W!\n JX ^, MMV /IV\
R'
et le facteur — est inférieur à un. Nous avons donc aussi
r
(20)
/{z)riz __ K, ^ K. K,
21:^"^/^ X — z X — a ' {X — a)' ' ' ' (x — a/*
JU — INTKGRALE DE CArCllY*
It'coerfîcîenl K„ ëlant é^al â Finté^ralc définie
IQl
, (M)
lUuniiinainleoant d'ajouLer les deux développements (19) et (20)
pour avoir le dévc?lopperaenL dçj'(x).
D;ins tes formules (r6) cl (21) f|iîî donnent 1rs eoeffieicrjls J^^
ri K^. nn peut prendre les inlégrale:?i le lon^ d'nn eercle quel-
conque r eoinpris etiLrc C et C, ajant pour ceiifre le [îoiru a^ car
les fondions sons le signe / suol liolouiorplies dans la counonic»
Si Ton convient de fuire varier riridice rt de — oo à -|- oo^ un j>eur
jriors écrire le développemenl de /(jr)
U1)
/<>") = S-'"^-^-^)"'
CoefBcîenl J^ a>anl pour expression, cjacl que soit le
<al)
^remple. — Une mi^me fonction /(t) peut admettre des développe-
•nfttis tout à fail difTcrcuts, suivant la rL'j;ion considérée. FVenons par
♦'ifiiijilc une fraction rfitioanellc /i^)f dont Je dénominateur n'a que des
ricinçs stmpte^ <ïe moduli-s dîWérenïs; «oient a^ b, c, .*., / ces racines
''Wgée* par ordre de modules croissants. En faisant ab^traclion de la
("•nie entière, ffui n'iniervient piis it'i^ ou a
/(^) =
J--1
i*Hïç le cercle de rayon \a\^ .lyant ponr centre ï'oïiginc, chacune des
^nicttt^Q^ simples pcitt être développée suivant les puissances [iositi%'cs
''«r. fi le dévc!oppcnK*nl (]q /{x) esi identirjiie à celui que donne la for-
mttée Maclauriu
p-(î*--7)-(è----;;)'- -{^- -7^)'--
tMrw ti couronne com|»rÎ5c entre les deux cercles de rayons |a| et |^|,lcs
.•* - — — peuvent tHre développées suivani Ich
iufti
^ — ,
CHAPITRE XIV. — FONCTIONS ANALYTIQUES D APRES CAUCIIY.
puissances positives de x, mais —
puissances positives de —9 et I on a
doit être développée suivant les
/(^)=_(B+...^.L^_(«^...H-5l)x-...-(^L_H....^Jl_)
a?" -
A
Aa
-I-...
Dans la couronne suivante, on aura un développement analogue, et ainsi
de suite. Enfin, à l'extérieur du cercle de rayon |/|, on n'aura que des
puissances de —
/(^) =
. -♦- L A a -4- .
U
ka^-^-h,.
\Jn-X
X"'
297. Séries diverses. — Les démonstrations de la série de Taylor et de
la série de Laurent reposent en définitive sur un développement particu-
lier de la fraction simple » lorsque le point x reste ù l'intérieur ou
à l'extérieur d'un cercle fixe. M. Appell a montré qu'on pouvait encore
{généraliser ces formules, en considérant une fonction /(ar) liolomorphe à
Fig. 68.
l'intérieur d'une aire A limitée par un nombre quelconque d'arcs de cercle
ou de circonférences entières (*). Considérons par exemple une fonc-
tion f{x) holomorphc dans le triangle curviHj;nc TQH (///r- 08) forme
par les trois arcs de cercle 1*Q, OU, HP appartenant respectiveinoni aux
trois circonférences G, G', C". iNous avons, a: désij;nant un point quelconque
(') Acta Mathematica, louic I, page i'|5.
INTEGIIALC DE CAICUY.
laa
À rintéricur de ce triangle curviligne,
»^>/'-^i = ^/"
/(s)di
f
fi J ) di
'^^'-V --^
— f
/i^)dz
Le ktriL' de l'arc PQ, on peut écrire, a étant le centre de C,
t i 3P— n (jr —
^ — jp z — a
{z~a)^
mais quand z décrit l*arc PQ, Je module de -^— ^ est inférieur à un, cl*
|»ar suite, le module de l'intégrale
tend irers léro lorsque n croît iudéllrihnL'rii. On a ilonc
/iz)dz
.h.L
r^ J,,-^ ii(T — a)-f-...H- J,tO — rt l'^H-.
coefficients Je» Ji, -.- êtaiil des consianles dont il serait facile d'avoir
Tciipression. Le long de Turc QR, on peut écrire de mènie, b étant le
^ itre de C\
1
1^6
>mme le module de
_1 /j — /yX**
( ^^^ y) ^^"^ ^^i*^ *'^''*^ lorsque n augmente indé-
t, po
f{z)tU _ K,
fîftinienl, oa en déduit^ pour la seconde intégrale, un iléveloppenient de Ui
iatvae
K,
K„
s- — h {x — h)^ "* <j- — è)'»
In irtiii\i* de nièmc, *:* étant l** t'<-nir«; du cercïe T/,
r fizxiz _ L, . L,
' i Ji^)<l^ ^ \n _^ '1
aif'JjKPj ■= — *'' ~3: — e (ar — c)'
Rn ajuittanl les trois formules (a), (3), (^), nous ohlenon^i pour /(t) la
«^otnme de troîd séries ordonnées respectivement suivant les puissances
|»o»iUvC9 de ^ ^ a, de j et de — — • Il est clair que l'on peut Irans-
Jbrinef cette somme en une série dont tous les termes sont de^ f*>nctiouf*
JonticUcs de j?, par exenijde en réunissant les terme? de même degré
-, -• Le raisonnement qui précèdij s'applique quel que
en .r — n.
jr — b X — V
soit le nombre des nrcs de cercle
toi
ciiiPiTiΠxrv.
FONCTIONS AN.VLYTIQl KS D APRES ClUCHÏ.
On peiJl remarquer sur l'e\f*mj»le précédiînl qui* Icî* irors «érîcs i%\
(p), (y) soni encore conver^:€ntcs Jorsque le [loiiit jr est à rinti-nrur du
Irianglr P'Q'R', cl la somme ck" ces Irois st'ries e^t encore épale â l'inté-
) prise le lonjs^ ilu contour du irijnjL;le PQR diins le sens
ilirecl* Or, lorsque le [>oînt x e^l dans le iri.iiigle P'Q'R', la fnnthOn *
est bolomoi |jî*e à rintfrîeyr du tiiiiULrle VQl\ et> par su île, Thitégraîe pré-
cédente est iiiille. Nous obtenons donc de ceUe façon une série de f rac-
lions rationnelles qtii est couvergonle lor<iqu«: t est à l'intérieur de l'uH
des de.u\ triangles PQR» P'Q'R', et dont la somme est é^ale à fi^} ou
à zéro, sttivant que le point x est dans le triangle PQR ou dans le
triant' le FQ'Il'.
En restant dan* le même oiilrc d'idées^ M. Painlevé a oblenu des réduit at>
plus généraux ( * ), Gonâidéron?^, pour rester dans irn cas 1res simple, une
i:ourbe fermée convexe F, admctlant une tangente qui se déplace d'une
manière continue, et dont le rayon de e<»urbure redite inférieur à une cer-
taine limite. On jieut alors, cumme il est bien aiîié de Je voir* faire corres-
pondre à eliaqïii^ fïojiii M de P un cercle G tancent en ce point à Y et ren-
fermant celle courbe tout entière à rintéricur, et cela de telle firçon que
le centre de ce cercle se déplace d*une manière continue avec M. So\iJ'(s)
une fonction bolomorpbe à Pintérieur du contour P et continue sur ce
contour lui-même' dans la for:injle fomlanientale
/(')
/(^)rf^
if>Li X est un point intérieur à P, nous pouvons encore écrire
I I or — a (x — «)«
: — a (4 — a)*
i.^
a j'^^^
I /x — a\»^^
^ X \ i — ai
a désignant le centre du cercle G qui correspond au point z du contour;
a nVst plus constant, ronuiie dans les cas déjà examinés, mais c'est une
fonction continue de z^ lorsque le point M décrit la courbe F. Malgré cela,
"" et . r ■ - i * ^^ ' ,
— ï qiii est une tnuctmn continue de z, reste inlrrietir »i
le module de -
un nombre fixe p plus petit que un, puisqu'il ne peut atteindre la valeur un,
l't, par suite, Pintégrale du terme complémentaire tend vers tcro lorsque /i
iiugmente indifininnent. Nous avons donc encore
it il c?t clair qtie le lerme général de cette sèiie est un poHîioiiie
(*) Sur les lignes slnguliètes des fonctions analytiques {Annales de la
Faculté de Toulouse, i888).
lî. — IXTKGR,VLE DE G\rcin\ io5
rntlçr P^i-rit «^l» fiogiê n nn plus. Ln fonciion /(-r) est donc dtwelop-
p&bie en une série de po/ y nom es à /* intérieur du contour T.
Ln tliêorre des Iraosform niions r^niforiri'^s permet d oblcnir, pour le
ilcvcloppcmenl âc^ fonctioris liolornoiplu??, des séries cFunc «ulrc espèce.
Soli^is) une fonction holomorplie à Finti-rJeur d'uoe aîre A pouvani
**élcndrc jti^quVi l'infini. Su|»|tosons que Ton ^aclie eflVi^iurf lu rrpicsi'n-
lation conforme de l'aîrc A sur l'aije d'un errrie C, de leîle façon fju'à
ufi point de l'aire A corre<poinle nn jioini rlu cercle cl un seul, et inver-
sement; soîl M = ç(s) la fonction analytique qui fait correspondre à
Tatre A un cercle C ayant pour centre le poinl m = o diins le plan des u.
I..or«que la variuLde u décrit ce cercle, la valeur correspondanic de z est
ijfic fonction holomor(>lie de u. \\ en est de même t\e /\ z) qui pciil par
c<m§rquent ùlre dcveloppée en série convergente ordonnée suivant les
pui%<siocc9 de «^ ou de of-), lorsque la variable z reste à l'inléneur de A.
Supposon^f par e\cmple, que Taire A soit la bande indéfinie comprise
entre les deux parallèles y ^= dz a k Taxe réel* On a vu (n" 279) qu'en
ç, I
l^osaot Cl =
-î on fait correspondre à celte bande un cercle de
rayon un ayant pour centre le point « = 0. Toute foneli4>n ./"(«) boln-
rnorphe dans la bande indéfinie considérée peut donc ctre développée
ftaos celle bande en série convergente de la forme
/^') = Va„^^
■ vat
2^8. Série de fonctions holomorplies. — Ln sotïinie d'une série
ii!iifcirmcmeiit convergente, duiit le;^ termes sont des fonctions
luilomorplies de z, est imc loijction continue de ;;, mais on nv
poorrait pas affirnier siuis antre preuve que cette ^^amnie c^t iinssi
uoe fond ion holomorphe. Il faut encore démontrer cprdle adniet
en cliaque point une dérivée unique; cVst ce qu'il est aisé de
r«irc« su movcn de Tinté'^rale de (^auchv*
Observons d'ahord rpi^me série ufiiforinémeut eonvergcule,
•lunl les termes sont des fouctious eoulinues il une viiiialtie com-
plexe ^^ peut être intégrée leruie i\ tcinie connue dtins le ca^tl'uuc
variable réelle. Soit
FC5)=^/,(5)^/H-)M-...H-/,(5)-
anc s^rie uniformément convergente le long d'une courbe AMB,
les fonctions /i(^) étant des fondions continues de z- le lon^
106 CHAPITRE XIV. — FONCTIONS ANALYTIQUES d'aPRÈS CAUCHT.
de AMB. Choisissons un nombre entier N assez grand pour que
l'on ait, pour toute valeur de /2 ^ N,
t étant un nombre positif pris arbitrairement. Le module de la
différence
Dn= f F{z)dz- f /,{z)dz-..,- f fn-i(z)dz= f R«(^)r/^,
*^(AIIB) *^^AMB, ^ (AMB) ^MAMB)
est plus petit que cL, L étant lu longueur de AMB, pourvu que n
soit^N. Le nombre e pouvant être pris aussi petit qu'on le veut,
cette différence D;, tend vers zéro lorsque n augmente indéfini-
ment, et Ton peut écrire
f F{x)dz= f Mz)dz-^ f f,(z)dz-^,..-^ f fn(z)dz^,..,
^'(AMB. «AaMB) * lAMK, * (AMB)
Cela posé, soit
(26) F(5)=/„(z)-f-/,(«)-h...-f-/i(-)-^.-.
une série, dont tous les termes sont des fonctions holomorplies
dans une aire A, et qui est uniformément convergenle dans celte
aire. Prenons un point quelconque x dans A, et entourons ce
point d'une courbe fermée C, située tout entière dans celte aire.
Nous avons, en appliquant la formule de Cauchv à chacune des
fonctions /v( 5),
V =0
mais la série obtenue en divisanl chacun des termes de la série (26)
par z — X est elle-même uniformément convergente le long
de C, car le module de reste inférieur à une certaine limite
' z T
lorsque z décrit la courbe C.
On peut donc appliquer à celle série le théorème général sur
l'intégration des séries uniformément convergentes, ce qui nous
donne la relation
' . / '-^ — d
V{X) = . ! dz — ; /
211/ •/„, Z — X 1T,lJ,„ Z —
V(z)dz
X
Le raisonnemenL empUiyu pltis liaiU(n" 293) s'applique \c\ sans
Fix-^ \r) — Fi:r)
Ajf
tend vers
inodificaûon, et prouve que ïe. i apport
une limile F'(jr) lorsque le module de \x tend vers zéro, Iiani<
qtt! est représeiiU^e par la formule
(aS)
La fonction F(jp) est donc Lolomarplic, et Ton %'erraît de mêiiu'
4|ue la dérivée d'ordre /), Ff"^(j:), a pour expression
p(«»
(JT) =r — ^- / —
r(x; =
»La dérivée d'ordre /? est égale à la souinie de la série oliteuui'
en dilTérentianl n fois terme à terme la séiîe |:>roposée, Déiuoi)^
ironi-le, par exemple, pour F'(.i'). La formule (28) peut s*écrir(*
^Feairia série obtenue en divisant cliaque terme de la série (26)
" par (s — xy est uniformément convergente le long de G, Le
Icrnie général de la série qui représente F'(x) n'est autre que
^■y^(x), de sorte que Von a Inen
F'i j- 1 =/; r jr » ^/; (^) -^. . .-.V;u-
Eo résumé, toute série uniformément convergente dans une
région A du plan, et dont tous les termes sont des fonv fions
tiolomorphes dans A, représente une fonction F(r) hoiomorphe
dans la même région, La déris'ée /?'<^'"*^ de F(c) est égaie à la
somme de la série obtenue en dijférentiant p fois cfiaque
terme de la série qui représente F(5).
299» Pôles* Fonctions méromorplies. ■— Toute fonction liolo-
niorplie daus un ccrele Je centre a est égale^ à rintérietir de ce
cercle, a la somme d'une série entière
(it)i
/(«) = Ao-4-A,(;;— ffi
V,«(5-a)'^-H..,.
I(»8 LJnPÎTIlE XIV. — FONCTJDNS ANAUnQtES H'iPRë^ CACCHY.
Nous dirons, |>aiir abréger, que ïa foncrion rsî régttiière au
point ^T, qui est pour la foncUDa un point ordinaire; nous appel-
]eron> domaine du point a rintérîour d'un cercle C de rayon s,
docrit du point a comme centre, où la formnie (29) est a[)]di-
("iible. 11 n'est pns nécessaire^ d'ailleurs, que ce soit le plus j^rând
cercle a l'intérieur duquel hi formule (2(>) ii lieu; le layon p du
ri ornai ne sera souvent j»rcci5e par quelque autre propri/rté parti -
culière.
Si le premier cnefricient A^ est nul, on a /(a) = 0, et le point a
Cil un zéi'o de h fonction /(s). L'ordre du zéro se définit comme
pour les polynômes; si le dévehjppement de /(«) commence par
un tenue de dc^ré nf eu z — a^
iHi Arn n'est pas nul, on a
f^a) = o, f'{n) = o,
^{z~ay>
m > o,
pm-V(a) = o, /t«>(a);*îo,
et le point <t est dil un zcro d ordre nt» On peut encore écrire lu
formule précédente
îp(5) étant une série entière qui ne s'annule pas poum=^ a. Cette
série étant une fonction continue de Zy on peut choisir le rayon p
du domaine assez petit pour que f{z) ne s'auuule pas dans ce
domaine, et Ton voit ipie la four lion /(z) n^aura pas rrautre zéro
tpie le point a a Fin té rieur de ce domaine. Les zéros d'une /onc-
tion holomorphe sont donc des points isolés.
Tout point non ordinaire d'une fonction uniforme /(z) est dit
un point singulier, Uu point singulier a d'une foncliouy(5) esl
un pfUe, si ce point csl un point ordinaire potir Tinver^e ^ «
Le développement de yr— suivant les puissances de z — « ne peul
renfermer de terme constant, car le poînl a serait alori un [»oinl
tirdiuaiie )>our /(:;). Sui>posons que le développement commence
|>ar un terme de degré m en :; — c7,
(3<M
j--^(^-a)-*<^{z).
»(w) désignant une fonction régulière dans le domaine du point or,
IXTKGRALK DK C VU Cil Y.
log
Iqoi n*c'st pas nulle pour z ^ a. Ou eu déduit io versement
(3i)
/(^)
^H^)
(^
•a/« 9(5j {4 --ay
'\{t) désignant encore une fauelion régulière dans le doniaîne du
point fi, qui n'est pas nulle jxiur^ == a. Celte fortmiJe [leul s'écrirr
sous
lai
orme rniiiva
ll'UlC
./ù)
(z — ay^
{j^^ar
P(;
«),
lésiguaot par P(v ^ a), coriHue nous le ferons souvent par la
smle.
et Br„y B„
H,
?^ une lonclion re^ulu-ie [luor z^=(ij
ëliint des constantes. Quel ([ties-uns des cocriiciculs Bi, B^,. . .,B,^|_ i
peuvent élre nuls, ni;iis le coenicieut B/„ est certainement dilTé-
rent de zéro; ie nombre entier tn est dit V ordre du pôle. On voit
qu'un pôle d*ordrc m de /(z) est ua zéro d'ordre m pour j—- et
inversement»
Dans le domaine d'un pu le tt, le développement de /(-) se
compose d'une partie régulière P(z — </), et d'un poljnome enlîer
en——-; ce poljnonie est appelé fa prirtie principale Ae f{z) ABn>
le domaine du pôle. Lorsque le /nodule de z — a tend vers zéro,
le module de /(z) augmente indéJJniment, de quelque façon
que le point z se rapproche du pôle. Eu elTet, la fonction *^{z)
ti'vtant pn^ nulle pour z =^ a^ supposons le rayon du domaine asse/^
petit pour fjtie, dans ce domaine, le module de *\{z) reste supérieur
il un nombre posilii'M. En désii^nant parr le module de z — a^ on
^\f{^)\> ~t* ^^ P^^ suite |/("3)| augmente indéiinimcnt lorsque r
lend vers zéro. La fonelîon 'i(5) étant régulière pour 5 == a, soit C
un cercle de centre a à Tin teneur duquel i(2) est holoinorplie*
b<î quotient , ^^"^ est une fonclit>n liolouiui plie pour tous les
^ (s — ay^ ^ *
points de ce cercle, sauf pour le point a lui-même. ^ Dans le du-
•uaiiji; a d*tin i)ôle, la fonction y(^) n'admet donc pas d*auli'e
P<îilt îingniier tpie le pûle lui-njénic; en d'antres termes^ les pôles
^mi dei points singuliers isoles.
Toute fonction uniforme qni, dans une région A, n'admet pti^
^IWres points singuliers que des pôles^ est dite une fonction
no cLivpiTwt: \iv. — fonctions analytiques d'après cauchv,
méromorphe datis celle région. Une fonction inëroinorplic dans
tout le jdiin pcul avoir une inlinilé de pôles, mais elle ne [>+■ ni en
avoir qiriin nombre fini dans une réj^ion située loiil entière à
dislance finie. La démon si ration repose sur un ihéorème général,
que nous aurons enei>re à invonuer : Si dans une région A, située
tout entirre à dis lance finie, il existe une in/înifé de points
jouissant d'une propriété par lieu Hère, il existe au moins un
point limite dans ta région A, on sur son contour. (Nous enten-
dons pBV point limite loiU poini diuis le voisinaj^e duquel il existe
une iidinîle de points jouissant Je la propriété en question). On
élablil celte pioposition par le [>rocédé bien sonvenl employé des
subdivisions successives. Désignons, pour abréger, par (E) Ten-
senible des poinls considérés, et imaginons qu'on divise la région A
en carrés, ou portions de carrés, par des pnrallèles aux axes ojr,
oyi il V aura au nmins une région A| rcn ferma ni une inlinilé de
poinU de rensend>le (E). En subdivisant de même A^» et ainsi de
suite, on formera une snite indédnie de régions A^, A^, • . * , A,,, . , ,
de pins en plus petites, dont chacune est contenue dans la précé-
denle, et renferme une infinilé de poinls de Tensemble. Tous les
points de A„ lendent vers un point limite Z, situé à rinlérienr ou
snr le contour de A, Ce point Z csl nécessairement un poinl limite
de ( E), pTiisfpH% à rinlérienr d\in cercle ayant Z pour centre, il y a
lutijotirs une inliaité de points de (E), aussi petit que soil le rayon/
de ce cercle.
Cela posé, supposons que la fouctionyï:;) soit nnhomoïpbc à
rinlérienr d'une aire A à distance finie, ainsi que sur le contour F
de celle aire. Si elle admetlail une infinité de pAles dans celte
région, il y aurait, d'après le théorème précéderït, irn poinl Z au
moins, situé dans A on sur F, tlans le voisinage duquel il y aurait
une itdinité de p61es. Ce poijU Z ne pourrait élre ni un pôle, ni
un point ordinaire. Ou voit de même que la foncliun/(^) ne pcul
admettre qu^un nombre fiât de zéros dans la même région. Nous
pouvons donc énoncer la proposition suivante :
Toute fonction méromorphe dans une aire A, tout entière
à distance finie, et sur son contour, n'admet dans cette aire
qu'un nombre fini de zéros et qu'un nombre fini de ptUes.
Dans le voisinage d'un point quelconque a, une fonction iiiéro*
II. — INTÉGRALE DJi CAIOIIY. » ( l
inorphey"(5) peut se me tire souîi la foniie
'^(5) ëlant une fooclioo régolit^re qui n'fst pas noile pour :; = a,
l/exposant [j. est appelé l^ordn' ûe f{z) au poiiU a. Cet f>rdre
&l mil, si le point a n'est ni un p<jle ru tm zéro ^onv f{z)\ il est
il à m, si le poiut a est un z«'ro d'ordre m de/(z)^ et à — n^
^i a est un pôle dVirdre n poiir/(:î).
300. Points singuliers essentiels. — Tout point singulier d'une
fonction uniforme, r|ui nVst pas un pôle, est un point sinffitiier
esseniieL Un point sin^^ulier essentiel a est isolé, s'il est possible
Je décrire un cercle C de centre a, à Tintérieur duquel la fonc-
tion /{^) n'ait pas d'autre point singtdier que le point a lui-
inénie; nous nous bornerons |>our le moment à ceu3t-là.
Le théorème de Laurent i'onrnit immédiatement un développe-
ment de la fonction y(^) valable dans le voisinaj^e d'un point sin-
gulier essentiel isolé. Soit C un cercle de centre ^7, à Fintérieur
duquel la fonction /(z) n'a pas diantre point singulier que a;
^oit d'autre part c un cercle concetjtriijue et intérieur à C, Dans
la couronne circulaire comprise entre les deux cercles C et c, la
fonction /{^) est holomor|>lïe, et par suite elle est égale à la
somme d'une série ordonnée suivant les puissances, positives el
négatives, de 5 — r/,
(33;
f(z)^ 2 A,„(-î— «r.
!!e développement est valable pour tous les points intérieurs au
cercle C, sauf pour le point a, car on peut toujours prendre le
rajon du cercle c inférieur à |3 — ft|, quel que soit le poiul :;
durèrent de a^ pris dans C, et les coefficienls Ar,i ne dépendent
pdâ non plus de ce rajon (n'' 21fG). Le développement (33) con-
Ijcfil d'abord une partie régulière au point a, soit P(>s — a),
formée par leâ termes à exposants positifs, d'autre part une série
ordonnée suivant les puissances de — — .
ÀM)
A,
1J3 cuu-rrii;: \ïv. — Foxcrmrîs ANALTTiQtES d'aphés calciiy.
c est \îJi partie pi incipa le ûe /(z) dans le domaine du point sin-
gulier, (k'tle partie [>rincipale ne se rëduil pas à un polynôme,
car le point z = a serait alors un pôle, contrairement à riijpo-
thèse (*), C'est une fonction entière de — -— . En e(Tet, soit z un
point (|uelcoin|ue intérieur an cercle C, à une dislance r du
point a\ la série (34) étant convergente lorsque le module
de est égal à -» elle est convergente lorsque Je module
de est itiférietir à - el, comme on peut supposer r au5>>i
pelit que Ton veul, elle est convergente, quel que soit le module
de • Nous pouvons donc écrire, dans le domaine du point a,
(35) /(^) = f*(^ -«)-+- G (^),
P(,3 — a) étanl une fonction régulière uu point a^ et 0(- )
une fond ion eulitrc i'^\ Je -
Lorsque le module de ;; — a diminue iudéllniment, la valem
de/(::) ne tend vers aucune limite déterminée. D*une façon plu>
précise, si da point a comme centre on décrit un cercle G, ai^cc:
un rayon o arbitraire^ il existe toujours à l'intérieur de ce
cercle des points z pour lesquels J\z) tHJfère d* aussi peu quon
le veut de tout nombre A donné à V avance* (Whierstuass )
-"^"Déi Montrons d^abniJ rpie, qnc!f|iie pelit que soit p, il e^ciste di
valeurs de j::, pour lesquelles on a eu même lemps \z — <^|<C?
!/(-) I >- M, le nombre positif M étant arbitraire. Soit, en ellel,
[1 la valeur maximum du module de la partie régulière P(5
dans le cercle de ravou ;>. Il existe des valeurs de z telles fjuc V\
ait à la fois [j — a| < p, et G ( ^ \ >M-j-ja; autrement
à
(^) Poui< irouljh>r aucune hypoUicsef il faudrait «usst examiner le csi% ot
dcvctofi|iL*mc(iL de /(•) à l*ioU'rîfur ilc C oc rpnftrinc que des ptiissanci'
livcs de ;; — ^, U vairur fia) de la ronction au piiinlrt cUi-t lîifTcrcnle du li-n
iodcpeudaiii de ^ —a dariî la série. Le point * — a senitt pour/(*) un fmtM
d€ disconlifiuilé. Nous écarteroits celle singularîléf d'un caruclêrc tout a
urlînciel {voir plus luin, Ctiap. XVI).
' 1 VoiH désignerons '^V.yfi'^LiittTi ffji B ji Jtflfii^"'^* '^^ cnti
oJule de la fonctioii enlicre G(^) i-eslerail loiijiHjrs ijiiVrieni- A
fie çerlaiiie limite, qui serait égale à M -f- jx, ou au mavimnni du
Iule de G( — ) à re\lërîi'nr dti rrrile C de rayon o, ri,
\^ — «/ ^ »^
'après le lliêorèmede Liouville, celle fonclion entière seréduiruil
i une consliiiilc. I^our les valeurs de z {\m salisfonl aux deux efui-
dilions précédenles^ le modiile de J(^z) esl cerLaîtiemenl suntTieur
il M H- [JL — [JL, c'esl-â-dirc à M.
03risidéron5 inaititenfinL une valeur quelconque A, Si Tequa-
lîon y"( 5 ) :==: A admet des racines à riiiLérieur du cercle C, aussi
p€lit que soil le ra^ou p, le tliéo renie esl établi. Si Téqua-
lioiï/(^>:= V u'aduiel (las une înHnile de racines dans le voisi-
na j;;c du poinl a. on [»eul prendre le r.»von p assex pelîl pour qnVi
I iuliTiuor du cercle (\ de ravon p, av-nil pour centrer, cette éqiia-
lM»u n'ail auciHM* lacijjc. La fonelini» 'zi z) ^^ -^r^ r- est alors
liolomorphe pour Icml point z iolérieur à G, sauf pour le pointer;
ce poiai a ne pent être ipriiri pcnut singulier essentiel pour ^(s),
car, dans le cas corj traire, ce jiotnl a serait un pèle on un poini
' ordinaire pour y*(w j. Donc, d'après ce qu'on vient de démontrer^
tl ciiste des valeurs de z à rinlérieur du cercle C pour lesquelles
ou îi
l?(-'H>
!/(^» a;<
si petit que soil le nondire pnsiiir£.
M'Ue proprit^'te dislingue neltenient les pôles des [>oints sinj^n-
'K'ts essentiels. Tandis que, dans le voisinage d'un pôle, le module
^^ U fonclion /( 3) augnienle indéliniinent, la valeur dey(5) est
^'Xnplèlement inilé terminée pour nn point singulier essentiel.
"■ l*icard (*) a obtenu une propositioii plus précise en montrant
'jWfi truite éqnatji>n yï^) ^ A ail met une iidiuité de racines dans
1^ voisinage d*un poinl singulier essentiel, une exception ne
tl?«iîl se produire que pour une valeur part icu lier e de A.
^tempie* — Le point - = 0 est un poîni singulier cssenliet pour fa
f^' TZ^t -i f- —
• 14
CIJ\HTHE XIV.
FONCTIONS ANALVTlOrES D APIiBS CAtcJII,
♦ f c^{ fiicile fie vèriïjcr que réquation e- = A admel une infinité tle rarine*
«le module inférieur à p^ aussi jielil qu€ soit p, pourvu que A ne soit pas
nul, Soit A = /'( rosQ-H t sinOi, on tire de réqualioii précédente
pour que \i\ ^uil <C p» il suffira que l'on î*ii
Il y il évidemment une iufiuité de valeurtt du nombre entier A' qui sati$-
ff>nt à rctte condition. Dans cel exemple, il y a une valeur eTiceplionncïle
île A, ù savoir A — o. Mais il peut an^^î ariixer qu'il n'y ait aucune valeur
exceptionnelle; tel est le cas, par exemple, de la lonelion sîn •
301. Bésidus. ™ Soîl a un \HMe ou un poiiH singulier e>senl!el
isolé d^iJiK' fonction J{^}' l*roposous*iioiis de calculer ritilé- "
grale / f{z)dz le loiif^ d\iii cercle C de cetîlre a^ traeé dans le
domaine du puinl a, Nous avons la partie régulière P{z — a)^
cpii donne zéro dans ceUe inlégrale. Qrjaiil a la partie princi-
pale G (-,-_-)> on peut Tiiitégrer terme à ternie; en eflet, si le
|)oiut a est uo point singulier essentiel, nu a une série enlière qui
est uniiorméfnent convergenle, L'inlégralr du Irrrtie gruérul
est nulle, si Tex posant m est plus grand que un, ear la runcllon
i)iMmilive — —^ r lenrend la même valeur après une
* l m — I )( 5 — a r" - 1 ' J
la variable a décrit un t lie in in fermé. Au cou Irai le^ si m := ij
riîïlégrale définie A, / ^ a pour valeur '^-r^/Ai, comme
prouve le calcul déjA friil au n" 293. Ou a donc la rorniule
2T:iAi= I /{s)ds,
ipil n'est au fond qu'un cas parlictilier de la formule (2,3 ), don-^
uaut les coelficienls de la série de Laurent. Le coefïieient A< est
appelé le résidu de la fonction /{z) relatif an point singulier a.
Considérons main tenant une fonction /(^), conlinue sur un
ti. — iNTKGftALt: m: nirciiy.
irontoiir ferme \\ cl n ay^uil u l'iiU<'rîriir *le ce lunUoiii" V i] 11*1111
nombre iijii de |joiiils singulier!? a^ //, t', ..., /. Soient \, H,
(4, ....L les résidus eorresj)ondanls; si Ton enLourc chacim dv
ces points singuliers d*nn cercle de ra^un iiilininient petit ^ l'inte-
;;i-ale if{z)dz^ |>rise le long de F dans le sens direct, est égale l\
lii somme des inlé;^rides prises le Inn^^ des petits cercles, dans h-
méniL' sens, et nous avons hi forinnie tiès importante
«3O1
/ /^ 5 ) <i5 = 2 TT i( A -h D -H C ^ . . . -i- L),
<[ot exprime que Vinlêgraie j f{z) dz^ prise le long de V dans
it* ^ens direct f est égale au produit de ^7:1 pet r la iofuffic des
résidus relatifs aux points singuliers de fiz) inférieurs à re
t^oniour. ,
Il est clair tjne le lliéurenic s*ap[)lic]ue iiussi aux contoiii;» V
foriiurs pur plusieurs courbes ferjoêes ilistinctes.
On voit, d M[>rès cela, le rôle iiH|>orlunt des résidus: il est utili'
lie savoir les calculer rupidenient. Sr un point a est un (jolr
^l'orJrr m poiiv f{z)^ le f>roduit (z — a}"^/(z) Qsi régulier au
poitji (i^ t't le résidu de J{z) est évidemment le coefiicienl <ti?
u — fl)*»-* dans le dévelop[>ement de ee j>roduit. La refile se sim-
['l«(ie dtms le eas d'un pôle simple^ le résidu est alors é{j;al a la
l ma le il II produit (^j — a)/{z) pour^-^fi. Le plus souvent, la
loocilt^m y*^ :j ^ se présente sous lu Tonne
' rouclKjns l*{z) et Q{^) étant régulières pour :;==«, et [*{*/)
'***'»iit pas oui, tandis <pie a (»st un zéro simple pour Q(-). Suit
i)^(z — f/)R(r}; le résidu est éj^al au quotient .—- , ou
^rc, comme oïi le \ér!iR" iiuuïédiateuieni, a , -
1} i /t I
m. - APPLICATIONS DES THÉORÈMES GÉNÊUAUX.
Us applicalions du dernier tliéoréme sont innombrables. Nitus
allons en donner queb|ues-im es, se rapportant prîncrpalenient au
qIcuI des intégrales définies cl à la théorie des éipialions.
ïiVi ClIlPIThl: \IV. — KïM :mu>> A.NAUTiQtES b AfHKS CALTIÏV.
Îj02, Remarque» diverses* — Soilf[z) une fojitjlion I elle que le
produit (^ — ff)f(z) ienâc vers zéro, en nié me leiiips que |^ — ee|.
I/inlégrole de eeLle foiicLion le Jon^ irim cercle y, di* centre a el
de rayun z^ ivnd vers xérn iivec 1<* r.ivHii àv ce cerck". Ou (^eut
écrire en ellel
si T, est le ninxinuiui du niodule de(r' — f^)f{ w) le ïou» du cerele ^%
le jriodidc de Tinlé^ride est inférieur ù 'iirr^, et pjir coiiséquiAni
leud vers zéro, [ïuisfuieY, est luî-uiéiut^ iiiliiîiuieiil (Jetît avee p. Ou
verrait de nïéuie (juc, lorsque li* produit (^z ^ a) f( z) teud ver*^
zéro lorsque le module de z -^ n uii^^iuenle iiidéiiiiiinejil, l'iuté--
grale / f[z)dz^ prise te loti-: d*uu eerclt» {\ de centre a^ teud ver:*
* i,e>
ïîéro lorsque le rayon du eercle iiugmeule iudéfiuîuiciit. Ces re-
marques subsfslent, si, au lieu d'intégrer le lon^ de la circonfé-
rence entière, on inlè*;re «cnleuient le loijf^ d'une partie, j)ouivn
(Hie le produit considéré tende vers zéro le lon^ de celle p;irtic.
On a souvcnl à elH^rcher la limite su|>érieure do mtidulc d nnc
iiité^rale déliuie de la loime / /{^jc^d.r. [trise Je long de Vnw
réel- Supposons, pour fixer les idées, <^/ <; h. Si M esl le maximum
du module de /(:r) le long de ce clieniiu, le module de Tintégrale ,
est certaiiounenl i n fér jeu r à M(// — a)\ mais Kn\ a encore un^H
limite, qui est quelquefois plus cojonmdc, %n\ prenant la n<juvelle
intégrale / \f{x)\tij\ Il esl clair^ eu eOel, rjn'nn élénieiit queU
eotifpie de Finti^^^rale proposée a pour module l'élément corres
pondant de la seconde inlégrale (ii" 2HU k
!{03. Calcul d'intégrales définies élémentaires. — L*inlégralr
définie / F(j")f/./\ ou F(x)esL une fonction ratiofrnelle, pris^H
le lon^ de IWe iéel, a un sens^ pourvu que le dénominateur ne
s^annule pour aucune valeur réelle de .r et que le de^;ré du numé-
rateur soit inférieur au degré du dénominateur d*au moins deu\
Il ni tés. De rorigine comjne cenlrej décrivons ua cercle C ide
rayon R assez grand pour que lotîtes les racines du dénominateur
riH
CHiPtTRE XÏV.
rcïNmoNii ANA(,»TiQti-:s i» ai»ri;s cAUtiir.
Ouant au nouveau chemin rrinlégralion, lorsque x croît de o à ar:,
Il V a ri ri h! e z dirent dan*; le î^cns direct le cercle de rayon un ayant
(MMir centre Forigine. 1! suffira donc de calculer les résidus de la
uoiiveïle fonction rationnelle de 5, relatifs atix pôles dont le mu-
flule est inférieur à un.
Prenons par exem|*le Tinlëj^rale / cotf^ ~ -\dx^ qui a
une valeur finie^ pourvu que // ne soit pas nul. Nous avons
col
(■
. /x—n—uî \ V.i'—n— w'i
ou encore
ccit
^/j"_l_ f> ft-hat
-*T«i
Le cliangemenl de variable e^*= z conduit donc à l'intégrale
f z -h c^'^^*^ dz
La fonction a intégrer iidinct les deux |ï6les simples 5 = 0,
z ^ e"*^'", et les résidus correspondants sont — ^ i et H- a. Si 6
est positif, ces deux pôles sont à Tinté rieur du contour d 'intégra-
lion, et l'intégrale est égale à 2iîi ; si ù est négatif, le pôle ^ = 11
est seul a l*intérieur du contour, et Tinlégrale est égale à — aTti.
L'intégrale proposée est donc égale à ±: n:ij suivant que h
est positif ou négatif. Nous allons donner mainleuanl quelques
exemples moins élémenlaires.
;t04. Intégrales défiaîes diirenes. ^ 1" La fouet ion
et
admet li>
«ïoux pûles -Ht el — /, avec les résidus ——r et — — ?■ Supposons, pour
li\cr ]cs idées, m po^hK, et ctmsîdérons le contour furitié d*yne ileriiî-
circoiifiTence de niyon très grand 1^, ayant rr>rif;fiiïc' jitiur centre cl situé*'
au-dessus de Favc réel, et du diaiiièlre qui coïneide avec l'axe récL A Tin-
i(''rj*'iir de ce eonlour^ la lunctioo
f/ntz
admci le seul pôle z ^ i, et l'iii-
irgrali* |iiise le long du contour total est égale à tt*?'"'. Or l'intégrale 1**
louj; de la de mi -circonférence tend vers zéro lorsque le rayon B augmenta'
nKlèfininieîïl, car le module du produit
. ^t
e'**tt le long de cette
(h — -APPLICATIONS DES TIÏEORKME^ CtlNERAUt* il<)
courbe tend vers zt'io. En effet, ^i l'on remplat^e z par R(eosfl -t- f siriO),
on a
cl le module ^-««H*!»^ re^te inférieur à l'unîië quand 0 varie de o à ir.
Quant au motJuIc du facteur -f il esi nul pour i infini. On a donr à
l -^ ^' ^
la limite
f
l H- Jf!
rfx = Tze-f»;
%} Von remplace c'"^-^ par cosm^r -+- l'sin mjr, le coeflicient de i dans fe
|iremier membre est évidemment nul, ear les éléments de l'intégrale se*
*lctrui&enl deux à dcnx/ Gomme on a de plus cos('— mjr)= cosmar, un
|¥riit écrire la formule [/récédente
i^7)
*i* La fonction- — e.^l holomorphe à Finlérieur du contour ABMB^V'iV A
( Jîff* ^) formé des deii\ dcmi-circonfércnces BMB', A'NA, décrites île
Ftg. <î.,.
rorig^ioe pour centre avec les rayons R et r, et des lignes droites AB, B' A'.
On a donc la refation
que nous pouvons aussi écrire
eif§4|aer tend vers 7.éro, la dernière intégrale tond vers — r/; nous avons
t'IO CUVPITRK MV. -- FONCTIONS ANAUTIOIKS I) APRES CALCUY.
I*(5)'élant une fonction régulière à l'origine,
riz
L'NA) ^
•■ (A'NA) '^ «-^(A'NA) « [\-y
l^'inU'graie de la partie régulière P(3) devient infiniment petite avec la
hnigueur du chemin d'intégration; quant à la dernière intégrale, elle est
é«;alc à la variation de Log(5) le long de A'NA, c'est-à-dire à — tzî,
l/intégrale le long de BMB' tend vers zéro lorsque R augmente indé*
riiiiment. Si l'on pose, en effet, z = H(cos6 -4- i sinO), il \ient
f ^iiz=ziC e-IUInOH-/«ro«ee/r)^
ot le module de cette intégrale est inférieur à
Soit a un angle positif inférieur à -; on peut encore écrire
^0 « 0 * a
La première intégrale est inférieure à a; lorsque 0 varie de a à -',
^.-luinO reste inférieur à c-R«in«, et la dernière intégrale est inférieure
à '-e'^'*'*'. Le module de l'intégrale en question osï donc inférieur
à via -h 7: e"*^*'"*. Supposons qu'on ait pris o<a< ~; on peut ensuite
irouver un nombre U] assez grand pour que l'on ait aussi 7re~'^«*'"^<I -- :
\{ étant pris supérieur à Rj, le module de l'intégrale sera inférieur à t, ce
<|iii démontre la proposition.
Eu passant à la limite, on a donc (voir I, n" ITG)
f lir — T.i,
ni. — M"l»U<:VTm>S UMis tiu-iohlmls glneïui \»
VJiî
1" 1/intêgrale d«* la fonclîon otiliL-n* f-' le long du cxnilLHir (KVBO
r.*rmr <les *lcu\ rayoas 0\ cl OB^ faisant tiu angle de 4i'*» et de 1 arc cft:
j;i*n-li* Vil iji^, 70), esl égale à ïéro, ce qu'on j>eul écrire
Lorsque le rii>on H de la circonférence à laquelle appartient Tare AU
Fig. 70.
J'
5<
y^\
/«- ^ 1
0
f A -r
aiiginciile iiidcfinimenl, riiitcgralo le \m\}i de Vum AB icnd vers zéro, Kn
cflTcl, si noy* posons z =. fU cos^ -H isinï h ci-uc iuléj^^rale devient
h r -'
ri son module e**! inférieur à Tinté^rale — J ef~'*'*^*^'r</5. que Ton peut
• t)
répare» en dcn\
Il r * u j ' -
Lor^ique © varie de o à -1 cos^ est supérieur à - - et e~'^**'***^ Oî^l idn*
4 y :i
-!^' .... .... T.n -51
peut ijuiî e ^t, La prcjniere inle^raîe c-^t donc in le ri eu re à --— r yî et,
o
(lidr SMÎtc. IcimJ vers zém Ittr^qne H rruii iudéJininîeiit. Lorsque '^ varie
«le — h — f on a Casino > 1, et la îsceunde inlêj;rale est plu?^ petilc que
ft /• i I
l'Ai CflAFITnK XiV. — FONITIONS ANALY'TIQIES D APRKS CAtCHY,
Qiiprcssîan qui lentl enrorç vcris zéro lorsque R augmente îiidéfirtinienL
Le foog du rayon OB, un peul poser s = p f cosy H- i sïn-^ jt ce qui
lionne e"**— e-'P*. et en faisant croître R indéfiniment, it ^ieiit à la
Il mile (voir ï, n<* 134)
»Hi enrore
Kii égalant les parties réel les et tos coefficients do ^ on obtient la valeur
des intégrales de Fresnel
la variable :r et l'exposant /> sonl réels ^ a une valeur finie pourvu que p
^(i\i positif et inférieur à un; elle est égale au produit Y{p)Y{i — />)(*♦.
Pour évaluer cette intégrale» considérons ta foDction » qui admet un
I -H ^
pijle, le point z == «i, et un point de ramification, le point 5 = 0. Con-
cilierons le contour abmh'a'na (Jig. yr I formé par deu\ circonfé^
renées G et C\ décrite* île l'origine avec les ravons r et p respeciivemeni,
et les deux droites «6 et a' b\ infiniment voisines, situées de part et d'autn*
ira ne coupure tracée suivant ot. La fonction
5/»-»
est uniforme à Tînté-
rieur de ce contour qui ne renferme f|u'un point singulier^ ïe p6lc 5 = — 1;
pinir a elle ver de la déterminer, nous conviendrons de prendre pour argu-
ment de ^, celui qui est compris entre o et Jt-, En appelant R te rê^du
relatif au pùte 5 — — 1, niius avons donc
r 2P-idz
-aiTtB.
Les intégrale*, le long des circonférences G et G', tendent vers zén*
lorsque r croît indéfîninient et que p diminue indéfiniment, car ît en cH
ainsi du produit
f puisque l'on a o </î <\ j.
( ' I II suffit d» remptacer / par
■ dans la formule du bas de la page 5i>
( t, l ). Lit formule (îq)^ démontrée en supposant/; réel, est ciactc, pourvu que
b partie réelle dé p soit comprise entre o et 1.
Le long ile ab, z est ivcl ; pour jïΫjs de clarUr, rcprésenlons-le par x.
L'ar<çument fl»:* ^ étant nul^ ^^-' est égal à la valeur aritlimélîque .t/*^*.
Le long de a ^', -3 c?t encore réel, maïs son argii nient étant a-rr, on a
La ^omme des deu\ intégrales le long de ab et le long de b* a' a dune
•pour limite
dr.
Le résidu R est égal a {—i)P~^i en *iH()iK)iiÉint rargumeot de — i éi;al
>i^
<j*^
tic, c*eât-à-dire à ^i/»^i'ît'. On a done
r ~
:r/''*
f/r
smpi:
306. Application aux fonctions méromorphes* — Ê Ici rit tloii-
nées deux ïoncùons /{ z)^ ^{^)f iloiit linie /Y^) est ni éro m or plie
à r intérieur d'irn cfuttoiir fojriié f^, et Tautre ï^{3) holoiuorphe à
l^inténeur du iiiuhh^- coiiltKif (les trois fonctions f{z)^f*{z)^ î(^)
élaot continues sur le cunloiir C), cherchon;» tes points i^ingtilier.^
de la fonction ^(z) ->/ . inlérieurs à il. Lu poijit a <uii ii\'st ni
ao pAle ni un zéro poiir/*(5) est tvidemnieDl un poinl ordioain^
I M
i:HU>niu: \iv. — konitions vxm,ith>ik*) i> vimKS <;\i(:iiK
pour lîj fonclion '\. ^ cl, par stiile, pour '^1(3) ^^^^-^ • S! un poinl//
i*st un ptile ou un zéro de /(z), on peut écrire, dans le domainr
(te ii' riôînU
;x ilésignant ti'i nombre entier^ piisitif on nëgalif, qui est égal l*
Torflre de la fonction en ce poinl (n" 299)» et tj'(^) élant 11 nr
fonction rë^nliére qui n'est pas nulle pour :j ^^ rt. On endéduil,
en [uruanl les tiérivées lo^aiilliiuiques,
Comme, d*autrc part, on a, dans le doînaine du poinl ri^
le point fi e?ît un pôle du premier ordre |)our le produit o(z) ^ * ^
et le résidu esl égal à [jl-x>(/7); c'est-à-dire à «r'^(a), si le point ft
est un /.éro d^ordre m dey*(:;), cl k — ft'^(a)^ si le point a est nn
[>ôle d'ordre n de /{:^)^ Nous avons donc, d'après le théorèm<'
général des résidus, en supposant tpi'il n'y ait pas de racine de y( 5)
sur le contour C,
i ii>)
( ^ h
a éhint Tun quelconque des zéros dey*(3) intérieurs a C, // l'un
quelconque des |>4jles âe/(Z') intérieurs à C, et cliacun des pôles
et des xéros étfinl conqjté aiilunt de fois que l'exige son degré il«*
niulti|vlicité. La formule ( io) fournit une inllnilé de relations dîs-
lînetcs, puisrju'il suflit de prenrlre [lour^^i:;) une fonction liobi-
morpiie.
Faisons en [>arliculier '^(3)= 1 : la f^Mmute précédente devient
( iU
N et P désignant respeclîvcment le nombre des zéros et le nomln-e
des jjules deyV^) a Tinlérieur du contour C» Cette l'orinule conduit
à un théorème Im|>orlant. En cITet, "v. J est la dérivée de Log[y(5)] ;
|»our calculer tMiitégrale dëliirie du secuiiJ membre de la fur-
mille (4i}t i' suflil donc de conii.iîirc' la variai ion de
lorsque la variable z dikril le routotir (^ dans k- sens diierî.
Miiis 1/"(^)| rcvicnl à ^it \b\Hiv ÎDiliale, landis que ryrgumenl
dey( j) augnientc de '^Kr. Iv éiaiil un unjiibte ciilicr jKisiliron né-
«•riliT. On â dont'
\ - ]• =
■1 77 f
K.
cVsl-à-dire que ht dijfféret^ve N — V est égaie au ifitolienl pttf y.-
de ta variation de f argument de J\z)y io/sf/tfe la varia (de z
décrit le contour (> dans ie sens direrf.
Séparons dansy"(-2) lu [lar lie n'rlli' ^i \e roidlu irnl dr i
lorsque lepcjini v = j -r- }/*)écriï le conlutirCdaus le sens direcl,
le point dont les coordonnées sonl \, \ , [>^u* rii|ipoi'l k un s\slènir
iV^xes reclaii^iilaîres de nvème dii^po^iltuiï (pie les |)reniiers, décrîl
aU:^si une courl>e fciriiéeC,, el il suflînuL cruviiir ira ce û|i|iro\i*
malîvenienl cette eouibe (1,, pour en déduire auîî^jilôt, à la seule
inspection, le nonibre entier K. Il n'y aurait en efTet fpi'â eompler
le nombre de cîrcon lé renées dont a tourné, dans un sens ou dans
Tautre, le rayon vecteur joigrïant au point (X, Y) l'origine de>
ases. On peut encore écrire la formide ( |'^)
comme la fonction ^ reprend lu même valeur après que z a décrit
le cootour fermé Cl, Tintégrale définie
\ ,/Y - Y d\
f
X*-f- Yï
est égale à t;I( ^ ) » le nombre I élanl égal à Tindice du quotient ^-
le long du contour Cl, c'esl-â-dire a T excès du nombre de fois où
ce quotient devient infini en passant de + se a — x sur le nombre
lat) CHAPITRE \IV. — FONCTIONS ANàLYTJQL'ES D AI»RES CACCUI'
clefoisoii il devicDl infini en passant de — oe à -h ac(I, ïV'*77, 154).
Nous ]H>uvoiis donc encore écrire la formule (^3) sons la foriiio
éq!»ivalenle
»-,.„:,(V).
307. Application à la théorie das équatious. — Lorsque Ici fonc-
tion /{^) est clle-niênie holomorphe à riulcrîeur dn conloitr C,
ri n'admet ni pôle ni zéro sur ce contour, les forninles p-écédeiitcs
ne renfctniciiL qnc les racines de l'équalion /(s) = o, qui sont
situées à l'intérieur de C. Les formules (i'i)? (43) el (44) '<^*ï>l
connaître le nombre N de ce?* racines au inojeii de la variation de
rargumenL de/(:;) le long du contour C, ou au moyen de Fiii-
dice de ^^ Lorsque la fonction /(^) est un polynôme entier irn Zy
a coefii* ients quelconques, et que le contour C se compose d'un
nombre lini de segments de courbes unicursales, on peut calculer
cet indice par des opérations élémentaires, cVst-à-dire des muUi-
[)lications et divisions de pois nomes. Soit eu elTet AB un are du
contour que Ton peut représenter par les formules
.v = -^a},
^U),
'^(^) et ♦}(/) désignant des fonctions rationnelles d\in jiaramclre t,
qu'il faudra faire varier de a à fj pour que le poijit (x^ >) décriNc
Tare AB dans» le sens direct. En remplaçant ;; par f{i) -h i*i^{t}
dans le polynoniey(^), il vient
f[ z) =^ lii t ) -i-iW^i f )
l\{t) et K,(^) étant des fonctions rationnelles de / à coefficients
Y
réels. L'indice de ^ le long de Tare AB est donc égal à Tindice de
la fuoction rationnelle — lorsque i varie de a a |j, indice que nous
avons appris à calculer. Si le contour C est forjné de segments
de courbes unicursalcs, il suffira donc de calculer Tindice pour
c bue un de ces segments, et de prendre leur demi-somuH% pour
avoir le nonilne des racines dey*(:;)=^o intérieures au contour C.
Hemarque. — Le lUéorcjne de d'Alembcrt se déduit aisément
des résutlaU précédenls. DéiûotHrons d'abord un leinme, doni
OD se servira plusieurs fois. Soient F(z)^ ^(-) deux fonctions
laoloniorphes à F! ultérieur d^me courbe fermée C, couitoiies
îiur la courbe elle-même, et telles que, tout le long de C, on
iiil |*i»(5)I <C If'X^)! • ^^^^ ces cuodUions, les deux équations
^\ z\ — Oy F ( ;; > -i- 'Ij ( - ) = o
*//!/ le même nombre de m ci ne s à Vin té rieur de C. (Ju peiii
tl'crîrc en eiïet
r,.)-..tM3^^F(.-)[,-^ îlf!h
4m' -^i
lorsque le |iolnl z déirît le contour (>, le point Z ^ i 4- i^-jv J^'crit
iioe courbe fermée slluée lout entière à rintérieur du cercle de
rayon un décrit du poinl Z^i comme centre, puisque Ton w
[Z — il -< I loul le long de G. L^iri^ument de ce facteur revieiii
flonc a sa valeur initiale a[irès *pie la variable z a décrit le cou-
laur C, et bi variation de r^rgunient de F(:;) -h*^(;;) est égale à
\ik variation de Targuinent de F(^)î '^s deux équations 4uil par
lonséquenl U; même nondxre de racines a finLérleur de C.
(#ela posé, soit f{z) un poljnome de degré m à cuel:lici(Ma>
quelconques; nous poserons
Choisissons un nombre positif li assez grand pour que l'on ail
1
Au
H"
loyl le long d'un cercle C de rayon supérieur ù B, décrit de rorigirn:
comme centre, on aura évidemment p <; J . L'équalion /(:^) = m
m dotic le même nombre de racines k Pintérieur du cercle C (|Me
IVqaation F(5)=^ o, c'est-à-dire m,
3I>8, Formule de M. Jenaen. — Suit/^^) une fonction raLToniut^iilit'
«Isns un cerck C de rayon r ayiïtu pour centre rarîgine, holomorplrc n
fi*ayaaC pas de ï.éros sur C. âoicDl aj, «j, ..., a,i les zéros et £»,, 6j, ..., h„t
lc« |iùle* dt: f{z) a l'intérieur de ce cercle, chticun d'eux étant c(ini|ilê
divec Mû degré de nitiltijiltcité ; nous supiiuberuns «le plus «pie roriï:;iiii' ilV.^^i
ni un pùlt; ni un lùvo \iOur /{ z). Tiuus nf>u5 [noposons de caKiiliM l'iiiir^
(.i5)
1= /"wi/<-'i^.
^ iCl
pii>e le Iniiiî rjf C diiris li- *cns tllrcrl ,: nous ^n[»(»ost!rHns, pai' e\eiii|>li',
i|Uij l:i variable z ]>arl du poïiU ; =r /• sui" l'axe rcLd, r.ir^'unïcnt ilc ^i ^ i
avanl une vnl< ur t hoisie à Tavanc*'. En inlégraril |*ar jiaiiies, nous avori^
I 4<» )
la [irt-miùic partie du sctoud uienihro déïîignanl racci'oissemeul dn |>ni-
iluit Ln*^iz)'Lo^^[f{z)\ hyvsqwe. la variable c décrit le cercle C, Si nou-
)iivnnu«. tAXfv fïiiur \alenr luitiale de raigunient. de z^ ccL accroiâ$eiiiciil
= 2triLog[ /(/■►] -+- x-i(n — m) lo'^r^ Un — m]T.',
ISiur culrnlf-r la nouvelle înlégrale définie* considérons le contour
fermé l\ fin nié de la eirconférence G, de la circonférence r décrite «b*
l'orit:iiie avec un ra3"en infiniment petit p, et des deii\ bords infiniment
voisin^ itô, a b' d'une coupure trarée suivant Taxe réel dn point z = z.
au fHiini z z= r ifig. 7j). [ \ous adnietïrons, pour fixer les idée*, que f{^ \
n'a ni pôle ni zéro **ur cette portion de l'axe réel; dans le cas contraire,
il sufJirait tîe tracer une coupure faisanl un angle infinijneni petit avec
l'axe réel]. La fonelion Lo^^ est bolomorpbe à l'intérieur de V et, d*apié>
la formule générale i\M), noii^ avon^î la relation
L'intégrale le long du cercle e tend vers zéni a^^ec p^ ear le p*u-
iluit ^ Log^ est infmimeul petit avec p. D'autre part, *i lari^uiueni de ^
esi nul le long de ah, il c>t égal à ^Ttf le long de a b\ et la stimtuc ilc*
den \ intégrales correspondantes a jiour limite
— / Ji^' ^ f . '/- = — 27:f Log[/(r}] ^ »-( Lng|/io)|,
Il lesie donc
'<rj
dz
^^»Kw:.^)-""-[^'l'
m. — A WMJ CITIONS rVKS TIIKORKMES CKNKHirX. t5l<)
et la formule ( 4*») ilevient
I = a - 1 ( fi — m ) log r
Pour intégrer le long du cercle i\^ on [M'ut |H>serc = rer'? rt foire \arîcr
^ de o à 'jtTT. On lire cJc là —^ = ' c''^ 1 ^<>ii/' - ) = H*-^'***^ R et *P éiaiii <le>
loficltons coiilinuc?^ fie o le lon^ ^lo i]. En r gala ni l*'5 coeffirient«> tie i
«laii^ hi forrmiîf préff''(lenl(% nous ohlcnou* ta fitrjiinli* fie \l . Ji_'n?^cn ( » >
MD -^ f'"logR</= = iog!/(.,)[-KKv/«-"''f^^^l,
f»ù lïC figurent |>ln5 f|iie Jcs lo^atîi lunes in''|M'rli*ns cirv1îii<tîres.
i>or<qti*' lii fonclirïri ^f - ) esl bolomnrpbe à rinlérieur de C, it est clair
que Ton iloit reniffla<'«ir le produîl b^b^, . ,htti P*'*r l'unité, et la formule
•1e%ieiit
4g) ^ i lM;:IU/^ = lo-|/(o>|H-|i>jï| ^^!—J,
lletle relu lion tdfre cela d^întéres^ant i]u"eïlc ne renferme rnie les module*
des racines de fis) intérieures ati cercle C» eL le module de f{z) le loirj^
*lc ce Ccrele cl pour le rcnln* de ce ccrele,
309, Formule de Lagrange. — \a\ iVinuule de La grange, f|ur
nous avons tHablie déjà \vi\v la tiMHljode de Laplace(I, n** 189), peul
siusst se di'inotitri'r Ire?* î»ïsrnïcnl rtu moyen des llieon^nies géné-
raux de Caiich\. \a\ inart^Iie tjue iMMis allons suivre rst due ù
M. Hermile.
Soiiy"(-) une fim€lif>n liulniiiorphr dans un certain domatnf 1)
renrermiint k puiuL a, {^\H\%n\iun\
(J9)
p I 5 ) = ^— a — %fiz)^o.
riû «T'^l lin |iarîiTnèlre vîtrialde, inlnift Ui riicrnc z = a, pour a ^^ o.
Sunpo^ons a^o; s(»il (\ un eercle df rrnlre // et de rajtm r
iilué dans le domaine 1>^ el lel i|»ir Tou *\h, lont le long de ce
cercle. )a/(2)|<;|5 — a\; réi[iinliijn F(;) = ri aura, d'après un
leRimc établi plus haut fn" îi()7), le iulVuio uondjre de racines a
riotérieur dii contoiir C que IV'qnahini z — a = o, c'esl-à-dirc
l|*ï Afin Mathematica, L WIL
,i; n
l3o CHAPITRE XIV. — FO.NCTIONS ANALYTIQUES D'aPRÈS CAUCllV.
une seule racine. Appelons ÎJ ccUe racine, cl soil !!(;:) une fonc-
tion holomorplie dans le cercle C.
La fonction wt-t admet un seul pôle à Tintérieur de C, le
point >5 = JJ, et le résidu correspondant est ^77^-' On a donc, -
d'après le ihéorèine général,
ik;) ^ I r\\(z)dz^ r r \\(z)dz
Pour développer l'intégrale qui est au second membre suivant les
puissances de a, nous procéderons exactement comme pour dé-
montrer la formule de ïaylor, et nous écrirons
z-a-0Lf{z) z-a (^-«)« •"
en portant cette valeur dans l'intégrale, il vient
ou
.. . W{z)dz I r \nz)\^\Mz)dz
Jo= ; / » •••» J/i= i / — f— -
A C w{z)dz I r
; 1 » • • • » J/i = i I
(.5 — a)«^-»
Soit //î la valeur maximum du module de a/(:;) tout le long du
cercle C : m est, par hypothèse, inférieur à i\ M étant la valeur
maximum du module de n(;;) le long de C, nous avons
•2 71 \ /• / r — ni
ce qui montre que ^n+\ lend vers zéro lorsque n croît indéfini-
ment. On a d'ailleurs, d'après les expressions mêmes des coeffi-
cients Jo, Jn ...,J//, ..., et les formules (i4),
Jo=n(a}, ..., J,= ^,- ^ ;[/(a)]"II(a);,
tu. — .%l'»»Ll«;%TlONS JJES TUKOKKMES CKXÈHIIX.
! nnus ohlenmis le développeiiient en scrie suivant
i3i
Sa)
ii(;i
Fi;i
lia'*
<_)ii (M^ul encore écrire retlc formule son^ tinc forme un peti iIjUV—
rente. Posons ïy{z) ^^ *!>(;>)[ i — a/*'(v)], ^iH^z) vl^nV une lonclinn
liûlomirrjjlio il^ns la même région; le [ireniîer membre de la fur-
mule (i>o) ne renferfiiera phis x ei se rédinra à *l*iO* Qnunl au
second tnenibie, remartjuons qu'il i en fer niera dcLix termes cle
degré n en a, dont la somme sera
d*
/i-i
n ! c/d"- 1 '
-t>'««)f/.aJl":.
cl fiuuîi re trou von h b l'ormulc de La^^rauire sous :5a forme Inibi
lue Ile {voir I, n** 189, formule 52)
-= *t»:
- 7 4*'(<*)/(«i
ISous avons »nppoâé que, le long du cercle C, on a |ay"(^)| <I r,
ce qui aura lien t*i |3t| est assez pelit. Pour trouver la valeur ina^i-
luum de \%\y bornons-nuns an cas oiv f{z) esl un polynôme ou une
functloa enlière. Soil ;)ll(/') la valeur niaximum de |/(^)| le lonj;
du cercle C de rayon r décrit i\%\ (>oînt a \nmi' centre; la démon-
slrdtioQ d'applj^|uet^ à ce cercle, pourvu que l'on ail |x| ;)rt (r) < t\
Nous sommes ainsi conduits a clierclier la valeur maximum du
rapport 7^=— — f lorsque /- varie de o à -h x. Ce rapport esl lud
pour #' = o, car si Oïl(r) tendait vers xéro avec /\ le puint - = a
rail un zéro dey(^)» el F(^) seraîl dj\ isible par le facteurs — a\
même rapport est nul aussi pour r = x, car antrcmenl /(j)
serait un polynôme du niemier deirré fn"29i*iV II s'ensuit (lue^^z — —
passe par une valeur ma \i m nui rx^ pour une valeur /*, de /'. Le
raisoanemeiit prouve <jue Téquation (49) admet une racine et une
seule de module inférieur a /',, pourvu que Von a!t [at|<;;jL; les
ce
l32 CII.VPITHK XIV. — FONCTIONS ANALYTIQUKS d'aI'RKS C\UCIIV.
«lévoloppemenls (5o) et (5i) sont donc applicables tant que |a- ne
<lépasse pas a, pourvu que les fonctions \l{z) el<P(z) soient elU»s-
nièmes liolomorphes dans le cercle C| de rayon r,.
Exemple, — Soilf(z) = — ; — ; Fcquation (49) admet la racine
I — V' I — 'À€i% -t- a-
<|ui tend vers a lorsque a tend vers zéro. Prenons II ( c ) = i ; la formule { lo )
devient
(5>.)
v/7-:
-4-00 -4- ae
X„ t'ianl le /i**"" polynôme de Lcgendrc (roiV* I, n** 88, 184). Pour saxoir
entre quelles limites la formule est applicable, supposons a réel et supérieur
il un. Sur le cercle de rayon r, on a évidemment «'^rL(r) = '■ ,
et l'on est conduit à chercher la valeur maximum de '■ , lorsque r
(ci -+-/•)«— I '
croît de o à -+- x. Ce maximum a lieu pour /• = ^/a* — 1 . et ii est égal à
a — v^a*— I. be même, si a est compris entre — i et -hi, on Irouve, par
/•î _|_ I (it
un calcul élémentaire bien simple, que Ole ( r) — — - — .. Le maximum
À ^ \ —a*
, 'y.rJx — a* ,. / ., . , ,
de —r-^ . a lieu pour r = v 1 — a*, et il est e^al a un.
/•*-+- 1 — a» '
11 est facile de vérifier ces résultats. En eiïel, le radical ^ 1 — > ii a -+- ot^,
considéré comme fonction de a, admet les deux points critiques a =i= \' a^ — i.
Si l'on a <t > i , le point critique le plus rapproché de l'origine esl
a - \Ui^ — I. Lorsque a est compris entre — i et -M, les deux points cri-
liques a-^i>J \ — a'^ ont pour module Tunilé.
(.)n trouvera dans le Cours lithographie de M. Ilcrmitc ( i" édition, p. i85 •
une discussion très complète de l'équation de Kepler z — a ■= asin- par
celle méthode. On est conduit à calculer la racine de l'équation Iransccn-
<lanlc f.''"(r — i)= c-''(r-\-\) (|ui est comprise enirc i cl 9.. ]M. Sticlljcs a
nhlerni les \aleiiis
/•, = !, I (jijGj 80 10'2 37734, \^ — o,r,(rj>.7 î M «U > Î9>-
1^10. Étude d'une fonction pour les valeurs infiniment grandes
de la variable. — Pouréludicr une fonction /(;) pour les valeurs
(le la variable dont le module atignicnle indcfminient; on peut
j>«:§er s^^—ft el étudier hi fonction y[ — ] dans le voisinaf^e de
l'origine. Maïs il est facile de sup|)rinier celle Iransfornialion
inleniu'diatre. Nous supposerons d^ahord que i^on peut trouver
UQ nombre posiuf II tel que fotile vaiefir Jinle de z^ de module
Mipêrîcur à R, soit un point oidinîdr*_^ pour /"(w).! Si, de Pori^Mne
t:omiiie centre, avec un ni von égal à R, on décrii un cercle Cj In
fonction y( 5) sera régulièie eu tniii poînt 3^ à dislauce fînie^ si lue
rexléricnr de C, Non^ iippcllerons domaine du point ù l'in/îni
I r«*gîon du plan exlérieure à C
Considérons, eu uiéuie teru|ï.s que le cercle Cj un cercle concen-
lii<[iieC\ de ravun [l'^H. La foucliou y*(c), étanl liolomorpht*
clans la couronne circulaire couï prise eirtrc C el C, esl ♦''gale,
il'ujirès le ifiéorrine de Laurent, à lu somme d'une série ordonnée
•^ ni va ni les puissances eiiiiiTcs, positives et négatives de J,
53;
/<
V A_
les coefficients A_m de celle série sont indépendants du rajon \\\
Ci, comme ce ravon peut être pris aussi grand qu'on le veut, il
S^'cnsnît que la formule (5.'L) s'a|qdirp(e à tout le domaine du point
M rinlint, c'est-à-dire à toute )a ré' 1; ion extérieure k C. Cela posé,
non$ avons plusieurs cas à distinguer :
1*" Lorsque le dévch>|ipenii'iit de J{z) ne reufermr que des
fkdi^sa rires négatives de z.
j\z) = Ao-*- A,
^^i.
l<i fonction y(r) Icnd vers Aq lorsque \z\ augmente iudéfinimeni;
n n d i t q u e la fo n c t i o u /( J ) ^.ç ^ ré g a lié f e a u po in t it i * in fin / , ou
nicore qire ie point à t infini est nn point ordinaire de J{z\.
Si les coefficients A,i, A^ A,;,_| sont utils, A,„ n'étant pus nul.
ie poifii ù i' infini est un zéro d'or ire nt df/{z];
2** IjOrsqiie le dévelopj»emeul de /{Z) conlient un nombre fini
de puissances positives tle r,
r. j^-. B,«^'" - ii„
-* -h . - . -H lîi 5 -f- A^» -4- A I
3=
le premier coenirii-nl lî^,^ n\Hunl pas uuL ie point à /'infini rst
l3i CtUPITIlE \IV. — FOMTlONf? AWLY'TIQIES r> Al'ftKS rAL'CHV.
un pâle (f ordre m de fiz), e1 le polynôme B,„ r'" -J- * . . 4- B| :?
est \z partie principale rchaive i'i ce pôle, Lorsrnie |;| ï*ii*;nu^tih^
îudr'finiiiienl, il en e>l de rrn'-nie rie [/(3)[^ \\c i]ii(^!*|ne faron (jue
la variuLle z se Jépiace;
3" Enfin, lorsque le dêveloppemenl i\t^fiz\ contient une infi-
nilë de puissances positives de z, le point à l' in fini est un point
singulier essentiel de /(z). Lu série formée par les puî-isanees
[>osihves de z re()réseiile nne fonction enlirre G(:;). qui est la
partie prineipale, dans le domaine du point ;* Fin fini. Nous
voyons en particulier qu'une fonction entière admet le point à
ri n fini comme point singulier essenliel.
Les défini trous |»récédentes étaient en quelque sorte imposées
par celles qui asiiient déjà été adoptées pour un point à distance
linie. Si Ton pose en eiïet v== y, » la fonction y(^) se change en
nne fonction àez' ^*^iz') ^zz^fi^-Al et Ton voit immédinteinent que
nous n\Tvons fait f|ue tninsportef' au point à Tinfini les dcoonii-
n allons adoptées ]iour le |)oint ;;'^o, relativement a la fone-
lion o(^z'). En raisonnant par aualoj^ie, on serait tenté d'appeler
résida le coefficient \_, de -:; dans le développement (53), mais
ce serait à lort. Pour conserver la propriété caractéristique, nous
appellerons résidu relatif au point ù l^ in fini le coefficient de -
changé de signe, c'est-à-dire — Ai, Ce nombre est encore égal à
•ATZlJ *
\dz,
l'intégrale étant prise dans le sens direct le lonjj du contour du
domaine du point à l'infini* Maïs ici, le domaine du point u
liulini étant la portion du plan extérieure à C> le sens direct
correspondant f'st le sens opposé au sens habituel. (V^tte intégrale
se n'd
luit
dït'l
''^'^C]
\,dz
IfZt
(l'Og^
•<«:) I
et, lorsque z décrit le cercle C dans le sens voulu ^ rargumeal
(le :; diminue tie 277 : ce qui donne — A| jiour l'intégrale.
[1 est essentiel de remarquer qu'une fonctiim peni fort hien'
Ilf.
\l»l'IJ<:\TtO\''>î UE^ TIlKnni-MRS GKI^KRVUK.
lis
être rcçulîrre à l'infini, ^ans cjue le résidu soÎL nul; pnr exemple,
la fonclion t
Si le
Ivcrîre, (
poini
la ris
à I 111 II ni e^t un p«M<' on un zéro |>nury(^), on [»oiiL
Icd
oniaine df'
/<=)■
oinl ,
-*/»(;;),
I
I
I
jji étant im nomlire rriliei\ |in^tlirnu né;^ahf, (pii est oç^ai k rortfre
«le la fonclion cfiîiiigL' de sij^ne, et o(^z) étant une fonclion ré^u-
lierr A l*infini, fpii n'est pas nulle pnnr ^ r=: xi. On pn déduit
l«T fonction
est encore régtdièrc au [>oîut à Fin fini, mais ?oii
4lévcloppemi?nt rnmmcnce par un terme en --» ou de degré siipé-
rieur. Le résidu de ' J" est donc éj^al ù — ;a, c'esl-à-flire îi Tordre
lie la fonction f{z) an point a rinfini. L*énoncé est le même f|ti<*
pour lin pAle ou un zéro k distance (ItTie,
Soity(5) une fonction tinifornie n^idiurtlant f|u'un nombre
fmi de points sin;;iilierH. [.a ronvenlion <pjï vient d'être faite potir
le point à Pinfini permet d'énoncer, sous nne forme très simple»
le lliéorèmf* général suivant :
Im somme fies résidus de la fonciioti f{z) dans ioui le plan,
y compris le point à Cinfint, est nulle.
l.a ilénionstriUion est i ni médiate. Décrivons de Torigine comme
«:«MUre un errele C rcnfe'rmani tons les points singuliers de /*(:;),
laulrcs «pjc le (mini ;i riulini). IJ intégrale j /(z)dz^ [trise le
1**%' Je ce cercle dans le sens ordinaire^ est égale au jïrodufl
tl^^'iTi/par la somme des résidus relatils a tons les [*oirïls singu-
"«rs tlç/(5) à distance finie. D'au ire part, la mérne intégrale,
r^çi' le long du même eerrle en sens inverse^ esl égale au produit
''*^'^"r par le résidu relatif au point à Tin fini. La somme des deux
*«U'gra les étant nulle, if en est de même de la somme des résidu*^.
CiiucKy api^elail résida intégral d'une fonclion /(5) la somme
^^^ résidus de cette rouctinn pour tous les points singulier s îi
I ili UiAMlUK XIV. — HJNCTI0N9 ANVLïTKJlKS II' A PUES CAL'tlIV,
distance lîïije. Lorst[iril o\ a tjirun oambre liai Je |»uiijts singu-
liers^ nous voyous que le résidu jiiLegral est égal au résidu relatif
îiu poinl à rinfini chiirig;!' île signe.
£'j('ffiph\ — Suit
/UJ =
) ' ( -s I
/Q(^>
P{s) et Q(5) étant deux [>oljiionies, le premier de degré p, \c
î^econd de degré pair ^q. A rcxtcrieur d'un cercle C, de rayon H
supérieur au\ modules des racines de Q(^), la fouet ion /{^) est
un il orme, et l'on peut l'écrire
9(^) ét^iul une fonction régulière à linOni, qui iTest pns null^
pour 5 := 00. Le poiul à rinfiui est un pôle pour /"(s), si p >► q^
un point ordiuairc s'ip^q. Le ré>i<lu sera ceriîiincajcnt nid si y>
est inférieur à ^ — ï •
IV. - l'EUiODES DïiS iNTEiinvLES DRrr.Mrs
311, Périodes polaires. — I/élude des intégrales curviligne?^
nous a révélé rexistence de périodes pour ces intégrales, lors<pie
certaines circonstances se présentent. Tonte Intégrale d'une fonc-
tioa /{z) de la variable coni]>lexc z élaul une somme d'inté-
grales curvilignes, il est clair que celte intégrale pourra auss
posséder ccrlaines périodes. Cousidé*rons d'ahurd une fonction
analvtique /(:;) ne possédant a riutéiieur d'une courbe fermée <i^^
qu^uu nombre fini de points singuliers isolés, pôles ou point^f
singuliers essentiels. Ce cas est absolu meut analogue à celui que^'
nous avons étudié pour les intégrales curvilignes (1, n" !53), et
les raisonnements s'y appliquent suns modification. Tons les clie-
mios intérieurs air contour C *[ue Ton peut tracer en ire deux
points z^^ Z de celle région, et ue passunl par aucun des poir»l^
singuliers dey"(v), se ramènent à nu clieniin déterjniné joignant
ces deux points, précédé d'un nombre quelconque de lacets
crits, en partant de Zq, autour des points singuliers f/,, agi» • .
def(z). Soient A^ , A^, . . . , A„ les résidus correspondants de /*(j&)
l'KHKJllLS DKS INTKIiR\I.K.S IIKFIMES,
'37
rimégrale t f\^z)dz^ pii>o [v {uiv^ du lacet erUoiiranl le poinLûi,
csl cgalc à riz 27ïiA|, et de me me pour le^ au 1res. Les divers.es
valeurs de rint^f^rule i f{z)dz sont \U
iMM (oi»i|>n>cs dans la
kl
l4>rmiile
(«)
£
/\^s)dz ^ F(Z) -hKrJ{miK^^ m-X^-^,
Art),
K(Z) éUnl l^une des vateius de eeUe inlégrale, qtii corrcipuad a
Mndietnin déterminé, et W|, ;?^a, .,. étant des nombres entiers
urliilraircs, positifs on Jir"«;aliis: les jiêifi*de;* snnt
îiriAi, 'jlt.Hs,.,
>T.i\,,
li^ns la plupart des cas, les [Hjînts (t^^ a^^^ . * ., ttft soot des poles^
cl les périodes proviennent de circnilii inlinijuent petits déeriLs
autour Je ces pôles, d'où le nom Je périodes polaires (|U'oii lenr
doiinç urdinairemetil, [»onr les distinguer de |>eriodes d'niie ai*tre
e?"prce tioiU nous parlerons pins loin.
Ail lieu done re|;iun du plan in lé rie are à nne courbe fermée.
'»n f>pui considérer une purlioii cin plan s'étendanl à riiilïm; la
function y^ 2 ) |îcnL alms avoir une in Unité de pôles, et Finté^^rale
uweiiïQuité de périodes. S! le réaidn relatif à un point singulier */
*^«/(-)esl nul, la pérîiKie correspondante est nulle et le point //
C5t aus5i un pôle ou un point sioi^ulier essentiel de Fintéf^rale.
"«"S, si ce réï»idu n'est [>as nul, le point a est un poiut crilii|ut'
•ogirillirnrqne iiour Tinté^Maîe. Si, |>ar exenu>le, k
po
tnt a est %\%v
|»*ile d'ordre m de /(z), on a, dans le dmnaiac* de v.r point,
^m
■ a K'*
( 5 — fl )"
A,f.
fp«r suite*
/
/(-)'/-
im
a y»
rtj t.ntM.
«)
K^i'.
•a)-
■ a }'
'Glatit une conslante r|ui dépend de Fori^iue z^ et du eljeunr
5UIV»
piir I
a variu
Lie
Eo applîqnant ces considération* ;rénéral«s aax fonctions ra-
lî'#rtnelle«, on rend întiiîtif^ un ccrtaîn nombre de résultats bien
connrj«. Aîn«L poor qae l'intégrale d*nne fonction rationnelle
v/it ^Ile-méme une fonction rationnelle, il est nécessaire que cette
intégrale n*;fit pa* de p*friodes. c'esl-â-dire que tons les résidus
*^j\^ui niiU. C^tte condition est d'ailleurs suffisante. L'intégrale
définie
admet nn seul point critique j = /i. et la période correspondante
^sl t-zi: c'est donc dans le Calcul intégral que se trouve la véri-
table origine des \aleiirs multiples de Log *' z — a), comme on Ta
d#^j-j expliqué en détail pour / -f^ f'n* 2ÎI2 ». Prenons de même
Tin lég raie définie
elle admet les deux points critiques loirarithmiques 4-/ et — /,
mais il n*y a qu'une seule période qui est r. Quand on se borne
AUX valeurs réelles de la variable, les diverses déterminations
de arc tangx se présentent comme autant de fonctions distinctes
de la variable x. Nous vovons au contraire comment la concep-
tion de (>.jiicliv nous conduit à les considérer comme autant de
br;iriclies distinctes d'une même fonction analvtîque.
/{emnrr/ue. — Lorsqu'il y a plus <Ie trois périoiles, la \aleur «le Tinlé-
;;ralc 'l/*fîni«î en un poini quelconque z peut être loul à fait indéterminée.
|{ap|M;lon^ «TrilKiffl ce, nrsultal. emprunté à la théorie des fractions con-
tinur* ''; : Klaril donné un nombre léel incommen'iurable a, on peut
loujoiir** iroii\cr deux nombres entier* p el q, positifs ou néi:alifs, tels
qu»! l'on ail ]p — <ya' < £, e élanl un nombre positif arbitraire.
Lr'i. nonibr<:<i P f^ fj élanl cbf>isis de relie façon, imaginons que l'on
forme la «»ijite des miiltifib'^ <le p ->r- q %. Tout nombre réel A est é^al à l'un
de ces multiples, ou compris enire deux multiples consécutifs. On pourra
donr au*si trouver deux nombres entiers m et n tels que 'm -«- ni — A,
•»oit plu<i priii que t. Cela po*é. considérons la fonction
/( - , - _._. u H_ , ' ,
•ÀT,i \z — fi z — h z — c z — a /
(* ) On en trouvera un peu plus loin une démonstration directe ( n* 324 ».
IV. — l'tiitoriKs ïiRs i\Ti:(.n\rj:s j>3:i'jmes* rjt|
//. A. r, r/rianr quntrc ptilc^ ililfrreni^, et «, 3 tlésigurtiil di-s nombre!^ rreU
tncomiJicn<^iiral>lr?. L'inté;*;! aie / /{ z) elz atlinel les quatre périodes i,
J**^ #, ip. SoirnI 1(5 > hi valiiir île rintêgrale i^ri^f' Fiiivcini un rliemin par-
tiriilicr «le «i m j, cl \1 -«- ^/ im iTrifiibie coiiijjlext' quekonque* On peur
tiiujctur^ trouver rjualre noi»bre> «'nti< is m, n, m\ /i' lels que le mrKliile
lé là rlifTérenre
I (\5 ♦ -t- wï H- ;* at -t- M //î' -^ /* ff I — < M -h N f)
%^i%, îiif<'iicur à un uoiulne positif î. Il suffira pour cebi ijiic l'on a\\
î /« -4- « X -^ A I ■:: ï I /II' -+- «' 3 — B I < -,
I
'• j-ic^Mnl ,M -f- Ni — I(^) = A -^ r*n. 11 rst doue pn>sil*le de Ai ire dt'crire
Id varisibic un elieinin réimissnnt deux points donnés \i I avance^ ^,,, c,
l*! C|ue Id valeur de l'inlegrale / f(z)dz pn?e le long de ce chemin iJif-
'♦'r-o d'au»sî peu qu'on le veut de luiit nouihre donne à J'avance, Nous
^*>*c>niMnc foi^ de plus le rôle prépondérant du chemin suivi par la variable
P^*fir la valeur lin aie d'une fonction aualvliqm*.
^12. Étude de rintégrale f ^ 'J ^' — L»- (-aïeul inh'grid
^^f*lit|ue di* imyiiie i!e tii larrui lii plu:* sini[^le les vulenrs iiïulliples
''^ la roïiction aicsîn^; el\i\^ proviennent en elTeL des diverses
J^lcrmifiaUuns de l'ii»tei;rali- délinie
h^yy
¥{z)
"^'^ivaiil le ihennii decril pur la vurialde, l\>ur fixcv les idées, noirs
**•!* poserons que l'on part de rorij;irïe avec ht vîderu' iiiihale 4- i
pour le radreat, tH nous désignerons par l la valerir de celle inté-
n^^le. prise suivant un clieinin délerruin*! (ou chentjn dirccL)^ par
•^"^emplc, suivant la U^ne droite lors<|ne le pi>inl g n'est pas situé
***^ l'axe réel et en dehors du se^uienî couipris entre — i el -^ i ;
^^''scpie z est réel el|-5|l>i, nous prendnurs pour cheuriu drreel
•^^ chemin siltié au-dessus de Taxe réeh
Cela posé, les points z-^ H- ï * z^^ — t élanl les senls points
^filirUJes de ^''i — :;-, tout eliernin eonduisanl de rorigine an
l4o ru A l'ITtlE XIV. — FONCTIONS ANAL!fTIQL:ES DAPRlks CAlCHY.
|iuiiil ;: jieiiL être remplace' [uir une suite de lacels tlécrUs au lotir j
des deiiK poials criliques 4- i ol — i, suivis du chemin direel.
Nous sorniues donc conduits a étudier la valeur de rinlegrale
le long d\\n laceL ConsiJ«*rt>us, par exemple, le lacet oamao, '
décrit autour du [ïuiiU :: = -+- i ; €e laeel se ronipi»>e du seg-
mcnl oa alianl de Tori^^ine au point i ^ £, du cercle ama de J
Fi^, 7K
^A,
ravoii € décrit de ;
^nilç îc lonj; du \,%vvl esï «lonc «'';;ale a la soniine «les in ïéj; raies
I comin«^ centre et du seg:nierjt ao, I^'iulr-
j:
)/i—jr*
rinlé*;rale le loug An pelil cercle tend vers zéro avec £, car le
produit (z — î)/(s) tend aussi vers xéro. D'autre part, l(»rsrpif :
a décrit ce petit cercle, le radieul a changé de signe el, dans l în-
légrulc le louf»; du segment rto, on doit prendre juiur y i — j'- la
valeur négative* L'intiVgrale le long du lacet est donc égale à It
ri —i f J
--z::^^^^ lorsiiue £ tcud vers zéro, c'est-à-dire à rr.
Nous reuiarcprcrons ijue la valeur de cette intégrale ne dé[veiid |ki>
du sens dans lequel le lacet est décrit, iiia;s on revient au point de
départ avee la valeur — i [lour le ladieal.
Si Ton décrivait le rnérnc lacet autour du point 5 = -h i , le
radical avant la valeur initiale — i, la valeur de Tintégrale le Ion*;
du lacet serait égale à ^ î^i et Tun reviendrait au point de départ
avec la valeur -f- 1 pmir le radical. On voit de la jnénie farofi
qu*un lacet décrit autour du point critique z ^^ — 1 donne ^ -
ou -|-7cdaus l'iulégrale, suisant <pie Ton part de l'origine avec Ij
valeur initiale -f- 1 ou — 1 pour le radical.
Si nous faisons décrire a la var ialïle deux lacets successifs, i»n
reviendra à Torigine avee ta valeur initiale -|- 1 pour le radical,
PtiUlODKS DES IMt:filULL:5 hKI-IMKS,
L lu \Ae
aie le Ir
la
I
laceU sera -+- •>.-, n,
oil — '^TT, suîvîHit rorilre dans fcquel ces deux lacets sont par-
rourus. tjn noinhre [>air de liicrts donnera donc '^niTz jîotir vîileiir
de rinléj^rulc, et rûinêûcra le liulieai à su videur initiale + i. Lin
nombre impair de lacels donnera an cniilraîre (2m -h i)- pour
valeur de rinlégralp, ni la valeur lin a le du radifa! à IVirigine
>era — t. Il î»^eiisuit que la valeur de l'inlegraîe F(z) sera de
l^unedes deux formes
— I m TT, ( * m -4- I )7; — I j
ïîuivaul que le cliemln déeril par la varîîdjle peut être rrm(dac'é
|>ai* le chemin direct, précédé d'un nomhve pair ou d\m nombre
*fHj>4ïu- de laceU.
f -^13. Périodes des mtégrales ultra-elUptiques. — On peut étu-
dier" (le la même faron les valeurs diverses de l' intégrale définie
|î«>
Fis)
V<^}àz
l
Hpû I*< -) cl R^^) sont deu\ [Kd^iimnes entiers, dont le second W t;?),
de degré «, s'annule [Mjur n valeurs dislincïes de r,
R(5) = A(5-*?0(--<îi).^.(---^/i).
I?iOii$suppuseroitst|i(e lepoînl :?« est distinct des points e,,^;., ...,'%^;
l^^^tialinn ^1^ = H(-o) admet alors deux racines distinctes, H- ^/n
*^ — "oî nous a[i|iellernns //„ la valeur initiale dir nidieal ylV^K^
!^* l'on fait décrire a la variable ^un chemin de forme ([uelconque
"<^ pasi^ant par aucun des points critiques <?|, 1?.^, . . *, Cf^^ la valeur
<!** ladical \f\\ (z) en chaque [>oinl de ce clieniin est délermiuée
P^ï*UcouiîiHiilé* Imaginons q»ie de chacun des prnnïs '%, f^^j ..», i^,^,
on inirr flans le plan une coupure indé'(inîe, de façon que ces
t^^upures ne se croisent pas euhe elles, l.'iuié'^rale, juisc depuis z^
jQi(]U*ù itti point fpielconque z suivant un cljeruiii assujetti a ne
li'avcrscr aucune de ces coupures (ou chcneiu direct)^ a uiuî
valeur Inen délermiuée l(^) pour chaque [loirjt z du plan. ^Sious
aiun^ encore à étudier f'iulloence iVwn hieel iléerit, ;i partir de ;?^^,
atfltiiir de Ttin tjuelcrHiquc des [loiiils ciitfi|ui''i r/, siir la val*
a valern-
(le rinlôj^rale. Soil 2 C, la vdli^iir tie ritiLé«;iiJe piîse le long d'un
eotiLoiir fermé, p;u'LanL de ^0 el eiUourarU le seul poinl crilique ^1, ,
la vîileur iruliale du radical élanl tt^; celle valeur ne dépend pas
du sens dans lequel ce coûLuur e^l décriL mais î^euleiucnt de la
valeur iiiiliale du radical an puiiil :;yjf Vppeloiis eu e(lel lE,] la
valeur de rinlé^rale prise le luu;; du uièuïe coulour daoïi le sens
oppasi\ la valeur iiiiliale du radical élan! la ui<}iïie «^, Si nous
l'a [son s décrire à lu variable z le contour considéré deux fois de
suite et dans deux sens o[ïf>osés, il est clair que la somme dcs^
intégrales oblenues est nulle; mais rintégrale le long du premier
coiîlonr est 2E/, et Ton revient au point Zq avec la valeur — i^„
pour le radical. L'intégrale le long du coulour décrit eu sen« |
inverse est dtuic é;;a!e à — ^^^/i c^L P*'*' suile K]^ ^ li/. Le contour
fermé considéré [jeul se réduire à un lacet fojvrné [)ar une ligne
firuile Cu^'i ïtî cercle C( de rîi\o II jiilinimeut pelîl Jéerll autour de
ei et la droite azo {Jig- 73); rinlégrale le long de q est In H ni ma»
petite, puisque le produil [z — Ci)
leod vers zéro avec 1*^
module de z — e^. Quant aux inlégrales le long de z^yti et le li>n>î
de (7 ;«, leurs élémenls s'ajouteut, el il itste
'^1 VliT^
I iiilègrale ëlaot |)i*ise suivant Ja ligne droite, rt la valeur ioilialc
du r.iJical étant «„.
Ci'IaéUul^ riiUégiale prise le long cFiin chcirnn t|ui se ramène
à U suite de Jeux laeels déerits autour desi poiuts e^, ep, esl
eg;*le â aEgt— v-iEai car, aprè^ le ureniier lacet, ou revieuL au
|iaint -g avce la valeur — //q pour le radical; et fintê^rale le loni;
ilu second lacet est égale a — 2 ïi^, A|jivs avoir décrit ce nouveau
lacet, wa revienl au point Zq avee la valeur iniliale primitive w^^»
Sîlecbeiuin décrit parla variable se ramène à un nombre [>aii'
de luielî^ décrits autour des [joinls e^, ^p, ^y, eg| . . . , e^i t'x suc-
ceisiveuieut (les indices a, ^, ••*, x, A, étant pris parmi le»
nombrei» i, 2, ...» n) suivi du eliemiu direct, allant de wo eu i,
îu esi , <!^i[H'ès cela ;
la valeur de rinléj^rale le lonj^^ de re * In
z{E^— t:^i
Ex).
Aticonlraire, si le chemin suivi par la variable peut se lameuer ù
m iiumbre impair de lacets décrits successiveuieni autour des
pOinLs urltjt|ues Cg^, e^^ . . -, (\, t'y^ r^,^ la valeur tie rintégrale est
Liiilcgrale considérée admet doue pour périodes toutes les expres-
sions a(Ei — E^), mais toutes ces périodes se raméneot à (n
JVntre elles
0
w,i_i — i{h,
1^0;
lu/,.
♦I est clair en effet que Ton peut écrire
2{E,— Ef, ) = a( 1^./ — !*:,! ) — '/.( ICa — E/, ) = ci>,
^'inmc d'autre part on a 2Eji. = Wjt4- aE^i^ on voit que toutes les
Wursde Tinlégralc délinie F(^) au point z sont eompiûses dans
les deux formuler
Fi *) = !-+- //*itt)i r , . *-^ ^'*.>-i t**«-iï
^1» Wj, .,,, "^/i_i étant des nombres entiers arbitraires.
Ce ré&ultat donne lieu a ou certain nombre de remarques
ifriportantes. Vl ^^^ ^ |J^*i prés évident que les périodes doivent
être indépendantes du point ^u choisi |JOur origine; il est facile de
t4i CHAPITRE XIV, — FONCTIONS AXILTTrQlîES l»'\prvK?; r\rciiv
le vérifier/ Considérons par cxpni|ile la jHhîoil<_^ :>E/ — sEa; celle
période est c'gale à la valetjr de; TinlriLiride le long d'un conloiir
f'rrmé F passynl pnr le point z^ et ne r enfer niant qtic les deux
points critiques i*i, eh* Si, pour fixer les idées, nous supposons
rpi'il n'v .lit aucun autre pnint erilique à l'inlérieur du Iriangle
tie ^ouimcls z^^ e/, e/t, ce contour ferun"' [ieiil se ramener au con-
lour hh* nr cmb {^fig* 73) cl, en faisiiul dintinuer indéfinimenl
les rayons cle?i deux petites circonférences, on voit r[ue la périodi^
est égale au donide de l'intégrale
jïrise le long de la ligue Jroîle cpii joint les deux points cri-
tiques r,, Ci,, . -
Il peut arriver que les (n^i) [H'riodes (o,, w^, ..., i*^,t^i
ne soie ni [>as distinctes. Cesl ce qui a lien loules les fois que
le polvnonie 11 (^) est de dcgtê pfflf\ poftr^'tt rpte le degré
rie r*(^) 'ioit inférieur à - — r. Do point r^ comme centre
décrivons nn cercle C de rajon assez* grîiinl pour que ce cercle
renferme loirs les points critiques, et imaginons, pour simplifier,
qur \\m ait nnméroté ces points critiques «le i à n dans l'ordre
on ils sont rencontres par une drmi-dr'»ilc indéfinie tournai
autour de Zq dans le sens direcU
I /intégra le
J /
prise le long du contour fermé woAAlAr^, formé du ravon Zaï
du cercle G et du ravon Az^ parcouru en sens inverse, est nulle.
Les intégrales le li>ng tle ^^ A et le long île Ar^ se détruisent^ car
le cercle C renferme un uomhre pair ilc points eriliipies et, apré-i
avoir décrit ce cercle, ou revient au point A avec la même valeiu'
pour le radical. L>';iulrc [lail, Tintégrale le \*yn^ de C tend versat^ro
lorsque le rayon augmenle intlêfmiment^ puisqu'il en est ainsi du
vroilin
luit
/H(;
après
rii
lynotliese
faite
le di
Ivnome P(r'); comme celle intégrale ne dé|(end pas du ravJ
de C, il s'ensuit qu'elle est nulle.
IN PEIUODES IJKS INTÈGIULES DÉFINIES, l4>
{h \v tH»iiluiJi' c<Jt»si(lcnj j^AMA^u yml se ramener ."t }ii siiîlr
Jt'S lacets drcrils aiilonr des points critiques ^i, <*2, • • -^ '^m-i à^Mis
Tordre riiéinc de^ indices. Nous avons donc la relu lit ni
t|tii [H!i*l encore s'écrire
— V. E^i — Cl,
Wi — wj-h t"3— t*rfc-J-.
W/|_, ^o,
périodes de Tint /g raie se réduisent
vi nous voyons i|ue L's //
ani rt — '2 périodes <0| , (»kj, . • , , «♦J«-a .
Considéron* **ncorc rinTt'^fi^ralc de forme plus j^énérale
«»û l', (^>, K îïMtJl tr<>iâ pulvjHitiics iloiit le *Jeriiicr U( *) n*a que des racinf?^
t»iiiple$. PârDii les racines dt; Q(j), quelques-unes peuvent appartenir à
"<*|; soient 3|t Xj, ...T ï, les racines qui n'annuïenl pas H(z). l/înté-
g nie I^' r; I a d m e I eo tn me p I u î^ t i u ut les p (• ri o<l e s "H E/ — E^ ) » ^Ji E j d é s i g n ii n i
toujours riijtéj;rale pri*c le IfKig il' un eonlour fermé |>Hrliinl de z» et lais-
**ni à Tcxtérieur tonte*» les racines des deux polynômes Q{z) et B(^),
**ttfe//Mais elle admet en ntitit;" un rertriin nombre de iiériodes polaires
provenant de laecis décrits autour des pùles a,, «j, ..., «j. Le nombre
total do ces périodes ust eiieoie diminué d'une unité lorsque H(z) est de
"ÉÇfif pair fi, et qu'on a \,i riîlatîon
^** Calant les degrés des polynômes P et Q,
^^tmpU, — Soit H(«) un polynonie du quatrième degré ayant une
" *
'*'n(^/a une racine double ej et d«Mi\ racines simples Cj, Cj, riniégrale
*^»)
afimct la période 'iE,— aEi» cl en outre une période polaire provenant
dur» taetl autour du pt>tc fj ; d'après la remarque faite loul à TheurCr ces
rfeui périodes sont égales. Si R(^) a deux racines doubles, on %'oit
1 avisttAt (|uc rintégralé a une seule période poliiire.
C, IJ. ïo
Si U(3)a une racine frijilc, l'iiuégrâlc
*l)
;iijintl la (Kniiide a Kj — iKf. iimis cette période t;st iiiillr, ij*api'c$ la
remarque général**. Il en fst tle même si Hi z) ii une ineine quadruple. En
résumé, s* H(z) a une ou rieitjr: ravines doubies, l'infc^n^h' o une pé-
riode ; si YKi z) ft une racinv frtp/c off une rarine /jN<if/ritp/f\ fintr^s^rafe
ti'n pa$ de période.
TnuA rcs résultats î^ont fîiciles à vérifier par Tin tégra lion direrie.
311. Périodes de rintégrale elliptique de première espèce.
I/intégrale elli clique de première es|)rce
F(;
/H(5)
où R(-3) est un [vnlyiiorue du Iroîisièiiie oit du i|iiatririnc de^ré,
premier avec sa dérivée, admet Ae%\\ jjcriodes, d*aprr*i hi llié-nrie
générale qni préeéde. Nous allons démojilrer <|uo ir rapport dr
ces f/etix périotfes est imai^^ifuiite.
Nous poiu'ons supposer» sans nuire à la ^én^Vralilc, que R(;;)
rsL iU\ Iroisiènie degré. Soit en cITel H*(^) un polynnrne du qna-
irif'uic degn'*; si a esl une racfjie de ce pofynom*^, eu posaul
z z^a-\- -^ il vient (I, o^ 110, p. '^fm)
dz r *tv
j
v/Hl(.^)
J |/R
i/R(r)
R(j^) étant un polynôme du troisième degré, et il est évident que
les deux intégrales ont les mômes périodes. Si H(^) est du troi-
sième degri", vn [jeul supposeï' qu'il admet les racines o et i, car
îl suffît d'une suhslilulioii linéaire :; =: a -r* ^y pnur être rauieoé
ii ce cas. En rléfmitive, tout revient h établir que l*intégrale
I 5u )
F(,x)
=./'
dz
V/^(1 — *)(£»— «)
OÙ a est différent de zéro et de un, admet den\ [ïé ri odes dont le
rapport est imaginaire.
Si a est réel, la propriété est évidente; si^ par exemple, a esl
IM:illUtii:.S 1)1^ INTEGRALES DEFfNIL^.
î<imérieur i* un, riatr^rale admet les deux périodes
i»p
per
rm-
ma-
r
^^
î)(«-
«luiil Li jjrejTiière est rtîeile, tandis (|nc la seconde est égale au pro-
<btl (le ( yjr II il iKUïibiv réi'L Aitciint' de r<*s périades ne peut
dailieiirs rlie nulle.
Su|»|»n^oii5 iiiaint<'naut cjne tf est imaginaire, par exemple fjue
IcroeÙkitMït île /dans // ent pu^ilii. t >n peul encore prendre pour
Tune des pérunles
nous applii|iiei'iMis à retle intégrale 1:1 formule de M, VVeierslrass
(n''289). Lorsque z xane de n ,'» i, li- fiicieur
reste po-
>urbe L d<
^Jale (le se faire une idi'e. Soil A le [ïuinl d'affise a; iorsfjue z
Mtif, et le iioiiil d'aflive déerit une courbe L dont il est
s/ a — 5
'g- 7V
\
A .
/Si'-''
0
^^ncde o à i , le jinint ff ^ z déeril le segmetit AI5 parallèle à Ox
«ttle îijiigueur égale .i un (y/^'. 7-î)»
Soient Op et O^y les bisseelriees des angles tiue fonï avec O.r
Ifs droites OA et OU, O/j' et Oy' leurs symétriques par rapport
iOjt, Si nous prenoos pour dêlcrmination de \/a -^ z eeîle dont
[Argument est compris entre <i v\ ■. le point d'affixe \/'a — z décrit
l4H CHAMTRE XIV. — FONCTIONS ANALYTIQUES d'aPRÈS CAUCHY.
lin arc aj3, allant d'un point a sur Op à un point ^ sur Oq; le
point décrira donc un arc a'^' allant d'un point a' de O// à
y a — z
un point P' de Oq'. La formule de Weierstrass nous donne ici
Z| étant l'affixe d'un point situé à Tintéricur de tout contour con-
vexe enveloppant Tare a'P'. Il est clair que ce point Z| est situé
dans V angle p' O q' ^ et qu'il ne peut êlre à l'origine; son argument
est donc compris entre — ^ et o.
On peut prendre pour seconde période
J^^^z{i--z){a-z) J^ y/z{i^z){a-z)
ou, en posant z = at^
dt
./„ ^t(i-t)(i — al)
Pour appliquer la formule de M. Weierslrass à cette intégrale^
remarquons que, ^croissant de o à i , le points// décrit le seg-
ment O A et le point d'affixe i — at décrit le segment égal et pa-
rallèle allant de z = \ au point C. En choisissant cou venahlemenl la
valeur du radical, on voit comme loul à l'iieure que Ton peut écrire
il,= 'lZ, f -y '^- =',T.Z,
J, y/t{i-t)
yj2 étant une quantité imaginaire différente de zéro, dont l^argu-
T. , , , . I U, Z»
ment est compris entre o et -- Le rapport des j^eriodes ^ ou ^
esl donc imaginaire.
EXERCICES.
1. Développer la fonction
Suivant les puissances de x, m étant un nombre quelconque.
Trouver le rayon du cercle de convergence;*
â. Trouver lesilifîérents développeiiien(& <le la fonciion
i4&
«uivaot les |)uissann€s positives ou négatives de 3, d'après la jinsiLion du
fioînt z dans le pion.
3. Calculer rhilégrale dcilnie / ^'Logf ^ -\dz le long d'un cercle
«le rayon égal à i, décrit de rorip;îne (loiir ci^ntrc, la valeur initiale du
lo^arilliine an [tnint z ^^ -î étiint réelle. Calculer Tinlégralc définie
/
/-ï-^ - _^
le long ilu même contour.
4. So\if(s) une fanciion h doniorpli** à rintérieur d\u\e courbe fer-
mée C reafermanl roriginc. C<iïctilpr rintcfjrjile dcfjnie / /' ( z) Logz iis^
' iCi
|>ri.*c le long de la courbe C ù |»arhr d'iun* vab^iir initial^ «^,♦
5. Démontrer la rormulL*
dt 1 . "i . 5 , . , ( ^ n — I )
i*0 Clliï'JTRE XIV. — roNiTIONS ANALVTIOMis [i lt>RES CAVCIIV.
I Pour «évaluer celle dernière inléf^rale, on intègre lafonrtian — ^j
Je lung du canlour de hi ligure ûij. j ^^Ê
7. L'iriléfrrale définie
/
^^ A H- C — ^ A — C ) c«i* ^
— t'si èjjjaïc» quand elle «
Cl
une valeur liriie^ à t -7==» ^ ètanl égal a lizi, et cliuî^si fie lelle fiiçon que
V AG
I r^ ■ Il £f /AC . .^
le etï^iucieiU de t dans — soii po^ilif.
8, Soient F(-3) ei Gf^j *leij\ fijneiii>n> ludoinuridnj*», cl z =^ a une
racine doubla de G(*)=4i, n'annulant pa*F(-:;); Ir résidu eorrespondanl
de -Tz est e^al a ttv.--^^ — 1 •
F(^)
Le résidu de — ^ -j- pour nue r;irine simple a de G(^) = o est de
même égal a ^^r^^^
0. Dèmtmlrer la formule
rfr
J_i ( ^ — « ) /i — ^'* /i — a*
rintèj^rale étant prise suivant l'axe réel, avee la videur positive du radicaf,
el « élanl un nombre complexe ou un nfunbre réel dont le niodult* e*»!
supérieur a un. Préciser la valeur que l'on doii prendie (juur y'i — a*. ^^Ê
KL On considère les inléerales / - 1 / » dan<. lesquelli'^
S et Si désignent ileu\ contours formés de ta manière suivante. Le mni^B
tour S se compose d'une droite OA (que l'on fait grandir indéfiniment)
placée suivant Oj*, du cercle de centre O el *le ra vnn OA, enfin de Ïa
droite A G. Le contour S^ est hi suite des trois lacets qui enveloppe ni le*
points iiy b^ Cj dont les affixes sont les racines île Téqualion z^
Etablir la relation entre les deux intégrales
à laquelle on Cî^t conduit par cette comparaition.
11. En intégrant la fouclioii c-=' le loni; du contour du rectangle formé
KXKRCIi;f>
indt^lînitnent, établir la relatinn
R, et faii^afil croilie lî
f
f-' cos i
bx (Ix — v^îî
M, On intègre la fuiiriiiHi f-"^^-', ifii a e^L iiit;! el posiiif, le lon^
<lun contour form<* jiar iiti raviui <)A |iJiicr *>tiivaiil <-)/*, d'un arc tli'
cercle AB iltk^rît "tu [khiiI U \\<tMr t!t;nir<' n <>A pinir ravoii, cl uu
ra>cm BU tel *jue l'anyle a. = AOB soit compiis entre a el — • En faisant
• roitre OA in'jii'fininiefil, fli"<iuin* «la résititiit nblcnu les int(**^rfili*^ cléfiiijc'»
a t[ b étant réels et |ji»*iiit>. I.rs forijuih-^ *iblriiiie*4 f*ubsisleriL f>onr
• — -» pourvu ([lie r«in <mI « ' i.
13. Soient m, m\ n *le* uiMiihres entiers positil» ( /« C ai, m !«>
faiblir la formule
f** itm — if m' « r /iw-l-i; /2W ^i\ 1
( --^ ai = — etil f t: — cnl - .
J^ 1"/»" 2rt [ \ ■!« / \ a// / J
il- Dè<Jiiîre »le Iîj Iff^mnle préeétleiile hi foruHjli- tl'I^Hler
2 « f»! n [ z )
\ ■-' n J
i»! Si 1^1 partie réelle de tv est pd^ilive el inférieure à Tu u île, «n a
Hia peut le tlétiuire de Ici ffuiiiiik M}, [lage i/lî, ou intégrer la fonr-
U\ïfi ^~ le iont; du cnntoui^ du n^'lan^Ie formé iiar le* flmites y ^ t».
i-f-e*
,> -i:;» jr = h^ R, j' = — R, et faire rmirre erf^uite R incJéHnimenl,
Démaatrer de mètue la fm mu le
/'
t —e^
= ni en l flTT — Cil t // 7* I ,
I parties réelles de a et de ^ éiant posîti\es ei plus petites ijue un.
IDA CHAPirnK XIV. — FONCTIONS ANALYTIQLKS d'APRES <:AI'CHY.
[On prendra pour contour d'intégration le rectangle formé par les
droites y = o, ^' ~ ir, x = H, .r = — R, et l'on se servira de rexcrcice
précédent.]
17. De la formule
/
(i -4- >5 )« , . n(n — i)...(n — k-^i)
OÙ n et A: sont des nombres entiers positifs, et G un cercle ayant pour
centre l'origine, déduire les formules
.(
( 1 cos II )"-*-^ cos {n — k)uau — T.
......A-
/
'"* * x^'* dx t . 3 . 5 . . . ( 2 /» — I )
•2 . 4 • 0 . . . 'Jl /l
[On pose 5 — e*'", puis cosa=j:*, et l'on remplace n par n -h A* et
^ par //.|
*i8. L'intégrale définie
d^
*(^)-/ -~
a.\x -\- s/x'^ — I cos cp )
quand elle a une valeur finie, est égale à =h t suivant les
positions relatives des deux points a oi x. Déduire de là l'expression du
/t'''"*' polynôme de Legendre, due «i Jacohi,
X„ = - / ( .r -h \lx^ — I cos © )" //'f .
* *- 0
*19. Etudier de même rintégralc définie 1 ' > cl
^/ X — a -h /x* — f cos cp
<léduire du résultat la formule de Laplacc
X -i /■'' 'h.
•• . ' \X -\- \/ X^ — 1 coso )
(.r-+-v'.
où £ -- +-. 1, suivant que la partie réelle de x est positive ou négative.
*20. Ktablir cette dernière formule en iiitéij^ranl la fonction
;;«♦-' s' \ — 'i.xz
le long d'un cercle ayant pour centre l'origine, et dont on fait grandir le
rayon indéfiniment.
KX mincie: ES.
t53
*ît. Sommes de Gauss. — Suit T^— e " (n el x riant luiiirr*) el S,j la
^LtMim»." Tu T- T, -- . ..-T- T„_|. Drinontrei' la foriiMiK-
S«-
( I -f- i )( 1 ^4- t*'* )
/7..
méti*
[On îipjiliqin! le lliéciriîme des lèsitîus a la fomiioii oi j)= ^^ »
(^n ^1 retient pour coutiuir frinle^'ralioi» Ics^rùlés ihi ret:!i»n<;(** furmé par le^
tlrflitti i* ::= o, X = Ht r — — Rt r ^ '- H, en y joi^Miaiit de[t\ i]iitm-c\v-
< onfércivcc* de rayon t décriiez ilcs poiiils :r — i>, ^ = n pour ^ t'iUres,
^fm iliHilcr Ie5 pôîcf c = ci^ c — /i de ^(«>: juiis on TmI rrottre H indé-
ImiiUfnL]
2î. Sail/j z) une fiHiclhm liDioniorphe a ririliTinn d'un rmilour tenue F
renfermant h^^ points a, h, t\ ..»,/; ï^ 'i, ... , ). rtafil d* s iioiTibres erUiLTiî
fiOMlifs, I» ^uiiinie des réî^idu» de la fonetitm
relatifs au\ pùle«« <i, ù. c, ,.,. / rsi un polvnr>nuî I'(J') i\tt tlegfré
* ***P-^-* »-^ )> — I , saiisfai^anl aux relations
M»ii
^'apijuit* «^111 la rid;»tîon Ff .r f =^ f\T) — : / ^i( « I ^/j.
^î^
**î* Soit /i ^ MJne liiiicLÎim lioïrmiurplic à riiUêjieur d'un eercle C de
*eotrea, Sciicur il'iiulrc pari ^i, Hi, ,.., a^, •-* ^1*1^ Miile indéfinie de
pfsiîjlt intérieur^ à ce rercle C^ le point rt,^ avant pour lirnili^ le poinL a
lor*i|iic // croit înflt-JiinnMMii Pour loul [loiiil z intérieur à G, on a i«.' dfve-
I /Ui-/(a, I
j ' <ii l(- — rt, ► , . . ( ^-
V
,**;==!.
'«I H^
rt.). . . (,
(In ).
(LuHKM, Jattr/iftf fie ifaifiéfiiftfft/tn*s, 5* série, t. VIU, i». îîk
[Oo >*,Tppaic sur la formule suivante, facile ù vérifier,
jr — rtt
(«— «|^,.(^
i)(^— au)
procède comnif pour étnldir la formule de Tavlor.]
|S| niAlMTRU XIV. — mN*mOXS AN'ALYTIOtl !% li\\l'H:
ïi4. ^oh Zi, = a^-lji une lacine iroidrL^ n de ïi} (\nniinf\ f{z i =^1L -^ \ i = ci,
la (onvilon f( z ] élani hnïornoi |ih*_* ikm** le voi>ina';c. J.f poîiK^ — a, j' — i*
e*l un pniiii mu I II pie iVovilte n des dcuv courbes \ = (i, Y = o; le*î lan-
gente^ en re pr>int à cliacui»*! de. ces combes furnient une rose de^ verit^
cl les rnyons tic l'une *^oni les bis*^ec( rices des rayoït*. de l autre.
â^i. Soit /(c) = \^ «Y = An4;'« ^- A,i'»-' -H.. .H- Am mu pfilynome
d'ordre m .1 ruefticieniH (|iieIeonques* Toutes les asymptote?» des dcu\
A.
courbes \ — u, Y = o jias?cnt par le poîul d^affixe
pri**ées connue le^ droites de rcxerriec |u«''rédenî.
m Ao
, et soni djr-
*â6. Série de Burma no. lùant diuuiées deux fonctions /"f ri, F(j»
d'une v:irii)ble r, Li toifuiile de HurniHi»n donne le déveUi|ipeinenl de rum*
d'elles '•Il haut les iHiUsancrs de l'y u Ire. Ponr préciser le ^ir<ddènie, (»re-
noïi*' une racine «simple a fie rénuation F(jr) — o et sujifu^^nn* f|ue le*
deiiN lonctions y*l^) et P^ijt) soient lovlnuoirjdics dans le donri;Mnc dn
pojjii tr^ Dans ce domaine, on a
j* — a
Fi:r)
o{:r)
la fonction ç(x) ëtanl régulière pour .r = n, si a en racine simplî
de F( j- 1 == o. En re|irésentant Fj.r) par r» la relation précédenle e**»
ct|uivfdciitc à
^ — a -- yQix ) ^ I»
et Tou cfl t^uicuc à i-aleiilcc le dé\elopj}ei*ienl de J i ^.t jt siintint les [ulii
sauces tir y ( rmuiule de Ltigraugej.
'tl. Équation de Kepler, — L'équalion z — a -^ e f'inz = o, on a c\ c
sont dcuv uoiubces jMj>iiifs, a < ^» e < 1 , admet une racine réelle comprise
eoire o et —, deu\ raeitn> dour la partie réelle est comprise entre nti?
ei {m -t- 1)71, lorsque m e»i un norubic posilif i^air, ou nêg^atif impair; si m
e<*t un nombre po"?il if impair, ou rrc*^alif pair, il n'y a aucune racine dont
la parlie réelle soit comprise entre /ait: et im -4-i)7r. [ Hhiot ei Boi (ji kt.
/ 7i éo r ic fies fo n c l in n s elf ip £ iq ueSj i' é d i l . , p . 1 99 . )
[On étndie la courbe décrite par le point u =^ z ^^ a — i;sin4, lorsque a
variable z décrit les quatre cotés du recian«;le formé par les droitc^
^ = mT.^ X = (m -i' 1)-^, y — -*- H, j — — H, H étant un nombre (res j^randj
*i8* I*our di's valeurs 1res j^riindcs de m, les deu\ racines de revcrcire
prccédeni ib^nt la partie réelle est comprise entre amT: et (2m n- ï)tr sont
a peu près coules h imT^
r[iog(?j^io8(.».^^^)]-
(GotRïEH. Annaies tie Vh'eole Normale^ jt' série, t. Vil; p. 73.]
CHAPITRE XV.
Fr^NCTlONS UNI FO nulles.
\/*i jir^mière [irJtiie Je cl* Cha[H(rr rsl i'niis*U!i"i'i: a la Jéiuoiislr.i-
Uùn des lliêorèineïi généraux flf* Wcier^lrass (*) et de M. Mill»g-
Lefflcrsur les fuocLionf> entières^ 4-i les fofîcLions unilViriiif's ayani
une infiiiiu* de [ininU sirii^^uliors. J'en fais ensuite l'application
iiui ronctioMS cllif>li(|iies. Je ne |u>ijvais song^er à develu|)jjer cette
Inéwie (l*iinc farori (|uelcpie peu couj|ilèLe daus un pelit nom lire
Je pages; aussi uie suis-j** Lurné à iiidirpier à i;raiHls Irails les
pOfnl§ essentiels, de façon que le lecteur puisse se rendre compte
Je Timporlance de ces fondions, t^uaut ii ceux (|ui vruidroul
pousser* (il us loin riHuiIe des ibuclious etiipliques, ou en faii'e des
applications, im sijnple Cours tr A /fa /y se ne saurait leur sullire:
•'* st' l'ont lonjonis idïlii;és iJ\iv«Hi' jeconrs ;njx Irailés spéciaux.
I, FACTEURS PHI\Î\IRES UE \Vl;:ii:RSTIi.\SS.
Dïv VIlTTAli LI^t'FLl-H.
THÉORÈME
•M 3. Expression d^uee fonction entière par un produit de fac-
^•ïiPB primaires . — lo 1 1 1 [ >o l y n o m l^ i t e d e;^ r^ ' m est éga l au p ro d n » i
*liine ciiristante par m faeleuis de la foruu! x- — a^ égaux ou iné-
^*«ï, ti celle décompositiorj rmt cr» évidence les racines de ce
Hjnomc. Euler avait obtenu le (ireinier |îotirsin;; un flévelo[i]>e-
^<MH en produit inlini analoj^ne, mais les lac leurs de ce produit,
10« oods verrons plus loin, sont du second dej;re en z. r.nuchj
(M Les tiiéorèmes de M. Weî<;rsiriiift qui vont être exposes ont été put»liés dans
'*"' 'Mémoire iur ien /onctions utti/ot/ues d'une variable [ Mémoires de l'Aca-
'^^^ie de Ùerlin, •S*fi). M, Picuni u duniiè une Lriiducliori de ce \ïrrnoiie dans
^^ Annatcj de VÊcoU normale supérieure (1S79). L'eri»eiiîb!e des rcclicrrties de
*'■ JliiUi|*Le!fler §« trouve dan* Uii Mémoire dc^ Acîa Mathtmaiica ( t, It)*
avilit ic( <>mji( cprL% rhuis rriLains o;is, on e^l condiiiL à adjoindre à
cliaciin des faeteiirs binnmes. Iris t|ircx — a, un faeieur exponen-
tiel i!iHivciiiil)!i:'. Muis vvsi M. W et ers Ira s s qui a traité le premier la
*queslioii ilîtiis tonte s.\ u;riH*riA'\\é, en nioutranl rpie loule fonctioQ
entière, adnieltimt urir infinitr de racines, peut être exprimée par
le iirodiiil iVnn nombre infini île fadeurs^ dont c Urit'iiit ne s'an-
nule que [>rnir nue seule valeur de lu variable.
Noirs cinniiussons déjij une ('oncli<Hi entière ne s'anirulant pour
aucune valmi^ île z. c'i'sl /'^ ; il en est de même de e»^-*, s(^) étant
un pnivnonie t»u niip ronolinn entière. Réci[»roquemenl, toute
fouet II Ml (^niièrp qui ne s'nnnule pour aucune valeur de z est de
eette foi^nr. \in i-flVl, -i la ronrtion onlière G (3) ne s'annule pour
aucune vjilenr île -., tout [xunt z ^^ a est un (voînt ordinaire pour
, ([Ml est [Kir eonsequeni une Jonction entière ^| (r»).
G{s}
GTzj
=-/e'i(-);
en intégrcint les deuv menibirs entr
Log
[G(5oJ ,(
les limites -o, ^- il vier
g(Z} étant une nntivrlh^ fonetioii enlière ib^ Zy et l'on a
Kl' secviïnl riiembie est l>ien de la tonne voiibn*.
i'nïière 0(3) nadnna qn<
Si nnp loncUn
a^^ * • * ^ <ht<t tlistineti's oti ni>n
<le bi forjne
G ( :; 1 - » j -' rt , )( 5 — «î ) . . . ( 5 — a^i ) cë^-^
fi racines ai -
la fonetion (i(j)est évidemnien •
I
Considérons maintrnant le cas où réi[natTOu (1(3) z=u adme^
une infinité de racine^. Comme i! ne f)enl v avoir qu'un nondir*^
fini de racines de module inférieur ou égal à un nombre?
quelconque H (ir'î29*d), si nous ranj^eorïs ces racines de façon que
le module n'aille jamais en diminuant, chacune des racines figure
à un rang déterminé dans la suite obtenue
où l'on a liift\~\^(i+t\n et où |f^;| au^^meule indélinîmenl avp?
KVcTEins rHLMviHKS m: wgikksthass.
rindice /K Nous supposerons «jur < liMiniiït* des racines fl^urt' dans
cette silîle autiinl de toîs i[ii(" l\'\ige son drgiV' de rnulli plie lié, et
que Ton n'y fait pa?? li^^iirer la laeine z ^^ o, si G(o)^:=c». Nous
allons d'abord uiuiilffr roaiinenl orï [»euL former une fonelion
entière Gi(2) adnieLt;inL [îoiir nirines les lerme«5 de ly su rie (i),
et celles-là seiileinenl.
Le|n'oduîl (i ^]e^^''', où î)^{z) dési^^ne un polvnome, est
ime foQLiiun entière qui ne s'annule tpie pcnir^ = «„. .\ous pren-
tifOiJS pour Qv(^) *'i> polviïorne de dej;rê v cpie Wm délermine de
tj^jnanîère suivante; nous pouvons ëcrire le produit précédent
Qv^r
'('-.-fj
ei Cil remplaçant Lo^çf i —\ par 8on développement en série
cnlitVe, le tlévelopperuent de l'exposant eonnneueera imv un terme
de dcgi'é V -f- i, pruirvu cjue l'on pii'Tine
L^notnbre entier v est encore intlélermîné. I\oiis iillans montrer
quoiipeul choisir ee nomhre v en fouetion de fi di' fiieun fpie le
produit infini
i^)
rK'-.i)*"
*'*'t nliscdnnient et nniformémenl convergent dans tout cercle C
^^ laron R, décrit de Torij^ine comme centre, aussi j^'iand que
*«it R. Le nombre R étant fixé, soit a un nombre posiïif infétiour
<i'"î. Mettons 6 part dans le produit (l>) les facteurs corres[>ondant
R
^i*» racines a^ dont le module ne ri é passe pas — • S'il y ^ fj racines
'♦•ti^fijisant à cette condition» le produit des q facteurs
F,(>) =
no
tf<h{=l
ilo évidemment une lont:tion entière de 3; considérons le
i5«
nilAl-lTRE XV.
KllNt.TKJNS l MFORMKS.
iiDiluil d*"s i'aclcurs
irlir «lu fi
F,(.)^ n
e^*K
ff -. »
Lorsfjtie z reste ii rnilrrieiit- (ki cereli' dv. rikyon H, on a |z|^R,
vl comme Vtni ii \^/i\ > ^ lorsfuie /ï ':(/, il s'en suit ijiie l'on .1
aussi |s| <C ^ l^///]- Un lacleur rie ce jirtHliiiL [leiiL iloiic s'écrire»
d'ajinNs la façon doitl on :» [>i'ï^ Qv(5),
\ ««/
si Tnn Jésif^ne cc facteur par 1 -f- w^, on a
_-L(±)''*'__L/±\^^"_, ,
Tout revient u tlc-nionlrei' riiTen choisissanl convenablcnienl le
nombre v la série tlnrit le lerrne f^énéral esl U^, ^ J///, | est nniTor^ —
niément convergente dans le <errle de* r:non R ^n"28t), D*uo^
façon géoémle, ru «'"hiut un nombre ([nelronr|ne réel ou imaginaire -
on a
<Mi a done, a fortfort,
on, en observant f|ue |5| < 3t|£?|j|, forsque \z\ esl <: R.
Mais, X étant nn nombre réel el positif, e^ — 1 est inférieur à xé
par snile, on a encore
U„<
^<
Pour fjiie la série dont le ternie général est U|, soil nniforml
ment convergente dans le cercle de rayon R^ il snflîra qu'il en aotl
de même de la série ilont le lerme g*^néral esl
S'il exîl
un nojn
bre entier/; lel que lu iiërîe ^ — soit convergente,
V iLTi' i ïis i*n I M V I m: s m: \\ ki (■: jv^th \ss.
i>9
Huirira de iirentlie v =/* — i . S'il irexisie p«is i\e ncimbre viiûei p
jmtissanL de celle jiroprît^lé (^), il >i»l(ira fie (ireiHlre v=- /i — u
Ijnird, lîj ^ériv Jtint le terme ;;énéra! est
z w
esl ujiîfnrrntMmoJil
Converi;eiiÏL' dans le eerele d** ravcin H, car ses Irnnes sont [dus
Il . ■ V^ '» '^ I 1
(wliL«i que ceux de la série 7 — ( 7 el Iïj rucme n"'"^' du terme
n„
;;rnêral *Ji^ celle dernière série, (»u
R
|i letid vers zéro loistnie ft
an;;ine(ile indélininienL (-). — *
On peiil dune Ujii jours choisir le nondire entier v de façon que
le pmdyil \ni\m Fa(-) '^^^^ ab*ioliinj»'nl vl nnifùrméinenl eonver-
lîeiit dans le cercle <le r:i\Hii II; *'e pioduit j>eul èlre remplacé pai
1;* somme d'une *^êrie lujiform/'nïenl nnivei-^i iile (n*^ Î2SI) doni
t^nis les lernics sonl IndoinorpUes. C»! produit F^i^) ^^^ donc
lilHnéme une fonctioit liuloiniH-pIn- ilrnïs ee cercle (11'' 21)8). Ko
muliipltatil V^i ^) |*y It' pt'cnluil Fi(-) qui ne eontienl qn'iin
norabre tirn *le fae leurs lioloniorjihes, on voit que le jrrodnil
înCiii
(Il
G|(5)
n(^-.ry-
'-'^Hui-nièiiie absolument rt Nnifr>rmt*njent convergent à f'iiité-
f'f'ir du cercle C de niyon K, et re|jrt^,scnle une fonction holo-
'ït^^qïlie dans ce cercle. Comme le rayon K peut èlre pris arbitrai-
ttmtQi el que v ne de[>end (>as de ce rajon, ce produit est une
widion entière 0,(5) qui admet |)our racines les clin'ércnls
termes de la snile (1), cl celles-là senleaient-
^\ hi rtotflitHi ciilière 0(5) «dmel en oulre le point z -^- o
l'^^oit par exemple a„= log«(« ^ 1 ), La série dont le leriii<? K<^nérîd est
l^ïflj-f tsi difcpgcnlc, <|ucl que »oit In nombre positif /?, car la soiiïmr des
'^ ^0 premiers termes e^t suraîneurc a -i — » expression qui augmeiilc m-
««•miinenl avec a.
^1 W. Bore! a fait remarquer rju'i) suffit de prendre pour v un nombre tel
VI II ['*••
r - ^ I ^ - - , — Cil convergente ,
**•* il trtiiM' gL'ticral peut s'écrire e \f*H\ = n ''l"«L A pniiir d'une valeur
*^* n iiict grande, —^ icra fupcricar à *', et le terme gt^néral inférieur à — .*
H II
t:i(\l»ITIlK \v.
l-OMTitiNS LMF0RMK8.
('f>nime zéro «Toril le p. le cinohenl — ^ est nru' fonclioi» aiNi-
Ivlîijyc fjiii niHlmt'l ilaiis Iriiil Ir pliui ni |>ole, uî zéro. C'esl «loue
ime [niirliuh rnlit'i*€ iW hi fonnr r^**% é'^(^^ éïaiil mi polvijome
ou mit: iVtrïclîurj cnljcrc, et nous avons pour Îm foiicliori G(3^
I ^ii X 1 1 le s SI cm s 1 1 i v a n ï e
i .| >
^U.,5..
La fiHrclioii (jiilière ^^(^) [>c^iH ji son imir ri ri' remplacée d'
iiiiinilé tie manières pnr lii somme triine série tniiforménieTît con-
vcrgeiUe de |K)iynomes
et Iri formule [irécéfJrnle peiii encore iy^écrîre
les faeleurs df? ee produit, donl ciiacun ne s^iiiiiule <pJ€ pour
valeur de 2, suiil ^\j^e\i^s faclettts pri/aatres,
Lr' [U'Oilnit ( 4) étanl absoliirneiit convergent, ou peut rânj^er les
facteurs primtiîi'es dî^ns uji ordre arbitraire, ou les associer enire
eux A volonli', iJnrrs ee produîl, \e^ [lolviHunes i^^(z) ne dé-
penileul «pje d( > rut (lies elles-mêmes nue fois qu'on a choisi Ijk-
loi qui fa il connaître le nombre v en fonction de n. Mais le fac-
teur exponentiel c?i'^-^ ne peut être déteiuiîné si Ton connaît seii —
letnent les racines de la fonction G(:;). l*icnons par exemple lit-
fonction siur::;, cpii admet potir racines simples tous les nombre*^
entiers, jïosilils ou négalil's. Dans ce cas, la série 51 ^ ^^^ '
vergente^ on peut ilouc [)reudrc v==: i, el la fonction
G<
'' = '11 {'-7,)'"'
OÙ l'accent placé à droite de II indique qu'on nedoil pas donner i
l^indice nh valeur zéro ( ' ), admet les mêmes racines que sioTi^. Q^H
(') Qyand cette exception doit èlre observée clans une forinute, nous lerappr-
Ions Cû faisaût «uivrc iPun acccat ' la carîictt4'isliqiie dki |>roduit ou de la somiiH*-
I. — FACTEURS PRIMAIBES UE WÊIERSTRASS- ïGt
adonc^ioTTS = eS^^^G(^z)y mais le raisonnement ne nous apprend
rieu sur le facteur ^^'^'. Nous démontrerons plus foin que ce fac-
leiir se réduit à tz,
316. Genre d'une fonction entière. — Etant donnée une suite
indr^finie i[uelconque a^ ^ r/^, . . . , «/i, . - . * où |(ï;,] :iu^mcn(e indé-
(iniment avec /?, nous venons de voir comment on [>cut former une
infiDiiéde fonctioDS entières admellant pour zrros tous les termes
(le cette suite, et n'en admettant psis d'aulrcsJLorsqu'il existe un
nombre entier p tel que la ^érie 2I]a,^|"/' soit convergente, on |>eut
|irenilre tous les polv»ojnes Qv(^) de degré p — ï.
Éiaiii donnée une fonction cutière de la forme
n : 1
<^u i^iz) est un polvnome de degré /> — t un [Jus, !e nond>re p — i
e^ldil le genre de cette fonction. Ainsi la fonction || ( ï '^ -; )
C4l de genre zéro: la fonction - — ^ écrite plus liaol est de genre
t"ï^ Uéiiïde du genre d'une fonction entière a donné lieu depuis
qufdques années A un grand nonll>rl^ de travaux (' ).
317. Fonctions uniformes avec un nombre fini de points slngu-
^. — Lorsqu'une foiictiun uniforme F( ,:) n'a dans tout le p\im
^^1 UR nombre fini de points sinf;triiers, ces points singuliers stuit
Ht'ces'Çftiiement des poiuts singuliers isolés; ce sont des pùles ou
**C8|ioinls essentiels isolés. Le point ^ = oo est lui-môme un point
ordinaire ou un point singulier isolé (ir 310). Inversement^ ^/f/«e
^/oncfron uniforme n\t dans (ouf le plan (y compris ie point à
' tnjin i\ fjue des points s in g u lie / \ï iso lés , ces / ' o in Is s in g u li e t s
^'il en nombre Jin i, I '. n c fl e t , le jio i ut à V\ u fini est un |>< u n t
ûrdioaire pour la fonction ou un poifil singulier isolé. Dans les
^^yn cas* on peut décrire un ccicle C de ravon a^sez grand pour
Cl Pour les renseignements biîriiagriiphirfiic*, voir l'Ouvrage de M. K. Borel:
^ni êur itâ fonctions entières,
a., IL u
t6ï CHAPtnS XV, — FONCTIONS VNIFOBIIES.
qti'â ]*extérîeurde ce cercle la foncLÎon n'ait pas d'autre point sS
giilier que le point à rinfini lui-même, A rinlerienr du cercle
la fonction ne peut avoir qu'un nombre (iiii de points singuliers;
car, si elle en avait une infinité, il y aurait au moins un point
limite (n*299), et ce point lîuute ne serait pas un point singulier
isolé. Ainsi une /onction uni/onne qui n'a f/ue des pôles ei
nécessairement un nombre Jini, car un pôle est un point sinj
lier isolé.
J'oute fonction uni/orme qui est régulière pour toute vale\
fuiie de z, et pour ^ = oo, se rétluit €Ï une constante. —
efl'et, si cette fonction ne se réduisait pas à une constante, comme
elle est régulière pour tonte valeur finie de 5, ce serait un po-
Ijnoaie ou une (onction entière, et le point à rinlini itérait pcH^H
cette fonclion un pôle ou un poinl sin^uH^r esseiitieh- ^^
Cela posé, soit F(-} une ionction uuîforiMe admeltaul n poinl^
singuliers distiucls rt,, a^, .*., a« à distance finie, et soi"T(
G|(^; — ^] la partie principale du développement de F(^) dan 1
le domaine du point ai; G/ c>l un polynôme nu une fonctîc^-
enlière. Dan.** les denv ras eetic partit' prîntvîpale est réguliè
pour toute valeur de z (y compris z =^ x), sauf pour z ^ ai. Se
de même P{z) la partie principale du développement de FC^
dans le domaine du point à rinfini; P(z) est nul si le poîn It \
Tin fini est un point ordinaire de t\z), La dilférence
D.F(.)-P,.)-2c,(^:4^j
est (•videinmeiit rûgulicre pour lotitc valeur de z, y compris z = :
c'csl donc une conslaolc C, el nous avons l'égalilé i ' i
(5)
F(.) = P..;^2^'(j^,)^^'
qui montre que la fonction F(z) est complètement dél*Mminé<
( ' ) On aiTife encore à celle formule en égalant à ïéro ta somme des résîd *
de la ftinclion F(.r)( ^ — - — — ^ )» z^ z^ tHatit considérés comme des ci^<
itanlca et js comme iii varlaltJc {voir 11" 310).
I. — FACTEUnS l'RlMAmtS HE WKIEHSTUASS. l63
à une coDslanle addilîve près, par la coniiaiîisaacc des parties
principales dans le domaine de chacun des polnls singuliers.
Ces parités principales, ainsi (|oe les points sinj^^uliers, peuvent
dVilleiir^ être clioisis arbitraiiemeot.
Lorsque Ions les points sinf^îdiers sont des pôles, les pai'lies
principales G ( sont des polynômes; P(:j) esi aussi un polynôme,
mI n'est pas nul, et le second ruciid>re de la fonuule (5) se réduit
à tine friiction rationnelle. Comme, d'autre part, nue fonetiuri
iioifuriiie qui n'admet que des pôles comme points singuliers en
a Mij nombre fini, on en conclut (luutie fonction iini/ornit\ dont
tous les points sinf^utlicrs sont des pôles, est nne fraction
rationne Ut\
318. Fonctions uniformes avec une infinité de points sing^u-
Ikri. — Si une funclion uniforme adtnel une inrinll*- de points ^in-
;;uliersdans un domaine (jui, il y aura au moins un point limite à
riiilerieur ou sur la frontière de ce domaine. Par exemple la
fonction — ^ iidnii'i eojume [ïoles toutes les racines de Téqua-
sin -
tionsinf- ) ^ o, c*est-ù-dire tous tes points :; = j^, /r étant un
rmmbre entier quelconque; Tori^ine est un point limite. La
(«Hcliou lidinet de même pour points singidiers toutes
%k)
les racines de Tiquai ion sin f -^ ] := 7—1 parmi lesquels sont tous les
points i =; ^ -f k et Â' étant deux nombres entiers
îA'tî-h arcsin ( j—\
arbitraires. Tous tes ijoints -77— sont des points limites, car si,
A'resiaal fiiLe, A augmente indéfiniment, Texpression précédente a
pour limite — r:;-* H serait aisé de former des exemples de plus vn
plifî cumpliqués du même genre en nridlipliant les signes sin. Il
*^î'^te aussi, comme nous le verrous un peu plus loiu, des fonc-
iJOos admettant pour points singuliers tous les points d%ine ligne.
Il j»eut se faire qu'une fonction uniforme n'ait qu'un nonibrc liui
l64 CHiPÏTBE XV, — FONCTIOXS rXlFORMKS,
de points singuliers dans totiL domaine ilni dn plan, qiioif|u*elle
en ail une inlinilé dans toul le plari. A l'exlérieur d'un cercle C,
aussi gr^ind qu'en soit le rajnn, il y a toujours une infinité de
points singuliers, et nous dirons que le point à l'infini est un
point liraite. Nous allons nous occuper, dans les Paragraphes
suivants, des fonctions uniformes ad me [t,iut une in fin île de points
singuliers isolés, ajant pour seul point limite le point a rinfiaL
319, Théorème de M. Mittag'Leffler. - S'il n'y aquVm nombre
Gni de j^oints singuliers dans toute portion du plan k dislati^
finie, on peut, comme on Ta déjà remarque pour les zéros d'ul
fonction entière, ranger ces points singuliers en une suite
(6) au ^'i* *••» ^«» .— »
de façon que Ton ait |rt/i| 5| ^/i-^i |» ^^ J' *^sl clair que \a„\ croit
in dé 11 ni ment avec n^ Nous pouvons supposer de plus que tous les
termes de cette suite sont dilTérents» A chaque terme ai de h
suite (6) faisons correspondre un polvnoine ou une fonction
entière en i G| f ) i pris d'une façon tout à fait arhi-
traire. Le tliéorème de Mitlag-i.efller peut s'énoncer ainsi :
// e.risie une /onction analyhtjite uniforme, qui est rég^
tien* ffonr toute valeur Ji nie de z ne f(iis€tnt pas partie de la
suite (G), et dont fft partie principale, dans le domaine du
poi
nt z
Nous allons démontrer pour cela qu'il est possible d'associei
chaque fonction Gj ( ^ _- ) un poljnome Pi(:?), tel que In séc
ÎS[»'(n^)*''<^'|
définisse une fonction a nul i tique jouissant de ces propri<'iés.
Si le point j r^ n fait [partie de h stiile ((i), nous prendrons
polvriorue eorresj>ondant égal à zrro. A chacun des autres pnintsi
faisons correspondre un nombre positif £/ tel que la série Sf/ sol
convergente) désignons en outre par a un nombre positif infériei
I. — PACTKLnS I^HlMAlHliS DC weiehstrass. l65
à rimîlc. Soient C, le cercle a}'ant pourcentre rongiae et |îassant
par le poînL t?/, C^ le cercle concenlrîfjue au précédcuL el de rayon
i^al à i|ti;|* La fooclion Gj ( _ ) élant holomorphe dans le
cercle C/, on a, pour louL |ioiiiL inlérieirr à ce cercle,
%tty -i- a/i
a/rt5«-
U série entière qui est au second membre est unilormcnieol con-
Ntrgeote dans le cercle C^-; on peut donc trouver un nombre
cnlier v assez, grand pour rpie l*on ail, à T intérieur de Q,
Gj ( -;— j —fit,,,— a,, 3 — ...— ï/y^V <t^^
^i le nombre v élanl ainsi délerminé, nous prendrons pour P/fs)
Je polynôme — a^o — a^, - — ... — a/v v'.
Cela posé, soil C un cercle de rayon R avarit pour centre le
, poiiii:; — O. Mêlions à |>art dans la série (6) les points singu-
hers Ui dont le module ne dépasse pas
[poserons
iG<
CIHI'ITIIK \V. — FONCTIONS LXIFOUliri
les mêmes parties principales. Ces points singuliers sont prrcî
ment les fermes de la série (G) donl. le module est inférienr à
et h partie principale dans le domaine du point a,- est G| (
Comme le rayon l{ est qiielron(|iie, il sVnsnil rpic la fonriion
satisfait à tontes les conditions de Fénoncé.
Il est clair qn^cn ajoutant à F(z) un polynôme
lîon entière rpiclconqne G{z), la somme F(3) -h G(5) admet
mêmes points singuliers que F(r) avec les mêmes parties prîn
pales. Inversement, on a ainsi l'expression |;énérale des fondit
uniformes possédant les points singuliers donnés avec les part
principales correspondantes, car la différence de deux pareil
fonclioîis, étant régulière pour tonte valeur finie de z, est
polynôme ou une fonction entière. vl^a fonction 0(5) pouvao
son tour être représentée par la somme d*une série de pol ynom
la foîiclion F(^)-f-G(:^) peut donc elle-même êïrc re|irésen
par la somme d*une série donl chaque terme s^oblient en ajouL
a la partie principale Gil- ) un polynôme convenable. ^
Si toutes les pallies principales G/ sont des [lolynomes^ la foi
lion est niéromnrplie dans ion te région du plan à dislance lin
et inversement. On voit donc que toute fonction méromorf
peut être représentée par la somme d'une série donl chaque ter
est une fraction rationnelle ne devenant infinie que pour i
valeur finie de la variai Je. Celle représentntitiii est analogue û
décom|>o5irion d^une fraction rationnelle en éléments simpi
Toute fonction méromorphe ^(z) peut aussi se représenter |
le quolienl de deux fonctions entières. Supposons en efTet que
piMes de *î*(-) soient les termes de la suite (6), chacun d'(
étant com[>té avec son degré de multiplicilé. Soit G(:;) une foi
lîon entière admettant ces zéros; le produit *Î>(;;)G(^) n'a p
de pôles. C'est donc une fonction entière G,(j)^ et Ton a Tégal
*Piz}^
G{z)'
320. Étude de quelques cas particuliers. — La démonslrati
précédeuie du ihéorèmc général ne donne pas toujours le moi
le plus simple de former une fonction uniforme satisfaisant i
I, — PACTBURS pniHAlKKS DE WElEnSTRASS» 167
condilioDS voulues. Supposons par exemple qu'il s'agisse de con-
slrtiun une fonction ^{^) admellanl pour pales du premier ordre
loiLS les pornlsde la suite (f)), le résidu étant é^iA à un; nous sup-
poserons que ^ = 0 n'esl pas un pôle. La partie principale rela-
liv€ au pôle (ti est - — — » et 1 on peut i^crire
SI nous prenons
ttf aj a)
Unit revient à détermînei le nombre entier v en fonction de l'in-
tîice i de façon que la série
^(r-i^
ar
sou fdiâofuiucnL et uiiiforménrcnl eouvergenle dans toul cercle
liêcrîl de Torij^iiie pour centre, en né^liîj;eaul un nombre suffisant
"C termes au début. I! stidit encore ipie la série \( — ) soit
»^lle-mème absolument et lïnifcninérnenL convergente dans le
wéme domaine. S*il existe nu nnjnlivn p tel nue la série 7 ^
SOU convergente, il suffira de prendre v :m /j -^ i . S'il n^exîste pas
"p nombre entier jonissaul de cette propriété, on prendra comme
P'tis liaul (n" 315) V = / — 1 , ou v -f- 1 > logi. Le nombre v élanl
CiîOisi convenablement , Uj foiïction mértunorpbe
\V
^^"Hetpour piMes du premier ordre tons les points de la suite (6)
*vec tin résidu égal à l'unité.
Il est facile d^en dédtiire une nouvelle démonstration du théo-
•"^'nt' de ^L Weierstrass sur la décomposition d'une fonction
fîilière en facteurs primaires. En effets on peut intégrer terme à
lt*rmç la série (9) tout le long d'un chemin quelconque ne passant
p*r aucun des pAles; car, si ce chemin est situé dans un cercle C
l08 CIIAPITRK XV. — FONCTIONS UNIPORIIKS.
ajanl pour centre Torigine, la série (9) ]>eut être remplacée par
une série uniformément convergente dans ce cercle, augmentée
de la somme d'un noinhve Ji ni de l'onctions méromorphes [cela
résulte de la démonstration même de la formule (9)]- Si nous
intégrons en prenant le point z = o pour limite inférieure, il vient
f 4>(3)rf5 =y iLog/^I— — )H- — -4--^ -r-...-h -^1
1=1
et par suite
^-> -■' =n(-^)'''^ ■•
Il est facile de vérilicr que le premier membre de cette formule (10)
est une fonction entière de z. Dans le voisinage d^ine valeur a
de z, n^appartenant pas à la suite (6), l'intégrale / ^{z)dz est
j ^(Z)dZ
holomorphe; la fonction c*^o est aussi holomorplie, et difle-
rente de zéro pour z t= a. Dans le voisinage du point a/, on a
*(3)=-'— H-P(;5-«/),
z — a/
fAhzulz
c^'q — (z — ni)e^''-"'\
les fonctions P et Q étant holomorphes. On voit que cette fonc-
tion entière admet pour racines les termes de la suite (()), et la
formule (10) est identique à la formule (3) établie plus baul.
La même démonstration s'appliquerait encore aux ronclions
entières aj'anl des racines multiples. Si ai est une racine nniiliple
d'ordre r, il suffirait de supposer que ^{z) admet le pôle z =z ai
avec un résidu égal à r.
Cherchons encore à former une fonction méromorphe admet-
tant pour pôles du second ordre tous les points de la suite (6), la
partie principale dans le domaine du point ai étant [tzz — ) *
Nous supposerons que c = o est un point ordinaire, et que la
t. — FACTKUftS PRIMAIRES DE W El EH STRASS. J 6(J
séritî 7 — est conver^a^nlc; il est clair qu'il eu <cra Je même
de la série > — * En limiLaot le développeinenl de 1 ^iui-
vanl les puissances de z à son premier terme, on peut écrire
- .1
"' "'''-"'' "H'-i)
/^i
l' pondra à la tjucslion, pourvu qu*elle soil uniformémenl conver-
g''nlc diifis loiit cercle il Jécrîl de l^orî^nne jhjiit eenlre, en negti-
^f'jnl un nombre sutTisant de Icrmes au début. Or si Ton ne prend
(l'ie les termes de la série provenant des pùles r//, [ïuur lesquels
oiia |a,| ^ — j R étanl le rayon de C et st un nombre |>ositif infé-
rieur a un, le module de ( i — — 1 reste in fer ienr ii une ccrtaîoe
«//
"'n!lc, et la série doal le terme L'énéryl est -4 — — est absolu-
"" af a;
'"ciU et uniformément convergente dans le cercle C, d'après les
"Vj)othèses faites sur les pôles a/.
'21. Méthode de Caucliy, — l'jant ilonnée une Innetînn méro-
inar|j||e p|-j^ le tliéorrmc de AL MiHaj^-Leffler peruiel de former
'^"^ scrie à teiaics rationnels dont lu somme F, (z) adjnel les
^'â'iics pôles que F(z) avec les mêmes parties prlncî[)ales» Mais il
'^^Ic encore â trouver In fonctiorj entière qui est égale à la diffé-
rpnceF(5j — F»(5)* Longtemps avant les travauK de \L Weier-
'^•^ass, Cauchj avait déduit de la tfiéorie des résidus tine ïuélbode
(Kï«r décomposer une fonclicui méromorphe en ujie >omme d'une
*'*fiiïlté de termes ralionuris, movenuant finelfntrs hypothèses
'J'itj caractère 1res général sur cette fonctiou. Jl esl du reste facile
'^<'* préienter la méthode sous une forme plus générale.
SoilF(5) une fonction méromorphe^ réf^^ulière dans le domaine
^'«rorîgîne; et soient C,, C^, . . -, G«, . , *, une suite indéfînie
"C contours fermés, entourant le pornl z r^ o, ne passant parancun
170 CHAPITRE XV. — FONCTIONS UNIFORMES.
des pôles, et leis qu'à partir d'une valeur de n assez grande, la
distance de l'origine à un point quelconque de C/t reste supé-
rieure à tout nombre donné. Il est clair qu'un pôle quelconque
de F(2) finira par rester compris à l'intérieur de tous les contours
successifs C„, C„^.|, . . ., pourvu que l'indice n soit assez grand.
L'intégi-ale définie
'">■
où X est un point quelconque intérieur à C/i, et différent des
pôles, est égale à F(a:), augmenté de la somme des résidus relatifs
aux différents pôles de F(w) intérieurs à C^-. Soit ak un de ces
pôles; la partie principale correspondanle ^k\—^ — ) ^st une
fonction rationnelle, et l'on a, dans le domaine du point a^,
{z — ak)"^ {z — ait)"* * ^ — ftk-
Dans le domaine de ce point, on peut écrire aussi
I ^ I __ __i ^ — cik __ (w — axO* _
z — a: ~~ X — ak — iz — a^) ~~ x — a^ {x — a^)* {x — a/,)^
et, en faisant le produit, il est visible que le résidu de — ^ — relatif
au pôle ak est égal à
Al A,„_|
X — af; {x — «a)"*"* (^ — «A-)'^
On a donc la relation
<■•> ^^'^'i.M~y^,f^
F(z)dz
»
X
le signe ^indiquant une sommation étendue à tous les pôles Ok
intérieurs au contour C/|. D'autre part, nous pouvons remplacer
I
' par
X XP
h. . .H
z^ zP-^
T-.^ (?)'"•
'-* Fiz)dz
et écrire la forimilc précédente
Bt3)
i
• F(z)ds
est égale à F(o), atigmenlé <h: la
I
somme des*r<^sidus de - F(r) rclalifs î*ux pôles de F(;j) inlériciirs
è C/,. D'une manière générale, riolé^^rale définie . l — — — -
est égale à ~ — ^* jïltis la somme des résidus de z~^V(z)
relalifîî aii\ pôles de L*i:j) int<*rleurs à C/,. Si nous représentons
par s[~'^ le résidu de F(:î)5~^ relatif au pAle a^^ nons pouvons
écrire la rorumle (r3)
(M»
UTTI ,/,^. , Z — X\ Z/
11
-H x/ \r -k, .
sr^p^
Pour avoir une limite supérieure du terme complémen taire,
écrivons ce terme
;r^^* Ç Viz) dz
R«
Fr^)
^"ppnsons que, le long de C„j le module de — ^^ reste inférieur à M,
Pt '*' module de z supérieur à 5, Comme le aombre n doit croître
•nd^ruiinieul, nous pouvons supposer qu'on Ta pris assez grand
poiirfjue 0 soil supérieur à |x[, et, le long de C„j on aura
SiSj, est la longueur du contour 0,^, on a donc
1R„|<'-^M
^(0- Ij-I)
tpi CH\tHTR£ XV. — FONCTIONS UNIPORIIKS.
Ou pourra affinuer que ce tenue complétneiilaîre tend vers zéro
lorsque n grandit ludéfiniuïent si Ton |veut Irouver uae suite de
conlours feruics C|, C^, .., C„, . . , t;l un nombre entier po-
silii p satisfaisniit aux coudîliori!^ suîvunlcs :
1° Le module de F (s) s"/' reste inférieur à on nornljrc fixe M,
le loug de tous ces cou tours.
2" Le rapport -^ de la longueur du contour C/t à la distance
unuinia o de l'origijie à un point de ce contour reste inférieur à
une limite L, lorsque n augmenle indéfinîmenl.
Si <!es conditions sont vériliées, IH^I est inférieur au quoticnl
d^tn nombre fixe par un nombre S-^l^l qui croît iudéfiirimeiU
avec n. Ce reste R,, lend donc vers zéro, et nous avons à la liuiile
F(j") ^ F(ri)-^ jfF'(oV
.Vf*
F^/'Ko)
(ij)
iT.ib'(.
»/.
sr^"].-
La fonction ¥{x) est donc développée en une somme d'une
infinité de termes rationnels. L'ordic dans lef[uel ils se succèdent
Cj^I délerjuiné |>ar la loi de succession d*/s contours C(, C^, ---^
C/M .*•. Si la série obtenue est absolument convergenle, or»
pourra les écrire dans un ordre arbitraire.
Hemarque. — Si le poiul z ^^ o était un pôle pour F{ 3 ), avec^
la partie principale ti ( i ) * il suffirait d'apjiliqucr la méthode
précédente à la lonclion V{z) — G / - j •
322. Développament de cot x et de sin x, — Appliquons cett^
méthode à la fonction F(^) = rot3^ — -^ qui admet pour pôler»
du premier ordre les points z -^^ kr^^ k étrjut un nombre enlieC
qnelcon{pie différent de zéro, et le résidu étant é^al a un. Nou3 I
prendrons pour contour C,| un carré tel que BCli'C avant pouï*
centre Porigine et dont les côtés, parallèles aux axes^ ont jmut*
longueur o^nr:-^ t:; aucun des pôles ne se trouve sur ce contour, j
et le rapport de la longueur S^ à la dislance minima o de TorigiDe |
r. — FACTEURS PRl MAIRES DE WEIERSTRASS. lyî
à \m poiril au contour est constante et égale à 8, Le carré du
module de cot i.r 4- vi) est égal à
Sur les cotes BC et B'Cy, on a cos2^=r — i , et îc iiioclnlc est
ri g
. :5.
y
B'
e
a>
0
n^n
(n^jrt
C
C
"Hérietir à un. Sur les cAlcs BB' et CAV. le carn^ de ce moiliile
est itifêricur a
ffy^ e-^y^'à _ /i -h g- 'y y
on dafi remplacer dans celte formule ay par d::('Ji/î -- i)tt^ et
I expression obtenue tend vers Ttinite lorsque n augrueole iudéii-
""lîeni. Comme le module de - le long de (vi l^ud vers zéro
''"■^'Itie /ï augmente înd*'finimentj il sVnsuil que le module de la
»*jnclion cot^ — ^ sur le cou leur C/, reste moindre qu'un nombre
lix« M, quel que soit n. Ou jjeiïl doue appliquer à cette foncliun
laïormidef' t6), en supposant/?^ u. On u iei
— , , ,. /jTCOsar — sin:r\
Fro) == lïm( ; ) — o,
^^^i, qui représente le résidu de _ col; — — pour le pôle /{tz est
%^\ k y-. On a donc
'a valeur/" =• i) étant exceptée de la sommation, J^a série ohlenue
174 CHAPirRK XV. ~ FONCTIONS UNIFORMES.
en faisant croîlre n indéfiniment est absolument con\ergente, c
le terme général peut s'écrire
Il X \ X
X — A'TT Att kTzykT. — x) k^iz^
('-fj
et le module du facteur reste inférieur à une certaine limiL
X
pourvu que x ne soit pas un multiple de ?:. Nous avons donc •
définitive
(17; cotx = - -+-y^ ( — —1 — •" T- ) •
En intégrant les deux membres de cette relation le long d\
chemin partant de Porigine et ne passant par aucun des pôles,
vient
jr'(.-.oi^-î)^=Log(:^)=2;''->s('-K)^;S:'
— «
d*où Ton tire
-+- • ^ .»•
(18) sin:r = ;Fl~I fi—.^-\e*^^.
— «
Le facteur e^^-'^ est ici égal à T unité. Si dans la série (17) nous associa
les deux termes qui proviennent des valeurs opposées de X-, nous obten<-
la formule
(17) colx = — r-'ix > -— rr-z'
^ ' ' X ^^x^— k*TJ
Eu associant de même les deux facteurs du produit (18) qui corr -
pondent à des \aleurs opposées de A-, nous avons la nouvelle formule
(.8/ '*'"^=="-^n('-xèj
que l'on peut encore écrire, en remplaçant x par r.x,
lieniarques diverses. — 1" Les dernières formules mettent facilomtMiL
(') Cette décompusition de sinx en produit infini est due à Eulcr qui '
obtenue par une voie élémentaire {/ntroducCio in Analysin injinitorum).
en série en tic re. Nous voyons on ellel que — est la IjnuU* jjour n infini
^u poljoorac
1*00 y change x en ^-t- i, on voit faciJumeiii que l'on a
/i — jp
je qui donne^ en ^ai^altL tmitrc n indéliniincnl., sin(":i2' h- t:) = --sinrj^*,
Itl stfii'S -T- Tî) = — 5În^, et par suite sin(- -k air) = sin 5,
a* Jl est aisé de se rendre compte, sur cet exemple parlieulîcr, de la
|tit*cC5sité d associer à chacun des facteurs binômes de la Tonne i — — un
I «*•
[facteur e3tponentîe[ convenable, m Ton vent obtenir nu [ïrotluil ulisolu-
tnent convergent. Suppo-'i»oa*^, jiom lîxer les îtlees, .r réel et posiur. La
série \ -- étant divergente, le jnoduit
iifgrueute indélinîment avec m^ tandis que le produit
ICQtJ Ycr* iéro lorsque n croit indéliniment. Si l'on prend m — /i, le pro-
I ««U PiuQ^^a pourlimile J^ ; inai?^, si l'on fait croiue m et /t indépen-
' ^^•••^■iiciit l'un de î'aiilie, la limite de ec produit est courptétemenl indê-
^■"'fiinée (n" 28.J ). 11 est facile de le vériliert quelle (jotî *^oit la valeur tïe X|
*** ttio|«[i des faeteurs primaires de M* Weierslrass. Heinarquons d'abord
*l**c les deu\ produits inlini;*
l^i-r
^^* l'un i:t I autre absolument conver«,'ent!^, et leur produit Fj(>r)Fi(jr)
^» égal a — *
z
^*-ela fiosë^ nou* pouvons écrire le produit VtnQn eoniine il ^iiit :
' '*'^'(ue les deux nombre^ m et /t auyinculenl indt-litiiuieiil, le |iroduit
176 CHAPITRE XV. — FONCTIONS UNIFOBMES.
de tous les facteurs du second membre, en négligeant le dernier, a poi^-^
limite F|(j')F,(x)= —- Quant au dernier facteur, on a vu qu "^
Texpression
1111
IH h. ..H I — ...
a mi n
a pour limite logco, en désignant par co la limite du rapport — (I. n'^49, 161)- <
Le produit PmQn a donc pour limite J ^xIorw j qq voit comment celte*
limite dépend de la loi suivant laquelle les deux nombres m et n aug —
mentent indéfiniment.
3* On peut faire des remarques tout à fait analogues sur le développe —
ment de cotj?. Nous montrerons seulement comment on peut déduire Iss
périodicité de cette fonction de la série (17). Observons d'abord que 1^
série dont le terme î^énéral est -, —-. = — -z-n > où Fi» ^
° A-TT (A* — i)t: A'(X: — i;t:
dice A' prend toutes les valeurs entières depuis — 00 jusqu'à -hoc, sauf A' =0,
/: = I, est absolument convergente, et sa somme est » comme on le
voit en faisant d'abord varier k de 2 à -h x, puis de — i à — oc. Nous
pouvons donc écrire le développement de cota?
I
col:r = 1
X .r
-•-•0
=^ "" r ■*"^ [x — kr. "^ (A— i)7:J
les valeurs A- ■— o, A* — 1 éiant exclues de la sommation. Cela revient à
retrancher de chaque terme de la série (17) le terme correspondant de la
série convergente formée par la série précédente augmentée de -• En
changeant x en x-hn, il vient
-4- «
cot(a: -h 7: ) - - H î ^- y! 77 ^^ ^ 77— '
X X -h T. Tz A^ L^r— (A — 1)7: (A- — n-J
ou encore
cot( X -i- r) = ~ > —t 1 ; r- >
^ X ^L^-(A--i)i: (/:_i)7rj
— «o
A' — I prenant toutes les valeurs entières sauf o. Le second membre est
identique à cotjr.
II. — FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES.
FONCTIONS ELLIPTIQUES.
323. Fonctions périodiques. Développements en séries. — Une
fonction analyli(juc uniforme /(:;) est dite périodique s'il existe
II. — r ONCTIONS DOUOLEi::UlvNT l*(iHiO,)ÏOtEé- I77
UQ nonilire w, réel ou corapleve, tel nue roo miL, quel t|ue soil 3,
/{z-\-hi)^^f{z)\ ce nombre to est appelé période. Marquons
daus le plan le point d^iflixe <*>, et sur la droile indéfinie [lussant
par l'origine et par le point w, portons ^ partir de ruri^^lne, dans
ua sens ou dans laiilre^ une longueur égale à |tij|, un/nombre
tjuclcoDtjue de fois. Nous obtenons ainsi les points w, tatij» 3u>j , . , ,
riiii, ,,,, et les points — tu, — iw, ..*, — /ito, .,., Par ces
diflereuls points el par rori^ine menons des parallèles à une
.3uV<
^V
\
^iirection ipielcon<|iie dilïV' rente de Oto; le plan e:it ainsi deeouj-
fosé en une infinité de bnndes dV'i^ale largeur {J(**, 7^» ',
^ï par un point quelconque z on nirne nue parallèle à la direc-
l^^u Oto, on obtiendra tous les points de cette droite en faisant
varier lc paramètre réel A de — ao à -i- go dan ^ l'expression z -h Ato.
l'^n l»artieulier. si le pointas décrit la première bande AiVBH', le
l^oim linmologue ^ -f- w tléerira la bamle conlignë BlVC(7j le
points — '2*.) décrira la trnisi''nie bande, et ainsi de suite. Toutes
»6s valeurs de la fotieli«in /{z-) dans la première bande se repro-
^*'»ironi périudiquement dans les snivarjtes.
Soient LL' el MM' tletix droites indéfinies parallèles à la direc-
^^^'uOtii. Posons n^^c ^ ^ et cherclions la région du plan des h
^^•crite par la variable a lorsque le j)oînt z reste dans la ban<le
ijS CHlPITRIî KV, — FONCTiOÎ*S iMKORAlES.
indéfinie comprise entre les tienx parallèles LL\ MM'. Si x -h ^3
€sL Taffixe d'irn point de IjL', on obliendra tous les autres poini
de celte droite en posant z =^ %-^ '^î -^ Xw, et fîîîs*Tnt varier A d
— 30 à -r X* ]l vient alors
w = ^w ^ — e^^'f e ^ ;
lorsque )» varie de — oc à -I- x, u décrit un cercle C| nyant pou
crotre i^origine. On voit de même que, lorstjue z décrit 1
droite MM', u reste sur un ccn^le C^ concentrique au premier
lorsque le points décrit la bande indëJinie comprise entre les den
droites LL\ MM\ le point u décrit la couronne comprise entre le
deux cercles C|, C... Slais^ tandis qn'â une valenr de z nC corres
pond qu'ujie valeur de tr^ à nne valeur de u corresporuleiit un
infinité de valeurs de z lorinanl une [progression aritliniétîque d
raison w^ illimitée dans les deux sens.
Une (onction périodique y(^), admettant la période (o, et holti
morplie dans la bande indéfinie comprise entre les deux drojies LL
MM', est égale a une fonction 'f{H) de la nouvelle variable a, holo
rnorplie dans la couronne comprise entre les deux cercles C| et C-
En efi'et, à une valeur de it corres|ït>ndent bien une in (i ni lé (I
valeurs de z; mais ces valeurs de z donnent tiHiti*s la nnVme valeii
de /(r), en veiiu de ta périodicité. Daulre part, si ii^ est une va
leur particulière de «, et z^^ "ni^ valeur correspondairie de z^ I
valeur de ^qut tend vers ^(, est une fonction holomor|die de w dar
le domaine de u^\ il en est donc de même de ^{u)> Nous pouvnr:
donc appliquer a cette fonction 'f(u) le tbéorème de t^auren^
dans la couronne comprise entre les deux cercles C|, C2, cet
fonction est égale à la somme d'une série de la forme suivante :]
f^itt)
Xmfl'
m = — «
en revenant à la variable z^ on en conclut que la fonction péric
dique /(-) est égale, à Tin té rieur de la bande considérée, à]
somme de la série
dlh)
/(-)=2
K„,e
11. — PoNlTTIOXS IMU IH.KAIENT pi:RioiKt.i(:i:s. r79
Si la fonclîon périodique /(.j) csl holomorplic lifins huil h.' [>lan,
ou peut supposer que les deux Jruitrs Ll/^ M.M'^ qui M mi lent t:i
L»^t^€le, sVloign^L indéfiniment^ Tnne vers le liîinl, Tiiutre vers le
L»»^. Toute fonction fyériOilifjut^ entière est donc développa ble
^0% Mine série ordonnée snivant ies ptiissances, positives et négci-
£i%.*^s, de e *^ , et convergente pour toute va le a r finie de z.
li^i. Impossibilité d*iine fonction uniforme à trois périodes. — D'après
VI rt thcarême ctîlèîjrc tir Jar*il»i, une fmietinn mnifôrriH- ne peut adiiHHlro
|»ttts de lieux iiéritHle-* f!fsii*icres. Pour le montrer, il siifnt n\ iilemment dr
|iroijver qu'une funeliim uriiruriiu^ ne peut ^^o[^ trois jkm irules ♦lisLÎnctc^.
Nous (Jtitnontrcron.^ iraliortl le lemmc 5iri\ant :
Soient a, h.c Iroi* quiinliU'** quelcmiques, rrclte?^ ou îniîiiîinaire^, et m,
"♦ /> trois nombre?! enltrr^ tirlniraire*»» posiiiliii ou né*^atifs, dont t'un au
''^oéns est différent de zéro. Si l'on allribiie aux entiers^ m, /i, p lotis lt*«i
^y^téiues de valeur* possiliïtis, sauf m = n = p ^ o, la iimite inférieure
^ \n%a -t- nb -h/?c| eti égale à sera.
Iniaginnns reii^einble (E) des poinl? du plan dont l'afllxc **sr de \.\
''•Tie mil -r- nh -^ pc. Si deux points correspondant à denv systèmes
^•ïiîcrs iliiïereni^ rnùiridi'iit, l'on a par exemple
ma -h nh -^- pe -^ tn\a -^ riyb -^ />, c.
fo
|>s»r *iMlf*
im
tn i)a—{n^fii}b-i-(p—pti €
f>f
I ^«^ a« moins des nombres tn — //*,. n — n^ p — p\ ii't*iant pas uni. Dans
I ^ Cas la proposition C5( evidt'ni*.^ Si lou^ b^s points de l'ensembJe ( K) sont
*^^incls, foit aï la limite inférieure de \ma -¥- nb '\- p€\\ ee nombre ji^
«^^^
iii^st la limite inférieure delà (listant*-* de den\ points f|uekM)iKpjes de
ensemble ( E ). Kn cfteL la distance des deux (joints iraflixes mu -^ nb -h pc
^' f>t| «1 -»- /*! 6 -f- px € est égaie â \(m — ni^]n -^ (n — n^jb ^-( p -- p^ )r\.
*^^>Ua allons montrer qu'on est conduit à une cimcln^ifui alïsurde en sup-
Vosant l > o.
Soît ^ un nombre entier positif; donnons à cbaeun des nombres entiers
•'N n,p^ Tune des valeurs de la suite — IN, — ( N — i) , , ., o, ...,%— k N,
^^ associons de toutes les manières possibles ces valeurs de m, «^ /?, \ous
''^tciions ainsi faN — 0* points de l'ensemble (E), et, par liypotbèse, ces
P'>ints sont tous distincts. Supposons |«[^|^l^|c|: la distHnce de l'un
(^ttclconque de ces points à roiif;i[ie est nu jdtis é^jule à 3N]f7|. Ces points
^•'t donc situés à Tintcricur d'un cercle C de rayon 3IN]af ay»nl pour
c«tiirc Tongine, ou sur le cercle' lui-même. Si de cbacuti de ces points
^nimc centre on décrit une circonférence de rayon S, tous ces cercles
•^Tont intérieurs au cercle Ci décrit de l'origine pour centre avec un rayon
*ÇiU3N|a| -4- 5, et seront extérieurs les uns aux antre*;, car la distance
i8o cxLxfmK XV. — ro?icTioie mciroavss.
ries centres de deux «feaire eai. ne peut être pins petite que ao. La somme
d<» aires de tons ces cercles est donc in£énenre à Taire dn cercle Cf, et
Ton a
OU
f^ second membre tend vers zéro lorsque N croit indéfiniment; cette
inégalité ne peut donc être Térifiée, quel que soit N, par un nombre positif o.
Far conséquent la limite inférieure de [ma -r- nb -t- pc\ ne peut être un
nombre positif; cette limite e«t donc zéro, et le lemme est établi. —
\ous Toyons donc que lorsqu'il n*e\iste pas de systèmes de nombres»
entiers m, a, />(sauf m — n = p =o), tels que l'on ait ma -h nb -i-pc = o,
on peut toujours trouver pour ces nombres entiers des valeurs telles que
l ma -¥- nô -r- pc\ soit plus petit qu'an nombre positif arbitraire t. Dans
ce cas une fonction uniforme J'iZ) ne peut admettre à la fois les trois
périodes a, b, c. En effet soit z^ un |>oint ordinaire de/(^); du point z^
comme centre décrivons un cercle de rayon s assez petit pour qu'à Tintc-
rifur l'équation y< z) =/{z^) n'ait pas d'autres racines que ^ = c^ (n**299).
Si a, bf c sont des périodes de/{z), il est clair que ma-^nb-z-pc esl
aij<tsi une période, quels que soient les nombres entiers m, n^ p, et l'on a
/< -a -i- ''«^ -^ nb -^ pc) = /( Jt )•
Si l'on a choisi m, /i, p de façon que ma -+• nb -r- pc\ soit < £, l'équa-
lion f(z ) = /(Zq) aurait donc une racine -Sg, différente de Zqj et telle que
'Zi — ^,)| soit < î, ce qui est impossible.
Lorsqu'il existe entre a, 6, c une relation de la forme
(zo) ma -h nb -i-pc = o,
nans que les nombres m, /i, p soient tous nuls, une fonction uniforme y*( -s)
peut admettre les périodes a, ùj c, mais ces périodes se réduiscnl ù deux
ou à une seule. \ous pouvons supposer que les trois nombres entiers m,
/i, p sont premiers entre eux dans leur ensemble. Soil D le plus grand
commun diviseur des deux nombres w, n: m = Dm', n = Dn. Les dfu\
nombres m', n' étant premiers entre eux, on peiil trouver deux autres
nombres entiers m*, n' tels que m' n" — m' n' = i. Posons
m'a ~ nb = a\ m'a — n' b — b\
on aura invcr<^cment a = n' a — n b\ b — m y — m" a \ si a cl 6 sont des
p/rriodes de/(^^;, il en est de même de a et de b\ et réciproquement.
On peut donc remplacer le système des deux périodes a el b par le système
/l«s deux périodes a' et b' , La relation (20) devient Da -\- pc = 0; D et y>
• liint pr« miers entre eux, prenons deux autres nombres entiers D' et y>'
'eh que h/?'— D'/? = i. et posons D'à' h-/>'c = c'. On tire des relations
Il» — FONCTIONS nOl^BLEMKNT PhimODl^lfES* \H\
précédentes a = — pf^\ c — Dc\ et l'on voîl que les h ois périodes a, />, c
sonl (les combinaisons des ticuv péiiotles é' el c'.
Remarque* — On déduit romme corollairi? du lemme précédent que,
ïi a cl 3 sont <leij\ quamilés réelles cl /«, ti detjx immbres entités arln-
trfttri's(donl Vnn au nioîu^ n*eM pas nul ), In liniiic inféiieure de |ma h- //p|
Ml égale à zéro. Car si Von pose a = at^ & = p, c = < , le luodulo de
mx-i-n^-rpi ne peut Aire inférieur a un nombre t<i que si l'on q
^ = 0|lw«H- rt pi < t. Il en lé-^ulie qu'une fonction unirorme/(3) ne peul
ailractlre deux péri«>des réelles dislincles a el fJ* Si le rapport — est incom-
men^iriible, on pourra trouver deu\ nombres m et n tels que [ma 4- /ip|
*oH <i, el le raisonnement s^aehèvera comme tout à Tlicure. Si le rap-
port - cslcommensurabieet éï*al à une fraction irréductible — * choisissons^
a ' n
dc»\ nombres m' et n' tels que mn — m' n — i , et posons m^a — - /i'p t:^ y,
Le nombre -y est aussi une période, et des tleun relations mst^ /ip = o,
fn'z^ n*^ ^ Yt Oïl ï^ii'*^ s — *- /i ^t ? = — "^T» *^^ sorte que se et p sont des
"iuUiples de la période uniquti *;- f**'^ne fiiçou plus généralcj une fondion
•iHifoiriic ^t c ) ne peul admettre deu\ périodes dislineles a et b dont le
f'<ipfûr( soit réel, car la fonction /(ciz) admet irait les deux période;*
réelles i et ^.
a
•îâ^î. Ponctions doublement périodiques. — Une fonclinn doii-
lïlenienL pi-riodtf|Lic o>il unr fonclioii uniforine udnieUant deux
perîoJes, donl le rapport est imagioairc. Pmir iiûlis conformer
'**x nolalions de M. Weterslrass, ooiis désignerons la variable
^«dépendante par i/, les deux périodes par 'iiù el 2 tu', el nous sup-
poserons que le coefficîenl de / dans — esl posîlîf. Marquons
«ans le phio les points 2ti>, 4<^>>*n'>s * * , et les points aty, 4^'^»
^*'^, .. : par les poiols 2mto menons des [larallèles à la direc-
^•oriOt»' et par les points îiw'^>Mes parallèles à la direclion Ow,
^oiïs décomposons ainsi le plan en un roseau de pTîr;ïllélof»;rafniues
^8^Uï [/ig. 77). Soit/(w) une fonction nnifurnie ad niellant les
*^^"U périodes aw, acii'; des deux relations /(a -^ 2 0i)^= /(u),
A"-^i(a'^^=^y*{«) on déduit aussilôty(«-f- ^//îeoH- •i//?/o/):= /"(i/),
°^ sorte que 2miù -\- Am^ix^' est aussi une période, quels que soient
l^s nombres entiers rn et m'; nous la représenterons par an\
'^<îs points-périodes sont préciséincnl les sommets du réseau de
parallélogrammes prccédenls. Lorsque le point rf dét^^it le pa
iSti CIIAIMTRK XV. — FOXCriOXS IMPORMES.
rallélogramiiie OABC, ajanl pour sominels les points o, 2w,
aw 4- 2Ci>', iiù\ le poinl u H- 2iv décrit le parallélogramme ajaal
pour sommets les poinls 2(v, 2(v-î-2o>, 2 li' -h 2 w -i- 2 eu', 2«v-h2Ci>',
et la fonction y(f/; reprend la même valeur aux points homologues
des deux parallélogrammes. Tout parallélogramme avant pour
sommets quatre points Woj Wo4-2Ci>, Wo-h2co', i/^ 4- 2 w 4- 2 w'
s^appelle un parallélo g ranime des périodes; on considère en
général le parallélogramme OABC, mais on pourrait remplacer
l'origine par un point quelconque du plan. La période 2Ci>-f- -ito'
sera désignée, pour abréger, par 2w"; le centre du parallélo-
gramme OABC est le point w", tandis que les points w et to' sont
les milieux des côtés OA et OC.
Toute fonction entière doublement périodique est une con-
stante. En effet[soit/(//) une fonction doublement périodique; si
elle est entière, elle est bolomorplie dans le parallélogramme OABC
et le module dcy(//) reste toujours inférieur dans ce parallélo-
gramme à un nombre fixe M. Mais la valeur dey(//) en un point
(pielconque du plan est égale, d'après la double périodicité, à la
valeur de/(u) en un poinldu parallélogramme OABC. Le module
de celte fonction reste donc inférieur à un nombre fixe M; c'est
une constante, d'après le théorème de Liouvillc.
- FfïNirrtOVS BoLmLEUJNT l'KUlOlïlijUES.
326, Fonctions elliptiques. Propriétés générales. — Il réi^ulle
du théorème précède ni i|u\uie fciiKlian doiibleinenl périadique
acltTiet des points siii<iiiliers à dislaiico finie, à nioins de se réduire
a uoe consUinle. On appvUe fonc/iofts t^lfipfifjttes les fonclions
fri€§rornorpbes doublement [ïérîodtques, Duns un parallélogramme
des ptïriodes, ime fonction elliptique a un certain nombre de
|if%les; nn appelle ordre de lii fojiclioii le noml.*re de ces pèles,
c:fmocun d'eux élanl cuiuplt^ avec son de^rê de muhiplicilc. Hemar-
4ji«on& que si une fonelioii elliplique /"( w) a un pôle Wq sur le
^c:ol«;f)(I, le poinl tfa-f- ti to silué sur le côti* opposé ABesl atissi un
^ôle; niais, en évaluanl le nombre des pôles compris dans OABCy
ott oc doit couipler qu'un seul de ces (ïides. De mtVrite, si Tori-
^ginee^i uu [R*le, tous les «iommets du réseau sont aussi de& pôles
tle J{it)^ juais ou ne doit en conipler ^pTuii dans charpie (>aral-
lt*logranuiie. Il suffira it par exemple de (lé[dacer iuliniment peu le
somniti du réseau t|ui est à Furi^irje pour que la fonction consi-
dérée /(u) n'ait plus aucun |)ôle sur le contour du parallélo-
gratntae. Quand nous aurons à intégrer une fonelion ellip-
iit|iie/(//^ le long du contour du parai lélogranj me des périodes,
'^ous supposerons toujours qu'on a déplacé, s'il est nécessaire, ce
parallélogramme de façon que J(ii) n'ait pas de prMes sur le
Contour. L'application des tliéorémes ^énrraux de la théorie des
^•ïciions analytiques conduit liien aisément à des propositions
**^«idâmeniales :
» La somme des résidas d'une fonelion eilipift/tie, relatifs
^^'^ paies situés dans un parfiiiélo^^ra/nme des périodes, est
Supposons, pour fixer les idées, {\ue /{u) n'ait aucun pôle sur
^ Contour O.VBCO. La somme des résidus relalifs auit pôles
*^*»és à rintérieur du contour est égale à - — -. //(w) rf«/ Tinté-
^*^lc étant prise le long de OAHCO. Cette iutégrale est nulle, car
^ Bofume des intégrales prises le long de deux côtés opposés est
'•^'lle. On a, par exemple,
/ fi ut du ^ I fiujdiu f /iH)du=^ I fi H) du;
t84 CHAPITRE XV. — F0NCT10?CS LXlFORXir^.
si nous rem plaçons dans celle dernière itiiégrale, it par u H- %k*ï\
on a encore
/ /( u) du — I /( n - iw ) du = I fi H ) du — — I fi u \ du.
On verrait de même que la somme des ifilégralcs le long de AB
et de CO est nulle. Dn reste» la proprielt^' est prest^iie chîdenle
sur la figure ijig' 7^)î considéroos en eflbt deux éléments corres-
Fîg, 78.
.^
pondants des deux intégrales le long de OA et le long de BC Ani
points m et m' la valeur ût fiji) est le ni^me, tandis que les va —
leurs tle dtt sont opposées. Le tljéoreme précédent prouve qu'iirm^
fonclion elliptique f{it\ ne peni avoir on senl ptMe du preini^^TJ
ordre ddns un parai lélt*gramnie des périodes. Une fonciion elii^^^-i
tique est au moins dn second ordre.
'?.^ Le nombre des zéros d'une fonction ellipliqup dans
para Né io gramme des périodes est égal à i* ordre de
fonction (eliaenn ties zéros étant complé avec son d
miilliplicité).
ifans ^^^
le c^^4
egré ^i
Soi\f(ff) une fonetinn elliptique; le qiuvlient
fin)
fi " I
?(''>
^S
ans^si une fonciion ellipiiipie, et la sonnne des résidus de î^ C ''
dans lin parallélogramme est égal au nomlire des zéros de /*C ^'*
diminué du nombre des pôles (u'*30(>). En applîquanl le tli<^*^"
réme précédent à la fonciion ^(ff)t on en conelul la proposi l'*"*^
énoncée. D'une façon générale, le nombre des racines de Véqft^'
ti(jny"(«)=: C, dans un partjllélogramme des périodes, est égîi' **
Tordre de la fonction, car f(it) ^ C a les mêmes pôle% quc/(///J
quelle que soil la constante C.
11. — rOXCTÎONS tWiriILtîMKM" PKHÏODIQIE?;. lft5
3* La différence entre ia somme des zt^ros et la somme défi
pf'Uex dUt ne fonction elliptique^ dans un parallélogramme des
pi' ri 0 les f est égale à une prriode,
CoDsidérons rîntegrale -— . / u ^ du le lon{ç du contour du
parallélogramme OABC Celle inlogralc est l'gale, nous Tavons
Vii(n'30B), à la somme d*es 7.éi"Os de f(u) silués u l*inléi-ieiir de
ce contour diminuée de la somme des pôles de/(u\ dans le même
contour* Évaluons la somme des inl<?grales provenant des deux
cijle^ opposés OA el BC
l u -^T dit - i
u ■:— : (lu:
SI nous changeons, dans la dernière intéf^rtnlc, // en u -f- 2 eu', celle
snmnir Pïîl: eiirore ri;:»le :%
/ H ^ du — / (il -+-
011
r en îijanl égard a la périodicité ilefitt)^ à
r
ato
fi ti. I
/ 1 n .
///.
*-iQt»îgrale / ^ ^West éf^.ile à l;i varî:innn de Lo£î[/(m)]
**''5cpîc é/ décrit le eolé 0\;/{u) revient à sa valeur initiale cl
ï*^^ conséquent la variation dt* Lo^[/'(fr)] est égale à — -im^TLty
^2 étant nn nombre entier, I^a somme des intégrales le long des
^^<^s opposés OAet BC est donc égale a ;— . (4/?ï:;Trû./) = 'inijUi*.
^^ verrait de même que hi su m me des intégrales le long de AB et
^ CO est de la forme *^wi|t*i. La dillérence considérée est donc
^^le à 'zmiiù -h 'i/?f2<o', eVst-à-dire à une période.
l-a proposition s^apjdirjue aussi aux racines de Téquation
J\*t)z=: C, comprises dans un parallélogramme de périodes, quelle
1*<ç «ioit la conslanle C, pour la même raison que plus haut.
i" Entre deux fondions elliptiques, aux mêmes périodes, il
^^Ute une relation algébrique.
i86
CIIAt»lTlll£ XV.
PONCTIOXS L'XlFÛUHliS,
Soient y(«), /,(i/) deux functioiis elliplicjnes, aclmeltanl le*
mêmes périodes, 2 tu, '^ti)'. Dans un parallélogramme des période
prenons le^ [)oints cï,, a^y * , ., a,n cjni sonl des pales pour rime(
r\iulre des deux fanctionsy*(«),y*^ («) ou pour les deuxàlafoîs>
soit |ji, Tordre de nuiilipUcilé le plus élevé du pôle €7/ relatîveiij& t^i
à ces deux fondions ; nous [Poserons p , -I- pia 4- - . . -h [x^ = N. S
d'autre |>arl F (a*, y) un polynôme en lier de deg^'é n k cuefficie «ii
cODslanLs; si l'on remplace dans ce polynôme *r ei y par / ^ «41
et /^{li) respeclivement, le résultat esl une nouvelle roncl_f€>i
elliptique ^(u) dont les pu le s ne peuvent être que les poînl» CM' éf
a^f . . ^ , <ftu^ et ceux qui s'en dt'duJseiU p^u" Tadditiou d une pério</^'
Pour tpie cette fonction <!>(«) se réduise à une constante, il fa^ ^
et il suffit qup les parties princi[>nles dis[»araissenl, dans
domaine de chacun des |)oints a,, fïj, . . . . </«|, Or le point a, e
un pôle d'ordre au plus égal à /qji, pour 4>(«). En écrivant qu€^
tous les coeflicients des parties principales sont nuls, on aura do
en tout au jdns
relations linéaires el liomoj^ènes entre les coefficients du pc
Ijnome F(ar, j'), le tenue Indépendant de x el de y n^y figurant
pa
s. Ces coefljcients sont au uoinbre th
ft i ft
3)
; si Ton choisit n
assez grand pour fpie Vnn ml /?( aï h -i j > m N«, ce qui est pos-
sible, (luisque fi(/t-h'^) — i^n croît indéfini ment avec /i, un
aura un système d'équations linéaires et homogènes, avec un
nombre d^înconnues supérieur Ti celui des équations. Ces équa-
tions admettent toujours un système de solutions non toutes
nulles; si l*{Xyy) est le polynôme ainsi obtenu, les fonctioDs
elliptiques y*( II), y*! (m) satisfont à la relation algébrique
C désignant une consilaute.
liemurfjtic.s, — Avant de quitter ces généralitésj faisons encore
(pielques remarques dont on aura besoin par la su île.
Une fonction uniforme /"( m) est/?rt//-e, si Ton 'àf[^u)^=/(^u\\
elle est impaire si Fou a /{— ti}^= —/(tt). La dérivée d'une
fonction (juire est une l'onction ijn paire, el la dérivée d^uue func
li. - KO>«:ri<>\S DollïLHAUvM" PKUKUîlQlESi.
>ii ifn[iylre est une fonclioii paire. D'une façon générale^ le^i
Jrîvées d^ ordre pair d'une ("on cl ion paiie sont elles-mêmes des
iiiclîons paires, eL les tli-rivée^ d'ordre impair des fondions
I tn paii'cs. Au conlraire, ies dérivées d'ordre pair d'une fonction
impaire sont des fonclions impaires, et Jes dérivées d'ordre
ipair soDl des fonctions paires.
Soil/(«) une fonction cllîptitpie impaire; si \r esl nne deini-
h*îode, on doit avoir a la lois/tirj =^ ^/( — ^♦^'ji ^^/{^^')^^/{^^^^*)i
lisqiie il" = — tr -H -^tt'. Il faut donc qiie^(»^) soit nul on infini ^
*e$t-à-dire fpie \v soit un zéro on un po!e de /*(//), L'ordre de
liilliplicité de ce zéro on de ce pôle est forcément im|>air; si iv
éliiil »io xéro d'ordre pair 9.n de /"(w), la dérivée /'^^'*'(w), qui
fcesl impaire, serait holomorpite et difl'ércute de zéro pour u ^ iX\,
■ Si iV util il un pôle d'ordre pair de /{a), ce sérail un zéro d'ordre
!
pair de yj En résunié, loute demi-période est un zéro ou un
pMe d'ordre in ip a ir et une fo n c t îo n rl/ip i iq u e in }p a if ' e ,
Si une fonctiini elli[»ti(pie piiire /'(^i) adincL une dctui-période iv
pour pôle ou pour xéro, tordre de muliiplicilé de ce pâle ou
»^ce zéro est un nombre pair. En elTel, si [»ar exen»ple vr était
"n téro d'ordre impair 'An-\- i, ce serait x\n zéro d'ordre pair de
'a dérivée /'(w) qui est une fonelion impaire, et de même pour
'•'^pôlrs. Comme fe double d'une période est aussi une période,
'^J'il te que nous venons de dire dç^ dejni-pérîodcà s'applique
iiussï aux périodes elles-mêmes.
•>2^ La fonction pu. - Nous avuns déjà remarqué que toute
'*^^ctjon elliptique a au moins tleux pôles si jn pies, ou un pôle
ytJubloj dans un parallélogramme de |)ériodcs. Dans la notation
*'*^ Jacobî^ on prend pour éléments simples des fonctions ayant
^^* pôles àim[des; dans la ntjlaticui tie Weierstrass, on prend au
•^t^oiraire pour élément simple une louction elliptttjue ayant un
^'^^l pélc double iluns un pu ra 1 lé lo|jjra noue. Comme le résidu doit
^"C niil^ la partie principale, dans le dojuaiue du pôle a, doit
^"*dç la forme - — '■ -» Potir acbevei- de vjréciser le iirobléme, il
( H — M )» J I T
^yllîtdç prendi*e A ^= t , et de supposer que les pôles de la foncLion
'^'*U\jrîginc w = o et tous les points- périodes 2tt^
l88 CHAPITRE XV. — FONCTIONS UNIFORMES.
Nous sommes donc conduits à résoudre d'abord le problème sui-
vant :
Former une Jonction elliptique, admettant comme pôles du
second ordre tous les points 2«' = 2mto-i- im'tJ, où m et m!
sont deux nombres entiers quelconques, et n* admettant pas
d* autres pôles, de telle façon que la partie principale, dans le
domaine du point 2 (v, soit r •
Avant d'appliquer à ce problème la méthode générale du n** 320,
nous démontrerons d'abord que la série double
(21)
Jmà I nt lu "1- m' oj' jf*
OÙ m et m' prennent toutes les valeurs. entières de — oc à -4- 00
(la combinaison m = m' = o étant exceptée) est convergente,
pourvu que l^ exposant [jl soit un nombre positif supérieur à 2.
Considérons le triangle ayant pour sommets les trois points u = o,
u = mtx), w = mo) 4- m'iù' ] les trois côtés du triangle sont respec-
tivement |/// w|, |m'a)'|, \miù -h m'a>'|. Nous avons donc la relation
|ma) -t- wi'io'l' = m*|(o|*-f- m'*|w'|'-h a/?îm'[ioto'| cos6,
0 étant l'angle des deux directions Ow, Oo/(o<c5<^)- Soit
pour abréger |to| = rz, |<o'|= 6, et supposons aS,b, La relation
précédente peut encore s'éciire
\nnt} -\- /«'io'|2 = /;iïrtî_h ni'-b^ûi intm'ab cos0,
l'ang-le 0 étant égal ô à si 6 *? -> et à tt — 9, si 0 >- - ; ont anj;le B
ne peut être nul puisque les trois points O, w, w' ne sont pas en
ligne droite, 'et Ton a o ^ cosB <] i . On a donc aussi
|mto -h /;i'w'|s = (i — cos8)(//i'r/- -+■ m'^b^) -4- (•osH( nia±: ni' b )-,
et par suite
Il suit de là que les termes de la série (21) sont respectivement
inférieurs ou é'î:aux à ceux de la série 7 { —, r; ) * niuUir)liés
11. — FONCTIONS IJOIBLKMK^T HÉlVJODIQUES. j8c>
tpar un facteur consLant, cL nous savons que celle dernière série
tel ccovergente si l^ex posant - est plus grand que un (1^ n" 172).
L»a série (21) est donc cou verge nie si l'on fait ;jl := 3, ou ik:= i.
D'il l> rus un résultai démontré plus haut (n'^ 320), la série
IOt il ) = - -h > — •; — - ( it' — ,
av<
ch
m tu ^ m t»j J
tprésente une fonction jnérornorplie aduieUanl les mêmes j iules
[avec les mêmes parties principales que la fonction elïi|>tique
] cherchée. Nous allons montrer que cette fonction w(w) admet pré-
cUément les den\ périodes 2ta et ^w'. Considérons d'ahord la
%tne
Y\ '■ ^1
ui) 2*v=: *A/niù -r 'A/n'iÈi\ la souinialion s étendant à toule?^ les va-
leurs lîtitières de m et de nij saul'/zf i^ h/=^ o, el fit -s — 1 , m* = u,
(jctle série est absolument i-onvt^iginte, car cV'st la série. 0(1/ 1 ou
Ton aurait remplacé u pur — !itpj, après avoir su[>pj'jmé deux
UTines. On voit aisément que la somme est nulle, en la considé-
raûlcoaime une série double» et en évaluant séparément chacune
des %Qes du tableau. En relranclianl cette série de z(h), nous
[»ouvoas donc écrire encore
I
lwcomlnnaîions(m ;^ m'== o)^ (m =^ — i , m' — u) étant luujùiiis
<ï^cl(ie3 Je la sommation. (_^han*^eons maintenant u en t( — 2^>;
3 ^ictit
ÇOl — 'Atll) = i- H- V
' I
'** '^'Jiubinaison //i ^ — 1 , nt' ^= o étant .seule exclue do la som-
"dation, Mais le second membre de celte égalilé est idcntitiue
^ ?('')• Cette fonction admet donc la période 2ti>, cl Ton vérilie-
*"*'ï «le même qu*elle admet la période 'iu}\ C'esl la fonclion qui*
"♦ neierslrass représente par la notation pti^ et tjui est ainsi
Jéfiiiie par régalité
in)
il' ^ L' " ^ 2"')^ '1*'' J
(u — /;ï tii T-/Jï'cu*).
FONCTIONS L'XIFQBMFS,
IQD criAPlTHIS XV*
Si Ton fiiil tt ^= o *lans la tlilTerfiice p« -» Lous les termes
la sorame double sanl nuls, et celle différence est nulle elle-méif
La fonction p;/ Joiiit donc des propriéléî» ^iitivante^ii : ■
i" Elle est donljlenienl périodique, el îidinot ponr pôles to
les points 2tv, et ceux-là seulemenl;
2"* La partie principale, dans le domaine de Forî^ine, est -
3** La diflerence pu ; est nulle pour a = o, JE
Ces propriétés caractérisent la fonction pit. Ku effet, ton
fonclion /( tf) |>ossédîint les detix premières pro|>riélés ne diifè
^ de pu que [)ar une constyute. pnistpic la différence esl une fon
lion doubleinenl périodique n'ayant aucun pôle. Si la foncLic
est telle en outre que /(w) -; soÎL nul pour u ^ o, /(//) —p
est nul pour u =^ o; on a doucy((/ ) ^=^ pit. m
La (onction j)( — u) possède évideninienl ces trois propriété*
on a donc p{ — u) =- pu et la fonction pu est paire, ce tpi'on vo
aussi faeitement sur la for mule (21).
Considérons la période dont le module est le plus petit, et soit
son module. Dans le cercle Cg de rayon o, détail de forigin
comme centre, la différence pu esl holomorplie, et peui étr
développée suivant les puissances positives deu. Le terme généri
de la série (22), développée suivant les puissances de «, donii
3«'
{u — atv}*
{àW}'^ {2.1V)^
el Ton s'assure aisément que cette série admet pour foncuo
inaîorante -,,-■,-
et h plus forte raison Tcxpressio
I —
\w
obtenue en remplaçant i — 7—7 par 1 ^- Comme la série \ , —
l * I 11' I "^ Q ^d I U'
est convergentej il en résulte que Ton y le tlroSt d'ajouter lerm
a lerme les séries entières ohtcjiues (n*^ 267). Les coeflicients dt
puissances impaires de u sont nuls, car les termes provenant Ai
périodes opposées se délruiscnl, el nous pouvons écrire le déx
II. KO?<CTlQ?î.S DOL'IILEIIENT PERlOmQUES.
loppemenl de pu
PM =
«'
CWf-'
nu*
191
Um)
Tandis que Id for m 11 It' (22) s'applifiiie dans louL le [dan, le
nouveau di^veln|ipemenl (a-^) n'e^i vafabïe cj*rà Finlerieur du
cercle Q, a>anl pour cciilre l'ori|;ine el passant p«ir le poinï-
période le pi y s voisin.
La dérivée p'f/esL elle-merne une fonclioii elliptique, admettant
pour p*iles du troisième ordre tous les points 2ir; elle est repré-
$e»l«fe dans lonl le [>lan par le développemenl eu série
iû)
1 v^ 1
p « = — z — '^ y ' — - —
D'une façon générale, la dérivée d'ordre/*, p^"' i^ est nne fone-
lïon elliptique admettant tons les poirjts u ^— .**r pour pôles
•i^lp^"'!» r=f— |)«
( — 1 r' I .A. . . ui-i- 1)7
(«— ï"')'*
!^«ii* laissons an lecteur le soin de vérifier la légitimité de ces
développements, ce qni n'offre aucune difficulté, d'après les pro-
priétés établi es plus haut (n'"!:>98 et 319),
"28. Relation algébrique entre pu et p'u, — D'après uu
théorème général {n^ 32B), il existe une relation ai^^éhrique
«•n Irc pri et p'n. On Tobtienl aisénienl comme il suit. Dans le
domaine de Toiigine^ on a, d'après la formule (23),
p'« = — ^ ^ ICiU -h 4^3 «3.^, ..,
* M* «
r 3 Cl
19» CHAPITRE XV. — FONCTIONS UMFORAlh'S.
les termes non écrits élaiit lous nuls pour u := o. La d
rence p'''^{u) — 4p'w admet donc Toriginc comme pôle du se(
ordre, et, dans le domaine de ce point, on a
, -, aocj ^
P*('0 — 4P^" = j^ 28C3 H-...,
les termes non écrits étant nuls pour u ^^ o.
La fonction elliptique — loCipu — 28C3 possède donc
mêmes pôles avec les mêmes parties principales que la fouc
elliptique p'- — 4p'^» et leur diDTérence est nulle pour u =^ o.
deux fonctions elliptiques sont donc identiques, et nous avoi
relation cherchée que nous écrirons
en posant
La relation (27) est fondamentale dans la théorie des foncti
elliptiques; les quantités ^.j et g^ sont appelées les invaria^
Tous les coefficients c\ du développement (7.3) >:ont des fo
tions entières des invariants ^^ et ^3 ; de la relalion ( 2- ) ou déd
en effet, en prenant les dérivées et divisant par '.>,p'w,
(7.8) j>'w =6p«w— ^.
D'autre part on a, dans le domaine de l'origine,
])" u — — -r~ 2 Cj — J '2 C3 a— i . . . -H ( >. ). — •!) ( 1 \ — 3 I t'x /^•''« - • -
lin remplaçant pu el p" u parleurs développements dans la i'
tion (28), et en identifiant les deux memljies, on oblienl la 1
lion de récurrence
(•>.
— — , , y c., rx_v [ V — 1 , l^^<^. , ( À — > ) I
(|ui permet de calculer de proche en proche lous les coe
cionls Cl au moven de c-j et de C3, et par conséquent do i!-:
Il, — FONCTIONS DOLBLEMENT PEHIDDIOl i:S. 10
et gif on Lrouve ainsi
Ce calcul met en évidence ce fait algébrique remarquable, t\uc
toutes les sommes > r- s'expriment par des fondions entières
dcà deux preniières.
Nous connaissons a priori les racines de pu, CcLLc fonction,
élanldu troisième ordre, admet trois raciueii dans un parallélo-
;;rannnie. Connue elle est impaire, elle admet \vs racines ii ^^ to,
w=ù)'^ e/ ^ ti>'' = tj 4- tjj' (n" 326. lîemarques). D^iprcs la lela-
1100(27), '^^ racines de Féquation 4j*'^ — g-ip — g^^==^ o sont pré-
cisément les valeurs de pu pour u =^ tu, tù\ tù" . Oii représente ces
li'ois racines par ei, f^a, e^ ;
ces irois racines sont difierentes. En effet, si l'on avait par
eieniple ei = ej, Téq nation pu =^ d aurai l deux racines doubles to
eiù/à rintérieur d*un parallélogramme des périodes, ce qui est
itnpossibb^ [juisque p^/ est du second ordre. On peut encore écrire
<-'^ entre les invarianls g^r gz cl les racines (?|, ^2, e-x. l'on u les
ichitioDs
i-H e.-h €f3= 0*
4
4
Le discriminanl -^ (^J-^ ^7ôî) ^^^ nécessairement différent de
JttTO.
329* I«a fonctionna. — Si nous intégrons la fonction j>« — —,
**»ivaût un chemin quelconque partant de Torigine et ne passant
1*^'" aucun pôle, nous avons la relation
U série qui est au second membre représente une ftuiclion
"'t'coiuor[ihe admettant tous les points ti =^ ^jstv, sauf // =^ u^ |>our
G, H.
i3
194 caiAFiTiLE \T. — poMmoTs r^aram^
pôles du yrtmler ordre. ELd cLainireaut Je sipie et en ajooUnt
fracliuD - • nous poserons
ao.
la reiatiou pr^cêdeole peal ^"écrire
f ( îu idu = ^ ^u
el, en prenant lc> dérivées de* deni membres. îl TÎenl
On voit facilement, sur Time ou l'autre de ces formules, «^la
i'oncliMD I// est impaire. Dans Je domaine de l'oriçine, o^
d après le dévelop{.»emeDt • ^3 el la formule ' 3o .
;ii = ^ w— -z- «•— —
u i -j
La fonction Ii/ ne peut admettre les périodes jw el :eu.
ellf n'aurait <|u'un pôle du premier ordi*e dans un parall^
gramme de périodes. M.ais. les deux fonctions !■ 1/ — j« el
aTanl la même déri\ée — jp«, ces deux fonctions ne difirreul -■
par une coDSlanle; la fonclion lu au<nnenle dt»nc d'une quantf
coll^tanle lorsque 1* argument u au^imenle d'une fK-riv^Jr. Il
facile d a\o!r re\preïsion de crlle constante. Ex:ri\oris, pour ^
de clarlé. la formule Jo sous la forme
eu cLianjLreaDl a ^:u u — ^ij cl rn relranchanî Je> deu\ f-.'rniLi!i.
il \ienl
lu— I", _ :» = _ I ; . j..
Nous poserons
£T, = — j yf d^ . j - = — f : •" Jï »
• I* * i.
T el 7 sont des constantes, indépendantes de Ja lîmile inîVrit ui*
et du chemin d'intégration. Ce dernit-r poinl esl cxidcnl ; /rio
K0M:TI'KN-S nOl lïl.KXlKNT I^KHIODICI I i^*
\\ii
pîsqiïe Ions les résiJiis de {n- sont nuls. La foiintion ^ti salis(\>iL
JûncaHx (ieii\ relalioris
X(u -H -Ka ) = ;«-+- ir,.
Ziff
itKt' ) = 2^/1 ^ 'xtJ.
Si Ton fait dans ces fonmiles « = — to, ou 11^=^^ w^ on trouve
Knïre les ijoatre quanti tes fij, t»/, r,, r/ il cxtîîIc une relation
très sitTH»ïe. Pour réliiLlïr, il suffit d'évaluer Je tleu\ i'açons
rintégrale j^uda^ [\T\se le long d'un |>aralléloj^ramiue de soui-
mets «0, Uq h- 'jw, «41 4- '-i w H- "iti/, ^^„ 4- '^î *♦>'. Nous supposerons
f|iie X^u ïiii aucun pôle sur le eontour et que le coenicieot de /
dans — est posîuf, de façon que Ton rencontre les sominels dans
tordre ou ils sonl t'crits quanti on décrit le contour de ce paratlé-
lo;*ramme dans le sens direct. Il y a un seul pôle de ^// à Tin lé-
rieur de ce contour, avec un résitlu éf,^al à H- ï ; riutégrale consi-
dérée est donc égale a 27rt. D'autre part, la somme des intégrales
prises le long du cc*ïté joignant les sommets «o, tf^^-{- vttùy et du
côlé o|>posé est égale (voir 11" \Vif^, p. 1S4) à
(
Ui^^VtS
[\u — Î; f « -A- ï ru' ) ] df(
i (*>f/,
cl Ton voit de même tpie la somme îles intégrales provenant des
fl^ux mitres cotés est égale à \i<ù*r^. Ou a ilouc la relation annoncée
ih;
Calcul
ions e
ncore Tintégrale définie F(^/) = j s^''/'S P^i^t;
'«lofigj'iin chemin quelconque ne passant par aucun tles pôles*
On a
«'«sorte que ¥{u) est de la forme }^ [a) -^ 'à*f\U ^-V^, la cou-
*tan(e K n'étant délernduée qu'à nu multiple de aTz/ près, car on
l'^"Uo»ijuurs modifier le cliemin d'intégration, sans changer les
«TStr^niiés, de façon à atiginenler rinlégralc d'un multiple quel-
<^nque Je 2-/'. Pour trouver cette constante K, culculous Fin-
196 CHAPITRE XV. — PONCTIONS UNIFORMKS.
l^v — jdv le long d'un chemin 1res vois'
du segment de droite qui joint les deux points w et — to. CeU
intégrale est nulle, car on peut remplacer le chemin d'intégrati
par le chemin rectiligne, et les éléments de la nouvelle in
grale se détruisent deux à deux. Mais, en remplaçant u par —
dans la formule qui donne F(£/), Ton a
£
l^ç dv =z — '2 r^ o) -4- K ,
et l'intégrale / - ch est égale à ±Tzi, de sorte que Ton p-
prendre K= 27^(0 zb TTi; en ne faisant aucune hypothèse sur-
chemin d'intégration, on a donc, d'une façon générale,
«(4-f-tb>
(33) / t^vdv = 'Ar,(ii -htiù)-h{int-^i)Tj, .
m étant un nombre entier, et l'on a une formule analogue pcrC^
330. La fonction <tu. — En intégrant la fonction ^a — - —
long d'un chemin quelconque partant de l'origine et ne pass»^
par aucun pôle, nous avons
et, par suite,
(34) ue^o ^ "^ ="n('-7^)^^"''^-
La fonction entière qui esl au second membre est la plus siinj^
des fonctions entières qui admettent pour racines simples tou «-
les périodes 'iw; c'est la fonction t//
(35) - = "n'(-;i^)*^
H II*
tiJNCIlQNâ QOLOLKUENT PEAIOUIQIES.
197
L*égî»lilë (34) peul s'écrîir
mfm\
tin
el, en prenant les cltMMvées logarilhmiqiies des fleii\ membres, il
vient
(%)
ta foE
double
U loncLion t«, etanl une (onclion entière, ne petit elre double-
ment périoiIir]ue; fjuant Far^uinent augmente d'une péx-iode, elle
est iiiultiplit-e par un facteur exponentiel i]iic l'on peut déter-
miner comme il suit. On lire par exemple de la formule (3i l/is)
T (' « -+- at to )
î« iht
e' *'
e' "
V re Tacteur a «itë calculé plus haut, et l'on a
On l ro « V e d e m è m e 1 a fo rni u I e
Les fonmiles (35) ou (3'i ii'.ï) mêilenl en évidence Tune et Tautre
■ que «3-^/ çsi^ ,|t]fj fonction impaire.
^* Ion développe lelle rnnction ru suivant les puissances dew,
le «1^ veloppement obtenu sera valable fi a os tout le plan. Il est
lacii^ de montrer que lotis le» coeJlîeientâ î^oul des (onctions
^cali^ res de ^2 et de g^i* Nous avons en elîel
r"(r,u^'-\du = - ^, « - £1 «■-...- ^-5^ — «».-...
-'«» \, ^ « / i . 4 h.b 2 A ( 1 A — i)
^^ ï^îir suite,
— r\ M^-^r^^*"- ...
'^n voit qu'il ny a p.is de terme en (i\ et qii*on coedlcieiit
H^^*conque est une fond ion entière des f> et par suite des in va-
variants ^rj ^i g^\ les cinq premiers termes sont les suivante :
ii^^/> a».3.j.- 2^'j*.).; 2^SM^7.
FON* 1 IONS l NIFORU KS .
I9S CHVl'ITlit: W,
Les Itojs Ion étions p«, Zn^ 'ju sojil les élrnu^iU csseiiUels de
la lliéortc des fondions fjlli cliques. Les deux premières se dédui-
sent de 'j it im rniMen des deux rrlalioiïs l m =^ — * p;/ ^- — T^//.
33 L ExpreBsions générales des fonctions eUiptiqua s. — Toute
lonction t lli|ïtii|ue f{it) |ïeul s*e\ primer^ suit au mojea de la
seule foDclioij a^/, soit au irioyeii de la foDCtio» X^u et de ses
tl*.' rivées, suit an nioveii des deux Oiuetîoiis pu ^i p' u. Nous expo-
serons sueciiicLeiueiiL les trois méthodes*
I* Expression de f{n) an moyen de la fonction tu, —
Soient <ï, , fï^j, . . . , rt/i les zéros de la ib net ion /{u) dans un parai*
lélog ranime des périodes, et //,, /^^, • . . . b„ les pôles de, fsu) du us
le même para l té lo^ ru m me, cliaeun des zéros el des piMes étanî^l
coin pi é autujU de fois qne Texige sou degré de mnllîjdieilé. Entre^
ces 2.éi'os et ces pôles ou a la iclatioi*
(fo) «1 -h «jH-. ..-f- a^j— è,H- &i H-. . .-h è.iH- 20,
2O cUaJïl tme jjérioJe. Cela pos'% considérons la fonclion
^i{u) =
7{H — hi} . . . 7{ tt — l/jt — A Lt )
Celle fonclion a les mêmes pôleâ et les mêmes zéros que la foO'
tion f{fi)f car les seuls zéros du facteur cr(// — Ot) sont a ^ a/
les valeurs de u qui ne Ji Aèrent de a/ que d'une période. D'antre
part, cette fonction ^{ti) est doublement périodique, car si Ton
citante u enj^ + utL», pur exenqdcj la rc-latiou (i'j) prouve tpie
le numérateur et le dénomioaleur de f[u) sont multipliés respeo
livemenl par les deux facteurs
( — I y* (.ïtjiMrt w/ifl-a, -«,--.. ^a^)^ ^ j)«^nri'>lM+*/i(ii-A,-A,-.., -6^-tO)
et ces deux facteurs sont égaux d'après la relation (i<*). On verrait
de même que Ton a t&(K -h 201') = »(«/ I. Le quotient -^--^ c!
donc une funelion doublement périodique de «, n'ayant aucun
infini, c esl-à-dire une constaiitei et uoiis pon\ous écrire
1
(40
JdD^C
g( 1/ — 0|>J( u — ai). ..9( u — q„)
Il — Il )) a { Il — ù,} . . . ■}( u — ô„ >li|
II. ^ FONCTIONS lIOL'BLKillJNT PKIUOIIIQUES. 199
Pour déterminer la conslanlf C, il suffira de donner à la variables
une valeur c|ui ne soit ni un pùle, ni un z«>o.
D'une façon [Ans générale, pour exprimer la fonction ellip-
ù^ii€ /[u) au moyen de la fonction lu^ quand on connaît ses
pôles et ses zéros, il suffira de choisir n zéros {a\^ a'.,, . , ., a]J,)
tin pôles (b\, h[^^ •. ,, 6^^), de façon que toute racine de /(u)
s'olitienne en ajoutant une période à Fnne des quantités a[^ et tout
poledey"(//) en cloutant une période à Tuue des quantités /j[, et
((ue Ton ait en outre S«^=3SA^* Ces pôles et ces /.éros peuvent
éUv situés dans ie plan d'une façon quelconque, pourvu qu'ils
vérifient les conditions précédentes*
i" Expression def{ti) au moyen de ta fonction ÎJ et de ses deri-
vi€s> — Considérons A' pôles ai, a.^ • . - , fik de la fonction /{u),
lels r|ue tout autre pôle s obtienne en ajoulaut une période à Tun
decetïi-là. On peut prendre par exemple les pôles situés dans un
tnéine parallélogramme, mais cela n'est pas nécessaire. Soit
la partie principale de f[u) dans le domaine du point aï.
La différence
1=1
«it une fonctiou holomorplie dans tout le plan; c'est de plus
"ûe fonction doublement [»énodique, car lorsque Ton change u
m tt-)-2Cii, cette fonction est augmentée de — 2rjSA/*, quantité
<JUï est nulle, puisque SA*/* représente la somme des résidus dans
^^ parallélogramme. Celle dilférence est donc une constante et
Ton a
/(«)= C^y [a/ ;(«-«,) -A/^ ;'(>.- a/)...
I \ "^ 1
Lii rorniulê prëcédenLe est due à M. Ilormîle. Pour pouvoir Tap-
|>fiquei% il faul connaître; les pôles de la foiiclion elliplique/"(fi
el les [larlies princijïulcs correspondantes* De même que la for-
uni le (4i) est Tanalogiie de la fornuile qui donne Tev pression
d*une roncLion rationnelle par un r|uolient de deux polj'nomes
décomposés en leurs factt-'nis linénireSj la forntule (4^) esl Tana-
logue de la formule de décomposition d'une fraction rationnelle
eu élémenls simples. G*est ici la fonction ^(a — a) qui joue le
rôle d'élément simple.
3" Expression de /{a) att moyen de pu el di* p'(f^ '- — Con
sidérons d'abord une fonction elliptique paire y(«). Les zéros de
celte fonction, ffui ne sont pas des périodes, sont deux à deux
opposés; nous pouvons dune trouver n zéros (r/,, r?2 a„)
tels que tous les zéros autres que les périodes soient com|»i is dans
les formules
I
+:a,4-înv,
:aj
rt «„-ha<e.
Oo prendra, par exemple, le parallëlo^raiume ayant \muv sunimet
les points oi -\- w', w' — w, — m — tij\ tù — w', et les zéros située
dans ce parallélogramme du même enté du ne droite passant par
Torigine* Si un zéro fii n'est pas une demi-période, on fera fi ;;:^urer
ce zéro a, dans la suite a\, ft^y « — * (^t* autant de fois qu'il y a
d'unités dans son degré de multiplicité. Si le zéro Oi fiar exemple
est une derai-période, ce sera un zéro d%>rdre pair ir (n** 326,
/iemarqtjes); nous ferons figurer ce zéro r fois seulement dans h
suite a(, a.y * • . <^w Cela étant, le produit
admet les mêmes zéros que /*(«), au même degré de multipUcitéJ
sauf si Ton ayYo) ^i^ o. On formera de même un autre produit
{pu—pl*t M pn — pbth . ( j»« — p^mh
admettant pour zéros les pôles de /(«) au même de^ré de multt-
plîcitéf en faisant abstraction des points périodes./Poson!
^ ipu — pbi){pu — p6,),. .U>M — pù,n ►*
le quotient ~— est une fonction elliptique qui a une valeur finie
I
4
II. — FONCTtOXS DrumtEMKNT rÉRlODlQUEfi.
\Hdiffcreniedc zéro pour toute valeur Je u qui n'esL pas mie pé-
Iriode. Celle fonclion elliptique se rédnÎL à une conslante, car elle
I ne pourrait avoir pour pôles que les périodes, et, s'il en était
ainsi, riuverse n'aurait pas de pôles. Ou a donc
/(II) r= C ^^^'^ ^^^^ -^^^ H^pa^)... ipu — p a„ )
^ < ptt — p fji }tpn — pbt) ...ipu — pb,„)'
Si/((«)est une fonclion elliptique impaire, " ' , — est une Tonc-
lion paire, et par conséquent ce quotient est une fonclion ration-
nelle de pfi. Enfin une fonclion elli[>lique quelconque F(f/)est la
jomme d*iine fonction paire et d'une fonction impaire
V\ u) ~ -i
«L
ppliquanl les réstj liais pr*?cédenls, on voit que toute fonclion
elliptique [teut Hlre mise sous la forme
M3) F( u \ = H t p a ) H- p* M R I ( pu ),
AhR, etanl des fondions rationnelles.
331 Formules d^addition. - La formule d'addJiion pour la
fonction sinx [jerrnet dcxpi iuirr siji(a -f- fc)au moyen des valeurs
ac celle fonction et de sa dérivée pour x ^n n et x = 6. Il existe
"OC formule analogue pour la fonction pit\ seulemeul Tex pression
tlep(«-|-i>) au moyen de pit^ pr, p^«, p't' est un peu plus com-
pliquée, à cause de la présence d'un dénoniiualeur.
iVo()osons-nons d'abord d'apjdiquer la formule générale (^^i),
OM figure la fonclion o-f/, a la fonclion elliptique p w — pv. On voit
nQm^dîalement que
7( M -L- ï')a(« — r )
est une fonclion elliptique
^flnicllani les mêmes zéros et les mêmes pôles que pu — jh\ On
•1 donc
pu—pv-
C
-V)
7- a
pour déterminer la constante fl, i! stiffil de multiplier les deux
'neni b t'es pa r 3- - ^/ . et d e iVne t e n d r c tf v c rs zé ro , Ou l ro u \ e ainsi
•>.01 CHAPITRE XV. — FONCTIONS UNIFORMES.
la relation i = — Ct^p, d'où l'on lire
(44) pu — pv = —
7* U O"' Sf
Prenons les dérivées logarithmiques des deux membres, en regar-
dant p comme une constante et n comme la variable indépendante.
Il vient
— ^^ — = l^(u -h v) -^ l^iu ~ v) — ii:^ u;
en permutant u et v dans cette formule, elle devient
pu — pç
enfin, en ajoutant les deux formules, on obtient la relation
//-\ y/ ^ r Y l p'u — p'v
2 pu — pV
qui constitue la formule d'addition pour la fonction ^u.
Eu diflférentiant les deux membres par rapport à w, on obtien-
drait l'expression de p(u-\-v); le second membre renfermerait
la dérivée seconde^" M qu'il faudrait remplacer par6j3^« — —• Le
calcul est un peu long, et l'on arrive au résultat d'une façon plus
élégante en démontrant d'abord la formule
( 46 ) p(u-^ V)-i- pu-^- pV = [^(u-r-V) — ; W — ? t' ]*•
Considérons toujours u comme la variable indépendante; les
deux membres sont des fonctions elliptiques admettant comme
pôles du second ordre r/ = o, « = — ç>, et toutes les valeurs qui
s'en déduisent par l'addition d'une période. Dans le domaine de
Torigine, on a
et, par suite.
= \- UL V -r- au--
u
I
*.3LU ■
La partie principale est — > comme pour le premier membre. Com-
parons de même les parties principales dans le domaine du
U. — FONCTIONS DOL'BLEMKM l'EHlOl*IQtK8.
paie u = — K\ Eli posant (i= — v -\- h, nous avons
'iO%
;a -;(^t'-r/n — ;r= ^ —ht\
3A«-
i:/i-:(/*-r)
A^
Upariic [>riuci]iril<! du second membre de lu forinule (46)^ dans
le iliimaine en iioiiil ii ^=l — r, est donc - — — -— » comme pour Je
premier membre. La diflerence ne peut donc elre qu'une con-
iîanle, Pour évaluer cette cou s tau te, comparons pur exemple les
Jéveloppements dans le domaine de rorigine; on a, dans ce do-
mai ne,
1>( M "h tM H~ J> « -h JU' = h 2 P I' H~ It p V
Eiu'iimparanl ce dL'velu]i[>emcnt à celui de [Ç(f/ H- r) — "i^u — s*']^i
m\oa tpic Ja diOéréïice esl nulle ponr w == o. La formule (4^)
esldonc établie. En rapprocbant les deux foi mules (45) et (46),
uuolilient la formule d^addîlion pour Ja fonction pft
m
V ( /* -h 1 ) — 11 « -+- p «r* — 7 f —
33ti. Intégration des fonctioïis elliptiques. — La for nui le de
teûmptiâittoû de M* H ermite se prête inrutcdiatement à Tintégi-a-
Uoo d'une fooclion ellijiticjue. On déduit en eflel de la formuJe (4a)
m
\j/(u)du = CH^^^\\/L,r^\'7iii-a,)]-A^jX(U'-
ai)-
l
Nouf voyons que I^inlégrale d'une fonction elliptique sexprîinenn
ûïoyen deï* mi^mes Itiinscendantes t, Ç, j>, que Jcs fonctions elles*
mêmes; mais la fanction 7 r/ jienty Gourer sous le signe log. Pour
«e rintégrale d'une fouttion elJi[)tique soil elle-même une fonc-
lîoa elliptique, il faut d'abord que riolégrale ne présente pas de
^mrols critiques lo^^aritlimiques, e'est-u-dire que tous les ré-
du§ A'{' soient nuls. S'il en est ainsi, rintégrale esl une fonction
romorphe: pour qu'elle soit elliptique, il suffira qir*elle ne
doîi 1 ufj lire ^^ — V - Z ^y ^ t - S: t»? condiliuBr «om: iï
de H- Hermiie-
aii lieu d *î«i|titfv*:f lif ntéttiifDr •:"i»»-raH:. StiK i inuzirrr' s f«»-ii
ik^ti^ 1*. j w ~ ; «K. ; ir . î: »fî 1; *::iiiii! ti*r- fnnrtioi»' TaiMwnrsIi
Qttau* « r»m*-^ tiii»: / t*« ; L tfa. ut ï»i»urrsâii. fiar dff? «p-raums
«eUe*. f;uniUît*é*rf ^ver: à*:4' mirr^-aiii»»* |»iit |M4rtî<îf roinrciiMi*»fair
•k». 1» rfÉSK:fA«;T ^ un f;*;rti»iu iii«nji»r*- d'iiiirr'Tilc* î_;ii«eî>. mûr rei
dr^H •!« reCatf »: i»oiifr ui*<r auir*: iiimie d*?f cal mi* qui oin fat ori*
Vvuf 4#\viit' vu «vniui^iit 'tUe iûirrri'î'' *''^ df^- «n; t»'«se ft cet
I' /y <rU«it Ufj [/'Ayu'jiu*: \it*:iu\*'.i axe: -;« «iriivre et a^cc 4 / —
H» r#;%eoafit ;» h \'4tië\A^ u. ou voit d.nc que l'inlt'jrale / I
étkl éfi'éir'é tiut (oaf,i't*tu rationnelle de ; w et de ;'w. au^menléo
FlïNCTKJXS DOlULEM£.\T t^U»IOl>igl£â.
\m nombre d^intè -craies iclïcs que / (pu }" du, ci d*amres intégrales de
Qipit )dti
et celle réiiuclion peut être elleciuee par des opérations rationnelles
{tmilliplicalians el divi irions ûc ]ml\noJneft) combinées avec certaines in«
lé^ratioDs par parties.
On obtient aiiémenl une formule de récuirence pour le calcul des inlé*
giilc»l«= f (pay*iiu. Dans la rebiii
— [(p«)'^-^jw.J:
îj{ p«)«-ïj)''« -r- i p u y^- \if U
rcBiplaçoos p"*u el p" a par 4j^" — é'ïT" — è's ^^ t>^'w ~ 7 ^i icspecli-
mteoLî il vient , en ordonnfint par rapport à pu,
^[ipur'ipu\
Cl l'on en tire, en iJkLégrant les ileox membres,
Enfaisaol successivement dans cette formule n ^ i, 2. 3, . . ,» un calou-
l<ra de proehe en proche toutes les intégrale? l,t au moyen îles deux pre-
)«ieres 1^= w, li= — Çw.
IViur pousser plus loin b réduction des inléj^' raies de la lornje ( ig ), il
fititlra connaître les racines du juilynonie P(/), Si î'on connnit ces racines^
**n famènera le calcula celui iruii certain nombre d'intégrales de la forme
J ptt - JH
i"^éiiin dilTérent de Ci^ ^1, ^3, puisf|ue le polynôme F(0 '^^^ premier avec
^^^iî^ — ^M* t^a valeur «le ç n'etjt tlom' jins une demi-période, et p'v
icUpas nyl. La formule
p'i^
= Cl M -- i^)— ïf " — r) - a ïi^
pH — pv
'Uyjf jïlus haut (n" 332) nous donne alors
— r
(5.) f ''"
J pu — p
[Log7(w^p)— Loga(ïi — V}— >.«ïr] 4- C.
ssitruîx. — . -
— IT.-— T^VA
|- •
•I .1 t-:L -fi u-Di.rc 9m ^-
1
ir'IIlii» f*r i^
-• - _. iir-nr. u -i iiin.r. r-ni-
"1— ■: i - r*-: i»u ■ î^•■->-
V _
r . 7 1 —
•■Tlrî ^'"li-
t- ONCTIONS DOl MLtMENT PEBIODÏQl'ES»
ai>7
est égal ay terme général île la jiremîcre série (Sa), multiplié par — y-' ^-»itf<'.
U foDClîon ^{v) sati-^faîL donc aux deux relaiîons
(H)
On
(Jo
0 (i -t- T ) = — 7-1 e-*"'^' 0 ( i- ) :
m relations montrent que la foiiclîoii f){v) admet pour zérus louâ leâ
l^otDtâ rni^ Wt*ï 'T*! et /«t étanl des nombres entiers arbitratr<^s, poîiitifs
ou DégaLîts, puisque Toiigine est mic racine.
Ce îunt là les seules racines de l'équation Ouv)=o. Considérons en
clïel un parallélogramiiie ajanl pour sommets leï^ quatre points l'i). i-u-r- 1^
l'i-hi^ T, VyH- T, le picuiier sommet v\ étant pris de telle façon qu'aucune
d« racines de 0(\'J ne soit sur le contour. Noui» allons montrer que Tëqua-
tionft(r|=o a une seule racine dans ce parallélogramme. Il suffit pour
fêla de calculer Fintégralc / t— - d^f prise le long du contour dans le
Mttf liirccl; il'aprés niypolhcse faite sur-:, on rencontre les sommets dans
lurdro où ils sont écrits.
I^es relations ('j4) on déduit
0'(f-
I )
Ht'-Hu
O'f r
fJlV'^^T»
bjircmiéredeces relation'» mr)ntre qu'aux points correspondants n{ Jti^. ~\}^
et ft' lies deux cùiés AD, BG, l;i fonrtion reprend la même valeur.
'Mil ^
^mmtttb dcu\ côtés sunt décrite diins des sens opposés, la somme des
^<»ta/
iOl^grtles correspondantes est nulle. Au contraire, si uouh prenons deux
poieii correspondants m^ m' sur tes cAiés AB, DG, Va %'aleur de ^ - au
P<>Mt m* est égale à la valeur de la même fonction au point m, diminuée
I W aTTt. La somme de^ inléj^rales pru\enant de ces deux côtés est doue
^^île ù / — 'iKiiiVt c'csi-ù-dire à 'iizî. Cou* me il y a évidemment dtius
I *-'cut
'* pàrafifijog ranime ABCD un point et un seul dont l'affixe est de la
\'^Tmt m^-r- mt'i il s'ensuit que la fonction O(t') n'a pas d'autre> zéros
(*l«cccuvlâ.
£n ré*umé, la fonction O(ir') est une fonction entière ioïpatrej admellaut
ao8
ClIAinTUK XV, — PONCTIONS IMFOHâlKii*
pour ïi'ïus siriiples Uiu^ ît's |Mt*nts rn^-hm^z^ et ceux-là seuleiiienlt t*t
viiririaul les re]aLîons(54 ). Soient lualnleuaiu iiu, itu' deux périodes LclJc**
quf te coefficient de i dans — soit positif. Remplaçons daas (ï(v) la
... n iÛ . , r '
vai'jable v par - — et t par — » et ^tnl o\ ii\ lu functiun
(55)
©(u) esl une funclioii eaiiére inipaiiL', ïuIrncUant pour zéros du (MemH'r
ordre toutes les périodes a «• = imui -t- 'im'u)\ et les rclalîons < 54) ^o"'^
remplacées par les suivanles :
-r.,(-
(56) ^( w -+- ata) = — o(«), ^f w -h i(ti') — — e
Ce5 propriétés sont très voisines des propriétés de la fonction lu. Tou*'
retrouver 3k, il suffit de uiiilliplirr '^« par un facteur exponentiel. l*usoii^
en elFet
(57)
•jt.m — «•
Tj était t la fonction de tu et de (d' définie comme on t'a vu plus haut ( n» SJI'J i;
4^1 M) est encore une fond ion entière impaire admeltant le*î mêmes léros
que ^1 «). La première des relations (56) devient
^ 0(0)
( 5« )
Nous avons ensuite
ô{n) = —e''^^**^*^^'\f{ti\
♦j/( w -H 2 w ) — —
— M'H-îttï'i* un-w'j
^J\o j
?(«),
*ju, en tenant eu ni p te de la relation t/o' — vj'w = — t
i >y)
4^( M -r- îita' ) = ^ eM'"-*^^'^*itlu).
Les relations (58) et (jq) sont identiques aux relation^* établies ptu«
Kaut pour la fonction itt. Le quotient - admet donc les deux période»
•*(jj et îftj', puisque les deux termes de ec rap[iort sont multipliés par un
même facteur lorsque «augmente d'une période* Lc^dcux lonttïoiis a>ant
les mêmes zéros^ ce rapport est constant; d*atllcu»s le rocfficienl de u dans
le«i deux développements est égal à un* On a donc 7U = 'lf(n\^ ou
0(0) \Ato/
Cl la fonction lu est ramenée à ta fonction 0, comme nous ra\ions
IJL — INVEBStOM. — CÛIRBES DU PRKMIER GK?*flR. ÎOC»
annoncé* Lorsque l'on ijonne ii l'argument v des valeurs réelles» le module
lie ^ èlaiil inférieur à l'unité, Ici série ( 53 ) est tré** rapidement eonvergenle.
Nous ne iJéveli>[*perons pas davantage ces indiealions, qui suffisent pour
faire prévoir le rûle fondamental <!e la fonction f) dans les applications des
foticlions ellipli<jues*
lïL — 1^VERSI0^. — COURBES DU PREMIEt^ GENHE,
335. Relations entra les périodes et les invariants. -^ A tout
système de Jeux nombr^^s complexes w, ti}\ dont le rapport ^
n*est pas réel, con^espnod une fonction elliptique pit, complète-
loetit dtUerjninée, admettant les deux périodes aw, ato', et régn*
liére pour toutes les valeurs ilc ti r|iû ne sont pas de la foririe
a/nw -H 2m%i>', toutes les périodes étant des pAles du second
ordre. Les Ibnctions ^ii el lu^ i[tii se déduisent de pn par une nu
deux itilci^rations, sout é^^aleaieot déterminées par le système des
périodes (^«o» 2 ta'). Quand il j a lieu de mettre ces périodes en
évidence» on peut employer la notation j)(^/|tjj, W)^ ÎJ(ii[oj, tu'),
w(u\tiif co') pour désig-uer les trois fonctions Tondameutales.
Mais il e^t à remarquer que Ton peut rf^mplaccr le système (w, 0/)
par une inlinité d'autres systèmes (tl^ iï) siius clianger la fonc-
tion pu. Soient en etfet m y m'y fi, n' quatre nombres entiers,
» positifs ou négatifs, tels que Ton ait mn' — ui* n = zh i, Sî nous
posons Q^mti>H-/Ho\ Û'^ a/i'w -l- /l'dj', nous aurons inverse-
ment ti) ^^ r!i(/ï'U — /îQ% 0/=: ±(«î Q'— w'O), et il est clair
que ton les les périodes de la fonction elliptique pu sont des com-
binaisons des deux périodes aQ, aû\ tout aussi bien que des
deux périodes ^ita, 2m\ On dit qtie les deux systèmes de \hi-
riod€s(a(i>, 2ùi')et{aÛ, 2!)') sont éiiuivaltMits. La fonction p(«|Q, iï)
> admet les mêmes périodes, les mêmes [ïôles avec les mêmes par-
ties principales que la fou et ion j3(i/ | to» to'), et letir différence eîst
nulle pour a = o. Elles sont donc identiques : ce qui résulte au^si
■ du développement {22), car Tense m ble des quantités 2mw-h2/7j'ttV
e>t ideijli<[ue à Tensenible des qumuîtés iinQ -h a/?/Û'. On a, pour
la même raison, Ç(« | tl, iïj ^= ^[tt \ tij, to^), t( » |Q, Q') = ^(« |fii, to').
b De même, les trois fonctions pa^ ^(t, tu sont cntièretneut
^Héieniunées par les invariants g2} ^a- Nous avons vu en effet que
^^m fonction '7U est représentée par un développement en série
G., II. i4
ato CHAHTnii XV. — ro.vcrroNs uNimwsiEis.
erïLÎère tloiU tous les coefficienU sont des poljnonies eiilîcrs
en gx^ g^\ Von a ensuite Ç// =: — » \m\s pu = — ^'u. Pour indî-
quer les fondions qui c(»ries|>oii(ient aux invariants s^^ et ^t, oii
emploie la notation p(// ; g-^, g^),^(u; g^j, g^), rr{u;g., g^).
Ici se présente une question essentielle. Tandis qn^il est évident,
d'après le mode niéuic de forjnation de pn, qu*à un système (eu, iù*)
correspond une fonction elliptique p(/, pourvu que le rapport — ne
soit pas réel, rien ne prouve a priori qu'à tout système de sa-
leurs g.^^ g^ pour les invariants correspond une fonction ellip-
tique- Nous savons bien que rexpression gl — '^"J g\ doit èU
dilTérente de zéro, mais il n*est pas certain cjue celte coadilior-
soît suflisanle. Le problème qu'il s'agit de traiter revient au fun
à résoudre les équations transcendantes établies pins baut
par rapport aux inconnues («j, ui\ ou tout au moins à reconnattre
ces équations admettent, lorsque gl — '^7Si "'^^^ p^s nul, un ^jr
lème de solutions tel que— ne soit pas réel. S'il exisle un seu
système de solutions, il en existe une inlinité d'autres, mais rétu
directe des éf| nations préc<klentes parait inabordable. On arrive
la solution par une voie détournée en étudiant d'abord le pr
blême de l'inversion de Tintégrale elliptique de première espcc
BemarcpifT, — Soient to, w' deii\ iioiubrcs complexes tels <me — i^r^^*^
tu
soii pas réel. La fonciion p{u | w, nà' ) correspondatite satisfait il i'équss^**"
lion dinrérentielle
^t et ^j étant dt-finies par lt;s équations {ùt}. Pour ii = ûj, pw est é^a. 1 i»
l'une des racines éTj <le Fétpjalioîi ^p^^^^p — .^^ = o. Lorsi^ue u vaw"-i^<-*
de a à i'i, pu décrit une ligue L allant de Tiulini an puinl cf[ ; eomme *> 1 1 <*
la telalîon du
S^tP^ — ^'iP — ffî
f on en ctinelut que la demi-pénude
est égale à rinlé^rale définie
r. !
^j'
gtp
tu.
iNVfc;a8iciN. — c<jLnBt:â du pueuier uenrk.
21!
prjst suivanl la ligne L* On a une c^f^ression analogue pour m\ qyt^ l'on
ubiicfit en remplaçant ei par et dai**; rjnlcgrale précédente.
Mou* avons ainsi les deu\ tlt^rnî- périodes w^ ta' exprimées au moyen des
invariants ^1^ gt- Pour pouvoir en déduire 1*» solution du problème qui
nous occupe, il faudrait établir ijue ce nouveau système est équivalent au
«plériie (6i)r c'ei«l-à-dîre qu'il délinil g^ ei gi comme fouet ions uniformes
de itty Cil*.
336. L*a fonction inverse de l'intég^rale elliptique de première
espèce, — Soit R(-) ud pot jaunie du troisième ou du c|ualriùnie
di'^i'é, prt'iuier avec sa dérivée. Nous érr irons et^ |iQlyiiome
Kl J)= ki^z — (ix )i z ^ at){ :i — a^){ z — a^),
(îi^ûTa, «a, Un désignant r|UiUre rdcines diirérenles, lorsque H(^)
est du quatrième degré; si R(5) est du troisième degré, nous
désignerons les trois racines par ^j, a-^^ fi^ et nous poserons en
outre ai = x, en convenant de remplacer z — ce par runîtë dans
Teipression de R(r). L'intégrale elliptique de première espèce
est de la f<>rme
n^ f -- -,
(^)
ÎWigioc 5(1 étant supposée, pour lixer les idées, diiréreule d'une
«es racines de R(:î) et à distance finie, el le radical ayant une
'f^leur initiale déterminée» Lorsque K{3) est du quatrième degré»
l^ radical y'Ri':^) ailmel tpuitre points critiques ai, a>,^ a^^ a^^ et
cliicujie des déterminations de y R(5) admet le poiot s = oo pour
p4le du second ordre. Lorsque R(5) est du troisième degré, le
'éditai ^R(5) n'a plus (|ne trois points critiques a,, a>y a^^ à
dïsiaiice finie; mais, si la variable z décï*it une circonférence ren-
'^rniHut U^s points «|, a^, a^^ les deux valcuîs du radical se j^er-
'nuirnt entre elles. Le point z =oo est donc un point de ramifica-
ItOu pour la fonction y/R{z),
Rappelons encore les propriétés déjà établies pour l'intégrale
^'liplicpie a (n** 313). Si ttiz) désigne une des \aleurs de cetle
'nirgrale quand on va du poiiit Zq an point :: suivant un clicmin
^^^lerriiiné, cette intégrale peut acquérir au même point z une
ïufjtiité de déterminations qui sont comprises dans fes forntuies
**'i) u ^ u( i I -+- 1 ftHii -h'im'ui't u — i -- u(z)-i' 1 m t*> -t- a m*tu\
aia CEIAPITBE XV. — FONCTIONS rNlFOUlIES.
Dans ces formules, m el m' sont deux nombres entiers Loiil à fait
arbitraires, îiojel 2tt>'deux périodes dont le rapport n'est pas réel»
et 1 une constante que Ton peut prendre é^aie, par exemple, à
rinlégrale le lon^ du lacel décrit autour dit point a^.
Soit p{it I tu, w') la fonction elliptique formée avec les périodj
2CJ, 2cj' de Fintégrale elliptique (62). Remplaçons dans cette
fonction la variable it par Tintégrale (614) elle-même dimînut-'e
de -> et soit *I*(^) la fonction de :; ainsi obtenue
(64) *i-j = J^[/ 7frr,"ih''"p^'("~î|'"*''"'}- ■
Celle fonction ^{z) al ti/ie /onciion unifc^rme de z. En eflel,
si Ton remplace u par Tune quelconque des dëterminallons (<iJL^
on trouve toujours, quels que soient /«, m\ ^|i
*(^) = p «(5J— - tu, tu' ou 'IM ^) — ^« j - — ^f(^J J ty, ti>' . i
c'est-à-dire une valeur unique pour ^(^).
Cherchons quels peuvent être les points singriliers de cette?
fonction 4>(:j). Soit d^abord 3, une valeur finie de 3, difFé rentes
d'un point de ramification; supposons que Ton aille du point r^
au point z^ par un cliemiu délenniné. On arrive en ce point avec-=
une certaine valeur ponr le radical, et une valeur w, pour riolé
grale* Dans le domaine du point z^^
/H(^)
est une fonction hufu-
morphe de 5, et Ton a un développement de la forme
il =Z fi, -H «y (5
z,)^^
Si (/| — - n'est pas égal à une période, la fonction piu
est holomorphe dans le domaine du point i/(, et, par suite, ^[ -^^4
est holomorphe dans le domaine du point z^* Si Ux e*t u
-période^ le point it\ est un pùle du second ordre pour j)(/< — ^
ai
ni. — INVERSION. — COlftBES fï\J PREMIKB liENTlE.
et, par suite, ;, est un pôte du second ordre pour 4>(5), car, dans
le duiiiaine du point //,, on aura
l'éUint une fonction holomorplie.
Supposons en second lieu que z tende vers un point critique ai.
Dans le domaine du point ai^ on a
_i _i
Pi étaul holou3orplie pour z ^ Oi^ ou
I lo-H ai(^ — «,j -4-31(5 — a/)* -+-.. .],
3to7^ o*
m en lire, en inlégranl terme à terme^
(66) U — Ui~i- /7— ï7, 'l3to-r- - Ï,U — «/)-+-. .. L
Si tti — - n'est pas une [lériode, pitf — -\ est uu€ fonclion
liolomorphe de u dans le domaine du point u i. En remplaçant
aaos le développement de celle fonclion suivant les puissances de
w — Ui^ la di fié renée (/ — Ui (>ar sa valeur lirée de la formule (66),
*es puissances fractîonnaïrcs (le(^ — ^a,)doîvenldîspariiître» puisque
Oous savons que le [nemiei membre est une fonclion uniforme
^c* -^ et la fonclion *î*(3) est liolomorphe dans le domaine du
Pciiot a|. Ceci monlre, remarquons-le en passant, que Ui-^ - doit
^^Jt égal à une demi-période* On voit de la même façon que si
*^é— est égal à une période, le )ioinl iti est un pôle du premier
^^dre pour 4>(x;),
Etudions en fin la fonclion ^(w) pour les valeurs infinies de z.
*^cu^ avons deux cas a distinguer suivant que R(s) est du qua-
^•frne degré ou du Iroisième dcj^ré. Si le polynôme R(r) est du
1 •^ïsilricme degré, à rextérieur d'un cercle C décrit de Forigine
ÏHiur centre et renfermant les quatre racines, chacune des déter-
minations de , est une fonction holomorphe de -* Ou a* par
^ i i»i&mt t#» thauç'er *xi»isr !•» «ipit*& ptiur avoir le A?^eIopp»-_^
ju«r f#e ^ ^es'JintXe: tiiiemînai-.tfa^ S le rnaiiiife *fe t jfi^ty"^Ee
yuU'ûnim^nL. Le rviîi*ai —z==: a^wic la vaimr inn? Toa TÎe^Kit
c'wrr», /*iu>a2'ati» /£ Cftiit ««HT^ ine wenr tmie a., et Foii ^^
^ l . , ï . _^
^ /» ^ n ^^ {>«»-» iin*^ p»m»>li*- ;a &iiu:a«}tt p a ^ «st ré^mj-
A^^^ c^'Vir > i^îfic JT.. et pc»* «KÎC« le pncmC ^ = ic C9€ «a poi^^t
^ir-iîtMdf^^ p<»nT ♦ ^ - Sî ». est sBe pccmle. le potol «. c- si
•« ^*t^ 'irt ^^rtyaH fftét^ p^r p « — - - et cowmjmt Fcmi pe -^■»*
k pv^ikt ^ := a: i»t ai»4Î on p^e da secowi ordre poor la fon
%i R \î <^U àti îroWi*:m^ àe^. à rexlérieiir d'an cercle aja^ ^*^
p^^r <^rfttri»^ IVmjTÎo^ et renfenna ni les troi? poiots critiques r"^ « •
^z^. ^/f' ^fk a on d^eloppement de la forme
''^y U—fi^ rrlix, ^ ... .
En riif%onnant comme plas haut, on voîl que le poînl à rinfi^^*^'
tr%i un point ordinaire ou un pôle du premier ordre pour ^[Z '*
Kn définitive, cette fonction 4>(5) n^admet que des pôles po^^'^
points ftingrilier%; ffejft donc une fonction rationnelle de z, ^^
rint/rgrale elliptique de première espèce (62) satisfait à une rel ^^
III. — I?<VERSI0N. — rOURSES UV PIIElIllvH GENRE,
lion de la forme
%îB
if^)
1 \
^i"--.)
= i'i^),
'^(5) élanl une fonction rationnelle. Nous ne connaissons pas
encore \p degré de ccLle fonclion; nous allons montrer qu'il est
égal à un, et pour cela nous allons étudier la fonclion inverse.
En d'antres termes, no lis niions maînteiiiJiil considérer it comme
b varialile IndépeiHlante cl reelierehcr les |)rQjiriétés de la limite
siipcrîeure z de Tinlégrale (^îa), considérée comme fonction de
celle iniêgrale a. Nous diviserons celte étude, qui est assez déli-
cale^ en plusieurs parties :
1 "* A toute va le u r fiu ie {le u co n ^esp o n de u ( n i v a le u / s de z ,
si m est le degré de ia fonction rat ion ne lie *ï*(^).
Soi l en effet Ut une valeur lin îc de f/; rêf{uation<t'(v) = p( ff| — -1
détermine, pour z, m valeurs, en général distinctes et finies,
<|welqiies-iines de ces racines pouvant venir se confondre ou
df*venir infinies pour des valeurs particulières de (/,. Soit z^ Vune
»ie ces valeurs de z; les valeurs de Tinlégrale elliptique u qui
correspondent a cette valeur de :; satisfont à Téquatiou
j >/ li — - ) ^ '''« -i * = ,P ( «) ~ ^ ) •
'Oui avons donc Tune des deux relations
u = ui -T- timitO'^ 'imfUt\ u = \ — «I H- M wî i (o -+- 2 nii w' ;
^^m Vxm et Tautre cas, nous pouvons faire décrire à la variable z
*^n chemin allant de Za à z^ et tel que la valeur de Fintégraïe prise
'^ long de ce chemin soit précisément ^/|. Si la fonction ^(z) est
^^ degré m, il y a donc fn valeurs de 5, pour lesquelles Tînté-
f'S^*^le (62) prend une valeur donnée u.
i^ Soit //, une valeur finie de u a laquelle correspond une
'^^leur finie -( de z; ki imleur de z qui tend vers z%y lorsque u
"^^^ndvers «1, est une fonction hohtnorphe de u dans le domaine
^ point e/|.
Enelfet, si w, est diflérent d'un point critique, les valeurs de u
l^^l^de s qui tendent respectivement vers Ui et z^ sont liées par la
I '^'^latîoii (65) établie tout à riieure, où le coefficient a^, n^est
Îl6 CIUPITJIE XV. — FONCTIONS i'NlFORIIEâ*
jïiis nul. Diaprés le théorrme général sur les fonctions impli-
cÎLes (1, 11" 187), on eu détiuil inversement pour z — Zi un déve-
loppement suivant les puissances entières et [positives Je u — it^.
Si, pour la valeur parlieuliêre «i, :; était égal à la valeur cri-
tique ait on pourrait de même considérer le second membre de la
formule (G6) comme un développement suivant les puissances de
\/z — (iti «d nVtantpas nul, on en tirera inversement pour ^5 —^f»,
et par suite pour z — ((£, un développement suivant les puissances
entières de ti^- ni.
3** Soit ;/„ une des valeurs que prend Tintégrale tt lorsque] ri
augmente indélînijnenl; h* point u^ est un paie pour fa valeur
de z dont le modale augmente indéjtniment, ■
Encirel, la valeur de Fintégrale u qui tend vers u^ est rcprésenlée,
dans le domaine du point à T infini, par Tuu ou Tau Ire dos déve-
loppemenls(67) ou (68)* Dans le premier cas on obtiendra pour -
un développement en série entière ordonnée suivant les puissances
de u — «.,
p^l « — //«,) -h 3;(« - W* \--
P.^o;
dans le second ca^ on aura un développement analogue pour -^
et par suite
l.e point u^ est donc un [>ôle du [ïrenrîer ou du second ordr
puur :; suivant que le [lolynoine ^{z) esl du qualrièuic ou du Iroîl
sième degré.
4" Enfin nous allons démontrer qtj'f> une valeur de u il ne
peut correspondre plus d^une valeur de z, Sujiposons en effet
qu*en faisant décrire à la variable ;: deux cliemins allanl du point-,
à deux points dillerents 5|, z^t les deux valeurs de Tiulégrale
prises suivant ces ûpiitl chemins soient égales. On pourrait alors
trouver un clieniin L joignant les deux points ^i, -s^t ^^ Ici
que rinlé^rale / ^ soit nulle. Si nous représentons Tinté-
grale u ^X-h/Y par le point de coordonnées (X, V) dans un
svstème d'axes rectangulaires OX, OY, nous vovons que le point <
in. — INVERSION'. — iHMftFiES lU r'UKMIER GENRE. '217
fl^crirâÎL Line courbe fernitt» F lùt\si[uc It; poinl z décrit !a ligne
non fermée L* Or, ceci est incompatible avec les propriétés qui
vieiinenl d'élre élablies, comme dous allons le démontrer.
Achaqoe valeur de rt, h relation p(ti — -ji— <!>(:;) fait cor-
respondre lin nombre /ini de valeurs de ^ï^ dont cbacnne varie
dNide manière conLmue avec u jïoin'vu (jue le chemin décrit par la
variable a ne passe par aucun des potnls ([iii correspondent à la
valeurs := i3o (* ). Diaprés ce qui a éti- admis, lorsque la variable u
décrit dans sod plan la courbe fermée F, en parlant du point A(Uo)
i5l revenant à ce point, z décrit un arc de courbe continu non fermé
aHanl du poînl 5, au point z^^ Prenons sur la courbe F deux
points M et V {Jig* 80), el soient z\ z" les valeurs avec lesquelles
//
V^
Ar««
lOn arrive en ces [loints M cl F hjrsque, la valeur initiale de z
^-t-aul 5,, on fait décrire a it les cbemins AM et AMM*. Soit
^•icore ^J la valeur avec laquelle on arrive au point P lursq nVm
1^ il décrire à ti Parc AQP; jinr bv[>otbèse z'^ el z^ sont dillérenls,
•■«^ignoDS les deux points M v.l V [ïar une transversale MP inté-
■^'eiire an contour F, et iina^Mncins que la variable n décri\e
* ^»'e AmM purs la triinsversale MP; soit z^ la valeur avec laquelle
On arrive au poinl P. Celte valeur r* sera ditTé rente de z" ou
**c s'. Si elle est différente de z'*^J les deux cbemins A///MP
^^ AQP ne condnii^ent |ïas à la ménje valeur âc z au [joint P.
Si 5* cl 5^ sont dilFérenls, les deux cbemins AwxMPel AmMNP
ne conduise Qt pas à la même valeur en P; danc si F on part du
l>Ofnt M a%TC la valeur z' pour z el qu'on aille de M en F* par le
^*' ^Otts admeUoiis les propriélé» qui seroiiL étribhcâ plus tard pour les fonc-
'"^"' itBplicil« (Cliap. XMI).
•il 8 CHAPITRE XV. — FONCTIONS VNIFOnMBB.
chemin Ml* ^mi par le chemin MNP, on nlilif iidrii poirr z dr>
valeurs difTérenles. Dans les deux cas on voil que Ton peiil rem-
placer le contour fermé F par un conlour fermé plus pelil F*, en
partie intérieur à F, tel que, u décrivant ce conloirr fermé, z
décrive un arc de courbe non fermé. En répéta ni la même opé-
r*ilîon sur le contour F^ , et ainsi de suite indéfiniinenl , on
obtiendrait une suite illimitée de contours fermés F, F,^ Fj^ ...
possédant la même propriété que le premier contour F, Comme
on pentévidemment s'arranger de façon rpie les dimensions de ces
contours successifs décroissent indéfiniment, on en conclul que
le contour F^ tend vers un point limite a. D'après la façon dont
ce point est défini, à rinlérieur d'un cercle de raj'on t décrit du
point 7, pour centre, il existerait toujours un clH^min fermé ne
ramenant pas la variable z à sa valeur initiale, aussi petit (pie
^ort e. Or cela est impossible car le point A est un point ordinaire
uu un pôle pour les difTérentes valeurs de :*; dans les deux ca!<,
5 est une fcrnctîon uniforme de u dans le voisinage du point À.
Nous sommes donc conduits à une contradiction en admelta«t
que Fintégrale / -■ ^ prise le long d'une ligne \j non fermét\
puisse être nulle, ou, ce qui revient au même, en admettanl qud
une valeur de u coi-respondenl deux valeurs di (Té renies de z. ^|
Nous avons remarqué plus liatit que si Ton a^^ pour deux valeur"
diiférenles de :;, ^>[Zi)^= ^{z^jy on peut trouver un cbemin L
idiant de z* en z^ cl tel que Finléo'rale / —-—- soit nulle. Il faiil
donc que la fonction rationnelle ^(-) ne puisse prendre la mèti
valeur pour deux valeurs difTérentes de r, c^esl-à-dire que 4>(l
soit du prejnier degréj ^(s)^ —^ r* On déduit alors de la rela-
tion (69),
(70)
rp
Cl nous arrivons à Fi m portante proposition que voici : La limiie
super le tire z fV ntie intégrale eliipliqtte de première espèce^
ro/isidérée comme fond ion de celte intégra h y est une fonction
eiiip tique du second ordre.
INVKRSIÔN.
COIRBES !>r PnEîlTKR ftEMlK.
219
Les inlëgcaleî» elliptiques uvaienL été étudiées d'une façon appro-
fondie parLegendre; mais c'est en renversant le prohlr^ine qu'Ahel
1*1 Jacoln* onl élé canchiils a la décoiiverle de^ fondions ellipliniieSp
La dtiterniinaUon effeclive de Ja fonction elliptiqire n :=/(f^)
conslUue \e problème fie r inversion. De la relation (6a) on lirç
lin ^
ft par suite y Ih w) = f{tf). INions voyons que le radical ^/U(:î) est
lui-même une fonction elliptique de a. En langage géométrique,
on peut résumer tous les résultats qui précèdent de Ja façon sui-
va nie :
Soit R(x) tin polynôme fin froisième mt du qt/atrième degrés
premi*?r avec sa dérivée : les coordonnées d'un point quelconque
de la courbe C,
K\)
r*= RO),
pru çen i s * ejtp rimer par des fondions el lip t iq u es de l ' in tégra le
fl<t première espèce
r dr r d^
« = / — = / -■ ^
it telle façon quà un point (^, J') de cette courbe ne corres'
ponde qu'une valeur de u, abstraction faite d'une période
ffufilconque.
Pour élaljlir ta dernière partie de la proposition, il suffit
doljserver que toutes les valeurs de u qui correspondent à une
^«leïir donnée de x sont comprises dans les deux formules
If Q -f- 9. m I to -h % /«s m\ i — «0 -+- a il» I «jj -^ f nu m^.
Toutes les valeurs de «, comprises dans la première formule, pro-
viennent d'un nombre pair de lacets décrits autour des points cri-
tiques, suivis du chemin direct allant de jr,j en .1% el corres-
pondent à une même valeur du radical ^H(x). Les valeurs de 1/,
eotnpnses dans la seconde formule, proviennent d'un nombre
impair de lacets décrits autour des poinis critiques, suivis du
nrhemin direct allant de x^ en jt; la valeur correspondante du
MO CHA^iTRB XV. — FONCTIONS UXIFORHES.
radical ^K (x) est opposée à la première. Si Ton se don ne à la fois jt*
cl j^', les valeurs correspoodanles sont donc comprises dans une
seule des deux formules.
Il résulle des cakiils qui ont t'ié faits plus liaiil que la fonclinn
elliptique x^=/{ii) a un pôle double dans un paralî<_'logr:imme
si l\(x) est du 3* degré, et deux pôles simples si R(^) est du
4* degré; r=/'(w) est donc du troisième on du quatrième ordre
suivant le degré du polynôme H(*r)-
Retnarque. — Supposons que, par un moven quelconque, on ait
exprimé les coordonnées {x^y) d'un jioint de la coitrbe j-^ ===; 'M-^^
par des fonctions elliptiques d'un paramètre v, soll x:=f ((').>
y :^ -y, (r). L'intégrale de première espèce u devient alors
fdx _ ff'(i^) dv ^
la fonction elliptique . v "^ ])eiit avoir de pôle, puisque it ihil
conserver une valeur finie pour toute valeur fiuie de t*; elle st*
réduit donc à une constante k, et l'on a f/ = kv ^ L La conslanle /
dépend évidenimenl de ta valeur choisie pour liruile inférieure Jt*
l'intégrale u\ quanl au coefllcicol A\ il suffira de donner à l' iio*^
valeur parliculièrc [jour le détenniner.
337* Nouvelle définition de pu au moyen des invariants. — I'
est ma in Lena ni bien facile de l'épondre à la tpiestion posée plt»s
haut (n* 333). Étant donnés i\^u\ nombres g^^ gj^ tels t|»6
S\ — ^7&3 ne soi l pas intl| U exUie iottjaurs une fonction eilip'
tique pu dont g^ ^^ g a ^f*^*^ ^^'^^ iin'unaufs. Le j>olynomc
est en eiï'et premier avec sa dérivée et l'intégrale elliptique / *-:===
admet deux périodes 2W, rit./ dont le rapport est imagiiiaite*
Soitp(«|tj, w') ta fonction elliptique correspondante» Nous rem-
placerons dans cette fond ion l'argument // par rintégrate
1 v'H(-)
m. — INVERSION, — COrRBKS DIT PRKMIKR GBNRi:. TAl
H élanl une constaote choisie de telle façon que F une des valeurs
Bde «, pour :î =:= qc, soit égale à zuio, Oo prendra par exemple une
i deini-droite indéfinie L parlant de z^ et Ton prendra pour H la
L^aleur de Finlé^ïraïc^ / - suivant celte deinî-droile L. Mon-
lirons (l'abord que ta fonction ainsi oblenue est une fonction uni-
a'2'J CHAPITRE XV. — FONCTIONS UNIFORMES.
Les valeurs de u provenant ries deux chemins z^mz^ z^nz satis-
font donc à la relation u -f- w'= o. On en conclut que la fonction
p(a|w, (o') = p( / . -^- - — H I a>, a>M
est une fonction uniforme de z. Nous avons vu que c'est une
fonction linéaire de la forme — j- Pour déterminer a, b. c, rf,
CZ -h d 7 7 7 7
il suffit d'étudier le développement de cette fonction dans le
domaine du point à Tinfini. On a, dans ce domaine,
/wr7\ '- \ iz* Az^l 1 7-+-...,
la valeur de m, qui est nulle pour z infini, est donc représentée
par le développement
On eu lire
— r = ^ ( I -h -; r -4-. . . I = ^ h. . . ,
tt* \ 4o^« / 20-5
de sorte que la différence pu — z est nulle pour z = oo. Mais la
différence — ^ — ^ — 3 ne peut s'annuler pour z infini que si Ton
a c=o, b = Oj a = d^ et la fonction j3(w|o), co') se réduit à w,
quand on y remplace u par l'intégrale (72). Cette intégrale peul
encore s'écrire, en prenant pour limite inférieure le pointa Tiofini
lui-même,
et celte relation entraîne la suivante pu ^= r-, la fonction pu élaril
formée avec les périodes 2w, 2co' de Tintéffrale / » En com-
parant les valeurs de -j- déduites de ces relations, onap u = y R{:)j
ou, en élevant au carré,
(73) p'*u = R(z)= ip^u — ^r^pu — g^.
Les nombres ^2^ gz sont donc les invariants de la fonction
m. — LXVKRSION. — CUlItBEtî DU É'kKîUJKn liENHK. '^'/3
dlipliqiie pa^ formée avec les périodes 5iiu^ icij'. Par là se trouve
bésotuc la queslion posée plus haut (ti' 335). Si gl — ^^ fft u't^sl
*pas mil, les équaLÎons (tii) sont véridées par une infini lé de svs-
lùmes de vuleiirs de tu, ct>'. Si ej, e^ t'a sont les Iruis racines
de R(5)= î^* — ^''a^ — jgr3 = tJ^ <3ii aura un système de solutions
tn posant, par exe m p le ,
et Ton en déduira tous tes autres systèmes de solutions comme il
i été cxplicpié.
Dans \e^ applîcnuons de l'analyse où interviennent les fonriîtms ellijï*
ù<\\itbf la foûclion pu est le plus souvent tléHniepar ses in^aiiani^. Pi^ur
effectuer les calculs numériqucîi, il faut pouvoir calculer un ^^slême de
pmndes, connaissant ^'j et ^^3, et en inrlre savoir trouver une racine tle
i'^ualion pu^^A, la constÉinte A étant donnée. Pour les itëtails Je la
métlï&tlc A *uivre, aini^î que jjour tout ce qui conrerne l'usage des Tables^
J«ouj ne pouvons que renvoyer aux. Ouvr*ïg»'S ^péciauv ( ^ }.
338, Application aux cubiques planes — Lorsque g^. — '^7^'^
Il est pas nid, rétpialion
•^présente une cubique sans point double. On salisfait à cetle
^([ualion en posant x' =ip«, y = p'^/, U-s invariants de la fone-
tionpi/ élant précisément gj et ^j, A lout point de la cubi(|ire
^trcspood une seule valeur de u dans un paralléfogranime des
périodes. En elTel, rér|uation pii = x a deu\ racines (i^ et u^ dans
^«parallélogramme des périodes; la sonimc ii^-hu^ est uii*i
Période, et les deux valeurs p' ft^ J>'''2 ^t*"*- opposées. Elles sont
•loui; égales respectivement aux deux valeurs de >' (jiii correspon-
'l^niki une même valeur de x.
U*une façon généra le/ les coordonnées d^un point d^ine cubique
(') La formule (3g) qui donne le développement en ^ùv\c enlièrc de au, et
^Ics qu'on tn déduit par dérivation, perinetletitt du niinns thL^ortquenicntT de
fàlçuler TU, ff*M, »*«, cl par suilc !Ja et pw, pour tous les sysléiiies de valeurs
uai CUAPtTftB XV. — FONCTIONS t^rOÊMES.
plane sans poinl double peuvenl s^exprimer par des fnactio
ellipliques d'un paramètre. On sail en eflel que Tob pral. |
une transformation liomographique, ramener réqnaticMi i'm
cubique à la forme (jS)? mais on ne peut eflecUier oelie irai
formation que si Ton connaît un poinl d^inflexion de la cafatqi
et la détermination des points d'inflexion dépend de La résoivt:
d'une équation du neuvième degré, d'une forme ^>écîale. Xi|
allons montrer que l'on peut obtenir la représeolalioD par^a
trique d'une cubique par des fonctions eiliptiqaes d*vB par
mètre, sans avoir à résoudre aucune équation, ponnu q«e f'c
connaisse les coordonnées d'un point de la cubique.
Supposons d'abord que Téquation de la cubique soil ic
forme
ce qui exige que le point à Finflni soit un poinl d^inflexia
On ramène cette équation à la forme précédente en posa
i J ^1 4 r • J
y = T" Xj «^ = — Â~ "*" a" ' ^^ ^"' nous donne
y = 4-r'-— ^,x' — ^,,
les invariants ^j, g^ avant les valeurs
oi —
16
On obtient donc pour les coordonnées d^un point de la cubique -
les expressions
^i 4 4 .
o^ b^' " bo'
Considérons maintenant une cubique C3, et soient 2, i\ 1
coordonnées d'un point de celte cubique. La tangente à la cubic)
en ce poinl (a, |ï; rencontre la cubique en un second poinl » 2.
dont les coordonnées s'obtiennent ralionnellemenl. Si ce pC
(a', ^') est pris pour origine des coordonnées, l'équation de
cubique est de la forme
?'(-^>.>^)^^signantun pohnome Uomogéne de degré // = 1,:^
Coupons par la sécanle y = t.r] x est déterminé par Téquai'
tIL
INVERSION»
COIRBES nu PRKMIHU GlSXttE:.
ij*i second défait'
«l'où Wm ûvf^
fC», /) = o.
/J7,
R(f)ih*signaiit le polvnome 'f!(i, i) — 4?3{i i ^)?»("» 0*1"' est en
géinfral du ijiialricine degré. Les racines de ce |)OÎ)iiome sonl pré-
cisémeiil les coefficieiUs anj^iilaires des tangentes a la cubique «jiti
passent pîu' rorig;ine. Nous connaissons a priori une racine de
cepoljaoïiie, le coeflicient angulaire /^ de la droite qui joitiL Tori-
^itieau [ïoiiJt (a, |3). Eu posaut t ^ /|» H- -;» il vienl
/R{r> =
/ -
Itî polynôme ylt,(/') n étant plus f|iie du troisième degrt;. Les
t'oordonnt^es (j?, j')d'un point de la cul>ique C:i s'e\|ïriinent donc
f-tliuimellement au moyen d*un paramètre /' et de la racine carrée
'1 un polynôme R,(i') du troisième de^çré. Nous venons de voir
fomraeul on peut exprîmrr ^' et \ li,(/') par des fonctions ellip-
Itcjues d'un paramètre «, et Ton aura ainsi pour x el y des fonc-
tions elliptiques de ti.
I)'a|ïiès la faron même dont on a opéré, à un pr>iiii (.r, j') Je la
*'ulii«]ue correspondent une valeur uni<pre de ( et une valeur bien
JtHerminée de y''R(/)y pai' suite des valeurs hien déterminées de i'
''Idt^^Ki^/'). Or à ion t système de valeurs de /et de^R, (^') ne eor-
t'espond, co m UH' ou Ta fait remarquer, qu'une valeur de «dans un
pantlIélogfsptïHne de périodes. Les expressions obtenues j=y(«),
y:=if^(^u') pour les coordonnées d'un point de Ca sont donc telles
lue toutes les valeurs de u qui donnent le même point de la cubique
ioUiennent en ajoutant une période, d'iulleiirs quelconque, à
lune irellcs.
Celle représentai ion i*araan-'tri*|uc des cuijiqtics jjlaiics au riujjen des
fonctions elliptiques enl 1res importante (M* Nous montrerons, poirr
•lonncr un exemple, eomiiienl elle permet de déteruuner les poiiiH tl'in-
^') CLEQ.^cn, Ueùer diejettigen Cuf^,'en tieren Coanlinaien sieh ah eiiiptùihe
^^cUonen eiaeâ Pa/ameler darsicUen îassen {Journal de Ct eîie^ i, qI),
C, IL i3
Û
t:ii\i»inu: w .
I ■ u \ c/i j y N !* t > J F l> JV M LS.
lu
evioti. SoienT jc=/iu)y y =^ f^{uj les expressions ilcs coorJuiifice^;
l*.*s urgujiieAU deà points d'iitLetstit'Uuii Je la cuLiiiui- avet" la droîie
Kt -I- B >' H~ C — i> suiil racines Je roquaiioj» kfi u } -r- Ji/i( f* ) -h C = o.
r.uiiHiii^ à un poha (r^ y} ne corrcï^pMmJ t|u*uue \aleur Je u dun^ un
(Kiialléh^giamiiie île* périuJcs, il seusuit t^ue ta functioiï cHîiiUque
\/{U)-^B/j(a)-}-C J<»il. être tlu Irois-ièiue urJre. Les pCJcs de celte
foriclioa suiit ëviJeiiimeikt iadèpendaiii^ de A^ Li^ C; si «i, Uf, u, sont
tfuis arguinentà torreï-poutlant resffectivenient aoi trois [toînis iriiilct-
section du la €uLi«|iie l't iTutie «Iroîle, nu Joii dnii<: ii>oîr ( ii" Wûliij
Mj — a^ -+- «j ^ a -T- % Hti tu -r- 2/^Vjtu ,
K l'iant la somme des pùlu^ dans un paraltélogramrite* Rn i eiii)JarîiDr,
K
daji^y et/j, H par — -^ «, la relalimi peut sVciiiu (Jus «■iJiij>Ici*irnt
«i H- Ut-t- Ut — ps:t iode.
lu versement, celle eouilitioi* est suKisaiMe pour cjue le;!, trtiis points» Al] i «i l,
Mj(«5), Mal Wïl soient en li^ne Jioite. I^n etlei, suit iM', le trui^itnn.-
point lie rciieontie Je la droite xMiMj a\ec la culiii|in% et a'^ rar^unienl,
CLH I ("sponJant. La ^olJHne Ui h-- Mj -r- «^ étant é|;ale à une période» t/j ett»';^
ne ililléreiU tjue d tiuc pértiMle, et [jar suile MJj coïncide avec M^,
Si u est l'argument d un |Mjinl d'inllexton, la lun^ente en ce point rcn^ —
contre la cuurlie eu i puiuts cuiirondus, ci au doit être égal à ai»«i
période. On d' Jt donc a\on n =
•2/«iU> -h 'i/«aù*
, et il suflit évidenimer» i I
■Jt //ï , (y H- ■! tu , «y
lie donner aux eJitiers /Ki ei /i*^ les valeurs o, i, 2 |»our ol»ienir luns 1*^"^
ptJints d'inllexion; il } ^ dune neuf [hh ais d'inilevîon. La droite qui pa^^*-'
par les deux pomls d inllexjoii — ^ et
contre la cubique eu un troisième point dont Tar^nment
«^ «T
esl encore le tiers d'une période, c*est-à-dire en un nouveau puint J"i •"•**
lîe^ion. Le nombre des droites t]ui rencontrent ainsi \i\ cnUiiiue en "ipoî *^ •* J
d'inlle\iou est égal à — ^> c*esl-â-dire à doase.
Remarque, — Les prdnts irintersectîon de la cubique normale (7>>ii ^'*^*^
la droite ^ = mx -h rt sont dunnés par l'équaiioiï i^ a — mpu — « =^ *^^
dont le premier membre admet le pôle triple w = o, La somme des nrfî ^^'
nients des points d*intersection est donc é{;ale à une période* Si u% et- **'*
son» les arguments Je deux, de ces points, on [)eut prendre ^ «t — ^^*
pour argument du dernier poijit d'intersection» et les abscisses de c*^^
trois points sont res[>ccti veulent jï«i, juij, P(hiH- W| k
Jll. — lNVI::it5IO.\. — COI IIULS BU FBEMtËtl UEMIL«
217
On peut déthiirc tJu l^ une nouvelle ilLUiciristralioii de hi futniule d';idili-
tion pour yu. Ea cïfet, les db^scis^e*» des |>L»iiïts d*tiJtet\scctrun sont lacines
de l'cquation
on é donc
ri-i-j-i^x^— jvHiH- pM, H- jHmi+ wjj = -^ .
D'atiïre |»art, lii drotti; pas^al»t par les deux pûinls M|(wt)| Mi(W3), on
* le* deu\ li'laliuns |''«i = «'j>»i 4- ftj p'ifi=^ //ijjwjH- «, d*où l'on lire
m =^ ' — ~f et udr suite non*» ubloiions Lti relalii>n deja tnui-
pa^ — pui ^
vrtMn* 332).
I /n'«î-- ji'«, s
\
33!). Formules générales d'inversioii. -^ Soit li(jj un [>o-
'vnume Ju i|ualri*j*tic iJe^^rô, pn3tnier avec sa dérivée. Coii:^idé-
'^>iis la courbe C* représeiilt'e jjar l'oipiaLioii
(77) j^i^ R(x) = tra^'-i- îrt,.r^ r- Im/j^î-,- ^(ij^ -h a^ ;
ïiouj nous [H'op05ons de inuntrtr cunirnerU on peut expririirr les
«^CHjrdoii liées .r et j' d'y o point de celte courbe |ïar des foficlioiià
<îîU|iliques d'un paranièlre. Si Ton cannaît une ruciiieade récjtia-
*'OiiR(x):=o, Oïl Li d/'ja vil, a pro[>os des cubbpjes, comuieiit
**0 |>cul opérer. En jïosant x ^= a 4- — » la relation {77) devient
■*i(aî') claiil lin jiol>nuiHe iln troisième dej^^rê. ha courbe pru*
I*o^ëc C| COI res|ïond donc poijil |tar jioîiil k la eoui be iV^ do Iroi-
**C'tiic ordre «pil a pour érpialiun > '- ^i il, (j^'')| ati moyen des for-
' •^•ul^sx =: cl -i- — , 1 j' = ^j- Or on peut eKpriaier x' eï y au uioycn
** Un paramètre a par des expressiotis de la forme x'^ oipn h- 3,
T ^=^%p* Uj en choisîssanl convenablemeal a, p, et les invariants
"^ Jiii. On en déduit pour X v\ y les formules suivantes :
afp« -I- ^
J^ =
aj> 1^
(«jju -+-;!;-•
c/jf
"^^ €Q lire du ^ — — » de borle que le paramètre a est idenlH|ue,
ai»
t:u\vi ruE \\\
I ONCTIONS l N 1 1 ( iji:u ts.
es, a 1 mlei^rii
le dt
e 1 lirai H' 10 esnrcc
ffx
/R(>)
et les lof
mules (yS) ré>o!vcnl L*c*(ii[TlcLeincnt le prol»l6me de l'itivcr?iioii*
I^renons maiiileiiaril le cas général ou Vou ne t'nnnaîl aucune
iMCine de lY'(|iialion R(jr)^o. Nous allaos montrer i\iiv i\jn
peuif SiffiR inff ofifure d* autre irrationalité //a*tiftff racine
va n *ée, exp / ' if} ter rat io 1 1 n e lie ment x ef i ■ a ti n i o y e n d ^ u n t * fo ti r-
lioa eliiptiffae pu, d'inyaritinis connu s y et de sa dêri\'ée p'n.
H< jii[>kn;oii.s [>onr un nioiHCiiL x vi y piiJ- / ri r respecliveoienr,
de sorte i\iui la lelalioi* (/j-j) drvieiil
{ 77 ^*^^' )
I î ~ [{], f } = Oq t^-j- Idit^-^ Giiil-'j- ^a^t -T- a^.
Le |>olvnonie R{t) peiil se iiieUre d*ijne înlnnlé de maiiiêiei sous
la loijiit? l{( t) ^^[^^{t)]- — '^i( t)'j':i{t }, '^,, '^^, '^;, étant îles po-
lynômes d^uii degré niat^qué [>ai' leur iudiee. Soient en effet (a, ^)
les cooi données d'un point t|uelconqna de la courlje C^. Prenons
un poljnonie 'f j(^) tel c|ue 'fi(^) =^ ^, ce f|uo Tcki peut Taire é\i-
ilemnierït d*une infinité de manières; Téipialion
admettra I» raeino t =^ %^ et Ton pourra [ioser Oi[t)=^ t — -jl. Le
polynôme R{l} élanl mis sous la forme précédente^ considérons
lu cuLique auxiliaire C^ représentée \rdr Téquatton
(70) ^'^M^) -^'^'^'^«(i)*^'^'?' (j.) =**i
si rjoiis eon|»ons celte eubîquc par la séoarUe >'=^ /x, les alï»c»^sc:i -^
des deux points variables d'interset:lion sont racines de réuuali*^n
cl f^l pour expression
ÏP:l(/)-
e élaul déterminée par récpiaLÎou (^- ùis). On voit t]u'înverseiii*-^*^'
i et t' peu vent s'exprimer lationnelleincnL au moyen des coOf''
données x^y d*un point de (J^ par les foiinules
(8o)
/=^^,
X
'-'-A3)M^-
paramètre w, piiisr|iron connaîL un poiiit de la cubif|ue C^, qui
est l'oric^ine* Il en e-^L donc de même de ( elde r. Le procédé peut
évidemment efre varié de bien des niaiiières, et lYm n'introduit
que rirralîonnelle p:=y/K(a), a resLant arbitraire.
Nous allons développer le calcul en supposant, ee que Ton peut
loujiiurs faire, qu'oi» a d'abord fait disparaître le coefficient {t^
ilc P dans ri(^). On peut alors écrire
cl jjoser
I^a cnUiqite auxiliaire Cj a pour éf[ual!iui
f8 • I 6 Uq a^^y^ -h j a» Oj jr-j' -h rr^ a^:r^ 4- i «m j ' — t t^ f ».
Oonforméinenl a la nié ih ode f^énérale, coupons celte ciibiijue
pm* b sécante j'= Ix] l'équation obtenue peut sVcrire
r( - j — >a„ f 2 - — ( (]«(, flj (^ -+■ 4 flo fli / -^ cty «4 ) = o.
i^on en tire
- = <Tt,/5 H- /<lulit / J.
Invcrsemertt, nous pouv<His exprimer / et \/ffifl{i^i) on niosen
^^ X et de r
(ft;
4tr JT \ j? /
av
I3*au1re part, en résolvant IVqnnlion (8i) par rapport à >% nr>iH
^JD
Le pol}'nome sous le radical admet la racine j'r=o; en a|ï[ïlî-
[*l**antla méthode ciui a f'té ex|>liquée, on [)ourra donc exprimer
*^ ^i y par des fonctions elliptiques d/uu paramètre, Kii dével*qi-
aSo CHAPITRE XV. — FO>rTtf>NS IMF0E1U£S.
paul li's caliïuls, on arrive aux foriiniles
^8J)
les invarianlii g^^ g^ de la fonclion elliptique pu ayant les valeurs '
su î va nies :
(S4)
/Tî--
Aj/Ty-h 3^î
/r* =
/?0^!^i ^^ *^\ rtyrt'
En rem pi ara ni x el j' [^al■ les Vij leurs prreetlenles dans les
nulles (8y.), it vicnl
/ ^
(85)
|/K(IJ = /*n,
1 ji«
<Tj
p ^^ -
|WI
On peut *^crire ces formules sous une forme un peu plus simpl
en obî^ervanl que les relations
(80)
V
«1
sont compalibles d'aprè-i la valeur des itïvarîanls^a el g^, D^aulrc
, r / (/ n - — j i' I' ', ' , . 1
part, on j » en t rc m p I a c c r - ( . _ \ . j P ^i ^ P { " -t- *' ) ~^~ J^ '^ + P **q
En rétinissanl ces résultats, et en remplaçant l el v'U(/) par
ei y respectivement, nous pouvons donc énoncer la proposition
suîvanle :
Les coordonnées {^*,X) d'un point qitelconf/ue de la courbe C|1
représentée par V équation {^j']) {oii a^ ^— o), pefi^'ent s^ exprimée
{tu moyen d^un paramètre variable u par les formules
les invariants g 2 et ^5 ayant les râleurs f Ion nées par les relu
lions (H4), et pi\ p* e étant déterminées par les équations coi
patibies (8G).
ir. — INVERSION. — COI ri n ES du porMiEn cîenhe. 2I1
Delà f»ir*nulc (i^) élM\e ]vliis Itaiil (ii** 332) on liiT. en Jille-
renlianl les deii% mcmljres,
» itfl \ pu ^ pv / ' *
— dv
\ (t^ — -♦ Lo paramètre u rr|M"«*
I
^enlt" (Jonc rinlt'gralc rllipliqne de preniirrc osprcc ^/a^ / *
J )/\i{X)
ei les rormules (8j) résolveni le problème de rinvcrsîon.
3iO. Courbes du premier genre. — Une coirrhe plane afjL^L'-
«rir|iie i^ft tJe degré n ne peut avotr plus de — poiriU
Jouliles Siins se décomposer en pin sieurs ennrbes disliricles. Si hi
cotirbc C,, est indécomposable et possède c/ points doubles, la
• •■•Tenee /> == — a est appelée le genre de cette
courbe. I^s courbes de genre zéro sont les courbes unicursales
tlont les coordonnées pcnvenl s'exprimer par des fondions ration-
nelles d*iin pariimèlre. Les courbes les plus simples après celles-là
^oni les courbes de genre ttn ou du premier genre; une courbe C,,
^«1 premier genre possède 1 = ;-
JouIjIcs.
po
ints
tes coordonnées fi* ttn point ttune conrla* du premier getuf
peuvent ^exprimer par des fondions elliptiques d'un para-
mètre.
Vtmr dénïonlrer ce ibéorème, considérons les courbes adjointes
d'ordre n — 2, cVst-à-dire les courbes C,,_2 qui passent par
Jm
— points doiiuleâ de U,,. Lonime il faut —
poînis pour déterminer une courbe d'ordre n — 9.^ les courbes ad-
joioles C^„_2 dépendent encore de ■ - ^ == (ai — 1)
para me 1res arbitraires* Si l'on assujettit ces courbes à passer encoïc
par /* — -^ points simples (u-is à volonté sur Cy/, on obtient un ré-
I seau de courbes adjointes, qui ont en commun a%ec Q: les ^ ~ ^
t1i
cil VCITRIC \V\ — FO?îGTIO\S IMFOBMES.
points doubles de (^i et « ^ 3 poitiis simples. Soient F(x, j'
réquaLiun de C,^ v\
) =
rét|ualion dt: ce réseau de eouibes C,i_a* /.et jj. élanl deux pnra-
inrlres arbitruires. Une cuinbe r[iielcoii(|ue do ce réseau ren-
eonlre C« en (mis poînis variables scufeiiieat^ car eiiaquc i>oiiil
diiuble carïijile [lour deux [>oirils cotTimuns, et l'un a
n ( n — ^ } -+- /i " 'i — /i ( H
3.
Posons mainleiuuil
(H8>
lorsque le point (,r, j^) drciit la courbe C^^, le poinl (x\y*) décril
nue courbe al^ébricpie (7 dont on obtiendrait réqiiation en élimi-
nant X et y entre les équalions (88) et F(\i\ r)=^o. Les dcuv
courbes C et €« se correspondent poinl par point par une trafi^^
formation btrationneilt\ c'est-à-dire qu^in versement les eoor^^
dunnées (.r, y) dViti point de C,, s'ex])rinient ration ncHement
ait moyen des coordonnées {^r\ r') du poinl corrcspoadanl de C
]l suffit, pour le prouver, de nionlrer qu'à un point Ç^\y*) de (;'
il ne peut coirespondre qu'un point de C,m ou que les équa-
lions (88)^ jointes à F(ar, ^•)^Oj ne peuvent avoir en x ^l y j
qu'un seul système de solutions variable avec x* el j^'. ^L
Supposons en eflet qu'à un point de VJ correspondent deu^^
points {a^ //), {a\ b' ) de Cf,, ne faisant pas [jartie des points dt
base du réseau de courbes Cw^a- ^^" aurait
/i « a \ f/ ) fi ( a\ &' \ /jt < ij\ />' )
/i(«, ^) /ïl^, ^) /3(«, ^)
rt toutes les courbes du ré^^ean rpri passent par le poinl (a, b)
passeraient aussi par le [voint [a\ 6'). Les courbes du réseau qui
passent par ces deux points dépendraient encore iifwairetneni
â\in [>aramèlre variable, et rencontieraient la courbe C„ en un
seul ]>oinl variable. Les coordonnées de ce dernier poinl d*iuler-
si'clion avec C^i seraienl tluuc des foncli*>ns rationnelles d\in para-
m, — ÎX VERSION. — COtunES Dl PHEMIEtt GENRE. ft33
iHlre variable, et l:r cotirbc C,, st^raÎL unîcursale; ce qui est im-
possible junsqu'ellc lia (jiir
n i n
points doubles.
A un piiinl {x\y) dr C ne correspond par coaséqiienl qu'un
|MJiiit (jT, j') de C/i, el les coordonnée:» de ce poiul sonlj d'après
\\\ ibcorie de l'eHîunnnlîojï, des foricUons rationnelles de x\ y\
(Sfjf
^ =^ ?i(J"'. j')* J' ^ ?s(J"'îj';-
Paur avoir le degré de la eourbe C7, cherchons le nombre des
points communs a celte courl>e el à une droite quelconque
m'-^- hy -t- c=^ii. Cela revient à c!ie relier le nombre des poiiiï>
commiin^î a la courbe C,^ el a la courbe
«/î(^t r ) -«- ^M^f y) -^ ^/i ^ -2"* r ) = ^*
pniatpj',! tii] point de C correspond un seul jiniul de C^^ el inver-
seiaenL. Or il ny a que Irois points d'înlersection variables avec a,
/^ c. La courbe VJ est donc du 3* degré. En résume, les coor-
Jonnées d'un point de la courbe C^j peuvent sVxjirinier ration-
f/ellemcnt an nioven des coordonnées d'un poinl dune culïtque
plane, el» comme les coordonnées d'un poinl d'une cubique sont
des fonctions ellipUques d'un paramètre, îl en est de méuie des
roordonnées d'un point de C„.
l\ résulte au^^si de la déujonslralîon, el de ce f[ut a élé vu plus
liaul pnijr les cubiipies, que Ton peut faire cetle représenlaliou
Idc telle façon qu'à un point (.r, j") de C,| ne correspojide qu'une
valeur de u dans un parallélogramme des période!>.
Soient x^=-*}f{t()^y=^if\{u) les formules qui dunnent ./• et^>';
toitic înlé^ralc abéltenne *r ^ / H(.r, r) dx altacbée à la courbe Cn
iî^ n'* 108) se ramène [lar ce changement de variable à riiitégrale
\^é^*%ii\c fonction elliplrqne; cette intégrale iv s'exprime donc elle-
Hfiic^nic à Taîde des Iranscendantes p^ ^, ^ de la ibëorie des fonc-
tions elliplîc|ues. L'introduclion de ces transcenda ni es dans T Ana-
lyse a doublé la puissance tlu ealctd intégra!.
E^ftUPLC. QaarfitfUt's bicirvuiaires. — Une courbe il a 4* di-gri- ayRal
Icux poinl s doubles est du premier genre. Lorsque les polats doubles
i»iit les points circulaires à riaOni^ la courbe C^ est une quartique bi-
zirculaite. Sî l'on ii pris pour tui^^ine ua ])OjnL de celte courbe, un \\v\n
À
a5| rïuniTRE \v. — fonctions uxiformks.
prendre |inur courbes aflj<>înles C„_* des rerrli^i* passant par J'»MJ^in(.'
pour avoir «ne cubique corrcspondanl point pur puînï à la quartirpii! Cv ~
il fuffiu d'aprrs la niélliodo générale, fîc poser :r' =
^t^yt
■r =;
On a invcrsemoni t =
—r-9 r — ,^ — T-f el ce<i formules définissent
une inversion par rapport au cercle de rayon m/ï décrit de l'orîgine pour
centre. Pour a^oïr réqualion de la cubique Cj^ il suffira de remjdaccr jr
et y par le< valeurs préceilente* dans l'eqn^ition de C*. Supposons, |i;ir
exemple^ que l'cqualion de la quarlîque C^ soii (j**-4-j'*)' — «j* — o; lift
cubique G 3 aura pour equiiii^m ^^'(^'*-4- x'* ) ^ 1 = o.
4
Hennrquf^. — Lorsqu'une courbe plane €« admet des piînts sînguliiîrs
d'espèce supérieure, elle est du premier genre pour%'U que lous ces [Miiitls
sin^ulier^ soienl équivalents à
n(fi"3)
points doubles ordinaires. Pat"
exemple, une courbe du qnatrii-ine ordre ayi>ni \\n *4eul point doiddc. «» t^*
deux brandies de coiiibe sont tanj^enles Tune à Tautrc sans présente^*"
aucune singiilarilé, e^t du premier i^enre; il suffit^ pour le voir, de coup^"'
cette quarlique par un n'seau de coniques tangentes au\ deu\ braneh*^^
au point «louble et passani par un aiMre point de la quarlique. La conrL^^
j^*= n{>), où R(^r) est un |>olynome du i" ile^ïrc premier avec «.a déiivê^^
préfîcntc une singularité de celle espèce â linfini. On la ramène à uit ^
cubique par une transformation bi ration uelle en posant
ce qui permet de retrouver facilement les formules d'în\er-^ion (87)
EXERCICES,
1. Démontrer qu'une fonction douLlcmeul périodique entière est une
constante^ au moyen du développement
/i=.=2;
V«e
[La condition /( z -f- w') —/{z) exige que Ton ail A/| — o, si n ^i
2. Si a n'est pas un multiple de r, on a la formule
htaa \ fj/AA \ a — ht:/
irXERCtCES.
iV,
[On change * en z -h n dan'^ hi fm-jimU' (\n\ ilunnc l<" <lt'*vi'l«ipj»eiiioiii
ilfCou^pijU 011 inicgrc erilrc li!s liniitci a ni z ]
if. Drirliiîre <îc la formule prcccdenle îe*i nrnivcan^ prorluît? infinis
— m
(;-7r)n'(-~-J('"-x77^)-^-
— m
TranAformer ces nouveau \ [ïnMluits en produits île facicur^ [>rimaircs,
"<i en |ir()d(jîls ne renfermant |dus de tricleuis e\]ïonenlieU, lois i]ue
OfinontrtT Il*s formules
iaiiff^^'15
iJLH-^l)^ Tl'
tulilir des formules analogues [>our
-1
— '— -^...1.
sin ^ — sin a co«s -s — cos ti
S> ÊLablir ta formule
1 («.'>-)* (I.'2.1)*
(— 1/'
|l,'2,..(«-hl)]î
U, Décomposer en tdéuienls simules 1rs ftmeiiiuis — ;— > — ; — •
* ' p il P'U
7* Korsquc ^i= o, on a
I ^tanl une racine cubi<|ue de* l'unile. En déduire la décamjui^iiiùn en
éléments simples de — ; ;— lorsque ff*^ o.
236 CHAPITRE XV. — FONCTIONS TNIFORMES.
8. Ktant ilonnées les intégrales
/ , dx. I r/.r,
J (-T — Dyx^ — I J vi-r-J*
/dx r ax^-hft
X^ ^X^^^' ' J y/(^i — j'i)(i — kix^)
on demande d'exprimer la variables et l'une quelconque de ces intégral
au moyen des transcendantes j), Ç, a.
0. Etablir la formule de décomposition de M. Ilermite (n** 331) en ép
lant à zéro la somme des résidus de la fonction F(5)[î;(a: — z) — ^(Tq — -
dans un parallélogramme de périodes, F(^) étant une fonction pllipliqi
cl X, a7y étant considérées comme des constantes.
fi"' ( f\\
10. Déduire de la formule (Oo) la relation t, = —
riw6'(o)
[On observe que la série an ne renferme pas de terme en m'.]
*1I. Exprimer par des fonctions elliptiques d'un paramètre les co(
données x ct^ de l'une des courbes suivantes :
y"^— \\(x —a)(x — ù)(x — c)\^y y^— A[(x — a){x — 6)]-,
r'T= A(x — rt)*(.r — ^^)3(.r — c)-\ y^ = X[^x — a^ix — bf.
y* — X(x — a)^{x — b)^,
y'' — \(x ^af(x — b)^{x — r)'», y^ — \(x — a)'^(x — b )\
;-'• ^- A(x — a j^i-^' — b)^, y^ = A { x — a)^ (x - - b )-,
y^-i- { ix^ -i- mx -{- n )y- -f- A [ ( .r — a)(x — b )(x — C)]
y.^ X:ry^.'^j.^(u,r-i--~ ^j = o, y^ ~ \ xr^ -i- x^- (^\^ x^- -^ J- ^-j
yv_^ A.rH-+-('B.r'-i- ^ ^,- V = o, >•' 4- A J7'V_^_ .,.-, /b^ - 1* ~^^-)
Le paramétre variable est égal, à une conslanlc près, à l'intégrale / —
I Briot et Bouquet, 1 héoric des /onctions doublement prriodiqu
'i' édition, p. 388-4 12.
CHAPITRE XVI.
LE PnOLOXGEMliNT ANALYTIQUE.
l. - L>LITMTJ(JN Jïl NE FONCTION VN ALV i K aii TAU UN
iiK SES ÉLÉ\IE:yTS-
3 il. Première idée du prolongement analytique. — Soii /{ z)
<Hje fuuclîon holotiioi|ilic iLiiis iiist' |>iirlUMi ciHtiHxe A du jitdJi,
liiiïilée |ïîir une ou pluî>ieurs couibcs, fejinées ou non; nous pre-
notKsU)ujour!5 le inol de conrhes ilan^ \o sens êléiricnlaîrr Imlulni-I
tuiniiK? u o u s l 'il \ o 11 s fa i l j ii sq u ' ici.
Si l'on < oiiniHl Li valeur <le lo louci ion /(; ) el tle louiez s^'à Jcrj-
^ées siiL'cesî!ii\e5 en uu puint (lelenuiiir (t de la région A, on |irMt
en Je Ju ne lu valeur île eelte lujielion eu un au Ire point quel-
t'»mnic // de la ui<}nie rej^iuiK IVoir le dénionlrer, joi^nuns les
Jeux |>onitîi ft et ù par nu eliemin L situé tout eu lier cfans la
^*'\!^m\ A, [var exemple [>iir une li^ne poK{;ouale, t>u pai' une
* otirlie Je forme ipieleouque. Soil o la limite iul'érien*e <le la Ats-
biHc cl lin puîut i|(ielconf[ue ilu ehemiu [^ a ini pnint ipii'leouipie
tlu cotjiour de la n'^ion A, de telle sorle qu'un eertle dt* ra\ou 5
^piilpûur centre nu point queleonipie de L soil situé tout eiUier
Jaos i'ctle région- Par Ijjpollïèse, nons connaissons la valeur di^
'a ffïjictinn /{a) cl de ^es dérivées snceesi^îve» /'(<£), /^(ti), . * •,
|KiMr^^==a, Noirs pouvons donc écrire la série entière rpi! repré-
*t!niç la riint:tiouy(^ ) dans le doinaint* iln point //j
/(i)=/(a)^^— ^/(>)
i^ — ny
P'Hn)^
'jfi rajou de convergence de celte série esl au niuin'5 égal à o,
*"^>s il peut être plus grand. Si le point ù est situé daus le cercle
**^ convergence Co de la série précédente, il suffira d\ reni|daeer 3
P*i" 6 pour avoir y(t). Supposons que le [»oint ù soit extérieur
238
CllAl'ITHK \V|.
iMt o 1,0 N i, i: M t > r sy.vL i r i o i H .
à Cu, et soÎL 3t, le point uù le t:liejiiirj L su ri Je Cu (') (./?©* 82 ^
Sur ce clieiijin |«i'ciïuiis à Fi nié rieur de Dq un [jolul z^ voiâiu de at
lel <]iie la dislîinee des deux iiuiuls r, et x, sait luferieurcù -« L-.
série (1) et, eelles que l'un eu Jrdiiil (lar de:» diflrrentialîons suc
ces^ives j>ern)eUcnL de ealcider les valeurs de la l'oiictiou y(^
et de toutes ses dërivées /(v,), /^(Zi)y ..., /^"K^*)» •••
(>our z ^ z^. Les coenieienl?i de la série ijui re|U'ésejite la fouc
I-ig. sj.
tiiui /(:;) daus le duuiaiue i\u puiut Zi soiil donc déleijuiur!» â
Fou L'uiinaît les coenieieuts de la )uentière série (1), et Fou a,
le v(>i>iuage du point :^,,
(a) /(5)=yUi)
-/C^i)'
( - — 5i ï«
Z^'^U-i)
Le ruNon du cercle de convergence C| de cette séiie est an mo
é^al a 0 ; ce cercle renferme donc le |joiul %^ à Fintérieur et^ f>3i
buite, il a une partie eu dehors du p rentier cercle Co- SI le point i
est dans ee ïionvcau cercle C| * il suftira de faire z ^= ù dans 1^
série (/a) pour avoir la valeur de /('>)» Snjiposous que le potwl *
soit encore en dehors île C, et soit «a le point ou le chemin Zi t
î^ort de ce cercle. Prenons sur le chemin L uu point z ^^ iutéri^^
( ' ) La valeur de/(£) au puînl b ne dèpendanl pas du cbeiiiiii L, tant que C^
chcmii) »e âorl pas <iu l'aire \^ un jïeul siippo&ur, coniuie cVst le cas de la Ttgard
que ce chemio ne rencontre qu'en un point le t'crcle C« et en deux puîoU au pM
tes cercJes âuccesâif^ C^, C^, .... Cela revieoi, 51 l^on veut, à prendre j>oiir Si le
dcroier paiut de rL^ncotUrc de L ei de C^,, et de même pour les autres.
«(!, el Ici ijue la disLauct; des dt.'iix [ïoiiiis z* cl at^ suit inférieure
à'' l^a ïst-rit,' (.i) el celles qu'on cnMédiuL jiar des dîDTér eu lia lions
successives peiiiieUroal de ealenlcr les vuleurb de /(-) cl de ses
dérivées / {z^}^ f'[z^.)^ /'\''.t)i • • m **^^ jiuiiil z-2- On [><jiuTa donc
Inruier une nouvelle série
(JJ f{^)^A^i)-
'/'i^a)-.
(- — -s)"
/^"H^,).
iliii rc|jrésenleru fa iuneliun /{Z) dans uti nuuveiiu cercle Cj^ de
rdvuriaippérieui'ou é{^al à o. Si ïe [*oînt 6 est dans ce cercle C^, on
itmijiliiccra z \rùv b dans l'r^alilé prccédente {S)\ sinon, on conli-
luieid ù a|i|>lifiuer le inenie procédé. x\u boni duu nonrbrc lîni
4u[vtialiuas, un Hniia par uLlenir un cercle renferaianl le |KMnL b à
imbjrit^ur: tluns le cas de la fi ^n ire, i esta rinlérieur de Ca- Kn cllçl,
OH peut Luiijours cliuiair le» [>olnls z%^ Z'^j z-^y . . », de lacon que la
Jbtaute de deux poinli cunsccutifs soilsnpérieure à -; suit d'aulre
]»:irl S la longueur du clicnilu L. La longueur de ta lij^ue (jolvgo-
^^à\\i fiZyZ,* * ^ Zp_^ Zpb eal loujonrs iulérieure à S; on a donc
P:^'^\^p — 6]<S. Soil/J un nondjre enlier LeI que ( - -h i j 8>S.
l'int^galité précédenle prouve tpi'après p opérations aii [dus on
louibcia sirr un [ioinl Zp du chemin L di>nL la distance au poinl b
^^U iniérienre à o, le [>oinl b >eta à l'intcrjcur dn cercle de con-
ït'i'gence C^ de la série entière i\ni ie|>résente la fonction f{z)
'hoi Itî domaine du point Zpj et il snffira de remplacer z jiar b
Jaib celle série punr avoir f{b). On ponrra cale nier de même
l^utci» les dérivées f\b),f{h), ....
i^eraisoniicnienl i|ni précède piouve qu'il esl possible^ du moins
lhctirit|ijt;inenl, de calculer la valeur d*nne fonclion iRdomor[>he
"*«* uue région A, eL de loules ses dérivées, en un poinl (jnel-
tOQuiie de celte région, pourvu <]ue I on connais>e la suite des
^*<l«urs
/(a), fia), /"{au
f^^{a).
«tfe la fonction et de ses dérivées successives en un poinl déter^
iffifté a de la même réjj;ton. Il en résulte rpie toute fonclion liolo-
mu/plie dans l^aire A est eonqilèleiuenl délermijiée dans toute
2,0
«Jlil4TlŒ XVI
LE l'ROLONGISlIKNT AMLlTigLi:.
celle aire, si elle est coûniie dans une région, aussi |)ctile qu'on !
suppose, enLourauL uu | toi ni quelcon(]ue a pris tlans A, et mciii
^i elle Cî»l connue Loiille loii^^^ d'un arc île enoïliCj aussi pclilqu^o
le stippose^ abuuLiiïsanL au puiuL f/. Si, en tlîel, la fouclion y(;
est détennifii^e tout le lou|i^ d\iu ai'c de courbe, il en csl Je nièui
de la dérivée y*' (-3), car la \aleur /"( j,) en un |)oiul f|uclconcjue il
CCI arc est égale a la limile du rapptul — ^"^-= --^i- lorsque t
Z^ - Zi
poinl ^2 ^^ rapproche de Zi en re^lîinl sur Tîne considéré; I
dérivée y^(:?) éLanl connue, on en déduira de uiéine y"''(^), pu
y*^''{5), .... Ton les les dérivées successives de la fonelîon /(:
seront donc déterminées pour z = a* Nous dirou», pour abrégei
(me la connaissance des valeurs nnniérif|ues de Ions les termes cl
hi suile(4) détermine un élément de la fonction /(^)jLe résultii
iditeuu [teut alors s'énoncer comme il suit : Une fonction holo
fttof'p/it' ci fins l'aire A est côfn/*li'iefnrnf iictenuint'c ,ii ro^
cofutati {f/t (Quelconque de se it r lé ntents. On j>ent dire eneoie «pi
deux lùnelious liolotnorphes tlans ta même réi^^ion ne pruvci
avoir nu élément commun sajis élre idcnlîqucs.
jNous avons supposé, pour fÎKer les idées, ([u'il s^igissail dun
fonction liolonior[diey(5), mais le raisonneuM'ui jnnit être éieiiJ
à une fonclion âjialvlique (|uelconqne, pourvu i|ue le chemin
suivi par la variable [)onr aller de a eti b ne passe [tar aiicnn pois
singulier de la fonction. Il suflit pour cela, couinjc n«His Tavoi
déjà fait (n^StU), de décom]H>ser ce elieintu m plu>ieurs Vit\z
tels que chacun dV*UK puisse être renCeraié dans un contour ferm «
à l'intérieur duquel la branche considérée de la fonclion /(w) scj
huloniorphe, La connaissance de rélémenl initial el du iljeiui
décrit par la variable suffit, du moins en tliéorie^ pour troiiv*
rélémeut fînalj c'est-à-dire les valeurs rjutuériipit^s de Xom^ l*
let mes de la suite analogue
<"0
/«», /'(^h
f'*iù).
lia. Nouvelle définition des fonctions analytiques» — Les kiiK
lions analyhques que nouâ avons étudiées jusrpi'à présent étaict^
définies par des expressions permeltanl de les calculer pour tuiil
valeur de la variable^ dans le champ on on tes é^ludiait. Non
concevons main tenant, diaprés ce {|ui précède, qu'il soit possihJi
UKFiMTION i» L'NK FONCTION ANALYTIQUE.
£4î
M g, 83.
(ledëQnjr une fonction analvli(|ue pour une valeur quelconque de
!»i variable dès qu^ou connaîl un seul élément de la lonclioD* Mai;;,
pour c\ poser la ihéorie à ce nouveau point de vue d'une façon
inirqslèle, il nouî> fa ni ajouter a la détinilion des fonclious ana-
Kil([ues d'après Caucliy une nouvelle convention, qull nous paraîl
ni Ile d*énoneer d'une façon evjdîciLc.
Soient y, (w), /^f^) deux foncLions liolomor|ïhes respective-
ment di»n5 deux aires A|, Aa, ayant une partie conunune et une
I mileA^(/^'. 83).
Si dans la paitie commune A^ on a /:,( z) ^if^^z)^ ce (jui aura
lieu si ce^ deux fouctioii^ ont un seul élément commun dans celte
^H^iori, nous re^ardei'ous/i (^) ei/^i^) comme formant une seule
liinclioïi lioli>juorplie F(:;) défitjie ilan'» lu région A, + A3 par les
égalités : F(j)=/*(-) dans A,, eiF(z)^/^{z} dans A^. Nous
tlironîj au^si que/a(:;) est h prohfigemani (tnalydque dans la
''%*ioii Aj — A' de la fonction ho I oui or p lie y^ {^), qui n*est supposée
tlèfinic ipie dans la région A». Il e?^t clair que le prolongeaient ana-
lrli(]nc iU* J\ (z) dans la lésion de A^ eittérieurc à A| nVst possible
t|UedHne seule luaoi^re ( ' ),
<*> Pour prouver que ta e^Hivention précédente est dislîûcte de J» définition
'l^ funf tmiiti aniiïylNjues, il snfltt 4e remarquer qu'elle entraîne imoiédialenieol
'• Co(j§cquriicc âuîvaiile : ai une /onelioti /(-) est hoiomorphe dan a tate
*^yion \, toute autre f onction /,(*), «/«t coittcà/e avec /{ z ) dans une portion
^fiairt A, eii îdentit^ue à f{z) dans A. Or, coiisi lierons une funclioii F(c)
Jtlixjicde la iiidiiière àUiViuUc pum- lutiles lea valeurs de b variable complexe z :
F(0
^ V
"C.y
Qvdqiie bizarre que par;iïsse cette convention, clic u*<i rien de contradîctuirc
i^tc U dcfinilioD antérieure «ïea fuiictioniâ îinEtlyLiqocs. La functiou ainsi déiltHu
Ff«) «émit holomorpbe pour toute valeur de z, sauf pi>ur z — 'j t qui serait un
*;. IL
16
ail CIIAPÏTRK XVr. — LE PROLONGESIEXT ANALYTiQt t.
Cela posé, consldéroas une suile infinie de nombres réels aup
imaginaires
assujellis à la seule condllion de rendre la série
convergente pour €[ireIqTie valeur de z dlITérente de zéro, (i
prenntis ^ = o pour valeur initiale de la variable, ce qui ne res^
Ireinl jias la généralité.) La série (7) a donc par li>pollièse ur»
cercle de convergence Co donl le ravon H n*esl pas nul. Si R e&U
infini, celle série est convergente pour ton Le valeur de z, et repré-
sente une lonclion entière de la variable. Lorsque le rayon R n
une valeur finie, diiîérente de zéro, la somme de la série (j) est
une fonctîon bolomorplie /'(:;) à rîntérieur du ccrek- i',^^. Mais
comme on ne cunnuiL que la suite des coeriicients (G), nous ne
savons rien a priori sur la nature de celle fonction en clebors du
cercle Co- Nous ne savons pas s'il est possible d'ajouter au
cercle C<i une ré<;ion voi.siuc rormant avi'c le cercle une aire con-
nexe A» telle qu'il existe une ftmeliun Ijolomorpbe diuis A, coïn-
cidant avec y(5) à Tintérieur de Co» Ka uiétliodc du paragraphe
précédent permet de reconnaître s'il eu est ainsi. iVenoDs daa>
le cercle C»» un point a diflerent de Turigine; on peut, au niovcu
de la série (7) et des séries obtenues en dérivant terme à terinej
calculer Félément de la fonction /{z) qui correspomi ati point <
point singulier d'une espèce particutiêic. Mais les propriélés de relie fonclioo
F(2) seriiieal en conLraHichO'ri avec la convention qyc nuu^^ veiinnÀ d'iiHoplcr»
puisque les deux foncLions F{z) et ^Inz seraient IiiL^ntiquc^ pour toutes
valeurs tie z^ sauf pour z = -1 qui serai L un point singulier pour une &cii
d*enlrc elles.
M, Weierslrass, en Allemagne^ et M. Mëruv, eu France^ ont développé là"
tliiéorJe des fonclionfi analytiques, en s'appuyant uniqu^irtcnL sur le*^ proprkHeii
dei séries entières; leurâ. rcclierclics 5ont d^ailleurâ eomplëternenl indi-pendantr»-
La théorie de M. Méray est exposée dëfis it>n gr*înd Ouvrage Leçotts rtotaeile^ sur
i* Analyse injinitéximah. Nous ntontruus dans \v texte cornnienl *ïii peut d^tiuir
de proclie en proche une fonction analytique, connaissant un de *es élémcnl
irmis en supposant toujours connus les ihéorêmcs de Caucliy sur les fonttîo
holomorphes.
clj j>ai suilc, lurmcr la ijciie entière
/(«)+ ^^- /(«)-*-..• + ^■;^:^7~/""(«)-
I
U
I;:
qui repiésejile la Umvliou f{ z) tlaits \c duïiiaiiie du point a, Cetle
série esl ceiiaincmejit con\ urgente dijns un cfriHe de ce il Ire a et
de rayon U — \a\ (iV âliO), mais elle jient être eoiner-^enle dans
un cercle [ïliià grand. Sii|)|)fïsons d'abord t|ue le rayon du cerele
lie coMvcrgeuee de la série (H) suil toujours égal à H — |t(|,
(\m\ que soit le point a pris dans le cercle C^. Alors il i/exisle
uucun moyen de |jrolonger analytiquement la fonclion /{z) en
Jeliors du cerele, du inujus si Ton irenifdoic <|ue des séries
cûlitTcs,/ Nous [>ouvon>i allinner qu'il n existe pus tic foneliiMi
lïoloniorplie F(w) définie dans une région A du plan plus grande
']U(î le cercle G^ el coïncidimi avec J{z) dans Ct,; car la mélliode
*lii prùlongenient analytique pcrjnellraiL, comme nous Tarons vu,
tlcdcierminer la valeur de cette fonclion en un [>oint extérieur au
cercle Cy. On dit alors que la portion du plan extérieure au
<^'tTcle Cu est un espace /cwanaire \yoiiv \iï fonclion y(:;), IN ans en
vt^rroiis des exemples un peu plus loin.
Supposons en second lieu qu'en chuisissant convenablement le
f^itJl a dans le cercle C^, le cercle de convergence C, de la
^erie(8) ail un rayon plus grand que R — ] a\. Ce cercle C, a une
partie ckléri cure à Co (/'cT" ti4)cl la somme de la série (8) est une
*^Hction holomorphe /t{z) dans le cercle C(,[ A l'intérieur du
*^^tcle ■-' de centre c/, f|ui est langent intérieurement au cercle Co»
^^ !à /^[z ) === /{z) {n"2l>G); dojic celle éj^alité subsiste dans toute
^ région commune auK deux cercles Co, C|. La série (8) nous
^ît connaître le prolongement analjtt(|uc de la fonction /{z)
^ ^ns la portion du cercle C» extérieure au cercle C^. Soit a' un
^^^uveau point pris dans celte région; en opérant de la même
*con, nous formerons une nouvelle série entière ordonnée sui-
^%jit les puissances de z — a', qui sera convergente dans un
^ ^-^rcle Cj» Si ce cercle Ca n'est pas lout euiier a rinlérieur de C|,
^ nouvelle série donnera le prolongement de/{z) dans une région
1-^1 tis étendue, et ainsi de suite. On conc;oit donc qu'il est possible
^^ étendre ainsi de proclic en proche le domaine d*existence de la
'A;]\ V.UAVITÏIK XVI. — LE l♦ROLO^GE»iHXT ANALVTIOLK.
foiiclioM f{^)y (|iii n'élaÎL tirtiiiîe J'abuid fjirâ i'iiil<:rieiir trj^i
Il est clair qu'on peiil faire les opï5ralions préct'dcnles tJ'ti :»>(*
iiilinilé de inaiiières. Pour s\ reuonuaîlre. il fai*l tïéiiuir a-v- -^c
précision 11- clieiiùu suivi \\\\v la variabk\ Nous prcscntero m}^
d'abord qiichjucs reniarqut's. Soil C'y le cerult; de ravojj — dt-cr^ï-ft
de Purîgiue pour centre; a éliuU un |Hjinl quelconque de C|, , le
Fig. 8i.
c.
rayon du cercle de convergence de la série (8) est au moins égal
à —I mais peul êlre plus gr^nd. Soit - — (- /' la liiuÎN' inférieure de
ce rayon lorsque a décrit C^ ; on nr peut a\'oir r >> u. Si* en etlVu
/' étail posîlif, il exi^tejail une fonelifinF(r) Imlumorphe d;nis le
cercle de ravon 11+ /", ayanl pour cenlre l^irigîne el coïncîcïanl
avecy"{;î) à Tîntérieurde Cy. Pour une valeur de z dofille module
serait comprisi entre R el R H- r, F(w) scrail égal à la somme de
l'une quelconque des séries (8), a étant un polol <le iS!^^ Ici «pie
Tuf) iiit [ 5 — fï I <C ^ — h ' * li'iqtrés le tbéorènie île Ciiuch\ , 1*'(^)
serait égal à la somme d'une série eulière <tïtivej génie dan> le
cercle de ravon R -h r, et celle série devriiit être identique ù la
série (^), ce qui est impossible.
Il faut donc que la limite inférieure en quesliou soil égale â — .
Je dis en second lieu qu'il c\isle ou moins un jioiul a du cercle Q'^^
II
jKKir lequel le ravoo de cornergence de la sirie (^8) est égal a — %
I
T. — DÉFINITION u'dXI- FONCTION ANALTTIQirE. 9 Î5
Soily en eflel, £,, t2, •.., £„, ».. une suilé de noinljres posilils
décroi^isants, i„ tendaiil vers zéro lorsque n croît îndéfîoîmenr.
Au Tioml)re£/Oû peut faire correspondre un jîoinl a^ dti cercle CJ^
pour le(|iiel le rayon de convergence de la série correspondanle (8)
<?st inférieur à h î/. Mous obtenons ainsi une suîle indéfinie de
points n,, ff-j, . . ., fJfi* . -M situés sur le cerele C'„. tl y a dorn:
au moijis un puint lirnile stiv ce cercle; soit a un de ces points
lîmîies.jLe rayon de convergence de la série (8) pour ce poîiU a
R R
'ïf* peut élre supérieur à — * Supposons-le en eflet rgal ù - -h r,\
puisqu'il y a dans le cercle de rayon - il écrit du point tf pnnr
centre une infinité de points ai, on peut en trouver un pour
lec]nel le ravou de convergence corrcî^pondaul est [dus petit rpu;
R 7j .'
■J H^ • Miiîs ce point étant a une distance du points/ inférieuie
^ 7* » ce rnyon de convergence doit être au moins égal à
-2 '1 i
r^^ faut donc fpre Ton ait r^ ^ o, et le cercle de convergence <pii a
V»our centre le pointa est tangent inlérieu renient au cercle (!,» an
l^oirit a où le rayon Oa rencontre ce cercle* Le point a est un
1 pmul %ini(ii(ier àe f{z) sur le cercle C^. Dans un cercle c, ayant
tjiour cerjtre le point a, aussi petit que soit le rayon, il ne peut
eiister île fnneliou liolomorphe qui soit identique a/(^) dans la
partie commune aux deux cercles (^o et c* Il est clair aussi que le
cercle de convergence de la série (8) ayant pour centre un |»oint
quelconque du rayon Oa est tangent inlérieu remenl au poini -jl
H au cercle C^.
■ Considérons maintenant un chemin L parlant de l'origine et
aboutissant à un point quelconque Z en <!tdiors du cercle Cu, et
imaginons un molule décrivant ce chemin en marchant toujours
Jans le même sens de O vers Z» Soit %i le point où le mobile soi't
4J11 cercle; si ce point 1, élail ujî poiul singulier, il serait impas-
sible de poursuivre sur le chemin L au delà de ce point. Nous
supposerons que ce n^est pas un point singulier; on peut alors
former une série entière ordonnée suivant les [juissances de v — aj
•j!6 Cri.IPlTRE XVr. — le ritOLOXGEVE?îT AXILmOUE.
e! convergente dans un cercle C» de ccnlre ai, donl b somme
coïncide âvei^ /(s) dans la partie commune aii\ denx cercles C|
el G|, Fuur calculer y(ai), /'(a, )t
on pourrai par exemp'*
employer nn point inlermédiaîre sur le rajûn Oa|. La somme ^^
la seconde série nou!i fail connaiire le prolongemenl analylic|«^
de /{z) te long du cliemfn L, à partir de a,, tant que le nioW»»^
décrivant ne sorl pas dti cercle Ct* En particulier si loiil *^*
ciieniin à [>urtir de a, est situé a rintérieur de C^y cette $ô iric
donnera l.i valeur de la Jbnclion au point Z. Si te chemin sorl "^
cercle C| au point a^, on formera de mt^me une nouvelle s*^ ■riC
enlière convergenle diins un cercle iU de centre a^. et aimi^i w
suite. Nous admel trous d'abord tpi'an hout d'un nombre #»ni
d'opéraltons on arrive a un cercle Gp de centre at^, renfern-» ^3»ril
toute la porlion du chemin L qui suit at^, et en partîcuïie w* If
[Kiînl ZJ (t suffira de remplacer z par Z dans la dernière stc^ xie
employée et dans celles qu'un vn lire en dinérentîanl teri^^^^i
terme pour avoir les valeurs de y\Z), f\7L)^J^(7/), .. ,, ^^^"ec
lesqrïelles on arrive au point Z, c'r^t-A-dire rélémenl llnal cît:?? k
fonction.
Il est clair qu'on arrive en un poîul quelconque du cliemif^ /.
avec des valeurs bien détcrniJuces jiour la fonction et tontes
ses dérivées. Remarquons aussi qu'on pournul remplacer '<*^
cercles Cn, C,, Cj, •*•, (^^p par une suilc de cercles déimis ^^
la même façon ijvant pour ce n 1res des poinls quelconqircs .^^^
z,y - . ., 'uf du clieiuin L pourvu que le cercle de centre :;/re' ^^'
(erme la portion du chemin Ij comprise entre Zi et Zt^ ,* On p<^
aussi inodilier le clicmin Ïj, en crmservant les mêmes exlrémilt
sans changer la valeur finale de/(r), /'(r)^ /"(s), .... Eu ciïi
les cercles C|,, C,, . .*, C^ recouvrent une portion du plan fo^^*^
inant une espèce de bande dans laquelle est situé le chemin ^^^
(uj peut icm[*hicer lo chrjnin L par lf*ul autre cheruiu L' all^i * '
de ^ = o au I roi ni Z, eL sîttié dans cette bande. Supposons, po j
fixer les idées, qu'on soit obligé d'employer trois cercles consi^ï*^^^ ,
culifs Coi Cl, C^ (J'e!'' 85). Soit L' un nouveau chrmîn situé da^^ ]
la bande formée par ces trois cercles; joig^nons les deux points 1
et n. Si Pon va de O eu m d'abord par fe ctiemin Ox, m^ puis |^ ^^:
\i' chemin Ofun^ il est chiir qu'on arrive en /// avec le mè ^"^^^^^
élément, puisfpi'on a une fouclioji liolomorphc dans la ré^»^^|
liti
I. — DÉFIMTIOX D*e.NK FONCTION ANVLYTIQLE. ^47
formée par Co et G|* De méuit^ si Ton va de m en Z par le
chemio mi^L ou par le chemin nui7^^ on arrive dans les deux cas
;iti poirU Z avec le même élément. Le eliemin L est donc équi*
valent an cliemin Onmn'L^ c*esl-à-dire au chemin L\ La mclhode
Fîg. 85.
C,
C,
I
^^i lii niénie, (]ucl que soil le nombre des cercles successifs. En
panlciilier, on peuL toujours remplacer un chcjnrn de forme
fluelconqiir* juir une ligne brisée {*).
3tL Points singuliers- — Eo procé<lant comme il vient d'éUe
explupiéj il pcul arriver *|u'on ne puisse trouver un cercle ren-
fermanl toute la partie du clicjnin L qui reste à décrire, aussi laiti
*pîe V(m poursuive les opérations/ Il en st.-ra ainsi lorsque le
poiiu Hp sera un point singulier sur le cercle i^p_\^ car on sera
^rr^té à ce niomenl-là. Si Topération |:>enl être continuée indéfi-
"Jtaent-, sans qu'on arrive à un cercle reufermanl laule la portion
du chemin L qui reste à décrrrci les points ^p-%r ^/^t ^/»+m ••m
l^ndent vers un point-limite \ du chemin L, qui peut être soit le
poiiu Z lui-même, soit un point compris entre o et Z. Le point h
^îilerîcore nu point siit*(ttliei\ et il est impossible de poursuivre
'^prolongement analvlique de/(5) le long du chemin L au delà
dti point A. Mais, si X est diOerent de Z, cela ne prouve pas que
le point Z soit lui-même un point singulier, et qu'on ne puisse
I
(*) Le raisoonemcQt exige un peu plus d'itUcntian lorsque le chemin L pré-
Kote des potDt3 (ioubles^ |>ar€c r{u*alors \i\ bande formée par les cercles suc-
ccSiirs C,, Cn Cjr .». peut se recouvrir iiartiellemenL cllc-mùrne. Mais il n'y a
«ifi fond iiucuoe difficulLé véritabte.
a48 aiAPlTBE XVI. — l.E PROLONGEMENT ANJiLYTIQtK.
aller i]*' O en Z par un ;3iilre t-lic^niin. Prenons par exemple les.
fonctions \/ï-^z ou Log( i -h^); on ne pourrait aller de Fori-
*;îne an poinL z ^= — 2 le long de l^axe réel, puisfiiTon ne pour*
rîiït Trcincliir le point singulier z == ^- 1 . Mais si l'on î\iil décrire
à la varicdde z un cliemîii ne passant pas parce point, il est clair
i[u'on arrivera an [>oint :ï ^ — -jl au bout iTun nondire fini tropéra-
lions, car tous les cercles successifs passeront par le point :; = — 1.
Ileiiiart[uons que la définition préeédenle des points sing^uHers
dt'pcnd du chemin suivi |jar la variable; nn point ). peut être tin
point singulier pour unclieuiin déleiminé, et ne pas Tetre pour un
antre cliejnin, si la fonction adjucl [>lusieurs brandies diatincle-i.
Lorsque deux ciiemins L|, L\j allant de l'ori^nnc au point Z^
e*jnduîseut à des cléments diUéreuls eu Z> il existe an moins uim^
point sin<;ii!ier à rintéricur de Faire qui serait balayée (lar Tun de:_
ces chemins, L( par exemple, si on le déformait d\ine manière
continue en conservant les extrémités de façon a ranimer à coïfi
^A
A.
^^^
/<L,
cider avec L', . Supposons, ce (|u'un [>ent toujours faire, que Iv-^
deux chemins li^, L\ soient des li-^nes brisées d'un même nombre
de côtés 0(/i ùi r^ . , . ly'JL et Otf\ h\ . > , /\X {/fg* 86). Soient ^5,
bi'^ f*2» * • '^ ^'1 Il'S milieux des sc^nicnls a\ii\^ b^ b\^ . - -<* ^1 /*, \ le
chemin L2 formé par la ligne brisée Oa^b.^ , » , i^'L "^ |»eiil
être équivalent à la fois aux deux chemins Lt» Lp lorsqu'il ne ren-
ferme pas de point singulier. Si ce chemin L^ renferme iru point
singulier, le théorème est établi. Si les deux chemins L, et I^
1 1111
I. — néPINJTlON li'lStZ FONCTION IN^LVTIQLK. '1 jtj
sont pas équivalents, ou en fli'iliiira un nnuveLiu clicnrin Ljv
compris entre L| et Lj par le même procédé. En conlin liant tic
la sorte, ou bien on arrivera à un eliemin L^ renfcrm;inl. un poîol
âingnlîert on bien on aura une suite iji(J«Minie de cheminai L,,
1^2 Cfrs ehemins lendnini vers un chemin limite A, car les
^Miinl-* ri|, <72, a^, ... IcntlrnnL vits nn [loinl limile compris
enlre «, et rt'^, ... et de même pour les autre.^. Ce chemin-
limile A doit renfermer nécessaireiueut nn point singulier, ptii^rpie
Tan peut tracer, de part et d*antre Je A, deux chemins infiniment
voisins de A et conduisant à des éléments dillVrent;* ponr hi lonc-
Imn au point X. Il ne pourraîl eu être nio^i^ >i A ne rculermiiil p;m
Je point singulier, puisi(iie les chejnins iuliniment voisins de A
doivent être éqnivsdenls à ce eliemin lui-mcme.
La définition précédente des poinls singniiers est piiten»cul
négative, cl ne nons apprend rien sur hi nature rfe Ut funclîun
dans le voisinage. Ancnne hypolhèse snr ces points singuliers ou
sur leur distr'bntion tinns fe |»[an ne peut être écartée a prtort\ h
îiioins d'impliquer conlrruliction. (V^al l'élude seule du prolon-
inent analytique qni peut nons apprendre les diflerentes circon-
stances possibles.
34i. Problème général. — Il résulte de ce qni précède qu\me
fonction analytique est virtuellement déterminée quand on eu
<^ODnaît nn élément, c'est-à-dire quand on connaît nne suite de
cocflîcicnts <ïo, r/,, ^2, . • ., ûfi^ . . , tels que la série
*U un r;iyon de convergence difVérent de s^i'-ro. Ces coeffieîenls
«'tant connns, on est conduit 5 se poser le problème général sui-
vant: trouver in valeur de la fonction en un point qaelconf/tie |j
^tiplan tjtiand on fait liécrire à la variable un chemin dé ter-
ïïnné nllani du point % au point ^. On peut anssi se proposer
de di^ terminer a priori les points singuliers de la fonction ana-
htique; îl est clair d'ailleurs qiie les deux [iroblèmes sont étroil*'-
ment liés Ton à Tautre. La rnétbode même iln prolongement ana-
lytique fournit une solution, au moins tliéoricpie, de ces deux
|>roLlénr)e5; mais elle n'est praticable que dans des cas très par-
si5o
Ctr ANTRE XV L
LK rnOLONlÉKMlvNT VNALTTIQrE.
lIculiiTS, l*iir exeiiijïle, en m me rien n^intJifjtic a priori le nombre
des séries inlerm^dlaires f|iril faudra employer pour aller dti
poinL a ati point [i, et qu'on ne peut cnleiiler les sommes de ces
séries qu'avec une certaine approxîmationj il paraÎL im|>ossîhIe de
se rendre compte de rapproxiitialion linale que Ton obliendra.
Aussi la retherclie desnlntions pins sini[des, ait moins dans des cas
paiiiculit-rs^ elail-elle nécessaire. Ce n'e^t rependant que de[Mii>
quelques années que ce pri>l>lèrne a fait Tobjel de travaux suivîs,
qui ont déjà conduit a d'tni|Tnrtîmls résultats (' ). Si ces recherches
sonl aussi récentes, ce n*est pas unirpiemenl à la difncitllé de la
qiieslion, quelqtie considérable qu'elle soit^ qu'il faut raitribuer.
En elTet, les roncUons qui ont été étudiées successiveraenl par
les géomètres nVuU pas été choisies [>ar eux d'une façon arbi-
traire; Tétude de ers fou étions s'imposait par la nature même
(les |U'oblémes qui s^oïTraient i\ leurs etTurls. Or, à jjarl un [ictiv
nombre de transcendantes, toutes ces ("on étions, après [es fonc-
Jtions ex[ïlicites élémentaires, sont déJînies soit comme racin<?>
uré(|ualious non susceptibles d'une résolulion formelle, soilconiu^**
inlég^raîes d'éfjualîons didérenlielles alg^ébrîqnes. On conçoit don <
que Tétudc des fonctions ijnplicites el des fonotirms délinies p^r
des équations diflérenticlb-s a àxi précéder logiquement l'élitcl*'
du pi<ddèuxe général dont ces deux problèmes ne soûl au fond
t[ue des cas 1res [)arhculiers.
Il est facile de montrer ci>mment l'étude des équations dilTéren-
liellcs al^adjrif[ucs se raltaetie à la théorie du proluuj;ement ana-
lytique, ("ousidérons, [mur lixer les idées, tleux séries entière^
)^(j')j ^ (•*')♦ ordonnées suivant les puissances jmsitives de x et
convergentes tians un cercle i\ de rayon H décrit du pnint x=f'
[MUir centre. Soit d'autre [>Mrt ï'^(x,j>y,y, --^^y^^^^ -? ^', .-i-^*)
un poljnomc etuier en J% j% J^t • * • ? T^^^ ^i ^'î •• •» ^^^^ * Sup|)0-
sniis que Ton remplace dans ce poljnome j'etz par les séries pré-
cédentes, j^, V^', • • • vj^^''^ P^*' '*^s dérivées stiecessives de la série
y{J^)^ ft w\ r", -..» z^*l^ par les dérivées de la série -(^), If
{ ' ) Pour tout C' ^n'v concerne coUe queçlion, je renverrai le lecteur à IV^rcl*
lent Ouvrage de .M. thiJaniard : La itéric de Tayhr et son ptolofigemeni ana-
tytîtjiic (Nduc?, njoi). On y trouvera des reiiseignemenls bibtiogriipliiqucs Irè*
f onipleU.
t, — liKFÎXlTIOX ït'l'XK FON'CTinX WVLYTIOIR. v5|
ï^^sullal est encore une sôrie eiilière convi*r*::rnLr', dans le cercle C.
Si ton -^ les coefficients de celte sev'\c soni nuls, le*; fonctions liolo-
iiïorphesy(jc) et s(iX) satisfont. dftr}s ie cerch' i\^ l\ l;i rehilion
IVons allons nia! ntennnt établir que les Jonciious ohf entres par ie
prolongement analytiffue clés séries r{x) et z{.r) satisfont à /cïy
ffiém e re la t io n il a n s t o n t le it r f la u laine d^ ex is te née. D * u n e f a ç 0 r
|Jii5 jH'ecîse, si Ton fn it flrcrîie l\ hi viniiible ./• nn chemin [j juir-
fanl (le Torij^ioe et sortant du erre le C pmir ijUnniir i\ un [>oînt
'I 11 el conque a du plan, et si In 11 peut poin-suivre le prolon^enienl
iinalvhrjiie des deux srriesy(x) et 5(.r) h«nt le \nn*^ de ce clieunn
H|3 us rencontrer aticon point sin^irlier, les st'*rics entières Y(,r — a)
^el Z(.r — a) avec lesquelles on firrive au point 3t re|i résentent dans
le domaine de ce point deux fondions liolomorphcs qui vérilîent
la relolfon (9)-jSoitj en effel, J*! roi [Niinl du clieiuîn \^ intérieur
^»u.crrcleG el voisin dn point oh ee elietuin L sort du cfrele C; du
■ point,/-, comme centre nn pr-nt décrire un eeixde G,, en partie
exlërit'ur an cercle C, et il existe deux séries rnlières >'(.r — .r,),
^(■ï* — jTi) converj^entes dans le cercle C| el dont les sommes sont
»denli(pies aux sommes des deux séi'ies K(.r) el z{x) dans la partie
commune aux deux cercles C, C|. Eu remplaçant dans F les
r<)nctiûns y et z \\i%v ces deux séries, le résidlal obtenu est unr
s^^rie entière V{x — .r, ) eonverju^nlti dans le cercle C^ . Or, dans la
pnii- commune aux deux cercles G, G,, on a ['{^x — .r» ) = o; la
icrtç P(,r — x%)vL donc tous se§ coefficients fiuls^ et les ileux nou-
velles séries ^'(j: — x,) et z(x^Xi) satisfont à la relation (jj)
flans le cercle C». En contijiuant de la sorte, on voit que cette
ï^laliun ne cesse jamais d'étre'vérifiée [>ar les prolonj^^^njents ana-
?t«qiies des deux séries )^(x) et z{x)^ qtiel qoe sf>it le cbcmin
>'^Hi par la variable; ce qui démontre fa proposition,
L élude d\ine fonction définie par une équation diflerenlielle
^^^\ donc au fontl qu'un cas particulier diï problémr général du
Prolongement analvtiquc. Alaïs, iWu\ autre côté, il est aisé de eom-
pfendre que la connaissance d'une relation particulière entre une
loiictitjn analeptique et quelques-unes de ses dérivées puisse dans
^^î^laiRscas faciliter ta sol u lion do problème. Nous aurons a revenir
&iir
c*» point dans Télude des éipiations diMcreutielle'
35a
CUAPITHE XVr. — LK PROLONGEMENT ANALlTïOlJK-
II. - ESPACES LACUNAIRES, - COUPUBKS.
r/*jhnle des fondions mniltiLiIrcs ellipliqtics avait fourni j
.\J, Ilermfle le premier exemple ti^ine fonction analytique dêfiiui*
dans une portion tin [ïliin sciilemenl. Noos allons indiquer tnif
niéthode Lrèssimpîe j»oiir obtenir des fonclinns analvtiqires admft-
liirit jH7ur ei^pure laennuire une rugion ijuelconqiie rJn plan, nioui»- '
narit certaines hypothèses, d'un caructère très géiteral, sur l.i
courbe qui limite celte région.
3io. Lignes singulières. Espaces iacunaires. — Nous démoit-
treruns d'abord une proposition préliminaire (*).
Soient rt,, CTj, . . ., rr„^ , , . et C|, <:%, . . *, r„, . . , deux séries,
a termes quelconques^ dont la seconde est abscdument conver-
gente et a tous ses ternies ditrérents de zéro; soiL C un cercle lIc
centre z^^ ne contenant à son intérieur aucun poinl ai et passant!
|nir ttf? seul de ces points ; la série
:ii>)
Fiz
représente dans le cercle C une fonction holomorpbe qui |)eiiî
être développée en série oi'donnée suivant les puissances de 5 — :«*
Le cercle de convergence fie cette série est précisément k
cercle C.
On peut évidemment supposer f|uç Zu^ o, car sî Ton change -
en woH- z\ (7v fisl' remplacé jiar ff^^ Zii^ et c^ ne change pas. Non*»
supposerons aussi que Ton a |>t,|^R, en désignant par R le
rayon du cercle C, et [^il^^ R, pour /> i.yDans le cercle C, le
terme général — ^^ peut être di'veloppé en série entière, et celle
série admet, comme il est facile de le voir, la fonction majo-
le I r
rante -^ ;-- U'aprcs une proposition générale démontrée pli
1
( ') PoTNr.ARÈ, Acta Societaiis Fettnicœ, i. XIII, iSSi ; Goors4T^ JSattetin dct
Sciences mathématiques, 2- série, t. XI, p. 109 et t. XVII, p. î^T*
II. — ESPACES LACINAIRES. — CULPIUKS. ^5Î
lUl (y* 267), la série '^\c^\ elanL convergenle, la foiietton F(^)
l èlre développce eri stujc ciilirre dans le cercle G, el celle série
peiilêlrr o!>tenup en ajoiilaul terme *n terme les srrîes eiilît^ires fiiir
ppréserUenl les difîcrenls termes. I On a douc^ dans ce cercle C^
-I- <•
Ht- iO
toiiissons un ïiomijre entier/^ tel cpie \ |^%j soit jilus peirt
lC-|C||j ce qiiî est possible puistpje c^ ii*est jms uni et tpie h*
rîc V^Cy\ est coavergente. Le nombre p '^luiit clioisi de celte
(Çon^ tious pouvons écL-ire F(5) — F( {z) -h Fa(:;)t en posant
H(^)éât une fonction i^tionnelle qui n^a cpiedes pôles exlérienri^
cercle C, elle esl donc développable en SL-rie eulirre dans un
n\t C de ravon IV > R. Quant à F:j(3), on a
m encore écrire ce coefficient
un a p»ir bvitothèse — <C S «^"l b' nioduir de Ïiè somme
ï '■(;;;)"■■
V - /» -v 1
cl*ijpiçs la façon dont on a cboi>.i te nombre />, inférieur it
i|. 1^ module du coefficient B„ est donc compris en Ire —rr^j-^ |rj|
^' ^^^ JC||, et le module du terme g^'-neral de la série (i i) est coin-
254
CUAPITAC XVI. — LK l'AOLONGEMKXr ANALÏTÏOUK.
pris entre L-J
; cette série est donc Jîvur^enlc i
Ton a |-| >^ H. En ajoutant a la série Fa{^)j convergente dans i
cercle de ruvon R, une hérie F,(j) eonver^eiUe Janî» un ccrtlf d'
rayon ÏV>> R, il e;»L idair que la somme F(v) admet le cerele C Ji
rayon R pour cercle de couver*jeiicc; ce (juî dcnïonlre la [irojiqi
I
lion énoncée.
Cela posé, soit L une courbe, fermée ou ijoji, iidim?Uaiil ei
chaque painl uu rayon de courbure déterminé. La série S|f\| t't«n
aljsotumeiiL (jonvergente, sup[>osons que les [joinl?^ de I;j suite rt^
^a, • - •» cfij • •* soient tous sur la couibo L, et y soîcul di^r^ilulé
de telle sorte qoe, sur un arc (iui de la courbe L, il v ail luujuiit
une iulinilé de pciulsî de celte suite, ivj rérie
(11)
''>->=2„T--.
4
est couvcrgcjite pour tout [loiiit ;;„ u'apparlenaot pas à la cxniiht'l
el rcpréscule une roiicliou }io[omor[>lie dans le domaine d^: c
point; il sufliiaÎL de repreiidn* la [vreuiière [>arlie de la déuuiiiâH'"
lion inécédunle, eu juenarjl pour le cercle C un cercle qut'lciHH|il
de eenlre v^, el ne icnlerniarit aucun |ioitit tti. Si la courbe L iiVî
pas fermée et ne pré.senle paï> de |H>inl double, la *?érie ( i ,^ ) itjh<
sente une fonction liolomorpbe dans toute Télendue du pUti
sauf pour les poiulsdc la cotube L. Nous ne pouvons en eonclui
que cette courbe L est une ligne singulière; il faut encore élf
assuré que Je prolongement analyliijue de F(^) n'esl pas pussibi
à travers une portion, aussi |ielile qu'elle M)il, tie L. Il stiflild
vérilier jiour eela que le cercle de couverji^enee de la série eutièf
qui rcjirésente F (5) dajis b* tloniiiiuL' d'uu poinl t|ueïcouquc S|
non situé sur L, ne peut jamais jenferuier un arc de celle ligtii
quelque pcltl qu'il suit./Supi>osons en ellet que le cercle C<
centre z^ renferme un arc ïx[ide la ligne L. Sur cet arc <x'^ prenai
un poinl ai y cl sur la normale en tti a cet arc (irenons un piûtit
assex voisin du jioint tii pour (jue le cercle C^ décrit du poinl
comme centre avec [-^ — at\ pour rayon soit tout entier a riiil
rieur de il cl n^ail pas d'autre |ïoint commun avec Tare a^i que
poinl ai lui-njéme. D'après le tbéorérne qui vient d'être déiuoul
le cercle C/ est le cercle de convergence de la série entière (
représente F(5) dans Ir iJoiii;niit3 du \mV\uI z\ Mais ceci t'^i fii
contradiclion avec les proprîélés générales des séries enlièreîi^
car ce cercle de convergence ne peut êLre plus pclil que le cercle
de centre z^ qui est tiingeuL in lérieu renient an cercle C Sr la
ligne L esl fermée, la série (i'^) représente denx fonctions îmm-
lytiqiies distinctes, dont l'uni' n*exisle que dans l'aire A rotL'-
rieiire à la ligne L cl paur lat|nell€ la [loitiuii du plan exîérieure
i celte ligne esl un espace lacnnaiic; l*iiiilre fonclioj», an con»
Iraire, u 'existe qu'à Te \ teneur de la li^ne L et admet la région
inlérleure pour espace lacnnaîrc. On dit aussi que la lî*^ne L e^t
me coupure c^si' ni ielte pour chacune de ces Icrur lions.
Et;mt Joiiuées |>lusleui'3 lignes, ferint^es ou non, L<, Ljj* ...,
Ly,, oa pourra jbriner de celle façon des séries de la forme ( lu)
iitimelUiJit CCS lignes pour cou jj lires essentielles; ià somme de ces
séries ad mettra toules ces ligues pour coupures evSseulielles.
316. ExempleSi — ïsoii-nl Al^ ua se^Jiit^nt di^ dt<iilc et a, S le? rifli\es
nfi
ï où m el n sont tle»\
^ks eiilrè«iil«!S A, B, Tous les no in l s v = —
m -T- n
mjmbics entiers positifs vaiintii de i à -h ac^ sont situés §iir ht segiiieiil AU,
flsiir une poiiion linie <le ce segment iJ \ a toujour?^ une intiiiilé de [loijUs
'^« celte espèce, pui&qac le judiit y divise Je segment AB dans le iii|*-
|ion— . SoU d'autre part Cot,(i l*^ 1er me général d'une série à deujt
indicci absolument convcrf;enii^* La série i\ deti\ in<iires
F^.,^ V
'^pfcsenle une fonelion iindluique admeltiuit le se»;ment Aïî poui eoii^
purp esscntîtdle. On peuU en ellet^ Iransftirmer cette série en une série à
"» seul indice tl'une infiiiilé de maniéresJ II esl clair qu'en ajoutant plu-
«cors séries de cette es(iéee un pourra former une fonction analytique
fjmcttatit ptiur espace l^icuaaiie un p«dy;j:one quelcoutpic.
Voici un autre e\einp!e où la lif^ne L esl une circonférence. Soient a un
nombre positif inconrmensiirabh\ v un iKjfnbie entier po^^itif. Puhons
du» les points a^ sont disUncts et situés sur le cercle C de ray^'i» nn
Iffaot pour centre Turigine. tJe jdus^ nnuâ casons qu'on j»eut trouver deux
dmbres entiers m et n tels que la dideience a'ir(/ia — /ïi)soit moindre^
\dleur absolue qu'un nombre £, aussi petit qu'on le suppose*
jjG
ciiAriTnr: wi.
Li: PHOLONGEilKXT ANALVTIQLE,
Il cvî^le ilonc des purssance^ de a duiii rarj^uinout est aussi voisitt i
iÂ'Hi t^u'on le vetiL el, pai" suile, ijur un arc Jmi de la eircouférencc» il
iiua toujours une inniiUé de joints a^, P usons eiisuile Cy^ ^ l ta
rejiresenle, d'âprè^î le lljétirème général, une fonction liolomorphe dan*
cercle C, qui admet cojiime espace lacunaire, luute la portion du p
exiéri<;ure à ce cercle. lin tlévelojïpanl cliaque lern>e suivant Je» pt
sauces de «^ on trouve pour îe rlévelopjKMii<;nl de F(^) la série enti
tri)
F(a) = .
aa" — I
t
11 est fiirjle de \erilier *lire€tetnenL que la fonction lepréscniée
cetie série entière ne peut pas être prolongée analytiquemcnt au delà
I i'r< It' C* Si nous litî ajout on* en elfet la série
-j il vient
I
F(-)^-
= * 4-
= f—^^,)^. ..+ =«(— ^4-.)^...= »:
^ 2 ■ ^ 'A y— z
En changeant dans cette lelation z en €tz^ puî^ en a^z^ ...j on trot
la relation jjénéraïe
I J i t r< ri« 5 ) = — F (^ ) -1 i ;
i
)
'^(1 ^a^-
qui montre que la dilFê renée V^Viff'^z) — F (-5) e«*t une fonetidU ratJ<
liôuiielle o{^) admettant les n pôles du premier ordre \, -* *••» — —
La formule (i 4) » élé ctaldîe en supposant que l'on a |i | < i, et |«i| =
Si rarf;uiuent de a est eommeiisiirablc avec tt, la formide (M; mon'
qnc ¥{Z) est une fonction riiiîonnelle ; Il suflirait de prendre pourri
nombre entier tel qne a'*^%. Si Targument de a est incominen?ur»l
avec iT, il est impossible que la fonctiotî F(^) soîl holomorplie sur
arc fini AB de la circonférence, au^sî petit qu'on le sijppose. En eH
soient <!-/* et a"-/' dtîuv points situés sur l'arc AB(« ^ pu Les nonibie
et p étant ainsi cbtjisi^, ima|;inons que Ton fasse tendre z vers a-/*, û
tt lidra vers a'*-Pi et les deuv fonctions F(^) cl Vya'rz) devraient tco^
ver* des limites finies. Or, la relation ( i4) montre que ctci est îmqiossit
puisque la fonction '^{z} admet le ]^ôle a~P,
U. — ESHACKS LitUNAIHKS. — iJUH^LJtKs'. "JtîJ
inéthode analogue ^s'^pplique, comme l*a dcmonlré \î. Hadamcinl,
i la *^rî« considérée par M. Weîcrstrass
(lî) KU) ^ ^b"z*'\
i)û <j e^t un eiilier jiosiijf, rt ^ utie constante dtï moduk' iiif<'rit;ijr à iiii.
Celte *crje est convergente pourvu que |-3| ne dépasse pas Tunilé^ et diver-
gente H l-sf > I. Le cercle G de rayon un est donc le cercle de conver-
gence. La circonférence est une coupure efîsenlielle de la fonction F(^).
~ ippnsons en efTei que «^ttr un arc fini 3é3 de la circonfcrencc il n*y ail
tun point sin*;ulier de cette fonclîou. Si l'on remplace d^n^t F(5) la
variables par ze ^'* » X: et /* étant deii\ entieis [losiiifs, el v un di\i!^t;ur
lie tr, tous les termes tte la sérit' u^) ne clian^cnt pas à pariir du terme
•le rang A» et la dillérence V{z) — ^P\;;t**^ ) est un |iolynfni»e. l^a fonc-
tion F(5) n*aurajt donc pas non plus de point ^inî♦ulier sur 1 arc xx fl^ que
loa déliait de l'arc a^ par une rotation d'un an -le — ^ autour de Torigine/
Prenons h assez grand poui que — ^ soit inlrrieur à l'arc ïJî; en faisant suc-
f'tisivcmcnl Jt = i, 7.1 . . ., c'', il est cïair que les arr** aj 3,, arjSj, , . , rerou-
auraient complètement la circoiifcrence. La fonction ï* { z ) n'aurait donc
lucun point ^singulier *ur Li circonférence^ ce qui est absurde (n'rliii).
Cet exemple ofl'rc une particularité intéressante; la série (i5) est abso-
Inriicni et uniforménienl cou^ergenl^? le loni» ilu cercle C. Kllc repré-^ente
«ionc lar ce cercle une fixieiion continue de rarf;uiiit^ut fj rh.
(*) M* (■"rcodbtdni a dejiiuutrè Je ujùuic que Id snuiiue de 1^ •série > «"-"*,
**o «ïfst une quantité positive inférieure ii Tunilé, ne peut être piulongéc an tlelji
^u cert le de convergence {Comptes rendus, -tf[ mars iHf^n). Cet exenqjle eonduil
■ lue Conséquence qui mérite d'être stgnalée. Sur le CL-rele He r;i\of» 1, la série
^t (gnvergcnte et la ï^ommc
F{b) = Za^lcosin^f)) -^ i 3\n{n'%)]
^l Unr fonction continue de l'argument 9, qui admet une inlinité de dérivées.
Cepcndiint celte foi»eli**n F { fJ ) ne peut être développée p.*r la iurmule de T;i^ïor
<^»fti aucun intcrv;ille, aussj petil qu'il soit. Supposons en effet fjoet dans Tinter
Ville (0^— a, 6g -h a), un ait
La ïwrric qui C-sl au second mt'mbre représente une fiïui tiim lioloiiiurplic de In
Tenaille complexe 'i dans te cercle c de rayun a décru du puinl 0^ pour cen irc.
\ ce cercle c la relation j = e*Wait corre^^pondre» dans le plan de lii variable -♦
une aire fermée A renfermant Tare y du cercle de rayon i allant du point d'ar-
^'ument 6^ — x au point d'argumeni 0, -h z. îl eïisleraii donc dans cette aire A
ont fonction holomorphe de z coïncidant avec la somme de la série Za" z"] te
long de x** ^^ ^*'* ^^^ impossible, puisqu'on ne pcul prolonger la somme de cette
Ȏrie 9U dclii du cercle.
G, a. x;
317. Singularités des es^pressions analytiques. — Toute eipre;^=^
Àïon analylHjiir, UîIIl' f|irirïic série JoriL îes cJîlTëienU termes sor^
des foiKlions d'une variable z, ou une intégrale dcfiiiie dai:^
latj licite celte variable lignre connue pc*raiiu'tre, i-eprésenle, inoje
nant certaines conditionâ, une l'onction liolomorphe dans le vo^^
sinage de cbacnne tb^s vab-uis de z pour lesqnelles elle a un sen^M
Si l'enseiulilt* de »'és viiîeiirs de z recouvre comjdèlenieril n
région connexe du plan A^ rexpression cimsidérée représente ifc j
fonction lioloinor[die ddtis celte région A* Mais st Tensenible 4
ces valeurs de z forme deux tiu phi sieurs réj^ions distinctes sé^erz>*
réeSf il penl se faire que Texpression anah tique considérée re^ ■
seule fbms ces dilTérentes régions des fonctions complêteni «?»
distinctes. Nons en avons déjà rencontré on exemple an n" SIF^
Nous avons vu, en elïet, couiiuent on (lent former une série^
termes rationnels, convergente dans les .deux triangles cur
lignes PQB, PQIV (/^, 68), dont la somme est égale à xim
fonction lioloniorplic /{ -) dans le triangle l*QR et à zéro dans
triangle ï* Q'R\ Eu ajoutant Jenx séries ausdognes^ on obtiend
une série à termes rationnels dont 1;* s<imn»e sera égale à /(. —
dans le triangle POH, et a une inilrc foiiciiun bolomorpbe ^(^
absolument fjuclcooqnc^ dans le triangle P'(^'^IV. Ces deux fon^
tions f{^) *'t '^(^) étant arbitraires, il est clair que la soniiiie r:r
la série dans le lrian*;lc P'Q'R' n'aura en général aucun rappo
avec le prolongement analytique de la somme de celle série dai*
le triangle PQH.
Voici encore un exemple tics simple, analogue à nu exem|i^
signalé par Schnidcr et par M, Tannerj. L'expression ^^j ui»
est un entier positif qui atigmenle indélinimcnt, a pour limite -f —
si \z\<C ï, et — i| si \^\> 1 ; si [^l := 1, cette expression ira jj».
de limite, sauf [lonr :; =: 1 , Or la somme des n premiers tenr
de In série
est égale à Tcxprussion précédente. Crtle série est donc con%'fr
geiiLe pourvu que [ z\ soit difTércnt de Tunité; elle représente -f
à Tintérieiir du cercle C de rajon un qui a pour centre Torigiat
et — lu rextérieyr de ce cercle» Cela posé, soient/(:;), 'f(z) dciA-
rl
^
II. — ESI'A*:ES L\Çt NAIIŒS. — COL'I^UHES. '25ç)
foDclîoiis analytiques quelconques^ par exeiiiple deux fondions
entières; l'expression
e5té|,'ale à /(z) ù rinlénonr de C, et à o{^) a l'extérieur de C, La
circonféreuce elle-niéine est pour cette expression une coupure^
ftiais d une nature bien dilTerenlc des coupures essentielles dont
liOits venons de parler, La fonction qui est égale à t}i(5) à Tinté -
Heur de G peut être prolongée analytiqucment en dehors du
eercle, et de méuic la foncUon (|ui est égale à *^^{z) k rextérieur
Je C peut être prolongée auîiljtiquenient ù l'intérieur.
Des singularités îiualogues se présculcnl pour les fondions
i-^préï»erjlées par des intégrales défi nies. L^exemple le jdus sijople
est fourni |)ar lintégrale de Caueliy; si J\^) est une J'onclton
ti oloniorplie a l'inli'rietir d'un contour fermé V et sur ce contour
- * ^ I r fi z\dz , .*/ \ • I
I fti i-meiiie, 1 mlrgrijle ^^. I *-— ^ représente /(x) si le point .r
e^sla riulérieur tîe V. La niénie intégrale est nid le si le point x est
m rextérieur du cotilour \\ car la fooetiou * — ~ est alors liolo-
tinorpheâ riulérieiir du corîtour. La lij;ue Test encore une cou-
pttrr non essentielle pour riutégrale d/dinie. De même Tinlégrale
Jéfinie / eot ( " | dz admet cumunî coupure Taxe réel; elle
esléj*aleà -\- .iTîf ou à — l>.7î£\ suivant que le poiJit.z' est au-ticssus
♦^»ii îiu- dessous de cette eiuquire (n" 303).
i\S, Formule de M- Hermite. — Oii peut lal tacher au luéme
ordre didées un résultât intéressant du à .^L Hermite {*), Soient
^('t 3), G(/, z) deux fonctions lioloniorphes des deux variables / et ^,
parcicniple deux jiolvnoiues, ou deux séries erjliéres convergentes
|*our loulC'* les videurs tie ces deux variables. L^iulégrale délinie
(16)
Git,:^}
?*****€ siiivanl le segment de il roi le qui unit les deux points a et Ji,
'^^présenle, ainsi tiue nous le démoutrerons plus loin (n" 353 k une
**^nciion holomorphe dr z, sauf |>mir les valeurs de z qui sont
(*)llfiiuiiTE, Su/' queit^ues points de la théorie des /omtioas [ Journal de
^*'^/e, I. yi).
a6o CHAPITRE XVI, — LK PBOLOXGEJIÊX T ANALTTIQIIE.
racines de l'équalioii G(/, z)^^o^ i êlanl falfixe d'un (jiiiiU [iris
sur le segment a^8. Celte équation détermine ainsi un nombre uni
ou infini de courbes pour lesquelles l'iiilégriile ^{z) cesge d'avoir
un sens. Soit AH une de ces courbes, ne prése niant pas de point
double; nous supposerons, fHjur nous [>lacer dans un cas bien
précis, c|ue bjrsque t décrit le segment ajï^yune des racines de
l'équation G(/, :;)=:o décrit farc AB, et que toutes les aulre>
racines de la même équation, s'il en existe, restent en dehors
d'un contour fermé convenablement cliolsi entourant Tare AB»
de telle façon que le segment a[î et l'are AB se corres|)ondenl
point par point. L'itilégrale (16) n'a aucun sens lorsque z vient
sur i*arc AB; noirs nous proposons de calculer la différence des
valeurs de la foneliMu ^>[z) eu deiiv (>oiuls N, N' infiniment voi-
sins d'un point M de la lif^ue AB, [iris de part et (Faulrt? de eelte
ligne. Soient Ç, Ç + £, Ç -|- e' les aflixes des trois [>uints M, N, V
respectivement. Aces trois points la relation G(/, 5)^0 fait
correspondre dans le plan de la variable £ le poinl m sur otli et les
deux [Kiinls inliniuieul voisins /i^ // pris de part et d'autre de at^',
soient 6j fJH-iTi^ fl -t- y/ les valeurs correspomliinles de £. VrencttM>/
dans le voisinage du segiuerjt at^S un point y assex rapprocbé pa*»«*
qu'à r intérieur du triangle :t[iY(Ji^. 8^) Téquiilion G{ /, u-f-£)=r=^o
n'ait pas d'autre racine que r = 9 4-t,. La fonction ,,,/)! "^ ' | ^^
la variable l n'a donc qu'un seul pôle S H- Tr\ à Tintérieur ^*^
triangle xjïyi ^^1 d'après les by|)Otbèses qui ont été faites, ce p^'^
est un pôle simple. En appliquant le ihcorème de Caucli^', o •-* *
donc la relation
(«7)
X
dt
f
i)
GU»
0
M
dt.
F(^-^n. ï-*- ^ ^
g;(0.
ï-
g>
^Miz
a6l
T^es deux, mlégrah^si / , / sont de la mi*in€ faroie que ^(:;);j
elles représentent respectivement deux fonctions 4>|(3), ^.^i^)
c|uî sont linloinorphes lant qne la variahle n'est pas !*ituée snr
certaines coupures. Soient AC et BG les coupures qui corresjïorï-
tlent aux deux sr^rnenLs ay ci py du plan des t, et qui .sont inli-
ni ment voisines de la roufHire AB de fl*(v)* Donnons lUûiulenaut
à -S la valeur s H- £^ la valeur correspondante de / est 8 + r/, repré-
sentée par le lïoiiit //, et la fonction ttj-— — Vde / est liolomornhe
à ritHérienr du (riaui^le ot^y. Nous avons dune la relation
<^'*i relranclianl membre à membre le*; deux forntules (i ^) cl ( ï8) ,
on peul écrire la relation obtenue
4^<t-4-t)-^(CH-i')-+^[*,(ÎH-£)-*r»,(!;
Mais les deux foucliou^ *l>,(5), ^2{^)} n'admettant pris la
ligne AB comme coupure, sont liolomorphes dans le voisinage
ou point ^ ^ u el, eu faisan l tendre t et ë! vers zt'ro, on obtient
.,')] + [^,(Ç_x.ç)_4»,(!;-f^s')l
imite l:i iblFr-rcnce des valeurs de *f(;)en deux pninis inli
à l;j I
"'ment rapprorli/s d*- pari el d'autre de AB. Notjs *k^rirons le
''♦'sultîjl sous forme abr
'1*1
»gee
F(Ô, O
^^l la formule de M. Hermite. On voit qu'elle se rattache trè*
«irj
ra-
tio
plement au lluTirtimè général de Cauclij (*)iLa démonsl
n indiqtie bîeu comment on doit prendre les deux points N]
'^ N^; le point N(îî-h s) doit être tel f[u%ru observateur dëcrivanl
^ Segment a^ laisse à sa gauclie le point fJ + r, correspoudanl
n est à remarquer que la li^ue AB n'est pas une coupure |
^^^eiitiellc |>our la fonction ^{z). Dans le voisinage du point N', on
T>*^ui remplacer, d'après la foruîule(i8), 4>(^) par — [*,(s) + «^2(5)];
*^***, Ij somme «^, (:;) -h ^^(;;) est une fonction holomorpbe dans le
^ * ) GouHsAT, Sur un théorème de Af. ffermite (Acia Mathematka, l, I).
tâGi CIIAPITIU-: vvr — le i^roloxgejiknt AN.uvrtoiE-
triangle curviligne ACVB et sur I:j li^ue AB elle-même, ainsi
dans le voisinage de N'. On |>euL donc faire Iraverser à lu variab
hi Ngne ABen un point quelconque M de eelte ligue, difl'éreiU^
e^lrémilcs A et !î» sjiiïh reiieontrer îiuciiu nhslacle un [U'olon
nient aindjtique, U en seniil ëviiïcm nient de niétue si Ton faii
franchir à la variable :t la li^ne AB dans le sens op(>osé.
Considérons T intégra le
r^ fit)dt
rinlégrale étant (irise suivant un segment AB de Taxe réel, el^
désignant une ibnction boloniorphc le long de ce segtnenl 1
Hcprésenlons :; sur le uiénie plan que /. La fonction ^^(z) est (
fonction holomorpbe de z dans le voisinage de lonl puint
situé sur le segment AB Ini-ménïe qui est une coupure pour
légrale. La dinerence 4>{N) — 4>(N') est ici égale à di 7.7zif\
^ étajil un point dn segment AB. Lorsque la varialde z franchi
ligne AB» le prolongenienl analvlique de ^{z) est représenté
Cet cvcin|ilc doniii' lieu ii une idiiurijuii imj^N>rlaiOc, l.a IVniction 4»
e^i fncort une fonction liol<i.tior|)lie de z^ saii*i que /( ^ i s^iii tiae fond
analytique de /, pourvu qu'cllt; soit cuntinu^i entre jc et 3. Mais, datti
CHS, les raisonneineols prcceJenis ne s*appliquent plus, et le segment
e§l eu général une coupure esîienlîclle pour la foncliôn *^( 5 k
EXERCICES.
f' idt ^ f^ df
L Trouver te*? lignes de discontinuité des intégrales définies
,,&
prises suivant lu ti^^ne droite qui joint les points (o, 1), ou (a, ù)\
ciser la valeur de ce^ intégrales, pour un pr>iui z non sîlué sur les
pures.
2. On considère quatre cercles de rav*nis —1 ayant pour cenlrcj
points -hi, H- i\ — i, — i\ L^espace situé à l'extérieur de ces (|i
cercles se compose d'une aire finie Ai renfermanl l'origine, et d
r
lire indéHnie Al. Former, par Li fi»élhod<; du ii'îî*7, une sriie de fondions
ratîonrieltes qui cori\ei;^e flans nés aire«i, et iJonl la «iomme soîl égale à 1
tlaii!% Al el à o dans Aj. \ èrilier le ri^^suliat en fai-^aiil la somme de la série
obtenue.
3, Trailer les mtîmes question* en con^^îdi^i ani les deux aire*i infé-
(rieures au cercle de rayon i ayant pour centra l'orij^ine, et extérieures
aou. dcu\ cercles de rayon i ayant pour rentri"* les point? h- r et — i rcs-
peclivcmenl, [ApcklLj Aetn tnttthematiea, l. I.]
i* L'intégrale défini**
^{ - i
•if co^- z -h f^
àt.
prise le luiig de Ta^e réel, admet comme coupures le> droites x ^ (2 A* -h t)7C,
k étant entier. Soit ^ = f aA -h 1) r -h îÇ un point de Tune de ces coupures.
La difTérencc df^s vah^urs de l'inlégrale en deu\ points infininjcnt voisins
de ccIuî-1,1, de pari et irautif de Lj cati|mitî, est é^jale k T.ie"^^ -^ e-*^\).
I HiîHMlTi;, Journal dr Cre/ii-, l, î)l.J
."i, Lcf intégrale? définies^ prises le Ioti^ de Taxe rèel|
•»dtneiteiil comme €oii|itjie Taxe réel dan?» le plan de la variabte z* Au-
de«f.uf de cet a\e, on a J = ui/tt, Jy = o. vA au-des*iousi on a J = o^
Jj^ï — aiTi* Déduire île ri's formules les valeurs des intégrales définies
J 1—. '^^
I IIkkmitk, Jiturnttl de Cre/it% t. 1M.|
établir, au moyeu dc^ cou[)ures, lu formule (p* jji. ^'j^. i5)
T -4- f' SlUfï-
[HliUlUTiv, Joitr/ta/ dv CreiiCj l. IK.]
^^ttpurçg toutes les droite** j- = U^-l-ijTr, et qui reste constante dans lu
■**dc comprise entre deux coupures consécutives. Puis on établit les rela-
"Oui^ js et -5 -h 2*ic étant deux points séparés par la coupure^ = i:,
CHAPITRE XVII.
FONCTIONS ANALYTIQUES DE PLUSIEURS VARIABLES.
I. - PROPRIETES GENÉHALES.
Nous allons nous occuper dans ce Chapitre des fondions air^**'
l^liques de plusieurs variables complexes indépendunles. Po^^^^'^
simplifier le langage et les formules, nous supposerons qu'il ^=^— ' *
deux variables seulement; mais il n'y a aucune difficulté à étenc^^^^^
les propriétés générales aux fonctions d'un nombre quelconq "^
de variables.
349. Définitions. — Soient 2 = m -f- /r, z =^ kv -{- il deux
riables complexes indépendantes; toute autre quantité complexe
dont la valeur dépend des valeurs de z et de 3' peut être dite fon^^^-
lion des deux variables z et z\ Représentons les valeurs des dci '^
variables z et z' par les doux points de coordonnées (//, ^^')
et («♦, /) dans deux systèmes d'axes rectangulaires, situés dar^^^*'
deux plans P, P', et soient A, A' deux portions quelconques c9^
ces deux plans. Nous dirons qu'une fonction '/j=f[z^ z') e.f^
holomorphe dans les aires A, A', lorsque, à tout système de deu^
points z, z\ pris respeclivement dans les aires A, A\ corres|>on(/
une valeur bien déterminée de f{z^ z'), variant d'une manière
continue avec z et z\ et lorsque chacun des rapports
fjz-^h, z')--f(z,z') f(z,z'-^k)~fiz.z)
h ' k
tend vers une limite déterminée lorsque, z et z' restant fixes, les
modales de h et de k tendent vers zéro. Ces limites sont les
dérivées partielles de la fonction y( 5, z') et on les représente par
la même notation que dans le cas des variables réelles.
Séparons dans f{z, z') la partie réelle et le coefficient de 1,
I. — l»ROI'RIKTKS GÈNKRALKS.
fijz^ ^') r=r X -h I Y ; X ol Y sont des fonctions réelles des qnalrr
friables indéppndanles réelles «, r, n\ /, vérifiant les quatre
rcï allons
Joui la si^nilicaliim est évidenh* (M. On peut éliminer Y de six
nianières dilTt'rrnlcs, en [»as>ianl aux df*rivées du scfonH ordre;
'*^aîs les six relations obtenues se rédiiisenl à qualrt* équations
1
0^\
Oit dt
= o.
Ia multiplicité de ees relatious explique aisément pourquoi
On sen est peu servi jusqu'ici pour l'étude des fondions anâ-
■ yi îques de deux variidites
33U. Cercles de convergence associés. — La* propriétés des
f-s4rîe5 entières ù deux variables réelles (1, ri''* 183-186) s'étendent
1^1 sèment au cas oii les coeflicients et les variables ont des valeurs
Complexes. Soit
^ite série doublet coeflietents <pieleiinques. Si la série
^\ itv"ir«.
Ou Afli^nx l^fl^/, |, et où H el iV soni des nombres positifs^ est con-
vergente, ou si du moins trois les termes de cette série {2) sont
plti?; petits qirun nombre lixe .M, la série ( i ) sera absolument con-
^*ergenlc pourvu que l'on ail |-| <C l^t j-^'l <! R'« Soit C le cercle
décrit dans le plan de la variable z de Torigine comme centre avec
im ravnn R; snît de même C le errele déerît dans le plan de In
(•) Si 5 rt £' ^onl des fonrtiims analyltf]uc§ d'iin<* autre vartabtç x, c#*9 rela-
lîoAS pcrmetlent aisément rJY'tablîr que ta dérivée île /{z, z' ) par rapport à jr
t'otilipnt par la r/'gle habiLurttr qui dtmne la dérivée d*iji*e r*>ji€h\>n en m posée,
Lr* forriiulei du cjlriil dilfiWcnlicl. en particulier 1rs formules du rtiangement
de variables, s'éicndcfïl dnnr ;iu\ fonctions analytiques de variables rompicxes.
jM
CHAPITRE XVII.
FONCTIONS DE FLLSIRURS VARIABLES.
variable:;' du point z'= o comme centre avec le rayon R' (yî^. 88).
La somme de la série (i) est une fonction bien déterminée des
deux variables z et z'^ lorsque ces variables restent comprises
respectivement à l'intérieur des deux cercles C, C. Soit C| un
cercle de rayon R| < K concentrique à C; soit de même C\ un
cercle de rayon R'^ < R' concenlrique à C; lorsque les variables z
et z' restent comprises respectivement à l'intérieur des cercles d
i^^ig. HS.
et C, , la série ( i ) est uniformément convergente; la somme F(v, s)
est par conséquent une fonction continue des deux variables 5, 5«
à rintérieur des deux cercles G et C.
En diflerentiant terme à terme la série ( i ), par rap|ïorl à la
variable z par exemple, la nouvelle série obtenue
(^)
~ni -l -'//
est encore absolument convergente lorsque :; et ;;' restent respec-
tivement dans les deux cercles C el C. Posons en efTet |^|=''
|s'l^r'; en remplaçant chaque terme de la série (3) par son
module, on obtient une série double à termes positifs doul le»
termes sont au plus égaux à ceux de la série double
PaOl»ftJETKS GE\KR\1,KS
a07
' celle dernière série est canve récente cl a pour scMimie
M
à¥.
àV
>ujl-^la somme de la série (3); nous dési^^nerons de ni<}me par ^— ,
1 somme de la si^rie r>l>tejine en dîiri'reiilîaol Lerme â lerine la
érie ( I ) ]>ar rafiporl à j:', et, d'une taçon générale, par --— p^
I âomme de la série oblenue en difTéreiitianL *iuccessivemenl
raque terme de la série (i) nt fois par rapport à z et n fois par
l^jmrt à z\
I Prenons a l*ialérieiir de C nn [>[îirït i:iiiel€utii|iie z de module r
1 de ce poiul eointne eentre déerivons un cercle r de rajon R — r
kïïv^Qni iHli'rieurement au cercle C. Soient de même z^ un (joint
»telconr|iie de modide /' <C H^ et c le rerele déeriL dii points'
iDiiîiae centre avec W — /'' pour rauni.J Soient i-idiii z -h /*
z* -{- /k deu\ points ipielcoîii]in's pris respectivement dans les
Gicles r et c\ de tellr sorte (|ue l'un ;iit
|^|--1/*|<H, t5'|-t-|^-|<R'.
>î l'on remplaee z et z' par z ^ h et z' + /*" dans la série ( i ), on
ut développer chaque lerme en nue séi'ie ordonnée suivant les
uissances tie A et de k, et la série multiple ainsi obtenue est
lunieiit convergente. Km t*rdoun;inl ectte série suivant les
lîssances de /* et de L\ nous pouvons écrire le résuUat
Ea raisonnant comme datjs le cas d'une seule variable, on en
Conclut que les séries -rz ^^ ~rp représentent les dérivées partielles
^c U fonction F(^, 5'). La série enliêre ( 1 ) représente donc une
fonction hobimorplie desdeuit variables à Pintérieur des cercles C
|tC'. r>\»ne faron généra le j la somme de la série que nous avons
fcprésenlée par ^^^^ ,^^ a la même signi(ication que si les variables
liaient réelles, et la formule (4) est identiqire a la formule de
ior pour le cas de deux variables*
a68
cii.\PiTiu: XV lu
FONCTIOXS DK PLlSlEins V*nHBLES.
ToiUes ces propriétés offrent la plus grande analogie avec les pn
priétésdes séries entières à une seule variable. Il j a cependant titi 4
différence es^enlietle entre les deux cas. Dans le cas d^nneseul<
variable, il y a un seul cercle C séparant les poiiiU où la série esi
converg^enle des points où la série est divergente. Dans lecasdc
deux variables, on doit considérer une infinité de svstèines ie
cercles associés \oi\Bui le même rôle c|ue le cercle nniquc de cou-
ve rj^ence. Il existe, en elVet, en ^énér*i!, nue inlinité de sj.slèmefl
de deux cercles C» C, de rayons l\ ei W respectivement, tels que
la série double (1) soit absobunent convergcûle pourvu que l'on
ail à la fois j:;|<lR, |5'[<;R\ et divergente si ï\m a en même
lemps 1^1 > K, Is'l^ R^ Par exemple, la série Y ^-^^'-±4^' z"*:".
que Ton obtient eu développant -— ^» est absolument con-
vergente pourvu que Ton ait |s|-h|^'|<C t et dans ce cas seulement*
Tout système de cercles G, C\ dont les rayons R, R' satisfoot à
la relation R -h R'= i, est un système de cercles de convergence
associés. Il peut aussi arriver que Ton puisse se borner n ctinsî-
dérer un seul système de cercles associés; c'est ce qui a lieu pour
la St'Tiels'"^'", qui n*est convergente que si Ton a à la foii|5|<it
yi<-- m
331. Intégrales doubles. — Quand on se propose d'élendre
aux ionelions de plusinrirs variables complexes les tliéori^iaes
généraux (jue (Jaucliv a di-duits de la considérai ion des inlégral^>
définies prises entre des limites imaginaires, ou rencontre d^*
difficultés, qui on! été complèlemenl élucidées parM. Poincaré(')'
Nous n'étudierons ici qu'uu cas ])articulier bien simple qui noi**
suffira pour la suite. Soit /"(s, z*) une fonction bulouiorp"^
lorsque les variables r, 0' resleul comprises respectivement clim^
les deux régions A^ A' ( /î^. ^9)* Considérons une courbe f^^
située dans A et uwe courbe a* 1/ dans A', et divisons cb.icutieu^*
ces courbes en arcs plus [petits par ries pouits de division ^^
nombre quelconque; appelons w©, Z\, Sj, . - . , Zk-i » Zk% ... * Z 1*^*
[ïoints d*^ <li vision de aby Zq et Z coïncida nt avec a et 6, et z^^ 5,»
z\ «ik-n ^Ai ' ■ ■■' ^m-M -2' les points de division de a'ft', z\ ^^
I. — PRai*ftll£TÉâ UEMvRALKS.
\1 coïiicidiiut avec a' ^i ù\ La âoirutic à deux indices
(i)
afig
n fft
S = 2 ^f{Zj^-U 5/4-1 )(-/.— «4-i)(4— -^^1 )
leiid vers une lijnile lurs^juo les ileiix. nombres m et n aiigniciilent
indélniinierU de faeoii que Loiis \its modules 1:;^ ^c^_,j ell^' — -^a^iI
Ictidenl vers zéro. Soit /(s, :ï') = Xh-/Y, X et Y élant des
tondions réelles des (judlre variables //, i\ tr^ /; |)osons encore
Fig. 8g*
A'
u 0*
^fi^^Uff-^- Wh^ ^A = **'^ H- '^A* Le terme général de la somme S
peut sVerîre
|X(«jt^i* n-i; «7i-iT 'a 1 i -h /\ « ///. -ï, i'^-i; »7i~i* Oi-i)|
^lî si Ton elî'ecUJc les |jr*HJnitï> indiqaes, ou a luiit produits |iar-
licls. Démontroos par exemple que la somme des prodiiiLs partiels
^* 2) 2 ^( *'*-»» **A-i; »*"A-i, f/t-i}(tn
«,_, )f tr/, — nv,_i )
: I A = t
leiïd vers une limite* Non s supposerons, eomme c'est le cas dans
I* %ure, que la courbe au n'est rencontrée qu'en un point par
^^•e parallèle a Taxe Or, et de uiéuie qu'une parallèle à Taxe Oi
^e rencontre qu'en un puint au plus la courbe a'ù\ Soient
^ = ^(m), /=:']*(iv) les équations de ces deux courbes, «© et tJ
'^ limites entre lesquelles varie Uy tv^ et W les limites entre
^lesquelles varie u\ Si Ton remplace dans X les variables v el l
ÎJO CHAPJTRIi XVII, — FONCTIONS DE VW^lElt^S VlRUBtt^S.
par f{ii) et '^(<v*> resprclivediriii, elle «levieiil une foncliou ^ !■
liime Vitty u*) des varîablcî^ ^/ vï iv el ht soiuiiie (ii) peut er>^r"— ^
(6)'
y Vp(
"*-
i'A-i H'n — «*-! >' "V. — "/.-i >•/
4
Loi'S([iie ni el // eioiasent imltHinirm^iit, ccltr stuniiic a fnnn
limite rintegrale double / / P(«t n')(iii tiiv (Henilue au rerUin^iif
liniilê par les droiles a = ff^^^ u ^^ IJ, tr := iv„, n = VV.
Celle intégra le doiilile ii aus>i |ioiir expression
/ du I Vittj t*") ^A*\
OU ejicare, vu iuhuduisanl les inlégrales curvilî^aeîi,
(7) / */tt j \« Wt r; «', f \dii\
Danâ celle dejiiirre exjiressioii, on su(ï|M>se tpie // el »' so»l 1^'*
coordtmiiées iVnn ptniil i[uek:oiK|ue de [iire aù^ el \%\ t les euor-
duïijit/es d'il H pniiiL <]iieteoiJ(iiie de I arc ti h\ l^e puinl ((/» ^7
l'tant »up[>(»é li\e. on fait décrire au j^oiïit ( n% / ) Tare fl't'et 1'»^
preoil rinlégrali: rntvili^ne f \ div le loii|j; tie (t'I/, Le rê^til^^W
eal nue foin tiiHi ih.* tt^ i'^ soit li(//, ri, el 1(111 raleule ensuilr l ">-l
li'grale cnr\ ilij;*i<' / Hu/, v) dtt le \in\^ (Je Tare r/6.
La demi rie expression obteoue (j) pour la liuiilc il»'
souiuie (()) *i'iipplî*]ue *]iiels i]ue j^oîent ïes chemins ah et /* ''^
Il Tiuffil, eut unie ou la <li'j;'« la il idiisiturs (ois, de décuuipt's»'^
chacune des courbes ah el a^ b* eu arcs asscif. pelils pour à.<l'^'
faire aux conditions ref[uises^ dassoeier de loulet» les nianit^rt'
possibles une porlion de ah à une portion de a^ b\ puis d'ajout*'''
les résuUats. En o|jéranl de la inéuie façon uvec toutes les somwt'^
de produits partiels analogues à la somme (G), on voit nue ï^ ^
pour lijnile la somme de buil intégrales doubles analogues à I lU"
légrale (7). Représentons celle limite par / /F(::, z')dz(h\
l'HOI'Itl KTKS liKiN Hn A Li;S .
x-ji
\ dt
\tflri
l«)
OU S avons IVgalitê
\ f f^i^, z)dzci:i':= f dn f \du — f ./r f
— f du f V dt - f d^' f Y dw
-+- £ i r/fl / V da- ^ i I di' f Y dt
J -+-£ r f/w /' Xdt^t f dç I Xdiv,
lie Ton j»eii( écrire il' une l'iicou abrégée
Fi ;;. z ) dz dz' ~ i ( (/// h- / dv } l (X r i Y ) ( <:/ji^ -i- i di )
f.f
irtài
ifiti')
OU eni'orf*
«9)
f fViz. z}dzdz^ f dz f ï^(z,z')dz\
Lu fonnule 19) est loiit à fait semblable à celle f|in |iêrmia île
calculer nrif inlt*^rale climl)le onlinaire, étendue à la siirliice d'un
feclaDfï:le, au moyeu de deux quadratures successives (I, ij"" \%i),
Oo calcule d%il*ord l'inlé*,'rale / F(:;, z^)dz^ le long de Parc f ^7/,
€n Y supposant z constant; Ir résultat est wwq fonction ^{z) de z^
?**€ l'on intégre ensuite te lon^' de Vdvv nb. Gomme les deux
^"^mins ab et ti'6' jouent nu lùle analogue, il est clair rjut' l'on
P^Ut intervertir Tordre des iulé^riitioiis.
Soit M un nombre pusilif supérieur au module tie F(^, j')
^''Sfiue z et z' décrivent les arcs tib et a* h' \ s\ L et 1/ désignerjt
'^s longueurs respectives de ces arcs^ le uiodtile de Tintégrale
^ Jouble est înférifur à MIAJ (n^^287). Lor^fpruu des eliemins, ^///
par exemple, furnie une eourbe (éraiée, l'intégra le / F(^, z*)dz'
• Ut'b'\
*era nulle si lu ïbnction K(^, 3') est boloniorplie pour les valeurs
u« z* à rinlérieurde celte courbe et les valeurs de -s situées sur a h,
tl 00 sera donc de même de l'intégrale double.
332. Extension des théorèmes de Cauchy, — Soient Cj Cdeux
courlj^îj fermées sans point double, situées respectivement dans
\'^s (>|ans des variables z et z'^ F(^, ^') u'ie fonction holomor|dje
Vj}. CHAPITRE WII. — FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLIS.
lorsque z et z^ resleiil dans les aires limitées par ces deux courb^^s
et sur ces courbes elles-mêmes. Considérons l'intégrale doub X e
1= r,/, r_ii-i>^,
où X est un poinl intérieur au contour C et x* un point intérievjmr
au contour C et supposons ces deux contours décrits dans Icsck^bs
direct. L'intégrale
r Viz: z')dz
où ;; désigne un point fixe du contour C, est égale à iizi /*' ^ ■'
Ou a donc
, . r V(z. .r') .
ci, en appliquant encore une fois le théorème de Cauchy,
ce qui nous conduit à la formule
(.0) ^^-■-^--4^.4;''i,(-— )(-'— '^
tout à lait pai*éille à la formule fondamentale de Cauchy, et d'où
Ton peut tirer des conséquences analogues. Oh en déduit l'exis-
tence des dérivées partielles de tous les ordres de la fonction
F(^, z') dans les aires considérées, la dérivée ^^ ,^^ ayant pour
expression
0"'-^"V _ __ 1.7... m,i.'>..,.n r ., r F (g, z')dz'
Pour obtenir la formule de Taylor, supposons que les con-
tours C et G soient des circonférences; soient a le centre de C
et R son rayon, b le centre de C et R' le rayon. Les points x et x
étant pris respectivement à l'intérieur de ces circonférences, on
a |j: — a| = r < R, et |x' — 6| = /'<< R', et la fraction rationnelle
{z-x)i^z'-x) "^ [z — a-^{x — a)\[z'-b — i,x'—b)\
l, — HVOPWIKTKS GENERALES. %y'i
peut é»rc développée suivant les puissances de jC — a elde j:' — 6,
I
■ j-ji^^ ^x
m =0 n ^0
h série du secood membre élanL uniformément con\ergente
I lorsque :; el z' déeriveul rcspeehvenienL les cercles C et C\ car
le module du terme géuéral est ^jp (n) ( ïr ) ' ^'* p^i«L donc
remplacer ; ——, rr par la série nrécédenle dan^ la fbr^
mule (lo) et inté;;rer tenue à lenue^ ce qui donne
fiz, z)rfz'
*• ^'* '• ' - - T^ 1 Z <' - "'""" - "".//^L<.-ar^■(.■
6)''^!'
m — rt M — o
en tenant compte des formules obtenue? en reju[ïlaranl x el jn^
pr a et i dans les relations (lo) et (i i), on retrouve lu iVinnule
de Tajlor
t2) ¥ix,T)^?{a, ^)-^2 2
dit'*' t/6'* mTrtl '
m = rt /f i::: U
lî» combinaison /?! =: /î ^= o étant exclue de la sommation.
Remarque* — Le coenîcieiu ((.f^t, de (r — a]^(x' — b)" dans
la SLTÎe précédente est égal à riiilcgrale double
-I
si M est la limite supérieure de | ¥{z^ z')\ le long des cercles C et C,
on a, diaprés une remarque f^ëuérale,
î»74
CtUPlTRË XVU^
POÎfCTiOxNS DE PLUSrELTas %AmABLE3.
des intégrales définies, où la variable indépendanle figure ccH
paramètre sous le sij*ne intégral. Nous avons déjà donoé des c(
tîons suffisanles pour qiron puisse appliquer la formule habit*
de dinereiitidtion lorsijue les variables soûl réelles (1, n"* 97, i
Nous allons reprendre la question pour les variables comph
Soit F(:;, ::') une foiiclidn holouiorjjlie des deux variables z c
lorsque ces variables resleut com[H*ises respeetivemeut dans i
régions A et A'. Prenons dans la région A un chemin détermiî
de longueur finie ^ et considérons l'intégrale définie
(i3) 'P{T)= f ¥iz, j-)dz,
oiix est un point quelconque de la région A', Hourdénionl
celle fonetiou <I*(.r) est une fonction holomorphe de x, décria
du points comme centre une encouférence C de rayon R, sa
ttmt entière dans la région A', l^a fonction F(:;, j' ) étant m
uiorplie, on a, d'après la (oruiule fondamentale de Cauchv,
. F(-, ^J
F<^, z')dz'
et Finté^a-ale (j3) peut encore s'écrire
i r , r F<-=* z)dz'
^(t)- : / dz / 1^ .
Soit X -h ^i-^ uu point voisin âc x dans le cercle C
i f j r ^( z, z )dz'
'ATlt J . f ,. Z -- X AjF
et par suite, en reprenant uu calcul déjà fail (n'* 29^1),
on a
de nit
^{ir '
Aj-
U' — jt)*
Soient M uu nombre positif supérieur au module de F(si
lorsque les variables :; et z* décrivent respectivement tes ligni
et C, S la longueur de la ligne L^ et p le module de A.r. Le mcM
cl \vàr consétpient tend vei*s xéro lorsque le point x H- àx se ra|i-
pmchc iDdélinimeaL du pointx. La fotictioa 4*(x) adinel dooc uite
dérivée y uîq lie quia pour e\[)ressiori
* {T)= . I dz I ——, --—
Mais on a aussi (n'* 293)
^ _ _i_ r V{z, z)dz*
Cl la fonijuii.* précédenle peut enciire s*ëcnre
Nous relroitvorts la formule lia bi lu elle de dinër^nliatiou sous le
sigfte inlégraL
Le raiâouoemeul ne s'applique plus lorsque le clieoiiu d^iu-
iigT*îilic>n L s^éleiid à Tinliui. Supposons, jfour fixer les idées,
*\vit L soit une demi-droile indéfinie issue d%jn poinl €Iq el faisant
unanL;leQ avec Taxe réel. N*n»s dtrotis que Tiiité^riile
'% **
4»(jr)= / F{z, x)dz
'-'SI tiiiilorinémcuL conver^enle si à louL nombre posÎLirî ou peut
'**ïrc conopondre un nombre positif N lel que l'on ait
IX
F{Z, 2F)dz\ < 6»
h^iitvu que o soit supérieur a N, quel que soit ,r dans A\ En
'^lireuMnl un raisonnement employé pour les variables réelles (I,
**"* 175)^ on dénionlre que toute inir^j^rale unifurmêment uonver-
h^iile est égale ù la somme d'une sérît* uniformémeut convergente
àoùi les termes sont des inlé^ral^s jjrises le long de certains seg-
mcDls delà demi-droite indéfinie L. Toutes ces intégrales sont des
iM
T^ irnr ne
'%JL"« -^r * :^3: a- \ -.m
.iTT - ■ TXî.rr-
^ -=- TK-Ifr-
/
/
iiiiit;,,„ii, 1,1 ",(»,.»;/,„(/:. it'ut'fUU'.u-.A'. f,-tT exemple j-vjr .a *iO^
I, — PttOHniETES G£NI£f%ALËS*
Soît / un nombre positif supérieur à un ; sj ,A{z ) < N, on h
377
r
f'-^e-idt\<
s:
l'^-^e-'tù,
etroBpeui |MeniJrc / assez grand poiïrf]iji; la J,Tnière î(ittigr*ile ^oît înfé-
rieureâlOMt nombre posiiif t. L;i foncLîon r(;î)d*^finie par riniéf^rale (i5;
est donc une fonction holoiiiorplic dans loule la région du pfan située à
droite de l*a\e Oy. Cett<* fVmctton r(-) satiïifait encore à la relation
(i6)
Viz -h I I = ^V{i)
obtenue p:ir une intégration par partie;^, et par suite à la relation plus géoé-
f»|p
(17)
V(z -h fi ) = z{ s ^ i ) . . A i -h n — 1)^(5)
qui en est une conséquence iniinédiate.
Cette propriété pernici d'étendre la dé finit ion rie la fonction r(^) au\
valeurs de x dont la partie réelle est négative. Considérons en elTet la fonc*
4.(5) =
r(s-hn)
5(i H- I ) . * . '^ -H « — I )
<»û fl est un nombre enlter positif; h numérateur !'(;; -^n) est une fonc-
lion holomorpbc de 3, définie pourvu que l'on ail rfl(-3)> — n; la fonc-
lionij^(i)est donc une foncliun niéromorpbe définie pour toutes le& valeurs
^^la variable dont la partie réelle est supérieure à — n. Or cette fonction
V(*) coïncide avec la fonction lioUmiorphe r(^) à droit»; de Taxe Oy^
«api-ôs la formule 07); elle eH dmic iilcntique au proloni^enieot anal \ tique
*•* U fonction liolfimoi|die r{z) tlans la bande comprise entre le<i deu\
"J'oitês A(<5)sso, tR(5) = -^ n. Comme le nombre entier n est arbitraire,
^^ ea conclut qu'il existe une fonction méromorpbei admettant comme
pôles iju premier ordre tous les points 5^=0» 5= — 1, 2 = — 7.^ ...,
- = — /i et qui, à droite de l'a\e O^, est égale a Tîntégrale (j5^
Oti représente encore cette fonction niéromorphe parFt^), mais la for-
wiilç(j5jne permet de calculer sa valeur numérique que si Ion atH(.5)>o.
Siil(i) < o, il faut en outre se servir de k relation (17) pour avoir la va -
ffior numérique de cette fonction.
Voici une i^\ pression de la fonction V(z) qui est valable pour toute valeur
de J« Soit S(^) la fonction entière
S(«)
■Ut admet pour léros les pôles de r(5). Le produit S(5)r(-3) doit être
une fonction entière. On démontre que cette fonction entière est égale
»-8
CRAPintE SVII. -'^ PMICTfOKB DC PU'&IElIltS VAKUM.CS.
à e-^-. C étant la coasUaic d'Euler ('X I, p. ii(>t ot l'on en didw't
formale
(»9)
qui montre que _ — est une triit^cendante entière,
355, Prolongement analytique d*ane fonction de deux Taiiablet* ;
E»it u = F{i, z' ) une fonction holomorphe de* deu\ variables - et *
lorsque ces âeu\ variables reslent re^peclivcmetit cian? fleu\ ré*;ii>ns cor" K
nemes A et A' des deux piaus où on lef représente. On dénijonlre, coron i^^e
dans le cas d'une seule variable (n** 341), que la valeur de cette fonctic^^o
pour un syslème quelconque de poinl*» z^ -s' pris dans îe^ répons A. A' e=r si
délenntnée «î Ton connaît le^ valeMr5 de F el de toutes ses dérivées pa^ r-
lieïle^ pour un f>?ilême He deu\ points - ^ n^ «'== 6, pr»?* dans le^ mém*^ es
régions. IJ semble facile, d'après ccla^ d'étendre aui. fonctions dç de^^j%^
varîî)bles coniple\e$ la notion du prolongement analytique. Considérer n?i>
une série à deux indices Zaf„n telle qu'il existe deux nombres positifs
r\ jouissant de la propriété suivante : la série
(ao)
Fi^,:s')^Za^„s'»s''*
I
est convergente si l'on a à la fois |^| < r, [s'| < r', cl divergente si T»!
H la fois |sj>r, |5'|>r', La série précédente définit alors une f»nc::-
tion F(s, 5^), qui est holomorphe lorsque le^ variables z, z\ restent re^ *;-
peclivcmenl dan?^ le.s cercles G, G', de rayons r et r' ; mais elle ne no »js
apprend rien sur le mode «rexi-^tencc de cette fonction lorsque l'on a |â|> ^.
ou |£'|>r'. Imaginons, pour fixer les idées, que Ton fasse décrire à ^^
vartible*^ «n chemin LaKani île l'ori^ïine à un point Z extérieur au cercle ^^'
et à la variable z' un autre chemin L' allant du point *'= o à un poiol ^*
t*%lérteur au cercle Q\ Soient a et ^ deux puinls pris respectivement $u
les deux ( hemius L el l>\ at étant à rinlérieur de G et ^ à Tintérieur de <
1^ série (20) et celles qu\in en déduit par des difTéreniiations répète*
permettent de former une nouvelle série entière
(21)
Z^„„(^ — «r(i'— 3)'»
qui est absolument convergente lorsque l'on a |^^- «j < /'j , et \z' — ^1 <r^
ri el r\ étant deux nombres positifs convcnabJement cboisis. Appelons
le cercle de rayon rj décrit du point % pour centre dans le plan des 5, et
le cercle de rayon r\ décrit du point 3 pour centre dans le plan de la
riable z\ Lorsque -5 est dans la pariie commune aux di!ux cercles C el ^
et la variable z' dans la partie coiiiuHine aux deux cercles C cl C'|, la somi
de la série fîi) est identique h la somme de la série (^o). Si l'on pe
(') Itofl X utK f Co m:t> d 'amiiyse^ 4 "' éd *imu » p . 142-.
f,boîsir les deux nombres r^ et r\ de façon que le cercle Ci soit en partie
«\lf rieur au cercle C^ ou le cercle C\ en partie extérieur au cercle G', on
aura élendu la dénuition de la fonction F(2, z' ) à un domaine eu partie
cilërieur au preuiier- Eu continuant de la sorte, on conçojl bien la possi-
bilité d'étendre de proche en proche la fonction F{c, z'). Mais il inler-
vient ici un nouvel élément important. En eiïet, il est nécessaire de ienir
compte des manières relatives dont les variables se déplacent sur leurs
rhemins respectifs. En voici uu exemple très simple dû à M. Sauvage (^ ).
Soii «3= ^z ~~ z' -t- t; nous prenons pour valeurs înittales* = ^'= o, u = i,
et te* chemins décrits par les variahle«^ z^ z' sont déHnis comme il suit :
i** le chemin décrit par la variable z' se compose du segment reclilîgnc
JB-
Fig. 90.
S^
m
M' B\
^Ilioi J« rorîgine su point z! ^ t; 1" le chemin décrit par z se compose
'le trois demi-circonférences» la première OMA {fig* 90) a son centre ^v\v
•*«iierécl, à gauche de l'origine, et son rayon inférieur \\ - \ la seconde ANB
^ encore son cctître sur Taxe réel» et placé de telle façon que le point —1
^oitsur le diamètre AB; enfin la Iroisîémc BPC a pour centre le milieu du
^«gment qui va du point fi au point C(^ =^ 1 ). La première et la troisième
•le CCS demi-rirconfêrenees sont au-ilessus de Taxe réel^ et la seconde au-
«IciHiun. de façon que le contour OMANBPCO entoure le point - =—1.
^el» posé, choisis«onfi les marches siiivanlos :
1" 5' reste nul^ et z décrit tout le chemin OABG:
^' 1 rc!He égal à 1, et z* décrit tout son chemin.
""i l'on considère la variable auxiliaire t '=^ z — -^^ on voit facilement que
''' ''beniin décrit parla variable t^ si Ton représente cette variable t par un
T) Sauvage» Premiers, principes de la Théorie générale des fonctions de
P'*»»furf variables {Annales de la Faculté dts Sciences de Marseille» i. XIV).
^f Mémoire est itoe cxcellenlc introduction a Tétudc des fouet ions an;ily tiques
*** plDsieurs variables*
280 CUVlMTHi: Wll. — FONCTIONS DE PLUSlEUftS VAHUBLBS.
imînl du plan des*, esl préeisémenL le contour fermé OABCO qui entoure ^
le point tuiuque ( =^ — i du radical ^i -h i, La valeur finale de u csl _-J
flonc u ^ — t. 1
Choisissons au contraire les marches suivantes : ]
i"* z reste nuï « t z' varie de o à i^ — i(i étant un nombre posîlîf tir — ^_^ \
pelit); ;
a* z' reste ê^^al à i — £ et - décrit lout le chemin OABG;
3"* z reste égal a i^ et ^' varie de i — î à i.
Lorsque^' varie de o à i — t, fa variable auxiliaire / décrit un chemin 0CZI3I'
;i!îouli&5arit à un point O' très voisin du point — i sur Taxe réel. Lo^<^que ^
décrit ensuite le chemin OABG, ^décrit un chemin O'A'B'tj' siq^erpo^^ab^ ^
nu précédent ei abouti*«sant au poiut C'(OG'=i) sur l'axe réel. Euii m
lorsque avarie de i — i ai,/ lr;i de C'a l'orii^ine. La variable auxiîiaErct /
décrit dotjc le contour fermé OO'A'B'C'O qui laisse à l'extérieur 1 r
point —I, pourvu que t soit pris assez petit. La valeur finale de « 5e fii
ilonc égale à -h i »
La nature des sinj^ularilès des fonctions analytiques de |dui»îrui* va-
riables est beaucoup moins bien connue que celle îles fonctions dont* seule
variable. Une des plus grandes difficulté"* du problème tient à ce qui* le*
couples de valeurs singulière^ ne sont pas isolés ( ^ ).
IL ^ FONCTIONS LMIMJCITES, — FONCTIONS ALr.EBRIOLES.
356. Théorêm© de Weierstrass, — Nous avons déjà établi (K
II'* 187) rexiâleoce des fonctions implrcites définies par Je*
équations dont le premier membre petit être dévelo|>|}é en séri^
ordonnée suivant les puissances positives et croissantes des (Jeti^
variables* Les raisonnements, qui liaient faits en supposant le^
variables et les coefficients réels, s'applir|oenl sans inodilicalioi^
lorsque les variables et les coenicienls ont des valeurs ijuclconquc^
réelles ou imaginaires, pourvu que Ton conserve les autres hjpo"
thèses. Nous allons établir maintenant un théorème plus général ^
el nous conserverons les notations déjà emp lovées dans cell*^
étude; les variables complexes seront désignées par ^ et v.
Soit F(a', jk) une fonction holomorpbe dans le domaine dVi*^
système de valeurs^ ^^ a, y == [3, el telle que Ton ait F(a, ,3) = o î
nous supposerons, ce qui est toujours permis, a ^ j3 =: o. L'équui ^^
(') Pour lout ce qui concerne cette qweilioo, voir un Mémoire de M Pciîncii^^
dans les Acta mathematica (t. XXVI).
Il> — FONCTIONS lUfïJClTES ET ALGEOniQUES. iSl
lion F(o, ^)=o admet la racine j^ ^^ o à un certain dogro de
niulliplicité. Le cas qui a été étudié est celui où j^==o est une
racine simple ;fon va maiulenanl étudier le cas général oii y^o
l utie racine niulti|)lc rFordre n de Téqualion F(rî, v')=o. Si
oti ordonne le développement de F{x^jy) dans le domaine du
inLx^>':^o, suivîvnl les puissances de >■, ce développement
t (le la forme
^(^*r)- AoH- Aij
. .-h A^r'^-h Art-^ir'^^^-h.
coefjicients A^ étant des séries entières en x dont les n [>re-
î^rcs sont nulles pour x := o, tandis que A„ ne s'annule pas
>ourx^ o. Soient G et C dcuK cercles de rayons R et fi' tlécrits
Se l'origine comme centre dans les plans des x cl des j' respec-
i%ement. Nous supposerons que la fonction F{x^ y) est liolu-
tnorphe dans le domaine défini par ces deux cercles et aussi sur
les cercles eux-mêmes ; comme A,^ n*est pas nul pour jr'= o, nous
pouvons supposer le rajon R du cercle C assez petit pour que la
loocliou Kfi ne s^annule pas à IVintérieur de G, ni sur ce cercle.
Soit M h limite supérieure de |F(j:, j')| duns le dojuaine précé-
dent^ Et B la limite inférieure de |A„[. D'après le tliéurème fonda-
rneulal de Gauchv, Ton a
¥(j;y*)fiy
3r el jetant deux points quelconques pris dans les cercles G et G';/
^neii conGlut que le module du coefGcient A,„ de >'"* dans la for-'
M
t>njle(a2) est inférieur iv ^r^i quelle que soit lu valeur de x dans
•e cercle C.
(-ela poséj nous pouvons écrire
P = J^j^è^V=
Xn
3l8ft. CIUPITRB XVn. — FONCTIONS DE PLUSlEOaS VARïABLRS.
Soil p le module dey; on a
R'5
el ce module sera inférieur a - pourvu ijite l'on ait
(^f)
p<n'
UH'^'
iM
Soit d'à 11 Ire pari u(r) la valeur maximuoi du modtile des Ctnic
lions A(i, A,, , • ,, Art_ , pour taules les valnirs de x donl le mo-
dule ne dépasse un nombre /'<IL Ces // fondions étaol nw/Ze?
pour x^o, [Ji(r) tend vers zéro avec r, et Ton peut toujoti"^*
prendre r assez |>elil pour f|iîe Ton ail
p élant un nombre positif déterminé. Les nombres r el p aja
élé choisis de façon à salislaire aux^eonditions précédentes, rei^^*^"
plaçons le cercle C [>ar le cercle Cr décrit dans le plan de« — =^t
du poinl .r = G pour cenire, avec le lavon r, et de nȎme '*
cercle C j dn plan de la variable >*, par le cercle concentrique ^^^;
de rayon p. Si Ton donne à x une valeur telle que |jr|5 ''i <ïl *1 *'*•
Ton fasse décrire à la variable j' le cercle Cp, tout le long de <^^'
cercle on a, d'après la façon dont on a choisi les nombres /• el p,
|P| < ^» IQI <; ^, el parsnile ]P H- Q| < i ■ Lorsque la variabl^^'
décrit le cercle Cp dans le sens direct, rargiimenl de i -h P-f-
revient à sa valeur initialei tandis que rarf»;umenl du facteur AnJ"*
au^'^mente de a/f-. i^'éqtkition F(j?,jk)=^o, où |jr|5r, a dûnt
n racines donl /c module est inférieur à p, et n seulement.
Tontes b's antres racines de Téquation F(.r, ^) = o, s'il en
existe^ ont leurs modules supérieurs à p. Comme on ]>eut rem*
placpr le nondire p par \m noiobre aussi petil qu'on le voudri^
inférieur à p, à la condition de remplacer cii même temps r pa
un nombre plus petit vérifiant toujours la cundilion (2o), on voS
que Téquation r(.r, y) r^ o admet n racines el n seulemenl qiu'
tendent vers zéro en même temps que x.
Lorsque la variable x reste à rintérieur de C,- ou sur ce cercle
II.
-même, les n
ri«ur à p, restent
FONCTIONS IMPLICITES ET ALGEBBIQIJJgâi
î83
acmes j,,yai
>rt, dont le module est infé-
clans le cercle iL, Ces racines ne sont pas en
fçéfiéral des fondions holoniorplies de x dans le cercle Cn mais
toute foDClion syniétrif[iie entière de ces n racines est une fonc-
itcn hoïonftorpho de œ dans ce cerclej (I suffit évidemment de le
flëmontrer pour la somme ^* '^ y'i~^ ' * * '^xt* ^^*^" ^^^ ^^^ nombre
ramier posUif. Considérons pour i-ela rintégnilc double
d1F(x\y)
ây
Ht'
' (C,)
V ^jc\ y ) X* — X
OÙ Ton suppose | j7| ■< r. Si Ij^^'j ^= p, la fonction F(.r\ jk') ne peut
sanmiler pour aucune valeur de la variable .r' à rinirrieiir de C/-
011 sur Cr, et le seul pôle de la fonction sous le signe intégral à
I inférieur de Cr est le point x'= x. On a donc
dr'
v\3^ , X )
— iiziy
.'* .
à?{:E,yy
^y
^\^^y)
^l par suite
L
à¥i^,y)
ùy
' < ^^ y J
dy.
ï^'apr^s une propriélë générale (n" 306), celle intégrale est égale
à-4T:2(>'^4-j^-h. . --Hj-*), y^yy-i, . --, J^i <5laut les n racines
lieréqnalion F(x, i*) = o de module inférieur à p. D'antre part,
Hniégrale I est une fonction liolomorphe de x dans Gr, car on
p«iil développer —r— — en série uniformément convergente or-
donnée suivant les puissances de .r, et calculer e^l^ui^f3 Tintégrale
^^m^ à terme* Les diverses sommes 2rJ étant des fondions holo-
f'iorplies dans le cercle Cj-» il en est de rnéme de la somme de ces
•'•cincs, de la somme des produits deux à deux, elc., et par con-
*<^flueni les « racines y^ , ^2« • - m ^'« ^^^^^ aussi les racines d*tine
^t|tiaiion de degré n
^'^) A^f y) = j"»'^ air""' -+- aiX^-'^ ^ . . .-^ an-iy -^ fi^ = o,
^^^t les coefficienls ai, a^, ..., a,^ sont des fonctions liolo-
coefficienls a^ «a,
^ûrphes de j: dans le cercle
C^, s'ann niant pour x =:^ o.
a84 (:u\i*iTRK xvH. — roNCTiox» de pliisjeurs
Les deii^ fondions F(.r, y) et f(Xy y) s^aniiulenl pour le
ruémes syslèmes de valeurs des variables x, j/, à Tin terreur de
cercles Cr et Cp, Nous ail ou s montrer ([ne le rapport ^ * * es
une fooction holomorphe dans ce domaine. Prenons pour ce
variables des valeurs délcrnirnees lelles que |a:|<:;/\ |j'|<C?t
eonsîdérons l'inlégrale double
Pour une valeur de y de module p, la fonclion f{3c\ y) de
variable x' ne peut sVnnuler pour aucune valeur de x' intérieu t
à Cf ou située sur ce cercle. La fonction sous le signe inlégri
admet donc le seul pôle x^==^ à riulérienr de Cri ^l 1^ rt^sicJ
correspondant est -j^ — ~ —, — -- Far suite, ou a encore
A^^f}/—!
J = 'ir.t f
Fij-, y') dy
J > y - y
mais les deux fonctions bolomorplies V{x^ j''), /(x, y^)
variable )/ ont les mêmes zéros avec les mêmes degrés de mulu
plicilé à l'intérieur de Cp. Leur f|uotient est donc une fotictio
bolomorphe de y* dans Cl et le seuî pôle «le la fonction à intégre
dans ce cercle est j'^^^; on a donc
J ^-^Sti*'
F {T. v\
D*autre pari, on peut remplacer, dans l'înlé":iale, — -, , ,
par une série entière uniformément convergente, ordonnée si*'
vaut les puissances positives de x et de y. En intégrant terme
terme, on voit que cette intégnde est égale à la somme d'une sér
cntiéi'c ordonnée suivant les puissances de x et de ^>\ et coiiv^?
gente dans les cercles C/-, Cl. Nous pouvons donc écrire
¥{x,y)=f{T,y)l\{x,y\
(27) F(ir, y) = ( K'*-*- a,^«-« -h. . .-h a^) H (x, r j»
la fonction !l(x, r) étant holomorpfie diius les cercles C^^ C*.
Le coeflicieut A^ dej''*dans ¥{x^y) conlîcnt nn lerme consU
IL — FONCTIONS IMI*LIC1TES ET ALGÉBUIQUES. ^85
différeot de %évo\ comme a^^ a^ rr,, sont nuls pour x =^ o, le
développemenl de H(x, j>') conlienL forcéiuenl un terme constanl
différenl de zéro, et [h drcoin position doiioée par hï (nrmiiïe ('^7)
met en évidence ce fait »jue toiiles les racines de ¥\j:^ y^) = o qni
letuleut ver.^ zéro avec^ x ti'ohLiennent en uiinulant le premier
facieor. L'important tfieorèine i\w\ ()n'*cède est dû iV M* Weier*
slra5'3(* ). ft ^éiiéialtse. tlu moins atilanl (|iie cela est possible pour
une fonc lion de plusieui'5 variables, la décumposilion en facteurs
des rnrinnons d'nnt' st'ule Viirîaljle,
*ia7. Faiiits critiques. — >ioiis son j rue?, donc ramenés, pour
éliidier les n racines de Té^nation F(a'. j'):= o, (piî .sont înlini-
inent petites en même temps que x^ à étudier^ pour les valeurs
(le T voisines de xéro, les racines d'une équation de la forme
iHj (7j. a,^ •■•? ^n sont dtvs IVoiclions liolumorplies s'aninifiint
|H)iir j'^ u. Lois<|iie IL est ^ 1 ( ^cul (îas dont mois avuus à nous
occuper), le [»oint .r^n est en général un pninl critiffitc, Eli-
minuns y entre les deux éipi.ilious /*==: u rty-^=o; le rrsnl-
»aiit A(jr) est un poKnoine entier par rappori aux coefliclenls rf^,
«î, . . . , eï„f et par roiiséipitiil une foiulron liolomiirjdie dans Ir
Juinaine de Torigine. (ie résnhajit ( * ) est nnl punr x ^= Oy et,
commr les zéros d'une Jonction holoniorplie forment un systèn*e
U€ poiiUs isolés, lions pouvons sn|j|joser qu'on a |>i'is le rayon r
<li» cercle C^- assez pclil [Kuir iprii l'intérieur de C^- l'équation
A(4')r= o n'ait pas d'autre racine *[uc x = o. Pour tout point x^
P^f^ ^Jans ce cercle, atilre ([tu; Torigfne, Téquation /{x^^ J')==^ ^
i'iiineUra /i racines distinctes; d'après le casdt jà étudié (1, n** 187).
*^^ n racines de l'é<pjation ('i!S) seront des l'onctîons bolomorplics
"^ ^dans le domaine du point Xf^. Il ne peut donc y avoir à Tinlé-
'"^^Ur du cercle C,. d'auîre [>oint crititpie que l'origine.
Soient ^'i.^)%, . . » iVi les n racines de lequation /"(^ai ,>') = *i-
*') Àbkandlungen aus det Functionenlckre von K, Weierstrass (Btr-
^^) Nou« écartons le cas où C£ rêsuluat serait idcnuquenicni mil. Dartâ cr
^ fiXf y) serait divisible par un fadeur [/, (-r, >')]', où A > 1, /,(J?, y)
^tii tïc même forme f\M^ /{x, ) \
i86
Fa
CtUPlTAt: XVI
la
FONrrrioNs dk plusi£1'»is varia BtSS.
>U
h
itoiir tli
sons décrire a la vtHiul>le ù- iitj lacet aiiloiir du jioml jr ^
en partant cl y pointai,; loul \e lon^ «le ce lact^l, les n racines
Véi\uM\on f(Xj y) ^=!= o son! (listinctes el vanenl d'une niante ^
conlinue. Si !'on porl du point .r« avec la racine y, par exempr -^^
etj suivant la variation contiiuie de celle racine totil le long ;
lacet, on reviendra au point de départ avec une valeur finale èm^^^,
à ime de?î racines âe /{Xq^ j ) ^= o» Si cette valeur linaleest v , /^
racine considérée esl uniforme dans le donia ine de rorigine» gi
celle valeur Hnalc est dillV^it ule de >*, . suf>posi>n> c|u^elle soîï ^ptie
ii y-i' U»i nouveau lacet décrit dans le m dîne .sens conduira de t^
racine ^KJ à une autre des racines >'|, y 2^ • • m Xn* La valeur lina ^*^
ne peut être y^î puisque le clienon inverse doit conduire de^^^
à Vj. Cette valeur finale doit donc élre une des racines y
JKïî ••M^wî si c'est 1*,, ou vtMlqne le> deux riicincsj', ery^^^
permutent quand la varialjle décrit tio laeel auhuir de f origine
Si cette valeur finale rj'e^t |>us ),, c'esl une dei> (n — a) racini^
restanlcs; soil jj, celte racine. Un nouveau lacet décrit dans
même sens conduira de la racine >:, à nne des racines ^i^j^^,^
^4, . - . , j^„* Ce ne peut être y^ (iour la même raison que tout
riieiire; ce n'est pas non pins V:i> pnisqne le clicmîn inverse ca mi-
dtiil de^a ^;>^i' Celle \aleur finale esl doîjc >', ou nne des (n — 3j
racines restantes >' 4, ^i;,, , . . , 1 1^, tSi c'est j*,, les Irois racine»^'^ ^
y^i^ y^i ^^ pennnlpnl circulaireim-nl tpiaiid la variiil>le «r décrit vr
lacet autour de f origine. Si la valeur tiiiale est dilléiente dej',^
on continuera à (iiire tourner la v.irinble autour de rarifj;ioe^ el^
au bout d'un nombre fini d'tjpérations, on retombera forcénicDt
suï' une racine rléjâ ol>lenuc, ejui sera la racine^)',. Supposons,
par exemple, que cela arrive après p 0]>iM'alions: les p racines
obtenues y,, >\., . . ., Vp se permutent uirculairement quand la va-
riable X décrit un lacet autour de Torigine, on dit qu'elles forment
un syslème ctrcuiaire de p racines. Lorstjue p ^= n, les n racines
forment un seul système circulaire. Lorsque yy est <C «, on reconi- —
mencera le raisonnement en partant d'une des n — p racines res-^ —
tantes, et ainsi île suite; il est clair qu*en continuant de la sorleJ^-^
on (îuira par épuiser toutes les racines, et l'on peut énoncer U ^
proposition suivante ; Les n racùtes de Véijaaiion ¥ (^x^y)^=^
(jià sont ntiii(\K pour .r ^ o, for/nerti ait oit piusietirs syslèm
circulaires dans le domaine de Vori^ine.
11. — FONCTIONS IMPUCITKS ET ALGjiUniOl KS, ^tj
Pour la généralÏLé de l'énoncé, il suffil de convenir qu'un sys-
tème circulaire peut se composer d'ittH- seule racine; cette racine
csl alors une fonclioi» uniforrue tluiis le voisinage de Forigine,
Les racines d'un rntiuie système circulaire peuvent élre rcpré-
ieulées pijr un dévelo[)penïeiil unique. Soient Jj'i, .V-jj ••», y»
les ^ racines d'un système circulaire; posons x^^^x^P. Chacune
de ces racines devient une fonction Iroloruorplie de x' pour toute
valeur de x' aulre que ,r'=o; d'iiulre f>iJrL,( quiiiul *r' décrit un
laicet autour de z'^: o, le [loînt x décrit/^ lacels suecedsifs dans le
lïi^iiipsens autour de T origine. Chacune Ai.'^i racines >-, , y.,^ , . . , y«
revient ilonc a sa valeur initiale. Ce soûl donc des Conclions \\%n~
roriiiL'ï^ de x^ diins le domaine dt* Porij^ioe; eoinnic ces racines
tetiilenl vers zéro lorsque x* tend vers zéro, Torij^ine x' ^^=^ o ne
peut être qu'un (joint ordinaire, et Tune de ces racîues est repré-
sentée par un développement de la furnic
ou^ LM reniplaçîini x^ par x'',
< If))
y = tyx^'-
m'
«mU^)
Je dis main te na n t \\ \\\i le fié veioppertif/i i ( 3o ) représe/i ie la ut es
^^s racines d'un niértie systènif' cire nia ire, pourvu que Von
^iiribue à x^' sea p dêierminutiotis. En effet, supposoiKs qu'eu
Pi
preiiiuit pour le radical )/x une de ses déterminations un ail le
développement de la racine r,; si la varialde x décrit un laeel
dans le sens direct autour de l'origine, >^< se change en Ka» et x'^
CSI multiplié pare'* . On verra de uiéuïc qu'on aura j*^ en rem-
plaçant jr'' par x^e ^ dans la formule (3o). Ce développement
^nn|ue met bien en évidence fa |jerniu talion circulaire des p
''Bcifie.'s, Il nous resterait à fjMinlier cnuuoent ini [ïcul sé]*arer les
** farines de F(j:', >')==() en systèmes circulaires et calculer lei>
^*>çllirients z^ des développcrnenls (3o). La méthode gé'uêraïe Cîsl
^^posée en détail dans tous les Chivrages consacrés aux (bnclions
*%cl^**i^iJ*-*- Nous ne Irai te ru n s tpie quelques cas particuliers
ïplication frécpiente.
Si |K)ur X =.v = o. la dérivée — n'csl pas nulle, le développ^ ^
menl de F(x, j') renferme un terme du premier degré en x, <
Ton a
les termes non écrits étant divisibles par l'un des facteurs j^ '
xy^ y'^^ . Considérons pour un moment r comme la varialiD!^ ]
indépendante. Téquation F(x, v) = o admet une seule raci :aci
tendant vers zéro avec >% et cette racine est holomorplie dans ]
domaine de Torigine. Le dt^veloppement, que Ton a appris àc^|
culer (\. n"* 46, 187), est de la forme
En extrayant les racines n'*"** des deu\ membres, il vient
Poury = o, léqualion auxiliaire i/*= ao-H «i^' -+•• • • admet n
racines distinctes, dont chacune est développable en série enlfèrc
suivant les puissances de i'. Comme ces n racines se déduisent de
Tune d'elles en la mulliplianl par les puissances successives àte " i
on peut prendre pour ^^a^ -+- a, r -r • • . dans la formule (33) Tim ne
quelconque de ces racines, à la condition d'attribuer successi ^^^'
ment à x" ses n déterminations.
On peut donc écrire Téquation (33)
VA l'on en lire inversement un développement de y suivant- '<^-
|)uis$ances de x'*
1
Ce développement, lorsque Ton donne successivenieiil ào*" ^sea//
valeurs, représente les n racines qui tendent vers zéro avec .::^- ^^
l'ait avait déjà élo signalé (I, p. .{58); nous en voyons ici la =^%«^-
licalion analytique.
Considérons encore le cas où — est nul pour x = y =^ o cl où
ox ^ «^ '
II. — FO!<CTION8 IH^LICITKS ET ALGÉBRIQUES. sSg
►'fwil^^. On peut tk'i ire réqiiâtion, en ordonnant par groupes
de lennes homogènes^
(35) F{jr.j) = <j>,(r, j)^tp,(j?, r)-^'' = ^*
Ji(£,y) désignant irn polynôme liomogène de degré i.
Le cueflicieot de y^ dans '^^i*'^^ x) n^éUnt pîjs nul |iar hjpo-
lliése, nous supposerons ce coefficient rgal à Tu ni lé; soit
Posons j^ = wx, l'équation (35) devient, en supprimant le fac-
(56) {u — a)( « — p ) H- j^ Qj f r , w ) -+- . . , — t>
tt, pour jc^o, admet, en supposant a et [i difTérents, les deux
racines simples u ^=:= x, a ^ p. [l v a donc deux racines de cette
équation i/| et £^3^ qui tendent respectivement vers a el p lorsque x
tend vers zéro, et qui sont holomorjjhes diins le domaine de Tori-
ginç» A ces deux racines Ui et a^ correspondent deux racines
bolomorphes i'-^ eiy» de réquaiion (35), dont les développements
commencent respectivement par xj: et jîx. — --
llnVn est plus de même si^^^x. On posera alors y ^ x(a -\- y),
et 11 nouvelle équation F|(jf, ç) ^= o^ obtenue en divisant par ^=,
îidmel encore deux racines nulles pour j: =^ o. Si -r-^ n'est pas nul
pourx^ f t= o, nous venons de viiir que les deux racines infîni-
>nent petites de Téqualion en i' forment un système circulaire; il
^n est donc de même des racines infiniment petites de Téqualion
^f\ y. Si les deux racines de Téquation en ç sont holomorplies,
conime dans le cas déjà ira île, il en sera de même des racines de
I ^^usiiion en^. Lorsque IVcjuation en v présenle la même ambi-
^ttùé que Téquation en y, 011 recommencera la ménie iransfor-
Wïation jusqu'à ce qu'on cirrive à une équation dont les racines
*oieot séparées.
W^rjuc tous les coefficieuis de t*^ ( j^, y f *oriî. réels^ el qu'au ue considère
^"c Ifï^ v>ileur*4 n-clle-s itilininieut petites des deux variables ^r, k, le pro-
w'èmc revient «i cimslruiic uue courbe afialyti<:ïuc dan^ le vorsiuii^^c d'un
t**>ifit douait^* Le tliL'oième de Weiei'ïitrasa permet de discaler faciienienl
toutes les formes posîîible'^. Eu etfeU les coefficients de F(^. y) éianl
f^efi, le» deux racines iuriniment |ietûes Vi el j^j *^nni lm ificmnu'ul réelles
G*, IL ty
sont à distinguerv pi r est irn^al^^
posons à positif, j- devra J'étreausii,
ago CHAPITRE XVII. — P0SCTJ0N8 W, PLtSlKURS VARIABLES.
OU imaginaires ctmjuguées lorsque X est réel, »^t |»ar suiie foni racines d1
il-quation du seeond tïejjré de la forn*»'
( 37) „r- -+- '2 F( .r ij - Q( jr , = o,
P{jp) et Q(:r) ôtunl des fonctions holomnrphe? à coefficients réels, qui !
nulles pour ^ 1= o. Un en tire f>aijr e\pre*si<»n de ces racines
R{j?) éiaiit atissi une foneliou holomorphe de a? à coefficients rrels. 1
est nulle pour j? =: o, Soient nrf* et 6^'' les termes de moindre dej^»f^
dans P(^) et R(ar); pour le« valeurs infiniment petites de ;r, R^j'Mi
signe de son premier terme, et on ne doit donner à j? quc^des valeurs r<
dant ùx^ positif. Cela posé, denx cas
r = ar'-h t, fej? devra être positif; supposons i
ei les deu\ valeurs de ^ seront données par un développement
dont tous les coefHcients sont réels. La courbe présente à l*orîgine
rebroussemeni de première ou de seconde esjiéce. Si r est pairr = îr\
y n*est réel pnur des video 1 s inliniinenl jielires de œ que si b est positiU
Si b était négatif. Tontine serait un pojnl double isolé» Lorsque b <
positif, les deu\ racines de Inéquation en j^ sont holomorphes et parTori
f^ine il passe deuit brandies de courbe ne présentant «lucune sin{[;u)afit^
Ces deux branches ont en général des tangentes distinctes, mais clt8(
peuvent atj'isi être tangentes l'une à l'autre.
358. Fonctions algébriques. — [.os Conclions im)ilicites
mieux étiidiée^ jusf|irici sont les fonctions algébrù^ues, déflnif^
pat* une f*qur*tion F(.2\ >')^o, dont le premier membre est uil.
[mhnoiiie entier indécomposable en x et y. On dit qu'iiri po
lynoine enlier est indécomposable lorsqu'il n'est pas possible!
trou vet* deux antres poïvuotiies eiiliers de degré moindre F, (x,J
et F2(j:, j') lels que Ton ail idenliquemenl
Si le polynôme ¥{x^ y) était égal à uu produit de cette espèce,!
est clair (jue Téqualion V{Xy y)^o pourrait être remplacée p*l
doux éqyfitions distinctes F|{j:, J'") = u, Fi(X,j^) = o.
Soit donc
réquation proposée de degré n en ^% '^(,, ^^1^ *.♦, ©„ rtaid dfl
K :=o, -p =o, on alilienl [>t>tir h^suIIhiU ini |iolynoiiie entier A(j:),
qui ne peut être iflenliqueiiienl uni, ji(iis<|ue F(x^y) est supposé
uidécoin[»o^alile. MiinpnMis d;ins It* pl;itj les jujinls ot^, %.,, . . .^ x^,
racines de rt'f|ii.iliori à{j'):^o^ et kî* points Jï,^ p^» *♦•? ^At
raciue* de îprt(jri = û» (|lleU]ln^s-llns des points a/ pouvant aussi
faire ptir lie des racines de ^^{^.t ) ^ o. Pour un point « diflTérent
Jes piiïnls a,, ^y, réqufition F(6fi j'')^=o a // racines distinctes et
linies ^,, 62, . . ., /^„. Dans le doiniiiue dn poiut ^/, l^éfpjatton (38)
•idiiift donc n met nés ln>lonïûi'plies qui leiideul respect ivcrnenl
▼ers jb,, frn, \ . . . ùft liK>rjue .r leud vers //. Suit a, une racine
deA(.i'> = o; rrH|iiiitioii F^a,, /) = o admet un certain noudjre
de racines êgiiles. jSupposons, par exemple, fpj'elle atiuiette p
racines égales à b. Les /> racines qui tendent vers h loistjue jc
lend vers «1 se parlagenl eu un cerliiin nombre de svslcnïcs cir-
Ciilaîres et les racines d'ni» rnènie svstrnie circulaire sont ie|ïré-
seiuées |iar un drveloppruicul eu série uidonirce ( suivanl les
ptiisjances rraclionnalres de x — a,'.\Si la val*'in' a^ n*aunule pas
Ço(jr)^ toutes les racines de rérjuation (38) dans le doiuaiue du
point 2/ se jiartu^eut ainsi en un certain nombre de sjstrnies clr-
nilaire"^, fauek|ues-uus de ces syslr-mes pouvant ne compieudre
"^ I une seule racine. Pour un [loiut Pj ipiî annule <5o(jr), (jnelques-
tlnesdes racines de réquatiou (38j deviennent infinies; pour étu-
dier ces racines, on pose^^ == — , et l'on est conduit a étudier les
l'uciûes de réquati^ut F, ( a:, y)=zy^**F(x, — ^j^ro, qui devien-
nent nulles pt>ur ./' = pj. Cas racines se partagent encore en un
^f'rlîiiij uondne de systèmes circulaires^ les racines d\in même
svslème étant représentées par un dêveloppeinent eu série de la
forme
Ht(^-
f?^o;
*^s racines correspondantes de Péqualion en ) seront données
ptr le développement
que i*on peut ordonner suivant les puissances croissantes de
^ga
CUiPlTBE XVU,
FovcTjONS m: ï»li!sii:i ns vahublks.
(x — ^jY^ llli^i^ ou aura au début un nom\ tre Jt ni «le lerme^
exposai! l s négatifs.
Piiur éludier les valeur** de y pour les valeurs infinies de jc, ou
pose X =i — j, et l'on esl ramené à étudier \es racines d'une éq na-
tion de même forme thiis le voisinage d*^ l'origine. /En résumé,
dans le domaine d'un |)a[nl qiwU^onqne jr ^^ a , les'/î racines «/ci
réf| nation (38) sont représentées par un certain nombre de séries
ordonnées sutvaol les ]>nissances croissantes de r — a ou de
(^jc — ay^ pouvant renfernter un nombre fnii de termes à expo-
sants négatifs, et ecl énoncé s'applique aussi aux valeurs infinies
de X, en remplaçant j* — oc par -•
Il est à remarquei' que les puissances fractionnaires on lt>
exposants négatifs ne se présenteul que (jour des points rxcq»*
lionnels. Les seuls points singuliers des racines de réquaïicui j»oqI
donc les points critiques anionr desquels quelques-unes de ce
racines se perm nient circnlaireïnrnl, et les pôles où qur!<|iiefr
unes de ces racines deviennent inlinif's; d'ail b'urs un point \m\
être à la lois un pôle cl un (joint critique* On appelle soiivC
poi/ifs singuliers algébriques ces deux espèces de points
sin-
guliers.
Nous n'avons ëlndié jusqu'ici les racines de Téqualiou pro(ios«
que dans le domaine d%in point déterminé. Supposons miiiiiK!'
nanl rpie Ton joigne deux points x^a, jt' = ^, ]>onr les(]iieJ
Téqualion (iiS)a ses ti ratines distinctes et linies par un idiciriiii^
ne passant par aucun poinl singulier de Téqualion. Soilj^^
racine de Téquation F( (?,>') = o; la racine j = /"(x) qui sen^c
à yt pour j: ^^ a est représentée dans le domaine du point a \
un développement en série entière P(,ï" — a) et Ton peut se pn
poser d*en trouver le |)rolongement analytique en faisant décrite
la variable l*arc AB. C'est un cas particnlier du problême géuérilÇ
el nous savons d'avanee que lun arrivera au point B avec un
valeur linalc qui sera une racine de l'équation Fi 6^ i >:
ln° 314). On arrivera cerlainenrent au poinl b au boni d nû
nombre /m/ d'opéralions; en ellel^ les ravons des cercles de caû*
vergence des séries représentant les diverses racines de Téqu*- '
lion F(Xj^) = o^ et ayant pour centres les diflérenls points du
II. — FO%CTlONS lAIPLlCtTES KT A l-liKÏHUQUES. 293
(^h^ïijirï AB. ont une Ifrnile inf<4'ieyre (*) o > o, puisque ce
chemin ne renferme a ne un point critique, el il est clair que Ton
pourra toujours prendre le?î riiyons des di^rérent!? cercles que Ton
utilise dans le prolougemeiil analytique au moins é^aux à o.
Parim ions tes cheiuins joigiiunt les (joints A et B. on peut
toujours en trouver au coriduisaitt de la racine v'i a Tune (piel-
cumule des racines de l'étpiation F(A, j')^o coiurae valeur finale.
Od s^appuie pour le démontrer sur la proposition suivante : Si
me fort et ion analyiif/ne ^ fie ia variable x riftdtnel que p va-
leurs dtstincies pour chaque valeur de x, ei si elle n'a dans
tout le plan {y compris le point à ti/t/îni} que d ex points sin^
guliers atgéhriques, tes p déterminations de z sonl racines
d'une équation de degré p, dont les coefficients sonl des fonc-
tions ratiiainf^iles de .r. Soient Zy, Z2^ ... Zp les p di'Mt^rmina-
iionscle^: lorsque lu variable x décrit une courbe fermée, ces p
taleurs ^|, z.^^ . . ., ^^ ne peuveul que s'échanger eutre elles» La
fonction symétrique wa = ^* -+- ^* -+- . . . -h w* , où k est un nombre
totier poâitif^ est donc une fonction unirormeJD'iiilleuis, celte
fCMïction ne peut avoir que des singidarités [polaires. En cflel, dans
•wdornaîue d*un point quelconque à dislauirc finie x = a, lesdéve-
0|»pr.inenls de^i, Z2^ -- .* Zp oe présentent cpTun nombre fini de
iGriues ù exposante négatifs. Il en est donc de même du dévelop^
penieDi de ei^. D'ailleurs, la fonction w^ étant uniforme, son déve-
loppement ne peut renfermer de puissances fractîcuinaires. Le
pointa est donc un pôle ou un point ordinaire pour Ufç^ el il en
Ide même du point à rinfini. La fonction uj^ t-st doue une fonc-
tion riitiounelle de x, cpicl (jue soil le nnujbre entier A"; il eu
'i par suite de uiètue des fnuctions symétriques siuq)les^ telles
Jue ïlzi^ ^2iZk^ . . . , ce qui «J«'"jnontrc le théorème énoncé.
Cela |>osc, supposons qu'en allant du point a à un autre point
uelconque x du plan par tous les cbeinins possibles on ne puisse
btenir comme \al*'urs liruiles que /f des racines de l'équation
s p racines r,, y^^ .,., yp ne peuvent évidemment que
• ) Il suffit, pvur le déniiintrcr i*ri toute rigueur^ d'un raisunnenienl dimlo^ue
dtii de la page \f\b.
294 CHAPITRE XVII. — FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES.
s'échanger lorsque la variable x décril un contour fermé, et el/ ^e\
jouissent de toutes les propriétés des p branches S|, :;2. ..., _ ^f
de la fonction analvlique -3 que nous venons d'éludier./On en c(^0K=^"-
clut que l'i, j>'2) • • '^Xp seraient racines d'une équation dedegrt^^^^/'
F|(:r, ^') = o à coefficients rationnels. L'équation F(x, >*)=== o
admettrait donc toutes les racines de l'équation F,(a:, j')= ^
quel que soil or, et le polynôme F(x, y) ne serait pas indécor -^n
posable, contrairement à l'hypothèse. Si l'on n^apporte aucu «nt
restriction an chemin décrit par la variable x, les n racines * (l(
Téquation (38) doivent donc être considérées comme des branchr^ us
distinctes d'une seule fonction analytique, ainsi qu'on Ta à^^méjk
remarqué sur quelques exemples simples (n° â64V
Imaginons que de chacun des points critiqués on trace une c^kdu.
pure indéfinie de fnçon que ces coupures ne se croisent pas eiM tre
elles. Si le chemin suivi par x est assujetti à ne franchir aucmjne
coupure, les n racines sont des fonctions uniformes dans tout Je
plan, car deux chemins ayant les mêmes extrémités pourroiW ^e
ramenei- l'un à l'autre par une déformation continue sans travers ^c
aucun point critique (n"3i3). Pour pouvoir suivre la variatfci::^^
d'une racine le long d'un chemin quelconque, il suffira de co^^*^'
naître la loi d<' permutation de ces racines lorsque la variala^ — "^^
décrit un lacet autour de chacun des points critiques.
Remarque. — Ce qui rend l'élude des fonctions algébriques relativeniM pp^
facile, c'est qu'on peut déterminer a priori, par des calculs algcbriqc— :ae>.
les |)oiuis singuliers de ce*; fonctions, fl n'en est plus de même en génfc=^rai
pour les fonctions implicites non algébriques, qui peuvent avoir des po "iflts
singuliers transcendants. Far exemple, la fonction implicite ^(a^) dêt~5n/e
par réqualion ey — x — i =o n'admet aucun point critique algébri-^Li^ue,
mais elle admet le point singulier transcendant x = — i .
359. Intégrales abéliennes. — Toute intégrale I =: | R(x, j) </^^
où K{Xyy) esl une fonction rationnelle de x et de r, et où r *=^^^
la fonction algébrique définie par l'équation F(.r,y )= o, esl u ^^^
intégrale abélienne attachée à cette courbe. Pour achever ^^
déterminer celle intégrale, il faut se donner la limite inftTicure 0::^=^»'
et la valeur correspondante Vo choisie parmi les racines de l'éqih- '^
lion F(.ro, J')= o. Voici quelques-unes des propriétés généraï
les plus importantes de ces intégrales. Quand on va du poiul ^*
es
/
11. — roKCTiUXS L\ll LÏ<:irK^ KT ALGÉBlUQtlES. ^gî
un poiDt quelconque T jjui' luus les clieiniiis possibles. Uni les
les valeurs de Tiiilt^grale \ au ni cndipils^s dans TutH* dfs foroïiiles
I — I4 -+- /7ït tiij — ffi^ W; ^. . . -t.- iUfijif,^ {k =1.1» ... /i ),
[», Ij, .♦ . If, étant les valeurs de rintégraU^ (|iii (correspondent à
[certains chemins dcUerminés, m», ma, ... tHr des nombres entiers
arbitraires et (jJ|^ oj.j, ... ta,- des [îériodes. Ces pf!riod<*s sool de
deux sortes; les unes [>ro\iennenl de lacets di^crits auloiir des
pôles de la fonction K(x, k); ce sont \ei> périodes /oif lires. Les
autres proviennent de contours fermés ijp[)el«^s Cicies, entourant
plusieurs points critiques: ce sont les [Ȏriodeb cyciiqaes. Le
nombre des périodes cvcïicjues distinctes tïe déperïd que de Li
relation al*;ébrî*]ue considérée F(jr, )')=o; il est égal à %p,
p désignant le £;enre de celte conrhe (n*" 340). Au contraire, le
nomlue des périodes polaires peut être quelconque. Au puint de
vue fies singularités, on distingue trois classes d^iutégrales abé-
lieoiies. On appelle intégrales de première espèce celles qui
fesleot finies dans le voisinage de toirte valeur de j?; si leur
"lodtjlo augmente indélininient, ce ne peut être que par Taddilion
J une infinité de périodes. Les ijilégralcs de seconde espèce sont
celltsqni admettent un pôle unique, et les intégrales de iroisième
^^fiéce admettent deux points singuliers logarithmiques. Toute
i^itp|j;rale abétienne est une somme dVintégrales des trois espèces,
^l le nombre tles intégrales distinctes de première esj>èce est égal
^ti genre.
LVtiide de ces intégrales se fait très facilement k Wilâe de
***rfaees planes à plusieurs feuillets, appelées suriaces de Hie-
"•3im. Nous n'avons pas à nous en occuper ici. Nous donneroos
*®u|enient, à cause de son caractère lout à fait élémentaire,
*^ démonstration dSrne proposition fnjidanientalej découverte
P^rAbel.
3(i0. Théorème d*AbeL — Pour énoncer les résultats plus faci--
'^Hieol. considérons la courbe plane C représentée par Téquu-
tioû F(j:, j^)=u,el soit 4>{^r, >')=o l'équation d'une antre
*''<iurbc plane algébrique C. Ces deux courbes ont N points com-
tï^uns (,ri, j'i)^ (j"2,j'2)t - * *, (jr;^, K^)(le nombre N étant égal au
ptoduil des degrés des deux courbes). Suit ïi{x^y) une lonetîoo
KMJ 3.fc^ra£ 1-1. — sO^.TlO.'^ê DE n.r=I£CftE TAUABLES.
I 5. r. T x.r ie::^(:riaac /-ntjftcriie abêlienne prise depui** ^
la i-}iiic âxft X» irsiu Ali }«iiac x. àoîv-^at un chemin qui coi^^^^
Mil ^oar ie a viieMr iniLia.e r, i u valeur fiaale v/, et »
vâie^ir .a:-^it* v, ie v -ftant a même pour toutes ces iatégral^^^
r -t^c ::.kir ri'f a Toaune I a «^^ •i*fleniiinée qu'à uae péric^ ^^
prvrî. ::: m ne :aat_'aa'f ie* inte^raie» eiles-mémes. Imaginc^Q^
HA -lu^ggi: la^f ri*f:«r^<^^s— ^^^ 'i*^^ eo^tficîenls a,, a^. . . ., a^ <fti
coTi'in-' '• -T- r -sCi^zLî. «snabies. Lorn^ue ces coefficients varienf
i' 1:1*^ jia.i.«*r'» :oa::aat*. ••< poi a Ls x- varient eux-mêmes d'une
au3.:«e7?f c::arai«e. -fC ■.ors^'i*; lacua de ce5 points ne passe par un
ie? poini^ie li^coa^aïiL- «ie iiaLe^nle / R x* v)rfx, la somm^ I
vir> cl.-fHiièaii i 'iae aïoii -îre continue, poanru que Ton suive 5*
v^ri^doc coaûz.jAf i** cSLiciiae de> intégrales qui \ figurent to ^*i^
ie loaz i:: riieaiiz d^^rit p^ir .^ [imite supérieure correspondance ^-
La s<jmiBe I esc donc une toactioa des paramètres a%^ a^, • • «^ ^^^
dont n:u? aSIo::!^ chenrlier Li torme anal v tique.
Dé^i^nons j'une ta^>a générale par ^V la différentielle tot^^aJ^
i' ir.^ !<:a:tioc qaelconque V par rapport aux variables f ""Ttn
: V = — -a — . . . c<i4,
^ > -' iv :d-. d après la tormule -^9 ..
b*:^ ':*- .1 relâtioD> F x^. »\ = o, ♦ X;, Vx''= u, on lire
'^r. '. y. = t>. CX; G Vr 0<P| = O.
'fy OV: - t»X. tfV| -
^' p^f %fi»ie ox,= H' X,.». o*/. TvXi. V|^ étant une foncr f/on
f-pîi^f.ri" Ud'f X.. V,, a,, «. c/^, et ^f étant mis pour4>^x/. ^*>>.
n. — rONCTIO>'S lUPLfCITES E^T ALGKBHIQUBS.
xs avons donc
n7
rA =^n{j^i,y()W{Xf,ji)^^r.
czoefficient de oc/, dans le second membre est une fonction rai Ion -
fB^ lie svniélrique des coordonnées des N points [jr^^ y^) comnmns
!ii-^B ^ deux conrbes C, C; la théorie de l'élirninatiun prouve ciue
.c'^^sl une fonction rationnelle des coefficients des daux po-
1%* nomes F(x^y) et 4»(*r, r)? ^^ P»*^' suite urje fond ion ra lionne! le
d^ «3,, aaj • • -t ^*- " ^^ ^^^ évidemment de même des coeHreieiils
de S«3, , , ., Sa*, et l s'obtiendra par Fintégralion d'une différen-
tielle toute
■/
= I TTiOai-h TttOaj -H.
lï* ««*♦
où t:», TTa, . * ., 714 stJi't des fonctions rai ion ne] les des variables ri, ^
^*2» ...,«4, Or rinlé!;ralion ne peut inlroduîre d^aulres transcen-
da nies que des logariihrues, La somme 1 ^5/ donc égaie à une
/onction rationne/Je des coejfîcients a, , fi^, . . . , aky tiugmentée
d'une somme de iugttrlthmes de fonctions rationnelles des
mêmes coejfîcients, chue an de ces fogarif/tmes étant multiplié
par un facteur constan l. Telle est, sous sa forme b plus g;énérale,
'énoncé du théorème d'AbeK En langage géométrique, on peut
^'fe aussi que la somme des valeurs d^ane intégrale abélienne
^^^Iconque, prises depuis une origine commune jusqu'aux N
POirn.is d' intersection de la courbe donnée avec une courbe
'^^^i<ible de degré m, 0(j:, j^)^o, est égale à n ne fonction
^^^€r>nnelle des coefficients de <I>(:r^ j^), augmentée d'une
^^*^ éne d'un nombre fini d*' logarithmes de fonctions ration-
^^^es des mêmes coefficients, chaque logarithme étant mul-
^^ ^ ié par un facteur constant,
, ^— •€ second énoncé paraît au premier abord plus fra|ipanl; mais^
I» ■'^ s les applications, il faut toujours se i-eporler \ii\v la pensée à
*^oncé analytique pour évaluer la variatioti continue de lu
*^*ime I qui corresponrl à une vaiiation rontinue des para-
, ^Ires aip a2, * • ., «a. Le théorème n'a de sens précité que si Ton
^ ni compte des chemins décrite par les N points .r^, x^, . . . , Z^
^^r le plan de la variable x.
L énoncé devient d\ine stin|*ltcité reuiarquable lorsque Tinté-
298 CHAPITRE XVII. — FONCTIONS DE. PLUSIEURS VARIABLES.
grale est de première espèce. En effet, si 7t, , tto» • • • * ^ifr n'élaie
pas identiquement nuls, on pourrait trouver un svstème de
leurs ai = tfj, ..., ak = a\ pour lequel I deviendrait infi -^-^
Soient (x\ , y'^), . . . , <>«, J'i) ^^s points de rencontre de la courb ^^ (
avec la courbe G' qui correspond aux valeurs a\^ . . . , àf^ des p^r:— ^.
mètres. L'intégrale / Rij:, y) dx augmenterait indéfinim^ ^/
lorsque la limite supérieure tendrait vers Tun des points (^/,^/ J'^
ce qui est impossible si l'intégrale est de première espèce. P-^"^
suite, on a ol =r o, et lorsque «», a^» • • • » a^^ varient d'une manié "^^
continue, I reste constant; le théorème d'Abel peut alors s'énonc^**^
comme il suit :
Etant données une courbe fixe C et une courbe variable
de degré m. la somme des accroissements d^une intégrale ab ^
lien ne de première espèce attachée à la courbe C, le long (f ^
lignes continues décrites par les points d'intersection de ^
avec C, est égale à zéro.
Remarques. — Nous supposons que le degré de la courbe ^
reste constant et égal à m. Si, pour certaines valeurs particuliè^^r^<
des coefficients a,, a2, ..., «a, ce degré venait à s'a bai s^ ^s;
quelques-uns des points d'intersection de C avec CJ devraient ^^ ^rt
considérés comme rejetés à Tinfini, et il faudrait en tenir -con^. ji>fe
dans l'application du théorème. (Mentionnons aussi cette remai* <zj i/e
à peu près évidente que, lorsque quelques-uns des points d'im^t^r-
seclion de C avec C sont fixes, il est inutile de faire figure ■:• Je*
intégrales correspondantes dans la somme I.
361. Application aux intégprales ultra-elliptiques. — Les a/jp»/i-
calions du théorème d*Abel à l'Analvse et à la Géométrie sont
extrêmement nombreuses et importantes. Nous allons calcim 1er
explicitement ol dans le cas des intégrales ultra-elliptiques.
Gonsidérons la relation algébrique
(4o) y^= K{x) = Ao:r«P-^-î-4-. A,a7*/'-^»-t-. . .-h Ajp^.,,
le polynôme K{x) étant premier avec sa dérivée; nous suppôt ^^"
rons que Aq peut être nul, mais que Ao et A^ ne sont pas nuls ^^ ^
fois, de sorte que R(j?) est de degré 2/? H- i ou de degré 2/) H — ^'
)
||< — fOXCTlOxNS IMPLlGifE5 ET ALGÊBRIOUES, 390
[iSoit Q(x) un polvriorijc qrN:l('(Hi(|U(' de degré q; prenons ponr
orî^îne ime valeur Av x iraunuliint pas Rf.r), el soit y^ une
racine de l'équaLioo >*- ^ R(x^)). Nous poserons
rinlé^rale étaiil prisr suivant nu cIh'uiiu alî;inl de Xq à :i\ et y
Aé^l^^nl la valeur rînyle du r!uiic;il y R(jc) lorsqu'on pari de j*o
iivec la valeur 1',^. Pour éLirdier le système des |>njnts d'inlersec-
lioij de la courlie C re[Mésentée jnir réquation (/lO) avec une aulre
c«mrbe algébrique C^ on peut évideinmeuL remplacer dans l'équa-
lion de c<^lle dernière euurUe une [luîssance paire dey, telle que
V*'", par [Rl.r)]'" et une puissance impaire y-'^^ par >^[R(.r)]'**
Ces substitutions éttint faites, l'équation obtenue ne renfermera
plus j^ qu'au [>rejnier degré et Ton peut supposer Téquation de la
courbe O de la forme
/{xjei c^(^) étant deux |tolyn unies premiers entre eux, de degrés X
et }i respectivement, dont nous su imposerons quelques-uns des
coefficients variables. Les abscisses des points d^iutersection des
Qeu\ courbes i] et C sont racines de Téquation
"^ degré M. Pour certains systèmes particuliers de valeurs des
^^^^'Heîents variables dans les deux polynômes /(x) et 0[x)^ il
P^tit se faire qire le de^^ré de Téq nation soit inférieur à N;
T^**l<|ues-uns des points d'intersection sont alors rejetés à Finfinij
^•s les inté|^rales correspondantes doivent figurer dans la somme
9'*^ «ous allons étudier. A toute racine Xi de I équation (^'à) cor-
[ ^^pond une valeur de y bien dèirrminée ri^=^ -^^^Q, Cela posé,
'* sidérons la >oiume
1 =
Itko
**s avons
aj-y
Q(^/)oj^
^y 01
^n^irt)
^ /rTîT) -^ /^-^'^
fiXt,
3oc> CHAPITRE WIL — FO?«CTïa?rS DE PirStECaS VA!!14BLE9,
car la valeur finale du raJk'jil :hi puiiU Xt doil être é^sile à j^
cVsL-à-dire k ^ [r D'autre pari, de TéqualioD i(jr/)= o, on ûm
i'( jTi } ùûPi -T- '2 R ( :r/ } o ( Tt ) o^j — a/( j", ) 5// = o
el, pur sHjle,
OU, en LenaiiL compte de l'équation (4^) elle-même,
}
û
ri3)
_^ ^ÇK^fH^i^/f/i^'^i)
il -2
f (^l)
Calculons par exemple le coefficient de 5^^ dans Zlj a^ étant
coefiîcient suppo'ïé vaiiable de :r* dans le polynoin*^ Ji^)*^ ^^k r
figure pas dans S'^i et il est mulliplié par ^'* dans 5/*/, Le coefi!
cient cherché de orif, est donc éj^al à
s s
en posant ît(j7) ^ Q(^)!p(x) j:*. La somme précédente doit et»
étendue à toutes les racines de féqualion ti(x)^o; c'est un
fonctioû rationnelle et symétrique de ces racines, et par suite ui::
fonction rationnelle des coefficients des deux polynômes /[jc
et f{j^). On peut en faciliter h- caictd en observant que y 77—
est éeral à la somme des résidus de la fonction rationnelle 4—
relatifs aux. N pôles à dislance finie x^y x^, * * -> x^. D'après um
proposition générale, cette soïume est aussi égale au résidu relat
au point à finliai changé de signe (n'^SfO), On obtiendra do
le coefficient de ùa/ç par une simple division.
Il est aisé de vérifier que, si l'intégrale ^{x^y) est de premiers
espèce, ce coefficient est nul. On a par hypothèse qlp — i: t
degré de ^(x) est ^ -f a H- A" et Ton a
■e
■e
-)
il
mt
-re
le!
Cherchons le degré de *^{x). S'il n'y a iuicune réduction enlr
Il, — FliNmONS IMI'LtClTES ET ALGKBHIQIES. 3oi
les termes du pJus haut degré de R[.r)'f^(x) et de /'^(.r), on a
d'où
et n fortiori
A -t- (JL -h/ï ^ il N,
S'il y avait r/'dîiclion entre ce^ \\v%\\ termes, on auraJl
maïs le terme ak^^"^^ ï»e pouvant se réduire a ver aucun autre on
durait A + A-^ N, d'où la même inégalité (|iie luul à riieure. M s'en-
suit que l'on a toitjours
*-^ résidu de la touctiuu rationnelle '' relatif au pointa l'infini
^st donc nul, car le développement commencera par un terme
^n — » ou de degré supérieur. On verra de la même façon ijue le
CoefGcient de 56^, dans ol, bh étant un des ooefficienls variables
du polynôme ^(x)» est nul^ lorsque le poljnome Q(x) est de
degré p — \ ou de de^^ré inférieur. Le résultat est Lien d'aceord
avec la théorie ^^é né raie.
Prenons par e\ein[Je îp{.r) = i, et posons
de, «f, • • *i cipél^nlp -\- i coefficients variables. Les deux courbes
se coupent en np-f-i points variables, et la somme des valeurs
de Finiégrale v{x. y) depuis une origine commune jusqu'à
ces %p -i- I points fF intersection est une fonction aigèbrico-loga-
rithtnique des coefficients a„, a , (t^y. Or, Ton peut disposer
de ces /^-J- i coefficients de façon qnf/> -|- i de ces points d'in-
tersection soient des points quelconques donnés à l'avance de la
courbe y^= ^i-^)? elles coordonnées des/? points restants seront
des fonctions algébriques des coordonnées des (/>-i-i) fïoinls
donnés.
3o^ cuwum: wrr, — PorscTior^s de pLi'siEUHi vihiablrs»
La siMunie de^ p -h i intégrales
prises depuis inie origine comuHine jusqu'à /? 4- i points arfci^*"*
tniires, vsi donc «^{^ale à la somme de p intégrales dont les limic €*a
sotiL des fonctions algébriques des coordunnées
(^nji) i^/>+\.rt^i\
augmentée de quantilés algébrico-logarîlhniiques. Il est clair qi^e
|iar des réducUons successives la proposition s'étend à la somme
de rn inlégritles, m étant nn nombre entier quelconque supériet^r
à /?. Eu iturLicnliery la somme d'nn nombre (juelconque d*int«^^
grales tie prctïiière espèce [)enL se ramener à la sojfime de p iul «*-
grales seulement. Celte propriété, qui s'étend unx intégral e^
abéliennes les pins générales de première espèce, consLitue le
théorème daddition de ces intégrales,
Dan*i le cas des intégrale* elliptiques de jiren>i«}re espèce^ le llit-uréFité
d'Abel conduit préciséoienl à la foriuuli' «l'adrljiïoQ |)oai la foiicliQn p MM*
Considérons nu effet la eubicpie normale
et aoitfnt MilJ^nJi), M^TTï^ Kj), M^ixa^ ^3) tes points d'rntei section Je
cette cubique avec une droite D. D'après le lhéi>ré«ie j*ériérai, la soranie
f.
<j"i*yi)
d3P
est égale à ane période, car les trois poiats M,, M^, M^ sont rejetés *
rinlini, lorsque la ilroite D s'en va elle-méïue à riniini. Or, si Tonemploï^
la représentai iun [paramétrique jc — pu, y — p' tt pour la cubique^ lepa*"*"
I et
, , . ,. . , /' '^ dx
mctri* u est précisément égal a t inte2;rale / —
formute précédente exprime que la somme des arguments «t. Wj. «i «^ "^
correspondent aux trois points IVIi, fVK. M,, est égale à une période. Me» ^^
avons va phis haut commeol cette relation est équivalente a b form«^ "^
d'addition relative à la fonction pu ^ n* 338).
36^. Extension de la formule de Lagrange. — Le tbéoretne geai-'^^
sur l<is lonetiiins implicites délinies par an système déqualionï siaitJ'"
tanées (1^ n" 188 J s*éLend aussi aii^t variables complexes, pourvu que V^^
t'QPfCTlON'S IMPLICITES KT AtGl^BlUOtliS.
3o3
e<»rve li»^ autres livpolhéses de l^cnonré» Considcrans par exenijilc les
Aeuic. équations simuttani^es
»
i
se €Vy sont «les variables roni]dexcs,y(dr, y)t\. ^{s:^ y) des fonetÎQtis
lolomorphe* de ces deu\ va Habitas dans le voî^ina^e du sysième de
ifaleiir> T = a, r = ^- Pour ît = o, fJ == o^ les équalioHs (44 ) admeltcnt le
, , , D(P. Q) ...
iirsleiiie de ^ululions i' =^ a, y = o. et le dnerriuiiani -— ^- se réduit
k Vanité. Donc^ d'après le théorème général, les équation!; (44) ^'^^^^'('^'■i^
un ^yçtéme de racine!* ei un seul tendant vers a et b respertiveuieiit
lorsque a et 3 tendeni vers xén», et ces racines sont des fonctions holu-
inorplies de 1 et de Ô. Liiplace a étendu le premier à ce svslénie d'rqua-
tioD«i]a formule de Lagrîinge(n" 3(Kh,
Supposons, pour fixer les idée?!, que des points a et b comme centres on
•ïécrive. dans les plan* des variables x et y respeciivementT deu\ cercles G
ciCde rayons ret r' assest petits pour que les fonctions /"(j?,^) et ^{x^ y)
notent liolomorphes lorsqtie les variables j* et ^ re^tenl d l'intérieur des
cercicç C, C\ ou sur ces cercles eux-mêmes; soient M el M' les valeurs
Qia\iinuni de \f{^> y )\ et de |^( jt, ^>')| dans ce domaine. Nous supposerons
<J« plus que les constantes a et ^ satisfont aux conditions M |a|<r.
Cela étant, donnons à .r une Videur quelconque, à Tiiitérieur de G ou
^iT le cercle lui-même; IVqitritifoi {^{jc^ y)i= o est véiiliée pour une seule
^«Iciir de >■ il rintérieur de t.', car l'ar^înment de y — h — -fJtp(x, y)
*»Jgnientc de a7r lorsque j' décrit G' dans le sens direct (n" 307). Cette
racirïe est une fonction holomorphe jj = ^{^) de .r dans le cercle G, Si
l'^n remplace y par cette racine j'j dans P(-r, Y\ ), IVquation obtenue
'^~-a — %f{Xi y\ ) = o admet une racine et une seule à l'intéiieur de G^
P^J**' h même raison que tout à llieure.
^oit j?=: I cette racine» elsoitr^ bi valeur cor ces pondan le de j% tj = 4^(Ç).
'*•* f^tJrmule de Lagrange généralisée a pour but de développer suivant les
Puissances de a ei de El toute fonction F( J» ïj ) bolomorpbe dans le domaine
1**^ nous venons de délinir,
'considérons puur eelii l'intégrale double
1= fdrf
F(j^, y)dy ^
'^^^nt un point du cercle C, P(.r, r) ne peut s'annuler pour aucune
*'leur de >' intérieure à G. car rar^arnent de x — a — ot/(^, )') revient
'"^^^ment a sa valeur initiale lorsque y décrit G', jr étant un point li\e
^* Le seul pôle de la fonction sous le signe intégral, considérée conjnie
^**cUon de la seule variable^, est donc le pûle^=^|, donné par la
^*Ciiiç (Ju Q(J?|>')= o, qui correspond a la valeur de x située sui le con-
>ur C, et l'on a, après une première intégranu..,
Le second membre, si l'on y suppose^] remplacé par la fonction hc^^***"
morphe i}/(j7) définie plus haut, admet à son tour un seul pôle du prcu-^ '*''
ordre à l'intérieur de G, le point ;r = {, auquel correspond la valeur/j =s=^ ^t
et le résidu correspondant est, comme le prouve un calcul facile,
2tirF(Ç, r.)
rDTPVQ)]
L'intégrale double l a donc pour valeur
1 = — 47:»
D'autre part, on peut développer ^^^ en série uniformément con*
gente
I ^ fit"» 3"/""* o*
ce qui nous donne I = 2J;„«a"»p'», où
Cette intégrale a déjà été calculée (n" 352), et nous avons trouvé qu elle
est égale à
m ! n ! da'"^ Ob'*
En égalant les deux valeurs de I, on obtient la formule cherchée ?<"'
offre une analogie évidente avec la formule (5o) (n° 309)
( /i'\ __Ell:_!lL_ - W ^""^^ <^^^*^"[F(a, b)/"'(a, à)^»(a, b)\
ri>(P, Q)]
m n
On pourrait obtenir aussi une seconde formule analogue à la for-
mule (5i) (p. rti) en posant
mais les coefficients de cette seconde formule sont moins simples qui
dans le cas d'une seule variable.
CHAPITRE XVIII.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.
MÉTHODES ÉLÉMENTAIRES DTNTÉGKATION.
I. - FORMATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.
363. Élimination des constantes. — Considérons une famille de
courbes planes représentées par ré(|ualion
(i) Fia-, ^, Cl, Cj, ..., c„) = o,
qui dépend de n constantes arbitraires. Si Ton attribue à ces con-
stantes des valeurs déterminées, mais quelconques, les dérivées
successives de la fonction v de la variable x définie par l'équation
précédente sont fournies par les relations
dF âF ,
) O^F d'^F , ^ d«F
(a) ■"'*
en s'arrélant à la relation qui permet de calculer la dérivée
(l'ordre n, on aura en tout {n -\- \) relations entre x, y, /•
y\ . . . , r ", et les constantes C|, ^2, ..., c,,. L'élimination df
ces /i constaiiles conduit en général à x\\\q. relation uni(|ue entre J
D'aprrs la façon même dont cetle équation (3) esl ohlenue?
est clair que loulc fonction définie par la relation (i) satisfa ^
l'équation (3), quelles rpie soient les valeurs attribuées aux c-*-
slantes C/; on dit «pic c'est une intégrale particulière de Vôa\ '
™J
I
^
I. — POHMATION DES eOtATMiX-S in?¥éREÎ^Tïm^^^^ 3o7
érentielle (3). L't'nsemlile de ces inlé^rriles parlîculières
rtû i*intê<^raie générale de la même équation. Pour eniplover le
' lauga^e géométrique, ce qui est souvent commode* nous dirons
lussi que louie courbe rrpréï^eulée p.ir Inéquation (i) est une
courbe intégrale de réquatioti (3), ou que Téq nation (3) est
Téqualion dinéreiuiclie de la famille tie eourbes considérée. Nous
voyons que l'ordre de réqtia'.iun dilléientielle est égal au nombre
(les ccinslantes^ arbitraires dont dépend celle famille de courbe
Il est clair du reste que le raisonnement ne prouve nullement qne
i'ftHialinn (3) n'admet pas d'aiilres inté'^rales que celles qui sont
I repré'^enlée'» par ré{|uaiion (j) ; elle peut en ellet en avoir d'autres,
cumnie ou le verra un peu |i(us loin*
Tout ceci ne s'applique pas aux cas exceptionneh où rélîmination des n
paramétres r; ralrt* les ( w -*- i) relations O) <-t (a) CMniltiirait â plusieur**
fcbiion* dbnncte» entrer, j-'^ j^'j y*, ...»j^"*'.On pourraii alors en trouver
in* ne renfcrmr*nt pas y^**\ de sorte que la faniillc de courbes considérée
«erait formée par tes courbes intégrales d'une équatiou dinéreiitielie d*ordre
*iiféri<Mir à n. Ceci aura lieu ^'\ ces cnurbes ne dêpendtîiu en réalité que
tï* n — p paramétres i/?>o); par r\t m|ile les couibes représi'ntéesj par
■ <*(|ii}itiini FI./-, y^ ^{o^ ô)l = one dèpeiidenl qu'en appnrence de drhx
paramètres arbitiaires a cl 6 : en réalité, elles ne ik-pendent que d'un seul
paramètre variable e =: <f(€i, h). Mats il peut aussi se produire un abaissr-
iticnt lie Tordre de Tôquation ditFért'iitielle dans u» autre cas. Par exemple,
tc% l'ourbes reprt^seiitéf si |>ar rêv|uaiiiin ^r' = 'xaj^y -^ bx^ dêpeudeni bien
de ijcu\ paramétres dislincrs <i et />, cl rependant, ces couihes satisfont
lotijrmrs à IVcpiation y =^ .rr'. Ceci tieol à ee que ces eourbes >e dtCiim-
p*>5<îni en un sysiéine de ileux droites passant par l'origine, ei que chacune
d'elle* est une intégrale de Téqualiou y — jy\
Erempfes. — Les droites passant par un |*ôint fixe («, 6) sunl reprë-
*enif€i par l'équation
'4' y — b — C{3: — a},
«t <iêpritdrtii d'uM paramétre arbiliaire C, L'élimination de ce paramètre
^»tre la relation prt'eédenle et lu relation j' = C conduit immédiatiMnent
à IVt|uaijon difTéretuielle
*■* ce jyst^iïic de droites. Juvei seinr-nl, un peut rcrire l'équation (5)
y — b ^ X — a
3o8 CHAPITRE XVIII. — MÉTHODES ÉLÉMENTAIRES D* INTÉGRATION.
et par suite toute intégrale de cette équation vérifie la relation
Log(^ — 6) = Log(:c — a) -f- LogC,
qui est équivalente à l'équation (4)-
L'ensemble des droites du plan, j = G| a» -+- Gj forme une famille
paramètres, dont l'équation différentielle esty=o. La réciproc
immédiate.
Les cercles d'un même plan
(6) a:*-+-j'*-h aAa? -h 7.B^-+- G = o
forment une famille à 3 paramètres; Téquation différentielle corr
dante doit donc être du troisième ordre. En différentiant trois
relation précédente, il vient
(7) . ^-^ • '
l'élimination de B entre les deux dernières formules conduit à l'éq
cherchée
W /"( I -4- y^) - zyy"^ = o.
Les seules courbes du plan satisfaisante cette équation sont les c
et les droites. On voit d'abord que les droites sont des intégrale
l'équation est vérifiée si Ton a y = o, et par suite y"' z=z o. S
sons^T^o; nous pouvons écrire l'équation (8)
y _ 3.r'.r'
y" 1+/'
d'où nous déduisons, Ct étant une constante non nulle,
'^ogX= _-Log(i --y») -f- Loge
' = C.
(i-H-y*)'
Une nouvelle intégration nous donne
^ =G,:r-t-G,
y/l^/
/ ÇL?l"t_9? .
3lO CHAPITRE XVlll. — METHODES ÉLÉMENTAIRES d'iNTÉGRATIOX.
éqiialion différenlielle donnée a priori possède des intégral^^^*
C'est là une question fondamentale, que nous reprendrons au Cl^^ma
pitre suivant. Nous allons d'abord passer en revue quelques Ijp -es
simples d'érpiations diflerenlielles du premier ordre, dont Vini^^ ^-
gration se ramène à des quadratures. L'existence des intégral*^ es
sera établie par la méthode même qui servira à les obtenir. Si, g — =*u
point de vue de la logique pure, celle marche peut être critiqué^ -c,
nous observerons simplement qu'elle est conforme à Tordre hisl— i^*-
rique.
364. Séparation des variables. — Le type le plus simple d'éqi^ a-
tion difTérentielle est Téquation déjà étudiée
(M) $=/<->•
OÙ f{x) est une fonction continue, si la variable x est réelle, el
une l'onction analytique si l'on regarde la variable indépendante jr
comme une variable complexe. Nous avons vu que cette équation
admet une infinité d'intégrales que l'on peut représenter par l^
formule
jr=J f{x)dx + Q,
la limite inférieure Xq pouvant être considérée comme fixe, et ^
désignant la constante arbitraire. L'équation
(..) ^ = ?(^>
se ramène à la précédente en ^ considérant j^ comme la variable
indépendante el x comme la fonction inconnue; on en lire ^^
effet -T- = — — - et par suite
dy «p(.r) ^
D'une façon générale, lorsqu'une équation différentielle ^*'
premier ordre est résolue par rapport à la dérivée de la fondis"
inconnue, il est souvent commode de l'écrire avec la notation
différentielle
(i3) P( j-, y)dx-^Çl{x, y) dy=zo\
II. — ÉglATlON» Dl- iVHRMItiH IPKDHK. 3ll
, celle forme ne préjiif,'^ vn rien h c\un\ de la va liai île itidépen-
hlaiile qui peut être ./• hm }\ Si To» veut substituer inix variables je
Bel j^leux nouvelle:^ variables u el i\ il sufllra de remplacer dans
B' équation \ l^) T, y, dx, dy j>ar leurs ex (>i estions au nioven de u^
H^f rf«, ftv, Reiiirinpious pneore rjiie Pun |ïeul, *iarjs changer les
înli'grales de IVipiaMon {i3), inultijilier ou diviser les deux termes
(parim rnénie facteur [jL(jr, >-), pourvu que Too tienne coui|>te des
Sol Niions de ré(|ualion ^[x^y)=^ o que Ton peul faire apparaître
l>u supprimer. Les deux cas parlienliers que nous venons de traiter
se rattachent à un procédé plus général^ la séparation des va-
viablvs. Si une ëquatioii difléreutlelle du premier ordre est de la
roriîic
U4)
X dr ^ Y dy = o^
X et Y ne dépendant que de x et dej^ respecliverueul, ori dîl que
les varia ùf es sont séparées* L'équation s'inlègre par des (|uàdra-
lures, car, si l'on pose
Il = f XdT-^ f \ dy,
cette équation peul s^écrire rfU = o, et l'intégrait» générale est
fqirésentée par la relation U = C.
L équation
(i5) XY,rfjr-r-Xj Yf/r = u,
OÙ X et X, ne dépendent que de ,r, Y et Y» ne dépendent que
'I^JKi se ramène à la forme précédeule en divisant les deux termes
P^ï^X, Y|. Observons sur cet exemple que Ton supjirime ainsi les
soltHians des deux équations X» =^ o, Y^ =^ o. Il est i ïair, en efTel,
^"ç si y ^n b est une racine de Y^ ^ o, f * = 6 esl une intégrale
^''- Inéquation proposée, taudis qu'elle ne sera pas comprise, en
§^«éral, dans Pinlégrale j;énérab? de la nouvelle équation,
060. ÉquatioiLS homogènes. — On appelle équalîou homogène
M^Ute équation de la forme
(115)
^^ f( y
dr
/(5)'
1^ le second meml»re est nue fonction homogène de degré zéro *
3rî
ClUPfTIVK WML
MÉTIIODES KLKWKMIIHKS II 1>TKGR4TI0X
On la ranit^rie à iiïi«" fnïme inlégrable en |M»>iiTït i* ^ // r, \p^ no%
vellf^s viirialile> «'la ni .r et // : on a eu rlTrt
^7
lion (i6) devient
et ff'Qiia]
'-fin).
On peut î^éjjiirei les VÉiriables, en ccrivanl l*L'i|i*aliLin
du
du
/<«)
et Finlégrdle générale s'obLieul prir une <|ii;nlriiïtir'
(17)
J
fini H-
il munira d\ iPiiipliicer rt [>ar ^ pmrr avoir rr(]iiali<iii des cnurbe
intégra les.
ïjVqnation j^éiiérah' di* riUlc* laioillf* âe c.'Oirrl>f*s est de I
forme j* = C^^ 1^)' ^ désignanl Li consLrtntt' i*rljilraire» Elle
sont loiiles ho»riolhélic]ues à VuDf dalles avec* lori^riie coiiim
centre d'hoiîiolliélie, le ra|>|»orl dlioiiiolliéiie élan! seni variable;
carnn fieiil ilédnire réL[tialinn prér.rdeiUe de ré(:|nal ion ^' ==:©(- ï
en V remplaçanl .r e\ y |>ar ^, ei • respeclivemeru, Inversemenlr
étant donnée irne lainifïe ^inivkontjoe de courbes liornHlliéti(|ii«*>
par rapport à Fori^ine, Térpiation didérentielle du premier ordre
correspondante est honiugène. On penl le vérifier par le calcult
mais ce résultat est évident a priori; en eÛel, les tangentes a«ï
dî Hé rentes et> orbes dr ceiie la toi fie, an\ p<onls de rencontre avec
nne droite issnc de Tori^^ine, doivent élre parallèles^ et pai' con^*^'
<|Ment le eoeflicient an^^Milaire ^v' de l,i laugenie ne doit déjïend
cpie du rapport —^ *
On ramène à Ih ftirnie buningèn»' les éipjalions
(.8) ^^/( ""-;'.> -'V).
on a, 6, c, fr\ b\ c' soni tles coelfieients quelconques, h el
n\'tant pas nuls i\ la fois. Il suffit en i fiel pour ijnc celte équati^
1
II. — KOl'ATlONS m PHKXIIEtl ORIIJU:. Îl5
il la foi me voulue i;|iie l'on ail r ^^ cz= o. Or, si l'on pose
j* = X -«- «, y := \ -^ ^^
IC ^l Y élariL 1rs riuti^eUes variahlËS, a et ^ deux constantes]
mielconijiies. elle ilr\ient
^X "^ -^ ( «' X ^ ^i' Y - «' a ^ A' ;i ^ V-' y '
^' ''1 nouvelle iWjiiiilion si*riï hinou^^ene pourvu que l'on ait
a 1 -+- ff â -f- r = Of (i 1 -T- // [i -^ c' = «►.
Les deux cnruJihotis dëlenoiuent a el ^^ pourvu r|ue al/ — ini* ne
*^>t (las ntiK Dans le cas |>io^tieulier nu l'on a a// — 6a'= n, siip-
posons A p± o; ruuis Muions ^/.r -f- ^'.T' = k(ajt' -i~ hy)^ k étant un
facteur couslaoi i|oi a nue valeur ihue, cl en posant ax -h />,K = ''
*^qtiali»Mi ptend la (Vtrnie
r^s varialileïi snuf séparées.
-^C*î, Équations linéaires, ^ L ne i-^iiuatiou didérenlielle linéaire
Ou |3reiuier ordrr es! de la lorme
r,
l<>^»>
dy
H- X r -t- X I = o.
^ et X» étiitH des ("uu étions de .r, L<usque \| -^ o^ un peul écrira
<^<ïile éipialioii
tir
* '^C* I
-^ -4- X r/^ = O,
^'t liuh'^o'dle générale s'obtient par »ine t|i*a<irature
iitt)
y = Ce
l^inr intégrer réipiation eofUf>lète (if)), **u \, est supposé dif-
***^f*ui de zéro, nous cfiere hérons à satisfaire à uetle équation eu
P''f*iiaui pour K **ue expression d»* la forme (ai)^ en eonsidé-
'^'^l C^. non plus comuje une constante, mais eonnne une fonc-
''^ti incopnne de X, Cela revient a Jaire le ctiangeujent de va-
'''alde r V*, z étant la nouvelle funetion a déterminer, et Y
3] 4 CHAPITRE XVIII. — MÉTHODKS ÉLÉMENTAIRES D* INTÉGRATION.
une quelconque des intégrales de l'équation (20). Après ceU^.
subslitulion, l'équalion (19) devienl, en tenant compte de la relai
tion (20) à laquelle satisfait Y,
dx
et s'intègre par une quadrature. On en tire
-Pi'
C étant la constante arbitraire, (.'intégrale générale de l'éqL
tion (19) s'obtient donc par deux quadratures successives.
peut encore l'écrire, en remplaçant Y par son expression,
( 22 ) . y = e-f^"*^ (g - TXi e/*^' dx\ ,
les liiuites inférieures dans les deux quadratures pouvant ^ m^re
choisies à volonté.
L'intégrale générale est une Jonction entière et linéaire d^ la
constante dUntégration, de la forme ^^ = Cy(x) -h ç(j:), où
/[x)el ^{x) sont des fonctions déterminées de x. Cette propriété
caractérise les équations linéaires, car, si l'on élimine la cc^^'
stante C entre l'équation précédente et l'équation
on est évidemment conduit à une relation linéaire en ^ etj^'. C^^^
peut énoncer le résultat sous une autre forme. Soient ^«, ^2»,^.^ ^^
trois intégrales particulières de l'équation linéaire, correspond a ^^^
aux valeurs C|, C^, C3 de la constante C; l'élimination des dep ^^
fonctions /(jc) et cp(^) entre les trois relations
conduit à l'éffalilé — — — ^*~ ^S ce qui montre que le ra^^^^P'
^ Jj-ri Gs-~ G, ^ ^
port — — — est constant, pour trois intégrales particulier' ^^^^
quelconques d'une équation linéaire. Si Ton connaît deux in *' '^'
grales particulières j^<, )'.j d'une équation linéaire, on peut dc=^"^
écrire immédiatement l'intégrale générale
*^-^ = const.
l-igUVTlONS DU PftKMICIl ORURK,
3t:
Rem;nqtJOi)s nncore que, si Ton conntiîl une seule îulég^rale par-
linulîère ^1, on nlïtionl li nié;; raie ^^énérale par une seule quadra-
ture; en eil'et, en posanl r^ v» -^ u^ *vn est conduit ;i réqualion
^ -I- X w ^= o, identique à Téquahon (20).
Ml. Équation de BernouUi. — L'équntion dr Bernoulli
(î3l
dy
-hXj-^ Xiy" = 0,
OÙ /i est un ex|>osanl quelconque, dilTérenl de zéro et de Tunîté, se
ramrneà unerquallon linéuireen prenant pour ineonnne r*^"== z.
Lét)iiahun pr^cédenli^ peut en elïel s'écrire, en divisant tous les
1er m es par y*\
t dz ^, „
-j — h A 5 H- X I = a.
I — n dx
On petii rattacher an t>pe précédeul rëqnalion
' ^ i ) ^i^^dx '^^)^{^\dy '\- Â'.r'« ( xdy —ydx ) = q,
f M" et /?! Miut denx nond^res quelconques. Si Ton pose, en effet,
y^ux^ Téqualion obleime peul s'écrire
dx
\olu) -h u'ht a)\ -7- -h j:i/{u ) -i- A*.r'"'^*= o»
' * ^ * du ^
^l. en posant j'^<'"+*^^ ;;, on est conduit à une équiHion linéaire.
^^>8, ÉquatioQ de Jacobi. — Cnnsitli'rons l'cquation
j^5^ \ {a^a'x'\-a'y){xdy ^yds)
i — [(j ^ b* T -^r b*y )dy -^ (c -^ c* x -^ c'y ) dx = o^
*^" «. ti\ a*, à, b\ b"» c, c\ c""snnt des coefficients cDnslanis quelconques.
'-*>'*sijue Von aa— A = c = o, IV-quiilion rentre dans le lype ('>4), car il
*"*fit de diviser \mr a*jr-h n'y. Pour ramener le eus gi^nêral à ce cas par-
^«eul
•♦?r, poson<î .r — X -4- at, ^ = V
X ei Y ('tant deux nouvelles va-
**blv«, 3E t^it p fJeu\ conslaiiies; nous obtenions uut.^ uouvelie équaiion de
^*^nje fiirme. qui peul s*écrire
- {a'\^a'Y){\d\ -^idX)
K^5/ _[B-f-6\\^Â Y -(An^a'X ^a'Y)^
AXlt/Y
[C
'Y —(A H- rt'X ^ rt' Y)^ - AY] f^X
3l6 CHAPITRE XVI II. — MÉTHODKS ÉLÉMENTAIRES D'INTÉGRATION.
en posant
ArrraH-a'a-f-a'S, B = 6 -4-6'a-h6'3, C rr. c h- c'a 4- c'?.
Cette équation ( 9.5 )' sera du type ( 9,4 ) ^' !'<>" aAa — B=o, A^ — G = o ^^^
Nous sommes donc conduits à déterminer les constantes a, p par ces dcu' ,^.^
conditions que l'on peut écrire sous forme plus symétrique, en introduis di-
sant une inconnue auxiliaire X,
A — X = o,
B — Xa = o.
Xp=o:
l'élimination des inconnues a. fi conduit à une équation auxiliaire du irn
sième degré pour déterminer X
a — A
h
c
a
b'-\
c
a
b"
L'intégration de l'équation de Jacobi (25) dépend donc avant tout d
résolution de cette équation du troisième degré, comme nous le Verd-
un peu pluii loin par une autre méthode.
/a
369. Équation de Riccatti. — L'équation de Riccaltl
(•20) ^ -uX7*-+;\,7-i-Xj=0,
ra\
s-
011 X, X<, X2 sont des fonctions de x, ne peut pas en gêné;
s'intégrer par des quadratures. Les inl(^grales de cette équatii
lorsque les coefficients sont quelconques, constituent des Irai
cendanles nouvelles, dont on étudiera les propriétés. Mais cer -^^^^
équation se rattache au sujet qui nous occupe, à cause de la pt^^ '^^'
priété suivante : si Con connaît une intégrale particulière,
peut trouver l^ intégrale générale par deux quadratures.
Soit r, une intégrale particulière. Le changement de
riablej^ = y, -+- z conduit à vinQ équation de même forme qui
doit pas renfermer de terme indépendant de 5, puisque z-
doit être une intégrale; cette équation est en effet
on
va-
j ne
= 0
(•27)
ri "
^ -f-(X,-f- 2X71)5 -i-X-3«=0,
et il suffira de poser - =^ u pour être ramené à une équa coo
linéaire, ce qui démontre la proposition énoncée.
De là se déduisent plusieurs conséquences importantes. L'inté-
/
gntle générale de réijiuitioi» tiiiéciire m f/ t-M de la forme ( n 3B0)
u — C /( j* ) — tf( T);
ri 11 légra le générale tJe l'êtj nation de Rieealli esl par eoiisé(|iieiit
de la forme
(^8)
y = xi
C/{r)-
Nous vovoiiïi que ce^l une fonction ration ne He et linéaire
lie Icf t€mstantp d' ind'grctîion, BeL'i[>rrK|neinent loute éi[iiahon
difiertînliclle du iireniicr nrdre tpii f><>s>ède ('eUe propriété esl. une
équation de Hnialli. En e[lél , soienl fix), o(x). f^ix)^ ^i(^)
quaire fonctions i|iielt:onquc!^ de ;r ; toutes les fonctions^ repré-
senii*»es par la formule (28), où (l esl une eonstarile urbitraire,
%oni des intégrale» dViiie érpiatiuii du prenner ordrr une Ton
oblîem iii^énUNil en résolvant la tri^itioii (2H) |iar rajïport à C et
*'*^ pjeiiaiii ia dérivée. On a ainsi
^^ l'éqiialioa dillérentielle correspondante
^^t bien de la Ibrnie [aû].
Soient yi^y^i y»^ yik quatre intégrales |)arl!culiéres correspon-
•• ïiî aux valeurs f2,, C,, C;,» C4 de la constante il. Diaprés la
'■^^orie du ra|>|Kn"l aiiliarnionique^ on a la relation, qu*il est facile
vérifier par le calrul,
d^
,n— y< , Vit— >t
f^t — ^1 . ^< — Ci
C^ — Ci Ca — Ct
qui prouve que le rapport anharmonijfue lie qufitre inté-
'^* aies particulières qaeiconqurs r/e i'é/jnadttn de Hicvctili est
'estant,
^^e ibéoréme permt^t de Irouver sans aut'une quadrature Tinté-
► **"^le jjénérale d*nne é*|uation de Riceatli lorsiin'on en ronnaît
>l»-
qi
qi
^-*is itili'grales [jarticuliêres y^, yj^ ^X;h Toutf^ autre intégrale y
^il être telle que le rapport anhaniu>ni4|ue
-y\ . y%— y y
-ri ' y^-xt
soit
consiunl. On nbtieiidra donc rinteiçrale gën«^rale en égalant
ra|i|»orL à une constante arbitraire; on voit r|tiey 5era une fonclio
rationnelle et linAaire île la coii^^tiuile, ce c|ui jïrouve que la pro
piirté [iréc«*clenle n'appartient qn'iiux ét|uaiion^ de Hîceatti,
Remarquons enfin que, si Ton connaît denx intégrales partie
lièies seulement K, ^tj^^^ on achevé rinLegralion par M/ie qnadr
tare. En ell'el, après la première transformation j^^yi -\- 3, IVqu;
tion en z obtenue admet rintègrale y^ — ^V( ; Téquation linéair
3
-I
en M a donc aussi une inlégfralc narlieulière connue — • i)
tniuvera donc Tinlégrale générale de Téquation en « |)ar un
sente quadrature.
Application. — Considérons une ramillc de cercles dépendant rlW
jiarniiiélrc variable, situé*- dans uti niènie \Aîm. Soient a, b, R les coo«
(loiTiièus du ci-^ntre du cercle vurialde et le rayon (le* a^ies étant rectarr
gulaires); ^i, b^ R sont des foiielions supposées connues d*un paraméi^""* j
variable a. Proposons-nous de trouver les courbes qui coupent chacun cM <? '
ces cercles sous un angle connu V, con!<tant ou fonction donnée de i. L^^ ^
coordonnées d'un point quelconque M du cercle C de ceniie ( a^ ù) tl c9 ^
ra}'MU R peuvent elre représentées par le*, formules j
jr — a -h H cosQ, y := 6 t- R sin 0, 1
0 étant raui^Je t|ue fait le rayon a boy lissa ni an point M avec la direct ' j
lion *Kr. I^e problème revient à délt'r miner cet angle Q en fonction tl *-* I
jiaranrèU'e a de façon qur la courbe décrite par le p*dni IVl criupe 1 ^ '
cercle G sous un angle V. L'équatiiin dilTéientieile du problème est doi» ^
cotV =
-f^ — ta II"
\ "h tanfîO
qui devient, en renif>laçanl dx et dy par b'urs valeurs et réduisant*
R -; — h 6'cosO — a'sinfl — cotVt R'-h «eosO -1^ ^UinO) =^ a.
d% '
a' b\ R' étant lef^ dérivées de a^ />, R, par ra[»pt»rl à a. En prenant pou
nouvelle inconnue tang- — l, nous obtenons une équ;»tion de Biecaili
tJfï
(^9*
— col Vf R'(l -^ f^)-^«'(l— r-) -+- 'xb'(] =0.
I
k
IL — éQUATIONS Dit PRKMIER Oflllfit:, ^ig
ff suffira donc de cnnoaiiie (hh* trajectoire pour <>bicïiir toutes les autres
par *le«i\ quadratures.
Considérons le cas parlJ€uliL"r des trajectoires orthogoi»ales; l'inij^le V
Vit alors un angle droit, et la cotante rite ei>t nulle. Si l'on suppose en
outre que les cercles considcrt'S ont leurs centres «iur une ligne droite,
I offi connaît a priori deux intégrales partie uliéres de l'équation (ag),
car la ligne des centres est une trajecloire orthogonale et rencontre chaque
cercle en deux, points. On vérifie ai sèment i|ue l'intégration n*e\ige
I qu'une quadrature, car, si Ton a |iri*i la ligne des centres pour axe des jr,
[£èQuat.ioD <'iq) se rédtiit fj R — a' l — o.
**' £17.
3TO. Équations non résolues par rapport ky'. — Dan^ les dîfTé-
fents cas «|iie nous veiinn-!* d'examiner, réqualioii était su|*posée
résolue par rap[ioi'L a >'^ Con&idéronB mâinlenaiil ri^quEUfan gêné-
ralt: du pieinier ordre F(jr, j^, ^') := u. Soit S la stirl;*ri' n^pré-
scntée par lVr|iiation F(^j y, z) = o, oblrnite en remjtlaçanl y
V^ï' 3. A loulc inléjj^rale y =r /*(.r) Je IV-ipjalion [imposée on [leul
laire correspondre une courbe F représenlée par les relations
1^» esl sitnée toiil enllèrf sur tu siirrace S y puisque l'on a
^'^•*ii» cette conrUe V nV^st pas une courl>e quelcon<pie de la sur-
*^CtîS; 11* long de cette courbe ei» edel y et z sont des (onctions
^ ^ satisTuisant à la relation /ij' — z (i.r ^ v, et celle relation
p^t-Je la même lorine, quand on prend, an lien de .r, nne variable
^Mépendanle quelconque» ,.^-
Inversemeol, soit F une courbe silnée snr la surface S; les coor-
'^■^nées ^y y^ 5 à\\n poinl de celte courbe sont fonctions d\ïn
1*^ t*amelre variable x. Si ces Irois forïctioiis x =r ©^ (a), y = 'j^^l^^Js
^ ^===:=: 5ji(a) salisFont à la relation dy:=^zdx^ on peut en déduire
■^^ intégrale de rét|Uîition [uuposéc. ICn ctlel, les deux premières
T Malionâ X = ^( ( *)» k ^= ^2(3t) représentent nue courbe plane C;
*^'t^=y(jp) réiptahon de celle courbe supposée résolue par
^|>porl à y. Tout le long de la courbe F on a z=/'{x)^ et par
^^lile F[x, /(x), /'(x)]^o; la courbe C est donc une courbe
''^^t^égratc. [1 ny aurait d'e\ce[>tion que si celle courbe C se rédni-
"^^là ufi point, et la courbe F a une droite parallèle à O5. II revient
3'20 CHAPITRE XVIII. — MÉTHODES ELEMENTAIRES D'INTÉGRATION.
donc au inême d'intégrer Téqualion proposée F(x, y, y) = r^
ou de chercher les courbes de la surface S pour lesquelles on a ^
dy — z dx = o.
Cela étanl, supposons que Ton puisse exprimer les coordonna
d'un point a:, y, z de la surface S explicitement en fonction ^^
deux paramètres variables ;/, r,
toute courbe F de la surface S s'obtient en établissant une
C6
taine relation entre u cl r, et, pour que cette courbe définisse-^^s:;^
intégrale, il faut et il suffit que Ton ait dy =: z dx ou
-^ du -h -i. dv = ^(u, v)( J- du-\- -4- dv\.
du ôv ^ \ôu dv I
Nous avons ainsi une équation difTérentielle -3- =7r(w, t»), ré^solue
par rapport à -j-- Il est clair que la méthode précédente s'app/ique
aussi aux équations que Ton peut résoudre par rapport sty^
Cette transformation est immédiate pour les équations résolue*
par rapport à l'une des variables j: ou y. Soit par exemple l'éc%^*"
tion
(3o) y=/(^.y);
on peut prendre ici pour paramètres variables x et j^^ = /? . La ^--'"'^'
face S est alors représentée par les équations
T^-x, 3= fi, y=A^,p)
et la relation dy ^ z dx devient
^ ' "^ dx dp dx
C'est le résultat que Ton obtiendrait directement en différenUanl
Téquation (3o) et remplaçant y' par p. Soit p = 'f{^\ C) l'inL^-
t;rale générale de Téquation (3i); pour en déduire l'intégrale gér^ '^-
rale de l'équation (3o), il suffira de remplacer^ par <p(x, C) (Jj^ "^'^
la formule (3o).
371. Équation de Lagrang^e. — Considérons en particulier uM^^
II, — EQUATIONS Di; PRKMIEn ORDRE.
fcq nation linéaire par lappoil aux deux variables x et r,
en clîfféreoLiynl les deux membres, et désif^nanl y par /?, nous
obtenoDS l'équatioi*
»dp dp
Si Pou y considi're /j eomme là varialile indépendante, et .r «omme
[rinconnuef celte équation, que l'on peut écrite
lo{p)—p} ^ -har^'(/?)-h4^'(/ï) = 0,
€5l linéaire et s'intégrera par deux quadraturen. Avanl olïtenu X
en tonclion de/>, en poilanl eetle valeur de x dans la Torniule
y = X'f(p) -4- '^î p),
on aura les coonlonnées x et y exprimées en fonction du para-
mètre/ï et d'une constante arbitraire (').
Oa peut se rendre cimipu^ aisériKuit de la disposition des cou r besoin té-
Sï'ale^, en observaat qye r et y ^oul îles fondions entières et linéaires de
1^ constante arbitraire G*
<33) x' z= CFi pj-^^Pi p), y =^ CF,(/)) ^ *j(/0;
•^âï* les fonrtioas F{p), F[ip}^ *t*(/?), ^^(p) ne sont pas quelconques.
dy
puisque le païamétre /? repréiienie le eoeffîcierU angulaire -^ de la tan-
^*^ote. Il jaui jH>yr cela qu** IVm ci il F\{ p) — pF'{ p }, *t>\{p) = p^'i p).
^<*ient Fç, Ti deux inti"^r.il*j:H iJiîrtiruliêres coirei^pondaiit au\ valeurs C — o,
Ci :
de la coiislante
I Jr(»= ^i p}.
r,
\ Xi == F(>) -h*ï»(/ïK
7oz=4»|^/3), ' ) y^ ^ F^i pt-h^ii p);
** éc|i]a(ions ( il ) qui représentent une iniégrale quelconque V peuvent
I T = C { JT) — ar(> ) H- or^.
) „r = G(7i^ni
J -H^Kv
^"^ point* Mo(*z:o,^o)i M,{>j,^i)» M(./%j) des côuibes Tq, T,, F, qui
' } Oii pcul iiu«i ramener l'équation {3a) à unt- LN|uatir*n linéaire àu moyen
W U traDsfornriiitioti de Lcgcndrc (1, n" 30).
G., IL ai
:i!K3
CHAPITRE XVrif.
METtlOI>KS ELBMIiXTAIllES D INTEGRATION.
corr€s|*oiHle(it a une mi^me valeur de /i, le* laiîgcnlcs a ces courbes sont
parai lèle.s. D*auire part ùii lire des formules prccêdeïiles
G-i
ce qui prouve que ïets trois^ poînU >L Ma* Mt siinl en ligne droite et que
le rapp*>rt ^rrirr- ^^^^ constant. Un a donr Isi rrm si ru cl ion geomelrtqiie sui-
vanie. fifanf données /ex f/etf:r courbes Fo, Tj, on Joint les pomfx M», ^
M, de res deur courues où fes tan^îrentes sont para/lèfes, et f'on prend\^ '
sur fa droite qui /es Joint le point M tr/ t/ue le rapport ' --- $oit égak ^-^
à une const€inte donnée K. Lorsque les points \\„, M» décri%?ent /c^ ^ .
courbes F,,, Fi, /e point jM décrit une courbe intègmlt' l\ et l'on obfier^^^^ ^
/'intégrale gènêra/f* en fat sa ni varier la constante K.
372, Équation de Clairaut. — L rj ats parrituilier reniarcjual
de l'i^qurilioii tic ï.a^riui^c avait dt*jà elf» liîjih* par (Jiiiraut; **
à\tpe\\€ éf/ita/ttif} df* C/ffinfttt ion te cqyatioïi Ji- la iVinne
(34) y = ^y^f(y>'
Suivaiil la riii-lhode générale, dillt^renlians les deux membres
fKJSoiis V' =^ /> T n»*i»s arrivons à réijtialiim
dp
Om satiïtfail à c*'H^ /'«jualHin (*rj jiosanl j^ = o, d'oii ^ ^ C. L'iii^"'^"
tégrale générale de réqnaliiMi de ï!la»raiil e.^i dune
r36) y- C^-i-/(C);
cette écjUiilion re pré se nie ïnit* failli ll<* de il roi tes» et l'on vérill^^^ "^
îmméttiateinent que ce >onl bien des iritégrale». Mais on satisfa
aussi à rr(|nalioii (*iiy)t?n annulant le (ircniicr (acleur x -h/' \ p}^:^^ ^^o.
tl s*eri?ii»il r|ird existe une nouvelle inlé^^tale de réqualiun ^A,^
qui est re|iré^enU''e par les ilenx relations
or PéliiTiination de/? entre ces deux relations conduirait préci ^msé-
menl â Tenveloppe des droites re|>rt'sent<'es par T équation (^^^S6).
L'éqnalion de Clairaiit admet donc en ontre une intégrale qui est
l'enveloppe drs d/oiles /ortnani rinlégra/e gétiétate. Ooti-^me
Il, — El^L ITIUNS IIL 1*HEJU1KK OHJmE. 3-2^
on ne peut nblenir ^elte inléi^rale en donnatita la conshirHe C une
V ti I o u I* pa f l i c 1 1 1 i è re , u n ihl < | u e c ' f s l ri n € ifi f ég ra le s in g u Hère »
■ On e$l conduit à une i^iju^itioii de Clairaui (]ii;ukI on ^e jiropose de déter-
miner une courbe phine par une |iro|jriêlé rte ses t^ingeiites où n"int€r\iénl
pa« le poiDt rie eontaer. Soit en viïet y ^ fi jf } t'êq nation de la fourbe
rliercliéc; r^'CfUcilion de la lanj^eute étant Y := v'X -t-j' — ^J \ on ^era
ooticlifit à unt* iTlatiun enire y' et >' — .rj-' , c'est-y-dire à une équation de
'«laîraui. Il e^i clair que dans re cas c'est l'intégrale singulière qui dfin-
nera la %ériiable «solution du problême, Proposnns-nous par exemple de
troi^%*er une courbe telle que te produit des distftaces de deuj" points
fixes F. F' €Ï i'une f/uefeonque de xes tnttgentes sait é^ai à une con-
%ttMni^ 6'. Soit "i.c la «lîsiiini e PP'; le luiJïeu du sej; nient FF' étant pri»*
jiciur nri^iiie, et lii <JriMtf Vï" jmiui axe des x, (»n est conduit â l'équation
JilTérenlielle
ij — jry )* — c* v'^ = ^î u -h k'* ),
tn «u|)|io$aMt q"ie l:i lautjente laisse Ici! deux (juitit'- F, F' du même côte.
On en lire y — .r^zÈz ^h^ -^ ft^j'^: rinlégrale générale ne compose de la
famille de dioites
X ^Cx±: v/A'-H<in>, a» = 6» -h c».
*• iniégrale ^inj^uliére, envel+qipe de t e^ droites, est l'ellipse
6*
^ «^t la vraie snluti<»ii du probléjue.
'Î73. Intégration des équations FiT,y) =r o. F( .>^, j^' ) — o. — Les
*^*liialiQfi> qui t\v n'iifpnurjii ijoc fuut* des varial>lps x ou )-' s*in-
'^'^^reiit j»ar nue (juadratiiÉe, pdiirvu tiiic ! nu puisse t^ésoudrf la
r'*iatîori par rapport à y i n" 3BI:'. Lors(|iJt.' €cll<.' relation est algé-
^j''i*pie, y est une îutéj'ralp abélieniie un la I onction inverse
^ •^iie inléj;rale abélienue* Toutes les luis *pie la relation est de
gerjte zéro ou de genre an^ on pent exfuiuier j; et y en fcmction
" "0 parafnêire varia Ide, soît rationnel lement, soit au moyen de
li*îitïscendanles clas^itjues. (^ousiderons d*alïord les écinulions
\.K, ^) ^ ^^^ de ^enre zéro; ou peut exprimer y et y' par des
"•nclîons rHlioiinelles d*uu paianiètrï* u^ y i=: fi^u)^ y' =i/^[tt),
^^ U conilition f/y^^ydj' nons duune /' ( a^ du =^ J\[ii) dx. Les
^**vi«ljjç^ ^ el^ j^ s'exprinieiit diMic par les forninles
J»7)
fii dLàrrnic \%iii. — mctbomes éueme^taiues d'ostésbatio^.
ao moTen «le 1^ %arîal»le auxiliaire «r. Le même calcul s'applique ^^^
aox équation* F ^v- i"' =: o. lorsque la relation esl du premier -^ ^
genre: mais on doii prendre pour f^U) el f%^u) des fonc-- — ^ ^^^
lions elliffiique-i». el x el v s'expriment au moyen des Iranscea^ — .^^
dantes p. IJ. ^ • n* 333 .
On peul opérer de même avec les équations F(x, ^>'') = oc:^
lorsque la relation est du genre zéro ou un; elles se ramènei::^ ^^
d'ailleurs à la forme précédente en permutant x eljr.
JT — C
%* L'équation y'» — 3_k'' — gr^ _ 1 2 >-« = o représente, quand on y rcg ^rd^
y *:lr' comme les coordonniez d'un point, une quartique unicursale ad iii«»|.
tant le* iroi* point* doubles < ^r = o. r'= o K ( }' = ±i/ — r»^'=>l-
Nou^ poumon», en effet, écrire l'équation précédente
En posant d'abord y = u^ — i, il vient 3^* = < a -i- i)*( a — 2); si 1'^===^^
po«»e ensuite u — a =3/'. on obtient finalement les expressions suivanl^:^^^
de jr cl y en fonction du paramétre /.
y = iit-^i*). y ^ 3(i-+-/«)u-+-3/«).
I^ relation dy = y dr %e réduit ici à <iir( 1 -+-/*)= ^/ ; on en lire
/ = tang(j--+-C),
et rintégrale générale de Téquation proposée est par conséquent
y = % tang(j7 -f- C)-4-3 tang*( j: -h G;.
3* Soit )\( y)\iïi polynôme du troisième ou du quatrième degré, pre«^*/er
avec *a dérivée; considérons Têqualion difTérentielle
(38) y»=R(j^).
On a vu plus haut (n' 336) qu'on peut satisfaire à cette relation du pre-
'"•er genre en posant. y=f{u), y' = f {u)^ /(") étant une fonclion
-'»''ond ordre. La condition dy •= y' dx devient du—di\
lU — EQl'ATIONS lu M<» MIKH flRimE. 3^5
f'intrgrali* générale île réquation {Mi) e*îi donc une fonction eili|j-
tiq\ieY — /{^ -^ C ).
Lorsque le (.lolynome Hiy) «?^l de «Je^rr înlV-iiinir à 3, ou lorsque ce
po l> no iTic% élaol de de^ré 3 ou 4t n><t pas premït*r avec sa dérivée, la
relation (38) est du genre xéro. On peul exprimer ?^ ^^ y' par des fonc-
lîons rationnelles d'un paramélre u et, en appliquant la mélhode précè-
cécJenïe, on vérifie aisénrieni que Tiiiléi^rale t;énérale est une fonction
rationnelle de Jr, ou une fojicii*.»n raiionnelle de e**-^.
371 . Facteur intégran t . — L h ïti é l h 1 1 d ( " ti ' i n Lé^; l' a L i o ii par se p a -
r&. i ion des variable> a été ^éuévAWst^v par Euler, Le raisontienienl
tl r« n" 364 s'applinue en rllet a totile et) ua lion du premier ordre
<^^J Pt J-, y\dx^ Qi X, Y ) dy — o,
dont les eoenirirnrs l* el Q ronlienneiii à hi fuis .r et j', potirvu
ti ^1 e Toa ait -r- ^= -^* (/ellf rondilion est nécessaire el sunîsanle
ày r/j"
pc»iri' que ^ dx -\- i^dy soit !a diirérentielle totale d'une foDC-
l^c»n U(-r, V') el celle foncliou U(jc, r) s'obtient, coiihtig on Ta vu,
p« I des quadralures (1, n** 151 ), L^éq nation (39) est donc identique
• IVquation f/U = o, et Ton y satisi'ait de la façon la plus générale
^Cl étai»lissanl entre x et r une relation de la forme U(x^ k)^ C.
Citi intègre donc Téq nation (39) par des qnad ratures totites les Ibis
tlue les coefficients P et O vérifient la condition — - = ^.
^ ày àx
Pour que la méthode précédente puisse être appliquée, il n'est
pas nécessaire que l on ait — -^ — ^; il sullit de connaître un fac-
' ùy àjc ' *^
^^ur intégrant j c'esl-à-dire un facteur (ji(j:,j/*) tel que le produit
^(x,y)\Pdx^Qdy]
■^«^rtfie la condilior» d lulegrabinte — ^ — - := — ^1-=- » ou, en déve-
loppant,
f4fi)
à:r
I
^Ê \^ recherche ila^ lac leurs inlegranls esl donc ramenée a Pinté-
H ft^tation de réquiitton précédeole, qui est une équation iiuK dérivées
H |^«irltelles du premier ordre. Il semble qt»*en opérant ainsi on fiiit
'Jép^^ndre riiitègrahon de Téqualion (3i)) \Vn%\ prolilênje en ^ppa-
''ence pbis dillicil*;; mais il est à remarquer qu il sullit de con-
^1 rr"X|tresslon - — — doil être intlppeiidaafe de r; si'il en t'
ainsi, on «ihtifnl un lurleiii* irili'^nmt it. pur une qiiatJratnrr. Siiji|n.
àP .
sans (iv nlns <> = r ; alors — doil èive une fonction X de lu ^m^
rial>le ,r^ tH l'rtjualiùn { Mj) es! une t'qnalion iin<5aire
■ f ^'''
L%V|iialion (4'0 af''ii<^(^ '=< solnlion jjl = e '* , el I i»n v«'rff
aîsf^menl qu'en ninhiplianl F êq nul ion ( 'Sg/ l'^ir cr fyrreor nn a iû
preniifT nie'iiilïr*: unt^ dilIV'renliflIt' exiifl*^
r:
e- r-
{dy -^ \vdjr ^ X^dx)
le< calcnls à eOfrliifr [ioiir l'int*ig^ration sont exaclemen» I
mêmes que dans la premièro méthodr (lY* 306).
Nniis détnniïirenins [dns loin qne réqualioii : ^o ) admet iirr"
inlinîh^ d*inrt*^'rales» sons des conditions irès g/'nerales qui s*^w^
lcïujf>nrs leniplif^s dans le*; cas qni non<% f»rciJpenl. Si I on conn«^
i/n facleiir înlégrant [j,, on peut iilitenir lous le< autres de la faç
suivante. En posanl tx ^=: [jl, v, l'équiition i in) devienl
es
0/
I
( io r
-!-«£=-
nr on rniifiaîl une fonction *»allsfal^2Hll /i cplli* relation : f %»sl U
fonction U('.ri >') dont ]a diflerentiefie lolale esl [a, (P rLr -h Q rfy),
puisque les dérivées parlîelles -— » — f^ont égales à |jt.j P el à [a, Q.
r^ , . d^ â\] à^4 é\} , ,
yJïït a donc aossi j^ i— ^ — ;j- -r— ^ o^ ce qui prouve que v est ne
la forme ^(U), el l'expression générale des facteurs intégrants
est fjt = [i.| ç(U)t '^ étant une l'oncliun arbitraire de Uv 11 est aisé
d#* vérifier qut^ u est l^ien un faelenr iutégranl, car de Tidenlité
^.{Vdx^ Q dr)= d\}
on <léduit, en multiplîiint |)ar(5.(U),
€l le second membre est la dinërentielle exacte de la fonction
F(U)= f^il})dU.
On déduit de là une conséquence intéressante : |ji< et fJt-a étanl den\
fïtcteurs intégrants, le rapport ^' esl une fonction de U. Si ce rap-
port n'est pas con^ïtant, l'intégrale générale de IVcpiation difïéren-
tï^Ue peul donc s'écrire - = consl.
Le théorème qui précrde peul servir quelquefois à trouver un
'^C"teur intégrant* Oousidéroiis l'érpinliou difTérenlielle
Mil
?d.r^ Q dy -«- P^dx t- Q, dy = o,
ou |>^ p^ ^ (j^ (^^^ 5iQ[^^ (j^^ fonctions tlex, r, et sup]iosous que Ton
^«•ch^ truuver un facteur intégrant pour chacuue des exprès.-
^'**ns V dx 4- Q ffr, \\ fJx -h Q, dy. L'expression générale des fac-
I **>*« inlégrauts j>our ï^ dx -\- Q^dy g^\ a'jj(U)* ;jl étant le facteur
l^^'inu, U une fonclion dc^ .r et <ie v que IViti obtient par des qua-
^'^ures, et 3 une fonclion arbitraire. L*express!on générale des
^^eurs mtégranls de P, ^/^* -h Q, f/>>' est de même [JL^*i(Ui), ^1
*^ U, étant des fonctions cléleruiiuées et -^ une fonction arbitraire.
* *^on peut choisir les fonctions «pet ^ de façon que Pou ait
^^ ^ura an facteur intégrant pour Téquatidn prupo'îéc (4i)*
3^8 CHAPITRE XVIII. — MÉTHODES ÉLÉMENTAIRRS O' INTÉGRATION.
Soit, par exemple, Téquation
ax dy -r- by dx -h x^ny/i (ax dy -^^ ^y dx) = o,
a, 6, a, p élanl des constanles. Tout facteur intégrant de ax dy -i- by dx ^;;^^
est de la forme — ^{^^y^)i et de même tout facteur intégrant de Is^^. .
seconde partie est de la forme -, ; ^(x^y^). Pour avoir un facteu ^^^_^
intégrant commun il suffira de trouver deux exposants/) et q tels que l'c^-^i^j^
ait x'^y^(x^y^ )P = (x^y"^)*/, ce qui conduit aux conditions
pa — qa -h n = Of pb — q^ -+• m = o.
Ces conditions sont compatibles pourvu que a^ — 6x ne soit pas nul, ^^
déterminent un facteur intégrant de la forme 2:''' j^^. En multipliant ^^r
ce facteur intégrant, l'cquatioii prend la forme vP-^dv -h v*[~^ dv\ = 0, o lù
l'on a posé s? = x^y^^ v^ = x^y"*-^ ot s'intègre immédiatement.
a B
Dans le cas particulier où aâ — 6a = 0, on en tire — = '7=Ar, ^^i
a 0
l'équation peut s'écrire {ax dy -^ by dx){\ -+- kx'^y'*) = o.
Remarque. — Quand on connaît l'intégrale générale d'une équatic:::^^'"
différentielle du premier ordre, il est bien facile d'obtenir un facteur int^^^'
grant^ Soit, en effet, /(x, y) z= C l'intégrale générale de l'équation (89 -^f'
L'équation différentielle des courbes représentées par cette relation es: st
aussi -^ dx H- -^ dy =0; pour qu'elle soit identique à l'équation (Sg),
àf àf
faut que l'on ait —5- = —77-» «t la valeur commune des deux rappor ^
précédents e"*t évidemment un facteur intégrant pour P dx -^ Qdy. To^^*'
autre facteur intégrant est égal à celui-là multiplié par une fonctic3^=)/»
arbitraire de /{x, y).
375. Application à la représentation conforme. — La ihéoB^ie
du facteur iolégrant troiive une application importante dans ie
problème de la représentation conforme. Soit
ds* =Edu*-^iF dudvH-G dv*
une forme quadratique en ciu^ dv^ dont les coefficients E, F, G
soxM des fonctions analytiques de u, v^ telles que EG — F^ 'i^
soit pas nul. On peut encore écrire ds^ sous la forme
ds^=z (a du-h b dv)(atdu-h bidv),
a, b, a,, 6, étant aussi des fonctions anal^ti(|ues de w, k>. D'après ^
'ni résultai qui sera dé m oui ré plus loin en Ion te rigueur, chacune
de* expressions a fiu -r b rfv', a%iiu -h 6| rfi^ admel une in fini lé de
facteurs rot errant s, f|ui son l eux-mêmes des fondions analytiques;
jJt, [jt, étant deux de ces (acteurs, on a les identilés
jjt( a du -^ h d9\ — d\J , jaj f a^ du h- b^ d%^ ) = d\}\
et^ par suite,
jji{iiGffi= ^Lî dVu
ce cpii peut eueore s^ écrire, en fjosant
avtf
fée
Î^E^r
E r/«î ^ ^ F t/w dv -^ n f/v'^ = > « f/X' -i- £/Y= ).
raille surface analytique peut donc être représentée sur un plan
avtfc conservalion des angles. Si la surface est réelle, on peut sup-
poser que les points réels de la surface norrespondent à des valeurs
réelles des variables u^ t»: les coeffieienls E, F, G sont réels, tandis
cpie a et a^ sont itnagînaires conjir^ureSj ainsi que b et /?». On
petit alors prerjdre pour a el [Ji|, et par suite pour U et L i, des
imai^inaires conjuguées, de sorte qu'à des valeurs réelles de «, v
correspondront des valeurs réelles de X et de Y. A des points
réels de la surface correspondent donc des points réels du plan.
loute surface analytique jiouvaut être représentée sur un plan
avec eonservation des angles, on en conclut que dei*x surlaces
analytiques quelconques peuvent élre représenlées conlorniénjeut
l une sur Tautre.
376. Équation d*Euler. — Des ai li fiées très variés ont été eni-
P'ojés [)our intégrer des équalifuis flifféientielles de loriue parli-
i'ufrére, Euler en a donné un exemple eélèlue avec ré<jualion k
'**|*Je)le son nom est resté a Un eh é,
fiT dv
loa A. et V sont deux pulvnotnes du rpiatrième degré en j:* et j^
l'^^P^rtivement, ayant les mêmes coefficients.
= 0,
33o
i;HAPlTRE WÏIÎ.
MK1110DES ELISMENTAIRKS D INTEGRATION.
Les varîables élant sëpart^es, on obtient l*inLép;rale générale de
réciiiahoiî {4'i) pi*r deux i| ii «cl r^it lires, (jn! iiarodui^enl deu\ fone-
lions Iranseendantes» dépendanl re.spe*:ùvenient de x et de }\ L^
découverle fan duineo laie d'Eiiler, <|ijî a <Ué le poinl de départ d^
la ihéiirie des foncliuiis etlipliqnes, c^esiL d^avoir inonlré que cet t-''
relation entre les variables j- et >-, ^|ui est Iranscendante eo app^di-
rence, est en réalité algébrique.
Considérons d'abord le cas on X est un polvnome du secor"»"
degré non carré parfait; une subslilulion linéaire permet de U
rameuer à la forme X == A(j?^ — i), et réquation { ii) dévie :«t
dans ce cas [>articulier
(43)
>/\ — r*- )/\ ^ 1 ï
On peut encore Fée rire, en chassant les dénominateurs.
V' I — y^dûe -¥■ ^ i — JT* dy = d( r sf
dr dy
/'
ce cjui ujontrc *pie r*tn a idenliqueniei»l
V(,_,.H.-,.;-^.>](^7==-;;7==)-
l/exprcssii>n y ( i — ^ x-) i — j--) — xy est donc nn fadeur int*
grant pour l'érjuation (43)» et l^iiilégrale générale est donnée p»*^
la formule
(44) ar^/i— j'-^j/i — jrï=C,
ou par la fonuuh^
(45 I /« I — ;r'^ )i I —y"' \ — tv ^ C.
puisque réqualioii (i5) admet les deux facteurs inlégranl^
el ^( I — -'''Ml — Y*)^xy. On vérifie du reste aisément que «^-^
den\ formules (44) ^^ {^^) sont équivalentes, diaprés Fidenlit^
( X y/ \ — r* H- ^^ /i - j-«V H- [ /< I — :r^)\ I — r ^ ) — ry ]* = i ♦
tu r Ci H kl ni la dernière formule raliunuelle, on peut écrire l'iw'
KijrATUlNS JU HlK.VIlKll «HUmK.
dsi
Hfjrale géfit^'^ralf* Je l'éq fia lion (4^) î'ons lu forme
14^) ^» -t- V* -f- 'A Cx>- -h G'* — j = o,
y désigna ni iiut^ consianu^ uibilraire, et CPtt*^ équation représente
!€s coniques tangentes anï(|ualre droites j: ^= di i, >^==± i.
I*ar une indut'hoii hardit\ Eulfr îi t'-té conduit à une formule de
ftième p^ippt!*^, main plus générale, qui convient au cas rvii X e?>l un
Ijnnrne qiielci nique du troisième «m du qualri**me de^ré (Insiî-
Uoties cafctiii Inle^ralis, t. I^ Chafj. \ et VI).
Soit F(»r, r) un jiolumnie à deux variables x et y, dn second
et sjinétnque par rappori à ces den\ variables,
J F ( j:*, y )= \x j-^r^ -h \fj^y(x -h y )
fîjjolvnome dépend de six coefficients arbilraires Ai, A^, Aj^ A^,
i, A«{, et la relation F^f.r, r) ^o peut s'écrire sous deox formes
1«|uivalenles
I F(^, V) = M,:r*-f N,^^ Pi = o,
M. N, P étant trois polynômes du second depjrë eii .r
M = Aix*Hr- A,J^ -^- A,i, N = A,jf*-h Ai^-^ As, P = A^jt^-h A*.r-^- A^,
't M,* Ni, l'i les polvnomes obtenus en remplaçant x par r ilans
y. N, P. De la relation F(x^r) = o ou déduit F[^dx -4- F^r/r ^^ o,
Ijit eti remplarani F^. et F^ par leurs expressions,
fc) f A M , j* ^ Nt ) f/x ^ ( Jt ÎVÎ T' ^ N ) ^/r =ï o.
'o lire daiïleui's des relations (4^ >
aM^' -+• iX = ^ /îV» — f VIP, 2>lt:r-^^N, = H= /NJ^JmTP^, ^
a formule précédenle (49) peut encore sYcrire
»)
^)
v/N*- ÎMP v'NÎ-4MiP,
Hte relaiioti sera idenlnjue à l*éqnation proposée (4 ">), ponrvn
|e Ton ail N^ — 4MP='^i ^'** q"i entraîne nécessairement
^ — 4M|P, = Y. Or M. N, P élaut du second degré, N'— 4MP
dn quatrième degré, et Ton est conduit à écrire que deux
33i
i:iiAi*nhK xvrn.
Hl riFiiliKS t!:LKMENTAIItEâ D INTEGRATION.
polynômes ci*i rjijrilrif'me <iegré soni iVlenliqiies, ce (jui exige cm ^ê\
conditions st^'itleiiu-nt. Gomme on ♦lispose de sr\ coefricieiiU A ^^,
Ou vu il qu'un de ces coeffieierïts reslera arbitraire. Il y a (îor-^c
nne intiiiili' de polynômes F(jet, j' ) de la forme t,47 )* dépenda^^^
d*une cotisUinLe arlïili iiirr C, el tels qur dr la relîUion
(51)
P(\r, r)= o,
entre les variables .r et y, on [jiiis.^e déduire la relation (|
Celle rel^ilion (Ji) reprt^senle dont; Tiiilegriile ^«'■nérafe de Vè^
tîon proposée.
F>a déterrninalnin elTcctive du pnivnnnie FlJ-jj^) exige un r;i|cid H'icJ^.^,
lificalioti que Ton p»'ul vimpliHci' |jar une repré^eiitatiori lîéiirnrtriquiî ciy^
a Jacobr. Consîtlèroiis. pour prendrtî le cas général» un |ï«d)noiiR* fiu <^wa-
IriêRitf rlc^ré R( / i piemier avec sa dériver, el soifwt /|, /j, 'i, ^i /'•«
racine» de R( / )— o. Soit, d'autre part, 2 une conique qtjelcanque flont/<*s
cocirdrvnnt^es ^ et ^' sont exprimées en f*mction du paramètre variable/
parde<i Iraclion-^ rationnelles du second drgré, de façon qu'à un point <x,^ 1
rorresjiondc une î^eule v*<îeiir rie f; uppelonf Wj, mj, /«^^ /«; les point*
de Z (|ui coriespoudenl nu\ valeurs f», U^ /,, /j du paramèlre. Knfî *•*
soil 1' une seconde conique passiinl par tes quatre points m», m^ nti
Toute thoile Langtnilc à 2' rencontre 2 en ilcuix points M et M'; ^i ( ti
sont les valeurs correspondantes du paramètre, la relation entre I et l'
de la forme cherchée. Il est évident, eu elTel, ([uc cette relation e*t $ym
trique en / et t\ et iju'elleest du second de^rr par rapport â chacune tJ
variables; i:ar par nu point M" loi peut tnejier deux tangentes a 2' et
suite à toute vateur de t correspondent deu\ valeiir* de t seulemenL
Soit
'-m
(>a)
F(/t ' )= o
cette relatir*n; ou en déduit, comme nous venons de le voir, une rclal
entre les dilTerentielle!^ di, tlt\ de la forme
(53)
dt
itf
v/Pi7) ' /F ( t' )
= o»
F*i/) élanl an polynôme du qi*,i(riènic degré. Ce polynôme P(0 '^^
identique fi un fadeur constant près à rt(/). Kn elTet. d'après la façai»
ménoi 1 que l*on viettl cre\pliquer) dont on dcdtjii le polynôme Pi/^
de F( ^, /' ) = o, les racines de P^|)=o sont les valeurs de t pf»ii *^
lesquelles les deu\ valeurs de /' sont confondues. Or, la signification Si^^^'
métrique de la relation (Sa) montre immédiate ment que ceci ne pf**^^
avoir lieu qne si les i\^n\ lan^cnies à Z' issues de M sont confùntluei '^•
c'est-a-dire si ce point M est l'un des points #/i|, rti^^ /«j, m^. INous soinia ^'
ir — RQIf AXIONS DiJ r*n£Mlt£R L»HI»RE»
333
4onr conduits à la iB^^ih + nif >iui\tiiiie, n'e\i«eïint que de'^ calculs raliotiiiels,
fMMit «blentr Tin lég raie ^ênêiale «ie réqualion
iHï
fit
lit
s,^*-+- a\t^-^ iitl'-^ t'a 'H- «4 p qui nt^ dilVère tjiie pur le** noia-
lion§ de réqualion pruposoet Î2). On commencera par for ruer l'équation
géoi^rale d^çi coniques 1' pa&<^ant par les quaire pohils m,, mt, /«a, m^
yii H(0-
df
de la fo
; cette équation esi oc la lorme /(x, >' i-h LiÇ( j?*^ j^) ^ o, u «lesignant
uaeconstrtiUe arbitraire. Pui*^ on écrira la condîïion pour que la drnile
jaigndnl les deux pohus M et M' de ï, qui i^i>rres|itindenl aux valeurs ^
t au paramèlîti ftùll tangente à Z' . La relation obtenue, qui renferme la
contante iirbitraire C, représente l'ioté|,M'ale n;t"*nérale de J'équalion d'Euler.
Poyr déveli>|jpcr le^ calniU, prciioiis poui X la paral>ole >' = ^^ el
l^nvms T— /*, y ^ l, La coiiiqoc il' rrpi'éj!i»'nt<e (>ar Téquiilitm
(S5)
Ax'-+- A' y* -î- A B' JT)' -h a B'nr -+- 1 By -h A" — n
rodpe I en quatre points* donnés ]iar Téqualion du quatrième degré en /
fue l'oti obtiendra en remplaçant .r par /' et )' par f. Pour que celte
équation soit identique à K^ / j == o, il suffira que Ton ait
l56) \ ^ Utt, A' -^ iB' = it^, aB''=r(/|, iB = a^, X' = a^.
Le coeflicient B' resiant arbitraire, nous po'^erons B'=:C^ ce qui donne
A' = at- iC.
Rappelons mainten;int que IVquation langentielle de S', c*esl-a-dire la
ryndiiion pour que la droite %t -\- ^y -^ ^( ~ o soit tangente à cette
Conique, c^L donnée par l'équation
<57)
A B B' 2
B^ A' B p
B' B A' Y
ï p y o
ba droite joignant le^ deux points (/', /) et ( t'^y t ) de £ a pour équa*
tioo
iious pouvons done prendre
Y = ff'.
^•^ salistituanl les valeurs obtenues pour A» B, A\ B\ A\ B", «^ p, y dans
** Condition (57), et remplaçant t et i' par x el y respectivement, nous
3iJ
«HVPITHE WIIJ.
MKinOhKS KLEMBN7 UKtS Jî I.VrKGR VTION.
jiiHVt^nMtis a l'intégrale générale ilr rL^jualion d'KuJer *oii> lu forme sui-
vante ifnUqm-*' pïii W. Sti«'lljes
(58;
%
—{x-hy) xy
= o*
Celle équation re|ir<îs**iut* une riiiritlle île roiirbes du i|iialriêiiic dc;;<<'i
ayanl deuit points tloiibli-^ ii rinlini sui Or ei 0>' respectivement. L't'qua-
tion élaiit «Im M.H-fmiJ ile^ré p;*r r;inpi>i't à la Constante C, il pai^s^ dc"^
courbes de hj laniille par un point qnelL'onf|ue *\w plan: ce qu'il l'tatt
facile de prévoir puisque réqualion dîftVi entielle proposée druine dcu\
valenr*^ oppf»^ées de y* ponr un mône point ix, y). Ces deux valeur* <!<?>
ne devifnneni e;;ales<|ue si le point (.r, r ) a[ipartirni à la courbe \Y - o,
qui se composée de quatre droites Dj, D*, 0^, D^ panitlêle* a Taxe Ov.""^
de quatre droite** A), A-, A3, A4 parallèle*^ à Ojt. Ecrivons l'équation d*Kut*T
sous forme entière Y dx^ — X dy^ — vi^ et prenons un prdnt \L{r^ vi^u''
l'une de** droite'^. A, par e\empk% n'app-irterianl pa* aii\ droites D. Po«f
les coordonnreîi du point M, on a Y' = o, \ v:: o, et Tequarion dKulcf
donne pour r' une racine double, r' = o» Piir e*^ pinnl i'VI tl (ja^^e une |>rf-
inière courbe intégrale, la droite A| elle-niémL^ iVlai^ on peut vérilkT qur*
les courbes représentées par la formule ( 5l< 1 admettent pour courbe enff^
loppe l'cn^ienibl*^ des linit droite* données par réqnalion XY = o. dr '^cte
que |iar le prnnt M d^» Aj il passe une nouvelle cnurlio intégrale tanjrfi'ie
à la prefiiiére. \ihjh avons ici un nouvel exemple d'iniéj^ralei* *in^uliér<**,
car le-î iiuil droites U/, A| ne sont pa^? t'iimpri$es parmi les courbes repr^
sentées par rîniégrale générale.
Benuin/uf. — Nous avons supposé, pour p,irvenir à la formule 1 5? ii
que le polynôme H(x) était du t|uatriéme degré et premier avec sa dénv*'^
Mais il est clair que le résultat est susceplible d'une vériMration dirci'tft
OÙ cette byjHitliése n'intervient pas. On pourrait, [lar evi-mple, foriw^f
l'équation difTérenlielle des courbes représentée* par l'équation 1 381 en
appliquant la nielbode gêné 1 aie (, n" 'MTS) et réqualo>n obtenue Sff'^
forcé meni i il en tique à 1 équation d^Euler, quelle** que soient Us ^aki»^
des coenicients «y, ai, ..., «;, puisqu'il en est ainsi lorsque res cot\*
ficients ne vérîlient aucune relation particulière. La formule (5ë) fO*"
vient donc à tons les cas.
^^77. Méthode déduite du théorème d'Abel* — On peut aussi dt^<Iii>''f
très ai?^ément Tinté^rale g*^nérale de l'éqiialîon dMiuler du theormif
l'Abcl. Désignons mainlonaiti |iar \H r } un |(ril\n<mie du Irnisîéiiie on du
loalriénie degriv, premier avec s» di'rivre, el tîonsiJei uns Ja courbe G qui
I pour equaliûii ^'- = H(x}, Si une courbe alf;ébri<|uu varialde G' ren-
lonirc la courbe G en trois points variables «veuleinenl, M,, M*, M3, on a
lémonlré ( n* 361 I que les coonJunners (j"h j^j), (^st J's)> i^AfJ%) <le ces
ots poifiU variables satisfont à la relation
Si la courbe sècanle G' dépend de deux paramètres variables dont on peui
fcfiûSiCr de fa^;on que deux des jxtfiits <rirMerseelion { Ti^ y\ )^ {ot^^y^\ vien-
liru coïncider avec deux points qnelcniiques donnes à l'aviince de G, les
bOordonnées (J'a» Ja) ^^ tr«M>iêijie point d inter>eelion sont de^ fuiiciion**
des coordonnées (^j, ^i ; ^%^ y\) ties deux premiers satisfaisant a la rcla-
lion iycj\. L équation k — - =0 est donc équivalente a 1 equa-
liôn^ = o. dont rinlégrale générale e^ -Cj — const. Or 1rs points IXi,^|),
JFi^7i) étant snr la courbe G. nti a j'{ = R(x,), j^|= R(^t)t et l'êqua^
,» dLrt dxi ,, , .
t»on —^ ^ := o, que l un peut écrire
D)
/R(jtJ /Rf^ï'î)
IW, *auf la dilîérence des notations, identique à l'équation d'KnJer, Dans
M«>rmuJe qui donne l'intégrale générale
f
x^= F(x,,>', ; j*,, 7,)— const.
li doit remplacer yi et y, par /R{jr,) et /R(:i?s) re<ipectivement. les
'^'«rrnuiations «les dcu\ radicaux étant les niéiiie^ «lans le*> deux for-
'^uW'! ( fk> I et (6t). ÎSous obtenons ainsi, pour Tintégrale générale, une
pfniule renfermant des radicaux, tauflis que la formule ( 58 ) est rationnelle.
fli* Ib forme irratifïnnelîe est dans certains cas plus avantageuse.
(Développons les calcuU en supposant le polynôme Rf j) ramené a la
wiïie normale «le Legendre K(a-)=(i — t*)\\ — ^'^.r'), A'' étant dîflV-
Wt de tëro et de Tunité. La parabole G'
1} y •= ar^ n- /jjt -h i
i^conlre la courbe C^ reprêsenlêe ptir IVqnation y^— ]î{{x) au point
^=:o,^^=i)et en trois points variables <lonl les abscisses Xi^ x%^ Xi
^t racines de l'équatiim
63 \ f rt' — A î \ T^ -r- 7 ah .1 î ^ I /** H- * a ^ A'3 -+- I )x -h 'i ^ = o,
Menue en éliiinuant^ et >u|>priniant le facteur j*.
I,
336 CHAPITRE XVIII. — MÉTHODES ÉLÉMENTAIRES d'iNTAg RATION.
On déduit de cette équation les relations
'i
J7, H- j:, H- ars = ^^__^^> x^x^^ XtX:i-\- x^x^= a'^^k^ '
ib
et) par suite,
(64) ar, -h x, -h ^8= axiarja^s.
Mais en écrivant que la parabole G' passe par les deux points (xi,/
(a7i,^i), on peut déterminer a et b. On a en particulier
axja-, = n — ;
X\ — x^
portant cette valeur de a dans la formule précédente, on obtient fin^
ment l'expression de x^ au moyen de Xi^ /j, x^^ ^j,
Xz =
L'intégrale générale de l'équation d'Euler
(65) -^l=^--^L=^o
est donc représentée par la formule
(66) x,= ^? -^î ^ ^
ars v^R(a7i) — xi /R(a?,)
378. Applications. — Quand on cherche à déterminer u-^^*^
courbe plane par une relaiioii donnée F(a:,^, m) = o entre W^^^
coordonnées (jc, i') d'un point de cette courbe et le coefficie- — ^^
angulaire m de la tangente en ce point, les courbes cherch^^^^
s'obtiennent évidemment par l'intégration de l'équation différa ^"
tielle du premier ordre F( j:, y, y) = o, que Ton déduit de la r — ^"
lation donnée en y remplaçant m par jk'- Si cette équation est ^^
degré q en y\ il passe en général, comme nous le démontrerez ^^
plus loin, q courbes de cette espèce par un point quelconque ^"
plan. Considérons, par exemple, une famille de courbes C, rep«^^-
sentées par l'équation ^(x, y, a) = o, dépendant d'un paramètre
arbitraire, et proposons-nous de trouver leurs trajectoires ortHo-
gonales, c'est-à-dire les courbes C'qui, en chacun de leurs points,
coupent orthogonalement ime courbe C passant par le même poînl.
Soient m, m' les coefficients angulaires des tangentes aux deux
courbes orthogonales C, C passant par un même point (x, y)] on
It. — * KQCATIONS DU PIlEMIEH ORDKE. 1^7
doit «%oir entre m et m' h vehium i -h mm'^= o. Soit d'autre part
F(x,^,^) = o IV'qnalion difTereolielle des cotirbes données (î;
on a F(j!T, >s m)= o, puisque m e^l le coefficient angulaire rie la
tangente à une courbe C passuni au point (x^y) et par suite
''(^'^'-i)-"-
I
D'ailleurs m' est aussi le coefficient angulaire de h tangente à
une courbe C |»as>ant an point (\r, y); cette courbe C satisfait
donc aiHsi à réquation
et /'o« ol/iienf f* ^quafion fUjférenf ifUe f/rs iraje^totres ortho^
gonales des courbes <1 rv* remphtçanl y par ; rf^/ïj: rér/im-
tion dijferentit'ile des courues C c lies-mêmes.
Pour obtenir l'éqnatioji des courbes C, on doit éliminer a entre
Ves deux équations <1> =- o, — -j- — )''=-o: donc, poitr obtenir
' équation différent ieVe des trajectoires orlhogonaleSf il suf-
fira d^ éliminer a entre les detiJt relations <^ ^^ o.—- v' = o.
Preoons par exemple les ctinique^ représentées par Péquation
y^ -»- 3.r= - xajc — a,
^11 u est un paramètre variai île. L'apfdicatioTi de la règle précr-
Q^iile conduit à réc|ualion difrérenlielle homogène
{ y^ — :ij?*)^'-+- a^X = o^
'|ui devient^ en posant r ^ uj: el séparant les variables,
dx 3 da du du
On en lire
C<(i«-i)
.r'=G(7*-^*).
Les trajectoires orthogonales sont doue des culiiques admettant
l'origine comme point tlouble.
Du ne façon pln-^ générale ^ considérons une surface S dont les
coordunnce» x, >% z sont exprimées en fonction de deux para-
G„ IL 12
mètres variables //, r :
on lire <le ces Tormiiles
0^
Ou à%'
dy — 'r^ dn
du
âv
d^\
dz ~ --^ du -^ ^ -
ou fiv
I 1 diti ,
et à Loiilt* valriir du riipjiort -t- correspon*! nu»* lange nie â
du
surface jîassani |irH' le [hiiiiï {u, e). Si Toii se prnpose de det
miner le- s t'ourlies île rPlle <iirfafr halles qijf la ïaiii;fnle à Vv\
de ces courbes erj \in [mmiiI tjiielc«iiN|iie dépende Uïiiqiienient
la posilioit de ce poinl sur la siirfiirp, on esl encore condiiil
inlp^rer iiiie r(|tiHll(>n dïn*^rentîrllr du premier onlre
â
(68)
*'("^*'£)=^'
iDversemenI, foiilf' éipiatioii rie celle forme élaldit une relaU
entre un jinint d'une etjurhe >ilu«?i* sur la surface S et ht laii^eii
en ce point.
Proposons- non :>, par evenijdc, de déterminer \^<^ Irajecloir^s
sous \\\\ angle consluui \ d'un** lamille de ctiurbes donnée;» situé^^
sur la surface. Etant dtuinées deux ronrbes C, C passant par l* ii
point (f/, t') el se coupant sous nu arj^le V. on a la fniiuule «jëii ^-
rale (n'' 277)
\L du ou -T- F f du 5r ->- di' oit ) -+- G dv ov
(§9) cosV = ■ - ^ r—^^'^ .-.- - *
/h du^ -^- -î P du dv -\- Gdv^ /fcl ^m* -«^ a F ow §f -4- G S*»'
E, F, G avant la si^nifiealion habituelle, du et e/r désignant 1^^*
dillérentielles relaiives à nu déplaremeut sur i\^ 8n el ot' les dirt*^-
rentielles relatives à nn dé|)birement sur C. Les courbes 0 éla*^^
données, v- est une fonrlion connue df ft et de c, -s— =: Tr( tt, f Ji
et en remplaçant -^ [)ar7î(/^, r) dans la relation précédente (6^ ^t
la relation obtenue F ( //, i\ — j^o est F équation difrérentiel'^
des trajectoires cherchées.
Considérons en particulier les trajectoires -^ons un angle con-
stant des méridiens tie la surface de révolution
jr = pc<>5(»>, jK = psinw, z=f(p).
— ÈOIATIONS I>*C»RI>RE SrPKHJKl R. 3^9
Nous avons ici
a =p, p = t», E = I -f-/'ï(p), F = o. G = p*, ^v — Of
réquai ion (69) devienl
1/1 -4- f'^i p) dû
ces \ = — ~ —
On en lirp, en lésolvanl par ni p port h f/w,
P
i Cl «Al s'ohtieiil par iiur fjiiadralme.
iri - ÉQUATIONS D'ORDRE SUPÉRIEUR.
379. IntégratioB de réquation ^^ = /(;r) * — Êtaal donnée
i»tie éqiiahon difïérentielle d'onlre n,
ou ^0^ ^:^ , celte équation el celles que Tou en rJéduil par des
***nëretihalions rénéïées permetteiU d^expriiuer toutes les dérivées,
^ pîiriir de r^**^, au tnoytn de .r, y, y, y\ . . •, yAttu g; j^^^^
'^Q se donne pour une vriteor particulière Xq de la variable indé-
pendante le;* valeurs correspondantes ^©j ^01 •«•j^lT*^ de la
'^^icrioii cherchée y et de ses n — 1 premières déri%ées, on peut
^ celle façon calculer les valeurs de Ion tes les di' rivée s succès^
**^es de la fonction înt onnue [xinr la valeur ;r„ de j\ et former
"'ïe série entière
^^Ot la somme représenle Tinlégrale en question, si toutefois celle
•«^iegrale peut être développée par la formule de Taylor, Jusqu'aux
-'"^Vîinx de C-auchv, on avait admis sans démorjst ration la cnnver-
^"^--''^'^-'~ -'"■ -"
(')Voir par exemple le Traité lie I.aghoix,
CHAPITRI^ KVItK — MÉTHODES KLKMBKTAIARS l> îNTSGnATTO^.
èsl bien ainsi, movennanl rjMtaines condition.^ qui seront préci-
sées. Nous indiquerons seiileni^nl ici quelques tvpes simples
d'équa Lions difTérenlielles d'ordre n donl Tinlëgrahon peut se
nvmener à des quadratures ou à [intégral ion d'une équation
d'ordre inférieur à /*.
L* équation diirérentielle
(7'^)
--J{T)
constitue le iv[ie le plus simple possible des tW^ua lions difleren^
tielles d'ordre «. Elle s'iulèo^re au moyen de n cpiadnirures succes-
sives; en efl'el, eu désignant par x^ une constante numériqi,,^
prise à volonté, on a successivement
-x>
ï X ) dx -^ Co
= / ^-^ f f^Jr . . , 1 /{x)dr
,(n^i>
1 .1.
. (n — a)
Cfl_», Crt.a, ..., Cfl étant /î constante'^ arbitraires, qui sont égales
res|iecLiveinent aux valeurs de rinLégrale et de ses ( // — \\ pre-
mières dérivées pour x ^= x^.
On peut remplacer TexpressioD
\= f dx f d:t.,. f f{x)dx,
qui renferme n signes d'intégration superposés, par une expression
ne coiiiena'U qu'une seule quadrature portant sur une fonction où
la varialde x figure conime paramétre. 11 est facile de vérifier ce
fait qui sera rattaché plus tard à une théorie générale (n" 399). î**
nous posons, en efTet,
(73j
■i >
I
enfin , -* ==y(^). La lonclion Y* fisl donc une inlégrale de
l^équaljon (']'à). D'ailleurs, les deu\ fane lions \ et Y, sont milles,
ainsi i]ue leurs [n — i) premières dérivées, pour jc -^ jf,j. Leur dif-
|r**refice, qui esl on polynôme de degré au plus égal à it — i, ne
peut, êlre divisible par (*r — -tu)" à mofns d'être nulle ideulii|ue-
oieiit. On a dtjuc Y, = Y.
38<^L Cas divers d^abaissement. — Les cas les pi us rréc|ijeDls où
1 on peut abaisser l'ordre de Téqnalion sont lc> suivants :
1" L'éqtiation ne renferme pas /(/ /onc/toft fm ftnnue. — Une
équation de la forme
^*^ ramène imtaédiateinent à une équation d'ordre n — A* en pre-
''^ni pour incoirnuL' ~j = ti. Si Von peut intégrer Téquation
^^^xjljaire en u^ on aura ensuite > par des quadratures-^ comme il
^*etit d'être expliqué.
Il arrive quelquefois que Pnn [)eut exprimera* et // =- ^:^ ^^
*^^3ren d'un paramt-tre atixiliiure t par des formules
ii
S fonciions / et y renfermant aussi des eoostantes arbitraires
•^Iroduiles par riiitégraliori de l'équation en //. On peut alors
exprimer aussi y au moyen de i par dt's quadratures; on a
^'«liord
^ ^u Ton déduira 1'^*^**. En oonliiuiunt de la sorte, on calculera
^^ccessivenient j^ *~2j ^ ^ ,^y'^ jusqu'à j%
3ia cnVJ'lTRK \V[(t. — JiKTHODËS ELKMRNTAIttES »'mTÊc;it4T|0^.
indépenda
2" /- équation ne renferme pas (a varia
^- Si Poîi a une éqiiattnn de la forme
iniç^
(75)
on [ïoiirrait la ramener à ta forme précédante en prenani y ^^gm\r
variable indépeiidanle el x pour iiicODniie^ la nouvelle équa-^^''^^
dx
ne eonliendraiL pas x^ el en prenani ^ jjuiii' ny*ivelle incon^^"^'^'''
on sérail conduil à une équalion d'ordre n — i. Mais on j. -^«^'^^
effectuer ces deuK Iransformaliuns simnltanémenr en prenais ^ y
pour la variable indëpemlantc et en (ïienant poiir im tïnoue -p zz^ p'
NoiJîi avons en efîcL
d'^y _ dp ^ dp dy _ dp
dx^ ~ dx ~ dy dx '~ " dy^
d^y d / dp\ d l dp . i'àp.^ ^d^p
et ainsi de suile. D'une façon générale* -j-— s^exprime au mov^*^
de y? el de ses r — i premières dérfv»'es par rap|>ort à >'. ()n aU "^"^
done bien une éL[ualiou diÛërenlielle dVjrdie n — i.
Supposons que Ton twl inléc^ré celle éqnation auxiliaire d^ord^*^
n — ï et» pour ]jrendre une hypothèse ^*^nérali% supposons que ^ \
ei p soient expritnées à Taide d'une variable auxiliaire /, qui pe"-**- ,
être l*une de ces variables elles-mêmes, y ^f(^()^ p ^=z <:$( t)^ |^^
fonctions y cl '^ dépendant en oiilre de constantes arbitraires, t^^ ^
la relation é(ï=^^/x on ùve /*{i) dt =^ 'ù[i) dxj de sorte que ^
s^>btt€nL a son tour par une quadrature
J 9ii)
Celle méthode est sirrtoul employée pour réquahun du seco*^^
ordre
F(y,y\ y'"» = o,
que Ion lam^'neainsi a l'équation "lu jiremier ordre
Ff
y\ p. p
%)"■
EOLUTIONS irOHIUlK Si PEHlIîia.
343
ioît/?^^('K, (if rfnléi^rale ^rniérale de reiir iWjUiJhori du prf^-
mier ordre. De ki lelatinn -j— =9{ r» C) on déduira x par une
tt.r i ■-. ■ i
qttatJrîiliin"
If <r
,/ »( y. G)
ISi riolégraJe générale de lV'i|iiijil«>n en p v^i résolue par rapport
là ^, el se présente st>us la forme x =./(/>, C), on a de niérne
el, par snite,
I
f'\p\ dp = /> r/j"
'fipUlp
= ..^f^
Les coordonnées d'im fït>inL d'une courbe intégrale sont ainsi
exprimées au rnoven d'un*:* vnrialilt^ auxiliaire p (pii représente !e
coefiicient angulaire tle la tangente à cette eourhe,
3^ L équation est homogène en y^ k', y",
est le degré d'homogénéité, réqualîon est de la forme
/(«»
Si m
(7<i>
I
*|t i on voit ijuej ^i y» est une îiïtégrale particulière, il en est de
nie de A>'|, quelle que î^oit la eoaslanle A. On abais^^e Tordre
^^ celle équation d^unc unité en posant^ = e*^"*'^; on en déduit
en elIVt
r' = u ê^*^'^'', y" = e^tt<tjr{ a' -h u^ ), . . . ,
**^ <J'une façon générale y^''^ est égal au |»roduit de e^"*^-^' par mm
I '<*1ciion eiitiéfe de ti, ti\ «", . . • , ti^^^^K Après la substitution dans
* ^Cjuation proposée, il restera done une équation d'ordre/?^ 1»
4" IJ équation est homogène ptir rapport à x^ Y', d,r^ d}\
.y^ . . ., (i"y. — Lorsqu'il en est ain^i, Téquation ne change |>as
H'^aiid on change x en fl.r, y eu Cy, Ç étant une constante
'l'^^lconqne. Cela posé, imaginons que Ton [irenne '- = u pour
**^iivelle variable indépendante en pn-nant .r ou )' p^mr incormue*
x^iand on change x en Cjr, y eu iy\ (t ne change pas; la nou-
^'^Ue équation ditrérentirlle (entre x »"t fi par exernjde) doit donc
rosier la même quand oji remplace x par C.r sans changer a.
3.i4 flIU'ITBK \V(M- — MKTIUHUÎS BLI-^MIvNrAIRKî» O'iMTKiiMATION.
Celle é([Natin[ï rsl dom JHUHH^t'M*^ pur rappoii a jj, x',,r'', . . •,-— ^^\
et Vou rcluiiibe ?»ur le €;a.> prrcédtriU.
Herttarqtte, — Dans les dillérenls cas de véâuiiH^n préc*'dc?!-!_ ^ftls, j
il peul se faire que Fou sache ohlenir certaines ioté^rale.w— lî ûc
Pérpialion auxiliaire, sans pouvoir en dëtertniner Tinlég^ale gé^so^^- ,
raie. J^es inétliodes précêdenle?* sont encore appi ira blés cl p^^er- i
meltenl dVjb tenir par des quadratures des intégrales de réqua^^BiOH I
proposée, renfermant mointï di; // eonslanles arbilraires.
381. ApplicationSi — i" Ltîs équaiiuiis île la furme y^ = f(y) rent ^r~eAl
flBiiâ l'un ries i\|if* |m ècéflent*-. On peut les intr'»fi;rer dircclemcrU ^a«*
aiirtjrie lraiisf*»rmalioij, rar, ^i Ton multiplie les deux jnciuhre^ par ^}'\
on en déduit, après une preniiùre inli';;r;iûoii^
cl t'tm il ensuite .r piii une quafltature
T = I ^ G ,
Cotisidértm^ par exrmple It-quiitiMn
y = ^oj'' -^ <Tj r' H- (^iV -I- Oî,
G,
Tun au moirjs de*; coefticitrnts a^,, ai n'élant pas nuh Nous avon? d*»bord,
en mukij)]iant le? dcu\ rnenibres^ par ly' et eu înlègranl,
y^= -^f^-h T^ aij'^ H- atj^ -^ 'la^r -4- G.
L'iati'graïe générale di* relie neuve lîe équation est une fonction elîiplîfï*^*^
(a** 373 )t pouvant comme cas partirulier se réduire à une fonciion sirnp'^'
menl périodique ou même a toie fonciian rationnelle, $i l'on a clioii^i ''
con;>lante G dç façon que le polvn<one qiii r«.l au '^croiid membre ne '^^**
pas premier avec su dérivée.
a" Il peut se fairp que Ton puisse appliquer succesî^ivemenl plu^ieiJ'*-
des mèttiodes de réduction â une même équation. Prenons par eveiiip'^
l'équation du quatrième ordre ^{y'^y — Sj^'j^**^ = o. Si Ton pose d'âbor»
y'= u, Ton en déduir une équaiion du second ordre ^w'* — "i«ii'= a, <!**'
u' 3
est homo**ène eu ^f, ^^', «** t^osons n ^ e^^*'»'-^; if vieni J t'^ — îâi''. ou ^ — — î*
et Ton en rire
« ff* -4- rt
•]uon peut entore écrire
roii pri tire, aprè^ ime |jreriueic ir*léf;raLiop,
etani une rori^lanie ai bîti aii e. La relation fi y = p dr nnw^ ilnmie ensuite
)X C/?( I -^ /jî ) • dp — p dj-y
,T ^ Tç— l±C I ii^ p'i \ î dp.
Pôson<i /? — tati^«; iiitjl«^> le^ rouibe^ obleiiue* en fiii^Hdi \arier C et x„
"^e (Je«iui^enl » t»;ir une f riUis!aLir»u nu une Liaiisfonnalic»ii linîmilln-licjne, Je
■ iï riKitbr r repié><'nh'i-: par le^ é<|iii\Uor*»«
Il est facile de ^e faire une idée île la turnie de la cfjurbe d'aiirés ces
équatiori-H, quelle que soit ta valeur de ji. i^uand ii est un nombre entier,
on peut elFectuer la quadrature. Si jj.csi un nombre entier po-iiiif, la courbe
n*a pas de brandies infinies, maî*ielle [Knit avoir deux formes d'aspects très
«lîdérenLs i^uivant la piuité de jx^ bi ^ ei^i nu nombre impair, ^ est unefonn-
BXER4:IC£8.
347
EXERCICES,
Vfiijver l'équation ilinV-rentieHe îles coniques en portant tïe leur
jii générale non rési>lut% et en éliminant ïc*t coeflieienl^ eolre celle
>n et les rclationï* obtenues par cinq dérivations succe^^sives.
llégrer lc$ rquaii^ms {litlVi enlieHes
y'* -h 3 r'» -h >*• — i = o.
}ipliqu<?i li-'^ uK'th'Mie^ «i^énériik^ iJabais^emeut à rintégration de
ion (iilTt^i t'ntiellr ib*> roui ij nés.
n ilenianile les i ni»**; ru 1rs *le l'équation y" ^ 'i,y^{y — i) qui s*>ni
leiionf ratioufiellcs lui ^iniplenient. périodiques de la variable*
{Licence: Pari??» (899.]
taiil donnés un iri:in;Lîl»" \BC et nue courbe P dans le plan de re
e, soient a, />, e les points tie rencnnlre des eûtes du triangle avec
ïente en ma la eotirhe T. On demande les courbes T fxiur lesquelles
lorl nnhriruioiiique des quatre points m, ei, é>, c est confiant, lor^^que
Il w se dépUiri' -^ur Tune d'elles,
Ippoil aubarnionique de la tangente en tu «.'t des dmites //lA, mB,
l rr»nst«iiil au^"*!.
tant donii«*s lin p«Hjit O *M uii^ droite D, trouver une courbe telle
poilîon «le t.Higeiile \W^ imaprise rnlre le point de eonlact M el le
^ où la tangente rencontre fa droite D soli vue du point Q sous un
tstant*
\Livence : Besançon, ië8>,|
ivcr lc« projiTctions swx U* phm <l«rs xy des »20uibes situées sur le
Inîde 2«5 = niJ*' -f- k'*^ dctnl le-^ tiingente^ font un an};le tonstdut
a%ii' l'axe O5.
\Licenc€ : Paris, 1*^79.]
I
rouver les liajeetoires ortbogonales îles familles de combes n-pré-
r Tune des é(|uatii>ns suivantes
y'^i^n-
^x\
nue* -
a^jy,
a* le
paramétre variable.
:*48
«iiAhiTiib: xvni
MKTJiOOliS ELKMEXTilRKS f» INTI^GR |Tt4>>\
9. Pour que l'équation ^{t^ y) = C rejïn-stMiU* une famille cli; oourki
parallèi*'*, il fam et il ^uflit que Ton ah
ç(Q ) étant une fonction quelrunqijf" dt H.
[On écïïL que les Irajectnircs urlho^cmales sont des lignes droili-HJ
Ifî. Ttntjver I» ccinditimi riéf't*ssaire ut suffisante pour que le» courber
intégrales de réquatioei y* =" /{^t y ^ formenl une famille dr coyrbto
(ïaial]éle«, ei niorilrer qu'on peut effectuer rinlég ration par une quadri-
I nre*
\^Licence : P«ris, i8i)H.|
11', Former l'éq nation ^/méraJe des coniques qui coupent une c(mJt]u<:
donnée C orthtigonalenient aux quatrcs points commun^^. Ces eoniqui?^
fornirnt en général plusieurs familles distinrtes: tr«m\er le^ trajei^loirf^
orihoH^onales de ehaeune de ees familles. Kn déduire tous les *j*tèrof^
orlbogonau\ dont les deux familles se composent de cotriques. [Sî/=Oi
«p = o sont les équations de deux coniques se coupant oi thogonalenieni «n
leurs quatre points communs, on u une identité de la foniie
t)f è'i* èf ào - ^
0:r Oj- ày év '^ * ^
) el p. «^Uint deux cucfUrienl^ constanis.)
\'i. Trou\L'r lu condititïn pour que les com l*rs intégrales de l'équalioft
dilTérentielle ^^ = y*( j?» y ) forment une famille de courbes isotherm***
el montrer qu'on peui obtenir un faeteur inléj;ranl,
[SoPHis \ai]
13, Soient^i^ j^5 deux inlég^rales particulières de Têquation de Rrccatiti^ï
(p. '1qI>). \in jiosanî ^— = -, on est ronduii à l'équatiou linéaire
14, Trouver une courbe plane C telle que le triangle, ayant p>ûf
sommeis un |M>tnt quelconque M de la courbe, le centre de courbure cor-
respondant elle pied de Fordonnée du point M, ait une surface coosUi^tf*
On fera voir que Tune des coordonnées s'exprime en fonction de l'autre
par une quadifiture, et que Ton peut se faire une idée de la forme de !•
courbe* sans en avoir l'équation en termes finis. [Les axes de caordonin'^
sont «supposés rectangulaires.)
[Licence : F'ari-^, 1H77 |
I
15. Étant donnée une courbe plane C, soient M on point de celte courl>«.
I* le centre de eourburv de la courbe en ce p<*inl, et MT la lani^ente. IV
le point T où eelle tangente coupe l'axe des jt, on mène une p^^ral^c
EXRACICBS. ^^^KT 349
M O/ qui rencontre la nuimale MF' cii un |MMiit f\. Délermiiif r la courbe G
«Î€ façon que le lapiitirt de MV ;\ M\ soîl con^tanU
I Licen re : T 0 1 1 1 011 «^c , i K84 . J
16. Déterminer les surfaces de révoluU««n ielït:s que, en chacun de Icnrt
[joirïtf» Jes rajtmf de courbure des seclions principale!» soient dirigés dans
le ménio sens et aient une somme constante n. On indiquera la fi*;ure du
rtiérîdien de Ui surfiice.
{Licence : Toulouse, i87«.j
17*. L*inle(çrîile générale tie l'éipicition d'Euler peut sV-crir
yx--v^Y
rr
rtH JF
y)-
^1 supposant X = ao^r*-^ a^j'^-h <ijj:**-i- «jx -+- a^,
£ Il *uffil de lêsoudre réquatioii ( >H) ( p. Vi] ) (twr rapport â ht ronflante»
' *^^ aprc^ quelques f ransforiTiatiorin» on ohtîent la forme de La^range.J
^h. Les lignes asyinptotiqnes de la surface représentée par les équations
=== kiu — ay^iv — a)**, j=:B(M — è )'" {i> — ù y\ z = Ciu^c y'* iv — c )«
l* C»l)iîennenl par Tiniégralion ile l'équanon d'Kuler lorsque l'on a m = /i,
l**^** m -K n = I. Déduire de ce résultai les lignes ai^^mptotiques de la sur-
l'^^c létraédrale
{îT-ny-ii)''
19. Comment peul-on re* «nuiaitu' >i unr équation diiïérentielïe
'(y — fy^^ y ► ^''** = ^
^dmel un facteur intégra ni de la ffir«ne XY, X ne dépendant que de t
^l Y ne dépendant que de )\ el irouvei- re faiieur intégrant lorsqu'il
«înislc?
[Licence : Paris, octobre 190'ji.]
20', Êlani donnée une courbe plane C, on prend le milieu m de la
corde MM' qui joint deu\ points qucIconque<t M, M/ de celte courbe. Le
potnl M restant fi\e, lorsque le point M' décrit la courbe C^ le point m
décrit une courbe horooihéiique c. Démontrer que les courbes c satisfont
à une équation difTéreniielle du premier ordre qui s'intègre comme l'équa-
tion de Clairaut, en y rcm|*laçant r' f»ar une eonstanie arbitraire. \ BuHe-
iin de la Société mathémuiit^ue, t. WIM, p. 88.)
CïiÂl»lTRE XIX.
TllÉlHiÈMES D' EXISTENT :E,
Les premières recherche'* rigoureuses, pour établir Texislenee
des iutëgrales d'un syslciiie (i'é(]ualinn.s difl'éreulielfps ou (Ti^qua-
liims aux dérivées partielles, stxil tlues à C^IïmicIis. L'ilJuilic g«'û- i
lui'lre a friit ruuHiaîLri! pour Icïi éi]MjJliç»ii^^ iiual v[irpii''s un lype uft^f
déni ou î>l ratio tj forjdt'e snr une uMmioiJo de comparaison à laquelle '
îl a donné le noui de Calcul des Umifes. On lui doil îitissi une
autre méthode, {pii ne suppose pas les fondions analytique^, el
dont ntKu^ piittenuis plus loin.
L — C4LCT1L I)i:S LIMITES.
38!2. Généralités. — L^idée fondauieniale du Calcul des llfi
consiste dîiiis tVuiploi des loneliiuis uiàjorauie?s : les ruhn
rueuls ont la |>lns graude aodo^ie avec celui dout on s^est servi
pour élablir rextî^tiuice des fonctions implicites ( I, n^* !87). Tonte
fonction analytique adjnetiriul une infinité de foneltons mwp'
ranles, on conçoit que la mélliode puisse être variée de bien à^
façons. La simplicité des rlfVuii)nslialious tient en grande parlil
au choix des fonctions majoranles. Depuis les travaux de Cautih|
ses déinonsti'ations ont été perleclio nuées et étendues à des
plus généraux par Briol et BruopnM^ Weier strass, MM. Ménf
Darboux, M™' de Kowaleski, et beaucoup d'autres. Aujorird'hii
encore, ou se sert à chaque instant de cette niétliode pour traild
des ipiestious analogues, relatives aux équations aux dérivées pn
l ici le s, avec des conditions initiales variées.
383. Existence des intégrales d'un système d'équations diflé-
eitidUeB. — Coiisidéruns d'îiburd une seule ^iqualion
35 j
dx
fi T. VU
pt le second membre f(x^y) esl holomorplie dans le voisinage
^n syslf^riie de valetirs .r^, ru- Nnirs nous jirc>|>oson.s de déinonlrer
B cette équation ntimet une intégrairy{x) hoiomorphe dans
domaine du point x^s av? réduisant à y^ ponr x ^ Xq,
3iJppo-^ons, |>onr abréger les formules, .z^o=jkii = o, ce qui
leot à écrire x eÀ y k la place de x — x^, y —yn- Si réijuation
^posée adniel une infé^ralr bolojnorphe dun^ le voisina ji;e du
ni j*==o, et s'aniiiiliuit ^ivec x, il sufliia, pnur jHïuviiîr érrire
développement eu séiie enlière de eelle inl<'*^rafe, de savoir
culer les videurs tle Ion tes les dérivées successives de cette
égrale pnur r == o.
péquillion (i) ii<mi> donne d'aboid (7^) ^/{**f o); d'autre
^l, les équations que Ton en dédnil |>iir des différentia Lions
^«tées perrneLlenl de calculer la Videitr d'une dérisée d'ordre
^Iconqne au nioven de x, y el des dérivées d'ordre inférieur,
< d^ _ d«/
fiy dT^
r-r dy
1 - — - — - -7-
dy- \ dx/ à y dr* '
^Banl dansées relations .r^^y^o, on calculera dr proche
proche les valeurs initiales des dérivées successives ( ^^] •
• y \ / d'* y V
&) ' ''•' ( 7~7r ) * '■'' ^^ rinlégrale cherchée au moyen des
kfficienis du déveïo|)peinent de /(x^ y) suivîinL les puissances
X el de y. Jusqu'aux travaux de Cautliy, oit avait admis sans
slratioii que la série entière aiusi obtenue
n
jprt
('J::z\
\ dx^ /y r . 2 . , . n
lit convergente pour les valeurs de x voisines de zéro,
four démontrer en toute rigueur ce point essentiel, observijns
opérations j)ar lesquelles on calcule les coefficienls de la
iSi
rH\PITHK \1\.
THKùHBMER DK\tSTBNCS>
série (3) se n'dtiisenl en (lélînitive à des addilions ei à des miil^'
(d'^\-
pticalîoiis îieiiferrïeni , de ^orie qnr la valeur obtenue pourt j-^)
peut s'écrire
(4>
flOrt-
<ï«o).
V„ étant un polvdome à coefjieirnts «entiers ei posîiir>, et fluide
gnanlle coeflicient de .r*v* dans Je développement de /{x^y),
donc on remplace hi fond ion f{x^ y) par une fonction ma^
ranle '^(J*, Y) et que Ton se pnipose de ciélerminer une inlégr
fiolomorjjhe de l'éqnalion iuixiliaire
(5)
g.,<..V)
s^annulanl avec x^ les coefficients de la série obtenue pour le dé^T-
loppemcnl de Y serunt des nunihres positifs resj^eclîvemenl iufj<^^
rieurs aux modules des coefficieuls du même rang de la série (3^
Si la série obtenue (K*ur Y est convergente dans un certain doniairtr.
il entera de même a /arliori t\v la série (3). Or la série obltiuk^
pour \ sera c*'riaiuemenl coavergente ^^i réquatioii auxiliaire admet
une inléj^rale liolomorphe, s'auuulanl pour j? = u
Supposons la fonction /^(x, y) liolomorphe lorsque les va*
riables ./■ et y restent dans les cercles C, C>' de rayon*» a el à
décrils de Tori^ine pour ceiilre dans les plans des deuît vanaMes.
et eoiiliniie sur ces cercles eux-mêuïes, el suit M la limite siifW*-
rieiire de |y'(x,j^)| dans ce domaiiie. On peul prendre pour fonctioD
tVï
majorante cp(.r, Y) ^= — :^ rr-* «^l Téquaiian auxiliairetà)
multipliant les deux meml>res par [ i — 'i)*
M
Nous pouvons vérifier direclenient que cette équation adwfï
une iolégrale lH»lomor[die nulle pour jr := o; en effet, les variabit*^
étant séparées, ou déduit de cette équation
(7)
ys
a M Los;
155
^^^m^ I' ^ CALCUL nKS LIlttTES.
Hconslaiite qu'il faudrait ajoiiler au second meuilK-e pour ijvoir
légale gônérale de l'ét]ualion (6) rsl nu lie, si Ton îidnjap pour
ogarillime la di'*LerminiJtiori qui esl nulU' pour j^ = o. En résol-
(l r/'iiualiod (^) par lappori à Y, il vii'iil encore
l*on preud pour Ir radical la dt^teruiinatîou qui se réduil à i
ir jF == o, la foruuihî (8) représenle bien une intégrale de Féqua-
ti (6) qui esl nulle pour x = o* Celle fonction Y esl holo-
rphe dans le domaine de l\>rigine; en elïet la fonction sous le
lical est hoionioiphe i 11 nié rieur du cercle C de rayon û, et
le fonction s*anuule poui
Lorsque la viir table .t res;U' à rinlérieur du cercle Cp de rayon p
Brît dp l'orij;ine pour cerilre, le module de— 7— Log(i \
itc inférieur â lunilé (*) et Je radical est nue fonction liolo-
irphe de .r dan» ce cei'cle. Lii série oLlenue p(»ur le développe-
nt de Y esl donc convergente dans le cercle de rajon 3, et il en
de même à plu5 forte raison de la première série obtenue (3).
.>n voit a i se m en l, d'api es la formule (8)^ que tous les coelficients
d«*veloppemenl de Y sont r*^tds el pnsilils, ce doul nouséLinn^»
yré^ </ priori. Si Ton donne à x une valeur ijuelecmque de
dule inférieirrà p, le module de Y est donc inférreur à la somme
la série obleiiue eu remplaçant J" jnir p. Ou a donc, pour
M point pris dans le cercle Cp^ | \ | <; 6, et f>ar suite \y\ < 6.
l'on remplace K p^f l«i >omme de la série (.1) dan*» y(.2, >■)> le
ullal de la substitution esl donc une fonction ^{x) holuniorphe
dft \e cercle de rayon p. D'après la façon même dont on a obtenu
COcflîctenls de la série (3), les deux fonctions 4>(\r) et —■ sont
lies, ainsi t|ue toutes leurs dérivées successives^ pour x=o»
M En «fFclt tou* les coffricienLs Hu dt^cloppcriieul de ceUc (onction suivant
pui^'-anre» de x sonl recb et né^auf;». Le ruodulc. pour | j: < p, est donc
^wur au module de lu valfur quVllf prend pour j: = p, c'est-à-dire tf runité.
î54
Elle
CRAPITRK %t\.
lolomorphf
el la fonctii
4aU i ]
ni donc rdei>liqries, el la tonclion hoJomorphe y sali'.fi
toutes les conciliions dt '* '
Poui' italculer les coef(΀Mvn(s de hi srrie (H), an (leul sulxiihiei
dîrectemeriL à ia place de »% dans Tëquation (i ), une série en-
tière r = (\.F -f- (j2>^^4-^ - . , el t^crire tjue les denx membres sonl
identiques. Le coelfîcient (fe j""' dans -j- est nCn^ (andis tyie le
coefficient de ,r" * dans le second nienibiWne défieud evideiiinieul
qne de C,, (1^, . . ., C„_» et des coeniritnts t/^^. On vërilîebien
de cette façon cjue les coefficients (!!„ se calctileoi par les seule*
opérations d'addilion el de n»nlli[di(:idion. -^
La méthode s'élend sans dinicullé à nn système d'on rnunli
quelconque d^''qtlalions du premier ordre. Soil
(.o) ^-/.u.r.r.,..
, jy» ►
('=«.'* /»)
un s^ystèrne d'équations difTérenltelles^ on les fonctions /, sortî
holômor|djes dans le voisinaj^e tles valeurs .ro, ()/ïo, .... (j«)<»*
Ce H éq ua i io n s a dm e t le n i n n s y s i è m e d ' in i égi -a les h o h m otp h €*s
dans le domaine du point Tch se réduisant respecliv'enuH^
En reprenant des raisonnements tout pareiK ^\ix précédenls, 1^
dénninsLraLion de ce théorème se ramène à établir que le sjslèniC
d'équations auxiliaires
d\^ dYt
dy\
cùr dsp ' ' ' ' </j7
(-I)(-V)-(-ï)
admet un système d'intégrales holomorjdies dans le voisinage «i*^
Tori^ine, s'annulant toutes pour J^^o; les fonctions ^i sont suf->'
posées holomnrphes tanl que Vnn a \x -- XQ\'^a^ ^Yî — (,^i)o|r^'
et M désigne encore h* module maximum des /*/ dans ce domain^^ "
Ces intégrales, ayant h^urs dérivées égales, et s'anniilanl tont^^
pour x^=o, doivent élre identiques, et il suffit de considéra'
r
équalion unmue
dy_
M
di'
OU 1 4 m
peut encore séparer les variables. Cette équation adme^
CALCUL DES LIMITÉS^
535
ih
Y = è
V'
( /i H- 1 ) M a
Log(,-^),
: holomnrphp rlans le cercle de rayon ^ •=. a\\ — e'"^*'"**/,
est nulle poiir^^r^ o. Les intégrales du système (lo) son!
ohmiorplies dans le mèrne cercle,
éqnalion unique <1 ordre n
fre remjdacée par un sjslèine équivalent formé de n équa-
lu [»reuiier ordre
^n _
dx
^yt.
dr.
dx
dx
= F(a?,r»r yn-\),
roduisani ronnne incoJ»nues auxiliaires les dérivées succès-
Je j^, jusque l'ordre ^ ^i. Ou déduit alors du théorème
il que r équation (ï'î) ndmet une intégrale holomorphe
le domaine du point x^, et te Lie que cette fonciioti et
— \)prem ières dérii'é^s prennent pour x ^^ x^ des valeurs
'^es à ravancefii^ }\j , . , , y\" ' , pourvu f/ue la /onction F
ohmorphc dans le voisinage du système de valeurs .rp.
ésult»' de Ih dèinonstrahon qu'il ne peut y avoir plus d*uue
■lie holomorphe de Téqu^ition (i) prenant pour x = Xq la
»tt. Mais rien ne peimei d'aflirmer jusqu'ici qu'il n'existe
inte'*«4rale non holomorphe satislaisant à la même condi-
)» C'e>l un point tjui seni établi plus loin d'une façon rigou-
î
oici le rai«onneiïi<?nt einployt^ par Briot et BouqurL pour traiter œtle
11. Soit y, f^jnlégrule holoniorplic de l'équatioïi (0 prtînant lu valt^ur^r^^
= ;r,. En i^ùsarU y = Xi -+- s^ elle premt la forme
Bétaut holomorphe pour x = x^, z — o. Suppoj^oos que cette équatiuu
ï une îniégriile, iiutrc 14 yc z = o, tendant vers Jïêro lorsque b Viiri<Él>lc t
356
r:iiAPiTfii-: XI \.
THKOREMES lï EXISTENCE-
384. Systèmes d'équations linéaireB. — Oti Irouvrrd plus livin
par une autre niélliode «ne valeur plus j^rantle pour la limite iule-
rieurs du ra^'oo de converg^ence des séries qui représenleiil les J
inlégrales (u" 1190 ). Lorsque les fonclious fi oui des formes ■
spéciales, on |ieul parfois, en se servant toujours du calcul de^
lîmÎLes, employer des foiietious majorantes plus avantageuses.
C'est ce qui arrlvt! en particulier dans le cas tré^^ im|surtaiil de*
équaliuus lioéaiies. Soient
n4)
dx
^ nnyî-^^ityt-^'"-^ ^inyn^ ^/ (* = i. v.,
n)
un système d'équations linéaires, où It-s fouctiouH «lAel 6, sont de>
fonctions de la seule variable x. Iioloinorphes daDs le cercle C ^^
rajon W décrit du point ^,> coinuie crntre. Ces êqiiaiions adm€^'
te ni un système d' intégrait' s; hoiomarp/tes dans ie cerdeC^ ^^
réduisant respectivement à {y%)t^ {y 1)9^ * • * , {yft)iipourx^3C^'
Oit peut, [loiir la démon slrîilion, supposer
(ji)o= (yth = ^'-^{ynh- o,
car s\ Ton change jv *^n {yùa ~^yh '^ svsti^me (i4) ne change pi
de forme et les nouveaux coefficients sont encore liolomorpti<^^
dans le cercle C* Soit M la valeur maximum du module d^
toutes les fonctions Uik^ ài dans un cercle C de ceulre x^ ^*
de rayon /• <C R- La fonction
M
- JCo
(•
Y, + .
est majoranle [lour toutes les fonctions «h >'
Oi„yn-\'
b4
décrit uinr- courbe C aboiUissiirU. au pinnt .r^, Soîenl. J,, j: deux poiiiU dr cctU
coiirbt: ittinqucls roi respuiuleiti ilnix valftirs z^ cl z^ de i. On iléduil d<? l'èqUi-
tio» (I àis)
Lor>c(Uii -jC, lend vers x., 5^ leiid vers ïtéro et le iiiodutu du iircmîer uiifrobre «If
cctie é^sililë aiti^mcnie îniiéfiniiiicni, lândii» que te module du ^t^roud mim^t*
conserve uiir valeur finie; it ne peut donc y dvoii- une intégrale leudani >c^
Et^io, ditlérenlc île z — o. Mais le r<ii!«oniiemcnt suppose que le poitil Jt unà
vers x^ en décrivant une cimrl>e C de longueur Jiiiie.
CALt^Ul. DES LJMLTKS^
et Dous sommes condnils a consirti'rer le système atixiliaire
M
H57
dar dx * * ' dx
;r — .r„
■(14- Vt^Yt-h,.
Y^).
Les ffmclions Y,, Yj(, . . ., Y^, dovani elre milles pour x z=rz ,r,j,
el ayanl Ifiirs ilerivérs rfi^ale?*, sonl idenliques, ai le syslcme (i5}
JJeiit élre leraplacf' par ré*juaiio»i ininjue
fï5>
^^Y),
C|ui s*!ntèg;re en «iritafuiit les variables. L'intégrale qui est nirile
\tur JT =^ jr^ a ponr expression
Y ^
^-^^)-""'-.].
^l elle est liolomorphe dans le cercle C, Il en est donc de même
<àes iatégrales du syslénie ^ i4) et, couinie le nomlire r peut être
pris aussi voisin de R qu'on le veut, il sVnsuit que tes intégrales
sont holomorphes dans le cercle (l.
:i85» Équations aux différentielle» totalei* -^ Soii-nt Xi, jt^, . , . , j-^
titi système lie n variable!* indi-pendanles, z uor foartion hwoutinv de ces
vanâbies, et /^^ f\ f^ n frinction?; données de j?|, x^, . . .^ Xn^ s.
Une équation a un difTérenrielks tnliile^^ est une relation de la forme
O; I ds =/idxi-i-/idx^ -h.,.-h/ndx„;
elle est équivalente en n'alilé à n éi\uii[\mis distinctes
(tU)
Admettons qu^il f\i*'i« uim' fnnrti<»Ti z de j*| , x^^ , . ., x„^ satisfaii^anl à
eef « relHliuns; nfius pouvons cahuI^M de 'leu\ façons différentes la dérivée
seconde- : — ( * ■=^ ^ "• fc^n écrh aiit que hs résultats obtenus soiii iden-
ôxi àxi *
. , w ( n — I j , ,
tjque*., noy> obtenons les — relations
#1)
e! la fitnenon ^ ne peut dire prise que parmi les fonctions qui satisfont à
ce» relations. Nous allons eunsidiTer sculcnieoL le cas très iuiporlanl, où
3^8
cn\r*ITRK \tX. — THKOREMKS H EXtSTBNCK.
ces rt^btmn» <»onl vérifiées id€ntiquf*menî. On iliL alors que rèquation (17)
on le système ét^uivalent (»8) sont potnplètement întégrablti,
Ètani tionnée une equafton aux fti(féienfieiles totales complètement^
in té g ra hfe.o ù tes fo net to n s ft sont ho lo m o f p h t^s tla n s fe va isinn ^e fia $yt- 1^^ ^
tème de mi leurs { ,r, )y, ( .r, )«. . . , . ( j^i, )o, -3o. cette équation admet une inté"^^ ^j
fertile holoniorphe dans le voixinage du système de valeurs 1 j"|Io. -,.
ix^ )©, se réduisant à x,, pour j*, = (.r,)o, . . ., x»— (^»)m.
Les équations (18^ et celles que Ton en tirduit par ile-i liifTerentîatfnv:^.
suecessives, permeltCTït d%î% primer toute* W> dérivées partielles de la fou ,^.
lirtn inconnue * au moven de £. Xy. -r,, .,», r^. Mais, tandis qu'il ^'5/
évident qii'ivn ne peut raie u 1er que d'iroe seule façan les dérivées ti*Ue^
que - — -^ W faut «m peu ptifs d'allenlion pour s'as^yrer que Von obtiendra
loujour* la même expression pour une dérivée d'ordre quelconque^ VtWit
que — — -» que l'on peut calculer de plusieurs façons dilTérenlrs* Il eo
est ainsi pour les dérivées du second orrlie, lorsque le^ con<litions 119) *oni
vérifiées identiquement. Pour vérifier que la prtqirîété e!«t i^énérale» il suffit
de montrer que, si elle est vraie jusqu'aux liérivées partielles (Vonlre p^
elle est encore vraie pour les dérivées partielles d'ordre p -h i Nous nous ^ ^
appuierons pour r«;la sur la n-marquc suivanli*. Soil ViXi, -rj, . .,» j-j,, * )<' ^h
une fonction quelconque de j'i , x^^ .,., x„, z : posons
d}l_dV_ M
rf*U
_ _ ^ d /d\jx
daci ~ dry ' €*-»•"' da*idxt, d^j^ \dT( /
{ i^ k ^ %, %, . . ., n);^"
de» conditions (19) on déduit immédialemt ni que l'on a, quelle que
la fonction U,
d:ttdxk " (ùrftdapi
i
Cela po^é, soient u et v deux dérivées partielles d'ordre />, qui ne différ*>/>/
qu'en ce qu'une dérivation par rapport à Xi » été remplacée par une
dérivation par rapport à Tif, Tout se réduil it démontrer que Ton 1
du dv
nu ^ — ' = -T—^ Mais u et r ont été obtenues en prenant le» dérivées cl*un*
dérivée partielle w d'ordre/» — if par rapport aun variables xt et x^ res^
,-^ - d^v dw .. , » ,. , , .
pcctivement. On a donc u = -- — » v == — — , et I égaille a établir se rcduil
dxi dxjf
d^w
-) relation que Ton vient de démontrer.
dxi dxk dxn dXf
Pour démontrer la convergence du développement ainsi obtenu, on peu!
lioDi! remplacer le*^ fyrit lions (^ par <les fourtîons majorante<t çp/, pourvu
que l'ijii cbi>i^i*f^i' ces fonctions :j)| de façon qu»^ l'équation aux dilTêren-
tielle«^ tolalc^ auxrtiairc soil elle-niôrnc compléteffieni inlê^rable. Sup-
posons pour simplifier {x^ Kv— < ^i>o = ■ * —(-!*/()<) = -u = o; on peut prendre
pour fonotiou majorante de hoHe** les fonetions fi une expression île la
M
forme
(,-£i:
-)(-!)
t et l'f^quaiion iui\iliîirre
(ao)
dL^
M {dxx-^ dx^ -H .
■ àXf, )
(-
^^,-
^)(-l)
est compîètemeni întégrable, d'après la symêhie du second membre rehi-
tivemcni ati\ n variables .r/. Pani olitenir une intégrale bolomorphe s*an-
n (liant avec ces variables^ il sufOx de cherf^ber une intégrale qui 9oit
f^'^nction (li; la senle variable X = ^j H- :rj h^. . . h^ af^, ce qui conduit à une
^«fuauon différentielle ordinaire de la forme ^6)
^^t-ie inléî^rrtle étant refirésentée par un fléveloppement en séxîe eanver-
*^*nieoù le coefficient d*un terme quelconque j-^« ,,. jr^" est réel et positif,
*- «Jéveloppement r»bienu pour i est a /or/ fori convergent dans ïe même
***^«iiBine.
1^ théorème *'éieiïd sans dit'fieuké aux systèmes d'équation» au\ diffé*
''^i^tîeltef totales entre n variiiblejs indépendantes jr,, Xt, . . « , a^^, et m fonc-
^*^^ïjs de ce« varia ble« -sj, 5,, . . . , <s„^»
"*^i) tUn^ fihdxx^ , , . -^ /if,d vt-^ . , . ^ /,,nàx„ { *^ |' ^' '"' ^M .
I?n calculant de d^iuv façons dîfférenles les dérivées de la forme— —<,
4xi àxk
'*ii e»l condirii »u\ conditions
0
i)X(
Ô^i
àfkh f .
TIZ-^'""
'^ système! ij > evi dît mniplétement intégrable lorsque les rondilions (la)
^Oftt vérifiées ideiiLiqiicnieni , et l'on a le théorème suivant qui se démontre
fumme le précédent :
Tout système complètement intégrabU^ où les fonctions J) sont hoio-
morphes dans le voisinage d'un système de i^aleitrs ( a^i )o, tJrîXi* ...»
<>»»*•» (-*!)•« * .' {^mh *^dm et un sjs i è tne * l ' in té g m l ex h o lu m o rplief
t^-
386. Application du calcul des Umites aux équations aux déii—
▼ées partiellei. — Le rnlriil ilos liniih-s prnTiel missi de (léinontre^H
I\ \i.sleiini' ries intégrales d'un systt^'inr d'éqnalioti^ aux dérîvtfe^^^
paj'iielles. (>iHisidt^rons d^abord une équiition du pieniipr ordr^
(!l3)
àz ./
Tf,
• 1 ^nt 5»
ôx
où le serond m^^mbre ne rpiifnine pas la dérive^e - — • (jcHc éqiia-^
lion et celles que Ton eu tieduit |iar des différeiiUalfOns succès
sives permeltetil d'exprimer toulcs les dérivées parlîelle^ de z »u
mojeD de ^1, ^^t • • • ^ •^ttt ^^ '*ï ^^^^ dérivées partielle-» de z prisée
parrap|)ort aux variables x^, Xj, . • . » x^ seulement. La propriélé
est évidente en elFei pour les dérivées de lu forme -■ — — - — ^ ^ .
comme on le voil en dilFéren liant les deux membres de Téqua—
tion (23) a^ fois |iar rap[iort à x^, * . ., T-h f*ïis par rapport ^ Xm-
Si Ton différenlie les deux membres de Téq nation (aS) une seule
foif^ par rapport à x,, et un nombie quefconnue de fois par riip[)Oit
auv autrcâ varialiles x^, x,^ , . ,, x^t» puis qu'on remplace dans Ig:^^_
second me mitre les dérivées partielles où figure une fois la va-^^|
riabteXi par les expiessions d<^jà obtenues» on oi>tïendra de mêroe^
(!Kprimees de la façon anm^ucee, **^^^H
les dérivées ... - . _
àx\ oj'** . . . àjrj-^'*
est 4'lair qu'ini pcul conliuuer à appliquer le même prrn'édé iodé —
Oniment.
(jcla posé^ supposons la foui lion f lioîomorphe dans ïe voi>i —
nage d*un système de valeur^ {Xi)^, . * *^ \j'n}iï^ -<». i/'i)«* -•- -
(/3n)oi 61 soit f(x2^ Xï, i . , . .r„ ) une fonclion des {^n — i) variîà —
ble.s Xj^ Xjf •..« Xif^ iioloinorfdie dans le domaine du poiol(* '
(Xj)©, (xa)o, . . , {JC»)oi el telle que Ton ait» |iour ces valeurs par-
(') P*>ur abrt*ger, houh appellerim^ point itmt svsirme de valeurs part»'"»*'
tiêi'e^, réelles uy iiniigiaaireâf ntlribuées iiU\ Viiriitbles qui llgurenL iJan& la cjuc^'
tîaû.
CALCUL nK» tAMÏTES,
36t
^è).=""--
if eu libres,
Ce^ con*Jîiio«ii> élanl »iip[\osées vériliées, réqufjûon {'zi) admet
urn^ in Ut ff va le n^i^uiière dans le domaine dit point {x^)n^ ...
Lv^ )û» et se réduisant à 'fÇ^i^ >^s* • - • ^ J^i» ; />fj*w Jr^ = (.r^ )o.
I l_^;i Iniïrtiiin '^{ JJ^, .rji, . , ., Xn) petil par hvpolhèse êti*e dévev
te|3|iép en ^érie orclofuit^e suivant 1rs puissances iiosrtives t\ps
va fiables j'/ — f Jv)ri* *"l \f^^ copriicicnls surit, à de^ facleurs iuimé-
nc|f(es près, les valeurs des dérivées partielles de cette Ibnction au
point (x2)o, -.., (*r„ )(|. Lu fonction z, dont nuus voulons dé-
moijiriT Texislence, devant se réduire ;i f(j^-i, ^», ..., Xft)
pour Xt =:(jr, )o, uous couiiaissorïs par ta mêtne les valeurs au
poîiit (X|)(,t {^î)o* -1 {J^n)tt de louies les dérivées partielles de
cette funclinn où la variaîdf^ ,/"| nv lit^^ure pas* Ou vient de voira
I 'ri!s|dDt L'uniinenl on peut expiimei' lonles les aulrcî^ dt^rivées par-
tiel les de z au moven de celles-là. Nous ponvons dcujr ralcnler
^^ |>rûche eu proche Ions les coellrcients du développement de z
suivant les puissances des vaiiables Xi ^(:r/)ii au moyen des coef-
lici*^^»nls des deux développeinenis de la lonclion / et de la fonc-
tion 9, et ce calcul se fait par les seules opérations d addition et
^^ ■ludliplicatiou. Pour démoulrer la convergence, nous pouvons
'l^Hc encore employer des lonctions majorantes : si la série obtenue
'^ remplaçant dans le calcul précédent / par une fonclion majo-
^^te F, et f jïar uire autre fonction niajorauic <î>, est convergente,
' ^n est fiu'cémenl de même de la série obtenue pour z.
On peut tout iTabord, p:iriiue nuih» de irausforTnations faciles,
"^tlipLcer 1rs conditions iulliales par d'autres plus simples. On
**^Ul supposer ( j?» )rt ^(JFa )ft ^ ...=( j"^)(> — o, car cela revient à
[^•"•re Xi au lieu de Xî — (.^7)0; si Ton pose de plus
'^TOu
- ?(J-i» ^**
a:»)-^ u,
Suvelle fooclM>u inconnue if doit se réduire î* zéro pour t, t^ o.
-'u peut supposer aussi qu après ces transformai nui s le second
**^^rnbre oe renferme [las de terme constant; si le développemeot
^^mmençait par un terme constant a di Hère ni de KCro, il sul lirait
„^e poser w= ax^ -h ^* pour le faire disparaître. Toutes ces Irans-
m%
chapitre; \ix.
THEOREMES D KXISTRNCK.
formation?^ élan l eflTeet liée?», si no(iî>.reniplat;ond le secand tnembre
par une fojiclion iiiîijc>r;mlp con^enal>le, la démonslration du
(a4)
M
c/Z
Ml
OH M, i\ p seul des nombres posrtîfs déterminés, admi.n une int^*
grale holoinorphe dans fe domaine île rori*;ine, se réduisanl àïéro
pour JF| r=r o. Si l*iin remplace dans le second membre .r, par ^— ^ *
a étant nu nombre f»osilif moindre que Pnnilé, on angnïeiilf I «5*
coefiirienLs^ et le tbénrème s**ra a fortiori étiiblî si l'on deruoni «^
la priiposiliou pour la niiuvelle éijn;ilîon
M ^
<->f'
H- ^j» -h Z \ / -^ H- ... H-
)(.
JZ
)
Il suffit même de montrer que celte équation admet une int<î-
i;rale régulière, représentée par une série eniière dont tous 1^^
CiieHûnents sont réels et positifs, (^ar les eorlTicients de ce troi-'
sif'me développement sont an moins égnux à ceux de [a séri^
obtenue en supposant que Z s'annule pour .r^^zro^ putfique Iol*^
les coeflieients se ilé^hnseul pnr voie d*addilioii et de multiplie»'
tiou des coe'lîcients des ternies indépendaïUs de x^. Pour établi**
ce dernier point, chercbons à satisfaire à Inéquation (:î5)en prenais *
pour Z une fonction de la seule variable X ^= — H- j-.j H- . . . H- ar,» -
nous sommes conduits à Fëepialioit diflérentielle du premier ordr*^
* * ^ / I « — « . , \ (>Z n — x/tïL \
M
Supposons a choisi assejt petit pour que le coefficient de — clai> ^
le premier membre soit positif. Four X ^=^Z ^ o, l'équation (i^ ^
admet deu3L racines distinctes^ dont Tune est é^ale à zéro. Cett^
é*juatioti admet donc %\n(^ inté^'^rale holonii»rplie dans le domaine
de Torigiae, nulle ainsi que la dérivée première, pour X ^= o. U
CALCUL DRS IJAfITES.
M3
!»i aî«é de vérifier dîriH^leineni L|ue Uur^ les roefficienls dïi déve-
>ppemf*rii dt* relie inlé^r^le sont des nombres posîlifs. Ou peut
crire, en efTel, réqiiîilion (^fi)
I
S = Af-)^»,X.Z,,
♦^laiil [>osilif, et *Ï*(X, Z) dësignanl une i^érh* dont loys les
^^Ilii'ifntH sont pnsMif?». Après une preinière dérivation» il vient
JSZ
^mir X ^ o, Z et -^ soni nuls, —r-j est done positif, et on le
!t"ifle de la tnénie façon puur les dérivées suivantes, _^-—
La >érie obleiine pour le dévelnp|ieinenL de F intégrale cherchée 5
t- donc convergente tant (pie les inorlules des dilférenees jf/ — (^i)^
8»tenl plus |»etits qu'un nombre positif t\ La somme de cette
»*ie est «ne fonction holonioiphe dan« le doniciine du point (j7|)o,
îa )«, * . . . (^i^iî)a^ -^t* réduisanl à '^{X-^^x^^ . . . , Xn) poura^ ^^ (>,)(,•
fcl.te fonction satisfail bien à Téquation proposée; en elTet*» si l'on
tliplace dans f les variables z, -^- **•* -r— par 'a fonction
I UiTj vJ^ff
liêcédenle et par ses dérivées partielles, le résultat est une fonc-
Ml régulîrre i(or,, j*3, - • ., Xn) dans le doniaitie du point (.''i)^^
*« Jo> *• t (^'/t fut ^t diaprés la laçfïu raéint^ dont on a obtenu les
efficients de hi série z, les dmix Ibnclioos '| «t t— **f>iit é^^ales,
tisi que toutes leurs dérivées partielles, au point (xt)o^ (•^3)11) • • * t
Eptjf : elles sorrt donc identiques.
La démonstration est la même pour nn système d'équations
tHullanée-i du tof-niier ordre
ï*
Plt les seconds membres iw rentermt*nt que les varialtles ^r,,
%^ ♦ . ,, Xn. 1**^ frinçliiins Zx^ 53, ...» Zp^ et les dérivées partielles
^ premier ordre antres que les dérivées par rapport à >/| . En sup-
baant les seconds membres holomorphes dans le voisinage d'uu
Jî^lème particulier de valeurs attribuées a toutes les variables qui
f figurent (jri)u> (3a)o^ ipl)^^ ^^^ équations admeltenl un système
364 rHAPITRË \II. — THËOnÉMBS D'BKIStSPfCB.
d'iniégrafes holomorphes dans /*' domaine diè.pnini{x^\^ ...,
('a?i*)oi et se réduinant pour .r, ■=^(.ri )„ /i p fonctions donneeici^.
Ça, . . * , 'fp des (n ^ i) variables Xa, J^n . . - , J^n\ holomorphen
dans le domaine du point (j?./)*, (jFa)^, , . ., (xn)9\ei telles qm
(es valeurs de t^k et de j^ en ce point soient précisément («1)1
et(/?f)g (A-=: 1, a p; f — a, H, . .., «)■ ',
387. Intégralô générala d^tin mjitëme d'équations digère utieUes
— Le théorème préc*^derit peimet He conipleler sur pliisipuî*
points iinporlaiiis la ihéorie des éqitutions ditïérenUelles. Ainsi
Inexistence d%jne inlînJLe de facteur^ inléj^fi-anls jiour iirie expres-
sion telle f]ue P(.t^ r)rfj' -h Q(.r, j'jrfj'* en esl une conséqueoce
iminédiale lorsime P et Q som des fonctions analytiques des
varialiles j: ^i y (n ' 374),
Reprenons TéquaLion dn premier ordre y'^y(j:', r), et sOi^
(^0,^0) tin couple de valeurs pour les([uelles la fonction /"(jt^ ^}
est régulière. L'inlégrale holomorphe dont on îi établi Texislenc^t
f|ui prend la valeur^Ko pour .r = x^^ peut *^tre coniiidéree coraii»^
une fuDclion de trois variables indé|iendantes x^ x^^ y^\ c'est '^
ce point de vue que nous allpns Tétudier. Pour lixer les idé<2S»
sirpposons la fonction f{x^ y) régulière dans le domaine dVn
point (x ^ a, y'=L'^), Nous pouvons évidemment considérer
l'équation proposée comme une équation aux dérivées parliellci
•
«aHj
g-/".^>
défiriissant une fonetinn y des trois variables x^ x^^ y^^ et nou^
proposer de déterminer une inté^-^rale de celle équation, holi>'
morpbe dans le voisinage du j>oinl .r = %, ^-0= 3^. .^"0= ?^ ^' ***
réduisrint à^>^p pour.r==^o- Cette dernière condition n'est pa» d^
la mérne forme que celle du para^ra|)he précédent; mais il sufiS*^^
[>our tourner la diftieuUé, de |jrendre, au lieu de x et de jt©, dei*^
nouvelles variables indépendantes a^^ x -\- x^, c = x — x^.
L*ëquation fa8) devient
(^9)
ày
du
et Ton est ramené à trouver une intégrale de celte nouvelle équfl~
I. — CALCtL UKS UMITIÎ8. 15 "»
ïion. h«»loim>r[ilie d^n^ le voisinage des valeurs M = 3a^ i' — o^
lj^^T=p^ et se rëduisiint ^ Vf, [>OLir i^ = o. D'après Ir^ lii«H»rème
général, il exi^tr une inté|;rale holomoi phe, el ime seule, renifUîs-
sanl ces coîuluinn>: nous 1» lié&i^riîrrons par f(jr, ^ny f^), en
supposant qu'on rtil reiti placé n el v par leurs expressions* Soit D
"iin domaine délini par les condi lions |^— aj^r, |j:o— ajSr,
ij^n — ?jS?^ *^** celle tonclion tp(^, jCq, j'^) est régulière. Elle
Ipossède d^ns ce domaine les piopriétr'^s suivantes.
D'abord, traprès la façon tnéitie dnnl on i^a obtenue, si Xq tty^
sont consiants, elle représente Tin terrait' de rèq nation difft^ren-
lielle r'^/(>c, y) qui [>rend la valeur r^ pour a: = 2:^. Cette
imëgrale eî*l certainement holomorfdie tant que )jr— ^a| est infé-
. rie lira r, 'quels que soient Jt^, y^ dans le d uni ai ne D.
Le développement de ^f(x', Xq, J'o) ^^^ de la forme
t* désignant aussi une fond ion régulière. D'après la théorie gêné-
f*^le des fiHjctions iruphcites^ on peut inversement lirer de celte
■^^laïion Vq^ t[f(jr, Xijt >'), le second memhre étant aussi une série
^^ritière. Cette fonction «Kx, ^a^ y) ^-^^ ifientîfftie à 'Jï(j",m ^^^ y)-
•-■^n elFel, soient x^ et x% deux points du domaine D; Tintègrale
H^tii est égale à >^o p^^"t* a: = -rir prend au point Xx une certaine
Valeur /<, el Ton iiri = f('Z'», -^oi ^Ko)* Mais il y a évidemment
Réciprocité entre les deux toupies de valeurs (j:„, >*^), (x,, y\)^
^t Ton a aussi pai' conséquent F(j=i !p(j!*5, ./f , >% ).
Si*îtx|| une valeur f|ui'leonque de x telle que ron ail \x\^ — x[<Cr,
T'oute ioiéfjrale holomarphc de Téqu^ition ( ■J'^), [>assant par un
point quelconque {Xf^^y^} du domaine D, satisfait à ujie rela-
tion de la lorme
Oo;
t^{T\, T, y)— C.
EneO'et, considérons rintégralchcdomorphe ëgaleà >%, [lour jr = Xoi
cette intégrale prend pour x\^ une valeur y\^ et l'on a par 1 onsé-
qucnl» d'après la déliiiilion de la fonction '^, 'f(^*u. ^»^ J'o)=^>'i.
Soit T une autre valeur tje la viu'ialde dans le mémt^ domaine, el y ta
valeur correspondante de ^intégrale; or» a aussi tfi^x'^^x^ y) ^JK^,
el par suite Tiu (enraie liolninurphe considérée satisfait bien â une
relation de la lornie (3o), Eu ditlérentiant par rapport à j?, et
366 CHAPÏTHK îtlX, — THÊOHÈMKS d'EKISTBNCB.
re tri plaça n l k' fiar sa valeur ^(js, y)^ on en conclut que la fooc-
tion ©(^it ^^y) satisfait :t Ici relation
(3.) g^^/<.,^) = „:
cette relalion se rédnit fbicémenl à une idenlké, car elle tloil t^ire
vérifK-e pour jc == ^r*», 1-:= r», et le point (^0, y^) e>^l un point
quelconque du domaine D.
Ceci pfTUïet de n'^]>ondre à une question laissée en siispeii>
(n^* 383). Soit dans le jtlau de la varirihlc t une courbe quelconque F
se rapprochant indéfinirneul du poinl J*o : nous dirons qu'une fonc-
tion r de la varia li le x, d<ïnl on penl poursuivre le prolongemeDl
analylit|ue loiit le loiii^^ de P. tend vers >\j lorsque x tend vei ?. Jd
sur r si n tout nombre posilile oti peul faire conespoudre un atiirp
nombre posiiif t, tel que ly — v^ | reste inférieur à £ pour toiil<'>
les valeurs de x situées sur V à rinlérieur d'un cercle de ra)ou
Ti et de centre X|,J Le raisontiemenl de Brint et Bouqnel ne prouve
pas qu'il n'exisle fiasifautre inlé^rale que Finlëgraie holomorpbe
lendaut vers y^ lorsque x lend vers X(,, au sens qui vient d'être
précisé. C'est pourtant ce qui a lieu. Eu eiïet, considérons un
point déternuiié (x^, y^) du domaine D, et prenons dans Téqua'
tion (28) pour nouvelle inconnue la fonction délinie plus ha
Y=.Q{Xn^x^y). Ou a
dY df d^ dy
diS ~ âx ày dm
et, d'après la relation (3i), l'équation dillérentielle proposée
Jy
réduit k -T- =0. Or, si y tend vers y ^ lorsque x tend vers x%y
en est de mèiue de Y, et la seule intégrale de réquaiion noti*l
/v
veile ^i o qui satisfait à c^tte condition est évideinment Y=:/«
L'intégrale cherchée doit doue satisfaire à la relation
OU
(3-2) y^^ y-^^x —T^) V{x,y),
et, (i 'après la théorie des fonctions implicites (l, u" 187), il \%\
4
iitr racine île l'éqiiaLÏon (32) lefidîinl vers >'u forsqiie x tend
i?0, et relte r;icinn est h\e\\ une fonction hotomorphe (*).
s'er*suîl,c|tje (oiiU* intégrale de réfjiialion ('>H) <|yi passe par
oînL du domaine D vérifie une relation de la forme (3o). On
tour celle raison que eeite équation lepréseiile Nntéf^rale
raie de l'équaliou diiTérentielle daiib ce domaine; C est la
rante d'intégration qui reste arbitraire au moins entre cer-
s limites. Nous avons vu que Ton pouvait aussi iiieltre l^équa-
(3o) suU!5 la forme équivcilente y ^ ^(^y '^it^ylt)i Inconstante
►^gration étant i\^ .
iules ces propriétés peuvent être étend nés à un système
lations différentielles
-^ =/i(^,/i»rt*
*tr«)»
ipposons les seconde menibres liolomor|)hes dans le voisinage
'stéme X =: a, >'i ^ [j^ * * - • ^ J^« =^ ?«* *^^" peut encore regarder
quations prétédentes comme un système d'équations aux
ées pîirtielles ci»lre n lonctioiis Vi , jKa? ••■? Vn el n -{- -a
blés indépendantes x, x^, (j'i)oi ■ * -j (j'rt)oî et chercher les
raies de ce sysléme qui sont régulières dans le voisinage des
irsx=a, X|,= x, (y^)^—^^, (r«)o= [în et se rédui-
respectivenient à {y^ )», (Xa)*!^ * - ■ , ( Jrt)o i'our x = x^.
lient
■ I r» = '?tl^* ^«> L>'t)w- --M (J^ii)ol.
X« ^^«[Jr, J^o, (j^i)oT
7« = ?*»
■ fonctions ainsi définies, que nous supposons holoinorphes
le domaine D défini par les conditions \x — %\St\ |xg — - otl^r,
-(,>'/)o|S^" Des formules (34) on tire inversement
(/ï)M=<î»i(JFo*-r, ^1 Jn) (ynh — ^H{3^ù,^,y\. ...,r«)*
iicune des fonctions '^i satisfait, quel que soit Xq, a la relation
PîCAH»,
'IGAHIif Traite d' Analyse, L II. p. 3ï5-3i7; Painlkve, Leçons de StoC'
^m
CHAPîTfiK \ï%-
TttFOHKMES n CmSTENCB.
Hi» le démontre comme loiil à Theiire erï olïservaot que le?
intégrales holomorphes (jur j»renfiem les valeurs (1% )o (>>(>
pour J* = Xft vérilieiil les relalioas (35) eJ par suite les relations (36^ s
que Ton en déduil en différenlianl par rapport à la variabfe mfi**-B
pendante j: et remplaçant la dérivée -j-^ par /i- Ces relations (36j
doivent se réduire à des identités; en etlel^ jtq étant supposé fixe,
on mnntr<» Cfuntiiê plus liaul cprnn peut disposer de (ri)»» --'(ViiVJ
de raçonijue la citarbe iniégraie ( ' ) pas!»e \ràv un point qiïelcimqiii^
du domaine D. I^e premier membre de la formule (36) doit donc j
être nul pour les eofjidonnées d*iin poini quelconque de ct^ do-j
mil i ne.
Si datis les équations proposées (33) orr prend |H>ur nouvelles
fonctions inconnues
V|=^<pi(iro, T,yx,
-r»),
Y„
./«)
x^y étant constant, ces équations deviennent^ diaprés les condi-
tiôus (36),
O7)
== <*i
dr
Il s'ensuit <pie tontes les intégrales du système (33) satisfont a des
relations de lii forn»e (,35), ou (^"1)01 . ^ • , (^«)« sont des constantes,
tout an moins celles de ces inléji^rales qui ont uo point à rintérienr
du dtimaine D, où les fonctions © son! régulières. Nous diruns
encore que les (brmules (35) représeutenl l'intégrale générale du
sjrstème (33) dans ce domaine. H
On peut aussi déduire de ces équations qu*il ny a j*âs d'antre^
système d'intégrales que les intégrales holomnrphes, tendant vers
0 0«i • • M (j"™)*» lorsque x tend vei*s œ^. On a en effet
^i - yi^{x — Xii)\\{x^, T, yx, ...,^1,)
et 1
jobif
D <?i>?ti "',^n)
se réduit à l'unité pourjr:=^^i«
D'après la ikénrie générale des fonctions implicites, les équ*^^
lions (35) n'admettent qu%in seul système de racines en yÊ^Ê
( ' ) Par extcusiciri, nous, dirons que tout «ysténic d^intégralca des équauoiis(3
délifiit une courue inleiitaie.
»
y-^ yn-, tendant vers i y^ ),*, . . ♦ {y^)^ lorsque x tend vers x^^
Cl res racines sont holomorphes.
En r**sijmé, |i«r tiiiil poini An domaiiif D il passe une courbe in-
lé^rale et une s«*Mle* nq>rê'*erïtée par n é(pi;«li(MKS r, = 4; {■^)' ^^'^
l*»s fonelioiis i, >nnt liolurutirphes tant qnt- Ton a jx — a|^'".
MÉTHODE DES APPROXIM \TIONS SUCCESSIVES.
MÉTHODE DE C VI CHV UPSCHITZ.
W 388. Approximations successive!. — La mi^hodi* des approiiinalîons
"^ft*ot'es§i\t^s il été employée a%er sucrés par M* E. Pirarfl pour le** oqua-
ti«»ii?, diirérenlîolles et pour ini grand nombre d'équations au% dérivée?
fiM t-iitvile*. \rMjs ne l'applit|uen>n'^ qu'aiiv e(^ui^(^n^^ diiïérentîelles avec un
*< »iiïplcnienl im|iortant dû ii M. Eni*;! Ijiid^lof.
Supposions d'abord 1rs variables réelles et considérons^ pt»yi fixer les
jcl**«s, uu syî^tème de d*^uiL t^'ij nations du premier ordre
r
s -/,...,.=,.
il
— ^i;r, }\ z):
rK^^tj» aihneilrons que les rieuv fnnetîansyet o sont continue!* lorsque x
»» ^ic de ir© à ^Tu-i- fl, ei que r et z varient respeetîvejiient entre tes limites
"«t— A, >^o-+- 6) et ( ^y — r, -j^-he), que la valeur absolue de rbaeune
CCS fonctions y et o re»*li* luCérieure h un nombre positif M lorsque les
ktMables T, y^ j re«îtent rnni|nhe*i dan* le»i limite^ précêdenlc!*, enfin qu'il
► iste ileuv nombre'* po^itif^ A et fi tel? que Inn iiii
K^
I
«I)
<|Uels que *oient le*- p<»infs (J%^>% z) et (-r, y, 5') dans le flornaine prccé-
^erii.
îiuppô^ons, pour la c*Mniiiodiié du raisonnement, a ^ o, et stut /i le plus
^ r
petit des iroi** nombres po->iiils fi, ♦ — * Non s allons prouver que fex
équations (38) fidmettent un sysfème d*intés*raies, continues dam
tintervade (>«, roH- A \, prenani ies valeurs y» et z^^ pour jr — jpq. \ rer
clfet. nous formerons une ^uile de systèmes auxiliaires. I.e premier s^iblienl
en reniplaeanl^ et s dans les seconds membres des équcitions ( 3H) par te:*
valeurs îaitialei» /*> et «^ des intégi^les cherchées. fJe sysléme s'intégre
p«'ir qtiudraturetï, et tiou*- poserons
l4o»ri=^o->- / fix, y^, Zn)dir,
.4
370 CHAPITRE XIX. — THÉORÈMES D*EX1STENCE.
X étant compris dans l'intervalle (a^o» •'"oH- A), nous avons
lri->'o|<MA<6,
et de même \z\ — 5o| < c. Si l'on remplace, dans /et©, ^ el -« par Ki «i •»!»
les fonctions de x ainsi obtenues sont donc continues entre x^ et jr»-^ h\
nous poserons encore
Pour la même raison que tout à l'heure, ^^j et z^ sont des fonctions rt>i^-
tiuues de x dans l'intervalle (^Tq. x^->t- h)^ et l'on a dans cet intervalle
\yi — y^\ < 6, l-»!— -Sol < c. Le procé<lé précédent peut donc être pou ■~-
suivi indéfiniment; nous poserons, d'une façon générale,
Toutes les fonctions yn *-'t ^n sont continues entre ar© et j:©-»- A» «?t Ton
toujours l^n — >'o| < ô, |5„— 5o| < c dans cet intervalle.
D'autre part, nous pouvons écrire les relations (4o)
et par suite nous avons aussi
(4*^) \yi(^)—yo\ < yi(x^xo), \Ziix)— Zo\ <M{x — XoU
X étant une valeur quelconque de l'intervalle (xq, XQ-hh). Il vieKi I
ensuite
cl, en tenant compte de la première des inégalités (Jg),
et, par conséquent, d'après les inégalités (42)»
I v,(x)-^,(x)| <(A + B)M '•''r^''''.
On a une formule analogue pour |^t(.r) — ix(x)\, et, en continuant de l>
II. — \PÎ'llOXHI4TJONS SUCCESSIVES,
rte, tin suii i|ue l'on a frune faron »;énérale
3-I
i bù)
Le* cleu\ 91? ries
(-r)( < M{ A^ Hr
I .2. . . /l
Il lou*» les lermes sont ile^ foiiriioiifi l'iinrinui^s de a- dans l'înler\al|ç
p x«-H A ), sont «Jonc iiiiiffirinèmiMii ^convergentes rlaos roi ïiilervalle.
I sommes de ces deu% sôries Yi xj et Z(x) sont par suit*- des fonctioris
lînue* tic ^ entre j^,» ri ./-,>-+-/*. Les .si^ries obiiiiiit-'i en ilifïerenliant
Ui*à tenue sont elles-niémes uiiilornifnjenl ciunerî^euLes. En tiiït^i, nous
ti» pcir evrittplr
dr^-
dj^
<Ah A -h Br-J
.î#»-i)
ela prtiuve ijue les tom'tiuiis^,,, -3,^, -y- » ~ oîii respeclivenien» pour
d\ dtL
ites, lorsque « au^rntiule indéûniiiienlT V, Z, . i - Si» dans les rela
i«
(/^
= /(x, Y,Z
it, il Nji-nt dr»iic â la liniite
dL
dx
^ ^{j:, y, Z),
do-
lOinbre /i dUginiUiti* ind^-lii
ii '"
eeç fonetinn^ Y et Z sati«ff>nt à itmit'»; le.s rtïoilil iouîv de I enonrê.
l'a tiiftliode pn-cédenit' ^^'aitplHitie l'vîdeuinienl. t]uel t]u*' stjit le nombre
^ t!r|iiatîon« du sysli!me« Les inpgalitt'S (39), qui Jouent un và\v ci^^^eriiiel
•1^ la dt'monslraliftri, 5«tm certainement vérifiée*., pour des- val«?urs cf»n-
Halilff de \ et *le B, toutes U*s iols que les foneti^ns /" el ^ admellenl
^dérivée* parlielk-H par rapp<»rl iiux variablt** >- et ^, i tinLinues lorsque
^variables restent cfinjpri^es euire les limites indiquées; «'est une con-
lucfice fdctle de (a formule des accroissements finis. Bcmarquons aussi
«♦s» les foneiioMs / el s» restent t^ontinues lorsque x varie entre Tq — a
JoH-a, et b's variables ^ et s entre les même'» liniiit^s que plus haut, le
ïtat raisotinemeiil prtiuw rexi>lenre d'un système d'inté|;rales \ ( j } cf
3?a
CHAPITHK \rX. *- JHKOBlîMfe'H H KStlKTRNCK.
7a T}, [jreiuiiil 1rs vali'urs > ,j el c^, |hiiji r = ar^u el conLintics U^ni* linl»
valle (Xif— /*t J<j'+- fi u fi ayaiil la niémr «^i^milicalinn que roui <i lluurf.
// ft'eriste pax d'autre système d'inté^'titfea *jfte \i.r)et Zi ri/ir^-
nftnf fes vaf^tas y^ et «„ pottrjr = J^J, l^e raisoiMicmt*ot riaiu loujour^lf
ineiiiiî, preih>n*i [jour «iîin|iliher im<' ^^eule tiquai i«iïi ~- =fiT^y), et pOi
VA*mit\e liml à rheiiie
ri
— Ji) -H / ' ,/"( J"t }'û ) ^^,
^r»H- / fi-r.
y-H-odM
I
Soii. Yj^hT) une infi-fînilo de veilr rtyiniion pn*Hriiii 1.* \ a leur Vo p<
:r ^ ^n, 1*1 conlinue daii^ un iiilcinslle { Xu. t^-^ it* ). a étant iiifericur <u
]iln> pf*l»l des nomijres n et — » et IpI qiii\ dan>i rel rnlei vallc, 4)ti ii^^
|Yi( j') — Vol < b. Piïisqiif V, >alisfHit n rnjiiHïRm |irfHjom'*\ *ii] pei»! »'C J
Y,<^t-->'«(.r|- f \/\f.\\it)]-/\t. r„-itfïl\fft.
Faisons suecefsivt^tiH-tii dans cl'Uc irlHtîon n ^^t, v. 1, ...: on a d'ak»«{^
|Y,(j") — ,y,(jr)| < \/Wx — j-fvi,
piiifv
el d'une farnn îjént'rale
|Y.<.r)~7„fx>|<A"6^^~^°'".
Le second membriMle celle iné^aliu* teud vers zéro lur^-que rt rtUfîDi^"
îndêf\niiuenl: l'intégrale Y^ est doue identique à hi litnïie de y„, c'^*
à-dire à Y.
:jK9. Ga£ des équations linéaires. — Le raisonnement i;éncr9l protiv'^
que \e^ intégrales son! siïremcni rontînues dans l'iiiter%'allc (a^o. afo-^*'
di'lint pins lifiiit. Mais on peut dans bien de«« cas affirmer r(f\îsUD(
d'un inter%'alle plus étendu où ces inté^raïes sont eonlinues. Si 1'
rejneud **n eITt't la démonsi ration, on \oil que les eondilions '' < S'
A < -jTj n*iniervienneut que pour tMre at^suré que les fonction^ intermr*
éimrcs fu ^i-^î- ^ti *■■ u^ syrien! pas des iïiiervalles { jr^, — /?, v^-t-H
(5o— c» *o-hc)» de façon qur? les fondions /(jt^ K/» -«(), 7(^, ^i, *<>
A I* P RO X l M AT I O \ S '* V l^CKSSI V KS .
3r^
Jieril 4e^ foiîctiotifi iMiilmues *\c x ciitrr ry e\ Tx^-^ h» f.orsque les fonc^
pris/(x, j% j ). s(>r, >% -3 ) resteiii ronlînut's loi^qui' r varie de jc^ \\ ^o -f- ^/,
Itqiif / et j varient, «le — ae à -(- x. il cfii iniilil^* tle leriir coinple de ce?^
Mnlîîions. Tout**!^ le-i foneLions j,, 5| *t>iU contiinie*» cIhus l'iulervaile (o, a)*
atirpou\i>ir iléiiionfier hi iMinvergetiee fle^ deux seiie^ ( 43 K d î^uffiL
Corc f|u'îl exisle dfux nonitiren |jOî*i(if> A et B, leU que le*i iiiéga-
és f 3<j f soieiil %ériïiées quelles qi»e snienl les valeurs de y^ y\ z. z\
rsqin^ ^ rente eom|)ris dni*> rinterviille i^ij, j-^^h- ei ). On reroiinsiil . »'ii
ef , en repreiMni |*'s eiilmls ffiii*; plu'» Ii*iijI» que les inégalités (j'i ùts ) sub-
lejjt, pourvu qu*nn désigne par .M hi \al« lu' uiaxiniuin t^e \/(t, y^^ £^,}\
ide !t3<^j Fu. •Sii.l| dans ri 11 le r% aile (\r{,, ,r^-h a).
Des c«>nfliti<Mis sonl •satisfaite'*, d'après la formule des aeciTiissemenls
|f», [arsc[yi» les lonetioDS /(jp, )% ^), «pCj», j^, z) adinetleiir ilt^s dérivées
nielles par rapport aux variables y et ;;. qui reslenl Hnies, quels que
pnt y et j. lor-nque jr varit* de .r^ à J^t^-^ «* Tel est, par exemple, Je la^ de
|ualion
(^ _
fir ""
siny;
Second iiit rubri' e»-! uim' f<» net ion i-rtiuiuiie^ quel*» que soient .r el >', et
Timles
"/
liérivre partielle —^ est au pin» é^tali' à u/i en valeur absolue.
• titecçrale* de cette èqualion sont doue des t'oj»t*lions eontinui > lorsque j^
• « de — « à H- X ( 1 ).
'Cs eonri usions préeêdentes s*iip|diquent en piirtienlier auv systèmes
|ti:itiuns Itneiiires
it= i, '1, *.,, /i),
f«S enef{î<'tents a,j^, ùf si>nl des tonrtioiis de ,r. Si toutes ees font-tions
fc Continues dfins uu inter\all<^ (-^in i"\ )i tfujles les inte;irale'* de ee sys-
^^ 4i>ni é^ulemenl i-ôutiiiueâ dans txt iulervalle. Lursque les nieOirîents
) On peut dédiiirr» un thérireriic snaln^ue du Citkul des limîles. Suîl /ix.r\
fUmritnn ariiilvlique teeliepmtv tuul ^ystriue de Viileurs réftles de j: rt de^r,
h^ttofuitrphe ibn^ le voisinaj^e. Suppo'^nu-^ m outrr que i/(x, jv) | reste inférieur
b iHunbre îHc M lorsque I'mii a re^pcrtivi^inent L'^l / r )| £a, cl \**^ l -* )\~i*}
y, triant uu sysi*'me fie vMileiirH rëeffe.i «fuelronques pour x el j'. la fonc-
|/f.x. v)e«l liidaïuorphe duii!^ le il'onuiiH' délitti par 1rs iué^»Utes j j? — jr„ l^iii,
^.y* - ^r cl SOU module cf*l inférieur a AL Vlur?^, d'^it^rès te r;t]eul des riniites,
^^tëît tle réquaiiiin y' = /{X, y i, qu* est égale à r„ pour jr — j:„. est sùrr-
^1 liolornorph«* tlaus un cerrie C diun îc rayou r es* indépendant de J?,, v^,. Ou
l poursuivre le prcdftnfîeujeul analytique de eelti- intégrale te loug dr Caïe réet.
puyen de ccrrjrs *lc ravun r, et r**ti viul tpi*elt(' «st liulouiurplit* a t intérieur
tMnde limitée par deu* pîiratK-Ifft à Taxe rêL*U à une di>tauee /■ de ri't ;ue*
374 CIIAPITHK \l\. — THKOHÉMl-> h'kXISTENCK.
sont fie^ jiolvnomeH, lotîtes les inléf^raJes soiii *Uti\v rfnitirmi-'^ lor*qui:: r
varî(^ de — 10 Si — ■«.
En <io limilaiil au\ vaiiablcîV réelles, «m voit qm^ les iniégrates ^e*» équa-
tions lioraires ne peuvent avoir iraulre^ points sini;ulier* que rcu\ def
coefficient»*. Celle propriété ^i impoi tante ne sVteni! pas à d'anlres eipia-
lions en fi[>paience a»i*isi simples» par e\eni()le à I èqnatioii j^' = >*,
390. Extension aux fonctions analytiques. ^ La métliorle ptmi i^n*
étendue aiiv vvirî;iUle> runipleNes. Il ^olllï «Irtb^ervei pour cela tjue Ion ï.
poifr nne fonction anaJv tique iron*' ou plusieurs variable'*, des inrualif»'*
analogues aux iné^jalité^ ( icj k Soit d'abord /<.r) une ftmctJon ïiolonMtrpl*'*
d*u ne variable complexe JT dans une aire L£ limitée par une courbe convenc *-•
et 5UI" celle courbe eMe-ménie, et <ioit A la valeur uiaxinium de 1/*^^^^
dans cette région. I,a diflei ence /( ^Tj ) — /( j^j ). où r^ cl j-* sonl deu\ pot*»**
(pjelcunqucs rie <ïet^e région, est éj^ali- a Tînié^riile définie / f^{T\iM^ *
prise le lon^ de la droite f|ui joint ces deux juiints. Un a donr
|/( j-, ) -/(-r, )| < K\t^-x^I
Soit de même f{3\ y) une ffoiriion hnloniorplie des d*'ux ^ariabk^ *
el y^ lorsque ces variables restenl re^perlivement dans deux régionjs^ ^"^
et û', lîmiteefi par deux courbes fermées convexe* Cet C, et soient A cC ^^
les valeurs maxima de \f\^\ el de |/V| dans ce domaine. On peut écri«''^ '
T| et T^ étant deux valeurs qutdconqnes de .r dans £2» et rt» y\ dc4\ v ^^ "
leur^ quelconques de jr' dans ii',
et, par suite, d'après ce qu'on vient de dénooiirer, on a
La démonstration est la mêiuc. qitel que >nii Iç nombre des vari^ibf^^
indépendantes»
Cela posé, bornons-notis, pour siniplilier Récriture, au ras d'une eïjtf*'
lion unique
(45)
g./,x.r).
dont nou< 'supposons le second membre holoniorphe tlan» le domiiini'
défini par les iné^jalités |;r — x^\-a^ \y ^ y,^\ ^b. Soit t\l la valeur mati
mum de \f^^y y s\ dans^ ce domaine, et A le plus^ petit des deux iKtmbre^o
et rj • Dans le plan de la variable jt» décrivons, du pmn^^^omme ccoire.
U. -- \l*PROXÏ«ATIONS StCClKSSIVES. 3^5
tjn cercle (v# f'*" riyon /i et juisuii^^ ciimme ou l'a déjà fiiit,
r«=J'"-^ / /(j^, j,i-, )f/j-;
I liwiie <*u|iéri€urt.* jt- élaiit un |joiiit intL'iiiïui à G/^, on dtmunlif d yb<iiH
4c! pirtche en proche que 1"«hi h
\yt—Ju\<à. \y^ — y^\ < A.
lK«-ro| < ^
Toifie» ce* fonclionji K|. _^ît -*-^yH* -'• ^*>ut rîoTi* des* fonctions holo-
niiir|ilieH de x dati* \e rercle C/,, et le pi<»rédc (nul eue contînm' înd^ii-
l'ment. Noui^ pouvons encore écrire
•J*i> 7«(x»— r«^iir) = ^ |/(rj'«-iUïl -/|^^v.-t(^ït;^^
[ ' '•
'*"téj^rale étant prise suivanï k ligne droite qni juîiit les deux points jpp, x,
StJ«i j\ la valeur tna^tunum fit' -j— lorsque Ton a |x — x„| i A, ( r ^>u| 5 6;
"îi|>rè«î la remarque qui vii-ni dV-tre faite, niKis avons toujiiurf
|/[ t, j^,_, {f)\ -/l /. r„-,( / ) 1 1 < A I j'«,, f f } -}^,-'J t )l
'*'Mii démontrer que l'i^u a une inéj^alité analogue an\ inégalités ( 4ît fc/s ),
*"p|*oçon5 que Ton ail
*•'= c|iii a lieu evideiinneni pour ft = à. Soit x = ^,>-i- r*?*' ; le cliaugenient
*^ ^«riabïe ( — Vi^^ç^e^^ ranièue l'inléijrale (.^6) à une intégrale prise le
'**"^ de Taxe réel de o à r, et Ion a ( n" ;i02 }
ritt — l
ir^i3r)^jr„^,{j'}\< f MA'*-' ^ J^ ^^ ^ dp ^
MA"
■-a suit*' de la déuionslratiou s':o'liève eoinnie plus luiut. La ><'rie dont
**^ terme général c^i y^ — Vu-t esl unifnrmémi'n* rnnviT^entr dans le
*^*^»'Hr Cft ef, comme lou«i ses termes sont des fondions lioloroorpheH,
'* ^«inime île eelte série e^l une fonctifjn holrjuiorphe dans le même
•^•^rile (n" 298 ^ qui satisfait à Téquatron (43) «M qui prend ta valeur j^(
P'^Ur r = Xg. Le ilé\elnppement en série entière de cette intégrale e^
'^'"Cernent identique a celui que fournit le cafcui des i unit es, m»h td
376
IHU'ITHF, VIX. — THHnRKMKS D KXISTKXCI-:.
Iiiiiili' obteiiUL' pour Ir isivon ii« ti>iivi'rg»înre «r^l *iipérii*iiri* îi edl« «^ i
fl«irii»e la |jri'inior<' iii*'lliotl*«.
Lii r*îiiKMtjut* ri'lHlive îhi\ rjpitiïion'K Impaires «i'éti'rid aus§î aii\ fonciloi
si»i*:iii fle*i fiinctiuiT^ ;ni«lvriqmt'^ <lr lii ViUMalilu ronjjJi^\e ^, \laiquon* 4»
le f)lan le;^ |)<iints singulîiTs <ii' vf< ruiiclhiiiï* v\ f^iipposons i^iie dt* chaer--^"
'if •"fs jjojril*' sin^^ulici'- un itiK"*" uin" «Jemi <h'<«'ili: iml/'Ouie sitivanf li* p ^^''
hin^emeiil rlu *iiv^mcnl joi^utinl Xg au point siiif^iilu'i. r*n ;ip|u'ili' étm ^'
COI Tfspondiittt fiu -^yslèjfit* de [loîiit** siiijîulifr'i J'ençerîiïjle d<*s poiril* c^^*^
jilan tjtJt iM' soDi «^iriiT's siii' îHiciMir dei^^ li^ut^s^ pri't'i'deiiU's* Lh ilioiti^q **
ji>ini le point J^^ ù un |miiit r Ac Tèroile ne passe pur nuruii de* poin ^
sitijçiïlier^ et Ut iiirilnMle tlii ii" 'MS\ |>iou\e i^ue loiito* \vs intégrale^ i^^V
«lysiéine (4 j ) '*onl di^î*i fonctions holoinoiplics le lon^; ilr t^etïe droile. I
point T f'iafil itn point (jni'l<M>ih]*i<* fie r»*^loile, il «^Vrisuit que liml**" l^^»«H
inl«V;:rale* dti svstéinjî linrain* ( \\ i 'ionl (ïe* fonrtioii*^ liolornoi pht-s da^^^l
lonfe l'étoile, résultat qyî «sera r*tabH pln> tard iTiine itiirre fiiçon t ii* .lîJT '^
Lh mii^lIhhIi^ des appro\iiiialfOi»« «.ncces^ive^ jieirnci en onlie d'oblenaK^-i
pour le? inie*^riile^ de^ llt•vl■loJïpenlelll^ m «»éries conxergentis d^jns toii^^Mi
IVloile. Soit \ une rê*;ioii du plan lintîlê** i^nr nri roniour terme (I i«p|)^M^i
tenant lout entier à rêtoile: lc«-«*êiie* fonmo**» pur la inêtltode de*^ appro ^\
mali*>ns sticce«isives f*ont miifarmémt'fit rotn'tTffrnies dans \, Nous ifl^^^gj
sons au lecteur le soin île dr veloppi'^r la di^ninn^*trationt qui ^e fait toojo -^^
de la même façon.
3VH. Méthode de Cauchy-Lipachitz* — l-a première déooMiftrafc^ii,^
ilonnre par Caucliy de l'exrîitem'f de^ inlê^irales d'un *>>t«*"*t* ir«M|oat ^ o/j«
dillrrentielles imus s été eonservée, grâce aux leçon* recueillies u^f.
Tahlit' .\1o)[;no et puldree^^ en |H44. HHe n été rMUalU* nuMit .sîtnpliliét:^ n^f
iVI. Lip^rhit/. qni a bien ini^ en l'videnet' te« fi> poi firmes nec^'^sairè!: f>our
la validité lU' la dêmiMinl ration.
l*onr bien *aisir la *nîte îles idres, i'r(ii étions Ti-qualion simple
(Jn a établi (I, ii' TU) qne f'inté^^ralc ile eeite équation i|ni prcntJ là \a-
IvAîv y^^ pour .r = t^ e>r la liniiie «le la sonirne
< 4: ► J^o-»-/(.ro)(^, - j'„)H-/(.-rir(.r,— .ri)«K,,. -4- y\,r„_,)<j? — ./,,_,),
j*tt J^jf ..*. -ïVi-i étant /* — 1 points de rintervalle tx„, .r )^ lorsque' k
noinbi'c/i an^^menle indetinintent de fa^run que trHii> le*» intervalles (,r/—,ï',^|k
lenileiit ver** /.éro. C'est t^f [imeédé, convenablenieiit j;éni-ralisé, qai rtm-
dud a la première méthoite de tJeuebY- l'our îiimplilier Texposition, i»ou>
prend ron<^ le eas d'une >eiile équation
UH)
^=/i-./);
ïf. — MÉTHODE lïK ^TAUCHÏ-trHSClUTZ, ^77
la fonctittti /< ,r. y } tïes Viiriniiles ivi^Ues jr, y**^i sujipnsée e* ml m «je lor^qu*' r
vu rie th* ^o ;i lr^,^t- a. et que y varie tle Kn — '> îi .>%►->- *» "-^^ '* «-vi^le iin
n.HnIirt* iiosiiilK Li*l que Ton ;Mt* y el y' élBuX ile*i\ nombre'^ qut^konques
curapri*. **iiljc Kh — ^ ^l Kn t- 6 et ,r ètani rQin|ich entre j> el *r,i ^- a»
^
1^9/
(/( j. y ) — /( ^t j^ H < *v 1 >- - y |.
<>lte l'onditïon, *\oni Ciuipuriance n éti^ mise en lumière |.ifir M* Lips-
cliitï, ^»*ra a]q>i4ce, pour abié'^er, rtf/iditiun de LipscJntz; eMe a iléjà été
nlilÎM'e Jan^ la mêllmcie «les a|q»ni\ifiiari(m?i successive «.
îsoieni, \\ la liriiilt' supénourti «le | fi;r,y)\ t\\{%\< le dnmaîne pri^cérlinu
t\k\c |ïlu^ fïetit xies tivns nfiiuhrcs (i et — (nous ^ti|qi<isrni> a >«>♦ 6 ;;m).
Piîur démniilrer que l'i'ijMaliiïn ( 4^ J i*'''ï^*'l "'i*' î»itcj;rjtle preuanl la va-
leur ^'^ priur j" = .r., et eontinue ilaiis rjutrrvalle <./■„. .r^j h- A), iiousi îujile-
""'•ns autant *(«]*• jiossible l;i ma relie suivre pour établir revisteiirc «Tune
twictîon primitive île /*(./). Soii ./- iiiii- valeur île la vijiiable apparteiiiinl
•• '''*l iaier\alt«"; iirenoris «'ntre^o**' '' mii < i-rlaîu imnibre de valeuo inler-
lins ,i|, ^j.
»r,_|. ^/,
j'/^-j «illani en emi^afianl de Xu à :*\
pM>i^« t'«^mH >ucci'«^<i veille ut
^i«> j^x- y^-\-fi.n,yuUJx — j,i), yt^yi^Jir^.y^nT.—j,),
^^ *l lUii» (jii iiii ^riH'ldl**
la
**J!i!iilie
tifie ai>H|fij;ie é^iilenle avec la ^iomuie 1 -17 1 à laquelle elle *e réduit
"''^'iMt* la înnetmn /{jr^ y ) \U' dépend pas do k. Un e^i di>ne cuiiduit â
*^<*licrclier si ei^tte -itmime tend ver** une limile busqué le ii^mbri' /t
"içineiite inrIétiiiiiiH'iU- ^ou<* j4i'iiérali*^er*ms ia t|ue^i»im en (]éiiiu>is#ini
tl'al
*<^*id «leijv >ftiniiies iiniili»^iies ativ quanlité** S ei jf r I, 11" 71 )*
'-•Onsidriuris le niiiii^le \U(j l'orme pai les d roi les a va ni pour éqiiutioJts
\ = jr,j -^ /t, \ = y„ H- j\ï t \ — ,r» h Y = r,» — M ( \
''.► )»
^|"r<î!v la îav*>îi 'lotit rm a deliui h, la iorii-tioii ^i j-, y] est eonlinue bn§(pje
t*ernt <j*,^)re5leà rintérieur ou "mr lescùlé^ de ee triangle et sa vab^nr
^ '^«ilue est au plus é^îale à M.
•*iî% p»iiri|léle< H ra\e de« ^, \ ^= Xj , \ = .'*i, ...^ X = r déeuuipOseut
^riaii«v|e AFir, eu un certain uonubre de !ii*pé7:.es i<ii>eél«.^s dont le premiei"
t^duil à un iriaugl**, -Soient ^Ijel w^ les vii leurs ma \i m uni et miuimum
^ Jir^ ^)daiisct; triangle A^i Cj : on » — M _ «1, < M| , M* Par ie point A
''***tioii* les H mîtes de eoellieienis au^ulaire^ .M» et w, qui reneonlreni la
378
CHAPITRE Xl\. — THKORÂMKS d'BXISTBNCC.
droite \ = Xi en (Icux points Pi et pi dont les ordonnées sont respeclive-
mcnt Y| = ^o-H M|(a:i — JTo ) et ^t =^o-^ '''iC^i — ^o) [la lettre j,- ne
désignant plus la même quantité que dans les formules (5o) à (59.)]. Ces
points Pi et pi sont évidemment à l'intérieur du triangle ABC ou sur \t<
côtés, et l'on a Yi>j^i. Par le poini Pi menons la droite de coefficienl
angulaire IVl jusqu'à sa rencontre en Qj avec la droite a^bt, et par pi menon-^
de même la droite de coefficient angulaire — M jusqu'à sa rencontre en q\
avec la même droite a^bf. Soient iVl] et m^ les valeurs maximum et nii-
Jtv+A
nimum <le /(t. y ) dans le trapèze Pi Qi^ty^iH '» droite <le coefficient an jK*^ '
lairc iVlj menée par Pi rencontre la droite a\bi en un point Pj dont To*"
donnée est
Y,= Y, -h Mf{Xi — xi),
ei la droite de coefficient angulaire /;ij menée par yO| rencontre aibfCn '"^
point Pi d'ordonnée J'i = yi-^ niiioTi — Xi). On a évidemment \i> y^'
et Y, — Via Yi — Xi, l'égalité ne pouvant avoir lieu que si la fonction/(r..>^''
éiJiif constante dans le trapèze PiQi^'j/?!. Le procédé peut être conlin'i»'-
ayai. obtenu deux points P/_i et />,_i sur la droite a/_t6/_i, inen'»n*
par _i une parall<éle à AB et par/)/_i une parallèle à AC: nous forninn'*
ains. un trapèze isoscéle V/^iQiÇipi-i. Soient !V1/ la valeur maximui»
I
I
n, — MÉTHi>i>fc; i>E t:Ai*:H\-i,ipi^cHiTz. 179
'•?^{*Pt ^1 *'iï'*> '*<" trapèze et wt, l<i Vrilt_'Ui iiiiiiiEtiiini : U (li<iitt.* tî«^ rMcId-
oîcnl atigiifaire \l| menée pni P^-i renc«)nïr*' la rinule aiùit^n un poiuï P/,
et la ilruite île loeHieieiii aiij;ulain' m, mi-iiét^ yav p^^i reiirrHilre a,ftf en
ftin poiiii/>/, [Vous fiirmoiis win*ii fieti\ li^iieii |i"ily#iOiiales partani rfu j>oinl A,
-A P| Pt » . . P/-( P| . . . P/< 'MI L, el A/i|/?î . . . /^,-i Pi . . , Pu ou /, aboiifissanl
à deu^ poïriN P^ el pn «le la «iroîle X — x. D'après la coiiî^lruclioii nieme
de re*^ den\ W^^nv^r-^ W e-^t êviderit (Qu'elles sotii l'une et l'autre Haii>* If
trîanglf ABC, que la li^ne L e^ï tout i-i^lièré au-Je^sus (ic /, et que U di-^-
tanre rie ce«i deuv li^jfne^ rornpiiM* <n\ ihip paiallèle à Taxe Oj^ ne peut
dimiiiui'i Inrmpiif l'«il>seisî»e i-rniï ilr .r,j à r. Lrs nrdonnées Y„ et y„ de>
deu\ piniil> l'vtréiiie!* ?<»ni ifiiH à fait anali>»;iïes aii\ soirmies S el s
(1, n* 71)* \f>n'^ pn<.eron^ S — Y„. s — y„,
A ckaque mode de subdivîsinn rie rini(trvi*lle (jr„. jr) eorres|)ond \\n^.
^omnie S el une somme $. Sî Fou sntulivisu eliarun de* hilervallefi pai-
tiel^ {ff-i. a-O *;n iniervalles parlipK plu*« pciii* d'une façon Hrbîtiaîie»
In ronslruilion |;ei>méirii|ne préerik-tite moiuri* iiiiniédialemenl que la
lî{»ne L' cf>iri'*ipf>iidanl à eellr nouvelle divi^^ion i'*r tout enlîére au-
*le*srius de L et la li^jne /' !lu-»le^sus de /. On a doue S'i S. s* \-S. en dési-
^'rtaiil par de> It^U re»i aèrent iiée-^ li"* sojiim*** relative!*»! la secimde division.
On en tonrlut. nminie au n" 71. que si S, s^ S). Sy repi éventent respect i-
vement le* sommes relalive* a deuv nuide^ q nef conques de dtvr«ion de
/'îiifervalte ( r,», .r), on a * <CS|, .¥| < S. En ilé<îi«;naut par I la limitt; infè-
riiîure des ^iomme** S et par 1' la limil« siipéiirurr des souiiues s, on a
*ionc r ; I, *-^
Pour que les stimmcs» S et n aîeiH une limite eoujniune lor'ique Tanipli-
■i^tjde manimi» des intervalles partiels ti'nd vers y.éro, il (nut et il suffit que
^^ — ^ tende ver* /.érn. Nous pouvons écrire, en effet,
ïa ditTért'nrr S — v ntt prut êlre infrrî*^ure a un nombie s que si cliaeun
«lie* niuiibren S — - I, ï — !', V — v 1; doat aueun ue peut être néfjraliff e*^t
lui-même inférieur .1 e» Le iiondire positif t rtaat arbitraire, eeri ne peut
avoir lieu uue *i l'on ,i I = I, et il faut en outre que S et jf aient pour
limite commune 1. Pont t-tahlir que S — s ii t('vo pour limite^ il ne suffit
pas de supposer la fourtifm /"( .r, v ) ronlinuc, el e'esi iri «printrrvient la
condition de bipsehil/;.
Soient \, el y, les ordonnées île*» points P/ et />/ et 5< la diÉléreoce
^f — yf' ^3 fonr-tiou fi:r, y\ élant Cfuiliaite dann If irianj^le ABl", a tout
nombre positif a uoms ponvons faire corres|iimdt e un auhr nond*re po-
silif ^ lel que l'on ?Mt
|/{.r, K) —/{T'.yi] <X.
pourvu que la distance de^ deuv poiul^ {x^r\ el { r' , y ) du Iriaiigl VBC
i.foit inférieure a ^: nous suppr»serons toutes les différen^ces j?^ — *r,- <J ifé-
rîeures à 7*. D'après la constiurlio» qui donne les points P/, />/ au \ en
S — 5 = S
t -^
r+ V
s ;
38o CHAPITRE \IX. — THÉORÈMES d'BXISTKNCE.
(les points P/_i, />/-i, nous avons
0/= o/_,-i- (M/— /n/)(j:/— j-/_,);
^l'autre part, on peut écrire
M/— m/=/( j?;, y,') —f(x% y})
=/(^'My/)-/(.^/,y/)-Hi/(^j,y/)~/(^/,j/)L
i^'n yi) et (x% yi) étant les coordonnées de deux points du irapcic
P/_iQ/7i/?/_i. On a donc, en tenant compte de la condition (49),
mais la diiïcrence [yi — y| est an plus éjçale à 0,-1 H- 2M(ar/ — ir,-i), et
nous avons encore
\l/— m, :C X -h •>.MK(.r/— j^i_, ) -j- K 8,-|.
Supposons tous les intervalles assez petits pour que tous les produits
a.MK(j7,- ^/~i ) soient inférieurs à X; la difl'érence M/ — m/ sera infé-
rieure à aX +- K$i_i et, par ^uhc. nous avons Tinégalité
(53) ^/<o/-.,[n-K(^/— d:/-,)]-+-'iX(j| — .r/-i)
que Ton peut encore écrire
On a donc a fortiori,
N "iX ^ .. /n 'X)<\
0,- H- — < e»^<-»v--»-.-.' ( o/_, -+- -^ ) •
Kn faisant ^' = 1, •>., ..., /i successivement dans cette dernière formule
et en multipliant membre à membre les inégalités obtenues, il vient
e'
KiJ-— .»V
S-5 = $«< i^|^Ku-.»v_,].
Le nombre po*iitif X, pouvant être pris aussi petit qu'on le vent pourvu
<|ue tous les intervalles partiels soient eux-mêmes inférieurs à un autre
nombre positif convenablenjent choisi, on voit que les sommes S et 5 onl
une limite commune. Cette limite est une fonction de x^ H'(j^), «lélinie
dans Tintervalle («Co, x^s-^h). Nous allons montrer maintenant que celle
fonction F(j:) est une intégrale de Téquation proposée (48), se réduisant
à y^ pour x = ;ro. Nous continuerons pour cela à nous servir de la repré-
sentation géométrique.
If — MI>:TllorjE DE *ÂLf:(IV-LlPSCllïTZ.
Ml
Liirsque tous k?^ iiirei \hIIi^> |i!iiUrU hrnlrnr mts zêm. non seulonieiH
le* e\lr»'*inUé> de* deux lijiii*!^ (imI) j^rmales J^ ei / ïciMlenl vei> \in puint
Unriit. mais ren li^n***» el !+***- inênii's U'iiilciiil vers uiif i cmrbe limite. Uue
dioiir^ qurloorique parnilél*' mu c-mU" BC leuroulre la ligue L eu un jjoiiii V
el là ligne /en un point /? et la distance Vf* e*it inférieur*' h S — s» Hupré^
les propriétés de re« li^jne?* polxj^ouales, toti^ les |>iMnls P oui leurs ordon-
nées supérieures au\ ordonnée^* de'^ points^»: cxmimr lii dislartee 1*/' truci
vei*^ irro. il s'en>uil «jue les poiuls P el p lendi.'Ut \er^ un seul jhdul
liniiteTT sitiM- sur la droite eonsidérée. l-»e lieu de res points iz e«ii évidem-
iieot une eourbe C Mluée entre le-^ deux li^nrs |iolyf^onales L et / et
passaul au poiiil A. F/ordonnéf d'un point de eetle eourbe d'abscisse 9.*
est ^gale a la fit net ion Fj.r)^ déJlnte tout <i l'heure, r^ir pour a\oîi la posî-
fiorft du piiînl 77 ^ur la ilroite X =^ :r. on i»*utilise que les por Lions des Ax^vw
'•gricîs pfdv^ouales qui '«*>nl à fiauelie de eetle flroiii*. Supp4^*«ouK les» deu\
"g«^^r^ polygonales L et / prolon^ée^ jusqu'au c oté BC. Ions les iuter\allc.s
P*>»*l-iel<. étant inférieurs au idiis |»elit àv^ il<u\ noinhies 5. — TTTr% el
I ***'<& nt P( r >, Ul r I le-^ di u\ l(iurli<n*s eroitioue*' qui 1 epi rni-iil en t les ordon-
•**^?* fTun pnipii d*- U% lii^ne L e( di- la liiine / rfaii*- I »nier\alh" rry. j^^-i- A»,
t^«» diiréreuee P( j*) — iy\T 1 est «ntérieuie â -r- < e^^* — \ \, et eliaeiine des
l***'*<Mïous l*(^ I, (Ji;r) dillêt'i- de K(J) d'iïne quEintitr moindre. Coiuine /
P^t^t èire rendu au*si petit qu'on le %eui, lOi \oit que l'foj peut former
^'^'^ srrie uîiifoî uirmeiil roiïver^eiile de fouet iiois continues avani poui
***'*^ rue V{jr) dans liniervalle 1 r,j, 7*0 -h /i ) ; eeite fonction est done aus^i
'=^«>«H.imie, \ Vmr T. 1, p. 47l-î75J
Tôyfi* lî^ue poly^oniile comprise entre L et /a évidemment pour Itnute
^ ïFième courbe C, Telle serait la lij;îue pidy^ioiinle A dont le^ loordim-
'*^^S ( J7. ^; I des souKTiels successifs s'obtreud raient par la loi de lécurjenee
Zi - z,.
-/{Tt^u ^i-[ii^t — ./,-t).
'^ premier sommet étant le point i,ru*Vu>\ nou?^ retrouvons les evprcs-
"'^^Jti*^ i ^7l f (|ui nous ont servi tir puinl de départ | Hi'marqnons aussi que^
*' Ton applique la eonstruetioti à partir d'un point IVI'j j'', J'')de la eourbe C
*^n oblieiii deux lif;nes pfdyjÇHuales L' ei i' eompiises entre L et / et qui
*ç rapprochent elles- n*ê ni es <le |jIu^ en plu'i de la porliou de tî comprise
entre M' el la droite BtL Soii d'apré** cela MU^'^y') et M'(jr\ y ^ Aeux
points voisins de C( x'>^'). Le coeflirient anf*ulaire tie la droite M'M' est
GiimpHs entie la valeur maximum fl mininïiiu* de /{jp\ y} lorsque le
point y^, yi décrit le triangle fornie par les dieïites
X = y. Y— /= M(X-x^K Y -y= - M(X^ j^'):
si la ihlléienee j:" — j"' est ijiférieure a un niiinbre positif choisi ci»tivena-
blemenl, ces deu\ valeurs de fi^.y) dillércront dv f{jr\y ) et dey t j-*, k*;
'SH'À nHAPITRE \lt, — THKORÈMlLlt d'EXISTENCE.
d*aii&^i ptHi ^jii%>n U' \ oui! la. Si run des deux |><Miits, M" par c\cmj>Jc. s»*
riip|jio('hf Micléliriifuerit du prii-mier, \e. coeffirienl »in^ulairr de M" M' a
i\unc j>our ïwùte f\ T. y' i. Lh fimclion KiJ ) *ialisfait |iar fMn-^èqiKMil i
réijuanoii «liflVrejilielli; |impo<iée (4^)î «ï e**l d'Hilknr** évidenl tpjf l«
l'j^Miilu' C pa*4se au point A, <:\*sl-a-Hii-e que l'on a F^jy) — j'o.
[.il courbe C e$t la seule répondant û la que*îtion. S'il eu existair unt
retonde C\ eelte courhe C ut* prmrrwit êln» à la fois iui-dc^^ous de toutes
les lî;;Me* L et au-de'^sus *îe t*oites le** U^ne^ /, puistiue ees lignes tein!«^*^i
veisla rijurbe C Uu pour i ail *lour trouver^ pat exemple* uue ligne L cj t»^
userait lencontiée par eelie ïi^ne Ç\ (loninie C esi au-dessous de la ligii^ ^
iIqii^ le voiîsinage du point A, <tuppcisous qu'elle ptts^e h u -dessus de L c;**
traver^ianl cette li^ne en un point tii du e<Mé r%_| l^ et soît m/„, le poîi^'
de G' d*abseis*ie X/_,. Le coeffîeieiil auj^nlaire tle Ja c«»rde /?»|_| /i/ «/st è|j^^*
*rapiè?^ le théorème des accroifsemeuts lirii*>, à la \aleur de la fouclî^>*'
y*(,r, ^)en un point de Tare /îi|_,/i,; re eoeffieieut au*;ulaîre ne peur do «*^
être supérieur au eoeffieieut angulaire du vùié P/_i P^, pui.sque l'arc m^_| ^**
esl dans le trapèze P^_t Qi Çi//|-t. <>r lii fipjuie monïre qu'il devrait I «J'
être supérieur.
La première méthode de Giiuehv, et eelle des approximations sucecr^^^
^ives^ donnent, on le voit, la même ïinrîte pour lintervalle dan? leqi* *^'
rintégrale existe eertaiJiement* Mais, au point de vue thênrique* la méthuajl ^
de CaucJiv po's^éde une ^upérioiité inroiile-slable ' nous aihoit^i nimitrc^^*
eu etlei. que eetle mélhoile permet de tron%ei linte^rah- dan*i tout inte»"'
valle fini où celle-ci est continue. D'une façon précise, su[qio>or»iH qMi^
l'équation {-î*^i arlmette une intégrale ^ = P(j^) continue dans l'inle»' —
Vkille (^o^ *Po-+- i h <[ue la fonction /{sp, y) soit eltc-ménie cunlînue dans
la ré|;ion i K) du plan desi ity limitée par les deux ilroites x — jto, ^ = r„ -^ /.
et les <leux courbes V = ¥ix) =t 'ij, r^ étant un n<>ml>re poî^itif priit a volonté*
et vérilie ia eondition < 4il) dans ee domaine. ÎMia;^in(ms que Ton décnuipo^^
1 rnteivaïle ( jr^, x.pH- /) en iiitervalh'^ partiels plus petits et que Vtm con-
iitrutse la li^ne polygonale A, «loiit on vient il'expliquer la construction*
parlant du point (J'o» J''ii ) et relative à ee mode de suLdivisiou, Pout*t^u
que itnia tes ûtterçaiics parfieh soie^nt moindres qu'ttft nombre posiii/
conveftobie 3*, vette ligne pf*iy^oHaie sera tout cnftèrr tfan$ ta ré-
gion E. ei ht dijfrrence Jeu ordonnées de de t4cr points de même abscisse,
pris sur la courbe intégrale C et snr la ligne A» :tera inférieure à ut*
nombre positif dt^nné à l' avance t.
Soieul x^^ Xy. >/-,, . . ., -r/_i, x^^ ♦ . ., Jf^^i» x^^ / les abscisses des poinl*
de dîviî*ir>n, y^-i y\t . •, Y les onloniiées etirrespouihinTes de la courbe C
et >^(j, ^1, jj, ..., Zf, .*,, Zh les orilonuée*^ de?- <*OM»mets de ia li^j'iie A-
Adinettrooi d'abord que Louf les sommets à gauche du soinmel [Xi^ ii)*
soient dans la région (Ej, et proposons-nous de calculer une limite supé*
rieurc de la différence di=- | s/ — yi\*
Nous avons d'une part* d'ajirés la définitiou nième de A,
MKTHOIJK UK <: vrrH> -LIPSlJilTZ.
3»i
iJ'autrt' part, "l'apn*'* la iVirmitli' i\t"< liccroisseiiieMl •< litris, «jn *i aussi
(xl.yi) éianl Itîs (■oordonriée& dur» potnï de C, el .rj «'"tHiit compris entiT j"^_,
tt x/. On en détluil
-
le coefHcieiit <ie (jr/ — '£'<-i ) pt^m «^nixir*^ s'ik'rirt"
La valeur ab*«iluL* d« la picinière dilFiM-cnct* est, d'aprè«i la rMudiiion (4i>),
iférîeurf à K</|_i, D'un nutrf rAli\ la ryni'tioR /^i^,y)^ êlanl {?onliniic
ins lu région ( E), esi une tonrurm CDiilinue de j* le \on^ de C et l'on
|>eut prenfiri! u(i nombre posiliJ T' assez pelil pf>i»r tjue |/(*ï\ J^) — /<-'''^^)|
soit iiifêrieui a nn nombre dunné |Mi*.itif lA, (jour deux jioiiiis quivlronques
«*■» ^ ), {j:\ y' ^dtt Ja courbe C piMirMi «jui? | j^ — .r\ soiL < y. Le iioTnbre <^
lant choi.^i de cetie façon, on a donc
^5 ) (/, < (V,^, ^ ( j-^ — ^^_ I ) ( a X ^ K </, _, ) ,
iclatiou liuiie pareille à la lelallon ô t ), ei d'où run détJiiîra par cou»
*quent
§uppo».uns le immbre X assez pet il \utiiv ijue tUn ail :iA(*?'*'^ i) < Ktj;
Pj* établira de procke en proclie qu4? d^ df, .,.,</„ soiil înft^rîeurs a i).
P^*>us les Mimnielr* de la li}:jne polvi^oiiale A ^onl doue dans la région < E). /
P Soit F(.r) l'ordonnée d'un j>ojnl de ta li;ine A; soil de niènie Q{x)
l*>rdonnée d'un point de la ligne jjolygonale auxiliaire A' obleiine en
i**'gn3ni les point** de C d'ab'^ei'ises .r^, :r|^ j*,^ ,. ., ''«-ii ^y -H /* '*n a
r < j' » — K ( j: ) = V ( c) — Qr^r 1 -h <J { .r j — F ^ jr ) ;
l'oscillalioii de la ronelion 1* i jt ^ ilan> «diariiii de'^ inlei valiez [>aJ'lielsi
**- inférieure à - t on a e«m^laninieut | Qi .r j — F(>r ) | < - { ifoir i. J, p. J74),
' de plu^ le nombre r, ei^l inléiieiir ti -, *}iï autii | P ( ,r ) — Q<:r)| < -?
|*ar iuirc | P(J^) — F(^)|<£. l.y loneiioo eoniiiiiie P(j*f leprésenle
•<c! la fonction Fi j*) avec une appi ii\iinati«>n mointlre qur î dans tout
'•ileivalle ( j-o, ^0— /)*
•-•a méihoilede Cauehv-Lipsebilst s*étentl aux syntètnes d'équation^ dillé-
'^lielles ««an^ aulre ditlieallé ijue (juehjues eornplieaiions fîan»^ leis foi-
Mle*. Klle «.'étend aa«isi au\ variables complexeï*. Les recherches de
*• E. Picard et de M. Painlevé onl inonlié que ta niétliode condui!»ail à
•^s dé%elûppenneni< en séries convergentes des intégrales dans tout leur
*'Jïnain€ d'e\if.teace lorsfjue les seconds nienibres des éqiiationsi proposées
^*^Meiil boli*inoijiliet« dans ce domaine.
384
aiVpITHK Vl\.
TIIRl>RRMRS t) fSKlSTKXC^K.
ru
fNTKiiMVLKS PREMIÈRES. - MUJ.TlPLtCATFUR.
3ifcî. Intégrales premières. — ivuuii Honnif^ un système de (/? -
é<|uation<i dlÛévenltcWes aati iyifques du premier onire, nous nrU
rons ces *^qualîons sous la forme svmélrrque
(5<i)
./.r.
^^T»
les clrnoiuiiiiJleuis X,, X^, *,., X„ éluuf des (rnjrtîon^ de> n
varialilt*s ;r, ^ jc^r - . . , ^r^ Celte forme des *''(|Liations diOérenlielles
ne sup|mse rien sur le * hoix de la varialde indéjiendante, f|iii ppwl
élre 1^1 ne des v^uinldes Xt^ un élrr |iri>e d'une iiu on quelconque'-
Nous (ivons vu [dus liaut que, sous ce ri h in es eondî lions qiu on(
été précisées, loutiis les intégrales de ce s\slème qui passent p^^"*
un poinl cpreleonque d'un ilonjaiiie D sonl représenlérs par un ,
syslrme d'éqtm Lions de la forme
(S7>
/i^ /:i- — ** /ft-i ^l^"l (/^ — «) fouclious liolomorplies ihn> ^A
et Ct» C2, . ., C„_, des constantes que l*ou peut eïioisrr arbitrai-
rement, au moins entre L'ertaines limites fn*^ 3H7)» Les iuruiules(>7)
reprrsetilenl Vinirgraie géneraie du système (56) dans le à^^k
mainte J>,qui n'embrasse [>as IViriémeul loul l'ensenible des vaipurci
possibles pour les variables, fl peni se (aire que Tou ail pltrsiewr*
systrines de lormides dillrn-*nts pour représenter rintégrale £jént-j
raie dans des domaines différents. Il est clair aussi que, dan» un
même domaine D, le système des formules (37) n*est pas uniquiS
on peut rem[dacer les (// — 1 ) roiirtionsyi par { n — * 1 } fotictionsFj
ne dépendant que des fonctions/*!^ pourvu que ce'* [n — v) lo»c-
lioiïs F|' soieni des fonctions distrneles des variables /î.
(Quelle que soit la façon dont on ail pris les fonctions/"/, si le
furmtde.^ { 5^^ ) repre^sent*-nt Tintég^rale générale du système (5<>V
les (onctions fi sallsfonl i\ une même équation aux dérivées par-
tielles du premier ordre. En eflel, supposons les coordonnées d't
point ;r,, .iTy, . . ., x„ d'une courbe intégrale exprimées en faiic-"
(ion d'un paramètre varia Ide; si Ton remplace, dans y*,? '^^ cttar-
IIJ. — iVTMiHVLliS PRKAIIÊRES, — \l l L l U^MCATEl R. 385
huilées .r«, x^, , . ., Xj» par leurs expressions £n fonction de ce
raninlre, le ré su ï lai se rédiirt a une ci»n^lanle/On a doncdf//^^ o,
, tin remplaçant, dans dfi^ les ditlrrenliéllrs fix^^ dxi. , . • par
i quanti les proporlionntdies X|, Xm, .... on trouve que/i salis-
t à la relation
n
\ify^\^
ilvUe ndalioii d*)it se réduire a une idenlîté, <|uaiid /" esl
!ri|>lâcëe pur /i, piiisi|n'on peut disposer des ronsLantes G,- de
^onqne la courbe intégrale passe par un point quelconque de D.
s in — I ) font" Irons /, j J\i^ • . ♦ , /fi_^ sonl donc (// — i) ioté-
a les de I ' é ip i « L i on \ {/) = o ; l o nie ïo ne l i on U{/i,/i^ • - . » /n_ < )
t aussi ont^ intégrale de la uténie équation^ quelle que soit la
Hclion IK d'aprrs Iri rt^lrtinui liieile à vérilier
\< 11»:
\iAh
^</j)-
m
àfn^
\(/n-lU
Inversement, on i>blienl ainsî toutes les fT»iéj(râles de Téqua-
011 X(yl=^o* Des n relt»lif>ns
lï déduit en r'ilet, m eMitnînanl ies cot*lî"icients X/,
iHj'i,
= o»
• qui iiioJilre ipie / est une fonction U ( /, , J'.,,, »..»/«_!)
►S (/i — I ) intégrales parlienlières J\, f\,. ...,/„_,, (L n' 28).
n peut encore le vérili#-'r [>ar y\n idiiin^enn'ul de variables, linagi-
>ii-^ en ellel que l'on [>renne un ncniveau sysh^me de variables in-
^pendautes y^ , r^. . . . , yn^ ^^'^ f* — < variables ^^ » y.^^ . . * , j^«,i
aiit précisément les tondions /',,y^^ . * ,^J\_i elieà-mèmes, et la
*riable V// étant choisie de façon à former avec j'(^ j^a, , • - ^ Yh-ï
:î sv^it^me de « forirtions distinctes des varialtles primitives ,r,,
f„. L'équation X(y) =: o est remplacée par une équation
i uiéuie fur me
V(/) =
"Xi
le, II.
l5
qui dui» adinpïtrp le!i (n ^ i) inté^rait'S particulières
/ = rit
f—Vn-i^
o
Il il donc
Y| = Y, =...^ Vw^j =«*,
el Téqualion (5g) se réduit à -^ == o. L'intégrale générale est donc
Il D e ( o or li o n a r i ïi 1 ra i re d c y , , |^J , . , . <, j-'^ _ , ( ' ) . ^
L^intéfçralion de réqiifiiif>Ti au\ dérivées parlielle-^ \ (/">=: o e.«t"
donc ramenée a l'inléf^rati(*rî du système d équations difTéren-
lielles proposé (56). Inversement, supposons qm* par un movd^l
qiieîi:oni|ne on ait oiilenu nin* inïégrale /"de l'éqiiîilion \(f] = o*
Si Ton reioplaer drins cetlr fou il ion ^',, .r.^, * * * , t„ pur les roor-
données cl*uti poiiil d*iine courbe intéf^ralp, supposées eiririméescD
fonction d'un paramètre varia 1)1 e ijoi péril être Tune des coordon-
nées elles-mêmes, ie résuJtat obtenu se rédail à taie constante.
En eOel, si Ton suppose que jr,, x^, . • . , j:„ soient des fonctions
d'un paramètre variable vérifiant les relations (."ifi), la difTérentiellr
totale df de la fonction juvcédente se n^diiit a KX</"k K dési-'
fia:
gnant la valeur commune des rapports -~* L\^natino y =r C eil
divnc une conséquence du système d'équations difrérenlielles f>rô-
posé; on dîtjioiir cette raison que la fonction y est une intégrait
première de ce système (*).
Si Ton connaît n — i intégrales premières distinctes, on peut
écrire imniédiatemenl rinlégrale générale du système (56); silo
connaît seulement p intégrales premières distinctes {p<in— i\
on peut ramener Tintégration du système proposé à rîntëgratiûD
d'un système de n — p — ^i équations difFérenlielles. Soient, en j
( * ) Les deux raîsoonemenls n'exigent pas que Im fonction / soit analvtiqut. -
l*eii scutes conditions nêce'iisaircs %onl ce I Ici* qui sctnl exigées pour que l'on puisi
appliquer le« furmuJes du rliiingemenl de vartiibles, c*e^t-à-dîrc Texi^iteiicf cl 1
continuité des dériv*.^es pariîcties de la funtlion cherchée/.
(^) L«e raison netiii^nt ne s'apjdiqnerdit |du>s $1 le Ciicteur K était lufirii poiu
tous les points de h courbe inté^mlr, ce qui aurait lieu si les Cfiordonnêe* (
tous les point* de celle courbe dunuluicnt 1e^ n fofictions X^. It faut aussi U\1k
exception pour W^ intêjïrales t|uî sont telles que l'une iiii moins des fondions Ji,|
X,» -•» ^„ n'est pas liofuniurphc dans le voisinage d'un poiiii quelconque de
cette courbe. Ce ca» se présente pour tes intégrâtes singulières.
1^'
y^i * • • ^ fp ^^^ /^ îiitt^grales première^; des p relations
/l = Cl 1 /s = Gj , . . , . /,! = G;,
peut tirer // Jes varisibles ^'^j, x^, . . -, x^^ |>ar exemple r,,
I ... * X p en In lie lion des n ^ p viirlabïes reslfinles ^/^^.i , * ^ , x^,
Hi/^ eniislaiites îirbilraires C, , C-,, , . .^ C^,. Il su H ira dnnc de
terminer Xp^^^ *^p+ji * - -t **^m t^n fonction (finie seule varinble
iépeiid^mle. Si Ton dé^^iffiie par X^/i^-i, ^p^i^ — »^ X^, ee ipie
vieiineiil le^ fonctions X;,^«, *.., X^, a|ïrrs qu'on v a rem-
icéjc,, ^2» ■ ♦ — '> pat' leurs expressions, il suffira doue d^inté-
tT\ii nMOveiui sv>lènip
X,,.,
f>
II
lies dénominateurs dépendent de p conslautes arliilniires.
On peut encore raisonner d'une autre façon. Si Ton (jrend n%\
ffheaii sjfitèine de Narhibles indé(ïendanles >^|, i\j, . , ., ^„, où
\p variables >',, y.^^ ..., Vp soient identiques aui /> intê-
lles premières eonnuesyi, /^^ * . -^/pi I «'4 nation \i/)^ o esl
inplacée par uqc équation de n*éme forme Y(/)î=o qui doit
hieltre les inléi;rate** /::= j'i , * * * ^ f^^ Xp\ celte équaiJon est
lie de la forme
«on intégration se ramène à celle d'un système de n p^i
Ûf» lions difFéreutielles du premier ordre
1 p-f-t
Dn voïl par là de quelle iiupor tance est la recbercbe des in-
|raleâ premières. Jians ebaque cas particulier, la découverte
lue inlrgrale preunère nouvelle c onslilue un pas de plus vers
lobiliou complèle. On ne saurait donner à cet égard une règle
In précise; observons seulement que le problème revient à
ioer une combinaison iniégrabie des équations (^56), c'est-
lire a déterminer n facteurs jX|, jx^^ —m ^«1 ^^'s qoe l'on ait
fXrt X,i — u,
r.HVIïlTME \\\,
I HtCOREUKS n EXISTENCE.
soil une difTpreniielle exacle df. Il <^sl clair en effet *^iie Ton pcwl
définir*» df^> < cjiirilions (r*6) un no y veau rapporl â^al airx premiers
la relalioti
ti^ip —
est donr iHîr» ri>n^éqiïeiici' fle> p<|iirth"oiis (hÔ) si Ton a
u, \, — ._-^ ;jL« X,, = o,
et l'on a tira niic iiilê^rrale |irennère -^ [)ai' des quadralnrps, con-
oaissant les lacleiirs p./. H ft» t'sL ainsi en parinMilifr toutes les foi!»
que Ton peiil lionvi^r n i'aclnirs [j.,, |jl2, •.., Un, le (acleur ul, ne
dépendant que de la varîahlr r/, dr fai*on ijnr l*orï iiil
2f^/^i = «-
Observons aussi qiit\ lorsi|u\m a oUlerin p intégrales |3remiiVçs
de syslème (^ôfi), il peui se faire 4]in' le nouveau sys^tènie (tio)
puisse élre inlégré eoinpIrleoienL junir des valeurs numériques
particulières des ronstanles C|, C^* • • * -, C/m tandis que I inté-
gra liun ellective est impossible pour des valeurs aibilraif^s de
ces constantes, y
1" Suit à intégrer le s^ysiême
du
dv
dw
— Ui^l
on aperçiirt nisrriiL'ul deiiv combiiiai&ons întéi;j;rable5 u du — %f dv = w dw^
On ki dôiji* deux inté|j;rales pr^-uirértis w*— i»*=Gi, (i* — ^ w* = C*, et, eo
prirlîint lei* VHjeuis de t' et de «^ lines de ce*» relations dans t^t |»remiérr
dt's équatinns (tiii, ttn a pruu «icieriiiiner « réqiialiun diltêrentieHe
i 6'A }
d:r
= ^/{a»-C,)(M'-C,>,
dont t'intéjj^rtile gént-ralc est une fonction elliptique f n" 373), pou«inl
comme cas (»iirticuher se réduire à une fonction simplement périodique on
même ralionnelle. Comme le système proposé e§t â^inétrlque en a, v, •►
on en c ont- lu
t que V et w simt aussi des functions idlîpliques.
- fNTEGB
dîi
<ir
dj-
djL
, q, r sont des functions données de x. Un a enccue une ccinibinaison
[rable a du -^ v d^ -h- w dw -= a^ d'où l'on tire l'intégrale première
f*-t-«p*=C. Laisâtint de côté le cas où C sérail nul^ on peut sup-
rC — I* car le syslt-nie (6i) ne eliange pas quiind on mutrijdie tt, %\
r un rnème facleur t'onstaiit. A» lieu de tirer l'une deï^ ineonnries de
lation «* H- 1^' H- w' = i , OR peut opérer trune l'açon plus symétrique
in!^id étant w, v^w comme les coordonnées d\m point d'une sphère de
I w«, et le^ exprimer au moyen de deuv piira mètres variables, par
pie au moyen des paramétres qui déterminent (es -;é né ra triées rec-
es de ia sphère. Postins pour «"e!a
-r.X^
\ donne
I — k\k
•Xh
^ = -t*'
^F
îp
t^l
substituant ces valeurs de u, k\ h dans le système (6ÏK on trouve
quelques calculs facile** que X et [jt doivent vérilier nn*^ même équa-
i^Riccati
r -"
^ralion du système prfqiosé e'^t rlfmc ramenée à I inté^^ratirm d une
Ion de Rici?ati ( * ).
^renons encore l'équation intejjiree pai Lîou ville
^El r'= z^ fin la lempliirc p^ir le système
^K dT dy — dz
dT dy
dz
on tire la rombinaisc»n inlégrable — h- iti T)dT -^/fy \dy = t\,
[uatitin itu second c»rdre proposée admet d<me rinlé^rale première
^(ri.rr
/ f^yft^
y r* '• r vs = G,
on pourrait aussi i» bleuir direrienientH, en <li\ l'haut par y' tous les
BOLX« Théorie dnx Ëtirface$, t. I. p* iii^^gf.
3gO rHAPITRi: XI\. — THKOftKMHS D EXISTENCE.
lermes de IVcujiition du ^ccoiifl itrtjre; requalit>ii du premier «irdrr préfé-
dentc esl «lir la forme j^' = CKY et, les variables *H:int si^fiarï^es. an afh*^-
VI* ra l1nt«*j:rnhon pnr deux quadratures.
He marque l, — On
(65) -
romjjht'C i]ueîi|iiefois le s\ «ilèuif ( 5U) |jar k* *y*léi»
\«
'h.
t etanl une variable nuxiliaiie qui, diins bien de** ra*», n'est irrlr<Hjijite »^u<
pour pluri de sv met rie dans ïe?« rai^ionnemeiils. Si l*on a intégré le «îUl^meJ
primitif < 5iV) on «ibïiendia i par uii<* r)uadraiure, car ^i l'on »em|ilace JjJ
j?!^ .*., jr^j par exemple par leurs ex|ire*isi<>ns en fuiirlion de Xi el ♦litf'l
constantes Cj, C,, ..., C;,_i dan«i \i, on est ronduii â une reliiiion
di - ViTu <-ti t-3i
*.^
d'où l'on iléduira /^ par une quadralurc. Il *iuîl de là que riulégrak' nêné-
rale du ntHiVf*au système j 5"j \ sera i c prt'^senlér par le^ n t'quaLioHS
• -^ ftt~\ — *'«-tt
{m)
^/.= <^
t J'it - G,,
/#( n, '"îT *■'
/li fti -'-i/tt-t f't»nt ( /^ — I) irilr;^ndes dlsliinte^ dt^ \ (/*) = «* el f*
une nouv^elle cnn«;tanlt' iiibifraire,
Inverseineul , pfnjr obifuir- la courbe inié;ii'ale du sylèine ( >6 ) pa^saffltl
par un poinl donné j?^y, t^ rj, on (ïeul ebereher les intègriles «lu
fiysitènne (55), où t csj eonsidén'' eomnie la variable indê|>endante, qui
pour f = o prenneut les valeur?^ .r% r'}, ...» r^ resperhvemeiit. Stiieot
(t>:)
i( /;
ces inléjjji'ab's ; it est elair que les fiHinules precV'denles représentent U
eourb** intêg;iale elier<*hée. 11 \i*y aurait exception que «i toutes les lonc-
lions \/ l'iaifiiL nulles pour les valeur?* initiales j^f et holomorpbes dao»
le voisinaj;e. Dans i^e eas les formules \t^y) se réduiraient à j?/ = j:*. Mais
les
rapports—.
.e présent a lïl sous forme indêlennînée, rira
m* pei n»el d'aflirmcr jusqu*icj qu*il n'y a pa* dr courbe inli^j^rale passant
par le jioiut ilonnc« C'esi tin <*as qui sera e\ainiii«- |>lijs bdu ( n' 417).
Hematfftte IL — i^ii liaison qui i-xisle entre le sysléme d'équations dîfl
rentielles { jli i ei requalion linéaire ( jë ) pnMive ([ue \( /) tf*i un covn^
riant Au sv^iéine ( ïë ). Voici ce qu'il faut eulciNlre pai lu. Iaui|;iu(m<(
'pi
l'on prenne un nouveau système de variables indépendantes j''|, y^^
:qu<
liées auv variables .ri* rj
par le
elati
( 6H )
nXif^i-
Xn)
l«= I,
n)i
Iir — INTKGR\1KS l'K^MIBHKS.
\»* liiï»lh:att-:i H.
391
^f
Amnr^ \v^ IVirrimit"^ ihi l'iianyi^rurijl A^ vijrii*liles. — =— ♦"i^ une f^MiiiifUi
if
iintl (k im-rur fi*rnie
(691
Y^/)-Y,
Y|. Yj, ..., Y^ rLani flci^ tV>jit"ti<*ns (h* J'i* J^ti ..,. r«. Cela po***-, je «lis
qur II* iiiéiiie rliâiiiitîiiieiir île variables appliqué au système < 55) t^onduit
au nioiive»!] »HV-i«>nH' il'rijiiiiiions ilitVrrent ît^lles
<;o)
Y,
Y.
Y„ '
"*" [iHuriiiil r*'tiililii par un imIcuI <Jtie( (, iniii^ ceJkJ iê?"Ulte Htissi dci? pro-
f>rh U's prreédenle*. Suit en ellri
(-11 i^ _ !l!j _ ^ f^
^C ^jNlêrnL' uiii|iiel i»ii ("^i rurMliiii en ii|»pliqiii:iii[ îiii *i\*^tèiiie priniiriT \^^^\
!<• rïiaii^eiiK'iif dr variable^ < 6S ): il siiflil de nnuUrer ipie Z|, Z*, *,.♦ Z^
M)Hi |)iYipnrri«Hinel'' ii V|, Vj, .,., Y,,. Or^ soit Aj^j, ^j, .»., jr,» > uac
<iïl*"graU* pieiiiM^^re ilu systènn^ (55), et
la fiifirtirtn di'duite d(î^/*(X|^ j*,, ..., .r,^ ) par le ehanï^emenl de variables;
|^ui*qije l'on a \<yF ^- o» on a aussi YCF) = o. O^ailleuis F( j, » Kï« ..,^y^)
est é%i«letiiiiieni une itilé*îrale preiniêre ilu iinin<*rju s)'Slèine (71)» e'esl-
â-drre une inlêj^riile *\x\ I équation linéaire.
LV)^ Z,
Li-'i. équaiioii!» linrain** Y(P) = ci, 'L\V)=^ i\y avaiil les mt^iive^i iniêgrale*,
tint l<-ur^ eoeflieionls pToporlionnels» te qui deniuntre la |iiopo-*îlii>n.
Ce dentier point rr«4ijUe fie n» qu'une équaiion linéaire \fy):=o est
rrjmpiêtenieni dêteriiiiiiée, â un faclein^ )jiè*«, ipiand 101 en eonnait in —W
init*^rn[ts dhftnrtt^s J\ , ff^ . . ., /„-y , Kn elfel, U'Sin — i ) êi|uwUons \| /^) = o,
linéaires et liiMnnjç«'ii**iï en Xi» \«, . . ., \^,, déh rndnenl le'^ rappoits de ces
coefficient* ineonnus, ear tous 1rs déternnnani^ rronlie i fi — 1) formé»
avec les dérivée?* partiellr-s tl<-> ftun tlmi'i /} tir pi'nseni être unis en nit^me
leiii|i« ♦ f, n' 58k On pi'ul lemarquer que réqiiîilinn hmaîie la pln^
générale atlniettanl le?* < « — 1 ) intéi^rale* // peul ^^'écrire
ïîir,, ;r,.
^^iJ'A^A fH-^}
1^,, x„
lïur,, /% JTn)
, , Ttt) étant une ionrLion arlii traire.
= o,
392 CHAPITRK Xl\. — THKORKIIK8 d'k\I8TBNCE.
393. Multiplicateur. — La théorie du facteur intégrant a été éteadue
par Jacobi au\ équations différentielles simultanées. Soient /|. /j, ...,
fn-\ des intégrales premières distinctes du système (56); Téquatioo
X(/) = o est, comme on Ta <léjà remarqué, identique à Féqualion
0(37,, Xx Xn)
En écrivant que les coefOcients des dérivées - — dans les deux équations
sont proportionnels, on est conduit à n relations que l'on peut écrire
(72) A,= MX/ (i = I. V.. ..., n).
\f
A/ désignant le coefficient de -^ dans le déterminjini A: le f.icleur M
OXi
s'appelle un multiplicateur.
Cette fonction M satisfail. quelles que soient les intégrales première* /i,
yi? •••»///-!» à rëquation linéaire aux dérivées partielles
ilS) — -; 1 H. . .H = O.
En substituant à la place de chacun des produits MX, = A/ son e\pre<sioa
par un déterminant d'ordre n — 1, et en effectuant les dérivations indi-
quées, chaque terme du premier membre est en effet le produit d'une Hê-
ti* f
rivée du second ordre telle que -, — "^^ — ii ^ Ar) par (/i — 0.) dérivées par-
^ dxidxi, ^
tielles du premier ordre. Pour vérifier que le résultat est nul. il suffit He
vérifier qu'il ne renferme aucune dérivée du second ordre. Prenon- par
exemple la dérivée ■--- — : cette dérivée fiuure dans deux termes; dnn*
^ ÔXx ÔT^
Tun elle est multipliée par • — '-' * '~^~^ -, et dans l'autre par le même
\y{x^^ x^^ . . . , Xn )
coefficient changé de signe. La somme de ces deux termes rst donc nulle.
et de même pour les autres.
Si Ml est une intégrale particulière de l'équation ("3), la substitu-
tion M = M, fx ramène cette équation à la forme \{ jji) — o. Si Ton ronnait
un multiplicateur M du système (5G). l'intégrale générale de l'équi-
tion (73) est d'après cela Mn(/,,/i fn-i)- H étant une fonction
arbitraire. Toute fonction de cette forme est aussi un multiplicateur: en
d'autres termes, il existe (n — i) intégrales premières F,, .... F„_i. telles
que Mn(/,,/,, ..., /;,_,) puisse se déduire de F,, F, F„_, de U
même façon que M se déduit de /,,/,, ...,/,|_,. Il suffit pour cela que
lit. — IMKtillALt> rHËUtEHES.
Voii art, en «-ui^pusant X| .^ o,
Ml LTII'I.ICATt^CB.
Î93
^ MO
rMFu F,. ..., F,,-,|
= n(/i,/î /«-t»-
On peur 'i;uivf:iin* il trt'iit* cr*M<iiiit»n li'iiih' in*iiiilr de manières, el même
«e donner a l'iiviinre « — i de** inle;;rf'*le*î prpinit*re^ F/.
t74)
|%ec la variable riuvillîiHr /. f]t* 'iy^W-iin' jieul êlr** ramené à la forme
f simple
k<:S)
<3(ri ^ <>'s - .
dyf^^^^ = f». 'XXw^ '^'.
tn preiianl piMir \arîabïe«ï le*; n — i înli-^^rolc^i premières /j./i^ *--ift*-\
el la foiirli(Mî /;, qui figiHti dans lt^< fnriiiirles f>i re»*denle*4 (66 ) ; il est facile
d'avoir Texpression *i[*'nt''r.Tle des mulciplirHteitrs ay mny+*iii des variables j^,.
I En effei, (ont multiplicateur e^t de la forme
M =
I LX.Ki.Jî
-.Xn-X)
\^ D(^rj. T,
^'d aulie pi*rt nous avonis^
-i^^O
Xi =
rf/
4r. '^^
U(r»^ Xr ,..,^r /!',);
îe« formules Y\=/i^ .*., y„= f„, qui dèfiuîsseni: le elian^ement de
; farialdes, on lire en difrêrenlîaiil par rapport â v,^ et en résolvant
Ï>(.V,» »',
= (—j)n-
^*(^%* r,^
no,, ,rî, r,,}
Itt l'expression j^i'-m-rale du lu ullifiliraieur peut s'écrire
ï>Of» ^î ' « ►
|7«)
Df ri.^Ks- — j%,)
'^(vurtf ...* r«-f),
étanf une fonciton arbitraire de n. ^i Y/t-i-
Supposons muintenanl qu'en effectuant nu ehangemetit de variables
lHKfiRi:MES t» E\18TBMCl!:,
H94 CHAPITRK MV.
qutflconrjin* ne portant qut' sni If^ t, *an* changer la variable /, 00 ait
rame tu- le *ivslt''fiif ( y^ i it \n fo
*77)
d>;
dj.
dy„
di.
les X| **laiit <lrs foncii^ifis «If?* ntMJvcll<'5 varicilif€> .rj riiilrpendanle* de
Si W esl un njullipltratcur He c** noiiv«'aij "^v>lêiiie, on a «-'Hcore
(7»)
D(.
>r
ni r,
*( Fjt ^VS'
en jm^inanl la rm-nH' f^nrttnn *P dan* h.s ilriix loi iiiijie**, on efi iléduil^
!♦■< (Il visant nM'nil>r»* a fortiibn
(79) ^l'=M
D(.ri, ^,,
^«)
iM./-;
'^/i)
<i' qui [iroiivi* que, lotsffu'on rannaif un nttildp/icateur W pour le
sys fème (74 ) , '' " peut en t It'du hr u n h ntli ip / /> ateur W po Uf le syM f en
tntfisfor/né.
Celte propiit^L* explît|ni* riiiiporl*iiice |MciLit|ue ilii rutiliiplicatetir, Sui
posons que l'on connais**!" fi — > înlê;;ral(** première* tin ^xsïètne ( j6)
de pins un multiplicateur. On pent alors ramener ce i^v^léme à la forme
d^i
flXtt
d,r'
dj-'n
^dt.
par tiii chiiii*:L'inenl île vaitables, et Von connaitia pour ce nouveau ^y
téme %\n niiiltiplicatcui M', cVst-à-dirc une soliilinn de rêquatîoit
t^(M;x;_,) _^ ;nîvrx;j ^ ^^ .
M' esl donc nn facteur inté;;ranl pour \;, d,7^\^ , — Xi,_| djr\^^ el ron acJiè-'
vera rintégration par des quiidralures.
Un cas particidier ipii se présente frèqueinnient eu Mécanique est ccl(/r
où l'on a \ -T^ = o. L'i'tiuatitoi ( 73 1 se réduit alors a \ ( M ) = o, et Ion
connaît imniédiatemciil un mulliplicaleur i\l z= 1 .
Cette remarque s*appl»que aus^^i à réquation du second ordre j/'' = y*(J*,/),
dont rintè^raliioi rrvit'iil A celle *lii "*\ sterne
d^ _ dy _ dy
si l'on en connaît une inlc+;ralc première ♦^{^,j% ^'»= C» ot» peul» iTaprcs
ce qui p recède, achev«'i' rinlè;;ration |*ar une quadrature. Il est facile de
le vérifier comme il suit. Supposons lequatiou 'Ht, y. y \ = C résriitte [lar
rapport à y*
I
riî VXSh'iiirM VTÏOXS i.nfimtksim.m.ics.
3^^i. Groupes à un paramètre j ^ ). — Tdui en^^emLle d'une infiniu^ rie
If» r^ sforma lions d'une nature t|ur*lt'«MiqiJi% (Miiiiinl sur n vtiriaUlcs X|,
'i^ >... j'rt, ti>rm4* un groupe '^î la iiaii^roiniHliou iibh.'iiut* en eiïertuanl
*ucrc*<'ssivcmt*iit ilmix tr;in^roi niaiions (juelx'an<|ni"s lie ret en^cmblp fait
«nfr«_»rc ijarlie rie l'eii^icnililr. Coii^idi'ion'i, pour \\\er le^ idées, ileu\ \%^
na b le^ jr^ y^ er soit T lii rr^n« forma lion defmie \n\v les tonnules
*>*• «Tt désigne nu purijitn'ire iji biiraire. 8i l/on regarde j^ et j^ roinnic les
^***^ «^dorinéos d'un poini M dajis un pjan, x cl y* (ornme les i.'oordonnées
d u vi autre poînl M', les formulée précédenles dèGnis^ent ime lian^lrtijua-
tion i^iunetuelle. A rhmjue viileur du jjaranièlte a corn'S|fnnd iiin^i uufi
*'"'' "^ ^foriualion rléleriïiiut'e ; en faî^anl \iiiiei' ee païamèlre, <ti* oblienl
tii»«i- infiuilé de l raustVnriiali*oi*i diUVieiil^'H. fur:i**inou^ que l'on etVeeltie
*«<^«^^*ssivenienl fleu\ ira usfoi malions dilîé renies de eei euseinble, eorrcîi-
t'^*^<^li»nl a deiiK valeur» quekonqiies a tît // du |mriiuiêlre* La première
If'* «^ «formai ion conduira iJu roupie rie valeurs i j\ k ) an eoupïe de valeurs
(■^ ^ ^' I doiMii'es par- Itis rmiiiules j gti > ; la seeonde 1 1 ans^IrrrmaLiou eoiiduiry
t;n^%iil(. <|,j roupie (^', y } à un troi.siénie cou pif {^r"^ y" ) <iu l'on a
"•^niplaiîiMis driu> ces dei-nir>re*i f<o mules .r el y* par les valeur^ ( 80 K les
''J^ï'tiiultts obtenues
i»'i)
* —?{x, v\ it, h).
'Jwfinissenl encore une t r.rnslr^rjiiHtion poncluelle dêpendani des deux païa-
taêtres a ei /». Nous rlirons «jue l'enseuible des tiau'îfiM inaiioiis ( Ho ► forme
m\ fftoupf i'(/filinu à un parfimètre si la io>uvidle transformalirMi fS-2)
(*; f,a tbéone des grrtupes enntinus de Lrau^formations a été développée p^ir
Si>phust Lie ddUis un griind iitunbre de Mémoires et d^ois sun Ouvrw^e : Théorie
fier rrana/ormationsgruppen .
J
THBOIŒHICS n KXISTK^CK.
396 tJIAI^ITRE \l\.
aj.>f»artîeiil il 1*^1 rri'^cnililr. Pnurrfla, il ùiuï ei it suffit que le^ foimul«*(8
Sfiienl lie Iri f<*inir
(8H)
/(y. y: c), y^^{T, y:
c t-taiU tme valeur du pu ra urètre ne fl«"|>ernliini que *\i* n el cP^
c= !}/< fï^ 6k 1**1 'U'Iinition qui piër*^«ïe «i'inqilmm' eviclemiiienl quel qa«
soir le U'imbif des variables, en parliciiiier n'il n'y a qu'une seule variabk.
l^es famiules *t' = ,r -(- rt. fui
;r — jr H- a,
dcMineni fîrs groupes ii un paramètre. Vu eou traire* les transformlj
lions ;r ^ :r -^ a^ y' ^ y ^ n* ne f<iruieiil pas un jiroupe, car la Irans
matîon résultante de deux liansrarmaiitîns sijce«"ssive«i j*' = ;r -f- a -h A,
y T= y -^ a^ ,4^ /}t m* t'jiji j^jj*, pïirfir ile reusembk-.
Si dan*i \e^ fiM mules (80) qui délini^seni uu ijroupe de Iran^formaUc»!]
on po^e a = T1(a), a étant un nouveau paramètre, il est clair que les foi^
mulf^'i obtenues définissent enrore un groupe, H en *^M encore de même i
Trin fait nu cliani^enienl de varia Mef*, enunne un peut n'en rendre couipi
a priori. Kn effet, si un en^embh» de transformations ponetuetle* dans un"
plan nsi tel que la tran^forujation ré*iuUanle de deux 1 ran^formaiioit^
succes^^ive^ fasse partie du ménie ensemble» it est elair que celle propriété
est indépendante rlu elioi\ des coordonnée!» i\ Tiiide desquelles on five
positron d'un pr»ini dan- le plan Du reste, la vériti cation est facile.
Supposou'i- que Ton pn«»e x — n(u, tVh J' — \\%i w, eK et soient inverse
meut u — \\' M.r, r K t^ = W^^ {x, y)* ^« façon que l'on Hit ideutrqiieniei
j- = Jllii-'i./. r(, ii,'(j*. r»]. r = ii,[iï M J\ V), ll»'(^,>-»J.
Par liypothé'^e» les lrall^fl»l iiiation> ron^idi n'e*» liMinent uu groupe et lr
formules (K3) où c^'^ia, h) sont nue eon*iequeure de« formules (8o^
et (Kl i. Soient { m, v), ( «', v'j, ( «', v" \ les e«iuples de valeurs des noiivelTi!
variable-^ qui correspondent respectivenicnl aux couples (j%rN I J"'» r')
(^',/'f. On a
// = U-»Kr\ j^'j T= tf -i 5/1 m«, e). n,(i#, t'): «)» ^1 Hu/, v\. Il, ( w. r»; rtjf'
\ = Fl«. I': ^f r.
(B4)
J i^' = n7*6r',/) =n, ^ ;/[[JUrf, V), tl,(tt, e):cr|, 9I ïlui. i->, II,(w.rKtf|^
et tout revient a déunourer que le* formules (HJ» détinîsseut encore
groupe de trausfoi ukations. Or on a par cKciuple w" = F» w'. r' ; ér|, ou
IV. — TRINSFOHAIATIONS I^PIMTÉSI.UAI.ËS. hjj
n '\/iT\ fi bu ^ix\y: b\\= ï\ 'I/o* J^î t-'h ^i-^t J^i ^>|.
c*esl-à*dire à
n-*J/[IJ(//, il, II, iw, v\\ r|. îp[llM/. r), HiM*, i>'»; '^]j = F( m, t>: c),
tl \\*n venail de même cjue Ton ii 1'"= '^< <*. r; c).
Deux gi'dupef^ de transform «Lions que \\*n laim^îie aiii*.i Tun à Taulre
par un cbangenieiit *le vnrifibien soni dits aemij/ables. Par exemple, les
deux pnjiipi»s r'^aj', u' — ti -r b ^oiir ^ii-iidilabïes, oar on |>a«ïse de l'un
à l'a litre l'ii p<*?^rint m ^ log^^ ^/ = Irt^//.
^ous iilliius di'tcrnnner tous les giimpes à un paramètre en <«upf>o<^iint
que les lonelMMifj / el © *onl analytiques, et eu supposaul de plus que le
"^ruiipe renier me la transforma lion tdentiquef r'est-à-dire que, pour une
valeur parlN'uliére «o du iKjramtHre, r<jii a J\.r, y: a») — ,/■, o{jr, y: n^^ ^ ^,
quels «|UL' soient :r et y.
Dans les équations île coudilîmi
<8î )
/{ ;r\ y ; b ) =/< J^, ^ ; r ), ç(^-'. j' ; ^ > = t?< ^, j ; <• J,
on peut considérer x, >% a» r eoiutne des Xfiri.ibles indi^pendautes, et b
comme une fonction di*. a t!t de c déliuie par la relalion e = 4'(^» ^)i
je* ei y *oiii de^ fonetion*^ de ^, ^, a, dëfinies par les formules {%t%y En
prenant les drrivres piir rtippirri à rt, i>ii tire des relation'* I 8'i |
(86, jiCi!^-.-^:^ 4-^:^=0,
i^T nia liy Oit ijb Oti
Or
oy
Oj-' tht oy tht
t>q> àb
Ob ^
mais — e^l (Jfniin' im» la relahon » — -r- — = o. el uc (hnifml par con*
*la tt€t tjb tJa ^ ^
séquent qu»; de a et di' b. Ku n-solvani le* éipiytionfi prroèdeuies ( 86 ) par
pport à
Oti t/a
tjj-'
un oijiieui doiii- iles iVjrmnleiïf de b loi un:
— - — Aifiy b )J( jt', y\ b
t.Ui
= A((ï. b )y^\x\ y\ b).
Or X* et y ne dépendent |iaH tU- b. il en esl dane de même «le X, J, 73, et
par suîlr ,r' et y^ si^ui l<"^ iiitèi^riilfî» du sy«^t èine d\?quation'i ilillV'rentjelles
(87)
iU'
fuTy] -^s^^/)
K ( fi ) da ,
«|ui pourri — a^prenuetil ri?'ipeeti\eiio"nt les valeurs j' ^^ J* liiverseiaeni,
«quelles que soient les ronctions ;(.r, r)» T^{jr, )), les formules ,r' = f{Xyf^ a),
^'=^(x»^>\ £ï/, tjui rejo i^st'utent 1rs într|»rah'S du système |irêcédi;nl se
réduisant respcf tivemenï â x et à y, pour une valeur particulière a<} du
paramétre, delini^^enl un groupe continu de trans formations, (Nous
3<|t* CHIPITHK XIX. — THéonélIKfi D'iîXtf^TKNCE.
pfHivrms d'abord, pour *iim|iïifi*^r. inlnMiiiire un nouveau paramétre t ^^
|M>'^4ini /— / ^(«)rf€ï, €e qui pernn*t tl'ecijre les équations dilTrr^*-
tirlles (87) snus la forme réiluite
d30' df
(8«)
l{T\y) îi(x',y)
= di.
I/inl('fîralr «irnf-rale <fe ce systèmi- peut ^'écrire» comme on Fa vu pi
haur (II" We±\,
11} cl Ml étant cil'*» fruiction^ (Icteruiiuéc!; rie j'\ y\ <.'i Ci. C^ élaiit de-
cunslaiiles arbrlrairc^. Les intégrale* qui pour / = o (irennenl It*» valeurs
el y sont données par le système rre<.|uations
(89)
M^{T\y) = il^\a\ y). iï^ij',/)^ ili{x,y)-^t.
Lr'^ formules pi «^irdenltî?^ iléfinissciit bien un groupe continu, car
l'on etîectue succes^^hepu* ni Ic*^ deu\ lr;j(isftirniûtiiins qiit corrt^^ponde
aux valeur?^ (\ el t^ du parinnèiie, la transforiuation ré*; u liante corrf!&pi>c:
à Iki valcui /,T- t^ du ptirarnétre. Les deux transformation*» qui corrtr
pondent aux valeur* / cl — / sont inverses Tune de l'autre. Si Ton a
inversement on peut écrire
X =/(Lr\ y
f), y = <^(T\y'\ —M.
Prenons pour nouvelles variables
u ^ I2,{r, y). i' = !iî( j-, y)',
I e s f f I r mules i 89 ) dévie n n e n t
{ 90 ) Il ^ itj t*' = t- -f- / ;
on dit que le groupe est ramené à la forme réduite. Tout groupe conttn
à un paramètre est donc semhtable à un groupe de translattonn.
Prenons par exemple le ^Miuipc t' = a>r^ y' =z a^y. Nous avons, t
appliquant la méthode générale,
ût' m* àv' y
Les équations dilférentielles (88) sont dans ce ras
dT* _ dy* _ da _
œ' ^ *iy ~ a ~
IV. — THAPfSFORIIATIONS tNF1>'rTÉSIMALE!:g. l^i
en posatii t ^ lof^a. Les e^uiiliuns lluîes du ;;rriy|>e peuveril !^ écrire
21 = 21, l,>s.r = H'^^-/.
et oti tes iiicltra Mm^ la lornu^ rédiiile vn (ïieiujnl |>i>ur nouvelles va-
V
riables logy *ïl^ ^*
3^. Application aux équations difTérentielles.
Supposons qu'une
[!li)
admette un groupe vonnti rlc trHn.ilVjinialiiPn*' n un parariiélie, c'e^t-à-dirc
.soit identique à réquati<»n obtenue t*u elle€iuaiit s-ui' les vai iîibles j- et ^
le cil ange ment de \ariab]e<* iléfîni |jai le< fi^rinuleâ (Bti), quelle que ^oît
la valeur numérique «lu piiniinèlre a. Du [>rnl se «ier%rr de cetïv propriété
pour î<iniplifiei' riutcgralinn. Kn elIVl, i mit;; liions qu'on etTcctUf* cï'aboni
un **han^,*nient de variables de Taçon à ramener les équatrons qui déli-
nt^sent le j^roupe considéré à la fm me 9int|de u = «, t*' = v-i-a. Le jnême
changement de variables^ appliqué à l'équation différentielle proposée,
conduit à une nouvelle équ;iiiou d'ordre n
(m)
l dv du- rf«t' .
qui ne doit paî* rliauj>er quand on v remplace i> par v -h a. quelle que
soit la Vrileur numérique de la eons<lànle a. Ceci ne peut avoir lieu que
»i le premier membre 1^ ne renferme pas la variable i\ Si Tequation est
du premier ordre, on obtiendra l'intégrale «^tniirale par unr quadrature;
SI /i > I . on abaissera I f»rdre de i i-quatïou dune unité en prenant——
pour b fonction inconnue.
Prenons par exemple l'équation bomoefène du premier ordre
dy
du
dx "^\:r)'
Cette équation ne chan|>e pas, quand <»n remplace sp et y par ax et ay
respective ni en t. quelle que soit la ciinsiante a. Or les formule** j^* = ax^
^'=: a^ définissent un j^roupe de tninsformations, que Ton peut encore
écrire
V* Y
^ = £, logy^iogjK-i-^
En posant
logj' = i', on îiera donc conduit à une équation suinté-
grant par une quadrature {voir, n* 36!!).
4<»0 CHIlMTRt: \1\. — TIIÉORÊMBÎ^ D'eICISTENCB.
Coiisirlï'ron** encore Tf^uiiUini liitrairt^ du premier orHn*. el »l'»l)ord
dy
r*M|yaiioii bortingéne -^ 4^ l^y = o, (^«*iir (-(ju;!!!!»!! n»* rhcingcani (^bs
quâiitl ùii reiîiplMcc V par a}\ r[i»iHl<t <pie syil tii couslarae a, on peul Jire
qu'elle ailmet le f;,roupe di* IraiisfVn u*iitions jr' = x. j'' = a^. Bile ^'inle-
grera don*^' par une quiiili al itre, en prenant log y jiaiir fom^tion iiieuiiiïiJ«-
Soil en SLH'ond lieu
(93)
Vy ^ r»
réquation linéaire j^ont^rale, el 50Ît j'i une intégrale particulière non riul*^
dy
de Téquation -^ -r Vy t^ r*. Il e^l facile de vérifier que réauaiion < t)3 ► <*e
change pa*^ quand on remplace y pai' >' ^- ftyi ; elle admet donc le groupe
de transformations défini par le;s forinul«*'
y y
X — X. =^ =r -SI- -H fl.
y\ yt
En prenanï pour nouvelle inconnue—, on doil donc être conduit ii •■ ©«^
.>t
équation inté|;rablc par une quadrature. On esï précisément conduit *i«**
calculs du n" lifilî, et Ton verrait de même que les dîiférent» cas d^ibais*^'
fnenl qui ont été signalés \ n'IMli pour les équalioiis d'ordre supérieur M^r
sont au fond que des cas partii:ulîer< de la inéMit>de prect-dente.
Ces ditîércnt*« procédés, qui appannssenl au premier abord comme de^
artilices de calcul san.^ aucun lien erïtre eux, peuvent ainsi éire rattaché*
a un point de vue commun au moyen de la tbéorîe de^ groupes de ir»(i*'
formations. A tout ï;n>U[»e continu de transformations à un parioniHcf
entre deux vaiiables jf et y^ ou peut de eelte façon faire corrcspoudr*
une ialiiiité d'cquatiou*^ A\\ |»reiiiicr ordre qui sintét^ient par une ipiiulraf-
lure, et d'équaiions d'ordre Hupi-ricur dont on peut abaisser Tordre d HQf
unité. Cette remarque peui avtjir une importance pratique daiif la inis<
en équation de certains jHoblcnrcs. ï^upp^wons en ctrel qu'il ^.'ajji^î'C H?
trouver de^ courbe^ plunes jrojissanl d'une certaine proprieré et ipir loU
connaisse a. priori un jt;ruupe {G i de transformations a un paraméire id
que^ si l'on applique une iransforiu-ition quelconque de < G; â une couibf
po*i$édant la propriété en question, la nouvelle courbe possède lu uiêrne
propriété* Il est clair que Tinjuation i!illér*'iitielle de ces courbes adniftin
le grou^te donné de tianslnrnoitiotis. Si tlonc Ton choiisit un ^yçteme M
eoordonnt^es \ u^ vj tel que les equaiions du gioupe iG) «oient u — v,
v' =: ç ^ il. Téquation dillereutielle des courbes cherchées dau> ce svsieme
de coordonnées ne renlerjnera que u. ~j- % —. — t •••- Far exemple* *up*
' fia du^ '
pOHons que ron veuille obtenir les projectionfi sui le plan de* xy de*
lignes asvmptoli(|ues ou des ii^^nes de courbure d'une surlace beîicoidc,
TaiLe O^ étant l'axe du mouvement hélicoïdal qui fait glisser la surfnce
IV. — THW^FtmMATlôNS |\FI\rrE>*IM*J.KS.
^Ol
jur elle«ratériit*. Il «'si rlair qur, -i unv lourLe t^ «lu pltui ileiv ;r>' répond à
la *|u»''?liipri. il en sera <le mémt* tk' hmie!? le-* rrnjrbes qu*^ Ton nblient en
fai^citil lourrjt'r C rl'ufi anj»le quch onqur autour île IVjrii^irïe, LVqiiatîoT»
tliffêreniielle de ce*î courbes admet dune k' gruu|ie Éormé par les rolii-
lîciti^ autour fie rorigine: \**s êqui^ilions de ce groupe 9ont^ avec ï^<^ coor-
lion iti*e<^ polaires, p'— p, c*>'== m -^ a. Avec le ?*ystèin«' de variable!^ ;5, tw,
lV«lUatioii ditVrri^itLielle ne n_"nlVniiera dnur ciih^ ;> l'i -r- {voir f, n" 243).
J ii«(|u'ici nous avi>n*i sup|ios.r k j^roupe G conuu. \'ims sônini<*s donc
con«ltitt à e\auiiner le problême suîvàtil : Ufie èffunthn ctf/férentielte
éu^rAl donnée, rfconnaitre si el/e a^itttei un ou piusteurs groupes
vo^ë £inu5 fie (ranx/or mettions à un pora mètre, et ttê ter miner ces
^r€^4ipex. C'est uuf que<*tNMi très îrtiporiatiie, que je ne puis songer ti déve-
'«»|*|jer il i; je me bornerai à qnelqui'> ind ira lions.
t
^$M>« TraDâfûrmatîoii& infinitésimales. ^ Ivhnit flonnr un ^y^léme
*r;in^fi>i 'UMfion*. elterruêt'ïJp *tir n variables, dcfin» par les tiirnnile<i
04 i .#*;=//(.r,, dTj,
^ H . « I
( f — I , -2, , . . , /t ).
*** les fonctions Z*^ d»peinlenl d\in piiramctrc arbiliaire (7, nu dît encore
l|ue %^cis uansfiirniationï* f^oroenl un gfoupt'^'i Li Iransforniaiion rè^nltant
^^ «leuv irkin-itorioàlions quideouqnes» de ce sy>lemc elTeciiices ^successive-
"*^nt appariicuL eiicoie an sv'.lènie. Uri dcnomtre comnii* plus haut que
toui groupe qui renferuie Li i ranî^foi inalîi»n îdt'uliqucj c'est-à-dire tel que
Vf»n ait» pour une valenr <f^,^ dn pararuètre, qneb qo«^ «^iiieiiî '"d ^t, . - . » ^«,
//( JT , , ^/,. ,.,, j n \ a^ )— J-f U = r , *, . . , n ;,
^ohlieni en intégrant un ^vsténie d'équations diiïérentielles
dr\ _ dj\ _
>oienl
1 çr^-^i*
\
^«* ►**»? • • • 1 J h)
m\^ ^i\xu Xi, ,,,y jPn\ n (* = l, 1,
' , « ^T
le*" ïtilégrale* de ce •^yslèmc qui se réduisent à j^i, ar,. ..*, a*,, respeelive-
meut pour f =. o. Le^ foruiules < yti^ dèlrni«^«enl un i^roupe continu a un
paraaiètre« la variable ( jouant le rôle de parajuctre. Muu^ avons vu en
clîet ( n* 39:i ) que riiilégrale générale de ce systéute peut ^'écrire
ii„_i(Xi. x',, ..., x;j = Crt_,, u«(j?;, ,.., x;,) = /h-c„.
Uif ilf, ,..* Urt l't.inl n fouciions des viiiiabïes x\ que Ton a détînies avec
G*, IL a(>
T1Œ0BI£MES D eXf (STRATE.
409 fiTlAlMTHi: \[V.
précision. Le^ intégrales qui pmir / — o jnefiiicni les valeurs rj, y,, ,..,
UJ7)
., n — i).
éqyivalenlcs a m t'ormules ((^6), Sous cette nouvelle f<*rme. on voii imiiu'*
diaiernent que ces transformations forment un groufir.
Soit F(^|t r^^ ..», x,t) une foni^tion des n variable*. Xi\ si nous v rem-
plaçons les variables^, pai* les fonctions j-\ déduites des formules i^Ou
le n'snUat ¥{x\, j-^, ,. ,, x'^} est une fonction de jr». t,, . .., x^, f. ^"'
pour / = o se réduit à F(j*t, arj, . , ., .r„ K Proposons-nous di^ dé\^lnpp''
cette fonction suivant les puissances croissantes de f.
D'noe façon généra le ♦ nous désignons par P' ce que de%ierii uii»^ ir*ri'-
liôii Fi.r^, Xiy ,.*, j'u ) quand on y remplace x/ |jar x,, et nous poscrot^--
^éiant nne fonction quelconque de Xi, Xm^ . .., j^^,,
>^(/> = Îi'-^J. ^î, '-- ^n)
EL
àxi
'-^ ifti^t* ^tf
les variables j*, étant remplacées par r^, nou*? poserons de même
X'(/)=S,rr',. T,
'"^ÂZ
Cela posé, nous avons d'après les équations dilTérentieMes (95 I
nous avons ensuite
et d'une façon générale
-^ ;«(*^n -^i
dx,,
'5^ = ^I^^^^^H = ^'I^'^'")]'
= \'f^'(FV),
rff/'
X'/M F' 1 désif^nanr le résultat de l'ûpération \' eiïectuee /? fois sucresji%
ment, l'oiir / — o, r'^ . x'j, . . , t',, se réduisent à a^i, j**, . . . , jr„, { --^ — )
est égal à \ z^* ( F K et le dévelopjjeujent de F' est donné par la formuU
i Fix\, . ..,a?;j = Fr^t ^n) -^f\(¥}
^^^> i -^il \<i.(F)^...-4^^X.p'(F>-.
f r.'i n!
La fonetion Fêtant supposée régulière dans le voisiiiii^e des valeur* J^t»
IV. — TftANSfcm.M VTIOXS l\Ft\JTKtiîMALES. .^o3
r^j r„. (a sêrit* du ^e^onil membr*^ esl t oiivcrgenle laiiL que |/| esl
► iirii^Rinmenl [lelit. Kii parliculiei', ncms fivnn«i
9λ)
t /*
f.'A.)
Xt*'(S/)
I
■ l>ounoii* à t uim^ vaiiMii' *ii(Hi*iUiM*i |n.'(iic ol; les focmyli?* précérlentes
peuvent *'r»crire en posiiiil ^^i^x) — ^ ./ v» et en néjçligeanl le*, infiniment
|>4;iiï<' «i'ortlre ^tipérieiir au jiremier par rapport à ô/,
f(ioo)
o;r, = Jt5/, 5j*j=J,5/,
Î.Sf.
tJn ilit (][ur ces fcH'iiiiiles fli-tinis-nii une O a /information injinitésimale,
€l Xl /*K fMJ \ £/ ' t e-^t le syiiiiiole «le ( t'itc t rîjii s Itiiination infinitésimale»
A lout proiipe à un paramétre rorre^ponrl unr Ir^nsformalion inlinilèsi^
nial^, et inversenient ; on |>eut choisir à volonté n fonfltons Ji» îtt •»•» in
de Jj, ^t» ...| ,r;i, et. \(/,! est le symbole d'nne tran information infinil»^-
*imale flt'.tin!**ianl 11 n tjnojpe conliiin ilont on ohti end rail les éf^uations en
fnté^i'iint It* s>*itênie d équations flitTèreolieUeîi f 1)5 L l/introflurtton tien
transformations infinitésimales a peimis d'fljiplitijuer â la tlié*irie des
(groupes les méllioiles rlu ealeul infiniiésimal. Du reste, ilans beaucoup île
*|ucMion5 relatives aux groupe^i, c'est la tranïïformalion infinilêsimale qui
intervient seule, comme nous allons en voir des c\eniple5.
Considérons r^, rj, r„ comme les coordonnées d'un |jornt dans
Tespace à n (linten<<ionsT i^t / ronime une variable indépendante mesiiranL
le temps. I.ors<:|Ue / varie, le point de roordonnées j^J , ^Tj, .,., jr,, décrit
«lan^ l'espace ii n dimensions tine courbe ou trajectoire partant du
point i.ri» ,ifj. .,.,.r«). L'espace à n dimen*;ions» ou du m<ïins un domaine
pris dan«i ce! espace, est ainsi déeom|josé en nuf iiilinîté de intilliplieités
à une dimension, chaque point île ce domaine a|>partenant i\ une seule
multiplicité. On dit qu'une fonction FiXi, ..., jt,, ) est un invariant du
groupe considéré lorsque l'on ti, quel que soit t^
P(.r', ,
^V)^ F(^i' •■
^«).
\
Il est »isé d'avoir tous les invariants d'un groupe* Eii efTel, en divisant
par / tes <leu\ membres de réquaiion (98 K '•" r*'n suppose F' = F. il
"Vient
X(F)
Xti)(F)
tf'-
X'/'^(F)^... = o;
cette égalité devant avoir lieu quel <pie soit t, \\ faut en particulier q uc
l'on ait \{ V) =: o. On dit alors que la fonction F iolmet la transformatirïn
iurtnitésimalc du grou|)e. Ci'tie condition est d'ailleurs suflisante, car. si
Ton a X ( F i = o, l'on a aussi \ [ X< F ) j =0, . . ,, et par suite X^/*^( F ) = o,
quel que soit p> Les seuls invariants du groupe à ttn ptjrami^Jrr sont
^nc les intéf^rafes de l'équation X(/) = o.
Hemarqmms que si deiiv *;roupes ont re-pectiveoieut pour tninsforuia-
THKORBMRS II EX.ISTKNCB.
404 CMAPITRI-: XT%,
lions infinitt'*iiiriate> \i/}i*\ n \(/). IIihT,, r*,
lioti «jui'lciMitjue, cc^ il*ni\ ^r<Mjpeî» ont les mêmes iiivari^mt», satîs éut~
identî(|iit's. Si l'on a|)|iljque à un mérn<^ poiiil !*■!§ iransformaiions des Heu\
jtfi ) t'tant une kntu
group«*5, l't! prjini decnra bien la même rriïje^tmre, mais avec de* viussf*
cïîffeienLe.*.. Invert^emenlT si deux groupes oiil les mcnies invariaDts, les ileui
iransformalion^ itifinilei^imales X(/) et Y{_/') ne peuveiiL difTrTer que par
un faneur !l( j'j, jtj, . . .^T,f) ne dépendaui qwe de x,, a^j, , . ., r^, car \n
deux équations \(/) = o, Vi/*» ^o doivenl avoir les mêmes inlé^rdesr
IMiius inlniduiron*; encore une nu lion impoitaule, S*th
i ÏOJ|
^i=/(^. y; «)- ^'1 = ?(>^. j^î a)
4
malioD I
un gn*up** eontinu à deux variables* Si l'on applique une trirnsFurmalK»»
de ce firoupe à tous les poinls d'une courbe plane C^ ou oblîenl uui^ nuUt
courbe plane G|. Soient y^X^ ..../'"^ les dérivées ^successives de /pir
rapport à x ti J^\, j'J^ . . ., y" le^ dérivées succe^^sives de y^ par rapport
à JFi; nous avons vu ^ !♦ n" 3*^ < nniriienl on peul calcuJer ces dériver* suc-
cessives au ini>yeii de J*. ^, J'', .*.fj^"\ ee qui eumluil à des foriuuk'»^ dr
la fiirme
?«(^, j^. r 1
.y*'; ah
Les formule^ tioi; et inri) définissent encore un groupe de iransformi-
lîonsâ n -h a variables j-, j''^ y'
, ^■"', que Tim appelle le groupe pro-
ionjfé du premier. >ious adineUrons ce point doul la démonstration noffrr
d'autreii iliftieullés que quelque** longueurs d'écriture. INous nioolreion*
seulenieni eommiui on peut calculer la transformation infinitésimile <li>
f;r<>npe prolonj^é. Soit ^iT, y) -^ h- t^{t^ y ) -j^ la trausformatinn infiuit*'-
<;imaie ilu i^roupe donné. Nouï^ pouvons écrire les équations de ce i^rtiupe
(toi)
cl Ion en déduit
'_f^_
ri =
<i^i
■^ I \t>./ ciiy - /
dr+L{±da-^±'iy)
r \dr ûy •" /
Le eoet'ficicnt de / dîiu^i le second membre, dont nous avouï? sculeml
besoin^ s'utiiieni par une division^ et il est égal à
as: \ f)y d^ / il:r \ ûy / \ dr )
IV. — thaïs SKOHMATtOXS IM- IMTKSI WALES.
40î
[ Le symbole de la h ân>foi mation îiiBnitêsiniaLe du §[roype |)iojnn<L;ë est
«lonc^ pour n — u
Li' |>rocéd<' e^l général. Si le corflicîent de / duns le développe me m
de/^""* est it(x, ^, /', . . ., ^<"-iV), *>n a pnur r/'
^jti#-n^ - dr:^...
r ^ à^r ^y ^ I
et le coeflicieiit de i dans le second jiieiiibre e^t
rZ-r \ c/^ éy " f '
On peut do ne eatnil*'r de proche en proche les Iran sfonnat ion* infini*
lesi maies des groupes (ooiofi<îès que l'on peut déduire du lîroupe consi-
déré, en ^'arrêtant a telle valeur de ft que l'on veut.
On ilrt i|u\in syNtèiiie iréi|UHUi»n!^ ililférentieile:!»
004)
djTy
I
I
ailmet le inroupe de tr Hnsfiinualiiuis y un jm rame Ire G «iéfini par les for-
mules (94) lorsqu'il se eîian^e en un système de même forme
dT\ __ d'a\
\\
x;
quand «ni prend [lour nouvelles vanaUtes jtji ic^, ..», j^J|,,aa lieu de af^i,
iTt, .... ^;i, et cela quelle que soîl la valeur du paramétre a. D'après la
Itaison qui a été établie entre le «vsléme (rf>4 I el Inéquation au\ dérivées
partiel le*^
( io6 I
ÔT,
àx*
ÛXn
il faut et il suffit puwr i^ela que foute Iran s for malien du «groupe G con-
duise de ïéqualion
n
.•.if
Fà une équation linéaire équivalente à \{f)=^o, quelle que ^oil la valeur
tdu paramètre a. Si /{^%. x^. .... j^/j ) est une intégrale de \(/)=o,
f(jr|i 3c\y ..., x'„) est aussi une intégrale de X'(y) = 0| et, par suite^
*aprés qu'on y a remplacé x\, ,.., x'^ par leurs e7i|tression«i OjJ),
4o6 CHAHTBK \l\. — THK*MiKMKS lî^XiSTENCB,
f{x\, . . , , j*^ > di*k encore élre une iiué^rale de \{f) ^ o. Il s'eii^uh quf
hi roiidïlioii néee;?-sairo et ^ufiisaiite pour que le sysiètne d'équalions dtflfé'
ronlidles (ii*i) aihiietie le groupe de ira iist'orma lion ^ G, c'est que toute
tran>furiiuiLJOiï de ce j;roujje c!ianf;e une intégrale de réciuatiun Xt/')-o
en fjfîi' intégrale de la miVnie équation,
Soil
Ot,
<*^«
la Lransformatiiin inliniléshnale du yrrjupe G. \tnj*» ^iOu^on* écrir**, <-ti
remplaçant le paramètre a par te parauiêtie t dtdiuâ plu^ hayt^
f{r\, x'^, ..,, j:\,)=fiTxs^u
•rn )
T(/)-
n
T|T(/^|.
Si f{Xi .,-, J"^) ) est une intéjjjrale quelefnnjn»^ de rrqualion \ hi<>| il
doit en être de rni^Uie de f{x\y . . . , ^"J, ) i'I j»ai' suite de
A^rj, .,., jr«)— /lJ?i, ,.
•Ojt
ou de
T(/).
T(T,/,)^...,
quel que suit /. Kn particulier T| /*) doit être une iuté^ialr de l'étp]»-
lion i M>fi ). Celle condition est suffisante* Soient, en etle^yjjyj^ . - . /«-j
un syslèmc de » — i intégrales disiineic'. ; si T(/, ), T(/,). .,., Tifn-i)
sont aussi de«^ intégrales^ il eu est de luèuie de Tj/"), y étant tine autr*"
intégrale queleonque. îNous* avons en etfet / = II (/iî /î * • - ? fn-% )» cl p^r
suite
■"' Tif ^■
T(/,= ^T,/.,-
«?A-i
T(/j élaul une intégrale, ïl en est d».* même de T[Ti/î], el ainsi
suite; il en est donc de même de/^.r'i, >rj» ..., x\^}.
Donc, potir que te sysième (io4) admette te groupe G de iraiis/o^
mafions, iJ fatil et U suffit que, si f est une intégrale de X(^ =^ O» il
en sait de même de T(/l On dit pour abréj^er que Téq nation Xiy > ^1
ailuiet la transfi^rmaiion inlîuitésjiaale T if).
Cela posé, reprenons mu:" équation di lièrent ici le du premier ardre
<io8)
dû?
X
B
Pour que IMotiation \( f) ^ A -^ h B ^ =0 admette la transfciriiiiitioii
inrinitéstmale f -^ h- Ti -^1 il faudra que Ton ait. eu dést*;naiit \ï%rmiz
une I m étrille (iiufit t|n'mie < «instant l' j <le \i /} = o,
407
Or
B
fhiA
Om
= llU.i),
Ofùj) étant 1111e foiï*'li«jn imléierminétî de (o. On Lire de ces relations
H II (tuf
An(taj
€( par suite,
' B e - A r.
est df>nr un fiirleui intégraul pcmr hdr — Kiiy. hiver^ement^
jiie <^ diiïerenl
H rU - A éiy ^
Sviloix, >') uiio loni'ti<*fi lelliî *jue ^^a difTerenljeU*-' lolale -ioil
rftp =
un » à la fois
BF^ Atj
I
Ox ày T •. ,^^ j ^^,
T(o) e«t ilrtnc au?»si une inlej^rale tle Trijualifin \( o 1 = r», i:;t iiqu'^ pouvims
énoncer le ré*4ultat conime il «nii :
Pfiiiry/iff l\qiititiijfi dijférentiel te {%0%) admette le ^^roupe de traos-
format it^nx déduit de ia transformation infinitésimale J -^ — H Ti — »
il fa tif r*i il s it/Jit f/ ne -rr-r -— so it a nfu c ttur in t éi^ t a n t po n r lî d:r — A dy .
Celte nouvelle méthode n'exij^e que la conn;iîs&a[ice de la Iransiorina-
lion infinilêsimale du groupe. Comme il evi?ile une infinité de fadeurs
întégranl.^» on voit que toute équation du premier ordre admet une infi-
nité <îe tran'sfoiniatioii> infinitésimales.
Re\enon$> au cas général du svistènie noî). Soil \if}^-D réqualioii
linéaire correspondante et T{/j le symbole d'une l^t^ns^l^rlnation infinité-
-^itnale. Considérons IVtjualioii
l<"*»9)
Z(/^) = \|T(/)l-T|\t/)J^o,
I-
Hoù \[T(/)] repre««ente le résultat de 1 opération \( ) appliquée à T(/),
Bel ou T[X(y)] a une signification analogue; Zi/) est encore une l'onrlion
linéaire el homogène de> tléri^ée^ du premier ordre -^— ei ne ren-
ferma aucune dérivée du ^«'e<*nd ordre. Il su f lit de vérîtier que les tijefli-
cienl> d'une dérivée du î^eeorid ordre sont les mêmes dan^ \[T(/')| et
à^ f fi' f
dàfi* T|\(/'i|. Or le coefficient île ^ t.^X X,J, et celui de - — ^-
<*c \. ;^— \^^ .l^fl:* ^.^ f \- •=£ 'i •^^^ *?TiM^iii qae ce* coefficients sont
le^ m^^fii'^ ri^B* \'T y \, L'<h{iucioa Z y =o e*t doac une équation de
«•^■i*^ tV.nii*^ t^ii^ réTfiuci>>n \ / = o. «|a«» !'•>■ peat écrire eo mettant le^
.ifo Z / =r\ ;t — T \. 'J^-...-^r\ 5,. -T. X,»l:^-^... = a.
Ceia p-"r*é. *î T/ «î^t la.? incif^rale de ré^uation Xi /"► = o, lorsque/
e^t sue inctl'.inle à^ retc*? «r>^|iiati>.»«. to«te ÎBti^sralif de \\ f\ = o satisfait
é'v idem mes t à l>quacî«>n linéaire Z< /*< = o: oa doit donc avoir i n** 392 >
un. \fT./.l— T[\./.! =,t:.jr,.x. x.>Xi/k
s étant une fonctî*>n indéterminéi^ de j^^. x« x^. Réciproquement, «i
l'on a qne ide^ncité de cette forne. toote ÎBtéjsrale de IVqaatioo XiJ') = o
•atirfait atjfM a i'r»^aati«>n \[T> /»] = o. et par «oite Tif\ est aussi une
întéirral^ de IVqoati*>n Xi f\ = o. La eonditiom mécessaire ei suffisante
pour qu€ l'équation linéaire Xiy» = o admette la transformation
infinitésimale T*/. est exprimée par la relation (iii> oiî p est une
Jonction quelconque de X|. j-j x..
Cette relation e*t équivalente àin — !• relations distinctes
\<^, >— T. \, ■ \^;«. -T.Xt» _ X(;^> — TfX^ )
\i - x, " x^
Étant donnécf one équation différentielle d'ordre n
d'^r / dr d^r </*-«v\
dx" y ' dx dx^ rfr*-« /
pour <^avoîr si elle admet le groupe de transformations G déduit de la
transformation infinitésimale Jix. r» — — t(x. y> t-» il suffira de rem-
^ ' dx àr
pUr*er iVquation ( 1 1!£ ) par un système de n équations diff'érentielles «lu
premier ordre, en prenant pour inconnues auxiliaires les i /i — i > premières
dérivées ^', ^'. ...,^''~* , et d'examiner si ce système admet la tran<*for-
niation infinitésimale du groupe prolongé de G.
Prenon*. par exemple, Téquation du second ordre Y^ = z^ix. v, y' ». que
l'on peut remplacer par le sysième
dx dy dy
I y 51 X, y, y »
ou par ré(|uation linéaire
dx ày^ ^y ' " "
il faudra eiiantiner si «eue t-qyoutin arttiicl la rranslV»niiatKm ïnfinîlesi-
Imalc
e/ . «'/ / ■*/ r*^ /«''■. ''5\ ' <^ '.1 "!^
I
En développant let^ caJi'iils, on lii»uvf une condilion^ qui renferme :c,
^' Cl r'. el qui cjoil iHre viM'itice quelles qur soieul lef valeurs de ces
variablt;^. r^'irquiitirMi du «*croïid rn-dre rlaul donnée, -^i l'on vent recherehcr
les Iransforination* infinîtésiinale* qn'elle îidmel, les indélerniiiiées dooi
on dispose 5 (:r*rK ^^ii^^y) f*^ renferment pas^'. Kn écrivant que la rela-
tion précédcnle esi indépendante de r'. on peut avoir, î^uîvaut la fonetion
doanée '5(x» y* y' h "" nombre lifnilé nu illimité d'équation»^ auxquelles
doivent «satisfaire le** fonrtioiis EiJr, y\ et rjj', y}. En général, ces équa-
tions seront incnnipatildes, el l'on voit qu'uue équation du seeond ordre
prbe au hasard n'admet pas de transformation inliniléHimale. Jl en est de
même des équations d'ordre «supérieur, ri Ton comprend par là comment
Sophus Lie a pu classer les équations dilTéreniielles. d'après le nombre des
transformations infinitésimales distinetes qu'elles ïidmettent.
EXEBGIOES
1*. Soit M,» la plus grande valeur absolue de /(^, ^0) lorsque x varie
de Tu à j'p-hrt, les lettres a, à. K. jr^t ^0 ayant la même signification
«|u'au n"301t rinlégrale de l'équation ^' =/(ar, ^') qui prend h valeur^^
pour X — a-ç est continue dans l'intervalle ( ap^t afo-i-p), p étaut le plu»
petit des deux nombres a el - log ( 1 -h ^r^ ) .
f E . L IN' 0 1£ Lor . /o a mai de Ma I h r m a t iq ues. 1894.]
I Un établit de proche en pun he. rôuiiiie au n'* IIHH, les inë^dlttés
IX'.-J'n-ii < MnK'-' i^^^ZllU,
1 . '4 ' . . A
Cl Yn restera compris entre y^t — à et Ko H- A. pourvu que Ton ait
^. Trouver deu\ intégrale* première*^ des f^ystémes d'équations sinuiU
4lO CHAPITRE XIX. — TIIKORÈMES DKXISTENXK,
lanées
(Y) s!^ — = =
^' yix->ry) {X —y){ix -k--iy -^ z) x^x-^y)
3. L'expression — - est un facteur intégrant pour dy /( — \€ix.
4. La forme générale des équations din'érentielles <Iu premier ordre qui
aumellent la transformation infinitésimale y -^ •'' -r- «îst
•^ Ox Oy
-^ ^^, = <ï>(a7*-h V*).
x^yy
En déduire un facteur intégrant.
5. Trouver la forme générale des équations dillcrentiellcs du premier
ordre qui admettent la transformation infinitésimale -^ -i-x-^i ou ia
^ âx ày
Iransformation infinitésimale x -^ -k- ay -r—
Ox "^ ôy
6. Trouver un groupe de transformations pour Téquation difTérentielle
dv
-^ = c5(27 -4- ay), où a est constant, (M en déduire un facteur intégrant.
dx
7*. Les équations difFércntielles de la courbe éla^^tique gauche
y'z''—z'y''^^ox'- -^ '^y,
z'./'" - t'z' = oy'— px,
•^'r'— /•**"= 05' — a,
où a, p, 0 »*onl des oonsiante*», admettent le^ deux intégrales première*
ar'«H-y«-f-;5'2= C, fi(x»-h^*)— 43'= C. On obtient ensuit»» j- el v P^^
l'intégration d'une équation din'érentielle du deuxième onlre.
[Hkrmitk, 5m/* (juel(jues applications des fonctions ellipti(fiies \,^.^^^'\
li*Jl. Points singuliers d'une équation différentielle linéaire. —
I Une étjLialHJM «liirëii'oli^lle Hiiéainr tl'urdie n ast de la foriiie
'Hz
//,, a,, ..., "ii^i *^lanl des fomlions di; I» seule* variulde ./'.
inlegration al éqnivaleale à rt'Wa* du ^ysl^'ivie
\ ilr
J «K «Kl «Vm «
^ir«-i
obh^nu en prr*riar»t jiour iiic< in nu es iMi\ilïan«*s les n — r preinîèr<*s
dérivées dey. Sn|>|>i>âoiis les ciieflicienls r/., lî<iU>nior|Thes dans un
cercle Cu de ra^on K ayant son centre au point .r», et soient r^,
y\^ y]^^ -.*, ^1" *' »i» s^'Stènie de ft constantes arbitraires. En
^ippUijiïaût ^nx équations {i) un rrsultar général établi |>bj.s
haut Ml" 'WiK uijus voyons que Véquation yi) admet une ùité-
IVà
CHAPITRE \\.
l^lQt ATIONS r>IFr(CllKrîTJKLLEl» LiXéAIRE>
g raie holontorplw daus le cercle i^a. prenant la \>alt'nr y^
pour ,r =x<, . iandis ifue ses n — t premières dérivées ont re$-
peciipement les ^^^lears y'^, yl^ , , , , Xo * pour x ^^ x^*
Nous savons (r*Hl leurs, d'a|*rès 1» théoiie générale, que c^esl U
seule intégrale de l^éqiialion (() sàlisfarsant à ces coiidilîon^ inî-
liâles; nous dirons, [loiir abréger, qu'elle esr délniie par les con-
ditions inflrLilps (/f-fl, ro, y„, ,Kfl, . . ., j^i,"^*'). Cela posé, supp*»-
sons dVabord. poiu- fixer les idées, que les coefticients a/ sonl de»
fonctions unilormes de j*, n^ay^nldans lont le plan que des poînb
singuliers isolés. Soit L %\%\ clreuiin joi^^vnonl deux [loinls non sin-
guliers ^,j et \, et ne passant par aucun point ^singulier; t^iiilégrale
qui est définie par les conHitions iniliales {^^^y^%y*^^ . * '^JK^*** )
est représentée pai- une >érie entirre P(.r — .r„) cnnver^'ente dan>
le ("erele C^ de centre :r„ [»assaril |ïar le point singulier le plus
voisin de x^. *-)n peut, au fnoyen de celte série, suivre la varia-
lion de rintégrale le long du chemin L, tant que ce chemin ne
sort pas du cercl^î C(^. Si la ligne L sort ile Gn en un poiul at, pre-
nons sur ce clieniin un point x% inlérieur à C^ et assez voisin
de a pour que le cercle Ci de centre x^ passant par le poînl sin^
lier le plus voisin ne suif pas tout entier à Tintérieur de C^. TS^
la série V{t — x^) et de celles qiiVm obtient par des dérivalïoiu
successives ou peut déduire les valeurs de rintégrale cl
ses n — I premières dérivées au point ^,. Soient y%^ \^\\ ...,
y^l*~^ ces valeurs; l'intégrale de Téqualion (i), qui est déBnîe
par les conditions initiales (j"( , Ki ^ y\, • « . , J*^/*' )- ^sl re|>résenlce
par une série entière V^ir — x^) convergente tians le cercle
Les sommes des deuv séries l*(.r ^ .r„ ) et l*i(.r — or» ) sont égafei"
dans la partie commune aux deux cerr-les C<> et C<, puisqu'elle^»
représentent Tu ne et r;mtrr une intégrale de réqualioo (i) sa-
tisraisanl aux mêmes conditions initiiile>. Il s^enî^uit que la
série P|{*r — x%) représente le prolongement analytique dans le
cercle C, de la fonction analytique déliuie dans le cercle C,, par
la série P(j* — j™o). Si toute la portion de L comprise entre Xi el X
n'est |)as située dans !e cercle *ji, uxt prenfira nn nouveau poiDl^r»
sur ce clieroin à rinlérieur de C, , et ainsi de suite,
(^n arrivera certainement à un cercle renfermant le point X au
bnut iPuo nombre ///n" d'opéra! ions. En eftel, soient S la longueur
dii chemin L et S la limite inférieure de la distance d'un point
I. — PHOPRIKTBS (ÏRNISftALES. — Jî¥STKMES KONDAMEXTALX» 4^3
€|iie|conijue *lt* L y Vtui des [><>iiïls sin*;*illt'i '^^ Le* rayoîjs de*
Icercltîs successir^ omploy^^s sont mi moins égaux à 3, el Von peut
.choisir les contres de ces cercles de fa(;on tjiie la «lis^lancr de deux
ct^nlre^ coiist''<:ulifs soîl !iiu|)érieiire à -• Après// opérations la lon-
gueur de la ligne bnsée obtenue en joignant ces centres suc-
cessifs sera an moins égale à p -* Si Ton h // - >■ S, la longueni'
Idc cette lignt^ brisée sera ïsuperit'ure ù Ici loognetir de L; après
(/» ^ — ï j opérations âii plus, on sera donc nrrivé à nn cercle i en-
fennaut tout*' la |ïorti<jn de l> comprise entre le cenlie de ce cercle
et le point \,
On voit en résumé t|ur i'on j*eul poursuivre le prolongement
analytique de t'inlégrdlc, lant que le chemin décrit pai" la variable
ue pas>e par ancnn des points singuliers des coefiieienls ctj. Nous
t savons floue *^/ priori quel> sontli*» seuls points qui puissent être
iJes point> singulier^, poiii les intégrales d'une équation linéaire^
il peut d'HilleiMS arriver qu'un point a soit un point singulier
pour quelques-uns des coellicients tï| sans être un point singulier
pour toutes les intégrales. Dans te cas particulier où les coeOi-
eiefits sont des polyuomes ou des fonctions entières, tontes les
inieg;rales sont des fondions holonnuplies dnns tout le plan.c^esl-
à-dire des lonclions entières, pouvant se réduire à dus polynômes»
Ltf*. raUiiniienif ni"^ î^'rltiiiiJeiU aussi au cas uù le** c»jt*Oi€icHt?* rt, ont des
^îtigiilarHés 4|uelranfjues, vt^s l'oïnômis |n>i»%anl èlvv mu lilfurmefi. Si l'un
pari d'un point j*,,, où ces coefiitienls «ont liiili>iii(>r||lit&, i'A «jiit Vun fasse
décrire a la variHl>le x un chemin I. tout le long duquel ou puisse pour-
suivre îe prolonj^cnient atiahtique des coefficients ftif ou jjeut également
poursuivre le prolongement auidyiique des ïnié^rntes le lon^ de ce clieiuin.
Ues ^érie« entière* fjui iepr*'seuieiil ie> iutej^;ikdes sont convergenles dans
les mêmes cercles que les séries qui repicsentenl le& coi;îflirif nts.
Ces résultats sont bien d'accord avec ceux que l'on a déduits de la
méthode des approximalions suceessivei^ (n** IMïu
;iî!8. Systèmes fondamentaux. — C*msrdéron?. une équation
linéaire ei honiogrne, ne reri fermant pas de teiine indépendant
^, d'^r d^-^y dy
4 II f:il\l>]TllK %X. — ^01' AXIONS rHPPKtieXTIBLLKS U^KàlRES.
iU3U^ (lésigHnns ici |>f»r ^' ( >')i ï**>>> J^Ius uno roiicluiu <\e la variable V,
mais le r^sullal dNme opération efft'Cliiëe sur uive fonclion^yde
vai'iiahle t. D'après ta défini (îon même de ce .^vmljoïe d*opéi»lion
il est cUiir qiit% si j^i. Vit - • • . J^> >*»<>^ P iVinctions cjuelconqvteï»
de .r^ ei i^, ('2, .. ., ï'^^ des ctnislanles c[iielcoiîques, on a I
rehitioti
si^i, Va. • • *^yp ^ofï des iiilé^rales^ de l'êqiialioti (3), il en ^^l
donc de rnpjiie dtî (^(j^i -i-Ca^/a-h- • -H- C^j^jo, quelles que «ioient
les valeurs uuuu'riques des constantes C|* t^orsque Ton cnnnaîl /t
îfite*grales parliciilières^i, r^i » • • ■« .T« de cetle éq un lion, on [»e(i 1
par consrquenl en déduire une intégrale
:^
(4)
K = <-irt-^<-î.Kt^*
c«r«
dans rex[>ression rie laquelle lif;urent n constantes arlHtïairesTtl
Ç^^ . .., C,i. Ou ne peu! pas rn conclure que la formule j 4/ re-
piësente bien Fintégrale générale de réquatîon (3); il faulaupar;!-
vant s'assurerque Ton peut disposer des constantes Ci , C^, ..mC*
de façon que» pour une Vtdcur particulière ,r^^ de j*, dîllcrenie de^
points sinp;ulicrs, jK et ses /? — 1 [ireuiières dérivées prennent de>
valeurs quelconques données à Tavance. Désignons pour abn^ger
par (Kf)o '^' vîileur que prriid au prunl r^, la dérivée />'''""* de î'in-
tégrale parlicnlière y^. tin é^alaiïL à des quantités arbitraires Ic'^
valeurs df l'intégrale y et de* ses ft — 1 première» dérivée^** a'>
poinl x^i^ on obtient un systcme de n équations linéaires pour
déterminer les constantes C,, C3, . . . , C/|. Le déterminant, farm«'
par les <*oenicienls de ces inconnues, doit être ilill'érent de ÛP>^
Nous désignerons par A(ri, y^j • • «i Vn) ce délerminanL (jui ''>'
formé par les fonctions ^^i, y»^
celles d'ordre /i — i ,
ri 7t
fi y%
Yny 6l leurs dérivées jiisqiiii
(5)
Afri.ri,
ir«)
y»
^«-11 J,i^H-^
Si ce déterminant à(y^ , r^, . . . ^ Vn)* q'«" ^^t une fonction holo*
morplie de x dans toute région où les roefiicients «1 sont hulo-
niorplieSy n'est pas identiquement nid, choisissons pour x^ »"
PR<U>BtKTKS rrK\l-:iV \LKH.
M Ji I EMHS KOM>A WrXTAV \.
4i^
point oi\ cr rléterminant ne soil psi> i\n\; nous |iouvoiis alor^
éterminer les conslanles C, de taroii que y et ses /? — i pre-
Tiiières dtVivées prenneiil pour .r^ îles valeurs inïhales quel-
eonqucji* Todle* inléj^rale (le Téquaïlon (3) est donc comprise
dîin!^ la fornriile (4)^ '*n dil, |mhij- iiiiré^er, que celle formiile
représente (^ï nié g raie sfénétaie de r*"'quatîoa (3), Les inté-
gra les y , . Yx T . . . , j^« , ( e 1 1 es q lie le dé l erni i n a ii l A ( y , . y.^ , . . . , >'/, )
est difTérenl de zéro^ formenl un système fondamen (al.
Si ce délerniinanl A( j',, i j, . . ,, fit) est îdentiquement nui,
quelques-unes des iiilét;rales r», y^, * . .^ Y» peuveni se déduire
des autres. D'une far or» générale, nous dirons f|ne n lonclinns k,,
y^^ .--t y fi de fa var laide .r ne soûl pas îinéairf'fnrrti dtstinetes
lorsqu'il existe entre ces n l'onction s une relation de la lorine
(6)
hXx-
^^ny,i = o,
C|, C2^ • • -, C,| étant de> etuistijules iH*n Iruiles nulles. Pour que
n fo ne lion s r,, r^, ..., » /, ne h oient pas linéaire ment (lis-
i in des, il fan tel il sftjjii ijite le liéterminanf liyi.r.^^ . . -, >„)
soit identiquement nui.
D'abord la condition est nécessain^-. On déiluit, en effet, de la
relation (6) K's (n — i) relalions de même fornie
t7> c,yr^Ctrf
^ny/
(/.=
I entre les dérivées» du preniier urdre^ du deuxième ordre, etc. des
fonctions K|. Les coefficients C| n'élanl pas tous nuls par hvpo-
iht'se, les équations (6) et (j) ne peuveni élre eompalil>les que si
lltê déterminant A{ y^ , y^^ - . . , y^ ) est identiquement nul.
Kéi'iprocpienifMit, supposons A ^= o, et supposons d'ahord que
tous les mineurs ttti premier ordre de A relatifs aux éh'»nieuts de la
dernière ligne nt^ sont pas nuls identiquement, par exem|de que
le coeffieienl de >'',!'""
Xi
J«-i
'est diliérent île zéro. Soit A une région du j*lan de la variiihle x
[ou le» fondions j^,- soûl holomorphes, et on ce déterminant 3 ne
4l6 CHAPITRE XX* — éQilTIONS rtIPFKRIîNTtBIXES LINÉAIRES.
s^Hûniilt? pas. pinsons
ces n — I équiilions Jét*n^»iiint'i»l pu m K|, K^, ..., ^n^i desfbnc^
tions holomoi plies de x dans la région A, car K, est le qnoliciit
d'une fonciîoii htiloinoiplie par le mineur o ijui ne s'aniiiili' pa^
dans A, Ces iVinctioiis K|, ., ., Krt_, satisloul aussi à la relaliciti
(9) ,n«-^'- K,rr->^H- k,jij«-» -h...-^ K„-,j.;/lV\
puîsijue i( r», ^Vmj ..•,»'„) esl nul en LouL point de A. En dillé-
rentiaiU une fois chacune des équations (8^, et leuaul comptfd*?
ce5 équalions elles-mêmes el de la relation (^g)^ il vient
el parsuilr K', ^ K!, == . • .^ K'^^ ^ ^= o. Les fonclion> K|, . . ♦ , k^^j
sont donc des coiistanlcs et Ton a l>ien, entre le-* n fonctions >i,
X'it "'}J^m tine relation <le la forme (6), où Lons les coefficietils
sontcousiauts, le coefficient C,^ élanl diJIéreDlde zéro. GeUe reU*
lion <''tnnt établie pour la région A subsisle çvidemmenl dans tutjl
le domaine d'existence ârs fonctions^',, y^* • • • v' «*
Observons tjne le niinenr 5 esi précisément égal à
si ce mineur 0 est idenliqneinenl nul saiiscpie A( >^i,^V2- * -•? J'*-**
soit nul aiissij on en déduira de même que les ronclions^j^^j, •••i
Jn^\ vérifient une relation de la forme (6), où C,^ ^ o. C„_| nVtaot
pas nuL En continuant tie bi ^orte^ on linira donc toujours ^
arrivera une reliition de la forme ((>), qiji'l(|Hes-uiis des cocffi-
cient^s (>, pouvant être nuls. Si doue on connaît // intégrales it
réquation (3) telles que Â( i 4, >';j, . * ., rn) — o, l'une au inoîiu
de ces intt^grales est une combinaison linéaire à cocflicienls cou-
staotii; des autres intégrales; il peut d^ailleurs se faire que cté n
intégrales ^^e réduisenl en r*^alîlé k p ialégrales dislincles
r(/i < n — I).
Pour qiril en soÎL ainsi, il faut ^^\ \\ su\(i[ que ton;» les délermioRnls
analogues » A que l'on peiil former avec /? 4- i de ces inLégralt^s
soient tous niiU, Vww an moins des «lélei minants formés avec p
intégrales étant dili*^renl de zéro,
■ Le même lemme permet aussi de démon tr<*r que Tintégrale
générale de Téquation (3) est représentée par une formnle de la
forme (4)* Soit en eflel (y,, ^'^i • • • ^ J^w) un système fondamental
d'intégrales, et j' une antre intégrale quelconque; des («+ i)
jation^
OU déduit, par rélirïiinalron des eoeflirieuts àj , a^* ...» o^^ une
«équation de condition qui nVst au Ire que
On a doncj entre ces n -|- i intégrales, une relation de la forme
C, C|, C^, .... C„ étant des constantes non toutes nulles; or le
coefficient C dey e^t cerlaînemeut difFérenL de zéro, puisque les
înlégrales >',, j'a, . . --» J'« sont linéairement distinctes.
Toute éqyatîon linéaire d'ordre n po^^sède une in Uni té de sysièiiie5
fonda nien taux d'inlëgrwlii?.. Pour en obtenir un, il suffit de prendre n
intf'gràles relie*: que le détermiitaiil forint' par les valeurs inhialesde ces /*
iotégraU;^ ei de leur*! n — i premières dérivées pour un poîni non singulier
jTe ne soil pas nuL Soil (^tt^si ♦ . m Jn ) "" premier systènn- fondamental;
les n intégrales Vi, Yj, ,.., V„, «Jonnées par les formuler
Si = Cixfx -^ctiyi-^..,-^ c/,,yn « t^ (t a, ,.,, /i),
où le!* coefficienls r/jt *^ont roustanls. forment un ^y«itème fondamental,
|iourvu que le déterminant D formé par le^ «' eoeflictenl*^ cjj, soit différent
de «éro. On » en eiret, d'tt|»rés l,i régie âv myllipïicaliou des déterminants,
A(Y,, Y„ .,., Y«)= D. A(/,,j„ ,^..y„).
^ On déduit de cette formule que le rapport - - — ' ^' '/ '' est le
mémt^ quel que soit le système fondamental; noiif allons le vérifier en
G., IL K
4i8
ilHAPITaK X\. — KOUATHiNS lUFPKRKNTtKlXKS LIXP.J^IRBS^.
calriilanl ce rapport. Observons pour eela que la dérivée d'une f(«nc-l
itoa F(.r ) est t'jïale 4iu coefficient di- h dan? lo dêveloppemeni de F< j-^-ili '
suivant le*' puissances de h. Si l'on attribue à J* un accroi^*ienieiU A ei
qu'on remplace chaque terme du dr leiininani A par «.on d«'v<*lop|n-"mcni
en ne con^^ervaui que [t> termes du premier de^ré en /i, un «tliticni le
diHtM iiiintii>t
rr
A>",'" j'i"
hr^
Le coefficient de /i est la «omnie de /* délcrmînanls que Ton obtieal ^b
prenant les cot^tTicients de h dans une fiofne et les termes indc|ienilnnli
de h dans tes autres lijçnes; rt — i de ce"* déterminants sont nuls fumoe
aV(>nt deuA lifjnes identiques, et il reste
ri
yt
Xn
y^Cetle formule est exacte, quetles que soient les fonctifitt*» >'i» ...t/^î^
^ ces fonction'^ sont dt*s intégrales de l'equalion^ 3), on peui j cm p lacer daw
Ja dernière li^ne >'\'" par ^-^'r/j" ^'^.,. — c^w/i» et de même pour I**
autres. Il reste en dêvekq>pant par rapport aun éléntenls de la demicfÉ
lif^^ne, et tenant compte des déterminants qui ont deux li«fncs idaHrtîOfl
(H)
Le rapport que nous voulons calculer est donc égal à ^ aj» ei î*
déduit aussi de la formule précédente la valeur du déterminant
A = A„e -^t.
en désignant par Ao la vidt^ur de A pour .r = .r^. Cette expression àt i
montre que ce déterminant est di fièrent de zéro eu tout point non sii*
gulier^ lorsqu'il n'est pas idetitiqnemeni nul; résultat que Ton po«i
aussi déduire des propriétés précédentes.
n est à remarquer que toute équation linéaire dont un système foin
mental dlutégrales est {y\^yt yn) peut s'écrire sous la forme (fo)
^iy^yuyt^
rrilM
es coeflicients ne renfermant qut' les intégrale^ j^/ et lenrs dérivées* '
montre que n fonctions quelconques linéairement indépendantes y-,, ^^^ ,
— PBOPRrKTF.^i GKNKR^I.ES. — SYSTÈMBS FONn\Ml!:NTAliX. i^^
y^^ peuvent ti"*ijjour^ «^iie ronsidrires cfuniiif fnrmant un «ijrslêiiie fonda-
nienlîil (Fifilr^'r^liî^ d'une iNjuatifin Imi-aire.
I
3W). Équations linéairôs quelconques. — Une ëqualion linéaire
non homo^i-ne peut s'écrire, en isolani le leirjn- indépendant
dey,
(la) F(\v)"
o,
d^-
rf^«-i
iiûus dirons ptiur abréger c|ue c'est une équaliorj îivec un second
membre^ rë^^uation F(y):=o étant dite sans second membre. Si
Pan coniiaîl une inlétirale [>ailit:iifiérc V tir l'équalion (12), la
substiunion y r— Y 4- ^ Tiimène rintégration de celle équation à
* celle de Téquation sans second membre F( j) := o, d'après Tiden-
ûté F(Y -r- 3) — F{ Y) -h F(-5). L'intégrale générale de Téqualion
avec second membre esl donc représentée par la formule
(t3)
Y = Y '^ Ci j^,-^ ^Uji-
^-^'tJn
jy^t y^* • • • ? y^i étant n intégrales particulières, Formant un sys-
tème fondamental, de Téquation sans second membre, et C,,
[Cj, . . , , C„ étant // constantes arbitraires. Il arrive souvent dans
la pratique que Ton peut obtenir aisément une iuLcgrale particu-
lière d'une équation linéaire, avec second membre, et dans ce cas
l'on est raruené à Tlntégration de réqtiation sans second men>bre.
Cette recberche d'une intégrale partie idière peut être facilitée
par la remarque suivante qu'il suffît d'énoncer : si /(x) esl la
somme de /;> fonctions /i (^), /^l-^ '^ ■ * • * fpi'^jf telles que Ton
«ïache irouver une intégrale particulière de chacune des équations
la somme \ ^ -h Y^ 4- . . . + \ p de ces /) intégrales particulières
est une in té g raie de T é q u a t i o u F 1 >' ) ^ /( x ) .
D'une façon généra le ^ si ron connatl (intégrale générale de
Inéquation sans second membre^ on peui iùujours, par des qua-
dratures^ obtenir l'intégrale générale de t équation avec un
second membre (eu supposant, bien entendu, que fe premier
mt^nibre est le même pour les deux éc[uatious l
Le procédé suivant, du à Lagrange, est apf>elé méthode de la
variation des constantes. Soit (^1,^2» . *^. fn) un svstème fon*
420 CHAPITRE XX. — BQl'ATIONS DIPPÊIIENTIELLB8 LCCKAIUB.
damenlal d'intégrales de réquation F(y) = o; en imilant auUDt
que possible le procédé employé ponr une éqnatimi linéaire do
premier ordre, nous chercherons à satisfaire à Téquation (12) en
prenant pour j^ une expression de la forme
Cl, C2 Cj, désignant n fonctions de x. On peut évidemment
établir entre ces n fonctions n — 1 relations choisies à volonté,
pour\u qu'elles ne soient pas incompatibles avec Téqualion (12 .
Nous poserons
les dérivées successives de y^ jusqu*à la dérivée (/i — 1 )'*■*, ont
alors pour expressions
y = ^xy'i -^ c,y, -+-. . .-r- c.>^;,
La premii^Tc des relations (i5) a été choisie de façon que la
dérivée première y' ait la même expression que si C|, Cj. . . . , C,
étaient des constantes, et de même pour les suivantes. La dérivée
d^ordre n a une forme moins simple
En substituant les valeurs précédentes de r, y\ v" y"'
dans le premier membre de T/^quation ^12), les coelUîcients de C,.
Ca, -.., C„ sont respectivement F(Vi) ^{y»)^ et nous
sommes conduits à la nouvelle relation
qui, jointe aux relations (i5 ), permet de déterminer C^ C^.
On obtiendra donc C,, Cj, .•.,€„ par des quadratures.
On peut employer aussi la méthode suivante due à Cauchy.
I. — PftOPRIËTKS UËNKtlALES,
âli^TEMF.i^ rOM»A9ll%NTAlt^.
4ai
Soif {y\i yt- .'*t yn) un système fofidaraental d'intégrales de l'équa-
tifiri ^\y) ~ o. Délerniîtions len cojislaiite'i Ci, C%. » . . . C^, de façon que
Tîntégrale C^yi-i-, , ,-i- C,ty„ soit nulles «it»*»! que ^es n — i pretntères
dérivées, pour une valeur at de x, landts que la dérivée I /* — i /'""" se réduit
kf{a}. L*iotégrale ainsi i>bleiiue ^{t^ %) dépend natureJteinent de la va-
riable X ei aus5i de la valeur initiale a, et iîiitisfait aux n c*jnditions
(17) «&(a, 11 = 0, (5'(2, 21=0, îp''(at, «) = 0r
<p<«-ï'(a, it)=^/(a),
^*/'*(a, 2) désignant la dérivée p'*""* de 9(2:, a) par rapport à jf, 011 Ton
aurait remplacé t par a. Si Ton écrit .r li fa pbice *le a dim*» les rt;laiiort»
précédentes^ ce qui revir'ni à un simple changement de notation, elles
peuvent aussi s'écrire
' bis} o(>ï", x) = o> <^'(:r, jf) = 0,
-ï'(a^, :f) = o, Œ!t/i-i>(^^ ^^ =/l r).
I
ip*^Mr, J") désignani maintenant la dérivée p**'"*'' de o(J"* i) par rapport
à J^, où Ton aurait remplarê a par j* après hi dilîérentiatlon. Cela (»o§êf con-
sidérons la fonction représentée par rinté<îrale définie
<i8>
Y = I ^(^f «1 fJoL,
prise depuis une limite live arbitraire nrç,. On a «successivement, en appli
quant la formule générale de différentialion, et en ayant égard an\ rondt-
lions i 1 7 Afs ),
^Y
Y r*
en *ubsititïjanl res valeurs dt^ Y, Y', .,., Y^'*' dans F( Y ), il vient donv
La fonction sou<i le iigne intégral dans le second membre est identique-
|fftient nulle^ puisque «(x, a) est une intégrale de l'équation sans second
membre, quelle que soit la valeur du paramètre a. Il en résulte qnt^ ta
funciion Y représentée par rintfgiale définie (ïH) est une intégrale parti-
culière de l'équation linéaire avec second membre. On peut remarquei que
cette intéjiralè est nulle, ain^î que se,s in — 1) premières dérivées, pour la
I limite inférieure x^,, qui est supposée différente d'un point singulier.
L'application de celte méthode à l'équation -3-^ ~fi^) comluil prrci-
sément au résultat obtenu plus haut ( n"" 371^).
i%% CUAHTRE \\. — ÊOTîiTHlNS niFPKni<:>T1 ELLES LmÊAIRK$.
40(). Abaissement de Tordre d'uae équation linéaire- — Quand
on connaît un cerlaîii nutnbre rriott'grales par lieu litre;» dune
équation lini''cirre, on peut en protiter pour diminuer l*ordre Je
I t'qualion. Considérons d'al»ord une t^*.)uaLion liuniogène d ordre fr
et soient yty yij < • • i yp{p *^ '*) *^^* inlégraics linédiremeol dis-
linctes de cette l'-quation. La substitution y^=v,^, où v de*
signe la nonvelle fonction inconnue, ronduil de Téquation pm-
posée F(^):^o k une nouvelle équaiion de même forme en 2,
car Trxpression «Tune dérivée quelconque -~ est elle -tnénif
linéaire par rapport à :; et à ses dérivées. St y^ est une intégrale
de Téqualion F(r):=0| la nonvelle équation en z doil admellte
ta solution ^ = I, ce qui exif^e que le coefJirient de -s soit nul ; ce
que Ton vérilie immédiatement par le calcul^ car le coefficienl
de z est précisémenl F{yy), Cette équation en z est donc de
forme
U^)
b,
11,
é(, éa, ..,, ^,|_| étant des fonctions de x, Cetle équation se
réduit à une éqnatiun linéiiire d'ordre n — - i
(>.iO
y^
d**-^t
dx"
h,
d*^-
dr'*-"-
6„ ^a^tï.
en posant h -=. — • Si^r^, )'2, . * »* V/> ^^"^ P intégrales de Vi
tinn dont on est parti, Féquation (19) admet les pi \uli
gï
ût
yi
yv
et (*ar suite l'équation (20) admet les p
intëp^rales
Ces
dx
II
dx
.y\ i
itégraies sont linéairement distinctes; sinon, il v ai
une relation de la forme
dx
' yt^
dw^
.y\ j
da. Cil
s*
en conelnrait en intégrant
forme C-^yi + . . . H- C/.y^
iZp étant de§ constantes non toutes nulles, et 1*
tistence d'une relation de raéi
C
1
C
étant une nouvel
PROMU 1 KTKS GKX KH A l,Ky
HlfiTBMKS RïMiAMENTAl \,
42Î
ftonstanle. bi />>> i, I a[»plicalH>u fin niétue jnoLédé conduira de
récjualion (ao) à une nouvelle éc|ualion linéaire d^ordre n — 2, et
ainsi de ■suite. fJintéi^mtiofi d' ti/tf éf/uaiton linéaire et /fomo-
^f'ne, dont on connaît p intéfi^rnie^ ptirùeîiUères distinctes,
f^ ramène donc ù i' intégrai ion ffane équation linéaire et homo-
g"^ ne tf ordre n — py suivie de tfuad ratures, Loi'scjiie p= n — i,
r demi ère ét| nation s'inlégrera elle-même par une quadrj^ture.
Si Ton connaît de niéuie p intégrales^!, y^^ .. ., y^ d*une
ï«|nation avec secoeul membre, telles f|nt' les// — 1 fouelions
¥
yt—xt'
^yp-r%
soieol tinéairenient distinctes, la snbslitulion y ^^ r< -h :^ con-
«iuira à uue ëijuation sans second nietnbre «dmettatil les /> ^ — i
^Ifilr'g raies y^ —J^i» . . ., Yp -^yv '^^ |Hjnrra donc ramener cette
pquatton à une équation linéaire d'ordre n — p -\- i, sans second
teicinljj'e.
Pjeooifs par e\emple Téq nation linéaire dn second ordre
I et Âr
^,, d^r dv
7J ^ L>r
et soit y^ une iolégrale particulière de celLe étpiation. Po-
fions y ^=-y\ -j îl vient
dy
dz
djT ^^^ dx dr '
£2
=y\
d{z
(t,r da^
d^
> l
dj-^
et, en substitoant dan?* féijuation (21), il reste, puisque le coel-
ficienl de z est nul,
(11)
d^Z / (tVy \ dZ
Celte équation s'écrit, en posant .^ ^ n^
* ' dr
• du ( dvi V dr
'on eu lire en intégi-ant
Lfjgw -h f p dj: -h ï-<»î;yî = Lo^Qt^
CHAPITAE XK, — KQliATJOKS DlKl^HBENTlIiLLC.s UNIRAI HKi».
/»dJt
Uoc nouvelle quadrature donnera z et par suite r; on voit que j
l'équation (ui) admel rînti'^t^ralc Vj donnée par la fornude
(îi3)
►'» = ^'i / :j« «^ '^ '•
qui est distincte dt* Vi- L'htiégrale générale d'une équation
Unéfnre f*i homogène du second ordre s^ obtient donc par deut
quadrat tires, quand on connatt une intégrale partictiHèn,
Cette propriété rapproche Téq nation linéaire du second urdre
de rëquation de Kiccati (n" 369). Il existe, en eflfel, entre ces
deu\ espèces d'équationi» ditlérejiLielles une liaison intime. Si l'on
applique à réquation homogène (ai) le procédé d'abaissemeol
(n" 380) qui consiâte è poser >' ^ e-' * ^,00 est conduîl à une éqya-
tion de Riccati
(^4)
5' -f- 3,'^'^ pz -^ q ^ o.
i
Inversement) étant donnée une équation quelconque de Riccali
(•i5) «'-^ aw'H- £>tt -h c = ù,
où a, 6, c sont des fonctions de x(a^o), un la ramène é
forme ('-i4) ^^ posant «= -» ce qui donne la nouvelle équatia
.-..^{.-"-y
4- «c = o
de la forme (ai)* Il s'ensuit que rintégrale «générale de Téqn
tion (^^5) est
( a6 j — ■
jK, et r-j étant deux infég^rales distinctes de réqurition linéaî™
celle fcmiiule ne reji Ternie en réMlil<""^ t|ii'iriir *MMi^tiiûle arbî traite,
C
le nipporl t^» qui y figure au premier «Je"i;ré (' ).
lion dîlîérenLÎelk*
('Kl
(t — .rV)
dx
n{n -^\ )y — « ;
pour le déiiioiitrer* il Hufnt d'objîierver qu'en pusanl u = ( .r' — ()'% tin ** I*
relaUun (x- — i r«' = attJTW, ei en prenani le'? dérivées d'onlre (n H-i) des
«ieux tiiembres, «m a une équation qui est identique à réqualton ('ij)
« É , d^ u ^ , , . , , .
quand ctn y reN*f>lare par r. Pour avoir une seconde intcfîrale pafli-
cuiîère de rèqualion ( 17 >- riou?i ij|j|iliquer*(ns la formule générale (ai) qui
dunn
I - **
ICI, p »*tcinl **;:al a — ^^ — -
Jl senible qit*il est (nM'eH>dire de rtjniiiûrre les /i racine.* «i» 3^. ..., a,,
(* j II senibJtf qu*urte quadralure t&l néceâ»airr pt^ur déduire l'inLégrale génê-
nie de Téquation Jinéaire ( :ii) de l'ialégrale générale de Téqualion de Hic-
eiii (14 i. Eu réalité, il n'en est rien, ou plutét cette quadrature ^e réduit au
ealcut de j p dx. D'une façon générale, soit ; = tp(x, C) rintégrate générale
d'une équation diUércotielle du premier ordre, -^ - /{x^ z)\ de la relaiion
k
on lire, en difTérentiitnl |iar rappnri ij la ciiii^ianle i
4Cdx
à/ £?
cl, par suile^ / -7- rfjr := Lug( , )i où, bien entendu, l'un d*>il prendre la Jiiéine
valeur de la con^ilatilr C diin^ te;* denv meiiibre*!^. Kn appliquant ceci a l'equalion
de Kiecati {i\ \, nx\ en conclut que, '^i z — «(-c, C) est rinlé|;riile j^énéraie de
cetie équation, 00 i%
i f zdx-^ I p dx ^ Lofi ^^^^ = o.
Si z^^ *j, z^ lonl trois intégrales de l'éqn.ÉlÎL>n (y^), on trouve en faisiint le ciilcul
(woir 0*369 > que l'intégra te générale de l'équation linéaire ( ir) ii pour expression
z, ) ^ CW 5.
5.)
V/(-,--,)(5,^Jj)U,-5,)
4'i6 CIIAPITRK \%. — ÊQlTATrONS DIFFÉRENTIELLES U^fÉAtABS.
du pulynome X^ pour cakutei cri lu iijti'i;(ali\ mai:* il nVn est ricw, Ecrt-I
vons, en effets en inctliiiU en éviili-nce ït^s ir'Acl'u.ms *.imple*» qui proviVnnenlj
lies rariues -r- i et — i du dènojiiinareiir,
(jrS— liXj a\x^
. .r+i/^
Pn ôiiint un polynôme du Ae^tv xn —
■ u, quolif ni t
Il vient dt>ne
»--/^
de I — \J par j*~i.
r/^.
Lii deinjére intégrale est une IViut^ton râtionneJle^ car si elle renfermâil
un leime logarillimique tel que Lo^ri j: — ï/), le point %i serait un p^int
singulier pour /jt ^' '^"5 iiileji^rale*; île réi|uaUon (27) ne peuvent aïoif
fl'aulre'i points shigulier^ que ^ = =fc 1 (n" !197 )* On peut donc eaJctdtr
cette inléfîraïe par des oprraiii»ns ratirHinefles (J^ n'* 104); eoiiime elle
(I
doit èAvx* lie la forme —,
iln-\ étant un polynôme de degré « — 1 au
plu?i, on peut, par exemple» déterminer les coeffieieutf; de ce pofvnon
par la condition Q^i-, X«— <!,,_, XJ, =:= P„.
Le polynôme Q„ j une Toi* obtenu^ on a l'intégrale générale de leqa
tion (ut7 ),
I
j-c,x,-f-c,Kv
'-«('^)i-
44JL Analogies avec les équations algébriques. — Les propriété:» pré^
cêdenles étaljliî^^eni une iinalogîe êvidenle entre la théorie des équations
difTérentîelle*; linéaire*; et la thtN»rie de*i équtitioii^ idgébnqne**, tlelte ana-
lof^te se poursuit dans un faraud nombre de qu^'Stiuns» four en tlonuerun
e\emple, m>u& allons montrer comment on peu! étendre iiu\ èqualions
linéaiie'» la théorie du plus «^rand commun diviseur. Soit, d'une façi
générale.
^^y^^^^^ ,/..- ^«* ,/7^^--^«-' '^^
«'t/
uns
1
polvnoiite ^ymbolîtpie 011 tt^, Ui^
sont lie** fom tiofis données
de jsi <«i ao n'est pa*^ nul, nous dirons, [Hitir abréger, que ¥{y) c^^|
d'ordre n. Si G(y} est un polynojne «symbolique de même nature ^^
d'ordre p^ il est clair que G| t'(j^)| est encore un polynôme <ymbolique
de même espèce ei d'ordre a* -t-/>. Ceïa [»osc, >oit
<r
d.r
I
un autre polynôme tl'ordre m i m - n K <>n peut trouver un iroisièm»'
ptdynome G\y} d'ordre n — m tel que V(yi — G[Fi(rJj tsoit au plu*
d'ordre m — I (un pidyuoiiie ifordre zéro est de In forme ay^ a étant uu
différence F ( r ) — Xu
CQefrN'ieiïl (le -, — ^ dans cette diHêrence. Si l'un prend Ài — -^-i la
iiffércrtce
•era d'ordrL- w — a au plus* En conlinuantde la ^orle an voit que Vttn jieuL
^rlerminei «K* priN'lir' en pmuiiu les raelTicienls Xy, X$» . . ., }-n-f» <^*-* façon
iobienii' une iiiejitiié de la forme
\(J^) <^t**nl au plus d'ardre m — i, et relie opéraiian e**i tûut h fait ana-
i^ue ti la division de deii\ polynome^i algébriques,
Cela posé, supportons ijue Ton veuille obtenir les intéj;[rales eo m m unes
i\ deyv équaiious linéuiies
:«9)
F( r)~ o, F,( j^i = o;
Meotité (2M) pnojve que ees intégrales soiil les niénies <[ue les intégrales
Ffnirnune*! aux rlcux équations Fi( v)= o, ï^%i y)~ o. Si Fi(_^) n'est pas
eiitiquenient nul» on pourra recommencer les mêmes opérations sur F^iy)
rt Fi(^K )» et ainsi de snite^ jusqu*H ce que Ton arrive à deux pulynomes
^o^écutifs Fjt^|( r) el F^i >') tels que l'on ail Fa-iO') = 0*-i [ Fjh;> )J.
Cf dernier polymmje symbolique ¥i{y} est l'analogue du plus ^ratld
commun di%iseui* al^jèbrique : toutes /es intégrales communes a uûf deux
équations ( jty) satisfonl à ^équation linéaire FA-(j^)=Ot et inverse-
ment. Lorsque Fi,(y} esi de degré léro, les deux équations n'onl pas
j*autrc intèfi^rale enuimune que la solution banale j^ =^0.
Si dan? la relation ( :*S ) ^ji y) *^^^ *!*'' identiquement, Téquation F{y)^o
iflmel toutes les iiïtè|Lïrales de F,(^) — o; inversement, pour que F(y) = o
Idmetle toutes les intégrales <le Fi( k) = o, il faul que F|( >^)soit iden-
lîqueuienl nul, car une équation linéaire d'ordre m — 1 au plus ne jieut
idmetlre Uni les les intégrales d*une équation linéaire d'ordre m. On a
|on«- identique ment dans ee cas
Ft v)^ G|F,(^)1,
tl. 51 l'on pose F,i j^) = s, Tînti'i? ration de F( /) = o est ramenée à l'in-
4tt8 GHAMTIR XX. — ÉQCATIONS l>irFËAKKTIKLL£î$ LlNÊAIftKS.
ttr^ralion successive des «leu\ t^ijualîou'^ linéaires
d'ordres n — m ei m, diinl la deuxième i»eule a un secund membre.
Nous pouvons déduire de rette remaïque une aulre solution d'uu jim-
bléaie d«.^jà iraité, Sup|josons que l'on connaisse /j înt.égraJe> distinciCïjj,
ytr *.^yypip<.n}d^ ?(y) = ù. Nous pouvons former une équation linèiiitc
d'ordre p admettant ce^^ intégrales ( n*" ÎI9K); soil Fi( >') = o celle éqt*aLit)B,
d*ordre/»,On aura îdenti^juenient F( y) = G[Fi(j^) ] et, Tëquation G(i) =
d'ordre n — p élaiit intégrée, on inléi^rera F|( >'|== s par de** quadralurei'
seulement, puisque Ton connaît l'inléj^rale générale de F|( y ) = o. La n-'luf*
lion e!*l \\k même que par la première méthode, mais le nouveau proccjif
est plus syraéirique.
MM. Appell, Laguern;* Hal[^dM'n, \i. Firaid, et bien d'autres à leur suite.
ont étendu aux équations linéaire^ la théorie des fonctions symélriqni'i.Oo
racines, celle des invariants, et les théories si profondes de Galoi» relatif «î
au groupe d'une équation algébrique, i.a théorie de> invariants est basée
sur cette remarque presque évidente qu'une équation linéaire et hoino^rene
se change en une nouvelle équation de même espèce par toute transfor-
mation telle que ■
/ étant la nouvelle variable indépendante et z la nouvelle inconnue, quetlei
*|ue soient les fonctions /(O et »(/). On peut utiliser quelquefois crltr
transformation pour simplifier une équation linéaire. Par exemple, si l'on
cherche à faire disparaître le coefficient de la dérivée d'ordre /t — i, ou
trouve qu'il suffit de poser j^ ^ .je "*' ' , en conservant la variable j*^
Comme on dispose de deux fonctions arbitraires / et q, il semble qu'on
peut en profiter pour faire disparaître deux coefficient*, mais cette redm-
tioHj possible en théorie, est le plus souvent illusoire. Par exempïc* on
peut loujours choisir les fonctîonsy* et o de façon à ramener une équiilion
linéaire quelconque du second ordre à la forme réduite s'^o, mais U
déiermination efrccti\e de ces fonctions oiVre les mêmes difficultés qnc le
pmbléme lui-même de l'intégration*
Ktâ. Équation itdj ointe. — La g range a étendu comme il >uii aux ëqua*
tions linéaires la théorie du facteur intégrant» Soit ¥{y\ nne fonction
linéaire de y et de ses dérivées
F( v)— Éiçr «*H-ai^*«-»^H-...'+'a«^i,K''K<t„^,
4
ao, fit,, ...,(ttt étant des fonctions quelconques de J^, et y\ y^ ,
désignant les dérivées successives de y. Proposons-nous de délcrminet
une fonction ^ de jt de telle façon que le produit z¥{y\ soit la dérivée ptr
rapport à x d'une autre fonction linéaire de ^ et de ses dérivées, jusquj
— PROPRléTÉ9 GENERALES. — SV.STÉAIF.S roNDA-MENTAUX. ^^g
f*elled*ordr€ « — u l.a formiilc i^cnéralc *J"intûf;jration par partie^fT, n"H?i)
appliquée y cbaoun des fermes rlij produit zF(y}^ nous ânun*'
'tSô)
a^^y
-v<''-t'— _ (rt^»5)^l«-*'
dx*' *
-^ 5^ [a«-,-j'J^7G(iî),
oii r^vn a posé
l G j ) =^ I-- I " — ^ -h ( — I J"! - . ' ' ^ -h . . .
(3ij
û?la„ )^ »
/y;r
Si nous désignons par 'I'^J^t - ) re^pression bilincaîre par lapport à y
et tt ^, et a kur* dériv^cs^ qui ïx^nv^ dan*^ le second membre de la rela-
tion I io ). on peiil êcrrre celle relaiion sous la rorn»e abrégée
1(3»)
iViy)-yQKz)= _|V,j, c,J,
d€ sorle que. pour toutes les formes possibles des fonctions y et ^3. le
binume zV { y i — yVx{z\ est la dérivée de T( y^ z). Cela posé, si l'on prend
pour i une intégrale de l'équation G(^)^o, le produit ^F(^) e^t U
ilérîvéc d'une expression de même forme^ linéaire par rapport à y^
y\ »,.^y^'^~^\ et Téquaiion F(j^| = o est équivalente à une équation
linéaire d'ordre n — t
in)
my.z) = Q,
que l'on fïbtiem en remplaçant dans T la fonction indi^terminée 5 par l'in-
tégrale en question. Or réf|ijaiion Gj - ( = o est également une équation
linéaire d'ordre n : on l'apjielle Vf-quafion adjointe de F( j^) = o, el \e
prilyoome symbolique G{z) est le polynôme adjoint de F{ >).
On voit donc qu*^ si Ton connaît une intégrale de l'équation adjointe,
rinlégration de réquation proposée est ramenée à l 'intégration d'une
équation linéaire d'ordre n — i, avec une constante arbitraire pour second
nie/nbrc. Si l'on connaît p intégrales distinctes Zy, z^, ...^ Zp de l'équa-
tion adjointe, tioitf intégrale de l'équation proposée satisfait k p relations
de Id forme
<34.) "^'iy. M ) =- G,, W\y, jj) ^ C„
^'iy, -=/>) = Cp,
Cj, Ctt *-., C^ désignant p constantes. Entre ces p équations on peut
éliminer les dérivées y^^^^K yin-t) ^(«-/m-i^^ ^e qui conduira à
une équation linéaire d'ordre n-^p^ avec un second membre dépendant
43o
de.
rilAPITRK XX. — EytATIONS lltPKElIK^NTIk'LLtK LIC^CÉAIRES.
co[iiïlar»t«'S arbitraires
c,.c,
Gp. En partit u lier, ^\ p = n^ e'fl
a-flire si l cm cuiiriiiil 1 intégral*? ^enerule de l équation arljoiute, on pouru
ré^oudi e le^ n *H|Uii trous ( 34 ) par rapport à y^ y\ . . . , _^^« *', et 1'(Mj iura
l'intégrale j^énérale de i'iitjiiaLion propu^ée sariî* ciucuiie quadrature.
Il existe, entre les intégrale'^ des ileu\ équalioji^ Fi y) = o, G(5) = û,
des relations remarquables que nous ne pouvons développer ici ( * |, Not»)
montrerons seulement qu'il y a rèciprociiè entre ces deux équations,
d'une façon plus précise, si G(5) est le polvnnme adjoint de F( >), inver-
sement F(^') est le pûlynojne adjoint rie G(5k Soil en effet l*il/l le
polynôme adji>int de 0{^)\ on a entre F|(^)eiG^^| une relation d4_
même forn**^ que la relation (la)
(3j bis)
jG(-)-^P,(^r)--^|Tnj, -►];
en ajoutant les relations (3^ I et ( 3 ï bts\, il vient
Si ^(y) — ^%i y) n'était pas nul, le produit z{Vi y) ~ ¥x{y^\ sérail
la dérivée d'une fonction renfermant x et quelques-unes de se? dérivées; or,
la dérivée d'une fonction renfermant 5, z s^p^ renferme toujoiiM
au moins une dérivée de 5, à savoii* la dérivée j'>^t'. La relation préfé-
dente n'est doue possible que si F|i^j est identique à V \ y },
IL — liTIJDK DE QUELQUES KQUATIUNS P\RriGULlEHES. ,
403. Équations à coefficients constants. — Les ëq nations Hnfl
à coeflicieriLs ccMistajitsoiit é(é iulLgrées par Enter. Prenons d^abordj
une équation sans second nienïlïre
(35)
¥{y)^y<'^^-{-a^y
IH-I).
Ott-^iy -Ha«^ = o,
où r/,, (ty^ ..., «rt sont des cotisiantes quelconques. D*après
théorie générale (n" S97), toutes les intégrales de celte équation
n'admettent aircuin point singulier i\ distiince lînie: ce sont des
fouet ions entières de x. Soil
(3t>i
■/^m
y -Cf^^C^ - -^<
le développement eu série d'une intégrale; le» séries qui ref
ETl'DE DK Q0BLQfiR:8 KQL' AXIONS IMRTlCliLIÈHI*:^.
4ti
soient les dérivées successives onl uni^ Ioijiip anal
oguc
î-n reni-
pliiçant >^ el ses dérivées successives ]>ar leurs drvelopprments en
séries dans le premier meaibre de requaUan (35) et eu t^gaUinl
zéro le coefficietit d'une puissance quelcDnc|ue de jc^ soit xP, on
b tient la relalion suivante en Ire n -h ï coertieients consécutifs :
37) ^ft^p^ ^iCft^f^i -+- ti^_Cn^f> 1-
**H 1 C/j^i -h a«C;, = o:
l'on y fait successive me ni /^ === u ^ 1 , 14 , . . , on calculera de proche
ii\ proche lous les coenicienls Cn^ c^^%y , • ,, au nioven des n pre-
tnters coefficients c^, C|, - • ., e«_i, qui peuvent être pris arbitrai-
remenl. i^a série (36) ainsi obtenue est convergenle dans loul le
pian el représente l*inlé^rale qui pour x = o est égale à C(,, tandis
que les n — i premières dérivées prennent respeclivenienl les
valeurs r,, r^, • • *f ^n-n pour j* = o. Nous allons uionlrer que
^elte intégrale s^ex prime au moyeu de la fonction exponentielle,
quand ellt^ ne se réduil pas à un ptdynorue.
La relalion (3j) esl une formule de récurrence à eoefficienls
constants qui lie n -f- i eoefticieuls conséeulifs. Or il esl facile de
trouver des solutions particulières de celte relalion. Considérons
En eOel réquation algébrique
;38)
fir) = r'^-i- ai/"
fil r«
^n-t f
^ue nous appellerons pour alu^»'"ger ('t'^quaiion caractérisitffuey
e p re m i e r in e m b re /'( /- ) é l a n l le po lyn orne ea rac t éris l iq ue. Si r
l une racine de celle équalionf il est clair que l'on satisfait à la
relation (3^), quelle que soit la valeur de Fenlier /?, en posant
rÇfl.^r'". L'intégrale particulière ainsi obtenue esl égale à e''**', el
ïous voyons que e^-^ est une in té g raie partie ut ière de inéqua-
tion (35) pourvu que r soit nirine de t équation caraciéris-
\ique f(r)^^ i^. La vérificalion est immédiate^ car, si l'un rcni-
>lace ^ par e*'-^ dans le premier membre de Téquation (35), le
résullal de la substitution est e^'^/(r)'
Lorsque Téquation (38) a // racines distinctes r»^ To» ..., r»^
ID connaît n intégrales particulières e*'^\ e''' y *.., e^*^, et par
tuite une intégrale
ont respression renferme ^î conslanles arbitraires C<, i^^^i ^^w
4391 CHAPITRE XX, — K0UATIO?(8 DIFFERENTIBLLKS tl^KAities.
(>u<* frirmiiK* (^39) ref>r*^senle liieo Finlégrale générale, car k
déli-nninanï A(r''»'j e'*^\ ..., ^'^) peut s'écrire
A r= r"---"
et 1^ fJ*Hermiiiant du second membre est, au signe prrs, le produit
des cjiiréreneeî? ri — r*.
A va ni d'éludier le cas où réqualîon caraclérisliqiie a des racines
m«j|liples, nous élablirons d'abord un lemme. Faisons dans l'éqn»*
lion(35) la substihilîon 'K=r/'°''^w, atélant une constante quelconque
el - ]a nouvelle inconnue: d'aprrs la Ibrmule de Leibniz, nous avons
<4o) {
vU>^ =
= e^i%Px
1.^ /
en substituanl ces valeurs dey, 3^ * y^ dans le premier
niemlirc de réquation (35), e^ se met en fadeur eJ il vieni
G (si «Hanl une expression linéaire à coefficients conslanis par"^
rapport à :?, 5\ . , ., 5^" , Pour calculer les cnpriicient-î de G(w^
observons que, si nous rem|)laçons dans F(j/') les indices de déri-
vations [>ar df*s exfïosanls, y éUnl riimplacé par )'''^ 1 , le résului
oblenu est identicpie à f{y)* i^i nous ciTectuons les mêmes trans-
formations avec la fonction ^, les formules {f\o) peuvent s'écrire
svrnboliqueujcnt
(j{z) peut, donc aussi sYcrire, avec ta mênir notation svinbo*
liqne^y*(a -f- 5), et, en remplaçant maintcu»nt les exf>osants dr -
par des indices de dérivation, nous voyons que la nouvelle éqoa-
liou eu z est
Cela |»osé, soit r une racine d'ordre/? de multiplicité de Téqu»-
H. — ÉTIDË DE QlEM^l'ES KQU ATIONS l'AHTItt!LlÈ«I.S. 431
lion caraclérisliqLie; si nous remplacruH a par celle racine /* dan!*
l'ëqdalion (4i)^ les cocfficienls de 3, 3', z'\ , . ., 5'/*'*^ sont ntils
dans celle eqiiijLion, el l^on oblicnl une hiléj^rale en |ireni*ni
pour 5 nue fanclion dont la dérivée />'""*' esl nulle, c*esl*ii-dire
*m polynôme arbîiraîre de degré p ^ 1 * E'ar conséf|nent, si r est
Une racine multiple d^of cire p de V équation caraciéristiqtte,
à celte racine correspondent p in té s; raies particulières dis-
tinctes de V équation linéaire (35), e^'-^f xe*"^, . . . , xP^^ rr'"'.
Soienl r,, r^, **<, r^ les k racines di:»linclcs de /{r) = o,
fx,j jjLj,, . , , , [JLJ^ leurs ordres de inulli)dicilés rcspeclifs (S[ji,= n);
On peiil, au niojcn de ces racines, former n intégrales parlicu-
lîéres de l'éqnallon linéaire. Ces n intégrales sont distinctes^ car
toute relation linéaire à coefficients constants entre ces n intégrales
Serai l de la forme
fil ?2i •••î f* désit»^nanl de> [>olyn(*mes. Une telle rfdalion esl
impossible, lorsque les k nombres r, , /^, . , . , r^^ sont dilTéreiUs.
Soient^ en cfTet, «,, «.j, - . ., njt les degrés respeclifs de ces po-
lynômes; si Tun de ces poïjiiomes élail nul, il ne figtirerail (las
dans ta relation précédente. En divisant par e''»-^, on peut encore
écrire celle re lai ion
après tiuir [vremière dilFéren lia lion, nous avons eocore
Le degré du |>olynome qui niulliplie ^?'''i~^'* esl encore égid
à /I21 et de même pour les antres. Après avoir difierentié (/î| 4- 1)
fois, on aura donc une relation de même forme que la relalion
d'où ToD est parli, avec un terme de muins
t''>^'lt^(x)-h e^i^'^^^(.r}
e^k^*^f^{j' ) — o^
les k — T nonibrcs ^a^ - . -, S/t étanl diiréreuts, el ^^, *^^, .... '|*a
Iélatîl des polynômes de degré n-i^ n^^ • . . , //jv res[M'clivemenl.
En conlinnanl de la sorle, on iiu irait |}iir arriver à une relation
de la forme €^'t;{x):=o,t%{x) étant un |ioljriome non îdentr<|ue-
meol nul, ce qui esl évidemment absurde. L'irïtégrale générale de
G., II.
j8
i34 CIIAPIJIIE \V. — lioUATtONS DIFFI>IIBNTIELLES UNÉAIABS.
l'ëqiirttion linéaire (3*^) est ilonc roprés*?nlëe par la formule
(M
y = C^J-pjjL^^j-h e'-t-^P
}1.,-1
«r'-à^PlU-l.
'V-i' ' ' "f ^Vt-^ «HaiU lies polj nomes à coefficients arbilrains,
d*iin «Je^ré égal i* fpiir rndice.
Si rtW|Urilion caracléristfqne a tïvs racines imagînatreSf Pinlé-
grale guiiérale (4^) renfernie des symboles imag^inairesj maison
peut faire disparaître ces symboles lorsque les coefficients û\^
ffj, • . . j ^rt sont réels. Dans ce cas^ en efiel, si réqiialion/(r) = o
admel la racine t5t+ |îi au degré p de muhiplicilé, a — ^f est aussi
racine au même degré de miillipliciti'. La somme des deim termes
de la forimile (4a) provenant de ces deux racines peut s'écrire
*P{x ) cl H' (^*) t'tant deux polynômes de degré p — ijà coefficienU
arbitraires, ou sous ta forme é<pnvalen[e
<ï>i et T, élant ans*»! deux polynômes arbitraires de degrép— r.
Hemai-que, — l'our exprimer riiitcgrale générale de Téquadon (35)j»ii
moyen de fa fonction e^ponenlieMe, il faut d*abord, comme on le voifi
rëïioiidre réqualîon ^(r) = o. Si vvIXp. rqiiation n*est pas résolue, la rela-
tion de rérurrenre (i7) permet toujours de calculer de procitc en proehr
autant de roenicients qu'on le voudra de la série eniiére qui rcpréîcfiif
rîntégraie correspondant à des rondjtions initiales données.
On peut prévoir le nombre de coefficients qu*il suffit de calculer pour
avoir la valeur de riiilégrale avec une nppro\imatîon déterminée, Soît A
le plus grand de« nombres i, |ai|, ..., |rt„|, et B le plus grand de*
nombres |co|, |ci|i . . ,^ \cn \\\ o" vérilie aisément de procKe en proche
que l'on a le^^^/il < B(A/î)^^'. Le module du reste de la série qui repré-
sente rinlégraleà partir du terme ena?«''^f est donc moindre que la somme
de la série
[l.'2,..i/H-p) l.'l...(,« -h/i^i; "^'^"J'
où p = |jr|j et par suite moindre tjuc
— ï- e*"?,
1.1.., (rt -f-pj
Considérons mainlenant une équation linéaire â coefficients
ïiishiiUs nvec un second umn\hre/{.i'). On pcul éviter remploi
des mt'lhtitles générales cl Irouver direclemetil une inlégrale par-
liculière lorsquey{x) t!sl un poljnome.
En eflet, si le t'<H*ni<:icnï a„ ile y dans l'équation
d»r
d^
b^x'**-^ 6ix«-*H-.. ,
n'est pas nul, on peut trcniviir nn autre pol j'Hume de degré m
qui, siibsûuié â la place de y dans le premier membre de l'éqiia-
lion précédentej donne un lésnlLat identique k/(x). Les m -h i
coefficfenls Cq, c,, c^, • . . , r,„ se déterminent de proche en proche
par les relations
OÙ CT« est par hypothèse diflïrent de zéro. Ce calcul ne s*appliqnc
plus lorsque a« = o. Pour plus de généralité, supposons que la dé*
rivée d'oiffre le moins élevé qui figure dans le premier membre est
la dérivée d'ordre/?. En prenant pour inconnue auxiliaire z t:^ 7^ »
on Iran^ronne réquatîon proposée en une équation linéaire d'ordre
n — py où le coeflîcierit de z n'est pas nul. D'après le cas qui vieui
d'être traité, cette équation en :; admet pour intégrale partie utièrc
un polvunme de degré m; Téquatinn en y admet donc elle-même
pour intégrale particulière un poljnome de degré m -h p. On dé ter-
minera encore les coefllcients île ce polynôme par une substitution
directe; remarquons que les coefficients de ,rf^~\ œP^^^ . . ., j*, et
le terme constant sont arbitra ires.
Lorsque le secoml membre f{jc) est de la forme e°^P(x),
Kt étant constant et P(jr) désignant un polynôme, on ramène te
Cas au précédent un posant j^=: e^z^ ce qui conduit à Téquation
^i^yinim^-ii.
H%) fi^-iz
. a . . * /ï t/r« i . A . . . (ft — I ) ilr»-
'fi^)
'/(iX)jS^P(x),
Cette équation adtiiet pour intégrale particulière, comme nous
venons de le voir, un polynôme dont on peut fixer le degré a
priori; Téquation en y admet donc une intégrale particulière de
i^C% CHAPITRE %%, — KQtlATIONS niFFKRKNTI ELLES LINEAIRES.
la fonac ^*^(^(x), Q(*^) <^la"l" aussi un poljnoine. Supposons en
parliciilicr que P(x) se réduise à un facteur conslanl C. Six n'e^l
pas racine de réc)uation caraclérishque, réquattoii (43) admet
. . G
l*ifilé^rale particulière ,^ - > vA Tf^quation eo jk admet rintégralf
particulière 4 — * Si a est racine mullîple (ïtjvâvGp de réquatitïo
caractëriâlique, on satisfait à réquation (4^) en posant
ou
et par suite Foquation en y admet Tinlégrale parliculière y—^ — *
En vertu trunc remarque js;énérafe (n**399), on peut donc trouver
dirertemenl une intéi^rale parliculiùre loutes les Ibis que le second
membre est la somme dun produit d^exponentielles par des po-
lynômes. Ceci a lieu en pai-iicu!ier lorsque le second membre estdf
ia forme co^axP{x)^ ou sinax P{x), car il suffit d'exprimer cos a X
et siuaar au mojreo de €*"' et de e^^^'\ Une fois qu'on a reconnu
par les considérations précédentes la forme d\me intégrale parti-
culière, il n*est pas nécessaire, pour calculer les coefiicienls doni
elle dépend^ de passer pai' loutes les transformations iudicjuées;
il est souvent préférable dt^ substîluor directement dans le pre-
mier membre de lMi|uation [iroposée.
Exemple. — Soii à trouver l'idiégrale générale do l'équaliuii
I' </* y ,
(44) *' (j) = -rr ^y ^ ae'-i- ôc'*-h csinjr h-^cosix,
a, bf c, g L'iîinl conslanls. L'équaiîon carnclérislique r* — i ~ o admcl If*
racines simples h-i, ^i, -hi^ — i; l'ïiilégrale gt*iiérale de rér|ualioii san^
«ecoad membre est donc
(45) j — Cie-r-h Gjtf-'^-h Carosj? H- C^sin^.
Nous avon^ ensuite à cht:relier une intégrale particulière <le chêcmt
des quatre éc]uiitions obtenues en prenant successivement pour sccooii
membre ae^^ be^^^ csin^, ^cos2T. Comme l^unité rst racîn*? fiinplf
âc /(r) = r''^ i = o, la première de ces équations admet rintégrale pif-
II. — KTUIIE t)E QtKLQt^ES KQirATIONS PASTICULIEHEE.
43;
^H ticuliere -p = — - — ; ti n ctaiit pas racine de 1 equalion /(/■) = o, la
H secoi
/'(0~ 4
seconde éqtiaiion admel ririiègiale parliculière ■ — — ^*
Daos la iroisîéjne c(|italion F(^) = c sinx, nous pouvons remplacer sîn^
par r— — > et nous avons à cliercher une înlégrale parUculière de
, chacune des c^uation!^
¥(y) ^ A e^'r F( y) ^ — — . c-*';
or -h f et — / ciant racines simples de /(r) = o, nous savons, a priori^
qu'elles ad m elle Ht respective m enl deux intégrales parliculière s delà
Forme IVI^tf-*"', Nxe-'^', La somoic de ces deux iiiUVgralcs est de la forme
x(/7i cosx -<~ /i îiîn^r)^ cl l'on peut déterminer ces coefficients m el n en
substituant daii*^ F{j')el en écii^anl que le rusullal est idcniîtjue à csinar,
mélhode qui évite remploi du symbole i. Ou trouve ainsi qu'il fyut
prendre m= -r ii = o* On trouve de même que la dernière équation
»
F(^> = ^cos2^ admet l'intégrale particulière -2^cos2j-. En ajoutant
toutes ces inlA'griiies particulières au second iiicmLre de la ft^mule (45),
on obtient rintégrale générale de 1 équation (44 )*
404. Métliode deD'Alembert. — Ou a (jroposé un grand nombre
de oiéthodes pour inlegrer les équations linéaires à coenjcient&
coDâlatils, en particulier dans le cas où l*équalion caractéristique
a des racines multiples. Une des plus iutéressantes, qui est appli-
cable à beaucoup de questions du même genre, consiste à consi*
dérer une équation linéaire, oùy{r) = oa des racines multiples,
coonme limite d'une éqiialiun linéaire où loiiles les racines de
ly*(r)^o seraient distinctes. D*une façon générale, soit
(46)
.H- an-\ -^ -hany — o
une équation linéaire où les coenicients a^^ a^i . » * , r7/i sont des
fonctions de :r dépendant en outre de certains paramétres va-
riables a,, a^, . • . , a^* Supposous qu'il existe une fonction y(x, r)
jouissant delà propriété suivante : pour q valeurs de r, dépendant
des paramétres «(, Xj, ,,*, a^, el en général dislineles, la fonc-
tion/(x, r) de X est une intégrale de Péquation (46). Soient r,,
/%, . . - , r^ ces y valeurs de r, de lelle sorle que les foticlîuns
(ormcnl q intégrales parliculières dislincles de réqoalîon (^6)
lorsque les parauioires a^. a^, , , , , oLp sonl quelconques* Si, pour
cerlairjes valeurs parliculières de v.c^ paiarnèLfes, les rj valeurs fj,
r^i . • . , r^ riesoDt pas disliocles, ïe nombre des iiilégrales connues
est diminué* Supposons parexemfïle que r^ devienne ega! àri;sirj
esl différeiil de i\^ Féqualion admel les deii\ iiilégralc^ /{^r n)?
/(x^ Ta), et par siiîïe
fi-
est aussi une intégrale. Or, lorsque /., leijd ver* /,, la loijction
précédente a pour limile la dérivée [f^i^^ '')l-r ^* ""^ Iroisimtî
racine Tj devient égale à ;v, , nous prendrons de même, en suppo-
sant d'alïord fn nn peu dilFérenl de /, , TiDléiirale
d
et cette intégrale a (ïour limite -[/'^{x^ t)],.^ Iursqoe r., l'^nd
vers r^ , Le raisonnement esl général ; si pour certaines valeurs des
paramètres ai, a^, A' des racines /*( , r^, . . ■ . r^ sont égales
à Ti , réqualion concspondanle (4*>) admet les A intégrales par^J
liculières ^|
/--■ (a; m.. (^0.,- i
Dans le cas d*une équation liné.iire à coefficients constants, les
paramètres a,, %-2n .... '^p sont les eocflicienïs eux-mêmes, el la
fonction J{x, r) est e^^\ Nous retrouvons bien les résultats
oUtenus directement.
403. É lallation s linéaires d*Euler. — Les équations linéaires
An y f£li - 1 y (£y
f<7* '"dé^ ^' '""" di^ ^■■- ^-"" £ -^ ""■'' = "•
ou Aj, A.3, , - .. Afl sont des constantes, se ramènent aux précé-
dentes par le changenie«it de variable ( ^ ) jr = e'. Nous avons en
Cj 1^1 ttiéarïe générale (a* 397 J ouii» tipprciid i|uc le^ lalégratcs de )'i^qi«d-
tion I 'ij) a^ peuvrnt admf^nrf» d'autre point siiiL;iilirr que x — o. Or e' ne («n
KTtllE DE QlliLOLl^ J-<Jt 4TH>?ii* lURTitlJ LiKftKii.
4S!I
dt
eflel^ eo ob:>ei vaiU que -j-^
€lr
!
a-
dy _ dy d(
dx " di dx
idi_
ûf di
d^
d.ti
i /d*r
l di' dt}'
B et l'on vérifie aisément de proche eo proche que le produit xf* -^-^
est une expressioa linéaire à coenicienls constanls par rapport
gM^ /fi v dp 'V* . . -É
^ 7^' 1^* ""' Hft^^ L*équation linéaire proposée se transforme
donc par ce changemenl de variuble en une équation à coefficients
coDSlanls.
■ li est inutile^ pour obleuii' l'jntégr.ile générale de réqutilian(47),
d'eflectiier le calcul de ce changemenl de variable. On sait en effet
qoe Téquaiioii transformée admet des inlégrales de la (orme e'"';
réqualion proposée admet donc elle-même un certain nombre
d^i^léglaleà de la forme {^e^f ^^ x^^ En remplaçîiiit j^ par x^ dans
le premier membre de Téquation {^~)y le résultat de la subsûtu-
lion est j:^y(i), en posant
/(r) — r{r — j),.,ir — n -h 1 1
Si féq nation y(r)^= o, qui joue ici ie même rôle que Péquation
caractéristique, a n racines distinctes i\, f^, .*., r„, Tintégrale
générale est
^^ = C| T'i H- Cj:r'"* -h ... -h Crt-r'- ;
si r est une racine multi|>lc d*ordre p. de /(^r^=-o, à celte racine
correspondenl , d'après la méthode de D'Alemberl, les [i. intégrales
particulières
^ (JT) = j" LogT,
— = ar'"(Log.r it*--'.
L*ialégrâle générale de Téquation (47) est donc, dans tous les cas,
(48) y^T''^ Pp,^_, ( LogT) + . . . ^ j--; V^^_^ ( Log.r),
Ti, Ta, ..., r/f étant les A' racines distinctes de /[/^)^v^ a*,
jXj, -.*, fJiA leurà ordres de multî[jlicJté, et P^_i(Log^) étant un
polynôme en Logx à coefficients arbitraires, de degré ai — ^ i »
élre oui pour aucune valeur de i; les iaiégr^ilcs de réqualion obtenue par \f
cliAiigecDeiit de variable s — ^ doivent dune être des foncttoas entière^.
Si 1*011 il joule à rVH|iiîiiioii (47) "o second ntembre de Id
forme x™Q(Log^), Q deâîgnanl un polviiomc, od démooLre,
comme pour les équations à coefficieul^ corisLanls, que réqiralion
oh le nue admet jioiir intégrale partieuliere une expression de
même forme, dont on peul calculer les coefficients inconnus par
une subslitulion. J
40C. Équation de L*aplace. — On peut quciqiicrois rejjrcsentcr \e% tni>>
grales d'une «^quiiii^m linéaiie par des iiiLégralcâ dcfinie*?, où lit variable
indépendante Hgure comme paramètre sous Je signe itilégral. Une
applications les pfns importun les de cette mélhode est due à Laplacâ^
ellL* roncerne l'équaiion
(49J ^(y)^
^-(a„H'*«x)/-l
dont tous les coe f fit' ient-? scMitriu premier degré au plus* Cherclion^ à satii;
faire a celte équalïoii en pn'naiii |ii»iir^ une e\|»ri'^sion de la forme
(5o)
>'
f Ze-^tiz,
Z étant une fonction de in variable s^ et L un chemin d'intégration déter-
miné, indépendant de T, Nous avons» d*une façon générale,
^=
Pe'^dî,
et, *'n rempbçant^' el *es dérivées par les expressionsprécédcDlesdati^l*^
premier membre de réqualion ( 49), le réï»ultal est
(Si)
F(7)= f le^^(P^Qjp)d^,
*(LJ
en posant pour abréger
La fonction sous le signe / dans la formule (5i)c5t la dérivée par rap-
port à z de Ze^-*'Q pourvu que i'uu ail
(5a)
dz
= zr*
^ll^g(ZQ)] = ^.
On tire de cette c
ondition Z = ^ e*^*# , ta
limite inférieure ^on'annv
II. — KTVÙE ÙK QUELQUES EQl'ATIONS rARTICULIÈHES, ^l
lant pas Q(^)> La fonction Z élanl ainsi déterminÔL^ rinl^gmle défiuie (5i)
esi égale à la variai ion de ta fonction auxiliaire V — ^ ^^ZQ ^ e
le long i^u chemin L. H syfHra doiir^ pour ohteair une intégrale de Téqua-
lion linéaire proposée (49). *1e iboisir la ligne d'inlégratîon L de façon
que celte forttuion V r^'pienne ïa même valeur a(irès avoir fait décrire â s
la ligne L tout entière^ et que l'inlégralc (5o) ait une valeur Onie et diffé-
renie de zéro.
Soient a, b^ c, ..., / les racines de l'équation <J(j') = o. La fonction
auiLiliairc V est de la forme
03)
V ^ i-*^+ii(-^(, _ a )«( J! — à)P..,(s — l)\
B(2) étant une fonction rationnelle donl ïe dénominateur n'admet pour
racines <|ue le?^ racines a, 6, c, ..., / de Q(x)p a un degré de multiplicité
inférieur d*une unité. Appelons X^ Ml», B, ». . » les lacets décrits autour des
points a, 6, c, .,,, dans le sens direct à partir d'une origine arliilraire, et
«IflL-i, t^ip-H ^-ii *'-! l^s mêmc^ lacets décrits dans le sens opposé* La
fonction V est multipliée par e'^î'* lorsque z décrit le lacet X, et par
<■-•'"=* lorsque z décrit le lacet Ai„|, et de même pour les autres. Il s'ensuit
que, si Ton fait décrire â la variable les lacets eA?, Db, s;lfl_i, i»î>-i» successi-
vement, ta fonction V reprend sa valeur initiale. L'intégrale définie (5o),
prise suivant ce chemin Allîj^lt^i'Ob-ii n*est pas nulle en général; elle donnt*
une intégrale particulière de l'équation proposée* En associant a à ^ les /»
points a» 6, c» , .. , / de toutes les manières possibles, on obtient i— ^- — —
intégrâtes qui se réduisent en réalité â /? — i intégrales distinctes.
On n'a pas ainsi n intégrales particulières. Pour en obtenir d'antres» on
cherche de«^ lignes J^ terminées à leurs deu\ extrémités à certains des
poîms singuliers a^ b^ Cy , , .y l et telles que la fonction V s'annule aux
•IcuTC extrémités. Si a est une racine simjde tJe Q{z) = o, la fonction Z
contient le facteur {s — a)*"*, et rintéf^rule { >o) ne pourra avoir une va^
leur finie lorsqu'une des extrémités de la ligne L esi au point a que si la
partie réelle de a est positive, et dans ce cas V tend bien vers zéro en même
temps ijue \z — fl|. Si a est racine multiple d'ordre m de Q{.î) = o,
lia fonction rationnelle R(«J contient un terme de la forme — - — *^^^ — -»
et pour être renseigné sur le module de \ dans le domaine du point z — a^
il suflil d'étudiei le module de la partie principale {z — a )*tf'--">'"''*. Soit
^ a = p(co&o -♦- I sinîjp), A^^-i = A(cos<}f ^ fsin^Jf), 2 = a'~ha*»;
bie module de la partie principale est égal â
'<»?!.
Pour que V tende vers zéro avec |£ — <i], il suffira de faire décrire à z
«s
Cll-IPITRE \\. — ÉQDITfOXS DirFB«Ki\TU:LlX'ï LITlËAlHliS*
une ligne telle que l'angle g de lu tangenle avec l'a\c réel vérifie U' >fi-
I - r , / . ^ J I 4* -+-('i^^ H- Oit
rliilun cos *lf — (m — i )o < a; on prendra i>ar e\eni|>le '^ — -^ — *
Si l'angle f a êié pris de celle façnn, le (iroduit Ze^-^ leiid aussi vcn léro
avec |« — a|. Opérant de même avec ie-î antres pciinl*» 6, c, .•.,/, on mi
que l'on peut déterminer de nouvelles lignes L^ fermées ou non, donnant
d'au lies înlêgrales par lieu lie res.
Enfin, on peut prendre anssi paur lignes d'intégralion des courbes s*éloi-
î^nantà l'infini. On est encore amené a déterminer une courbe L a}nnt un?
hranche infinie telle que la functîon V teniie vers zéru lorsque le point ;
s'éloigne indéfiniment snrccite Uranclie. Si pai exemple la fraction ranoD-
iielle K(5j est nulle, et >i l'ai^utnefit ile t re^te compris entre o et -i il
suffira de faire décrire à s une brandie infinie asyniplote à une direction
faisant un angle -t" avec l'axe réeL
Laissant de c6tc ces généralités ( i ), considéron'î en particulier l'équa-
lion de Bessel
<54)
djr'
{■in
^
1'^-+-^-»^=^»
nu n est une constante donnée. On a ici
et ]*ar suite
Z = ( I -^ c* r~^ V = e-->^i 1 -+- 5' ►" *.
L'intégrale définie
e^t donc une intégrale pailiculièie de léqualittn ( 5i>. pourvu que la ffioc-
t
tîon €"=*( i -I- «*) * reprenne la mêmi valeur anv deu\ extrémités de cette
ligne. On peut prendre «Ta bord une suite de deux lacets décrits, le pre-
mier ilans le sens direct autour du point ^ — + i\ le second dans le seD«
inverse autour du point ^ — — i. Pour second riïntour d'intégralion oo
peut [ïrendre ensuite une ligne entourant l'un de^ points singuliers dit,
et ayant deux branches iiifmios avec une direction asymptolique telle
qnc la partie réelle de zjt tende vers — x.
La pariie réelle de la constante n peut être su|ïposce |*ositive ou nulle,
car, si Ton pose ^ ^ ^-'^^t l'équaiîon en s ne diOTére de Téquation {50
(') Voir un important Mémoire de M. PotMCAnk dan^ V American /ournat of
Mathematics, t. Vil»
1 qiir- par lechaiigcment de n eu — n. Lo\si\n\\ en esl ainsi, on |ieal pi^îridrc
flku^si pour t^hemin dlnlé-ration Ui li^fi»? droite jr^ignanl le^i deu\ poinls -h i
i-l — i; fjy nîî^ie rinlL'};rale ainsi ol)tcriue e^l identî^nie à !a première ^ un
facteur cousUiii prés. Four i;iriir ner rcHe inlé;;rali' à I;j foi me liabiluelk
posons z = it\ elltf devient
b
«»u encore
56)
c^*'(i — /' j
cosjrn I — /')
I
Nous devr»n* ^i^uîJer iei un cis particulier renïaripiable, celui où n esl
la inoilir d'un mjmbre impair. Si n est positif, rintrgrale (56) cxi^ne
toujours et penl môme être calculée c\pIiciltM(n»nt ptnsque n est un
nombre entier posiliT, Mais^ si b ligne L est une courbe fermée, Tintégrale
définie (55) est toujours nulle. Il semble donc que dansée cas l'application
de la mtUhode générale ue donne qu'une intéf^rale partîeulière. Mais on peut
iiu contraire, dans ce eiiî. en ijppïirenre défavorable, expi'imei Finie •rralc
j^éoérate au moyen des fonctions clcmeniaire'ï. Faisons, en efTct, la trans-
tormatioo inverse de la précédente, de façon que n !>oit Ut moitié d'un
nombre impair néi^atif. Alors n — - est un nombre entier négatif, et Tinté-
^rale délinie (55) fn'ise le louj» d\iiie ligne iV-rniro queieon^jUi- esl une inté-
grale particulière de l'éqnation linriiire ( Sj ). Kii prenant pour la ligne L
un cercle iiyanl pour centre l'un des points ± i, ou voit que Ir n'^sîdu de
I
la fonction (î*-^( i-h**) ■ relatif à chacun de ces pôles cs^i une inléÈçrale
(le réquation linéaire, Or il est clair que le résidu lelatif au p<Vle z = -f- t
nsl le pRidu t de e^^ par un polynôme, et de même que le résidu relatrf au
p^le ^ = — / e^t le produit de e^*^ par un polynôme. Ces deu\ intégrales
|»artîculièrcs sont distincte'^, car leur rapport est égal au produit de e*'-^
par une fonction rationnelle* Il est clair que b'ur souiinr C'^t une inté|îrale
réelle, aîn<ii que le produit de leur drITé renée par i'.
Remarque. — L'équation linéaire à coefficjeut^ eoiistanls est un cas
particulier de l'cquation de Lapluce, qne Ton obtient eu supposant nul*
tous les cocffieients ù^. Si Ton suppose de plus «„=»» on a Q(5)^o,
tandis que P{z) se réduit au ptdynome caractéristique /( s). La méthode
générale paraît en dr-fuyt^ puisque la formule qui donne l'expression de Z
devient illusoire. Mais il suflit d'it\i peu d*attcnti<»n pour recoiinaîtrc
comment on doit modifier la tuélhode. En eiïet le raisonnement prouve
que rintégrale définie / Ze^'^ds est une intégrale particulière de réqua-
444 CIUPJTHË \!C. — K0IJ4T1ONS IIIFFKIIËNTIIILLES LITfEAIIlES.
lion linéaire pourvu qua l'intégrale tléfinie / ZJ(s)e^^ds^ prise le long^
de la même lipne L, suit ntilk'. Or^ bï l'on prend pour L une courbe fcrméf,
it suffira que le produit 'L/iz) s^oit une fonciion holoniorphe de 5 a HqIc-
r΀ur de celte courbe Si donc 11 (i) désigne une fonction holomorpliÊ
quelconque dans une icgîon H du plaUt rintégrale défioîe
y = f -^ e-^ di
prise le long d'une courbe fermée quelconque L située dans celte région,
est une intégrale pai lieu Mère de l'équation tinéaire à coeffieicnts con-
stants. On %'ûit couiment ce résultai dû à Caucby se rattache atsémenl ï
la métbodc de Lajdace*
Il est facile comme vérification de retrouver les intégrales particulières
connues. Soit -» = cr une racine d'ordre p de l'équation caractéristique
f{z)^^ o. Prenons pour ligne d'iutrgration un cercle de centre a ne ren-
fermant pas d'autres racines éef{z) — o^ cl soit 0(5) une fonction holo-
if (-7 je^-^ n ( z\€^^
morphe dans ce cercle, l^e résidu de la foiicuon — ^^ ou — r- —
est égal au coefficient de A/'-* dans ïe développement du produit
ftXh
0 ( fit -h /i ) e«-r
I
suivant les puissances de A. Soit
ll(aH-A)
J^ia
V„- AiA
Ma-^-h)
kp-xhP-
les coeffictents A^, At, . , . ^ A^j^i ho ni arbitraires puisque U fonctioQ D(J)
est une fonciion quelconque holomorphe dans le domaine du poînl a,
résidu cliercbé est donc égal à
f«^ Ap
a:/'-»
A,
xP-
p-t 1
.l...(/ï— l) l.^...(/7 — a)
c*C5t-à-dire au produit de rexponentielle e'^^ pEir un polynôme arbilraiff
de degré/? — i ; ce qui est bien d'accord avec le résultat connu.
III. — liMT KG RALES REGULIKHES.
En debùrs des cas très élémentaires que nous avons traités, il cst^ «a
général, impossible de reconnaître, d'après la forme seule d'une équfttioo
linéaire, si l'intégrale générale est alg« brique ou peut s*eîtprîmer au moyc»
de transcendantes cliissiques. On a donc été conduit à étudier dir< ctrnicBl
les propriétés de ces intégrales^ en paitant d*i l'équation elîe-iin'iiie, au
lieu de chercher à les exprimer (un peu au hasard) par des combîuaisOD^
%n nombre fini de fonctions coiiniics. N<m3 avons déjà reconnu (Ghap. XV)
que la nalure des |»oinl3 ^ingriliers d'unti loniition analytique esi un élé-
ment essentiel permetianl dans certain"^ cas de caraclériscr complètement
CCS fonctions. Or on connaît a priori (n** 397) les points singuliers des
ifilcgrales d*unc i/quation lînr^aire; nou^ allons montrer cooiment on peut,
^aos un cas particulier r tendu et Irë"^ tmpoitdnt, faire l'étude complète
de» intégrales dans le domiiine d'un point singu1iei\
407. Permutation des intégrales autour d*uii point critique. — Soii n
un point singulier isolé de quelquesï-iius des roeffieient^ pi, p^^ ..,, p^ de
réqualîon linéaire
E57) F(r^= -^ -^/" S^^ -... + /'-. ^. ^P..y = ■>;
ous supposons en outre que ces coeflieieMts sont uniformes dans le voisi-
lage. Soient G un cercle de ceutre a à l-intérieur duquel /),, p^^ ..,,/?„
jlVint pas d*autre [>oint singulier que o, et Xa un point inl(^rieur a C
l'Voi^in de a. Toutes les iutf*pjrales sont hidomorpKes ilaus le domaine du
npoînt JT^; prenons n intégrales pfiriîculières ^j» y,, . . . , j^« formant un
(tystcme f*mdtimentaL Si la variable x décrit dans le sens direct un cercle
idc centre a passant par le point jtq, on peut suivre le prolongement
(^nîilytiijue des int«'|T[rales j'j, yj, ..*,J^« tout le lonr^de ce cl»emin. et Ton
revient au poiiil x^ avec n fonctions Y|, Y;, ..., V^, qui sont encore des
intégrales de Téquatiûn (57); Y/ clésiî;îiie ce que devient yi après une
.eireulattou autour tlu point a dans le sens direct. On a dime^ puisque Y{,
Yf» .--T V^ «ont des intéf;rales de réqualîon (57)t n relatiaus de la forme
Y/i= anifv-^ fl«?ji -+-... -h a,,nym
^es coefficients /z/^ étant des constantes qui dépendent naturellement
du système fondamental choisi» Le déieruiinant A d'ordre «, formé par
CCS /i* coefficients, est différent de léro ; en eiïet, s*d était nul^ les inté-
grales Y|, Y,^ .. .» Y,| ne formeraient pas un sjsiéme fonrlamentsil, et Ton
^•urait une relation linéaire à ctieffieients constants G| Yi -j- . . .-+- G^ Y„=r o,
)^i]î deviendrait, après une cîrcubtîon en sens inverse de la premiérCi
Ciji-^---^- C„j^« = o.
Les n inlégralcîfi j^/ ne formeraient ilom- pas un système fondamental.
Les coelïicients des formule-^ { 38) dépendant du système foiithimcnlal
choisi^ il e»*! naturel'^ de chercher un système partieulit^r d'întégrales, de
'façon que ces rornniliîs soient les plus siuiples possible, Cberchons d'abord
^ déterminer une inté^*raïe [varticulière w = Aj^|H-Xj^|-+-. . »^- ^nj^/i,
iielle qu'une circulation autour du point a reproduise celte intégrale mul-
44^ nnnriii; \\, — KQtfATtÙ.NS DlFFÉItgNTIliLLES LIXKItRI^S.
lijiliéc par un fatrlciir confiant. 1] fautlrft pour cela qwc Ton ait U = /«,
l^ élanl la vafeur de « iiprès In circulatioit, et s un facleirr constanî^ fin
une telle relaiioti ne peut exbler entre les n intégrales que si les cocfli-
trients dcj^ij^t» * f yn ^o"l nul* séparément. Les n + i coefficients îndA.
terminé», Xj, Xj, ,. ., X,» s doi\eiit donc î^alîsfaire aux n rondition^
(59)
Xitaj,
1 Xiflti
X t #1 p,
O^-XiAm -+-.., h- X„it^,
Airtii^
.'4-X„(/irtit'- s} = o.
Coninii" X|, X,, . . ♦, /,,j ni! peuvent être nuls à la fui*-, -ansi «juoi rnn»
aurait « = o, on \tiit «jn*- .v iluii élre racine d'une rr(uati*>n de degré n
*6o)
Ff.<):
ail— s tfu
«i/j
«t«
= o.
que nous appellerons \iOiir 9hvèger éf/tiaf ion caracférisliq ne; *l'aprè$ un
remarque faite tt^nt ù l'iieure^ celte équation ne peut admettre la racine
s = o, car le délcnninaiit 1 des «* roeflicient? an serait nul,
Inversement, soit s une racine de celle équation; les relations (Sg) dé-
terminent pour les coefficient» X/ des valeurs non toute» nulles, cl l'inlf-
grale u — X|j^i-4-. , .-h ^^nya l*&1 multipliée par i après une circulation de
la variable autr»nr du pidnt a. Cela tiaiit, supposons d'abord que Tcqua-
tion caractcriiilfqne ail n racines distincies .^j, j^, .,,, s,,, Mous aurons /i
intégrales par iicntiêre^ Hj, w», .... w^» telles qu'après une circnlfldoQ
dans le «eni direct autour du point a, on ait
(6i)
Ui ^ SiHu Us= .tjMj
Ufl= SnUu,
Ut déî^ignant la valeur Hua le de w/ après la circulation. Ces n intégrain
U), Ut) ••"1 Un forment un système fondamenlaL Supposons, en effi-t.
que Ton ait une relation de la fur me
<6a)
<^i«î
Cs#*;
.-1- c:««,i = o,
les coefficienlt conslanti C|, Gj, ...^ (J„ n'étant |>a^ ion* uuU. Après un<*,
deu\, ..., {n^\) circulations^ on aurait des relations de même forint
(63)
CtJ, M| -hGjJiWï -h-, . .h- g,» Su II,» = o,
tll, — INTKCBALKS flfr;!]! UKHES. 44?
I-rs rrliiiicins lîocaireH {(h) et (63) ae ptuveni èivt vërifiées que si l*oo a
en même temps C|«i=(>, ..., C^^ w„ = o, car le Octermînant correspon-
dant e^i dinféreiit de zvrtK
Il esl facilt: tl€ furnier une roiiction aiuilitique qui est multipliV'e par un
facteur constant s dijf'éttnt de iéro aprùs nue circulation autour du
point a. En t'iïet, la fonclion (x — a)'" ou e*'^^^'^'*'^ est mullipîîëe après
une tcite circulatinn par c"!^'* t'i, si nous tléterminon^ r par la concji^
lion r— — %Log(f), cette fonction (a^ — ei)'* est bien multiplit'e par a
'Aftl
après une circulation auloui de a\ toute autre fonction u jouissant de la
même propriété cî^t de la forme (x — aj''®{x — a), la fonction t^(x — ai
étant uniforme dan^ le domaine tlu point a, car le produit u{a: — a)-^
revient à sa valeur initiah' après une circulation autour du point a. L'inté-
grale uni est donc de la f^fjrme
où rk^= - — .Log(fi), la fonction ^^ étant uniforme clans Te voisinage rht
point a* Dans un cercle C de rayim R décrit du point a pour centre et où
les coefficients pi^ ,».» p^ sont bolomorphes, sauf au point «, l'inté-
grale Uk ne peut avoir d'autre point singulier que a. Il en e^t donc de même
de la fonclion ^/({x — a), et le point a est pour cette fonction un point
ordinaire ou un point sin^^ulier isolé, pn peut écarter te cas où le point fi
serait un pôle. En eiïti, ^J le point a êtiiil un [>ôle d*orflie m, comme l'expo-
sant r^ n*e5t dctemuné qu'ù un nombre entier pré^, on pourrait écrire
Uk^ix- n r*-"' [{x — a}^tfi^(x - a)l
cl le produit {x — ny^'f^^-^ ~' *ï H^*^ liolomorphe pour j: = a. Si le point r*
ii*cst pas un point singulier essentiel pour fic{x — a), on dît que Vinte-
grale est régulière pour x — a,
408. Examen du cas général. — H i e^le à examlfier le cas où l'équa-
tîon caractéristique a des racines multiples. Nous nllona montrer que Ton
peut toujours trouver n intégrales formant un système fondamental et se
décomposant en un certain nombre de groupes tels que^ Jit y^s '*'yy/*
désignant les p intégrales d'un même groupe, on ait^ après une circula-
lion dans le «ens direct autour du point a,
(64) Yt^^yi
Vt^^ij^i-^jj).
^V=*^^#'-i + Jp)-
Les différentes \aleurs de jr sont les racines de Féquation caraclêrisliquei
et à une même racine peuvent correspondre plusieurs groupes difTérenls.
Lorsque les n racines sont distinctes, cas que nous venons d'examiner^
chaque groupe se compose d'une seule intégrale*
Le problème revient en réalité à prouver que Ton peut ramener la sub-
stitution linéaire définie par les formules (58) à une forme canonique lelk
4{8 CrUPITRE XX* — ÉQUATIONS DIFFÊRKXTIKLLKS UNÏÎAIIIKS
que Ton vient de l'indiquer, en rcniplaçani^i, y*^ •..,^„ |)ar des combi-
naisons linénircs convenablement choisie* de ces variables. Le llicoréme
étant supposé établi dans le cas de n — \ variables^ nous allons luoritrrr
qu'il ei^t encore vrai pour n.
D'iiprès ce qui a tic dt-niouiré au préc<^'deul paragraphe, on peu» loujourf
trouver une intégrale particulière u telle que Ton ait U = ji^r En rem-
plaçant Tune de* intégrales, ^t par exemple, parcelle intégrale «, les for-
mules (58) prennent la forme
Si dans les n — i dernières formules nous négligeons les termes bfU
httUf ces formules dénnisseiit une siib^lîtution linéaire portant sur lesit — t
variables ^î, j^s* .**^yft' l^e drtenninant A' de cette substitution à « — l
variables n*est pas nul^ car le di-terminant 1 de la suh^^tiiution linéuireà/i
variables est égal à \k\\ et ne peut être nul. Le théorème étant admis
pour n — 1 variables, supposons cette substitution auviliaire ramenée à U
forme canonique Gela revient à remplacer yi* y^- ••-».>'it par '* combi-
naisons linéaires distinctes ^i, j^^ ... , 5«_| telles que les formules qui
définissent la substitution linéaire
Y, = hijy^ -H ... H- binyn ( i = a, î, n)
soient remplacées par un certain nombre de groupes de formules telles qut
Si l'on effectue la même lran*;fornialion sur les formules (r>5 ) il faudri
»"videmmcni ajouter au\ scrouds membres des formules précéilcnlcs des
termes renfermant h. Autrement dil^ nnu?^ pouvons trouver n — I ial^*
craies formant avec u un système fondanienial, et se partageant en ufl
eertain nombre dégroupes tels que l'on ait, [lour les intégrales ^t, Sf, .««r
Zp d*un seul groupe,
i66) Zi^55t-+-K|W, Z* — *(5i+s,)-f-Kt«, ,.., Zf, — %{,Zit-%-^ip)'¥^^^*
Kl. Ks, ..., Kp étant des constantes. Nous allons d'abord cbercber à f<*>rf
disparaître le plus qu'on pourra de ces coefficients. Posons pour cela
X|, Xi, ..,, Xp étant /î coefficients constants. Un tijlml facile montre q«c
Ton a pour ces nouvelles intégrales,
\ Di - siui^^-k- Ui)'h[}^i -\-i jj. — it)X/ — iX,_,]ei, I > I ;
INTËGftiLES RÉGULIRRES.
4i9
cela posé, si fx — s n'esl pas nul, on peut choisir Xj, X], .. ,, X^ ile f^çon
que les coefficients de u dans les seconds membres soîenl nul s, et Ton a
pour le*^ nouvelles inlégraleF if/,
lJj = jW,, \\~s{Ui-hUiK
U.
s( n
r I
H Up).
La subsliimion subie (jar ce groupe d'iiilégrales apri's une circula lion
autour de a est de la forme canonique. Si ^ji ^ 5^ comme .f ne peut i^tre nul,
on peut choisir Xj, Xj, ...» X^_i de façon a faire dis(>araîlrc le* coefficients
de u dans les eiipressïons de Uj, U^, .*., U,,. Mais on peut avoir ptusieurî*
groupes de variables Zt lubissant une transformalîon de forme canonique
pour laquelle fa valeur de s est égale à f^ Supposons, pour fixer les id<3cs,
qu*jl y ail deui pareils groupes^ conïprenant respectivement p ri q va-
riables. Après le changement de variables qui précède, les substitutions
subies par ce«i deu\ groupes sont de la forme
^
(l> Lîi =sut -h KiU,
Si Kl— K|=nj l'on a trois groupes d'inléj^rales m, (Wj, ti^, .*.« "/i)>
(«t'i, «i* . . . , wj^) subissant une substitution de forme canonique. Soit/* .' q;
si Kf n'est pas nul, en posant l'i — u'f — -r-^ «/, le second groupe dlnlé-
(;raJes Cêl remplacé par un groupe de ^ intégrales vt subissant une subisli-
lutîon de forme canonique, et en posant ensuite «« =
K,«
les {p -4- O in-
I
I
légrales ««, Mj tt^, forment un seul groupe subissant une substitution
K' u
de forme canonique. Si Kj = o, K", n*ctant pas nul, en posant Uq~ -*— »
on a deux groupes d'intégrales («j, m., ,.,, w^.KiWy, u', j ,.., f/,^) subis-
sunt une substitution de fiirrnt* canonique. Le thêotènit- énonLC est donc
gcncral.
Il nous re^le a trouver une forme analvlàque propre à mettre en évidence
la loi de permulati*in des inli-graïes d'un même groupe après une circu-
lation autour du pf»int a. Soient ^'1, ^'j, ..,,j^j, un groujie d'intégrales
subissant la permutation (Gj); posons yj^^ (x — aysn, r clani égal
à V Logi. Les p fonctions 5i, s** .. .^ -„ doivent être telles une Ton ait
Zi = j|^ Zj = 5, -h 5#,
Z. - z
r 1
l,a fonction z^ doit dune être une bniclioii uniforme i^i{j^ — a) thns le
fjucnaiiie du point «7, Quant à la fonction 3*, on déduit des égalités préeé-
dentés :^ =r —
-51
i ; la ilifférence — —, Log(.'#: — ai Cbi donc une foiïc-
«1 Î17C£ * '
lion uniforme 4'i(-^ — ^)ï ^^ '"ï^' ** aussi
«* = ^:j^.Log(j? — a)çH^ — «)-l- ?ï(*^ — «^/i
G., 1!
KOl/iTlONS flirFfiRSNTlKLI.ES LiNEAtaSS.
4 m filIVr'JTRK XX.
a>j(jr — a) étant encore une fauclion uniforme. Dune façon générale,
hoii Tjt(f) ht ijuolient
'(/- !)...(/ '
I)
j k désignant un nombi<î
î . ii . . . X;
entier ptJsiLif; un ciilcul facile montre que l'on a T^(f 4- i) = Tj^(f;-hTji-H(i>.
ï
Si donc l'on rem|>l:ïce t par
Lo:;(.r
Ta r — . Lo,
'l^[j- - a)
a), îe^^ fondions nblenac-'
sont telles que, aprè^ une i:ireulâUan de i;i vuriable x auiour du poinl a,
8jfc 8c chanj,'c en B^-t-S^-i. On en conclut^ en raisonnant de proche en
proche^ que les n fonctions zi, z^, . , ., Zjy sonl de la futinc
Icâ fonction^» tpi, 0^, ...^ o^, éiaiii uniformes» danâ le doiniiinc du poiiM a.
Une inlé^rtile qu«:lconque iippjrtenjnl au ;;[ioupe dVinlégrales coti(<iiUTC
est donc delà loi me
m)
^ = ( .r ^ a )^ j tj/y ( T — a ; -*- 4'i ( *^ — ** ) *^*>g (>f — « 1 -r
-4-+a(^^ — rtj[ Lo^< j*
^)rv
I
kûombnï entier A" étant au plua égal a/> — j et les fonctton&tj^u, 4*1 '^p i
étant des Fonction'^ uniformes dans le domaine du point a. qui s'exprinifiil
linéairement au moyen di;s fondions çi, ^i, ..., «p^^* Si le point a uVsl
Il 11 point singulier ci^scnLÎel pour aucune des fonctions (^^, on dit que
rintégialc (G8) est régulière pour a^ = a. D'après une remarque dcj^»
rdte, ou peut alors supjîOîer que toutes ces fonctions i|i/$oui holomoipho
piiur jr=a, eu remplaçant r |i.tr uii iiiitre cxpo:»ani qui n*en diiïère q*je
d'un nombre entier.
it)9. Théorème de M. Fuchs. — On doji à M. Fueliî* d'avoir établi lo
eondit;on<i nécessaires et sufllsantes pour qu'une équation linéaire admet
dans le domatn<^ d'un point singulier a un sj^ttême de n intégrales dii
tmctes, toutes régulières. Pour quil vn soit ainsi, il Jaut et il suffit qu
le coefficient pi de , ^^ \. dans l'équation (57) soit de ta formt
{X — a)* Ï'IJ" — a ), la fonction V\ r — a) étant holomorphe dans U
domaine du point a.
Si P(o) n'est pas nuL le point a est un pôle d'ordre i pour p^, Mdi>^
si P(o) = o^ le point a csl un pôle d'ordre inférieur â *; il peut mémr
arriver que le pointa soit un puiiil ordinaire pour quelques-uns des coefli-
cients p£. On peut encore ênonecr les conditions précédcates comiuc
il suit : L*équatiûn li/vuiire doit être de (a forme
169)
fi'* y ti»-i y
ï^i» ï*i» •••» Prt étant des fonctions hùiomorphes dans Iv domainr de a,
Ci^ ihcorciirns étant admis, nous inoiitreruns simplcnicut mmiucnl on
|icut dc'iermiuer pour une équ^Jlion de celle espèce ïes racines de rcqua-
tîon caraciénstiquc. Soit s une niriiir de celle éqiraiion el r une dcierini-
•talicin de -, Log*. D*aprés ce qu'on a rejïiiin|uc% ou pcuL cliuisir eettr
détermination «le r de façon que l'éqiialioii adujetle une inti'grale de la
forme {x — a fo{Jc — a), (j>(.r — n) étant une funrtîon liùîniihirplie qui
ti'est pas nulle pour^ = a. Soit
70)
^ = Cu(j: — «)^-h Ciir -~aY^^
(Cm ^ o),
le développement de celle intégrale; en sub^iiiuanl ce diSeloppeincnl à la
plaec de y dans le premier membre de réquatiou (69)» le coeflrcteiil du
terme di* degré le moins élève, c*esl-à-dire du tenue de degré r en (r — a),
doji être nul^ ee qui conduit a l'équation
(7i)
D ( r) ^ r ( r — I ) . . , ( r — n h- i)
-h P , ( ri ) r ( r — I ) , , . ( r — fi 4- -i ) H- , . , -4- l*rt ( a )
Gclte équation est V équation déterminante fondamentale rclalive au
point a; si r est une racine, * — cîiî/r ^^i y^g racine de réqualtoii carac-
térîstiqiie. Ou voit que réi|uation caractéri«*tiqii(: aura des rîiciues mul-
tiples si l'équ;iiion D(r) = o a des racines qui ne ililTèreut que d'un nombre
t*nlicr. Ne p^mvaut entrer ici dans l'étude du ras général, j*iiuliquerai
rapidemeui la discussion lorsque l'équation est du second ordie. Sup-
posons, pour simplifier récriture» a = o^ et con -sidérons l'équation du
second ordre
170
x-y ^-x[a^,
a j j' 4- .
|/>y-h^,j*-4-..*l^K = 0,
lc4 coïfficienis de xy* et de y étant des fonctions holomorplies de x dans
le dom-ïine de Torigine. Si nous substituons à la place de y dans te pre-
mier mcîinbre de l'équation précédente un développement de la forme (70),
où Ton fait a = o, le coefficient de x^ est, après la ^substitution,
[r(r — t) 4- €ï„r t- ^a]cw.
Conome par bypotîiése le premier cocflicient c^ n'est p.ts nul, on d**it
prendre pour r une racine de rêqualion du second degré
(7Î)
iy{r\— r(r — ^1) -h nt,r -^ b^^ o.
45a CHAPITRE X\. — ti>L.VTtONâ DiFt-KREXTIELLEi? LIXÊIIIIES.
Ay^int pris pour r une racine de celle équation, or» pcfut choisir Cp arb»-
irairemfînl ; nous prendrons par exemple Cq^:. Le coefficieni de x''*P
après la subsiituiion est de iruVine ^
^Ai^-^p^i^^^p
D-
ag(r H-//) -4- /iy] -^ F — €f,t)\r -^ p)-^ F,
Fêlant un polynouic a coefficients enliers en co, r,.
-ti «»♦ ^t, "îV
é»o, bj, , . .^ bp. Fai«-anl successivement /> = i, a, 3» ... * on pourra calculer
de proche en proche les coefficients successifs e|. e,, ..., c„, ,. ,^ à moîn*
que D(r-f-/>) ne soit nul jjour une valeur positive de l'entier /?. c'e'^t-
à-dirc à moins que IV-qualion (jS) n'admetle uiïc seconde racine r' égale
à Ja première r, augmculéc tl"un nomhrc entier positif. Laissant ce cas de
cÔLé, nous obtiendrons une intégrale particulière représentée par une férié
de la forme (70), et convergente dans un cercle ayant pour centre î'ori-
^rne (*)» Si IV'quation D(r) = o admet denit racines dîstineies r, r\ Jont
la ditTérence nVst jias un nombre entiei, la méthode précédente permet
d'obtenir deuv iniégrales dîstinclesj et Tinlégraîe générale est reprcscnice
dans le du mai ne île Foriginc par la forniuîe
^ = C,J"*f(:r)-hG,dr''^/(x),
ircscniw^i
m\
^(x) et *^ir) étant deux fonclitjns holomorphes qui ne ««'annulent pa*
pour ^r = *i.
U n'en c^l plus de même si les deux raeines de Féquatton (7!) sont
êjïales ou si leur dilTéience est un nombre entier, Soient r cl r— jt>ce*
deux racines, p étant un nombre entier positif ou nul. Nous pouvons
loiijours obtenir une première inté^^rale de la forme ^1 = jr''ç(j*). Uoe
seconde intégra le ^^i est donnée par la formule générale (^3) qui devient iti
^Î = X'*3(X)
7 ^=^[?(-^)P
^SiH
)'
la somme des racines de l'équation (73), ou i *- a„, est égale dans
à ar — /» : on a donc a„= /) -4- 1 — ar et, par suite.
r/(5
+rt|-t-fft,r-i-.
■)-.
j.îr-(/i^l)p(3,)^
P(:*r) étant une fonction rr^ulîére dan& le domaine de l'origine qui n'f**
pas nulle pour jf = o. La seconde intégrale j^j a donc pour eï^pression
Q(x) élani nue fonction holomorphe, différente de zéro pour dr = *).
(') La convergence s'établit par ta mclliode habituelle des foiictlous majorante
€t nous renverrons pour ce poiiil aux Ménioiifs de M. Fuchs ou à U Tbci« ^
M. Tanncry.
— INTEGRALES REGULIERES.
4>3
rinlc-
I
Soit A le coeflicient de jcp daiia Q(x); nous voyons encore que
grale Xt ^^^ ^'^ ^^ forme
^■, = ^^9i.r i|a Logr -h ^|-^ j
4'i-r> ilé^ignapl une uuuveîle fonction holomurphe dans le domaine de
l'origioc. Gc résultat est bien eon forme à la ihéorie géoérale. Gomme cas
particulier, il peut se faire que Ton ait A =; o ; lifiléj^rale générale ne ren-
ferme p;is alors de lo^arîtlitne dans le «Inmaine de l'origine. Mais il est à
remarquer que celle circonstance ne se prtVsente jamais lorsque /> = o
[puisque Q(o) n'est pas nul], c'est-à-dire lorsque Téquation (73) a une
racine double.
I
410. Équation de Qauss. — Appliquons celle méthode à l'êquaiion
(75) 3?(t— x)y-h[Y-(ï ^3 -f-n.7<]y-3t?^K = o,
où s, p, 7 sont de*» canstantes. Les piiiiits singuliers à distance finie
sont J? ^ a el *r = i. L'équation déterminante relative au point jt == o
est r(r -H Y^ — i) — o et admet les deu\ riicîne:* r ^ o^ r = t — j. SI y i^'ebi
ni oui ni égal à un nombre entier négatif, il rëtf>ulte de lu méthode précé*
dente que Têquation admet une Intégrale holoraorpke dans le domaine de
rorîgîne. Pour déterminer cette intégrale, suliàtiiuons dans l'équation la
série
et égalons à zéro le coefficient de .a;'*-'; i*iius obtenons une relation de
récurrence entn.^ deii\ coefficients consécutifs
n(y -h n " i)n,, ^ (jt ^ n ^ t){^ -h n ~i)c»~u
ce cjai nous donne pour Tintégrale îinli*inorphe la série
c. a ^ P 31(2 -h i)B(Û -f-u ,
' I .-; \ .i.y{^ -^- i)
ou aérie hxpergéamUrtfjttv, qui est convergente dans le cercle F^ de
rajon an ayant pour centre Torigine. Pour avoir une seconde intégrale,
faisons la transformation ^ =3 ^r'^T^^ ce qui conduit h une équation de
même fonne
( 76 »
ne différant de la première qn*en ce que i£, p, ^ ^^^^ remplacées respec-
tivement par a H- r ^ Yt ? '+* * ^ — T» ^ — T- Si 2 ^ y ïi*«st pas nul, ni égal à
un nombre entier négatif, l'équation (75) admet dune la seconde inté-
grale j7*-TF((I H- ( — Yî P -fr- I — Y' ^~T* ^)' ^^ lorsque y "csl pas un
BQ DATIONS DtrFKIieNTISLLBS LLNEAIHES.
4^4 i;U4l*ITRK \lk.
nombre cfiiicr l'ini^gralc générale e**t reprcscnlrt" dans If ccrcJc F^
la formttle
177) ^-^'tF(^
^}'
'F/î
?
ït ^).
Lorsque 7 est un nombre cniicr^ la différence des deux, racines de Téqos*
lion (lëtcrmînante t'i^l nulle ou égale à un nombre cnlicr, et rintrgraie
coiUienl en général un leime logai îlhmîque dans le domaine de Fongine,
Nous étudierons seulement le ras oè y = i; les deux intégrales
F(a, ^,y,T\ ^i-yF(aH-i — Y. ^ ^ , —y, a - y. :r)
se ruduiseni alors à une seule F(«, ^^ 1, x).
Pour trouver une «econdc intégrale, supposons d'abord y t^n peu dilTerenr
de riinité y =ï^ h, h ratant très petit ; l'équalion (75) admet les drui
intégrales
et par «uite fa fraction
.r''F(a-h A^ 3 H- A, l-h A, X),
A. r>— FU. p.
A, X)
est acssi une inicgrale. Lorsque h tend ver<i zéro, ee rapport a poi^r
limite la dérivée dn nnmérateur par rapport a A, où Ton aurait faiï A^o.
La drrivê*! du ("a c tour j^ nous donne un terme logarithmique qui^ pour
A = o, se réduit à F(«, p, 1^ xi Log^, Pour avoir la dérivée d'un cetld-
rient quelconque iVr.» les deux séries p.ir rapport à A, tel que le eocfli-
r).
A i- ff— ))fp H- AX^H-A-f- r)..,(PH- A4>ff-n
ï . » , , . rt ( I -t- A M a -^ A ) . . , i ft -h A >
il est eonimode de calculer d'abord la dérivée logarilbniique. On uoniy
ainsi une nouvelle intéf^rale qui a pour expression
(7S)
4^1 (t)^ F (a, 3. 1, j-)Log.r
1 V,
^- n -rVâ( p -»- i > . . . i 3 -H n — I)
1
où Ton a posé
i)-
(t.'^.../0*
p-Hn —
On pourrait étudier de la même façon les iniégraïes de IVquation
Gaiiss dans le domaine du point jf = 1, mais il suffit sîmpiemcnl de rcTi
quer qu^j quand on rem pi are a: par i ^^ — ^, l'équation ne change pas è%
forme; seulement y Cî^l remjdaeé par a -h p h- 1 — y. L'intégrale génértk
c*l donc reprc'sciitre, dans le rnrcli" Fj de rayon un drrt k du poînl t =- ï
ftpour rentre, par la formule
^ ^ C, F( «, P, 3£ + p -H t - Y, I - ^)
I
pourvu rjuc Y — ^ — ? ^*^ ^^*^^ P**^ *'" Tionibre millier.
Atîn d'étudrcr les înlëgraleB pour \iif- valours fîe j' de module Irc5 ginnd^
on pose x= -, rt Ton csr ramené à l'tudier les inrrgralejt d'une iiou\elle
équation lint'aiie cLin** ïv voi«^inagr de Tc^rigine. Les intégrales de r*'iie
équalTon sont é^alrrneut régulières dans le domaine de Torigine, et les
mcines de l'équanon dêïerminante «^0111 préd.«Cïni*ui a ei p, Si l'on pose à
la fois JT = - $ y = (*s, l'équation obtenue esl encore de la forme (7^)1
maïs p est remplacé par a -^ t — y* ^'^ 7 P*^*' ï i- i -^ Jî- L'équation de Gaiiss
admel dnfic rintégrale
k
t F ( 5t. 3t H- I — Y, a H- i — |3, — ] ;
I
par raison de symétrie elle admet auspi rii;léf;rale qui ?e déduit de celle-fà
en permutant a ei p, et llntégrale générale e-^t représentée à J*e%tf rieur
du cercle V^ par la formule
j^ — CiJr—^ l* (1,2 I- t — Yi ^ -^ ^ — ?* - )
-hC,js-.SF/fi>i-Y* h 3 + i-3t, IV
pourvu que a — p ne soit pa*i un nombre entier.
Remarque, — Toute équation linéaire de la forme
(79) (^ — a)(T — ti )y -h I /j* -f- m )y -h ny = o,
où a, ft, /, m^ n sont fies constantes quelconques (a ^ b), se ramène à
l'équation de Gauss par le tbangemenl de variable ^ = a-h<6 — a)i.
Pour identifier Léquolion obtenue
/a-
m
I
avec réq nation (75)» il suffit en elTet de poser y = — ^-r » cl de dé le r-
miner a el ^ par les dcu^ conditions a -i- ^ -^ i — l^ x^ = n.
m. Équation de BesseL — Considérons en particulier Téquatlon
(81) .rii ~ A'.r)y^ -t (c — ba;)y — ajr - o
456 ClIAlITftE \\. — ÉQUATIONS DlfFliftENTIELLES LlNËAIRUS.
qui adijjel les deux poinU singuliers :r = o, ;r = tj et que Vou peut
I amener à rèqitation de Gauss par le changemenl de variable Xrx = t, Sî
l'on fa il leiidre If pnramèiie A vers zrro, tandis que a^ h^ c tendent ver*
des limites finies A, B» G» le point singulier ^ = t s*éloigiie îndéllnioieni,
cl l*on obiîcnt à la limite une cquali<ïn linéaire
(8-2) xf ^{C — hx)/ — \y ^ o,
n'ayant que le seul point ^singulier jt = o à distance Jinie. Sî B n'est pti
nul, en iem|jlaç;MU Bx par 3t^ on est ramené à une cqualion de même
fwrme où B = i. Si B == o, et A. dîlTéreni de zérO| on peut de même iup-
poser A = i. En définitive, l'éijuation (Sa) peut être ramenée à l'une àt>
deux formes eî-dessous
( 83 ) 3py'-^ (Y — ^)y— ^y = i>.
(84) 3py^^^y-j^^o,
Kn eludiunt les intégrales de ces deu\ équations dans le doinainc de
l'origine, comme on Ta fait pour Téquatiou de Gauss^ on esl amenô &
introduire les deux séries
G(a, Y, ^) — I -4- .rn x--\- ..,,
Jt Y^ jr) — i H — X -i
' ^ 7 i.
■i.Y(YH-i)
a?*-
que l'on peut considérer comme des dégénérescences de la série hjp-er-
géométriqut!. Si l'on remplace, dans F (a, p, y, ar), la variable x p*r kx
et p par 71 le coefficient de x^ dans F ( i, v» 7, ^arj a pour limite le
coefficient de x'^ dans 0(2^ yi ^) lorsque k tend vers zéro. De même, l*
coefficient de x'^ dans Ff x* * ♦ Y? A-*xJ a pour limite le coefficient de t*
dans J{y» ^) lorsque A- tend vers siéro,
Lorii^ue y nesl pa^ un nombre entier, Tintégrale générale de féqui-
tiou (83) esl donnée par la formule
(S5) y = GiG(x. Y, j-) h- Cj r^-TGt a -h i — 7. '^—7. ^).
cl de même rintégrale générale de l'équalion (84) est
(86) j>-=CiJ(Y. ;r)H-GîJ'î-TJ(i — 7. Jr),
et ces formules sont valables dans toute l'étendue du plan. Si 7 est un
nombre enlier, l'ialégrale générale de l'équation (84) renferme toujoun
un terme logarithmique. Far exemplci si 7 = 1, on obtiendra une inir-
m. — INTEG RALES HÈiitUKBK». 4^7
grate difTéreritc de J(i^ jr) en chercliant la, limilc pour h — o du rapport
rf* J ( r -+- A, J-) — J ( I — /i, ;r )
ce qui donne pour expression de ïlniégraïe générale
l
On peut ramener à Téquation (84) une êqualion lint^aire qui se présiînie
dans tin grand tioiubrc d^ quci^uons de PhysLi|iie malUématique. Poson;^
dans réquaiion(84)<3" = — --; en remplaçant -^ par /i -h i, Téquation ob-
tenue esl identique à Téquation déjà étudiée (n° 406),
(87)
dt
ly = a;
I
si dans cette nouvelle équalioii on pose encore^— '"''*, *>" obtient une
nouvelle forme de l'équation de Bessel
(88)
^*4 dz
I
Les trois équations (84), (ï*7)i (88), où y — ^^ + 1 1 sont donc absolument
équivalentes Tune à Tautre. Si n n'e^t pas un nombre entierp Tinlrgr^le
générale de Téquation de Bessel (88) e'ît d'après cela
On a démontré [plub Laut {n** 40(>) que si ti est la moitié d'un nombre
impair llniégrale générale de 1 '('quai ion (87) sVx prime au moyen de
transcendantes élémentaires. J^a transcendante J(Yi ^) se ramène donc
à ta fonction exponentielle lorsque ^ ^^^ ^^ moitié d*un nombre impuir.
Remarque. — I/équation étudiée par Riccati
{H)
—. h A IL'
tU'«= o,
oit A, B, m soai des constantes donnée^^, peut aussi ^e ramener à l'une des
équations équivalentes (,84 )i (87), (88). On a vu plus haut en elTet (n"400)
I -^
que l'intégrale générale de réquation (8g) est x "" ' "^ étant llntégrale
générale de l'équation linéaire
(90) g-AU^'".- = o.
Si dans cette dernière équation on fait le changement de variable ^ = Xfl^,
458 CMAITTIIK \Tt. - KOFATIOWS niFFKRKNTlIMJÎS UT^RAtRES.
"k l'i |i i-rani deux cot*ffirii!ni<i indr terminée, elfe il e vie ni
pour qu'elle ^<mI hipntkjue à l'equalifin (87)^ il suffira rîc prendre
IL— 1 **t de déterminer X nnr Ln rondition ARX"*^*»** — — i. U
valeur corrfsponilaiïfo ilc n l"^l — — ou — • On peul «lonc c^prinvtr
en lermes fini<; l'inlêf^rïile générale t\t: rëquatioii de Ricrati(89) toutes!» '
fnis qui" — est ta moitié d\in nuinhi e îiiipair positif r»ii nt'gatif 1« -f- 1,
c'e«^l-à-dire touicîï lesfoi^que m est égal à — .» 1 désignanï un nombre
entier positif ou ni^^alif, ^H
âi±. Équations de M. E. Picard. — Élant donnée une ér|uaiÎDn diîTé-
reiitîelle linéaire à c:oe0icîcnt5 inérojnorphe5, on peut rernnnnîlre, d'après
la tnêlhode de ^1* Fuehs, si rin*égralc générale est elle-même une fonelion
mëromorphe. Il faut et il ^lïiTii pour cela : r que les intégrales soient
régulières dans le domaine de rl^acun des points singuliers; a* que tonf'S
les rat in es de réquaiion ilëterminantc relative à l'un quelconque de ce<
points singuliers «oient des nombres entiers; 3* enfin que tous les ternir*
logai itlimiques di^iparinssent ilans l'euprcssion de Tintégrale générale an
voisinage d'un point singulier. ^^
Suppnsons toutes ces conditions remplies. L'intégrale générale est alo^^
une fonction uniforme mëromorphe dans tout le |dfîn. Si les coefficients
de Téqualion sont des fonctions ryiionnelles^ les points singuliers «i,
af, j rtfl sont en numhre limité. F'oiir que rintégrale générale soît une
fonetîon rationnelle^ il suffira que réquaiion obtenue en posant J^ =^ -
cïle-nr»éme toutes ses intégrales régulières ilans le domaine du point / ^
car rinlégrale générale étant uniforme ne peut renfermer de terme loga-
rithmique ni de puissance fractionnaire de /. Lorsque cet le ilernière con-
dïlion est remplie, on peut obtenir l'intégrale générale par un calcul
d'identification. En effet, soit — m^la plus petite racine de réqualîon déter-
minante relative au point x = «/, et sV la plus petite racine de Téquatiot»
déterminante relative an point f = o |inur l'équation transformée. Il f»l
clair que le (troduit d'une intégrale quelconque^' par
me
1
est ime fonetîon rationnelle n'ayant plus aucun pâle à distance finiep c'
à -dire un polynôme F(r) dont le degré esl au plus égal à
/rtj H- f/i 5 -K . . . -4- m„^ N.
1
Connaissant une limite !»iipéneure du degré de ce polynôme, il suffira pour
lit. — tNTKfiK4LES HKt*LUÉIÏ|iS* (5^
délermincr les coefficients tic remplacer^ par une euprep^îon telle qu*:;
P(ar)n(j- — ai}^"*!^ où P(t) est le polynôme le plus gênerai tle ce degré,
dans le premier membre de Téqualion proposée, et d*ucnre que le résultat
est ideriliquemenl nul.
M. Émllc Picard a fait connaîtic un autre cas 1res ito portant où l*intc-
grale gén^^rale s*cxprime au moyen de transcendaTiles classiques : Lorsque
tinté g raie générait d'une équation dijférenfieiie iî né aire et fiomo-
gène^ dont les coeffirients sont des fonctions eîiipttques de ia variait ie
indépendante (admeiianî ies mêmes périodes)^ rsl une fonction niéro-
morphe^ cette intégrale s'exprime au moyen des transcendantes tie ia
théorie des fonctions eliiptiques.
Pour simplifier Ter ri tu re^ je développerai la demonsti ation pour une
équation du second ordre seulement. Soient /i(^), /ti^) deux intégrales
dislrnctes d'une équation linéaire et homogène ^'h- p{^}y ^ 9{^)y ~ **»
où pix) et q{x) sont des fonctions elliptiques de périodes 7. ta et ^(u'.
Par hypothèse, fi{T}exfx{x) sont des fonctions uniformes méromorphcs.
L'équation proposée ne changeant pas quand on remplace x parx + atu,
/i(x H- ati*) et/i(j:-l- îw) sont aussi des intégrales^ et Ton a des relations
^
) /i{3?'+- Jim) - afi{x)-h bf^(T), /s(jr-hata)= efi(x}^dftix),
<a, 6, c, £/ étant des coefficicots constants dont le déterminant ad — èc
n'est pas nul ; car si Ton a\ait ftd — le = o, on en déduirait entre/j (x-f-am)
eifi{x-^ aw) une relation de la forme G,y, (x -h auj) H- Ctft{^ -§- 1^^} ~ o,
C, et Cl étant des coefficients constants dont Tun au moins est différfut de
zéro, ce qui est inipos'iible puisque/t «"t/t *ont deu\ intégrales dislinctcs.
Pour la même raison, on a un autre système de relations
< 93 ) /i (^ -+- ^i ^') ^ «7i (r) H- i'/t (^), /î (a: -h 3 u>0 = c'fi (x) -f- d*ft i^)f
a'., b\ c\ d' étant des coefficients ronstauts, et ad' — b* c* n'étant pas
nul. Cherchons comme au n" 407 une intégrale tp(jr)=: X/|{x) -h [1/1(37)
telle que f{x -i- ^w) = $^{3: ), Nous avons pour déterminer X, pi, s les
deux équations
k X ( a — Jî ) -T- jJtc = o, X A -h tji{ È^ — 5) = O1
dViù Ton déduit pour s réquation du second degré
M F ( î j — A- — ( « "h ^/) 1 -H ad — èc = o.
Si celle équation a deu\ racines distinctes jj, jj, il e\iste dcuit intégrales
distinctes Çi(3*), ?i(jr) telles que l'on ait
(94) t9x(x -h 'i<o) = .f,9,(-F), 0,(^7 H-2n>) == ^i«j(jrX
et les relations (gS) sont remplacées par deu\ relations de même forme
(gS) f|{j:-+- atu')= Âçi(:r)H- /^îfj-), çi(37 -h ati>') - m f i(jr) H- nç,(^).
4()o
CUAI'ÏTRK XX.
«OUATIONS DIFFERENTIELLES LINÉ\1RKS.
Gi-'ly
jL'lii posé, nou5 pouvons^ au moyen iJc^ rêlaliûti!» (g^) cl (95)^ obtenir
deus expressions dilTérentes pour 91 (^ -h ity -4- atu') et ^«{-r H-a<w-f- iu»'i.
Nou*% avons d*iine pari
nous pouvonis, en prori'rlrUil dans Tordre? inverse, écrire au^^t
Y,(.r H- 2t»j -h att)'; = A:fj(a7 -h 2ca) ^- /fî(-r -h atw) = A-*|Çi(jrJ -h Is^if^^l
Ces «ïeii\ expressions dt^vant i^lre identique*;, on a ^ = o, puisrju*? i^ — i^
n^e^l pas nul, cl Ton prouverait de même que l*on a m =0, en prenaDi
les *1l'U\ expressions de Çj(jr -^- jçro h- ^«îj')- Les intégrales ïpi(x), ^t(')
sonl tJonc da f^Dnctions rnéromnrpïies qui se reproduisent mukipliécs par
un faet»?ur constant quand la variable x iiugniente d'une période; ce ««(MU
des ronctiuiis doublemeui périodiques de seconde efpèce, rout** fotu'iio:i
tnéromorplie 9(x) joubsanl dr eclte propriété s'exprime au mo^en tia
Iranicendantcs p, Ç, t, car la dérivée logarithmique * -— est une fonction
elliptique, rti nous avons vu que linlégratiou n'introduit aucune transcen-
dante nouvelle (11" 3XS). On peul, du resle, le démontrer sans aucune Inté-
gra tion. Soit ^(^) une fo lie lion méromorplie telle que Ton ail
(p(a7 H- luj) = {jLçp(.f ), i^ijT -h a w') = |jl'«p(x);
ij/ -y — ^1 \
considérons la fonction auxiliaire tl( jr) = cp^" — '-^ , a et 0 ét^nl d^m
con*.tantcs quelconque*^. D'après les propriétés de la fonction v(n*3lJÛj on a
Pnur que le quotient T- — * soit une fonction elliptique, îE suffit qu»:; Ion
au
a top — 'Àar^ = Logji, îto'p — ^a r^' = Log^\
relations qui déterminent p et a (U'hV p. 19Î )- On remaïqtiera que l'on peut
prendre ^ = 0 h\ L<>gp. et Lo^vjx' soûl propoiaionnels aux pcrioil.^^ tnrrt*-
pondantes tï^u, itti\
Arrivons au cas où l'équation F(j)= o a une racine double .*. On p-'ui
trouver deux înté^r.des distincius cp^ (jp)^ ^f j( jp) telles que l'on ait (n' 4QS|*
N
si G := o. toutes les intégrales de l'équation, et eu piuticulior f^ir)
ct/i(-ï7), sont miiUi|diées par s lorsque -r auîjm 'nte de l'-o. On c h Lâchera
alors une combinaison X/i(x) h- [jl/,(j*) qui se reproduise niulLipliée pir»'
lorsque JT augmente de ito'. Ou trouvera ainsi, en partant des fornaulcs (gS),
deuv intéj^rales distinctes ^i( r), ^^(jr)^ telles que Ton ait
C n'élaîil pas nul. Dans le prumicr cas, les iiïtégrales ^1(0? ), ft(^) soiil
encore des fonctions doublemcni périodiques de stHonde espèce. Dans le
^ccoml cas, l'intégrale if](:r) est seule une fonction doublement périodique
de deuxième espèce. Quant â Tintégrale «pj(ar), le rapport ^' . augraente
d'une constante C ïor*qne x augmente de atn' et ne cliange jias lorsque t
augmente de 2tt>, Or la loncllMn AÇ(jr)-hB^, où A et B sont deux ruef-
ficienis mn^ianifi, pos<édp la même propriété pourvu que Ton ail
a A T, -^ jt B (D ^ o^ a A r/ -1- 2 B to' = C.
A^(j:r) — Bjt e^ît doije une fiinction elliptiqur.
La différence ^-
?i
Lorsque le coefficient C n*est pas nul dans les formules (96 )} on a entre
les intégrales fi(j^), ?s('^)f 9ï(j!^-H 2(11'), Çj(arH-2w') des relations de la
forme {9^)» et l'on peut encore en déduire deux expressions différentes
pour ^i(a? -t- 2U1 -H am') et ^t( j*-h -itu h- acu). lin écrivant f|u'cllcs sont
identiques, on obtient les conditions i — o^ k = n. L'intégrale <^i(x)
est encore doublement périodique de seconde espèce. Quant à l'inté-
grale Of(x). on a les deux relations
m
Déterminons conune tout à flieure les *lcu\ roefficients A et B de fyçori
que Ton ait 2 A t^ H- 2 B w ^ — i 9. A r/ -h 2 B tt»' rr — ; la dilïërence
^ .ï AT
est encore une foncliun elliptique. On voit donc que rintégrale générale
est dans tous les cas réductible aux seules transcendantes c-^, pT, ^.r» <7t.
Prenons par exemple l'tq nation de Lamé
1(97)
dont rintégration effectuée par M. tlerniilc a été !e point de départ de la
lliéorie précédente (n est un nombre entier, h une constante arbitraire).
L'intégrale générale de eette équation est une fonction méromorpbe. En
effet les seuls points singuliers sont Torigine et les points 'xmtù -h im^ui'.
Dans le domaine de l'origine^ les intégrales sont régulières, et les racine^
de l*équation déterminante sont r'= — n^ r'= n-hi. Quoique leur diffé-
rence soit un nombre entier, I intégrale générale ne renferme pas de terme
40*1 CHAPITRIÎ XX, — i:QLAT!t>.\i5 UIITFÉhBXTIlîLLEH LINÉ^HRK^*
l<>^aritb!ixîqye. En elTei, '^i l%jri pose ^' = /^ Téquaiion devient
"^'^ a ^ -[ni n -h tjpisTt) ^ fi]r ^ o.
ï)
U
dt^
di
Le coefficicnl clt; j- daiis la nouvel le i-quatï un est encurc uiie Imiclion uni-
f'Hdie, et lïi dilîérencc des racines^ de la utiuvell*' é<|iiation déteiniînaiite
u^si pas un nombre eniier. Il s*uiiàuît que rintégrale générale de l'cqui-
lion (98) ne renferme pas de lerine logai illimiqiic.
IV. - SYSTÈ^IES D'ÉQU\T1UNS UNK VIRES.
413. Propriétés générales. — Lh |i]ii|iy[i Av-i ihéorènie^ élablîi
peïur une éi| nation linéaire s*éler»dent sans dil lien lié iinx sysièmes
iréqualioas linéaires ù plusieurs foiiclians inronoties. Ou peut
l un jours siJ}>|>oser, san?5 ruslreindrc la gi^néralit*}, que ces équa-
lions son! du premier ordre (n" 383); c'esl v.r que nous ferons
tlans ce paingraphe. Soient Ki, l'a, • . . , y„ les n fonctions iiicon-
rjucs, et X la varîalite indépendante. Il résulte d'un tliéorriDC
ij^énéral (u^' 397) que les intégrules u^atlmellenL pijs d'iiutres point?.
singuliers que ceux des coeflieicnts. Si Fou se donne les valeur^
ioiliales^J,y3* . * -^y^t^ pour nue valeur ^^ difTérentc des points
-singuliers, on petil poursuivre le prolongement analvlique di* ces
. inlégrales toul le long d'un cliemin qoelconqtje issu du point jr^
el lie passant par aueuji de ces poiuls singuliers^ qui sont coutius
a priori.
Nous supposerons, uuit|iïejueul pour simjdilier réerilure, que
Ton a ixn système de trois équations a trois inconnues. Considé-
rons d*abord le système de trois équations liomogènes
'+9 *
«O
cx a = o»
du
où Ht ^j Cj , - , sont des fonctions de la seule variable .r. Si Ton con-
naît un système particulier d'intégrales (>, , c,, 1/,) les fonctions
{Oy^y Cs,, Ci/() formeul aussi un système d'intégrales, quelle
que soit la constante C De même^ si Ton connaît deux sysleme;»
IV* — SVSTÊMIÎS [> ËgUATIONS
parlîculiers d^iiilégiales (j'i, 3,, Wj) el (Va» ^2^ '^2)1 **" [jcuI eu
déduire un nuuveuu système d'inlégralcs dépendaiil de deux ctïii-
Âlanle:^ arbilrahes (C|j*, H- C,*j^. C, ::, -r- C^.^;,» C,«| + CjM^).
EtjQn, 51 Ton counaîl trois systèmes particiilieri d'hilégrales
(Vi* -1. «1), <.>!. ^t. ''•►. (Vit -j. «3^
les foi jiiules
{lOO)
f « — C| M| H- Ca W3 -T- C;j u,
re[Héseiilciil aus>[ un syslèaie d'ijUèîrralcs, c|uellcs que ^oîenl les
cunstanles C|, Ca, Cj. Pour pouvoir affirnicr que ces formules (t 00)
rcprésentcuL bien Tiulégrale géuérale du système (99), il faul
eocore êlre assuré que Tan peul disj)oser des consLanles Ci, Cj,
(jj de façou quf% pour une valeur douuée u^ de x, difiereule il'im
(loint singulier, 7% 5, a prejiuenl des valeurs ç«(?/co/i^wt'-s données
il Tavance >'û, 5^» «o- l^'Jur qu*iî eu siiil ainsi, il faut eL ilsuflil que
le dcternniiaul furuiéavee les neuf fonctions j>^/, 2/, if, (/ ^ 1, 9., S)
(lOl)
A =
Jl
-1
II
yt
^t
H
Ji
5;l
H
ne soil pa> idenliqneincnl nul. Nous dimn^» encore que Tenseinhle
Ides trois systèmes particuliers d'inlégrales fonne dans ce ca^ un
iQ^stème fonda f}irn (a /.
Lorsque A tt^t identiquement nul^ lis trois ^vsLéilïeî> particuliers d'intc-
grales se rédujâctit à dcuii, oy niènio à un seul, Supposons d'abord que
luus les itijjieur^ du prejnier ordre de A ne sout pas uu\^ à lu fois, {»;ir
i-\cmple que II' iiiiiieur t ^=^ y%it— y^Z\ u'esl pas nul idenliqiienient .
buil A une réjjioit du plan où ù ne i^'aiinule \rà^\ noos déterjtiioerons deu\
foncttons auxiliaires Kj et Kj, liLdoniorplies daris Taire A, de telle façon
que ToQ aii
iWA)
^'^ = K(^j -I- Ki^'j, 5i=K,^
K,;
«1, le detet tittuatil A étiiiil nul, ces loncliooîi K, et Kx satisfoot au!>?tj à l.i
relation
(jo3>
«j = Kj ai H- KiMj.
Si l'on reiijplâjce, daus fea dcax premières équaliujis du système ^ijj),
^, z Cl I* par les expressions précédentes de y^^ ^j^ u^ en ob*>crvanL
que iXxi ^1» W| > (*l f .1'!» =1*» *^j) forment deux sy^tèuie'» particuliers d'in-
464 CNAPITItË XX. — ligUATIONS DIFFélILNTlKLLES UXÈAinES.
tégrale^i il reste, loul ralcul fail,
ji k; -h 7,Ki ^ o, 5i k; -+- 3,k; = o,
d'où Ton tire Kj = K', = o. Les fonctions hj et Kj 5 ont donc dei con-
siaulcSi et les rrlatton^ (lai) et (io3) aubsblent dans loul le dom^tnc
d'e\i8lencc des fonctions j//, z^^ ti(. 11 s^enauit que le *vsTéme dHnt^grales
( y%', ^is "») est une combinai.mjn »les deux autrrs.
Si lous les mineurs du piemier ordre de A sont identiquement nuls, le*
trois svîïlémeB d^int^'j^rales se ramèneDl à un «»*uL Comme tous les clé-
ments tle A ne peuvent être nuls à la fuie, supposfjns j-, différent de téro,
et posons /i= Kji ; des relations Xi-^î — ^»Ji=o» ^i^'î — Vftti^oon
déduit que l'on a au^si ^t= K^i, Hj= Ktt|. \in remplaçant y^ z, u par
K^t, K^ij K«i re*^pcetivemL'nt dans la première des équations (99). it
reste ^iK'— o; K e^t donc constant, et le svî^h'llle {j^,, i,, m,) ne ddfère
du système (^'1, ^i, «j ) que par un facteur ronslant* On \errait de niéme
que le troisième sy^'lèrae d'intégrales est idr unique au premier.
Quand oq coiiiiuîl rinLL'|;rale ^^éoérale du système homo-
gène (99)j on peut eu déduire par des rjuadralures Tïnlégrale gé-
nérale du système avec des seconds memlires
{toi)
-hay -h ùz -^- eu =/iix)^
Si Dous faisons en LvITct le tliaagement de variables défini parles
fortnules (io4)j Ci^ Cj, G3 élant considérées comme les nouvelles
fonclions inconnues, le système (io4) est remplacé par le suivaDt
dCt dCj dCi
(H)5)
rfC,
rfC,
rfr
=/.(*).
rfCf ffCi ^^Ci ^
qui s'inlégre p^r des quadratures, car on en déduit
dCt
dx
-X^ (/=t,2. 3>.
Observons aussi que celle tiansformatiou est touille louiez k^
fois que Ton peut déterminer directement uu sjslèine particulier
IV. — SV8TÈMES l>*EQll4TrOXS LINEAIRES* ^tij
trinlégrales (Y, Z, U) des e4jualioiis (io4). Pour avoir Tînlégiiile
grn era]e de ce^ éc|iialioiii», Î1 suffuîi d'ajoirle:^r n'SjiectivemenI Y,
Z, U aux secotjds iiiejnbres des formules (loo) qui ropi'éseiileut
rintegnile générale du système (cjy) î>ans seconds membres.
Quand on connaît un ou deux sysleines particuliers d'inlégrule.4
des équations (9*)), on peut abaisiser d'une ou deux uni lés Tordie
du sjslt^uie. Supposons d'abord «jue Ton connaisse un seul svs-
téïue d'intégrales (yij z^, W|), la fonction j\ nVHant pas nuTc. Le
chan<^emenl de fooctioas laconuues
J''=.>i'^i
Z, u = Ut\ -h U
conduil à un système linéaire de même forme qui doit admettre le
•système parlîculier d'iulé|L;ra1es Y ^^ 1, Z ^^ o, U == o. 11 faut pour
cela que les cocnicients de Y soient nuls dans ces nouvelles équa-
P lions. On lrou\e, enell'et, en fai^iant le calcul, que le nouveau sys-
tème est
i i ■" ^'
«106)
k
ht.
-^-
r\
- 0,
t„7.
-^-
c,V\
— 0,
b:i.
. _
Cît
— 4*.
I
/V
Si Ton remplaci?, dans les deux dernières équdlionSy ^ par >a
valeur déduite de la première, on obtient un système de deux
équations linéaires lU homogènes à deux inconnues Z et U. Ce
«système élaut iulégré^ ou aura ensuite Y par une quadrature.
Supposons encore i[ue roii connaisse ileux systèmes distincts
d'intégrales ( r» , ^^ "i,)> (rai 'j. ''.»}. Les trois ^léterminauts
Vs^i — ^a^if YKUi—yutxy :iiit.^ — Z2J(i ne pouvant être nuls à
la fuis, comme on vient de le montrer tout à !^ heure, snpposous
JU ^i — ^ij'j dillerenl de zéro. Lii transformation
j,Z.
Zi V -h ZfZ, u ^ //| Y -i «j Z -i- tî.
où \ , Z, U sont les noirvelles inconnues, conduit à un système
linéaire de même forme admellaul les deux systèmes particuliers
d'intégrales (Y, ^ u Z, = U, ^ 4>), {Y.= o, Zj=i, Vj-zo),
Les coefficients de Y et de Z duns les équations du nouveau sys-
3u
466
CilAPlTftK X\. — K^UATIOXS DtFFKIIEM IKLLLîï LlNÈAlHKî».
lùiue Joivonl tïnoc élre nuls, eL cv unir vertu système est de la
furjuc
coiiiriie «>ii le vihilie ui>ctiieiil. Il e>L rlair que ce syslêiue s^iiUèjîfe
par des (|uadraUïrfs^ la dcinieie équiilinu ne reiileniiatil »[iie U.
Les raison ueineiils qui [irécL'detiL â'étendeiil aux s v» le mes de //
ét|ua lions linéairetj à /i incoituues. Pour avoir l'inlegrale géuénile
d'un |>ared système sans seconds jnendjn's, il suflit de conrraUre
// s^ bleuies particuliers ifrnli'^riilrsT ionuiint un s\slcine luntla-
inenlal. Si Pou connaît p svsièânes distincts d'intégrales (//<C/i),
rinté^ralïuu se raniène à celle d'un s\^lènie de méuie rurtue
ii n — p ineonnues et a des (jiunJralures. En lin l'intégrale géut'-
rale djin système avec seconds ineinbies soljlieiU par des quadrii-
Lnros quand oji eiiiiniiil l'intégrale générale du uiéuni .système
sans secontls ni timbres.
414. Systèmes linéaires à coeiÛcients constants, — Si tous les
coefiicîonïs a, fj, r,
u<^;)
El
lir
titf
des ér|naUons
-t- tt y -i- hz -II- en — n.
âuul consLanLs, on [lent ulUenir FinLéjjrale générale [»ar la résol
lion d'nne éi|uation algébrique, (jherclïuiss, en ellel, à sah^l'aire
à ces équations eu |*rerninl |ionr j', z^ H des expression!» de la
lurni e
< io8>
Y = %e'
^—*^e*''', ff = Yr'--*^,
I
a. ^, •', /' étant dus païamèlres à dëtermioer. En substiluaiit ces
i'onctious à la place de r, :;, ;/, dans les premiers luenibres de*
éqna lions (107), et supprimant le facteur euuinuiu t''^, on trouve
brs conditions
Ouij)
l
— SYSTÈMES D'ÉQCATIO^iS LINÉAIRE*** i^i?
(lui devroiit tire vë ri liées [iiir des viilctirs tie 3t^ P» V» *i*^" loiites
nulles. Il faut et il sufïil pour tu' la qtic r soit raciJie de réqualloti
il II iroisif'MU» ilegrr
a -^ I ù c
Liu équation carficftlrisfif/ne. Avant pris pour r une lacin*: de
celle é*jualioii, les relations (log) sont eonijKitiljles el Tou [>eul
en dtnltiiiH' .des valeurs de a, }ij y, doul Tune au moins n'eisl pas
oulle. A toute racine de F^qualion F (/■) = o correspond d<jn(: un sys-
tème parliculier d*inl('grales de la loriue (jo8); il peut inéiue y en
avoir [dusieurs, eouinie nous allons le voir loul à riieure. Si Téqua-
lioii caraclérîstique a trois racines dislincles /",, /•>, /;,, eliacuiie
d'elles fournil un système |nirticuHer d'intégrales. Ces trois sys-
tèmes sont distiricls^ car, s^il n va élait pas ntnsij un en détluircât
que ^''•^ est iMie inudonaison linéaire à €oeflicients con^tanls de f''"i^
el de e'"*'*', ce i|ui est absurde. On [ïetii doue, dans ce cas, idjtenir
rinléj^rale générale du s > blé me ('O") si l'on a résolu Féipia-
lion F(r)= o. lle»te à li-ailer le cas où Téquation cai'actéri>lii|ue
a une racijic multiple. Dési^tjOfïs par/(/'}, ?(/'), ^(f) les troié
mineurs ilu premier urdjc du délenninant caraclérisli<]ue^ cor-
ies[ioj«danl au\ éléuïenls d'une même tigne, par exemple de lapre*
Miiçre. Oji salislait luujuurs aii\ deux dernières équations ( 1 09),
f|uel que soit /\ en prenant pour a, p^ v des quantités proportion-
^ iielies à ces mineurs; si r est racine de F(/') ^^ o, ces valeurs de x,
If ^fi^ ^ salisfonl aussi à ta [U'emiùre des é(pia lions (tO(/). It x-u lésulle
nue, si /'est riu-ine de Fi /' 1 = u, les fonctions
rorinenl un système particulier d'intégrales. Cela posé, admettons
d'abord (|ue Féqualion F(r)^o ait deux racines très voisines /',
et r;i ; cliacune d'elles fournit un système d'intégrales, el les fonc-
B lions
sont aussi des Intégrales. Imaginons maintenant que / j tende
vers Ti ; en passant k la limite, nous en concluons que, si r^ est
I
EQUATIONS OlFKl^HIlMttLLKï^ LINHURES.
jf68 i;ilAIMlltK \\.
racine double de F(/") == o, les deux groupes de fonctioiis
(i>
■-f(ri)t
o >i1e'"
(") /i=57.l/('-J^''-]r n. zt^
^[?(-K^
"î^ j^AMn'i'^l
forment deux svslriues iriiUrgrules. On dt'moiilre cJe la mèan^
façon (voir ii" fOi) ffue, ^i iVquaLÎon F(r) = o admet ta mcin'
triple /'i, on jieiiL ajouler aux il eux groupes précédents le groupe
des trots fonctions
0^
-^=^;)7il?''^^^""^l'-.' "^^"^.['i'^''»'?'"''!'-
qui ibrnicut uu tioï.sième systriuc d'iritr^iules.
Cela pnsi}, cousidcrous d'iiljonl le ci\s ou IV^(| nation F(^r)=Oii
unerat:ine double /'i et nue niciue siiuple /%. Si la racine doulileri
n'annule pas tous les mineur:? du premier ordre i\u delrruiitimii
caraclérislique, nous pouvons 5ii|ip<)ser rjue Tnn au mornsd*^
mineurs y(r, ), '^(/i), '^(''i) nVst pas uirL car on peut évidcni-
ment remplacer dans le raisonnemeut 4pjî précède la nreuiièi*'
ligne par la seconde on la Iroisirme. Supposons par evemji!»'
^'(r()^'o. Les deux systèmes d'intégrales (I) et (II) sont di^'
tinets, car j^2 ^^^ ^ga' ati produit de e''-^ par un binôme du piv-
niier degré jr/"(/*i ) +y (/*, ). Quant a la racine ?iitnplc /.., ellt*
fournît un trui^^icme système d'iulé^rales qui, pour la luémeraisoir
c[uc [>lushaut, n*est pas uue combinaison linéaire de ces deux-là.
Le raisonnement esl en défaut si la racine double r^ anniilf
tous les mineurs dii premier ordre du Jélermiuant, car le sv?-
lème (1) se réduit à la solulion banale j^^ =^ 5,= ^^^ =3 o. Mat;»
dans ce cas les trois équations (109) se réduisent à une seule nuao*!
on y remplace /* par /,. Si [>ar exemple c u'est pas nul, elles h'
réduisent à la relation unique [a -\- f\) x -|- 6,'i -h CY ^ o, et Toiï
peut prendre arbitrairement les deux constantes a et p. Si IVn
prend dVmc part (x^ 1, j3 ^ c»), puis (3t= o, 3= j), on oblieal
deux systèmes disliucls d'intégrales de la forme (108), Une racine
double fie F(r) =^ o fournit donc toujours deux systèmes parti-
eu lie f 'S dis tin c ts d' in tégra les *
Supposons enfin que F(/) ^ o admette la racine triple 1 =r,.
Si cette racine /■, u'annule pas tous les mineurs du jucMu«^r ordr»*
IV. — SÏSTÊMES t>ï:gLATIONS LINÉAIIVKS. 4O9
du délermtnaol, nous pouvons adnieLUe par exemple cyic f{t\)
n'est pas nuL Les trois .systèmes particuliers d'inlégrales (I), (11),
(III) sont dtstîncls^ car les coenicienls de £?'*«*' dnns j^,, ;>'2r j'j sont
respectivement de de^^rés o, i , 'i en x,
I Lorsque la racine trî|>le ti annule tous les minenrâ du [>reïnicr
ordre du détermiaaolj uous pouvons d^ibord, comme on vient de
rex|}licpier à propos de la racine dotible, dcHerminer deux sys-
tèmes diâlinets d'intégrales de la forme (n»8)^ et il suflit, potir
^voir rintégrale générale, de découvrir un troisième sjslènie qui
soîl dislîncl de ces deu\-lii. Si Ton développe les forniules (III),
il vient, puisf|ue/(/-,) — -^ (/-,) = 'l(ri) = o,
^l^x/Ur,)^ f\r^^l
e'"t^[2J-o'( rj^ -^'^^u\)i^
I ce systciïie d'intégrales est cerlainement distititt des Jeux pre-
iers, si Ton n'a pas à la foh/^(ri ) =: ?'(''t ) =^ ^^{f^i ) ^= o.
Donc nous pourrons obtenir de celle façon un nouveau sys-
tème ilioLégrales à moins que la racine triple fi n^anriule aussi
les dérivées de tous les mineurs du premier ordre. Or ceci ne peiil
voir lien, on le voit îjnnïédîalement, cpie si l'on a
h = c ^ ai — c, — tt* ^ 6« =^ o, a = £»j = c^ ^ — rj,
ri le système (hi^) se réduit à trois éi|ualions identiques
dr Hz
/■| ft =: tl.
dx '- ' dr ' ' ti
[ Dims ce cas, qtic I au j*cul considérer comme un cas limile«
les trois équations (ioç>) sont vérifiées identiquement quand on
remplace /• par ri dans les formules (io8), f[nelles que soient les
aleurs des paramètres a, [i, y. En résumé, à une racine triple
'e V équation ra racler islif/f te correspondent toujours trois
s y s tèiit es /^ a ri ic t / Hei 's dis ( in r t s d 'inl eg f a les .
Généra Usai ion. — Uu iniègri- «le même un système de n cquaiîon*»
Jiaéaircà à coefJtcicnls oonâtants
dn
^tw^T'/i — Ot
-y-p -^«/llX|-^'*>'*7S-^"*-^ «/l«J«= «T
4^0 rHAriTRIC XX. — KQUATFOXS lïiFfr KHKNTIEI.LK^ LINÉAIRES
en clieri liant ile*^ systrmr* jiaii ïrLil(i_*rs frîiiU'gralrs iir la fottiic
ai^OLf^ , . ., %,f, r étant dt** crtefficit^nH i-*ui<lnnis à fii^ierinhior. Ou e«^t flinsn
conduit à /i f'^quali^ins de rnndîtirin
<m3)
f •
d*oii Von di'«liiil pour l*iiirouniit' r réi[iiaiion turactêrisliquc
(ii4)
P(r)-
a^i-^r 17,5
Si celle ri^inilioji a h racines disUncles r^^ /-j, ,. ., r^, on ohlienl par
pelle métliodo n systèmes particuliers d'intéf^'rales de la forme (irji)(
par suite, rinlégrale fjénéralel Lorf^qnll y a des racines niuliipïe^, la diseuse
»ion est uti peu plus comjdi^uce. ÏJoil r, une racine mnliiple d'ordre ^
Pour déduire de celte racine des sysiiènies [larticuliers d'inicgrales dlâ
équations (ni)» on peut procéder de deux fiicons. D'une part, en appH
quant la metliorfe de n'Aleniberl^ comme nous l'avons fail pour le ras <
l^roi* éqiiaîi*MjSj un peut faire correspondre à celte racine p «.ysièmes d'ia
légrales, qui ne seront distincts que si rj n'annule pas lou« les mineurs <
|»remier onhe. D'autre part, si r, annule tous les mineurs du déterinitianf
à n — 7 -+- 1 lignes, sans annuler tous les mineurs ii n — q lij'nes, nn peut
défluirc de cette racine q systèmes d'inlê*;rales de la forme (tri), car Ic^
n équations (iiî) se réduisent k n ^ q équations dislinclefi quand on s
rem|ïlaee r parr|. En eombinant ces deu\ mélhodes^ on dcruontre quVlle^
(burnisscnt toujours p systèmes distincts dlnlégrales.
Pratiquement^ on peut obtenir tous ces systèmes d^iniégrales par un
calcul iridentificalîon. En elTet. en les combinant^ on ob lient un systemi^
il'intég raies dependiint de p constantes arbitraires, qui est de la for«i«'
y^ = ery^^.ijT), y^^e''^^\\{x\.
j'^=e'-*-rp«(j'K
Pi, Pj, ..., P^, étant des polynômes de degré /> — i ou de de;^*rc inférieur.
Si on laisse iniléterminés les coefficients de ces jioly nomes, el qu'on sub-
stitue dijMs les équsïiions proposées, on obtiendra un certain nombre èr
Fclalions entre ces coefficients qui permettront de les exprimer tous «u
moyen de/» d'entre eux restant arbitraires.
He/natfjne. ^ La discussion du fvsténie (iif) revient ait fond k une
question déjà traitée (n"" -ilJS)» comme nous allons le montrer rapidement.
IV. — SVîrTKMKî^ IMvOi; \T10.\S IJNKAItllvS.
Ecrivons ce «yslènic ^on^ lu formtî un [jeu dilTérente
(i U ùis\
I ;;.:
Vn - f*fi\JU-'r- «wtj'î
yi élan! mh à la pbec de ~j-^* S" 1'*^^* pi en il n inconnue? V'j, Y,. ., ., Y„^
qui soient ik^ fonctions linéaires à coefficients constant*; ile^'i^X^'
(ijV) \i= b^yi-^.. .^f/i,,r,t il— 1,1, n).
» J^«»
les 6/jt étant ilc> constante^î Jont le tlétei iniit<inL est (liiïcrent ûc zcrot le
sysiémc (mi ùi's) est remplacé par un système Je même forme
I
Yi = Ait ^ I — Atî Y* - — t- Af„ Y,,.
que l'on ftluîeudiii en remplaçant dan*? i"e\ pression tie Y-
Vi-6^,jl
■«i^^>m)-
r,rrt)i
roneii^nis )'|,j^,^ . . , , j'^ par leurs valeurs tiiée?^ ties formuler (ii5).
Or, î*l l'on eonsidérait les formules h ri tis\ comme iléfinissant nue suh-
*litulion linéaire eiïectuétî «varies variable^i Vi, r^. ..**J^«, et Y(, Yj, ...,
Yrt comme n nouvel les variHlde**, les calcnls précédents sont préei sè-
ment ccuv (ju'il faudrait elfectuer pour trouver la nouvelle substitution
linéaire sur les variables ^^^ Yj, . .., Y,|, f]ui correspond à la substilulioR
linéaire ( i 1 1 ùis i. Or nous avons vu (piVu cîioi!<i<sanl convenablement les
variables Y| (n*'44)8) on peut rament^r Ittale substitution linéaire à une
forme canonique simple ( ' )» Dans cette forme canonique, les variables se
partagent en un certain nombre de groupes distincts, la substitution que
«obî^sent les ^ variables Y^, Y*. ..,, Y^^ d*un même groupe étant de bi
fbrme
(117) y; ^ jY,, y, = m y, -h Yj) y;,^ j(YV,-i- Y,,).
On peut donc toujours, par un cliangeuicuL d'inconnCrcs convenable tie la
I * } (hi n àiippoaé pluâ liîiut que le délermiaanL Je lu substitution n'était pas
i»tit, tandis que le ilélcrmia^nt formé par lei^ rucffirients nj peut être nuL Atais
ftî Ton change y. en e^Zf^ les coeïficicnls /7,,» fi,,, ..,, n^^ sont diminués de X,
landis qac les a^^^ où i ^- X', ne cUan^eat pav. On peat donr toujours choisir X
de faeon que ïe déterminaat des nouveaux coefficiciils soit différent de zrro.
47»
r:iiAi>iTRK x%»
HOUATIONS DIFFEREXTIRLLES UM-UIREfï.
fiirnir (i I j), rtinirncr rinlégralion «lu système (i 1 1 bis) a rinlégratton d^uo
riTiaiiï nombre de systèmes parliculiers de la forme (117), où Y^ — - — -
Llnlégratîon de* ce système n'olTre miruiie diffi^idié* On en di-duii
effet, de proclie en procLe,
el ;iîn*iî de *iyiK'.
115. Équation de Jacobi. — Reprenons 11 û syslrme de iroi^
ï'(|ualiors liii€aire?i h f ocfticients coiislanls, que nous écrirons
(118)
/ désignant la variable indi'pentlaiilc. Ajuulons ces lroi> é(|ua-
tions, après les avoir multipliées respeclivemenl parj^e/^ — ^^V*
z f}x — X dz^ X dy — v de ; la relation obtenue
i( rt jr H- by '^C2){y dz — z dy )
-h (rti X -^ ù\y H- Cj «)(; dT — .r f/s )
H- ( «s a" -h 6* K -h Ct « )( JTf/r — ^v r/jf ) — a
e^t homogène eu x, j*, r, et peut par cousét|uenL être remplacée
[ïar uue relation entre ^ et ^^ Si fun pose en ellel .r^^X*,
^^Y^j ceUc relation devient, en divisant par z^^
i Ï1.Q\
— (a \ + A Y -^ e) rfY -4- (fli X -h 6, Y 4- 1?, ) ^/X
el nous retrouvons Féquatlon de Jucobi (n" 368).
Soient X ^,/(t), yi=^^{t)y z^=*^{t) un système d'intégrales
des équations (118). l^orsque / varie, le poiol dont les coor-
données homogènes sont jr", y, z (el dont les coordonnées carté-
siennes sont por conséquent X = -» \ = *{ Ji décrîl une courbr
plane T qui est, diaprés ce calcul, trne courbe intégrale de Téqui*
lion de Jiicnlii (120). L*intég;ralion de Téquation de J.icol»! se
ramène doue u Tintégration du syslènie (m8), c'est-à-dire à la
^ résolution d'une équaliuii du 3*^ degré, comme oo Ta déjà leconnii
(rune autre façon (n" 368).
ft c^t facile d'en tît-duiie la ftirme dti l'inlégnilc ^.'lunalc. ConsirlL*i-oii*i
(Vabord le ca? f^énéral où I equalion caraclérisiîque a trr>is racines tliî^tîijclcs
'"ir rj, rt, et soîi
(121)
T - Caie'-.'^Csa,^^' -^Ca^a^' ',
. r ^ C 1 3, ^^' + Cj 3* <"^.' -r- Cl 3, ^''^',
l'intégrale générale du système (ni*), Cj. (ij, C,t étant dc^ eori'^innte'^ arhi-
traircs. On |jcul encore rcrin? res foiniulo, t-n ïcj> résolvaiH par ra|iport
à C,l•^^ G^ff''.', Ctp'*/.
:- G,
i} z= Ce'-J,
U = Cj *•'-.',
i\ Q, R éiant troi** fondions liiu-aircs et homogènes en j*, j\ z. On i n
I d/'doît aisément une combioaî^on Jiomogénc el de degré zéro^ ne renfei -
niant plus la variable /,
.(iaa)
T', r,0', '•, K^. '-. - K:
I
i crtlc Tnimule représente Tiiïtégrale générale, en coordonnées homogènest
de réqiiation de Jaeobi (M^
Considéfous encore le cas où réqualion raraeléristiqne admet une racine
[ifoubleri, n'annulant pa<^ tou«i les mineurs du premier ordre, et une racine
fjiipie /'.. L"iTilé;;rale j^énéiale du système (rt8)esi, d'après ee qu'on a vu
ipfus baut^ de la forme
j = (Cj H- G,/ )7, ^'i' -4- CiYt-?''' -^- CiYi'"''' ;
Tre encore
r. Q, ïi ctanl trois formes linéaires en jr, j', ^, et par suite
<i C,' Q g/
Il suTHra d éliminer / pour avoir une combinaison bomogcne de flej^ré
i^éro. On traiterail de même les autres cas particuliers.
(*f Voir un impur la nt !^lcnioire de M. Darboux Sur les équation.^ dijféren-
iirtUê algébriques du premier ordre et du premier degré {Hulletin dtfs
Sciences mathématiques, 1878).
474 CII%PIT«E X\. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINEAIRES.
EXERCICB8.
1. Intégrer les équations linéaires
^iiv) — •^y"^ y — Ac-^-h B«-'-+- C sin T -4- D cosa?, y^^^-^ y ~ J*»
y — y-^y — y = '-^'^ — 4 cosar,
y'"— 3^-4- '?.y = (ax -h b)e^-^ re-*-^,
x^y"* — f^xy' -h ç^y = I -^ 2X -H 3 X* Lofç x,
x^y" — '^^xy' -+- -2^ = r^-\- px -^ q^
T^y"' — ^x-y-h 'jxy' — Sy = ar^ — -xx^
x^y" — Zxy' -^ .\ V = x^-ir- l ' »
^*y"' — 9''^' "^ ^7'^y — ^^y = ^* [<«-+- ^ \a>^x -h c(Logx)*].
2. Intégrer les systèmes d'équations linéaires
rfy rfz dz ftx ffx rfy
^ ^ dt tU dt dt •' dt dt
d^x d* V
<P) -^ -+- )jr-f-^ = COS9./, TTTT ~ "^ "^ '^^^ = ^'
, d*y . </y </i
1 d.r^ dx d.r ^
/fj^'* </j: dx
, > , <^^ dy dz
^ ^ dt ^ dt dt
\ dx ^ dx -^
f -r- 3 r — 1 4 -3 —()/« — c).
3. Trouver l'intégrale générale de l'équation
sachant que l'équation sans second membre admet une intégrale parliru
lière de la forme e"'-', m étant un coefficient constant.
\ Licence : Caen, 1881]
KXgnctciss.
4* Dcnioritrr?!' qtit» IVqnaliûn difTt^renliellc
où n est un nombre en lier positif» admel }inur [iTtt'i;ialt* lui polynôme V(t),
Km ih^ilûîre rju*? la mi>m<* équation admet mie seconde inlêgrale
ru,(J^).Q.
OÙ Q esl ausfi un polynôme*
\/JceHCf : Pijri<, 1H90.]
5. f/éqiiation dlJTerentielle linéaire
J'y' — C^ -T- jA H- V ) r' -+- [xr -T M,
*>ù fjL et '^ sont deux noinljrei* entiers posîlîf!^, «dm et pour înU'-j^rale un
pdynome j-'i — P{j'). En déduire quVIIc iidm»H «ne seconde inicjjralo
»^j^ e^Q(x), 011 Q(.r) est a 0*5 si un polynôme.
I fjrt>rice : Paris» igol.]
0. On dernnnde In condition nécessaire et jiufnsanle pour que i'cquatîoii
linéaire y'-^ py*-^ qy ~ o admette deu\ inréj^rales dislinctes yi^ytt lices
par la relation j'iVj ^ 1. En supposant que Ton iiit p — — -^ on dennande
«le Irauver le coeflleienl 7, et l 'intégra le généra ïe.
I Lire/ire : Paris, rfjoA,]
7. Déduire la formule (a3) ilc la paj^e 4'^* i^e la f<u'niule (it) qui donne
l'ctpression du déterminant Af/n Ji. .*•, Jn).
8. Etant lionne un système de tt équations linéaires à coeffîcienl*
quelconques
— -V- «/, Kl -+- «/ijf -^ . -H €ti,ty„ = 0 ( t = 1 , 2. . * . , /i ),
^Ic déterminant 1 formé a%'ee n ^ystèuies diiiléj^ral^s n poiu' expression
\--Ce »^-.
ir. LV'qiiati^io de lîes*ieî
;r/' -+- îi ( m -<- I )y' -^ ry — o
l«dmet pour intéfi^rale particuMére la foneiion repré-^eiihe par riiiiéf^nale
[drJînie
I
yy= j { { — z-)"^ COSJ^^ //«,
47^) CIIVPITRB XX. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES.
pourvu que la partie réelle de m soit supérieure à — i. Lorsque m est un
nombre entier positif, cette intégrale est de la forme {voir T. 1, p. 281)
2.4-^). . . 2m(U sinx-+- V cost),
L' et V étant des polynômes en - dont tous les coefficients sont de«
nombres entiers, et l'intégrale générale est
V = C(U sinjr -h Vcosx) — C'( V sinar — U cosj?).
[Hermite.]
iO*. Soient ^ = oC:r, a, b), 5=i!;(x, a, b) les formules qui donnent
rintégrale générale d'un système d'équations différentielles
dr „ dz .
Les fi^rmules Vi = Ci ~ -4- G» -]* > -si = Ci --^ H- G* -^ représentent lin-
•^ * da ^ oh ^ ^ âa ^ ôb ^
légrale générale du système linéaire
Hy^ ôV ù? dzi d* <«>
où l'on suppose y tl z remplacés par ©(a?, a, b) et ^(a?, «, A), Ifs con-
stantes a tl b ayant reçu des valeurs numériques quelconques aprè> la
différentiation.
il. l/intégration du système d'équations linéaires
(ly , dz ,
— ^. (ty -h bz — t>, — hrt|V-HOi3 — o.
dx -^ dx -^
où a, 6, a,, bi sont des fonctions quelconques de x, se ramène, en posant
y =z tZy à l'intégration de l'équation de Riccati
df ,
-^ h b -r-(a — bi)i — ait^ = o
vl au calcul de / {a -^bi)dx. ( foir la note de la page 4^5.)
12. Le rapport z de deux intégrales distinctes de l'équation linéaire
r'-^ ry'-^gr = o
satisfait à l'équation différentielle du troisième ordre
mï'
'^Q-- zP'-P'
CHAPITRE XXI.
ÈQLIATIONS DÏPFÉaK>STlKLLKS NOX LINÉAIRES.
î. - VVLEURS INITIALES EXCEPTIONNELLES.
La tk'nionsLraLÎon par laf|iielle on a |)nnj\r l'tjxîstcnce des fani!-
liun< inli'f^riilrî^ (treriant tics valeurs initiales données sNp[m>o
cssenliellenienl que les seconds menilires du systènie d'érjuation?»
proposé sont lii>lofnorpli*?s Jauâ le voisin ag^e de ces valeurs iui-
Ijales (li** 383). Non s allons examiner, eu nous bornanl a nue
seule r-(|ualiun, quelques cas simples où celte condiliou u'esl [k*^
remplie.
il(j. Cas où le coefflcient diâTérentiel devlexit inûni.
dcrons une r*(]ualion du preniier ordre,
Consi-
»i)
I
on le Si coud nieniUre /"{jc, y) devieiil infini pour le couple iL*
valcnis X r-i x^^ y ^^ y^^ de telle faron que l'inverse
/<^'t y)
«ioil lioloniorplie dans le voisinage de ce sjslèine de valeurs, Noii;^
pouvons encore écrire TëquaLion précédente
(a)
en regardant >' comme la variable indépendante et x comme la
roncLion inconnue. Mais le second membre y i (x, j^) étant holo*
morphe par hypothèse pour x ^ x^^ y^^y^^^ le théorème de
' Caiicliy s'applique à Téquation (ii), il existe une intégrale, eî
, une seub^f qui lend vers x», lorsque j" tend vcrsj'oi ^^ cette inlé-
lie
*:iiipiiftK \\[
holc
^Tule esl halomtirplic clans li^ domaine du |inuU Ko» Le clévelop-
pemt!iileri st^ine enlière de .r-^-r^ suivant les puissances dey—y^i
comuieijce ((irrrnirriL |iai' un lernie (jui est an moins du secood
f/r
degré, |>ui<;que -j- ou/, (,r, j } est nul pour jr =^ a*o, r r== Vo [«an*
<|uiït y(jr, r) sérail iiussi iHiloniurplie]. SoiL
i î > jT — j-o ^ A;„ { j' — y^ )'« -f- A,,,^, t j — ju )'« ^» -+- . . . ( w J -1. A« ?t o )
ce développemeiiL; de la formule (A), on dcduÎL iuversenieiil un de*
I
veloppejiienLdt\r— i\, suivanL les pnissHiices de(j? — .r<i)*"(n''î}57)
M)
y^ = ai ( ./• — ,ry I " ^ ri 5 ( ^ -" jr^> )"* --
iUl J^O}l
tikjfiatifiti II) ffilififf tfofic encore tua' in tè ivraie, et un** sculr,
frïff/afit vers }\i i or s f pie x tc/tt/ vtTs jc^, cl le point .r„ est nn
p it in t criiiqu c 1 1 igèb / 'itj tt * " p otfr ce itc in (cg t a le \^ ),
417. Cas où le coefficient différentiel est indéterminé. ~ L*
rlîscussinn (Mimpliîlr Av tous le-. t:a-s un le çueflicuul diÛrrealiel
devreul indétcrinine est Iit-tinriMip (ïIus conï|>lif|uée. l*renoo>
d*ubord rf'(|Ufilion rïudiée par Biîol el Bouqnel(-\
( >) Tf— h y — tfiu r - *i4„^*H- «ti J^y H' «ot^=
.^o(x, ^').
un le sreniid meniLie esl bulumnrphe du us \c doiiiaioe du poinl
x:^y=^o^ el |>roj>osuns-uoir> de reclicjclier s'il existe une iiilé-
^rale iiolujiiorplie s'auuuhiiU iivee x, A cet ellrl, aubslîluouâ à U
[>lace de j', dans les denv uienibres de ré([natiua (5), une série
eutièi'O
uplTS la subsliluliuii. le coefficienl ile .r" dans le pieuiier ntenilire
<■) Eiï langage gcoiiitîUKpte, on |iciJt dire aussi que, par le point {J:^.,^,)**^
p'd9sc une coufbt iniéî^tuîe, et iiir- srule, ^it laquelle le point (jt,, r#)c*l m»
point (iiitiniiiic. Pt la Lansjfiile i»fi te pniiit esL lu dmile x = j-^. L'énuncé d»
liiéoréiiie suppose ijue la lonrlion f^{x.y) ne s'annule pas pour x ^ :r„ 4«fl
que SiiiLjK; diju> re rus, en ellVt, Tinlégrale de réqnation (i) qui prend la ^*kur
^p pour K— .>'o ri*i rêduil â je — j^^, el Tiiquatiurt (i) n'admel pan d'îoies,nle
lendânL vers r^ lorsque j: icn<l ^cr^ j„.
(') Journal de rt'cole Poiytechftique, t. X\l» i85»ï.
I
— VALKL'RS rXlTIALKS EXCEPTIONS ELLEiî. 4 71)
est (/i — ù)Cfi, laiidis fjiie le coefficieiil de x" diins le second
iiieviitMe esl un polynôme
dont tons les coeffujenls sont des nondjrfes entiers posliifs. et qiiî
i»e renferoie que les euenirienLs C|, . . , , cv,_< , et les coefileieiilS€i/A«
Oii obtient donc pour déleniiiner de proclie en [>n>clïc les eoefli-
cieots de la sêi'ie (6) une rehilioii de réeiirrenee
l7) {n — ù\ c« r^ r,| ( a ,a, rf «,j, .... rto,i ; ^i , t^, t?„_i ) {n =
t
■ qiiî jîerniel de cidciiler suecessivemeiiL tous ces cueflicients,
l/»o^/%7/ qtie ù ne soit /mis éi^ai à ttn nombre entier positif.
■tca rions d'abord iX'Ue livpolhese; la relîiLion (^) noii*% donne
b
C| =
^h
''a —
el il in si de suite. Lu sonin»e de la série ((i) représente certaine-
nient une intégrale de Inéquation (5) s'annulant avec .r, pourvu
^4] ne celle sérî*' entière ail mette un ni von de eonvergetjce difTérent
Hde zéro. Eu ellet, les o[iératious par lesquelles nous avons déler-
Biiiiiié lescoeflicienls de celte série sont alors légitimes (1, n" I8<î).
H Pour démontrer bi ci>nver^ei»ce de celte série, observons d^ahiud
"^quu, lorsque l'on donne a n toutes les valeurs entièies i, -j, . . .,
I jusqu'à riniijii, la IVacliui» -^^* <pi' >"** peut devenvi; iidinie, leud
!.vet^ zéro. Le module de cette fracliou a donc un certain maiii-
lit
luiii n» ^t l*t*i* "'^ tpiel <|ue Sdil le nombre entier /f,
iail d'autre part
^{j-. Y) = A,o.r-4- Ato.rJ-- Au-^V ^ A^^Y*^. ..-^- A/a./^Y*^.. .
iUïV fonction inajoianle pour '^(^, >'), ne présenlarït pas de terme
cousiaui ni de terme en V; on peut [>rendre, par exemple, une
roactioti de la lorme
i^is tl D*eât pas nécessaire de préciser davaiila^'e pour la suite dii
M
-—. -^ M _ M
i@o
ciiapithe x\u
EQUATIONS DIPPERENTlKLLbS NON LINEAIIIES.
faîsofinemeiil. L^én nation an biliaire
(8)
BY = *( r, V)
léral
h
cKJnieL, d'apr^'Â le théon^me général sur les Jonclions Hn|jlic
(l, u" 187), une racine holomorplie s'anrmlaal avec x* Soil
Iles
{\})
Y = C,,r^ C,J"î
.-H C«x'*H-
le développemenl en série entière de celle racine. Pour cal eu In
les coefiicients C,, on peut subsiiluer à la place de \ ce dévclap-
pemeul dans les deo\ membres de la relation (8), ce qui Iburnii
la relation ile récurrence
(10)
■*«^^Aiut Ajo, .»», Ao/i ; L|, Lj, ♦.., G^^i ),
l*«élant le polvnouic qui ligure dans la relalîon (7), 011 l'on aurait
leniplacé tftf, [>;ir A/jt et Cf par C/.
Mais on a^ diaprés la l'a(;on inéme dont on a clioîsî la coiK
étante B el la fonction *P(Xj Y), les înégalile^
IflM'UA/A,
lH — b\' \i
Il sVnsuil que si Ton a
un aura aussi |C/,)<;Cfl, puisque tous les coenicienU du poU-
iionie Vft sont des nombres entiers positifs! Or. on a |a,t,|^A|a.
cl, par suite, ]C| | <C C| ; en raisonnant de proche en proche, on en
conclut que la série (9) est majorcinte poiu' la série (6) : celle-»:!
est donc convergente dans le Jornaîne de l'origine. En résumr,
for.sqtie le eoeffteienl b de y clans t équation (5) tiest pas égal
à un nombre, en lier positif, cette équation admet une intégrai
h o iomo / '/> fi e, et u n e s e u le , s' an nu la n £ a v^e ex, /^
Pour aclicver l'étude de*» intégrales holotiior|jlies s'aunulanl avec jJI
faut encore examiner le cas où b est égat n un nombre entier |)ositîf. Sup-
|ïosoiis trabord ù = \ ; la première des relaiions (7) se réduit à «»« = •*.
Si an, n'est pas nul^ U ny a donc [mïs d'intégrale holomorphc têpondani'
ta question. Si «nj est nul, en posiint j' = X*r, uii est conduit à une cqu»-
fmn
Ui)
V —<^{J-^ ).) = rttû-h ftii), -h €toi).*-
la fonrlion ^(jr^h) étant Ijolomorpht' pourvu que l'on ait \jp\ < /% |), | < A,
/' et A étant deux nombres pasilîfs eouveoaljlement olioists» Or cette é<ïii*»-
lion (il) admet une infinité d'intégrales hotomorphes dans le domaine de
l'on gi ne, car on peut choisir arbïtrj ire ment la valeur Iq de X pour t = u,
(»ourvu que l'on uit |Xo| < A, Dans c€ cas, l'équation (5) admet donc une
iîiGnité d*intêgrales holomorplies s'anntilant avec x*
Lorsque b est égal à un nombre entier plus grand que Tunîte, le coef-
licteni de ^ dans le développeuit^nt d^jne intégrale Ijulomorjdie s'annulani
pour ir = o doit élrc égal à "- ~. t et la transformation j' — — ~
I
X -+- Xj
conduit à une équation de même forme, où !e coeftieîent de X est égal
à I — 6,
j^X ' — iù — I t X ^ a j <, j* -+- if j jj jr*
I A .r -4- .
par une ^uite de transformations analogues, on sera d^oïc ramené au cas
ijui vient dVHre traité. Par conséquent, lorsque le coefficient b est é^aï à
un nombre entier posîtif» réqualion (:V) n'admet aucune intégrale liolo-
irior|die s'annulant avec x, ou elle en admet une infinité.
Briot cl Bouquet ont rechercbé aussi s'il e^istait des intêgiales non
holoiiioi plies tendant vers zéro axec 3^ el déuïonlré que Téquation (j}
Mdmet une infinité d'intégrales de celle espèce^ lorsque la partie réelle
de ù est positive. On peut établir aisénteut ce théorème au raojen de la
méthode des approitimations successives, ^ous remarquerons d'abord que.
*î la partie réelle de ù est positive» on peut, sans dimiiïuer la généralité,
"Upposer cette partie réelle ^(ù) ^ \ . Si en eiïet on fait le cbangemenl
de %ariable j*^:*'", n étant un nombre entier positif, l'équation (5) €<[
remplacée par une équation de mênje forme où ù est remplie ce par nh.
Nous admi^ttrons donc que Ton a ^(6) > i, et que b n'est pas un nombn*
entier. L'équation {5} admet, comme on vient de le démontrer^ une inté-
grale boloniorpbc yi, nulle pour x = o, et en posant y == j'i+ n l'équa-
lion (5/ devient
xti' — bit — ^ ( T, Yi -h u) — o(-i', y\ ) = u *\(*^i ff h
f.a fonction tp(j^ j ) ne renfermant pas de terme en >% la foneiion >^(.î:, it )
iic renfermera pas de terme constant, et Von peut encore écrire réquatîoii
précédente
arn'— btf = rt\^j: -i- fi f/ -^ . . , ].
Posons encore y —- lx^\ en désignanl par X la nouvelle fonction inconnue;
réqualion prend b foi- me
(la)
a' = X[i^ ^SX.r'^-ï -+-,..] = F(X, X, xf'-i),
F désignant une série enliére par rapport ay\ trois variables X^ ^', x^K
Dans le plan de la variable x menons par l'orij^ine deux demi-droites
irargumenis m^ et (kJ|( tyo< ^^i < **Ju-^ 'i~) <îl considérons le secteur circu-
laire A limité par ces deux droites et un arc de cercle de ra)on r décrit
de l'origitie pour centre. Lorsque x reste à l'intérieur de A et que d'autre
Liart |Xj reste înférieui a an nombre positif /, la fonction F(X, x^ .W'-i )
IL ^i
4^2
CHAPtTRE XXI. — EQUATIONS DlFFKREXTlKLLtS XON UNEAIAES.
est holomorplic ( ^ ), pourvu que le^ deux immbiei^ r cl / soient assez peliu.
Joignons rcirîgine à un poini, quelconque jr du î^ccteur A par un segment
(le ligne droite, et imaginons qu'on prenne pour valeur inin'ale de 1 uni-
valeur arbitraire Xo, de module tnféricur à L On peut appliquer à l'cqua-
lion(i2)fa méthode de?* approximations successives ( n" 390), qui consislt-
à prendre successivement les intc<;rale*
et d*une manière générale
À, = X,H. /
MA,, j-, ar^
f F(A„-,, ^, jr''-»)£/x,
Coules ces inlég raies étant prises suivant la li^^ne droite. Les li^polhéîes
fondaineniales pour la validité de la démonslratîon sont encore réalisées
ici^ toutes les fonctions Xi(^), )t(^)t ••** sont holomorphcs dans h^
secteur A, et la fonction X/g(x) tend vers une limite Al j*) pourvu q»ic le
rayon /■ ail été jiris assez petit. L'équation (ri) admet donc une inl^^gral*.-
Iioloinorphe dans le secteur A tendant vers la valeur Ào lorsque jr lcn<l
vers zéro, et par suite Téquation (5) admet une intinité d'intégrales non
holomorplies dans le voisinage de Torigine, tendant vers zéro lorsque k
point X se rapproche île l origine^ et ilépendant d'un parauiélre arbi-
traire X«; ce qui dénfconiie le ibéorénie de Uriot et Bouquet.
La condition que la paiiîe réelle de h — i soit positive est essentielle;
eu eiïel, lorsque j* se nipprocUe de l'origine en restant dans le secteur A,
Sun argument reste compris entre t»>,^ et (*jj, et son inoiiule lend vers zéro.
Soil ^ — pe'***, 6 — 1 ^ |j. -h vi"; on a
(tî)
j'f* ^ ^ g')i-|-vtHll»^p'^/l») =r ^p:Jiifp-viit|^i'(vlo|^+(ll(i>|
et lorsque p tend vers zéro, tu restant compris entre les deux limites («•
et tiàit ptlogp — vta augmente indéfiniment en valeur absolue en restant
uégaiif, et le module de x^-' tend vers zéro. On voit au contraire que, *i
la pariie eéclle de à — i est négative^ le module de j.**'* augurcnle indffi-
itiment lorsque t tend vers zéro en restant dans le secteur A. La fonc-
tion F(X| Tj x*^^) n'est pas continue à Torigine, et la démonstration pré-
cédente ne s'applique ]dus.
D'après Briot et Bouquet^ lorsque la jiartie réelle de b e*t ur^j;ativc,
l'équation ('>} n'admet pas d'autre inié;;rale que l'intégrale bolomorpbc
s'annulant pour x ^ o. Mais leur démonstration, qui est iréâ analogue ^
( ^ } Lorsque x tend vers rorigjae en restant dans le secteur A, bi dérivée de U
fijnctjon l" par rapport à :r peut dcveoir iuQuie si la partie réelle de 6 — j est
négative^ mai* celte dérivée ne figure pas duos la méthode des approxituatiûHi
successives»
celle de la nule de la page 35^, suppose que la variable ^ teud vers 1 origine
suivant un chemin de longueur finie, avee une tangente déterminée à l'ori-
gine, et la couclusiun a bcsuin d*ètre preeisée. Pour donner une iilce de
la diffrculté de la tjuu^tion, considémn^i la fonclioii j^^ en supposant que
la parlic réelle jjl de Z? est ni\£r(tii\'e tandis que le toefficient v de i est
différent de zéro; le module de jr* est t^gal à eM^^^fp"^^, Si nous faisons
décrire à la variable x une courbe se rapprochant indénniment de Torigine,
{îlogp tend bien vers -h «t «nais §i Ton fait croître en même temps TariSfu*
ment *u en valeur absolue de telle façon que la diiri'rence |z logp — vui soit
négative et croisse indélinimcnt en valeur absolue, le module de x^* tendra
vers jfcero eu même temps que \jc\. Si v > o, il suflîra de faire décrire par
ei^emple à la variable x la ^pirate logarithmique a^ant pour équa-
l lion p = e*l^^ car nous avons alors jjr*| = e * , et lorsque l'argument ii>
tend vers -h oc, |^j ^ o et |:ï'^| tendent eu même temps vers zéro.
Lorsque la partie réelle de ù est në^'alive, sans que la partie réelle
de -. soit umIIct il lêsultedes recli**rches de MM. Picard et Puincaré sur ce
I
I itijet que Téqualiun (5) admet une infinité d'intégrales non holomorphcB,
dépendant d'une t-onstiiiitt' arbitraire, et teudant vers zéro lorsque l'on
fait décrire à la varia Idc x un clie ni in tel que le précédent le long
duquel \jt^\ tend vers zcr*j* La contradiction entre ce résultat et le théo-
rème énoncé par Briot et lîouquet n'est qu'apparente, puisqu'on se jdace
dans les deux cas dans des conditions* tout à fait diffère ni es. Bemarquons
en particulier que, kusque la variable j* ne prend que des valeurs réelles,
elle ne peut tourner une inlinîtéde fois autour de Toriglne, et par suite û
oy a pas d'autre intégrale que rintégralf bolomorpbe tendant vet^s zéro
avec je si la partie réelle de à est négative.
Les résultats de celte discussion sont faciles à vénTrer sur l'cquation
4- G-^^
élémentaire jy' = ajr -r- by, dont l'intégrale ;;énéiak» est^' =
si 6 — I n'est |)as nuit et r = ^ X LogJ* -^ Cx, i>\ b — [,
*118- Nous duinierotis ïieuleiiieiiL qiielt|ties iadicatioos sur le
cas général d'uoe équation de la forme
tiy ^ ax -^ hy
d? ~ ^
^b
%d,ry -H € y^^~
Y
X'
a X -r- b' y -1- c* j'^ -v à d'j^y h- e'y^ -i- . . .
\ et Y étant des séries entières convergentes Uni que Ton a
[Nous supposons, ce qui tie reslreitit pas la généralité, que ^
devient indéterntiné pour le système de valeurs a: ^=y^o. Pu-
Hi^lATlO.NS lïU'FiiRENTIELLES XOX LIXÉAIIIES.
484 CIIAPITJVE X\l.
sons dans celte équation j* :=: r.r; elle devieiiL
(i5)
El
sf(a -k- h' V) -
TOi X, *' J
Er4/(^, I';
ç(jr, p) et '\{x^ r) rUiU dt'iix siViies enlières qui sonl couver
gentes pourvu que Toii «iL à la lois | j:| <; /•, |t*jr]'<; t\ Si Téqua-
Lion (t4) admet \u\^ intégrale liolomorplie s*annulant avec jr, le
coefficient de x dans le drvcloppenienL de celte
nécessairement nicine de F^quatiou
ntégrale esl_
(t6)
a -\- bv — r ( a h- h ' r ) :
puisque le premier membre de Fi-qualion (j j) est nul pourx:
Soit r, une racine de TéquRtioD (r6). Si nous posons v ^^ i\ -
les deux fondions
sont encore régulières dans le voisinage des valeurs x ^^ n^ u ^^ o»
et Téquation (i3) est remplacée par une équation de la furjiie
déjà éludiée
(17) j:^ = A«-^Bj*-k.,.,
pourvu que i» n'annule pas «'-h ^'r* Comme Téquation (16
en général, du second degré, ou voîl que l'on peut ramener
réqualiou (1 {) à la forme (5) de deux façons ditrérenles el, par
suite» qu*il y a eu général deux înlégrales holomorphes et deux
seulement s^annulaut pour jr rr: o. Mais ces cooclusions ne s*ap-
pliquent qu'aux ci reo us lances les plus générales où les coeffi-
cients eï, bj cf\ 1/ ne saUsfonlà aucune relation pariiculiére.
La recherche générale des intégrales, hotoraorphes ou non, de
Téq nation (i 4)» qoi tendent vers zéro lorsque x tend vers zéro (X ci
\ L'iant deuK fonctions régulières (pi i s*amuilt*nt |)onr .r =^ r := a).
Il fait Fobjel, depuis ie Mémoire de Briol et Bouquet, tFun grand-
nombre de travaux. Quoiqu'orj ;jil pu traiter des cas de plus eii
plus étendus, la question iiVî^L piis encore épuisée. Je signalerai
*»eulcment une circonstance remarquiihle que nous n'a%iout3. [»»»
rencontrée jusqu'à préseul. Prenons Féqualion
d»)
daos Téquation (iS), on arrive à une îdenlllé, on aboutit ntw
relations
d'où ron lire
ei = — T
Â'
«"1 =
a
<^»=-ïî'
^«-»-t = ^
\ .%. . . n,a
^«-+-1
On oblienl bien ainsi une valeur unique pour cbaque coeflicienr,
mais la série à laquelle on parvieni est dwergrnie sauf pour
x^o> L^orîgine est un point singulier Iransceiidanl pour toutes
les intégrales, comme on le vérifie par l'inlégralinn directe, I^e
point x = o est de même un point singulier transcendant pour
toutes les intégrales de Téquation x^'-H^r"" = o, et toutes ces
intég^rales tendent vers zi'ro avec | j:[.
Quanrl on n'attriliiie aux variables x cl y que des valeurs réelles et que
Ton clicrrhe k consfrtnre les courbes inlcgrates de Féquation (i4) 1 V et Y
rtîirii, par exemple» deux polynômes entiers en sr et^), il est très impiM-
tant de connaître la forme de ces courbes intégrales dans le voi&jna;;c
d'un piiint commun aux deux courbes X ^ o, Y = o, Nous allons étudier,
à ce |ïOjnl lie vue, l'équation «:impte
lïfj»
a X H- b' y
qui s'intègre par un procédé élémentaire (n*' 365) en posant j^' ~ tx. On
est ainsi conduit à Tequation
X
(ô'-h b'i)dt
b'l^~^(a''-b)i^a '
Il discussion tlcpend du signe de (a'— b i^n- ^ab'.
Premier cas, — Suit (a* — bf-h \b'fj < o. On a forcé ment 6'^o, et
fon peut encore écrire l'équation prcccdenle
dt (i H- n)tlf _
b — n' ,. ,
aA'
^
^m
CïlVHTRE \\t.
I QUATIONS DIFFBREXT1Er.l.K5 ^OX LlNEJiniES
Le nouveau changement de variable i = t -h^u eonrluU à rêquatî(
djT
: du
du
cl finalemenl j on trouve ciu€ rinlégraïe générale de l'équation (19) est
donnée par lu formule
(uo)
/r
'2,r)»
"T
■rc ttnr-
Pour voir la foi-me «le ces courbes, M suffît de remarcjucr que la
formation bomo^rapliique y — %t = Y\ pT ^ X remplace réquatîofl
cédente par Téquatiiiii \i\n^ simple
(«0)'
/Xî
Ce F'
et ïes courbes représentées par les équations (ao) et (ao)' ont évidem-
ment une forme analogue. Si a h- u n'est pa^ nuL rèquîtlîon (20)' repré-
sente di.^s spirales lo-^nrithiniques ; les courbes intéj^alcs ont donc la
forme de spirales se ra])[>roeliam indcÉîniment de l'origine qui est un
poinl asymptote. On dit que l'origine est un yVi^'er.
Comme cas parlicalier^ il peut arriver que «-Hfx soil nul. Les courbes
intégrales sont des courbes fi-rmécs entourant rorîgine qui est un centre»
DeuTÎème cas. — Soït (a* — ^ ,' t- ^ab'^^ o, t' ^^ o. L*équatioD
ù' (^-\-(a— b)t — a — Q
a deux racines disrincles /| el t^. ei l'on pnnr écrire Téquaiion différcn-
liclle entre t et /,
djr ik dt i — u , ■
( — ï- 1- — df = o. m
T t — il i — i. ^
jx étant un coeflieient eonsLant différent de zéro et de Funîti''. L'ijitégrale
générale est donnée pfir la formule
Si l'on prend pour axes de coordonnées les deu\ droites >^= /|j',v= 'î^-
l'équation des courbes intégrales dans ce nouveau système d'axes est
^->
V = ex t* .
I
Si
est positif, Y tend vers îtéro en mèuie temps qne \. Toutes le?
courbes intégrales vont passer par rorigine qui o-^t un nœud.
Si — est négatif, il n'y a que deu\ courbes intégrales passant pir
rorîgîne, les deux droites X = o, Y ^ o. Les autres courbes intégrales sont
asymp 10 tiques à ces deux droites. On dit que Torigiae est un coi^
II. — ÉTUDE DE QLiELQtftS ÉQUATIONS DD I^REMIBR caOAE. 4^7
Troisième cas* — Soïl {a — l*)- -h 4^//= o, b' à o. I Arquât ion
a une racine doubk' ^t, et Ton pcuLccrtre l'équation difTérenlielIc entre xct t
dx iidt fii
(t — tif
t -i,
= o,
I
\i rrélafit pas nul. L'miêgrale géaéralu esL représentée par t'équation
X
oti X = \i.T^ Y=j* — /ij*. pour construire 1p5 courbes inlégrales, m\ peut
exprimer X et Y au moyen d'une variable auxiliaire en posant \ — Yf|, rc
qui donne Y = Ce®, X^ Côc^, Lorsque 6 tend vers ^œ, \ cl Y ei par
suite X et y tendent vers atéro; rorîgiiie est encore un foyer.
Si b* est nul^ sans que a «sait nul, on permutera œ ti y dans la discussiou
préccdenle. Si ^' et a ?onr nuN à la fois, Téquation est de la forme
X dy = ky dx ;
Toriginc est encore un nceud ou un col. La classification précédente est
tluc à M. l*oincarc, qui a étendu la discussion aux. équations de la forme
générale (i4) dont tes coeflîcienls sont réels.
n, - ÉTUDE DE QUELQUES ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE,
I
419* Points singuliers des intégrales. — l^s développements en
série :> par lesquels oo a f5labli rexîslence des iiUég raies d\in sjs^
lème d*ét|ualioiis dinTérentielIcs onaljliqiies ne permettent de raf-
ciller ces inLégrales qu*à l'iiitérienr dti eerctc de convergence. Mais
la coruiaissarice de ces développeinents suffît^ comine on i^a re-
marqué d'une façon générale (n" 34-i), pour que ces fonctions
«koient virlueUenieni délerminces dans tout leur domaine d*exi?-
tence. Considérons, pour lixt-r les idées, une équation difl'éren-
lîelie algébrique du pretnier ordre
F étant un polynôme entier eu x^y^ yK Soit (Xo, )'o) i'" système
de valeurs tel que Féquiilion F(.ro, /o, j^) == o ait une racine
simple ^v'^; lorsque x et y tendent respectivement vers x^ et y^^
lY-quation (21) admet une racine et une seule teudanL vers i^'^, et
488 CHAPITRE \\\. — 1:QU.4TI0NS différentielles XOX LIKKÂlRESa
celle racinej^'^/( j:, j^) esl une fonction rt^gnlîèrc dans le voîsî-
nag^e des valeurs .r^,, Vo- LV-quâtion (ai) admet donc nue înlégralc
holoniorplie se réduisant à j^y |Mmr .r ^^ Xj, el donl la dé» ivéc prend
aussi la valeur r|^ pour ar^x^. (jeïle întégrale n'est définie par
un dëveK>ppemeul en série entière qii*à rînlérîeur tVun rercde do
de centre Xq^ donl le ravon esl en j:;eni'ral fini, maïs celle [onc-
tion, dont on peut poursuivre le prolonjjeuienL analytique en
dehors du cercle C^, salii^fait à Téqualion (21) dans tout son
domaine d'existence. Remarquons qi^on peut se servir de IVqua-
Ijon (21) elle-même pour le calcul des coefficients des diverse-
séries que l*on emploie dans la uïcthode du prolongemenl ana*
ljti(|ue. Si en un point j:, du cercle C», riulegrale con sic! erre e>i
égale à y^^ sa dérivée csl égale à Tune des racines r^ de Téqui»-
lion F(j:(, j>'i, ^') = o, et Fou pourra en déduire les valeurs de*
autres dérivées au point :r, par des dériva lions successives.
Chaque équation diflerenlielle tlu premier ordie défi rut ainsi
une iulinilé de fouctiuus arialytifHies {^dépeudant d'une cori-^lante
arbitraire); ce sont en général des fondions tianscendantes que
Ton ne peut exprimer au moyen des Irausceudanles classiques, cl
il en est de uiéme a foriiori des fouet ion s définie? |)ar des équa-
tions dilTérenlielles algébriques du second ordre ou d'ordre su[)é-
rieur. L'étude des propriétés de ces transcenda nies nouvelles ei
lenr classification constituent l'objet de la thétuie analvliquedo
équations difrérentieïles.
On peut encorCi dans ceJte élude, poursuivre deux buts di IL-
renls ; Ton peut chercher des conditions nécessaires et suffisantes
pour que des équations d\me forme déterminée puissent étrr
intégrées au moyen de fonctions déjà connues, ou se proposer au
contraire de découvrir des équations difiércutielles algébrique?
définissant des transcendantes irréductibles aux Iranseeudiintci
classiques, et jouissant de qii€!(|ue propriété remarquable, comnie
d'être uniforme, ou méromorphe, etc. Quel que soir Fobjel qur
l'on ait surtout en vue, la recherche des singularités possibles
pour les fonctions intégrales est une question essentielle. Tandis
(jue les points singuliers des intégrales d'une équation linéaire
sont fixcs^ les points singuliers des intégrales d'une équation non
linéaire varient en général avec les valeurs initiales. Par exemple,
rintégi^le de l'équation x 't-yy^=^o qui prend la valeur t'i
H. — ETUDE DE QUELQUES KQUATIOXS DU PREMIER ORÛtlE.
pour X -- o e^L \-^^^y^ — a:'^; celte fonclion adniet les Jeux
points critiques H-JK», — Vu qïn dcpendent de la valeur initiale.
De même, rinlégrale de Tt-quation r':^r'^ qui esl é^çalc à >'<,
pour jc =^ o, ou — -^ — , admet le imlc x = — < Nous sommes dnnc
conduits à distinguer deux classes de points singuliers pour une
équation diflTt'rcntielîe, les points s\n^iïVtcvs Jîxes qui ne dépen-
dent pas des valeurs initiales clioisies (sans êlre nécessairement
lies points singuliers pour lotîtes les intégrales), et les points sin-
guliers mohiles, pôles ou points critiques, qui dépendent des va-
leurs initiales. Une cqualion diflerentielle peut avoir à la Ibis des
points singuliers des deux espèces.
4-20. Fonctions définies par ime équation différentielle >'— B(t. j-i
— Nous allons étudier en particidier réquation difTérentielle
(M)
où P(^, )') et Q(x, r) sont deux |u>lvnomes entiers en x et r,
nVdnietlant pour diviseur commun aucun poljnomc de même
espèce. Les deux équations P(jp, ^i*) i^ o, Q(.r, jk) = <* ont un
certain nombre de svstemes de solutions (<7|, 6,), . . ., f/î^, /^«);
nous marquerons dans le plan des x les points a%^ a-j.^ * * «t ^^n*
La transformation y ^=z - conduit de Téquation (22) à une équa-
tion de même forme
(a3)
r/5 WiT. s\
-T- — H|(x, ;;) = -— ,
I
cl les deux équations Pi (x^ z) ^ o, Qf (x, ^) ^ o ont encore uu
eertain nombre de svstèmes de solutions (a\f b\)y . • . , (^/),,, 6^)»
Nous marquerons aussi dans le [>lan delà variable x les points a[,
a^^ , • •^ a^. Ces points ai^ a^ sont en général des points singuliers
pour quelques-unes des intégrales deTéquatlon (22), mais ils sont
connus a priât i : ce sont des points singuliers /ix^j.
Soit maintenant (x^^y^) un s^stèuje t[uelcon(]ue de valeurs tel
que Q(jFft, >'<,) ne soit pns nul. L^équation {22) admet une inté-
grale holomorplic dans le domaine du point J^ni prenant la va-
leur ^>'i, pour x = X(>. Imaginons que Ton fasse décrire à la va-
4tH»
rilAPtTAiE XXI.
: jf- im cUeinij
iielconnne L issu du point Xo el
rîuble Jf' im l'heinin qnelconqne L issu du [>o!(U Xo el ne passant
par aitciin des points fit, a^^. On peut poursuivre le prolongemenl
analjliqiïe de celle intégrale loul le long de L, laoL qu'on m*
renconlre aucun poinl singulier^ mais il peiil arriver que Tort
soit arrèïé par la présence d'im point singiilirr. Soîl z le pre-
mier point singnïierque Ton renconlre; l'inlégriile considérée e>t
liolomorphe dans te voisinage tic loni point X du chemin L eorn-
pris entre x,i et a, mais le cercle de convergence de la série enlièrc
qui la représente, el dont le centre c»! eu \, ne rcitfernie jamais
le poinl a à l'inLérieiM*, aussi petit que ^oit |X — a|. L'érpia-
Iron Q(a, y) = o admet un certain nombre de racines ^i, ^^^ * •,,
|î^; nous inari|nen>rïs les jioînts Jî/ ^lans le |dan de la variable î>
L'éqiialion (^(a, t) = o n'a (pi'un nombre (inl de racines, car,
pour f|M'il en fiU ;»uli'emeul, il famlriiit qne le polynôme Q(jr,v)
fut diviîîible j>ar (x — x) cl le point % serait compris parmi les
points «(, oJ|, Pour la même raiscm, les denx éipialions P( a, v')^= o,
Q(a, y) = o n'ont aucune racine commune. Cela pose, plusieurs
liypotlièses sonl à examiner. Soit Y la valeur de Tinlégrale en X;
nous ne pouvons supposer que Y tende ver?î une valeur finie 3
difTérenle de ^i, ^2r •• -i !^.\^ lorsque \ tcml vers a, car R(Xt^| i
est une fonction régulière pour .r ^ x, y=^[i. Or, diaprés le
théorème fondamental de Caocliy, il existe une seule intégrale
tendant vers ^lorsque x tend vers a, el celle intégi^lc est bolo-
morphe au poinl a. Supposons en second lieu que Y lendc vers b
valeur ^i lorsque |X — a| lend vers zéro. La fonction R(x,^)esi
infinie pour x = a, y = jï/, mais son inverse est une fonction régu-
lière, puisqu^on ne penl avoir P(ût, p^) == o. Nous avons vu plus
haut (n*^ 416) que Téquation (22) admet niic intégrale el une sealc
tendant vers ^i lorsque ]X — %\ tend vers zéro, el le poinl at est
un point critique algébrique |»our cette intégrale. De même, si \\\
augmente incléfinimenl lorsque (X — al lend vers zéro, Téqua-
lion (23) admet ujic intégrale qui tend vers zéro en même temps
que|X ^ a|. On ne peut avoir à la fois P» («? 0) = o, Q,( x, o) = Ot
puisque le point x ne fait pn^ partie des points a]^. Si Qi(aiT ^*)
n'est pas nul, :; est boloinorpLe dans le domaine du point a^ qui
est un pôle |>our Tintégrale considérée. Si Q, (a, o) = o, ce poictli
esl un point critique algébrique pour z el par suite pour J%
Nous n'avons pas encore épuisé toutes les hypothèses; ne pour-
I
I
II. — KTL'DE Dt: QIELOLES LQUATIONS Dl PRLMlEa OBDftE. 4U'
raÎL-il arriver en efleL que Y ne lentle vers aueuije lirnile, sans
que |Y| aiif^menle indeitiiinietU, lorsi|iïe|X — %\ Icntl vers zéro?
M. Pain levé a démon tr*'- connue it suit que eehi ii*étail jias pos-
sible, ce qu'on avail admis jiismie-là sans preuve précise- Du
[voliit OL connue eeiilre avec un ravuu très pelil /' décrivons im
i-.^rclr C. Les racines de l'ci[uatioii Q(X, j>^)^ o cjiii tendent res-
peclivernenL vers |5,, Jj^, .,., p^ lorsque |\^-a| lend vers zéro
restent coui prises respectivement à rinlérieur de cercles *-%,
■^2, • . . , Vjj décrits des points jï^ , jS^, - ■ - , fj,% ponr cenlres avec des
ravons p*, p^, * . ., c^, et l'on peut prendre le ravon r assez petit
pour que tons ces ra>ons p, soient eux-mêmes plus petits (pje tout
nom lire donné e. Ci>nsidérons eu même temps un cercle 1^ de rayon
1res gr.md R, décrit dans le |dan de la variable r de rorij^ine pour
rentre, cl soit{E) la portion du phn des i' extérieirre aux rf»rc!çs^%
et inlériMure au cercle 1\ Nous allons montrer qne, lorsque IX — a|
lend veis xéro, le poiiït Y corrrsj>ondant finit par rester constam-
ment à l'iutérietîr de Ton des cercles y, ou à l'extêrieui- du cercle W
S'il n'en était pas ainsi, ou trouverait toujours sur le chemin L
des points X tels tpie |X — «| soîl inférieur îi tout nombre donné
Cl pour lesquels Y serait daus la région (E). Or imaginons que
Ton ail |X — 3t| < - par exemple, tandis que Y reste dans la
r*«;ion (E); il y a un minimum po!iii if pour le ravon du ccrcfc
ff ■* ce n ce/ f^c n ce de l * in t ég i a ie de i ' éq u a t io n ( 22) q u i es i égct le
à Y pour j: = X.yEii efi'etj il y a évidemment un maximum
pour |R{X, Y')| lorsque les points X, Y restent respectivement
dans les domaines précédents, tandis qu'il y a un minimum
positif pour les nombres a et 6 [voir p. 35 2). Soit r, le minimum
du rayon de ce cercle de convergence* Ou pourrait trouver [ïar
Il vpo thèse sur le chemin L un point X' dont la distance au point a
serait moindre que 7^ et tel que le point corresponilaut \* soit
dans la région (E). Le cercle de convergence de la série qui repré-
sente Tintégrale, prenant la valeur Y' pour :f = X', ayant un ravon
au moins é^al à t^, le point at serait à l'intérieur de ce cercle, ce
qui est évidemment im [possible puisque a est un point singulier.
Le point Y finit donc par rester conslamment a rinléiieur dr
Tun des cercles v, ou à Texh^rieur du cercle V lorsf[ue |X — x|
tend vers zéro* Comnie le ravon p; peut être pris aussi petit qu*on
'•1^ CII.VPITIIK \\l. — ÉQUATIOXS UrFFfcnENTlKLLKS NON LINÊAIRI-IS.
le veut, et le rayon R aussi ^rand i|ir'on le vt'ul, cela revîetil à dirr
qtie Y Lend vers Tune des valeiiis [j, à moiii^ <|i»e | Y[ n'aii^mcnle
indédiiimenU Nous venons d'exiiniiner Cf* f[ui arrive dans ces deii\
cas; Je point a esl donc un |>olc ou un (inini crllique algébrique.
On peut iilor!^, en remplaçant la porlion dn clieinîn L voisine du
point a [lar im arc de cercle de rayon infininienl pelît décril de et*
point pour centre, éviter le point >*nf;id[er cl l'on pourra coritiny^r
le prolongement analytique au deUi, jusqu'à ce qu^on renconlrr
un nouveau point singulier. Nous allons montrer que. sur un
cheniin L de longueur /Inie, on ne trouve jaurais qu'un nombrv
fini de ptMes ou <le points critiques a lj;é briques* /En effet, do
chaque point! (f7|\ a'f^ comme centre décrivons dans le plan des x
un cercle ires petit, et déerivons en ou Ire un cercle de rayon trè>
grand ayant pour centre Torîginej de façon (|ue tout le chemin L
soit dans la région {E') du [>lan des x lîniilce par ces circonfi'-
rences. Soit ./;, un point quelconque de (E^); Tîntégrale don» If
module augnieirle indéfinimenl, lorsque |j"^X(| tend vers zéro,
est égale à un polynôme entier en (x — J^i)"'? augmenlée d^unc
série entière en (.r — .r,), converge nie dans un cercle de rayon û,.
De même les diverses intégrales qui admetleut le pointai comme
point critique algébrique sont représentées par des séries ordon-
nées suivant les puissances fractionnaires de jr ^ — X| ; soît pj^lc
plus petit des rayons de convergence de ces didérerile^ séries. Il
est clair que ces nombres p^ et 02 varient d'une manière continue
avec la position du [joint Xy ; ils ont donc un minimum /. >o, et
la distance de deux points singuliers voisins sur le chemin L e*t
forcément supérieure à X (*)* On ne peut donc rencontrer sur ce
(') Il est à remarquer qu'une itilégralc peut avoir une InfinUé de point» «î-
Uqup<i, et mt!mc eu avoir une inliniLé dans le voisinage d^uuc valeur quclcoïi<l«c
de jr. ConsidéronSj par exemple, l'équation
nii H(x) est une foucLion raLiûûaelle, dont Tintcçrale générale e^t
Supposons que Tintégrale déHnie / It(jr) dx admetU? le^ quatre périodes t. 1.
I» ^1, a et 3 étant dey* nombres réels iocommcusu râbles. V l*mlérieur d'*ii»
p
I. — KTtOK t»E QUELQUES EQUATIONS DU l>nEUrER OIlOïlE, ^9^
chemin t|u'oii nombre fini Je pôles on de points critîqnes algé-
briques. Par suite, tes sea/s points singuliers mobiles des inié-
craies de l' équation (-29.) soui des pôles ou des points critiques
algébriques. Ces inlégralcs ne peuvent avoir de }>yints singuliers
cssenliels mobiles, ni par conséquent de coupures.
Les raisannements qui piéceclenl s'elcndenl sans difficulté aux
équations de la l'orme (22), où P(j:, j'), Q(^i y) sont des poly-
nômes entiers eny, dont les coefficients sont des fonctions analy-
tiques de J". Il faut seulenientadjoindre aux points «i, a)^, qui sont
définis comme plus haut, les points singuliers de ces dtfrérents
coeflicienls. Lorsque lecliemin dijciil |)ïir la variable x icsledans
one aire ne renfermant aucun des points rt/, a)^^ ni aucun des |)Oinls
sîni;uliers des coeflicienls des dillérentes puissances de 7 , les setrls
poitils singuliers que puissent avoir les intégrales sont des pùles
itti des points critiques algébriques.
Proposons-îjous, comme application, de trouver les équations
de la f orm e ( 2 2 ) n 'ad m e liant pa s d e /? o in ts critiq ues m o biles, 1 1
est nécessaire pour cela ipie le déimminaleur ne renlernje pas j\
Soient, en t^lî'el, et une vu leui- quelconque de X, et ^ une valeur cor-
respondiiute de j^ telle que Ton aîl Q(aj p) = o, le numéraleur
l*(a^ p) n élaut pas nui. L'intégrale de Inéquation (22)Jqui tend
vers p lorsque [.r — %\ tend vers zéro, admet ce point comme point
critique, et il est clair que ce n^esl pas un point crili<]ue pour toutes
les inlégriiles. L'équation proposée doit doue être de la forme
dr
-iT
I*/MT '*/ïi-»^ •'- étant des fonctions de x. D'ailleurs réquatiou
obtenue en posant r=— - doit être de la môme forme, ce qui exige
c|ue tn ne suit pas supérieur à u, et Ter [nation la jdus générale
n- pondant à la c|ueslion est une équation de Riccali. M est facile
de vérilier que la condition est satisfutte pour une étjualiou dr
€t»rclc c décrit d'un point quelconque JC^ pour rentre avec un rayon arbitraire,
on démontre aisément (l'oir n«^ 31 1, /(ft*/«ar<7«e ) que Ton peut trouver une intinité
de raciûcs de y-, en ctioi&issanL convenablemeiil les cJiemins d'intégration, et
[chacune de ces racines csl un point critique. Mais un cticuiin de longueur Ji nie
I décrit par ta variable n'en contient j.iTnaiâ une intinité.
49 1 CHAPITRE \\l, — ÊOtATIONS DIFrêftENTIELLES NON LINÉAIHES.
Riccali ; si nous prenons pur eTcemjile la foriiiuîe (26) (p. 4^^
qui rfprésenle (■fntégrale générale, il esl clair que ccUe intégrale
ne peut a%'oir pour poinU singuliers, oulie les poînls singuliers
des flmclions T',, y^t que des pôle:*, provenant des racines du de-
nomiualeur V( H- ^^X*^ pôles qui varient avec la constante C. ■
On peut également se proposer de dt'îeriujiier lo^ équations de i»
forme (aa) dont les intégrales u*ùnt pas ûe pôles mobUes* Soierit m vin
les degrés de l'<;r, y) eL de Q(j^, J') par rapport à y; Téquatiou «bicrmc,
en posant v = - est de la forme
„^,_„.r'<-^'^'
Q.(j-. «j'
I
Pi et Qi élHiit deu\ iHiijvefiyx polynômes en .;. SoJt j* = a une valeur
t|uelconque de j*, ne faisant p;is paitie des points singidier^ fi\es. L'équa-
tion i'^fi) admet une uilé;»riile tendant vers jtéro Iciisque [-r — %\ icnd \et^
zéro; il seinlde tlonc que réi|naUon (ïa) admet toujours une intégrale dont
le niL^dule augmente indélinimcnL lorsque |x — x| lend vers séro^ nuisis
conclusion est en défaut si l'intégrale en question de l'équalion (24) 5<;
réduit à ^ = o. Il faut et it suffit pour cela que Ton ait m <C /i -+- 1; cV^l
la condition pour qu'il n'y ail pas de p6les moljileîî. La seule équalîoii qui
n'ait aucune espèce de points singuliers mobiles est donc Téquation lîncair^^l
Application. — Le résultiiL qui précède permet de reconnaître si rîmi.*-
grale générale d'une éijuation dilTérentielle *lu piemier onire est une
fonction rationneile de fa constante il' intégration, en eliuisissant con-
venablement celte constanle. Soit
(A)
y = R(x, Cl =
Pt-r. C)
Q(:r, C)
une fonction rationnelle d'un |»aianiétre C, les cocrficients des deui
lynomes en C, F*(j*, G) et Q(-r, C) étant des fonetion* quelconques de
Il est clair que la dérivée y esl aussi une fonction rationnelle de C,
y=H\x, C),
el l'éliiuinaliou du paramclie C coniluli-<i à une relation
(E) FO-,y;x) = o,
F étant un polynôme entier ^n y^ y\ dunt les coefficients [leuvenl être d6
fonctions quelconques de Jr« D'après la façon même dont cette équuliofi a
été obtenue, quand on y regarde jf comme un jvaramétre» elle est de genre
iéro en y et y\
Inversement, étant donnée une équation dilTérentielle du premn
11. — tTLiJE I>K OUKI-OCES HQyATtOXfi DU MlEMIER OQDRE. 4g5
onire i E ï, dont lu prernii^r membre est un pulyname entier en y el j^,
les coefilcieni? étant <1l's foticliuiis aaalyLi^iueïi quelconques de j-, ptinr
qu'elle admette une îniégrale générale de In foime (A), il faul d'abord
qu'elle suit dti genre zéro t,\\ y et^*. S'il en est ainsi, on peut exprimer^
et j'* par des fonctions rationnelles frun paramétre «,
y = rijr^ ti)^ y' ^ rj(ar, «),
de telle façon que l'on ait inversemenl u = s{x, y, y'), les fonctions r et /'i
étant rationnelles en uet # étant une foncttoti rationnelle de j% ^''\ Lequa-
lion dilTérenLielle proposée (E) est remplacée par réqnalion
ôf àr au
àr à a iij'
I
rj(^, li \,
^ui est de la forme
î
F étant une fonction rationnelle de w. Sr Tînlégrale jjénérale de l'équa-
tion (E) est j^ = R(ar, C )^ l'intégrale généiale de léqualiou (Ej) esl
d'après cela
u^s[.v, ^[T, G), R'(:r, G)J,
\
*esl-à-dire une fonction ra-lionnelle de G. Mais les seuls ]ioint$ singuliers
d'une telle expression, qui varient avec G» sont évîdemnjent \ic> pôles. Il
faut donc que Ic^ seuls [>ointï* «-ingulier? mobiles dt: Téquation {My) soient
des pôles; par conséfpient, Téqualion ( Ei ) doit être une équation de
Hiccati ( ' ).
1 Gonsidérons par exemjde l'équation
I r '» ^ < IV -^ Q )' ^ y — « ) ^ .>' — ^ } , '
tbù P et Q sont des fonctions de x, a et If deux eonslantes. Geltt? relation
est bîen du genre zéro en y et y et, pour cxpi îm»M'^K ^l y* p^r des fonc-
y — h
tîoos rationnelles d'un iiarametre, il suffit de loiser-:^— — - — i*, ce qoi
^y — a ^
lonne enfuîle
f{i - t^y-— iù — a)[P(l/l — a(^} ^- Q(/_p)]^
pt l'équation (Ei) est ici une équation de Riccali
«F
421 . Foûctioas uniformes déduites de Féquation y'™ ^ R {y ), —
(*) La réripro<iue est immcdiute. Si ( l£, ) est une équalian de Riccati, riuté-
grale géoéritle u e^t une functinn linéaire d'une ci»nstaaLe arbiirjire C, et piir
^tiite y = r{Xy u) est une fonction rationnelle de C.
4ij6 r.llAt»tTHE XXI. -- EQUATIONS DlPPÉRE^rriELLES NON LCSÉAtaES.
Nous allous encore étudier les ioté^^ raies de réqualiou dilTérenlielie
(25)
.— o-.=^^;.
OÙ m est un nombre entier posilif, P(^^)el Q(y) deux polynômes
^n y h coeflicients constants et [iremiers entre eux» en nons pro-
posant de déterminer toutes les équaUona de cette espèce dont
riotégrale générale est uue fonction imiforme. Soît Xo une valear
quelconque de jl' et y^ une valeur arbitraire trann niant aucun
des polynômes P(J').Q(jO* L'éqitalion (^a), où Ton remplace/
par l'o, admc'l, en y^ m racines dislinctcs. Choisissons «ne de
CCS racines v^,; TéqnaLlon ('i5) admet nue intégrale liolomorpbe
diins le d limai ne du point jr^^ prenant la valeur y^^ en ce poial,
el dont la dérivée est égale à y*^ pour jr = x<,. On |>enl pour*
suivre le prolongement analytique de celle intégrale lonl le long
d'un chemin quelconf[nc issu du point Xo, tant que l'on ne ren-
conlre pas de [Hjinl singulier. Soient a le premier point singulier
ipie Ton rencontre, X nn |>oint tin clinnin L conquis entre jt^
el a. Y la valeur corres|>ond:inte de Fin Légrale au point X, Les
raisonnements du [ïrccédenl puragiapliCj que Ton peut reprendit
sans modification essentielle, prouvent que, lorsque ]X ^- a[ tend
vers zéro, Y tend vers nue racine de Ftine des équations
nu ]Y| augmente indéfinijnt'nlj mais il ne [ïoot pas ;Mri\er que \
ne lende vers aucune linïite.
Nons allons examiner les dilTérents cas possibles. Soit d'abord/'
une racine d'ordre ^ du dénominaleur Q{j^)^=o. On lire de
Téqualion (25)
(ïO)
dx = ( j'
i{r- //)H-...l<n
Cy ,^ o :
quand on lait décrire à r wn chemin allant de ro à b dans le plan
des^, X parlaol de .l'o aboutit à un point a distance finie du plau
des jr, point que nons appellerons a. Inversement^ lorsque .r \à
i le .27,1 e n a s n i va n t ce c hem i n ^ y v a d e j*o en ù , Mu posa n I r — ù^^l***,
on déduit de Téquation ('^G) no développement de .r — a siii^ani
les puissances de i commençanl par nn terme de degré nt-^q*
ïn versement j on aura pour ( un dévclupjïcmenl suivant le>
p..
en iiE
î séances (raction
ilELQCBS ÊQLATIONS l>L' PBEMtKH ORURE, 497
naires de jt — a commerK^^ant par un tenue
;en {x — a)'**'^^^ ^ el par siitlp un (l^veloppenimt ûi^. y — h de la
forme
IL jr — b^iT — aj
q étant pusilif, m -h f/ est ;;> w, et le point j^ — a est pour l^intë-
grale CfHi^idèrée \\%\ porni ciilif^ue ali^/'UrîqueJF^oiir ipie Tînté^rfale
gt'iiérale de IVt^iiytion (a5) soit une ioncticin n ni forme, il faut
on*' (|iie le poljnome Q(^) se réduise à une constante, ou que
^équation soit de la forme
a?) y'«=P(^),
P(^) étant un polynôme. 1^'équatîon obtenue par la transfornia-
lion j^^==*> ou :î''"=( — lY'* z'^**^ \^ i \ devant aussi être de la
lue me formCj le degré ihi polynôme P(_k) f^^ peut être supé-
rieur à a m- Nous pouvons supposer pour achever b discussion
que P(j^) est de degré a m. En efFet s'\ i^{y) est de degré 2 m — q^
eu poSfint v = fi H- -1 a n'étant pa> raeiue de l^(j',), on est con-
duit a l'équiitioD
OÙ le second raenibre est un polynôme de degré 2 m. lu versement,
étaut donnée une équation de la forme (^'27) où P(j^) est un po-
lynôme de degré \tniy si h est une raeiue de ce polynôme, la sub-
ySlilulion j' ^ t -h - conduira k une érpiation en z de Ja même
espèce, oh le second membre sera un polynôme de degré infé-
rieur à 2m.
Supposons, par conséquent, que P(j^) est un polynôme de
degré 2//*, et soit a le premier point singulier que Ton trouve sur
le chenrin L à partir de x^. Si \\\ au^^ruente indéfiuinient lorsque
X tend vers at, Péquation en z^ olilenue en posant ^>' = ^* adtnet
une intégrale holonior[rhe qui est nulle pour \ = a; le point a
est donc un pôle [>our j^. Reste à examiner le cas où Y tend vers
une racine b de V{y) lorsque X tend vers a. Ceci ne peut avoir
lieu que si Tordre de multiplicité de cette racine est irdé rieur
G.. IL 3a
49^
CHAPITREv XXI.
KOUATIONS DlPPRARNTIRLLEg NOV LtNEAlllEfl.
a m. bupfïosons, en etlel, que l (j') soil divisible par {y^-b)^,
q étant -^m. De réquiiLion (^7) c»n lire, d'aprf^s les condilious
initiales,
X — Xo —
/ ^^
!ffl( y) élritît réjïiifière dans le domaine du point b^ et l'an voit^^
qne [\| an£;inente Inrléliniineiil lors<|ue Y lend vers h. Il faui
donc que Ton ail q <C tn: réquation proposée peut s*écrire encore
(•a8) dx^(y—b) "*[c^-^ c^iy — h)-^. . .]dy (cç^ti^
et Ton en lire, pour x — a, un developpemenl suivant les [niis-
sances de {y — 6)'^, commençant par un terme de degré m — «/.
Inversement^ on en tirera, pour )^ — b^ un developpemenl snivani
les puissances frarlionnaires de x ^ — il commença ut par un lernie
en {x — 3l)'"^'. Le point a est donc, en i;éuerid, \m point critique
algébrique/ Pour que ce soit un point ordinaire, il faut que
soit un nombre entier f, oti que Ton ait q^mii— -. )» 1 étant
un nombre entier supérieur à un. *>etle condition est d*aillinjr>
syffis^inte, car on déduit alors de Téq nation (28) un développe-
ment
i
^^ktiy-hV^k^iy^ by
{A'i^o),
et inversement, on aura pour (y — 6)' un developpemenl suivant
les puissances entières de x — a.
Pour que les intégrales de Féquation ('27}, où P(v) est un
polynôme de dej^^ré a m, n'admettent pas de poinis criliques, tL
faut et il sufiit, d'après cela, que V ordre fie multiplicité de iouk
rncine de P(y) ^ o soit égal ou supérieur à m^ ou soif de
forme m(% lU i étant un nombre entier supérieur à Tiinité.
Lorsque toutes ces conditions sont remédies, Tiotégrale générale
de Téqualion (27) est une fonction uniforme dont les poinls sin-
guliers à distance finie ne peuvent être que des pôles.
ETI'Lll£ fi£ QL'ELQL'ES EQUATIONS [llT PBEMIBft OH|>llE.
499
-"our achever
h d
liïCUSSIOl» DOU^
disli
ogueroDS plusieurs cas
Premier cas, — ]l y a un facteur binôme dans P(>') dont
Texposant est supérieur à m (il ne peut évideiniiienl y en avoir
qu'un). S'il y a en outre y> ("acleurîi liuéaires dislincls de celui-là,
la somme des exposants de ces facteurs est inférieure à m,
On en ûre p — i <i — + * . . -h ^ et, commf u^ t)^, . . ., ip sont plus
grunds que runité, p — i <C 7-» ou p <C à. On a donc p 7^ i^ et
réquation ( .ro penl .s'écrire, en extrayant les racines m^"""'^^ des
deux iuenit>res^
le cas où f :=: i ne doit pas être exclu, car II correspond a une
Inpoihése qui n*a pas été examinée^ celle d'un seul facteur
linéaire dans l^(^).
Deuxième Cfts. — L'équation P(j^)=^o admet une racine
d'ordre m de multiplicité. Si elle en admet deux, l'é(|ualion (27)
devient, eu extradant les racines m'^"*"* des deu\ uieml>res,
y = A< >'"- aiiy — b}.
Si réqiralioo P( i* ) ^ o n'admet (pi'unc racine d'ordre m de mul-
tiplicité, elle en adrnel pip^*i) dont Tordre de multiplicité est
inférieur à ///, et Ton a une relation de la lornie
'('-i)^---^"'('-i)='
«u 17 ^ i = — -h . » . -f- — 5 — • d OU 1 ou lire // 2: u. Lomme p est
fi if, 'À
supérieur a Tu ni té, on a forcénïent/7 ^ 2, i'i ^= /a^= "*- î ^*^ nom lire w
e^t un nombre [)air et réquati^in ('■-'.7) se ramène à la forme
a, fr, c étant trois nombres difl'érents.
Troisième ras. — f/équah*>n P(y)=:o u*admet que des ra-
cines dont Tordre dr m*il(i|dicité est intérieur à m. Soit p le
SOO CMAPITRE XXI. — ROtATJONS DIFFÉRENTIELLES NON LINÉAIlieS.
nombre de ces racines; la somme des ordres de mullipUcit^
étant Àm^ on a nne relation de la forme
i'-T)
-^ mi î
S—' On en Lire/>^4? et comme /ï est
supérieur à 2, on ne peut avoir que p = 4 ou p 1=== À, Si p
T doit être éi;ale à 3^ chacun des c
ta somme
I, Is I, i^
m in a leurs étant an moins t'gal à 2, on a nécessairemenl
«1=^ fî— **= u — 2.
Si /? 1= 3, il s'agit de trouver trois nombres entiers / , , i^y l'i, su-
périeurs à l^unité^ tels que ta somme de leurs inverses soit égale
à I. Si aocun de ces nombres n'est égal à 2^ chacun d*eux est
forcémenl égal â 3, Si Tun d'eux /\ == 2, la somme des inverses
des deux autres doit être -; s'ils sont égaux, chacun d'eux est égal
à 4- S'ils sont inégaux, le plus petit doit être inférieur â 4 î »* ^^^
donc égal à 3, et le plus grand est alors égal à 6. On na donc en
tout que (plâtre comliinaisons possible;^ et l'équation (2^) peul
être ramenée à Tune des formes suivantes
{V) y^ = Xi y _ a }*( j^ — h)i{x ^ c)^.
( VI ) /* = Ai 7 — « \Hr - ^ )^(y - ^)**
( Vrt ) y« ^ A ( j - a)*( j — à)^ij -^c)\
a, A, f, // étant des nombres difr^rents. Toutes les éqi ratio r»s 1
OÙ i*(^) est un pol\in>jne île degré '2 m, et doiil T intégrale géné-
rale est une fonction nuiJ'oi im , oui Tune des formes que Ton vieut
d'obtenir. Inversement toute intégrale tie l'une quelciir^que decet^H
équations est une fcmclion uniforme, puisque, sur un chemin^^
qneli^onque décrit [>ar la variable» on ne peut rencontrer d'autres
points si tïgu tiers que des potes*
Alix diIFérents t\pes que nous venons d'énumérer, il convif^nt
d^ajouler, pour avoir toutes les équutions de la forme < >^i dont
ETUDE HK gUELQVEâ EQUATIONS I>i: PHKMIBK ORIïRK,
XJl
Ir intégra le gënenile e^i uni ("orme, les lyi^e^ que Ton yblient |^)ar
ui*e Irrinsfonnatiiiii telle nue y — a= - -» 7. elaiil une racine du
polynôme P(jk). I^es nouvelles formes auxquelles on parvient son!
les suivantes
(I)'
<()'
(II)'
(III y
III r
V)'
Yl)
VU/
vil)'
ïvrir
y ^ A( y — a ) S
y'4 = A ( )- — a)^i r — b )*,
y'«=r A(^ — « )*( r — A )^,
y* =^ Al ^r -- rt )* ( ^' — ^ )*'
[jes équfilions (1), (f)', (I)'', qui se ramèiï^nl TiiTie à raulre. ont
pour inlëf^rale générale une foiiclion rationnelle, comme ou le
voit imméiiialemenl sur rë4|uation (I)' par exemple. Les équa-
tions (II), (U)\ (IIl), (Iliy, (FM)'' ont pour intégrale générale
une fonction >]nipleinenl péiiodiqne ; le calcul est imméclial.
En (in l'inl*''*^rrilf ^'éinriilr rl**s éq nation!» (IV) et ( IV )' ej^t une foiie-
ption elliptique. Il ne reste ilonc, comme tvpes nouveaux iréqua-
lion* diHerentielles de la forme (a5) dont Tinté^rale générale est
uniforme, que les r-quatious (V). (VI), (VII), el adies qui îîV
ramènent. Ces équations se partagent eu trois groupes» et il suffit
*întégrer une équation de chacun des groupes. [>ar exemf>le les
féquaiions (V)\ / vr'\ (virr.
Si dans réquation (Vif on pose )' = a -h z-, l'équation devient,
Q e^trajaot les racines carrées des deux iiu^uibres^
j
5o3
CHAPITHK X\1.
K^^UATIONS DIFFERENT! KLLKS NON LINEAIRES.
el rintf^^rale g^éiiérale de F^quahoti en :; esi unr fnnclioii ellipJ
tique* De même, si dans rêt|iiation (VU)"' on f»ose j' :=r o H- i\
réqiifïlion devient, en e\h"ii\ani les raeîm's cuhii^ues des deiu
menibres,
93'*= A*(5»-ha-
et nous relrouvoiis unii équalion de la forme (IV)',
Potir intégrer l'équaliotï (V/, nous reinarqueroH'^ que celle
relation entre r eL^est du premier ;4enre. On petit dune exprimer
rdtianrïellt^rnenl y el y io* moyen des *:oor^loijnées d'un point
d'une cubique, Km au moyen (Tun juiranirlre / el de la tarin*'
carrée d^in poluiojne du Iroisième degré» Si Ton po
eflety'^: A^^, on lire de Féquation (V y
I
r =
-/(« — «l)ïH- j A/»,
el la relation liy ^=iy' dx condnil a la nouvelle équation
Ht
3_^/û^rMî:
4A«S
dont 1^'nlé^rale générale t ^=^/{x -^ (^) est une fonelion elliptique.
On en déduit potir Tinlégrale générale de rëquatioo (V)'
In-
G).
L'intégrale générale de toute étpiatiun de la forme (a5), lorsq
est une looelion uniforme, est done soit une roiictioii rationnelle
de X ou de rexfionenlielle e*^^\ soit une fonelion elliptique.
En de II ors des cas qui viennent d*étre énumérés, Tintégrale
générale de Téq nation ('à^'} n'esl jamais une foni'hon uniforiue.
Par exemple, la fonction inverse dune intégrale livperelliptique dt'
première espèce ne peul être une fonction unîrorme. Considérons
en eflét un polynôme P(j') premier avec sa dérivée, et de degrr
supérieur à 4î l'équalion difrérentielle y*z^P(y) ne peu!
admettre d^intégrale uniforme. Soient (jTj,^ y^) les valeurs initiales
des deux variables x et y; lorsque | >[ augmente indéfiniment*
T tend vers une valeur (inie a, et inversement lorsque ^ va de j*(
en a, 1^1 augmente indétioimenl. Le poinl x — a e-^t un poinj
KTlUiB DE yUfciLQl KS K^TATtO^îi lU l'HKMIKH OIHmK.
ùol
I
crîtiqu*!; algébrique, nous venons île le voir, pour ririlégrale de
Péqualion z'^:=z z^P(-^ t\n'\ rt'inl vers /.éro lorsque x tend
vers a puisque le de^^rt' *le V{X) est supérieur à 4 (* )-
it^. Existence des fonctions elliptiques déduite de Inéquation d^Euier.
— Les raisrinni^mcntH du précédenr (laraji^iaphe prouvera en piiriicuUer
cjue l'iii té lirait: ;;ént*r'ale de IV'qualton j''' = H(j'), où Fl(j )ei5l un polynimii'
<iu troisii-rue ou du i[UHirii^iin; de*;ri% premier avec sa dùriv^^e» e^l une
fuuclion uniforme m('roFiiiir|ihi" liansi ti»ui le plan. D'aulre pari la loncttoii
inverse, qui est un(* iiiU*|;rale ellipLit|ue de première espèce^ adiuet deu\
périodes donl le rapport est imaginaire ( ii" ;Hi). Getie ronciion uniforme
est dofH! duubltïnienl pr'riodiqu«% Cl nous diMiiontnm^ ainsi IV\i^tence des
t'ont'tions elliptîijue^ pai le Pidcul intéj,'nil seylemeni. La tl énn i ri «^t ration
prt'cédenie de t'uniftiruiilé de la four lion inverse th; rinlr^'iale elliptique
de première espèce e-*! di^lim te «ïr eelle i\uï a élé dounre plu:^ liaul, in" '4'dij).
où nous faisons appel aux proprirtés di* \n fonction pti. \<vus montreroiiî*
encore en tpiekjues mot?» rommenl on f>eul preiidr»' pour poini dr départ
tie Ifi théorie riuté|;ratian de IVquiitîou d'Euler, c« <;|ui pourra donner une
idée de la jnarclir suivie par les inventeurs.
Gonsiilerons tfabord l'équaiion dilTéreniielle
flr dy _
rinléjçrale générale ejit x ^J \ — ^v'-J-^/i
j'=^ G (u" 375). H est
(') \\m\^ urn (le leurs Méujoircs, liriol vX linuquct )*'tilaient propuî-é tle d»^trr-
mincr tMUtes \^s i!^quiilioii«; Viy. y) ~ o, oh V est un jiolyimiue. iloiil l'intégratc
gèncrak est un«" faiictKoi unifurmc \ Journal de l'École Pol y technique^ l. WIj.
Des cui»ditioiis injnvt-fS par eux. M. Ileniote a ilêthiil que la reLHioii eu Ire y
et y' e-il du genre /rm ou nu t Courâ lilhagraphie de i'A'vnle Poirlechnique,
1H73). tle sorte que l'on pLnit apphquer pi>ur tMitéi^ralioii lu uiétlonlc du u" 37.i.
Si lii rcUtoui est du ^enrc /.én>, ou peiM ex p rouer y et y pur iJe> (ouctton<» rd<tiou-
fielleâ d'uii paramèire i\ \a variiihle jc, qui n'ohtjeut pnr 010^ quadrature, doit
élre é^ale à uur (jum tiun linéaire de /, JC = ^ -t ou au to^a rît loue f l'une frifi€-
lion de relie: es()i^ce .£- - \ \A*%y - — — -j I» \n\i\r qui^ I inlegraie de I «:quatuoi pro-
posée Mot une fioirLioii outlonne. Si l«i relation est du K**rire uu, ou peut ei^primer j'
dj^ f dy ^ r
et y par de^ ll>rMU|l>u■^ «:lliiJloTues a un imi .«m» ire m. et -^ = —; -"f oûil se
-^ ^ du y du
réduire à une êuii-^uinti-. I<e prohiéme d*î lïrtoi ti Bouquet a été gënêralïhé par
M* K'urlis, qui a Imiué les rioiditioos néees^aires et suftisanles pour que l'iule-
grille ?;eiiéra(e d'une équation du premier ordre F(j?, jKi JK ,1 = *n alj^ebrique
en ^V cl ,v\ n'aduirlte que des |ioiuH critiques fixes. \\. Piouearé a uooitré depuis
que, loriii|ue cei» •'oiKtiLionâ ^i»nt rrnqilie^^ on ei^l ramené ti de;^ «(uadrature^ ou â
tics équations de liircati ( Acta ninthetnuticu, \. Vil ).
Soi riLIPiTRK \\l. — ÊOtîATlONî^ l>IFI'KHK%TIKLLfcS SOS LI^'kAIRE^^
clair que celle inléf;rale i^éiiërule e>i d»iimée mi>^\ \\itr Irquatioii
arc siûx H- arc.sin^ = G',
ei par 511 il e qur Von a nm^ rt^^lalion de là Inniie
«rc sijï or -+- arc ^iny — F(j? /i — y^-^y ^i ^ x*) ;
(îour déterrinner la foiiitinii V^ supposons ^ = o, nous avons en définitîvf
(io) arc ^lur — aiv sîn/ — arc %\a(r \/i — J'*-»-/' v/i — ar*). d
Celle relation e?i ei^uivalente à la forniult? d'addiiion. Prenons en eUct
deu\ arcs» u cl i' déterniinc^ par le^ rondiiions
;r = sin «,
/i — ^1= COSM.
J^ = HHM-,
^/i^vs =
cost-.
lefî radicaux élant pris avec le^ mêmes valeurs que dans les fornaule» pn
cédente^. La relation i'io) donne
OU
^ /F— j'*-!-^ v/i — :r*= î*in(M -H »•)
sin( M -V- t? ) = sin m co<.i' h- sin t^ co«i u.
Mais ce serait méconnaître la [M»rtée de celle reoïarque que de n'y voir
qu*itne dëmonsiVation in^'énieuse de la formule d'addilion pour 5În J". ISrm*
altmift niojilrei au contraire conimcnl cm pourrait t-n déduire très >implt'-
nicnl rexi^leiice d'une frtnction uniforme enlière «^alisfaisanl à réquatiun
dîHereniielle
<3i)
y = 1 - J*T
et se réduisant à zéro pour x = o, tandis que y' esl égal à -t- i pour x =o.
Le ihcoréme général de Cauchy prouve bien qu'il existe une fonction Skn»-
lylique o(.t) f^arisfai^anl à ce«t condilionsi el holomi>rpbe dan-s^ le domain?
de Torii^îne, mais ne fail pas connaître le rayon de converfçence de la ^nt
eutière qui représente ^\x). Soil B ce rayon de conAcrgfcnce; le cerel** ^-
de rayon K» ayant (jour centre forigine, est le plu*^ grand cercle décrîl »lc
l'origine à riniërieur duquel «f(.r) est lioloioorplie. La dérivée çp'jjjé'-t
holonïor|die dans le même cercîc el l'on a îp'*( x) = i — t>*(.r). Cela p«*Ct
reprenons l'équation {il%U ^^ faisons-y le clian|îenieni de variables ^ = »(«k
jf* = f^{%^)^ « el v étanl les deux nouvelles variables el ^ la fonction qui
vîenl d'êlre définie; si Ton rlioisil les déieriuin-ilioris des radicaux d'iinr
façon convenable, non* avons aussi /j — ^'=^'(it;,/r — y»=:o(v),cl
Téquatiou (29) devient du -^ dv — a, L'inté|;rîile générale de celte équ
tion peut donc s'écrire sous deux formes dilîé rentes
w H- V' = C. X \Ar
OU
Un en déduii cuiiiine tout à l/licure que Fun a une rchitian entre u ^- f
et c{ « t&W r) H- <^'( u »(»(p); on achève de la ik-terrainei en fâirsaiït t» = o,
ce qui donne
{ il ) ^ ( W H- t* ) " f i U ) ^i'( r ) H- ©'( W )q( i* J.
r^ette rplalroTi est vériti«^e |K»ijr\u que l'un ait | m |< R, |t' j < R, . w-!~ï^| <R»
W R
re qui aura lît-u certinneiuetit si I'imi a | tf | < ~ï [v( < — * Supposons p = «,
Fi
et |a[ < — ; ï'écjutitioii (3'2) devienL
(3^)
5p(-Jl«) ^ A0(«.)^'( W).
Soii ©i(m) la fonclion 7J^\—y^*(—\\ celle fonction ©ifw) est holo-
moTphe dans le cercle de rayon i R décrit de l'origine comme rentre, et
d'iipréis la reblion {33» elle c^t identique à la fonction liidomorplie 'f(«|
tians le cercle C de rayon R. Ces dvvw foijctions gt M )i îii( u) ne formcnl
donc qu'une même fonclion analytique^ qui es^l holf»niorplie en dehors du
cercle C. H est donc impossible que le rayon R de ce cercle ait une valeur
finie: par ^uite la fonction o( w \ est nixe fonetian entière de w.
Cnnsidérons maintenant l'équation dillrrenticllc
<34)
yt = n-^r^j(i--A'^»),
en adoptant pour le second membre la forme normale de Legendre^ et
proposous-nous d'éiudier Tintégrale X(.r) de celte équaiion qui ent nulle
paur ^ = o, sa dérivée élant égale à H- i . Celle fonction \{x) est holn-
niorphe dans le domaine de l'origine. Soient G le plu& grand cercle décrit
de rorigine pour centre a Tîntérieur duquel ta f*inclion \{x) est raéro-
morphe» el R le rayon de ce cercle. Si le point singulier de X(jr) le plus
voisin de l'origine n'était pa*? un pôle, on prendrait pour G le cercle pas-
sant [lar ce pnint singulier, et la fonction k{T) serait alors Uolomorphe
dans ce cercle» Cela posé, reprenons l'équalioii d'Euler
<3S)
dxi
dx^
\f{ \ — x]){ i- k^x] ) )/{ \ — x\){i- k^x\)
dont l'intégrale générale peut s'écrire, en multipliant les deux termes de
la formule (66) (p. 'i3G) par la quantité conjuguée du dénotninateufj el
supprimant le facteur commun x\ — x\.
(36)
3^1 /( t — X\ ), i - X'' JCf t ^ j^ /( I _ ^1 )( t ^ k^T\ ) _
t- k''x\x\
= G.
LVauire part^ en choisissant convcna blême jit le signe des radicaux, le
cliangetnenl de variables Tî == XO )» j?j^X(t*) conduit de l'équation (35)
à l'équalion du h- dv — o, dont Tinlégrale générale est u -h v — C\ Faisnn!*
Iti riN mt* *ub>lihilîrMi tliiris Li fnrmule ( 3<i ) ; n^nis avon^ donc une rrlalioa
de iti fi>nne
I — XrU*(u)XMt')
= F ( « ^ t* ),
et ni)u^ délermîiH^rtm* encortî la forme de la fmn tion F en «upp*i-^i*nt t» =a,
ce qui donne F(m) = X(«J, el l'on a cîn dt'liiiitivi^, la relalion
(37)
/ ( « H- t; ) =
>(«|V{r)^X(ir)>/(tt)
Kn supposant t? = u^ i\ vient enfin
^38)
1 j a // ) =
ftirniijir qui a
la IV» net ion
lieu potirvu qui* l'on idl \u\
Gela étant, confid
<** ( M ) =
cette fonclioM e-^t no*rfvnNir|dif tlao^^ 11- cercle de rayon iH décrit de Forigine
pour ccniie. pai^qu^dle csi le qiïotieni de deux fondions nu^romorphe*
dans ce cercle. D'ailleurs, elle coïruMe avec )j « j à rinlérieur de C, <ra[>rèâ
\n relalion ( >8 ). Le;*- deux fonclion^i A{u) el *(m) fojiiient floue une *riilc
fonction aniilytique, et \{u) est méroniorpUe dans un cercle plu? grand
que C. [I est donc impossible de supposer que le rayon B de ce cercle ail
une %'aleur Hnie^ et par suit*- la fonition liu) est nicrornnrplic dans tou^^
te plan, ^H
La formule (f;) couç'liiue la formule iraddiiion ileiv ar^unirnis pour la
fonction X(h}. Loriique X lend vers ïéro, on retrouve à la limite la for-
mule d'addition pour sinu. La fonction sîna peut en effet élre considér
comme une dé^énércficence de \ i u ), obtenue en faisiinl tendre X \cr* z^n
iâri. Équations d'ordre supérieur, — L'èiutle des propriétés des fone
lions délinies par des équations flifférenlielles d*orrlre supérieur prcï^enH
des difficultés» bien plus grandes que celles que l'on rencontre pour Id
équations du premier ordre. Ces difficultés liennent en grande partie à I
présence jiosfHible de *iinj.:ula rites essentielles mobiles. Ces «ingubritâ
peuvent être en même leinps des points essentitds et des points criti«ni€l
transcendants, comme d.ius l'exemple suivant dû a M* Fainlevé. La f<mciioi
m)
K-p[Ug(A^^B); gi, gi].
où A et B sont deux conslantes arbitraires^ est rînléjirale générale «k,
M. — ÉTl DE r>E QtËLQirES ÉQUATIONS Dt: PRIiiHlËn OttDRK. SqJ
réquation i\n 'yfvtnul ordre
)
4r •—-?».>'-#'. /4^._^,^-^,
À
B
Duns le voisinage de loule valeur de a.\ il idr rente de — -j* celte fonc-
Ikon (39) est lioloiiiiir^>lie au iiiéroumrphe.
l,or<ique j^ tourne autour «lu |»iiini — - ? la fointitui iirlrneL une infinité
de valeur* <lirtérentes, pourvu que aiTr ne soit pas une pHiiîe aliquute
fFune pénodiî de la fouclif>n p{u; ^^^ g^ ). D'autre part Jorsque la varîalile j:
décrit une courbe de forme quelconque telle tjuc [ A r H- K| tende vers zéro,
le point qui repn-seiiie la quijutité a= Ln^iXx-^ B) décrit nue courbe
avec une biamlit; intinie. * eUe rôurbe traverse dune une inlinilt* de [>arnllê-
lo^ ranimes île période"^ ilç Ui functinn pw^et pai' suite ^]K ne ten*l vers aucune
limite, linie ou iuliuie. Ainsi, quoique rintêj;;rale i^tncrale île rtH[uaUou \ 40)
fie pré*<entc ni points eritiqueîs fi\es, ni points critiques aigèbrif^ue^ mo"
hiies^ tju ne peut en conclure qu'elle est uuiforuie. Ceci tient â la |>réscnce
d'un puint critique trauscendant nnohîle, le point t — — —-
X pai tir des équations ilu i roi sic me ordre, les points singuliers trans-
cendants mobtl+'s peuvent former des lignes. Il est facile de coRiprendre
fôniiBcut uue fonction analviiquc admettant des coupures peut n'avoir
aucun point eri tique i\>ïn^ tout si m domaine d'e\isience, sans être pour
f-ela ynifioinc. Considérons par exeinple une fonction analv tique /(a*)
holono»rphc dans la couronne comprise entre deuii cercles C et C décrits
du point a pour centre» et admettant C et C comme coupures essen-
tielles (l'^SiS). La ftjiiction F( j") —f{.r\ -h hog{x — a) admet encore les
lignes C et C ciimiue coupures; elle est holomorpUe dans le voisinage de
|o»ji point r eonijois entre M et (7, et cependan! elle admet une infinité de
déteniiinations pour toute valeur de x dans ce domaine.
Ces diflicullés ont longtemps arrêté les géomètres. Ce n'est que dans des
travaux récents que M. Painlevé a obtenu des équations difTérentîelles
a Isré briques du seeond ordre, qui s'intègrent au moyen de transrendantes
uniformi*^ es^eiilielleinent nouvelles. Parmi les équations de M. Pionlrvé,
je eiteiai «seulement l'équation
oà s et ^ sont ties constantes /ap ^^ o ), dont l'iiitéf^rale générale est
une transeendatile ménonorpbc ( ^ ). ( ^H^/fV*/* de la Société Stafhf^m.,
t. WVIII.)
{*} Il est faeîle, en partant des équations linéaires, de former de* systèmes
d'équations différentiel les qui Kénéraliseni rèquatiun de Ricciiti» et dont les inté-
grales ii'onl pkis d'autres pnmls <inmili€rs mobiles i|ne des jh'jIiîs. KtioU donné.
IIL - INTÉGRALES SINGULIÈRES.
va. Intégrale slng^ullère d'une équation du premier ordre —
On a fléjù rf*nii*n]Nr a pliiaiiHirs re[>ri^e^ (n"* 372 et 376) qu'une
équaliûii ditlereulielle du |iremîer ordre petil admettre cerLiinf!»
iiilégrales qu'il serait impossible d'obtenir en donnant une valeur
parliculière à la couiitaiite arbilrnîje (jiii tignre dktns Finté^riile
f;énrrale. (]e résnilal païak en cnn liiidieliiHi avee le lliéort'm''
établi plus liant ( n'* 387) t d*on nous avons dêdnil nne délinilion
précise de Tînte^rale générale, (jeci noos amené à reprendre le
théorème fonda me niai de Caucby, en examinant de plus [irès *t
les bypollièses comprises diins Tenon ce st>nt iiécessaii^einenl véri-
fiées ponr tontes les intégrales. Considérons» pour fixer les idées,
une rqitalion du premier ordre
(4i) F(ar, jr, /) =o,
V étant nn polynôme entier indécomposahle en Jt^ y^ j^, Ai
degré m en ) ^ A tout système de valeurs (.r^, r,, ) Téquation
lait correspondi*e en général m valeurs distinctes et linîes v,,"'
7 ^, . , . 'f y,f^ pour I '. Plaçuns-ïious d'abord dans cette hypothèse.
par exemple, un M'stnme de tniîs équation» linéaireH du fireniier ordre
( a ) y' -h av-hùz -h c « = o, *' h- «,^r 4- &, - -4- f ^ a — o, u' -h a^^r-^*^- 1 -f-c, m =ai
61 l'on ptise^y = uV, z — «Z, Y el Z stuit le* inlégiiile* du !iyât<^.ine dVquMiioti
\ Y'-f-aY'+-6Z 4- c — Yra,Y -h AjZ-hCj) =o,
(?)
el (I f!it cliiir c|ur tes ^etih poinis singuliers ninbites dci» inléj^rales >ont de5 |
IMuis il esL à reniiint^'*^"* '1*'*^ **** '»*t^st P^"* It' s}*i*^inp d'èt|uation* dilTérentielk»
plus |i<*>nér*il de lu fi truie
( r ) Y = il { X, Y. Z j. Z' = \\, {x.\ri\.
\\ cl Hj rtkim lies funcLion?, raliunnelle!i di* Y el de Z, qui jouisîic de celle pro-
priété. Kn ctTet, sori^nl Y = ^( Y,, Z,)* Z r^r 4'( V,, Z,) «les formules déliiiîs^^nt i»»f
transformttiion de Cremonfi, de! telle sorte l'jue l'on puisse en ririT in%rr«<^-
nient Y, — ?t(Y, Z ), Z, — *^, (Y, Z). s. ^, f,, '^, éLwnt de^ fimclious r«lioftnelle^.
Si l'on fippli(|ue celle lr<itisforindlion au système (P)< on serii cunduît à ua %p-
iéme jtjiitrt^iint île ta iiiéfiie pn>priélé, qui ^er» bien de Ih funiie iy)^ nisiis noi
pîi* en gifnerjil de la fornie O),
I
I
llï. — 17STKGRALES SiNGULlÉBES. 609
Lnr!>c|ue |x — x^\ el \y — yo\ lendenl vers zéro, le^ m raciues do
Inéquation (4i) lendenl respectivement veisy'j, >'^* . . . J^i„» et
chacune d^elles est une foneiinii lioloranrphe dans le domaine du
poinl (j^o, Xii)' La racine qui tend vers >'^ par exemple esl repré-
sentée par un dévelo|)peiMenl en série entière
(4*) y = X^2/( x — j:„)-+- P/(j^— jo)H-. .;
on p'-iit appliquer le théorème de Caiichj à réqualion (42), et Ton
en conclut que cette équation admet *ine intégrale et une seule
lendanl vers r« lorsque |x — .r,i| tend vers xero. Cette intesi;rHle
est holomorphe, et le dévelo|»peuienl dey — j'^ commence par-
le ternie >'^(^r ^ — x»), A chaque racine de Féqualion {^i ùt's) cor-
respond ainsi une intégrale.
L'équation diiréreutielle (jt) admet donc m intégrales, et m
seulenjent, prenant la valeur jo pour a: = Xq^ et ces m intégrales
sont hnlomorphes ânns le domaine dti point J^t». En ïan^a^e géo-
ni«''lrîque^ on peut dire encore que, par le point M|, du plan, de
Cfiordonnées (j7o, r©), passeni m courhe^i intégrales, avec rtt lan~
pentes distinctes, le point M(> étant un point ordinaire sur chacune
déciles./ Lï'ailletns, toutes les intégrales de Téqualion (4'-^) qo!,
pour x^^x^j prennent une valeur voisine de y^^ satisfont à une
relation de la forme 4>(x, r; Xq, y^-h C) ^o (n" 387) et rinté^
grale considérée correspond à la valeur C = o de la cou si an te
a ri li traire.
Si, pour Jt := JTo, V ^=jKoî <'<it' racine de l'équation (4i bis) e>t
infinie^ il suffira de regarder inversement jcomnie la variahie indé-
j>endante et x comme la fonction inconnue. L^équaliun (4') &sl
remplacée par une équation de même forme F,(.r, j^-, j:^) ^=o^ qui,
pour *r =^ j:„, K =^T'ii. admet une racine nulle x'^o. Si c'est une
racine simple, on en déduit pour x — ^ Xo un dévelopjjement sui-
vant les puissances de j' — jo commeuçaut par un terme du second
degré au moins. Inversement, le point Xo est un point critique
algébrique pour T intégrale qui tend vers ) ,j lorsque |x ^ X(,| tend
vers iéro (n"3aK). Par le point (x(,, j^o) i' passe une courbe iuh'-
grale dont la tangeule est la droite x =: x^./
I Les coordonnées (^Xi^^ yi^) d^u\i potni puurlequel Téquation (4i)
a une racine multiple satislont a la relation
(43) H(ar, ^) = o,
oblrniie en i'Iiriiiiianl )' eiilre Ifîi detix relalions F ^= f*. -r-, ^o,
L*é(jnaliiMi (4-^) représenle une certaine cotjrbe (y), el pour tout
[>oii»l de celte courbe réqiii»hoii (4i) tHJimH une ou |)itjsieur>
racines nmtfi|ileâ. Soient (\r,j, >"<,) les coiinlonnêes d'iiu poini
ordinaire Mu pri*» sur eetle courbe alLrébrique; nous supposerons,
pour rester ddus le eîis le plus siiu|>le possible, que TeqnalioD
admet une racine double kJ^ a van l uire valeur fi oie; si celte racine
doul)le était infinie, il suffirait de permuter x el r pour élrr
ramené au cas (ni elle est nulle. I^orsque j .r — ^*o| et |j' — r*|
Mjut très petite» IV^jualion (4') admet deux raeines qui diffèrent
très peu de j ^ ; ces deu\ racines ne son! pas en général des fonc-
tions holomor|î[ies i\*^s variables x el y dans le domaînc du
point (xo, >^(,), mais leur somme et leur produit sont des fonction*
bolomorpbes( ' ), de sorte que ces deux racines de IVquation (41),
qui tendent vers j}.'[^ lorsque [jr— *Jû| el |j^— ,)'•[ tendeol ver^
zéro, sont aussi i*aciries d*une équation du second degré
\M) y*— aP(,r, Ji/h- Q(^',^j= a,
P(»^, y) et Q(x, y) étant deux fonctions holomorphes dans Ir
voisinage de Xo, l'o- On tire de Téquatitm (44)
/
(4>;
y^ P(x,^)rt v/F«(x, ^)- QU^^),
^iijLKi
et les deux racines soni é^^ales pour tous les points de la courltc(*'i 1
qui a pour équation I*- — Qr=u; cette courbe (Yi ) lait néce>-
sa ire ment partie de la courl»e (r) et, comme elle passe au
point (jTo, ^>^o), elle se confond avee (y) dans le voisinage de ee
point. Pour étudier la courbe intégrale eorrespundante, non*
supposerons qH%>n a transporté roii^îne au point M«. ce t|«J
revient h poser jr^^yt, ^o* *
LVirigine étant un point simple de la courbe (v)^ si Ton a rhoi!»!
les axes de coordonnées de facoii que la tangente à l'origine Df
soit pas Taxe O^ lui-même, Téquation P=^ — Q =: o admet un*
(') Cg> propriétés s'étabtisseol de ta nrn^mc façon que les tiicorêtiie!^ correspoo*
dantSy relâlifs aux foncttons iinpiicitcs d'une seutc variable (n* 356 )«
lNT£(iR\LE!< SlNGrLIliRES.
5ll
racine hnlomorphe ^ = J' « (^*ï') tendant vers zéro hirMjye j' teml
vers zéro.
En général l«* coffficifnl tin^^Lilaiie de ta Un^^enle à la coiirbt*(Y)
à I origine est différent de la racine double Vy^: P(u,o) de Téi^na-
■lion (4^) pour j: =; V = o; admettons d'abord ce ptiint^ qui e^i h
peu pr^'S êvidenl, el s tir lequel on reviendra nn peu plus foin.
t^ela étant, pn^^ons dans Téqualion (45) i = jj'"! H- 5 ; elle devient
y\ -h s* = V(t, j'i -h 5) :+r ^/^*t;r, x ),
4>(.r, 5)etiinl une série entière en x el ^. Il est elair en effet que z
doit être en faeti-ui^ >mus le radical af»rès la suhslftulion r ^Vi -h 5,
puisque ;*( e»l rueirje âv rérpiation P- — Q =^ f>. Si nous ordon-
nons *I*i.r, :;) sui\ai»t les puissances de z^ nous avons un dévelop-
pement de la Inrme
4*0' *^ty '^t ét:ini des fr»netions régulières de .r dans le voisinage de
Torigine* I^a fonction 'J'tt(^) ne peut être nulle pour Jf ^ o, car
le dévelop[iement de z^(x^ z) ne renfermerait pas de termes du
premier degré en ;i\ z^ et par suite le développement de P- — Q
ne renfermerait pas de terme du [ireniicr degié en .r» i , contrai-
rement à rii yjiolliésf^ De inêuie. si nous remplaçons i| par son
développenienl dans la difrérence P( r, j', H- ^) — y\, nous a von s ^
en ordoiinant suivant les puissances de z,
la première fond ion f i>(x) n'étant pas nulle j^our x ^= o, puisque
K|iar h}' pot bè se la dérivée r*| <*st différente de P(u,o) pou«^ Foi*!-
•^giue. L'éq nation {4^) est donc remplacée par une équation de la
forme
J46)
,.àz s/^)/^i^{Jr)-h s'^iir}-
nés fonctions 'foix) et i«(j:') n%'tant pas nulles pour jr ^ o.
Posons dans cette équation z == f/-; il vient, en adofïlnnt dVbord
une détermination du radical qui est au second memlire.
Le second membre est liolomorplie dans le diunaine du point
CïfAl^lTBE \\l
KO l AT ION S rilFPKRKNTlELI^S NON LINÉAIRES.
x^o^ 11^ (^ [Miis<|ue 'iu(o) n'est [Vàs nul, et ce second membre
n'est pas nul pour x ^ o, « = <>, fMjistjue '^o(c') n^^^t pas nuL Le
coefficient difï'érenliel -r- est infini pour x=// = o. L'équa-
tion (47) ad*net donc une inlégrak^ et une ^^eule tendant vers Eero
iorsque.r tend vers zéro (n" 116) el Torigine esl un point critique
*il|;ëbrit|ue pour cette intégrale.
L'équation proposée (44 } admet donc une intéi^^rale y ^^ y* -^u
tendant vers léra lorsrjiie j: tend vers zéro; si Tiin adoptait puur
le radical la délerniinalioi] opposée dans l'éf[ualïon (47)? cela re-
viendraii à changer tf en — a dans l'elte équation, et Ton obtient
la même fonction >', -j- if'^. L^ origine est un ]>onit critique algé-
brique pour cette intégrale. Soietït «o le lenne indépendant de z
et d«* N dans le développemeni du second rnenibre de récpia-
lioti (47) ^^ ^1* '*^ coëflicient de it dan> te inènic dévelopfienieut.
En développant x suivant les puissances de Uy on trouve
inversement, on en déduii pour it une sérte ordonnée suivant le»
puissances de ^
U = /«s, JT* "h Y a? -H. , . ,
-i
et le développement de ^^, H- u- renferme un terme vï\ x' , L*ori-
gine est donc un point de rebrousse ment jioiir b Ciuirbe inté-
grale i|uï passe en ce p<ïiiit, et nous pouvons dire encore que fa
courbe (y), représentée par t équation (43), est, e« atîit^kx.^
te lien des points de reùroussemeni des courues intégrales*
Par un point de la courbe (y) il passe donc en général une courbe
intégrale avant un rebroussemenl de première espèce en ce poini,
la tangente de rebroussement ayant pour coefficient anguldire U
racine doublej^^. Si Téquation (jt) est de degré supérieur à a, il
passe par le même point d'autres courbes intégrales, correspon-
dant aux racines simples de l'équation F(xo, ^v»^ y*) = o, sur
lesquelles ce point est un point ordinaire,
La discussion est tout à fait difierente lorsque, pour U)ut
point 1 jt'o, Ko ) de la courbe (y), la racine double cor respon dan le/,
de Téquation (4i) est égale au coeflicienl angulaire de la langenie
<n
à la courbe (v) en ce poiiil- tJïniâ ce cas, nous voyons d' m bord
que celle courbe (y) est une courbe inlé|çraie de Féquation (4'}*
De plus, c'est une intégrale qui échappe complet ement an ihéo-
rème londamental de Caueliv, quel f[ue soîlle porjitqne l'on choi-
sisse sur eelte courbe pour fixer les valeurs initiales de jc et de k»
Si Ton (irenfl en eiïet le point (^To^^o), l'équiâtiou
admet deux racines tendant vers j^Jj lorsque |x — Xû|et|j^ — jKû|
tendent vers iéro, mais ces deux racines ne sont pas en général
des l'onction s régulières des variables x cl y dans le voisinage des
valeurs x,i, j'o, et nous ne pouvons appliquer le ihéurrjne de
Caiiehv* On dit que rintégmle aijjsi obtenue est une i nié if raie
singulière, La rci'berclie des intégrales singulières n'oftre thëori-
quemetit aucune dinicultt'% puiscpril suflit évidemment dVxamitier
si la courbe représentée par Tcq nation (43) satisfait à l'équation
différentielle (4<,K ce qui n*e\if;e qu im calcul d'élimination. Il
peut arriver que celte équation (4^) représente deux courbes dis-
I tînctes, dont l'une est une itjtégrale singulière et Tauti'e le lieu
des points de rebrousseinent des courbes intégrales.
Lorstpie la courbe {^) est une intégrale singulière, par chaque
point de cette courbe, il passe en général une autre courbe tnlé-
grate langente à (y). Prenons poitr origine un point quelconque
de (y); nous connaissons a priori une intégrale y^ de féqua-
tion (4S), c'est Pinlégrale singulière pour la(|uelle ou a à la fois
(48)
y\^V{s,yo, 9Hx,y^) ^Qi^fyt)^
Ed posant comme plus baut k = J'i -h s» Péqualion prend encore
la forme (46)^ mais dans ce cas la fonction y<,(j?) est uutle, puisque
5 ^=: o doit être une intégrale de celte nouvelle équation. Les autres
bypotbèses étant ctujservées, la fonction '|'tt(^) n est pas nulle pour
jr ^ G, et si l'on pose ensuite z = u''^ dans Inéquation (46)» on est
conduit à une équation dont tous les termes sont divisibles par u.
En divisant par u^ il teste une équation dilTérentielle
à laquelle on peut iqqdiquei- le théorème général de Cauehy. La fonc-
lioii *}l,(^/^) n'étant pas nulle pour j: = o, les deu\ détenninations
I.-, tl. ss
À
Si4
CHAH TA E XXh
KQDATIONS DIFFKRENTI KLLBS !SOX LlNKilRRS.
du rudical sont holomorphes pour jr = o» u ^= o. L'équation (^
admet donc df^ux iutégrales liolomurphes dans U; domaine de rort-
gine, S' annulant poitr^- =: u, et l'on voit aisément que ces deuv
intégrales se déduisent Tune de Taulre en chan^eaul u en
L'équalion en y admet dûnc uue Liulre courbe intégrale
qui est tangenle à l\>rigine à la courbe (y). Mais il y a une
renée essenlielle enire ces deux intégrales. En cll'et, on peui appT?
quer les ihéoièmes généraux du n" 387 à l'équation ( Î9 ), et Tin-
légrale de cette équation qui esl imlle |iour x ^ o appartient à une
famille d'intégrales dépend a ni d'une constante arbilraire, IJ eu esl
donc de mente de rintégraie (pii est tangente à l'origine à Tiuté-
grale singulière, taudis que Tin Légrale singulière est elle-même eo
général une solution isolée; on sVxplique aisément ce faii,
puisquVm ne peut i^ppliquer à celte inlégrale les raisonnements
qui prouvent Fexislence d'une intégrale générale ( n" 383), dont
on pourrait la déduire en lion riant une valeur particulière à la cons-
tante qui y figure.
L'intégrale singulière est donc eu général renvelopr>e de* autre*
courbes intégrales, Lagrange avait déjà remarqué que l'enveloppe
des courbes refuésentées par l'intégrale généi-ale d'une équatiou
différentielle du premier ordre est aussi une intégrale de la même
équation, ce qui est à peu près évident puisqu^en un poiot
quelconque de la courbe envelop[>e le coefficient angulaire de la
tangente est le même pour la courbe enveloppe et pour Fenve-
)oppée,On peut retrouver aussi de cette façon la règle qui permet
de déduire Tintégrale singulière de Téq nation diHerentielle elle-
même* En effet, prenons d^abord un point M très voisin de l*enve-
lop[>e; par ce point M passent deux courbes intégrales^ tfè^
voisines et les c*jcnicicnts angulaires des tangentes a ces deui
courbes sont eux-mêmes très peu différeuls. Lorsque le poiot H
vient sur renvelo^jpe, ces tangentes viennent se eonfundi^ à U
limite et Téquation (4i) admet une racine double en y, [Votr
T. I, n** 202.)
En résumé, nous voyons que, pour une équation du premier
ordre, il peut se présenter deux cas tout à lait dîslincts, suivant
que la courbe (y) est un lieu de points de rebroussement ymt
lU. ^ iMKUkALKH SÎNGULIBHK8. 5l5
les courbes intégralets ou niio inlé^iiile ^iiif^uiièie. il esl naturel de
se demander letjuel de ces deux cas doit êlre considéré comme le
cas normtii. Un peu d^alLenlion siifr»! pour montrer t|lu^ c'est le
premier. En eifet, la ciiurbe (y) est aussi l'enveloppe des courbes
représentées [>ar réquHtion F(.r, y, «) = o^ ou a est le paramètre
varhibic. S! TéquaLion difrérenlîelle {^i) admettait une intégrale
singulière, quel que fût le polynôme F, on serait conduit à énoncer
un rësuh^u dont riibsurdilé est manifeste, à savoir que^ en chaque
poÎBl de Tr^nveloppe d'unt^ famille de courbes algébriques, le coef*
ticienl angulaire de la tangenle est égal à la valeur du paniuièlre
correspondant à rerivelojipée tangente en ce point. Si cette con-
dition est vériliée pour une famille de courbes, il sulfitde changer
le parauièlre (en posant parexeniplc a==^ a^ -\- t) pour que la con-
dition cesse d'être vérifiée. On voit donc que y si Ton part d'une
é<| nation du premier ordre où les coeflicients de F sont pris au
hasard (et non d'une équation fournie par rélimination dVme
construite arbitraire), les cas où il existe une intégrale singulière
doivent être considérés comnie exception neis. Si ce résultat a pu
jadis sembler paradoxal à quelques mathématiciens, cela tient
sans doute à ce qu'on avait surtout étudié^ jusqu'aux travaux de
Cauchy, des équations dont Fintégrale générale se compose de
courbes a Igé Iniques. Comme une famille de courbes algébriques
admet en générai unf i-ourbt! enveloppe, il paraissait luul naturel
d'étendre la conclusion aux courbes intégrales d'une équation
dillérenticlle quelconque du premier ordre; cette induction, nous
venons de le voii\ ji^éiait pas justiliëe ('). Du reste, it»éme dans
le cas où une famille d*- courhcs [danes dépendant dVm |>ara-
t(*) Dans la Lbéoric des eiîveh>p|Tes, on ^iippo^e iniplicilmicrit que didni» te voi-
page «i'un sy>t»^m<' lie sululion^ j,,, >'^, a, des dey\ équaliuns^ /{«r. j', a) = o,
^ =: n, Itfs fouet i4>iis / et ^ vuiit cou ti nues din^i que leurs dérivèt-s païtjellc»,
de fa<:i>n qoe Ion puisse appliquât iiiJjt fonetjous x et ^v de a delin^es par ce»
di'ux équation» les ri*is'iriucnienis que l'un applique iiujt foocUons iinpiicîtes.
Or, étanl donnée uni* éiiUinLiMii ililîércnlieile du |ireiiiier ordre, utjus savuim bien
<|uelle iidineL une intinitê d'intrf! raies, diipeiuiant d'une constante arbitraire* et
représentées dani» un certain doîiiatne par une équaliim 9(Xf y^ C) = u^ mai^
rien ne prouve a priori i\ue celle fonclion ç(\r, j'* C) saiisfail au\ condtlionâ
que nousi venons» de rappeler. Nous pouvons même affirmer qu'il n'en esL pas
généralement ainsi.
5l6 CMACITHE X\l. — Egt ATIOT^S DlPFERENTtKLLËS NON LlNàAlRES.
int'lre vnriâble admet une eiiveluppe, la inélhode qui permet de
trouver eette enveloppe donne ausî»i, on ï'a observé ( u '' !2tU
et 202)^ le lieu des points *.in;(idiers.
i^O, Exemples. Remarques diverses. —
(5o) j^'^-F-ax^' — ,K = o.
V
l'équati
Les deux valeurs de j^' sorit égales» pour tous les points de la fia-
rabole j' H- .r^= o, et la raeiue double est égale à — j.% taodi*
que le coefticient angulaire iie la tangerile à la parabole est — 2X*
Cette courbe n'est donc pas nue intégrale isfrigulière; nous allons
vérifier que c'est le lien des points de rebrousseuïenl des conil>t^>
intégrales. L'équalioii (5o) est une équation de Lagrajige; en lui
appliquant la méthode générale (n' *\ll)j orj trouve que les coor-
données ^ et^ d'un point d'une courbe intégrale s'<'xpiiutent 9u
moyen d'un [laranièlrc yi j^ar ïes f^u^^nnles
4
(5i)
*r = — - —
p'
Ce sont des conrl>e> nnicursales du 4*" degré; poin* les valeurs du
paramétre cpii sont laciiies de tV(|nation /^^ -i- 3( * = u, on ;<
-7- ^= -7- ^^ o. Chacune de ces courbes a donc trois 001 ois de re-
dp dp '
broussemeni, et Ton t>btiendra le lien de ces points en éliiniiiant/»
et C entre les équations (5ï) et la relation p'^ ^ — 3C, le qui
donne bien la parabole j^ -j- x^= o.
a" Reprenons Téquation d'Euler Xy'-^Y; les deux valeurs
de^' sont égales pour tout point de Tune des huit d roi le» repré*
sentées par Téqualiim XY := o. (^es huit droites sont des solu-
tions sin;;ulières, et lortnctit hien i*euveli»ppe des courbes rejirê
seutées par Tinlégrale jLjéncrale,
3" On peut employer la méthode suivante pour leclnrclier s'il
existe des intégrales singulières. D'après ce que nous avon§ VU|
une lelle intégrale* si elle existe, satisfait aux ét[Utitions
ù¥
(/F
et par suite aussi â la r» hilioti 1- -^ y* =1 o obtrnnc en ditlr*
rentiant la première. Kêcjpru(|nement^ ^upposous que pour touj
MI, — INTÉGRA I.Kd SINGUtIRRKS. Si;
lt?s ^Hiints d'une courbe (y) les trois éciuii rions
■^ dm àx ^-
aient une «solution commune en m. Le long^ de la courbe (v)^ ^i X
et m sont trois fonctions d'une seule variable vérifiant les rela-
lions (Sa). On a donc entre leurs difFérentielles la relation
qui devient, en tenant compte des relations (^2) elles-mêmes,
àF f dy\
Sî — n'est pas nul en tous les points cle la courbe (y), on a donc
jk'^ m et cette courbe est une intégrale singulière ( ' ). Si — = o,
an doit avoir aussi -:— ^=0, et une vérification directe est néces-
saire pour reconnaître si la courbe (y) est une intégrale.
Cette remarque s^applique en particulier à Tëquation de Clai-
raul
F(x,y, y') =f{y\y —xy') = ty.
En posant pour abréger u^=^y — J^y\ les trois équations qui
doivent être compatibles sont ici
f{y\ r-^ry'>^o. ^^^r^^^n, ^(_^' ) -^ v' ^ = o,
■^ "^ - -^ ây eu au "^ " eu '
et se réduisent à deux équations seulenjenl* Il y a donc une inté-
grale singulière «ditenue en ébiuinanl v"' entre ces deux relations.
4* Considérons réqiiaiîon
x^-^ y^— 'àt{w -^ yy' )
-ïO-Hj^j^')>-hK = o,
dont l'intégrale générale se compose des ct^rcle** doublement langeots à (a
€onique
x'(i — mï^-f-^^-f- K = o,
et ayaot leur centre sur Tame des x. Cette conique est une solution sin^u-
(*) Voir un article de M. Durboux daDâ le Bulletin de* Sciences mathéma-
iiçmê, l. IV, 1873, p. 138-176.
5i8
1 HVPITHK \\r. — KiilT \TI<J\'S IMFFEBKXTrKLLES NON LfXKArRES.
îièrt\ Mriis en outre, (i*Mir loni poïnt de i'a\e ries x, le»; deux valeui^ ^^ }'
dévie mit' ni intimes. CependanL celle drnîle n'e<t pas un Jien Je pùiot* de
rebrou*»semenl; par un |joinl <|uelcopjqne \[ passe deux courbe* îulégrale*
tangente*^ l'une à l'autre» la lanj^enle cfjmmune êiaiit parallèle à Taxe des i\
%° Pour qu'une jnléj^ralt! C soit une iiitegiale singulière, il ne 5uffil pa*
que pour tous les points de cette courbe Tèquiitiou (4i) ait une racine
double; il faut encore que cette raciue double soil précisément le coeffi^
cieni an;^ylaire lîe la tan génie è G. Considérons, par exemple, les cissoïdc*
repnsentèe!!* par Téquai iou < y — aa )*(a: — a ) — j7> = «j; la droite -r = o
est le lieu des points de rebri>usserîienl de ceîi courbes, et c'est aussi unr
intégrale particulière obtenue en supposant ft = «. Pour lout pnini de
celte intégrale Téq nation difterenlielle correspondante admet la raeiur
double >'" ^=î o, et une racine inlinie. Ce n'est donc pas une intégrale singu-
lière.
AM. Interprétation géomètTique. — On peut [>résenter la diseu$»ioa
précédente sous une fnïine un peti dilTéreiiu% que nous indiquerons rapi-
dement; nous ronliuuerons à crnpb^yer le tan«;a^e de la géométrie, quoi<jitc
les raisr^nneinenls s'êlendeut sans difUciilté au duinaine des variables eoui-
ple\e5.
On a déjà fait observer Tn"* 370) que l'intégration d'une équation diffé-
rentielle du premier ordre F( jt, j^, j^*} —o revient à la détermination dc^
courbes r situées sur U surface S ayant fiour équation
(y'i)
F(JF, _^, ^) = o,
et telles que l'on ait aussi */v — ^ rfj- = o. La projection c sur le plao
des xy ri 'une courbe V de la surface S saiisfai^sanl aux coud i lions précé-
dentes est une courbe intégrale fie l'équaMou dilïérentîeile proposée, et
rrciproquemenl. î\nus ^uppfiserons poui' la discussion que ceUe surface ^
n a pas d'autres sinj^ulariiés que des courbes doubles suivant lesquelles se
croisent deux nappes de la surface avec des plans tangents distincts. %ii
lieu d'étudier les courbes c du plan des j^k. nous allons étudier les courbfsf
de Ja surface S.
Considérons d'abord un point My(j:*o, >'y, «oM^**" situé sur une Çi>urbe
(louble^ et où le plan lancent n'esi pas parallèle à l'axe des z, La tangente
à la coût lie P qui passe en Al y est située dans le plan tangent en ce point
et aussi, ptiistpie Ton doit avoir riy — -5 ciT = o, dans le plan
(55) V — ru— ^g<X — ar„) = o.
Ces deux plan^ sont distincts puisque ( -7 } n'est pas nuL et se coupent
par conséquent suivant une droite non parallèle à Oz, Par le point U#
(^4) (X
/àF\
H plisse fJnnc une enur bc T el yn« *tîyle, tlrmi Ui taniiente n'est \vd> paral-
lèle à Taxe Ae^ z\ la |>rojecti(>n c de celte courbe sur li^ plan «les j"^ passe
au point m^ piojertirin de Mo t*t /«« est un poini onlinaire [lour c. Si \e
pciini Mo ajiparlienl à une courbe double de S, le raisonnement précédent
^'applique a chacune des deux nappes pourvu qu'aucun des plani* tangents
eu Mu ne 501 1 parallèle â Oz\ par le point \lt, il passe donc deux courbes F,
corrcsjHnidaut aux »îeu\ nap|ie?4 delà surface S H reste â examiner ce qui
arrive lorscpie le point M^ est situé sur la courbe D de S, lieu fle^ points
4¥
pour lesquels nu a à la fois F = o, — = o. Nous supposeroui^ que celte
cotirbe ï* n*tisi pas uuc courbe dciuble ; c'cl alors le lieu de*, points de S
où le pJaii lanj^eut est parallèle à 0«, et Tune au moins des dérivées par-
tielles—» — est différente <b; zéro au point Mq, Les deux plans ( SA) et ( 53 )
ifr ày IV r
som alors parallèles à Taxe des z, et leur intersection est parallèle à O^t
à moin» que ces deux plans ne se confondent, c'est-à-dire à inoinî» que
Ton n'ait
♦ Su )
I
'(^),-
Écartons d^abord le cas oit cela aurait lieu. La lan);erite à la courbe F
qui passe eu Mw e^^t parallèle à O^. mais cette courbe elle-même ne pré-
sente iiucune singularité au point M^. Pour nous en assurer, nous rem|>la-
ccrons le système des deux équations
par le système des deux équations simultanées
(5»;
âz
' Oz
âjt ây
avec les conditious initiales .t -r^ :F(,, y — yo» -s — !„. Les deux systèmes
sont équivalents; i»n lire en elTet des équations I 3B ) la combinaison inlé-
grable <r/F = o, et par !>uite FiT, y, Z) = P{ j?,,» y»^ Zq] — o.
-^ ; c^F , />JF ; ,. , , , , . , ,
Or ( 3— 1 -1" ^uf T^ ) n étant pas nul par hypothèse, on tire des equa-
\ cr j? / ^n \ ày / Il
lions f 58) des développements de jc — ^^^ et de y — y^ suivant les puîs-
!»aDces de z — z^y commeuçant par de!; termes du second de^ré au
moins
1 Le point M^j est done nn p^dnl <HdiiiEiire pour la courbe F qui passe en
ce point, niais le point wi^, projection de M» ^ur le plan ^O k. est \n\ point
de rcbrousseincnl (eu {général de première espèce i pour la eouibe c, pro-
jection lie F. Ceci tieut du reste à une propriété générale facile à vérifier,
r à savoir que la projection d'une courh*' t'aucbe sur un plan* parallèlernent
KOl'ATIOXS rUFFHftl-MJKLI-KS NON LINEAIKES.
û la raii^*»ul«^ en im [ï<Mrtt M »]♦» cciifi courbtv. a un rebrou ssernent nu
poini fftj projeinion de M* Soit d la prnjeriion sur le pbn dcs^ *rK de la
CLiiirlir^ F* ; nous retrouvf»ns le réstiltiit ftabîi plu^ haut : la courl>c rf «t
le lieu ile> jmini** île rtibiY>ys^enicfil iles courbes intégrales c, La rnëlhoil*'
précédente a ravantage fie nuu^ iiMHiirer roiiinicnr cette singiilarîle dî^jta-
rait quand nn passe du plan à la surface S.
Le ré'Ullal e*>i loui dillereni lorst|ue la relation (56) e^t vérifiée en tou*
le? point.* dp la roui lie H. Le> deu\ plan^ (Sf) et (^^} sont alorç con-
/ondufi; nous >omniei> dan»* le ry*^ ou il exist** unv inlêt^rale *>irii:uljér«î, P;ir
tout point de L>, il pas-^ie alors en général dcu\ courbes F. la courbe U
elle-nnéme, el une seconde courbe dont la projection sur Je plan des tv
est tangente à rintéfirale singulière D.
iiT. Intégrales singulières des systèmes d*équations difTérentiellet.
— La théorie clcj^ intégrales «lingnljéres s'étend aux sy»îtémeH d'équ^ition*
différentielles du premier ordre el, par suite, aux équation** d'ordre supé-
rieur. Nous étudierons seulement un système de deux équations du pre-
mier ordre (ce qui comprend le cas ifuiie seule équation du «second ordre i.
en suivant une marche iii\er&ç iie la précédente, c'est -à-dire en considé-
rant tout d'abord un système obtenu par l'éliniination des constaoïes (' l
Soient
*
(59)
F(a:, j^, z; a, è) = o, *(^, J^, -c; a, t) — n.
les équations d*une famille de courbes planes ou gauches l\ dépendant de
deux paramétres arbitraires a et b; c'est ce qu'on ap[>eïlc aussi une coti-
grîience de courbes, ^ous pouvons supposer, pour fixer les idées, que le-
fonctions F et 4> soûl des polynômes; les courbes de la con«i;rueace *oi»l
alors algébriques. Nous allons iTabord généraliser les théorèmes établi»
pour les congruences tîe droites (L n" 2?45). Si Ton établit entre n tV h
une relation de forme arbitraire ^^o(rt), on obtient une infrnité df
courbes r dépendant d'un seul paramètre variable a. En uéiiéraL €«'i
courbes n'admettent pas de courbe enveloppe; pour qu'il y ail une ei]%<**
loppe, il faut en eiïet que les quatre équations ( 5^ i et ttio) admettent ufl
système de solutions communes en x^ y^ -5 (^ i2'{ >
(6o)
IL
ùa
ù¥ db
7b dâ
d* db_
db da
L'élimination de j*, ^r, * entre ces quatre équaiioiiH onduii i» une rcli-
fib
tnm entre «, b el -j-t
da
(6r)
ll(>,^g)=a.
{ ') Voir niuij Mt^niuire Sur les solutions sint^tiliéreif des équations diferen*
iieltes simuitanées {American Journal of f fat hématies, VoL XI)»
INTI<:GnAtË^ SIN61-UÉRB6.
5ii
C*l»t-à-dirf à iKie rquiitioti <lift"tM ei*l ït^llc du preriiier orihe. Si l'uii a pris
pour b = ^{a } une inl<'^iale «le cette équaliôii. les rourbes F eri^exidrenl
une surface —, et soirl lauji^i^enleH j;i une rouilte il ^îtiiée sur X: iiou? appel-
leron* encore celle euurbe G V arête de ref* rousse ment, de 1, S\ Téqua-
lion Mil» eM de tlej;ré m en -7-^ lr>uïe cnurhe F île la con^'ruence appar-
tieoi en général à m surface* aiialo^ue** à 1 et, sur chacune de ce*» surfaces,
elle touclie Tare te de rebrousse nient correspondante en un point déter-
tnîné. [1 e\i*ite ainsi, sur cliaque rourlie F de la conj^ruencCf m points
particuliers remarqunbles, qu'on appelle les points focattj:. Ces poînt>
focaux peuvent être obtenus «lans avoir intégré l'équation (61 )î H suffil
en elTei de résoudre les quatre équations nîg) et (60) par rapport à jr^ y,
^. -^ Un trouve d abord ta relation (ni> quï donne -=—> el, en ehmi-
'/^■» 11'^ 11 1 >
oaiil —r- enîre les deux eqoatojiis Mm* k on 11 une nouvelle relation
I
i/fi
(6a)
D(F. ^\
êâ àù
ùF à^
àb Oa
qui, jointe au\ ileux équations i ^f) ) de la courbe \\ jjerniet de calculer
les coordonnée** des point*! focaux.
Le lieu des points focaux est la sur/ace focale de la congruence; on
obtient l'équation de relte surface en éliminant a et b entre les trois rela-
tions < S9)el ( 6*1 L La surface focale est aussi le lieu des^ arêtes de rebrous-
scment C des surfaces S. Hn effet, un point quelconque lie la courbe C est
un point focal jioui' la courbe de ta cont;ruence qui est tangente à C en ce
point. Il «^'ensuit que toute courbe F de la congruence est tangente aux m
nappes de la surface focale aux m points focaux correspofidanl*^, puisqu'en
chacun de ces points elle est tatigenie à une courbe C située sur cette sur-
face focale, Tiiutes ee> propriéti's oïîVent la |>lus grande analogie avec les
propriélés «les eongruences de droites En général, si les polynômes F et 4»
sont quelconques, les m najipes de la surface focale sont représentées par
une équation unique, mais il peut aussi arriver que cette équation »e
décom]fose en plusieurs équations distinctes. Dans certains cas particuliers,
il peut aussi se faire que quelques-unes des nappe»i de la sui face foeale se
rédui-icni à des courbes; les arêtes de rebrouisement C correspondantes
se rédiiî>ent alors à un point.
Voici la conclusion que Ton peut déduire de ces jiropriétés relativement
lUX équations dilTérentielles. Les courbes F §ont des courbes intégrales
d'un système d'équatitms difïVreii lie lies que l'on obtient en éliminant les
constantes a et b entre les équations ^3^1 et les équations obtenue-^ en
dilTérentiant
d4>
éz
le syslèmc d'équalions differenliellcs aiii^i obtenu. Le* formules \'^)
rtiprèst^ulenl Vtnté^iaïe générale de ce <;vsttin»L\ piiisi^u'ûn pieut disposer
par liVjMjl hrsc de*^ const^'inles a et It île fiiçnn i[ue là courbe F [ja'iî'e jiar
un pinnl qnelronque de res|)aee de coordonnées -r^t _yo»'Sû* si, ptirce poinl*
il passe rt ccjuibc^ T, les équations t 59 p déterminent n avstémes de %alcurt
pour a el 6. Les équaiioiis (63) déterminent ensuite y et s* et Tan volt
que, pour le point ( j",h J^o^ ^0)% l^^ équations (64 ) déterminent n <v*lénie*
de valeurs pour r' et z'. Mais les arêtes de rebroussemenl C *onl au^^î de<
courbes intégrales des équalioris 1 64 )t puisqn'en un point de G le» valeurs
de a?» j^» <s»/'r -5' sont \cs mêmes pour C et pour la courbe F tangente à C
en ce point. Les équations (64) admettent donc^ en dehors des courber T.
une infinité d*autres inléj^rales, non comprises dan^ les formules (59), cl
que l'on obtiendra eu intégrant l'équation du premier ordre {ûî) : ce sont
des inté^raies sùt_£^'i Hères du système.
A y regarder de prés^ on voit que rexisiencc des .'su rfaces focales n'exige
pas en réalité que les courbes T soient algébriques. H suffit que, dans le
voisinage d'un système de solutions (j:ry, Vn, -Sot "q^ ^0) tles trois équatioo»
^6'ï ) Frr, y, ^, «, è) — o, 4* (.T. }\ z^ «, éj ) = o,
Di a, b\
o,
4
les fonctions implicites x, j^, 5 des paraméln^s a el 6^ définies par ces trois
équations, qui se réduisent à ^y» >'t>, z^ pnur a = ct„, /j = è^j, soient con-
tinuels et admettent des dérivées continues dans le voisinage. Soient en
effet
(66;
jj—/\^a, b), y^f^ia, b), * = fj,ia, h)
M
ces trois fonctions; la nappe de la surface focale qui passe par le point de
coordonnées ix^^y^^ -î^) est représentée dans le voisinage de ce point pir
les formules (66), les paramétres a et b ayant des valeurs voisines de <!#
et de biy. Il est facile d'en déduire l'équalion du plan tancent à la surfitce
fiH'âle. Ln eiret, lorsque le point Jr^y^ z décrit une courbe quelconque ^«f
cette surface, J?, y^ -s, a, b sont des fonctions d'une seule variable iiidé*
pendante qui satisfoni aux équations (65) et dont les diflérentielle* %éri-
6ent par conséquent les deux relations
àF ^ ûF ^ ûF ^ dF ,,
dy '^ dz tJu àb '
— njF '
dr
tfy -^ Oz ûa '^A
àb
en tenant compte de la dernière des équation^ (65}, ou peut éliminer wi
et 0^. ce qui foruluil ;i la nouvelle ti'lalion
I
fl suffit d*v reinplfi^er o.r, ^k. ^3 par X — :fo, Y — j^y, Z — 3y respeclive-
nient pour avoir lëquiilioii du pian langenl à la surface fntale; on vcrifie
ai^émcnL que ce plan passe par la tangente à la courbe F. Les proprîclé»
de la surface focale supposent donc seulenienl que l'on peut appliquer au^
♦■qualîims ((35) la théorie des foncticiii^ implicite**^ et en particulier que les
fonctions F, * <>oni continues^ atn'^i que leurs dérivées partielles dans l«
voisinage d'un sy>lèiue de solutions j-ç,, j^,,, *», a^^ b^. Jl en e^il bien ainsi
lorsque F el <f> sont des pol^nomes^ mais il esl clair qii*il en est rie même
pour beauectup d'autres fondions. Remarquons aus5i que, si les courbes P
ont lic^ points singuliers» le lieu de ces points srngulierii fait partie de la
surface ff»€ale. On le démontre comme la proposition analogue relative
'Auik courhes planes { I, n" âOI).
B^aminons maintenant la question d'un point fie vue opposé. Etant
donné un système de deu\ équations différenlielles du premier ordre, tel
<|ue le système (64)i proposons-nous île reconnaître si ce système admet
des intégrales sineubéi es ; nous supposerons que rf et 4\ stoit des polynouies
Sott Wq un point quelconque de Tespace de coordonnées (.yy J^o» ^o)»
quand on remplace j:» y^ s par ,Fo, ^«^ ^u respectivement dans les équa-
tion?. (64 h e\le^ admettent en général un certain nombre de systèmes de
solutions, Soil j'J. z*q un de ces systèmes; nous admettrons d'abord quCt
pour ce système de snlutions, le jacobien ,^ , -; r- n est pas nul. Des
équations (64 )^ t^n tire aKirs pioir y' et i' des fonctions régulières dans le
domaine flu point ( j-o^ Vo^ ^o )<
■aL{T — x^)-^^ ,
Z* — si -h 3t, (X — X(i} H~ . -
ij^uî se réduisent a y'^ et ^I, respectivement pour x — JTot y ^^ ye- -s = ^o»
équations (fi.j ) admettent donc une courbe intégrale passant au
point Mit et tan«îentc à la droite qui a pour équations Y — y„ ^y^i ^ — ^o)»
Z — ^0 = 5„(X--^o), et de plus t n** liHl f cette courbe fait partie d'une
famille d'intégrales dépendant de deuv païamélres arbitraires. Il n'en est
plus de même si J <>n a ~ — — : 7- =0; cec* ne oeui avoir lieu que si les
coordonnées i:r^i, y,t, i„) vérifient la relation
(68)
H{jr,y, z} = o,
obtenue en éliminant ^' et 5' entre les troi* équations
<69J
.?=<
^1 = o,
D(y,z')
5î4 CHAPITRE \\U — KQIATÎONS mrFÉaeNTlFXLBS NON LtNlîAtBl-lS.
Cette équation t 68 ) lepn'^^ente une «urface S, et, d'après ce que nou<
venons de \oîr, toute courbe intrgniln. qui n'est pas Mtué«» *ur la sur-
face S| ne peul être une intér^rate singulière.
Si le pr*ini Mo ****t sur la surface S, \e^ Irois équations if^i ont pour c?
point un système de solutions communes, ^' =ri, *' = ^J,. Lorfique la
droite D re|>résenlf*e par les êqualîous
(70)
r^
n'est pa^i tani^ente à S 1 ce qui est ie cas général K il v a bien une courba
inlégrale [i^ssant au point M^et tf*nj^i?nle à la ilroîic D, et ri»n a démontr*-
que le point M^ est en générât un point de rebrou<isement de cette courba.
Ce qui est ersentiel pour nous, c'est que cette intégrale ne peut être sur
la surface, puisque sa tangente n'est pas dans le plan langent. Pour qu'il
y ait des intégrales singulières, tl faut donc qu'en rbaque point de S la
droite D rorresporidantc soit située dans le j»ïan tangent à la surface. Cette
condition est suffisante» car par chaque point de S il passe alors une
courbe située sur eeile surface et tangente à la droite D, Ce* courbe^ sont
déterminées par une équation dilTérentielle du premier ordre, et ce son!
bien des intégrales singulières, car en ebaeun de leurs points les valeur*
àt y cl de -5' forment un systèui*? multiple de solutions des équations (64).
Exemples, -=- r" Considérons le svstéme d*équations simultanées
(71) Y — yy — o^ a** ^'* = jr> H- ^* — I .
Les deux valeurs de s sont égales pour tous les point* du cylindre
ar'H-^* — I ^r o* et la direction correspondante à cette racine double est
la perpendieulairi" abaissée du point ir, y) sur l'axe des z. Cette direc-
tion n'étant pas située dans le plan tangent au cylindre, il ne peut y avoir
d'intégrales singulières. On vérifie aisément sur cet exemple que le
cylindre est le lieu des points de rebroussement des rourbes intégrale*.
car rintégrale générale du système (71 ) est représentée parles formules
jK = G| a^, ^ = /a?* -k ^' — I — are tang v^:r' -+- y^ — % ^^ Gj.
2" Tout systcrae d'équations différentielles de la forme
( 7^ ï ¥i y — :cy\ z — ,rz\ ^ , 5' 1 — o, 4> ( y — Ty\ 5 — xz\ y, z' ) = ù,
qui peut être considéré comme généralisant l'équation de Clairaut, s'in-
té{:,'re aisément en observant que l'on déduit des relations^ précédentes
où u ^^ y — xy\ t' = 4 -^ xz\ On peut satisfaire à ces dejntéres équations
i
DaD<i la première hvpolhésir^ y' tît 4* **ont des con^^lante^ a cl è, et l'on
voit ainsi qiif les courbes qui forment Tintegrale géoérale sont lt$ droites
de la congTuence représentée par les «leux équations
F(^ — ajTr s — hx, a, b\
^i y^ ax, z — bx^ a^ à) = o.
11 y a au^si des intégrale*» singulières, puisque ]e^ droites de la ron-
gruenee sont tani^cntefe aux deu\ iiappe!^ d'une surtnce focale; ces inté-
grale*' singulières sont les arêl**s de rebronsseinent des ilevclapjiables de
la congrue née ^ et s'obiienneiit par Tin téf^ ration d'une équation diftéren-
tit^lle dn premier ordre. On obtiendra l'équaiion de la surface focale en
élituijinnt j^' et -s' entre les relations (72) et (73),
EXERCICES.
l* Examiner si U*s équation^ ditTérenlieUes suivantes admettent de> solu-
tions singulières
y
j*3 \ ^k
^y*y^ — y^y -^ €ï*jr = o,
y — ix /py H- iy s/y ~ o,
( ^y — y)^ — î* ^^M I H- y* ) — o,
•ix^( 1 -I- y* I — ( xy'-i-yj- — o.
[ScHLiiMlLCB].
[Boolk],
flloi^Ki..)
I M(U«i>'t>. 1
B i*. L'(*qi»Htioii H\x,y)^:o^ ol>tenue en idimioaiit y' entre leb dctiv
ùF dF ,
relations Fi t. y, y') = o, — -h v t'^o. représente le lieu des pointî»
^ -^ ^ itx ôy^ ' ^
d'infleiiion de< courbes intégrales.
En déduire le ihéitréine du u" AtA, sur le lieu de^ points de rebrous«e-
irurnl de*» c<iurbes intê;j;rales, au moyen d'une Irauslornialion |>ar polaires
réciproi|ije^.
[D^BBotx. Buliefiti dt's Sciettces Mathématiques, t. 1\'; 1873.]
3. Déterminei' les intégrales singulières du système dVquations didércn-
'lit»
ticflf
CHiPlTHt XXI.
HOlATIOJîS DlFrKRI::>TlELLEî^ yOS Lir^BAIBES.
^^y^y*
[Seriiet.]
4. ExamiriLT si réquatioti différtîntieHe dti second ordre
(fHr:r«)y«
i^^y^Tp
xy
admet des intégrales sinfjuliércs, pt trouver ces intégrales.
I Lagra>t.k.]
jUri remplace c*^tie tH|*jarKni par un système tle deux équations du
premier ordre |.
5*, Eliiftt donnée une équation diJleieulielle du seeoèid ordre
^{x,y,y,y):=i^,
en éliminant v entre celte equaUf»n el la relation —^ = o, on obtient noe
équation tïiffért'orielle du fueniier ordit* l'(:r^ >. ^>'' ) = o, dont lei! tnlc-
g raies jio'^^édt^nt en général la propriété suivante : Par chaque point M
d'tine de ces courbes intéf^rales C, il passe une courbe iotë^rnle de IVqua-
tion F = o* ayant un rebroussenient de seconde espèce en M et la tanseai^^
en ce point à Ir courbe C pour lan^ïenle de rebrousse ment. ^H
\ American Jourtiaf uf Mafhemalics. Vol. \[, p. 364»]
B, Établir les propriétés d« e'^^ en partant de riniégrale g énergie de
réquaiion différentielle h -=^=0, mise sous la forme algébrique
Même question pour la fonction tang-r, en cherr liant d'abord l'intégrale
générale sous forme al^iébrique de Inéquation dilférentielïe
fia" dy
; H — ; = o.
7*. Soit jr'= R(jr, 7), où Rjjr, y) est une fonction ratiotM>eHe t\t y
dont les cocfllcienls sont des fonctions anid\ tiques de r, une équation dillé-
rentielle du premier ordre adaiettant une intégrale générale de l» fonne
{»)
. ^ q?« ( :r I
= Ffjr, j^> = a
^q{ X ) y -^^ '!^i{ x)y^-'^ ^ . ..-^^nix)
Démontrer que cette équation peut $e ramener â une équation de Riccati
par une substitution de la forme u — Rtfx, y)y R| étant une fonction ra-
tionnelle de V, I P\i:^l^vv:.|
R. On remarque que réquaiion (i) |ieut s'écrire
où 1/ = ^^-^^ — ^ T T et Ton démontre que « satisfait à une équation de Bicrtti
(Pu — (j^'O
tandis que le? fonctions Aj^ B[ sont dérerminées.
CHAPITRE XXII.
ÉQUATIONS AUX DÉHIVÈES PARTIELLES.
Dans ce Chapitre, consacré à la théorie des équations hux dé-
rivées partielles., on a surtoul en vue de ramener F intégration
d\ine équation aux dérivées partielles à rintégration d^iin syslènie
d^équîiltoiis diirérentielleh ordinaires. Quoique cette réduction ne
puisse être, dans bien des cas, d'aucune utililé pratique, elle n'en
offre [*a!3 moins un grand inlérél théoiique, car elle permet de
se rendre compte du degré de difliculté du problème. Bien que
tous les raisonnements n'exigent pas que les intégrales eonsidé-
rées soient analytiques, c'est à celles-là que nous nous liiniterooîi^
à moins de menlioo expresse.
I
L - ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TREMIER ORDRE.
4!28* Méthode générale. — Nous avons déjà vu que riulégra-
liûD de l'équâlion liMiuogène
QÙ X(, Xa, . . •, X,| sont des fonctions de x^ «''iit
tégration du sjslème d'équations différentielles
., Xft^ et Tin-
tÙTx
x7
sont deux problèmes équivalents ( n*' 392). Si A, /^j, *m*^fn-\
»oni (n — I) inté^n^ales premières distinctes du système (-ji), Tin-
légrale générale de l'équaiion (i) est une fonction arbitraire
de ces {n — i) intégrales.
5%B
CHAPITHB XX 1 1.
EQIATIONS WX UERIVI^ES E»AWT1ELLES.
Oïl peiil oblenir coirjine II suit l'inlégiafe ^aiisfaisaoL à la con-
dkion de Cauchv. Supposons les «^oefficieciU X/holomorphes dar»s
le domaine d\iti sj sterne parliculler de valeurs x^, x!J. . . . xj» te
premier ooeflicient (Xi)© n'élanl pas nuL L'équalioo (i) éUnl
résolue par ra(>port à -^, on peut lui appliquer le théorème
général (n*' 380); il existe donc une iult^grale holomorplie dans le
douifiine considéré^ se réduisant, pour jF|=x^, à une fonction
holomorphe donnée Cj^fx^, Xj, ..., jr^) des (/!— i) variables
Xa, < ., Xy|. Pour obtenir celle inlégrale. écrivons le sj'stèn[ie(2)
sous la forme
dx^ Xi dT\ Xj
(î)
les seconds membres étant liolomorphes dans le voisinage du
âyslème de valeurs x^, a?J, -*., xJJ, if existe un système d^nlé-
grales holomorplies se réduisanl pour x^^xj à des valeurs
données C^, C3, . . . , C^ pourvu *.|ue les modules |Ct — x,?| soient
inférieurs à une certaine limite, et ces intégrales sont deà fonc-
tions holomorplies de X| el des paramètres C^^ C», •••! C^
(n'*387), qui sont représentées par des d^velof^penrents de U
forme
(4) x/= C/^ (xi— .i7Î)î\fx,, Cj. C. ..,. C«), (I - '1, î. ..., m.
En résolvant ces (/i ^ j) équations par rajïpori aux (^,, on obtient
UD système de (rt — i) intégrales premières des équations (a)» re-
présentées par des dfHeloppcments
(5) C(=Xi-h(j^t — ^l}Ql{^l. J?,, ..., jr,,) (i=2, ^ /iK
les (ji étant des fonctions holomor plies. Il est clair que la (bnc-
liun '^(C^i C:i, ♦,•, C/i ) de ces (/? — 1) intégrales premières rsi
holumorphe dans le domaine du point (x*\ ,.., xj) 1, et se réduit
à ç(x2, Xs, . . ., Xjî ) pour ./ ( ^ x".
Considérons mainlenaut une équation linéaire quelconque
(6)
Pi -T^ H- ^î
(^J%
' éjtm
"■ê-"—
r
où P|, y 2^ .,., 1*,|, R peuvent dépendre à la fois des variables
indépendantes x*, Xj, , .., u-n* et de la fonction inconnue z. On
on cht'relie â 1» définir nar niu- é<iiialH*ri non résnlue
m fond i* Ml \ des (n -+- \) vari.il>li!s 3, .r,, .f\, /'^, i-laiii 01a in -
h'jidnt lii funi lion incuiniiH', De l'tUle reliihon on di'^doiî en dillé*
rentiîint
et en n* m plaça m
lions |irëcédenles ilans rêc|Uîiliou 1,6 1, tdle dt'vîcnt
La ni>nveïle t'cjiiiitïon est rîe la foinif^^^i), et son inté^i'ation est
équhdlenle à celle du svslèrne
ntius non von s dont l'jionrer la [oojjoMhrtn ^uivanle ; Si tf^^
1/2, ..», //„ jïu/// // iniê^rale.K /ftemirres disiinrtrs dit svs-
{i*m e ( i » ) > '' ^ '^ ' '^ ./ ' ^ " ^ ' ^ ' ''> /' ^ '^'*^^ " *^' ^'ï '^V^ h (es . r 1 , x y , . . , jr „ ,
définie f m r une refftiîon de la J orme
(10;
^/^/, f'.V^ ^////'
I
ait <t» rfei / i' fie ttfie ftift < ' / /^ > / / / / / • h if ra ù 'e de « , , u-^,
i nié fatale de l'éf/uatioa ; 0 ►.
On ne penl en conclnre que Ton oUlient ainsi toutes les int» -
craies de rêquiition (5l En eilt'l, jionr ijue la fonction implicite
dëiînîe par la relation (^)soiL une inlé^rale, il nVst pas Di'xessaire
f|ue Ton ail identiqurnit^ot F^V}^o; il sullil i|nf' la condilîon
F(V):=:ro soit une eonsétjuence de I ripiation \ =-0. Si, par
eneinple. Ton prend ponr V nrie intégrale A\îue expiation de la
forme F(V)^ KV, K drsignant on fac*enr ronstiinl difléreot di-
it^ro, la relation V ^^ n déliuit bien une iolegi;de de ré<pialion (t>j.
Il y a donc lieu d^exaniinei' ^î la relalitm 1 10) penl donner toutes
G., IL 34
53o
CHAl'ITftK XXII.
KQÏ AT»ONS \V% immVEBg PARTIELLES.
les inlégrales de l*ét|Uriliori proposée. PouriHablh' qu^il en est bie
ainsi, sauf «bn^ des cas exceptionnels qui ^.eronl précisés, imag
nons que dans les n lonctions Ut^ u^^ * . • i ««^ on remplace z }>»f
une irUégrale de l'équaiion (6); les résultats o!)leiius sonl de»
fonctions U| * U^, . * . , U^^ des fi variables .r»^ x-^^ - - . , ^«. Si ûon^l
démontrons cpie le jacohiei» de ces n fonctions est identiquement^
nul, il sera prouve pur là même que Ton a unr relation
^il-M
i:.) =
et par suite que l'intégrait* considérée satistail à une relation
la forme (lo), où la fonctiou arbitraire *î> aurait été remplacé
par ([(. Calculons ce jacobien
A =
éUi
âut
àF.^P^TI
du..
P^
an X
ôUi
fin
àJ-n
ai
P' =
c/^H
le développement de ce déterminant donne, en l<'nanl compte i
déterminants partiels qui on» deux colonnes identiques.
(II) ^
Di iti, tii.
Di .r,
0< W,. Wj Uh)
. ., ^é-U -t ^i-«-|»
M ^n}
Mriis ^/i, W.J. . . ., ;/^ élaut n inLégrales pnvrnières du système (91
on a
J j —^ -H r^ ■- — -
P„ ^ ^ R ^
\ l — l, \k^
• « 1 4«
(I»)
et Ton etj lire, d'aj»rès la ibéorie des équations linéaires et homo
gènes,
R ^ P,
D(Ui, Mj,
l^iUy* «t.
^h)
^ \L
14= Ult
\}{:r^.Xt,.-',^^t)
D(:r,
Tt-i, Z, :r/^j,...,^>)
M étant une Ibnclion de .r< , j-^i ■ • • 1 -^«i ^t 4"^ Ton [leul toujours
calculer quand on connaît les inteij;:rales premières*/,, u^, '^.yU^t
En portant les valeurs des délerminanls déduites des équations (1
dans la relation ( 1 i mI vieni
( 1% bis )
M A ^ K -- Pj/>, — \\pt -....- P,,p„
t* ^ EQL'ATtONS LJXEAIRES Dl' PRtMlKM OHDHE.
5Hï
Si z est une intég^rale d*^ 1 équation (6)^ le second membre esl
nul, ei par suite celte intégrale salisfail à l'une des deux condi-
■lioDâ A ^= o, ou M = o. Dans le premier cas, comme nous venons
de le démontrer, celte intégrale est délînie par une relation de la
formfî( lo). Quant à la relation M == o, elle ne peut délinir qu^une
|ou plusieurs fonctions implicite!* paifaîtemenl déterminées. On
voll donc qiTen deliors de lerlaines intégrales exeeplionnelles,
ne dépendant d'aucune tons tau te arbitraire, toutes les inlégralci»
de rétj nation (6) satisfont ii une relation de la forme (lo). Nous
diions désormais que la relation (lo) représente Vinit^g raie géné-
rale de récMiatioa (6). /
r , . ^ . .
I Pour voir ^i une intr ivraie peut saiî^fairt; à Ih retatton .M — o» considérons
fWn point (|ueleoiii|ue de cetlt- iul<'«raie (j-^, j"J, .*., jtJ^ z») et su|jposons
quii Lous le> t'Ot^tficientr* Pj, P,, . . ., P». Fi st>irL tiolujM<»rjjhe& daii<4 le voi-
jjnage de ce système de vsdeurî» î»an*i étr^ nuls a la foi^ pour x^ = j^J, ^ = «q,
Uidmeltonâ par exemple qui' h*t n'est pas nul pour ee ^ysiéine de valeurs.
On peut alors résomire l'équaiioii (H} par rapport à - — et, en iipplii|ijant
Lies théoiêujes de Cauctiy ( n" i{*M> )^ on vi^ii que Ion peut prendre pour «i,
|llf« . .«. Hfi* de* fonctions holoujorjdieiï «tans le domaine de ce ^yslênie de
liraleurs. Or Tune des équations \ I'a^ peut ^'écrire
— Pi=M
.)'
le déterminant qui est au second membre étant holomurphe, et Pj n'étant
pa% nul pour x/ = jtJ. s ^ ^^i, il s*ensuit que ce système de valeurs ne peut
annuler M. Comme le point (^^, ,.., Tf^^ z»} e^t un jioïjit quelconque de
rinlégrale cOTisidérée, ou voit qu'il ne peut exi&ler iriiilc;;raie ^saiisfnî^ant
à la relation lVI == o que (Ihus les deu^ cas suivant» :
I" 11 existe une fonction V<:X|, r^t ..., a^M, -J telle que tout système de
-valeurs des variable*^ j^,, *» annulant la fonelioii \, annule aussi P,, P^
et R* Tous ces coefficients sont alors dn isibles par nn même faeleur
Il il C5t clair qu'en égalant ce facteur à zéru. Ton i>l>hent une intéj^ride.
cas banal n^rlTre pas d'intérêt,
»** Le I aisoiniemeni serait eiirute en défaut ï>i rinlêgrale définie pwr la
ption V = o était telle que, dans le voisinage de tout système de valeuJs
iâfaisiinl à cette relation, quelques-uns des coefficients P/, R cessent
ÉVire liolomorpiies. Ce cas peut en effet se présenter, comme on réta-
blira un pru plus loin.
429, Interprétation géométrique. — La méthode g«^nêiale (|ui
iprécède est susceptible d'une interprétation géométrique simple
53jr LllVi'JTHE XXIU — KQIATIONS XIH DÉRJVKË^ l*%RTIIvU.eS.
àiitiS' let'Éis lie l'éi^aaUoti à lroi& variables^ que nous écrirons, ave
li's iiol.it ions babituelleâ.
(li)
Pp-^nq ^ H.
àz
ds
P, Q, R étaul des fniiclions tirs Lruis variiilïlrs ,r, t% '-. Soil 3 mu
sur/ace iftiê^n'^ih (|ur'U:oiif]u«.* : l\'*t|iiîilioii tlti plan UngerU a celte
surface lUâiil
l — z = p{ \ — X) -^ ti{\ — y\
la relaliiui ( i3) expriine qnt; ce plan laD|>;enL passe par' fd ilroi
rc|jn"scnlt'e pur 1rs écpialions
X-^^ _ Y— r _ Z— jt
(M)
M
4
de sorte <|ue le proljlr'ine de riiilt*f;rrtLinn de celle équaLion (|3)
peiil èlrr posé de lii fyroii .sulviin Ir-, si l'on Pinpioi»" le langage
^éomêlrupie : ■
A chiupte pot ni M dr tesprtcr, He cfyordonn('t*s (j^, r, - ). on
fait correspond rt* une finnle i> issue de ce point, représentée
par les ét/t/afions (i4)- Déterminer une surface S telle que k
plan (aui:ent à cette surface S en chfttun de ses points pmst
par la f If o it e D relaf /i e à ce p o in t .
Si Ton eomiaît loiiles les surfaces jivuissaiiL de celle propriété,
on ri pur la même l'intégrale généra b- de Téq nation Ihiéairc. Liî
trois tuuchiois V, C^, R dtHei miiienL la loi suivant laquelle la
droite D se déplace quand un fait varier le point M; ces trois fono^J
lions sont le plus souvent des fonctions analytiques de j*, >%
mais il sufiit pour le raisonnement qu'elles vérUienl les conditioû
énoncées dans réiudi- des équations dirtVrentielles (u"*388 els«iv.)J
L'énoncé |irécédent ntuis conduit à cliercher les courbes F 4|Ui<J
en cliacun de leurs points, sont langenles à la droite D corres-J
ptiodanie; nous les a|>|)ellerno5. courbes caractéristiques. Noitll
allons numlrer d'abord tpie toute surface intégrale est en^'en-
drée par des courbes car tic le ris tiques. Considéions en cffcl «ne
telle surface S; en cUaque point M de cette surface, la droite D
corres[ionda[ile est située dans le plan tangent. Nous pouvons dotits
nous proposer de déteranner les courbes de cette surfaCe qui, cal
EgtATION.S LINKUKES DL; l'Rt:MlliK OJUlUE.
5^
chacun <le leurs [ïoidls, sont lyn^entes à la droite D conrisfnMT-
dante. Ces i^oiirbes s'obtiendront par Tinti-gration d'une équation
di(Fércnlielle du [ïrernier ordre (n*^ 378); par chaqne poini df S il
fpasse donc en jt^^rronal une courbe el une ^eiile, située louLenliete
,6iir celte surface, et jouissant di" la proiiriiHé énoncée. Il estebir
que ces courbes sont des caraclérisliques, ce qui démontre la pro-
position. La réciproque est à peu près évidente : si une surface
**st un lieu de caracléristiques, le plan tangent en un point quel-
conque de celte surface contient h Laugi^nte à la caractéristique
située sur la surface qui passe par ce point, c'csl-à-dire la tlroite D.
Le problème proposé est dor»c ramené à la déterurinalion des
courbes caractéristiques.
Les équatiorjs différentielles de ces courbes soûl, d'après leur
définition ni^me,
^ , dx dy dz
jiiir L:!ia«|uc point de l'espace il passe donc en général uue carac-
tériel iqur et une seule, laoi;enle à la droite D corrr sponilanlt\
^Supposons que l'on ait inléj^rè ces équations (i 5) et soient
leîix intégrales premières distinctes de ce sjsième; l'inlégrale
jénéralt' e?«l représentée par les formules
(iti>
u{:p, y, z) = a, v( ^, y, -3 ) = />,
a e\ h étant deux constantrs arbiliaires, Les caractérislîques, qui
dépendent tic deux [>:iraniêtres, foruieiil. donc une congriience,
•our obtenir une surface engendrée par les courbes de cette con-
h
par
^ruence^ on doit établir er»lre les deux paramètres €t vX b une re-
ilalion de forme arbitraire, soit '^(a* h) =^ o, el la surface intégrale
lcurres[Njndante a pour équatiioi 'z*{u^ t')^z=o. C'est bien le re-
pu liât (pje fournil la méthode générale du paragraphe préeédenl^
car u et r sont ici i\^\y\ iulégralps dislincte> de rétpialion
ù.r
*' S<dt \\i\i\a}\ou p:j^ ^1- qy ^ m Z. Le? équjilion** «liffé-
m
CII4PtTRI-: Wll. — KOtTATIONS inV I>ÉHIV£KB PAKTIBLL£t<.
reniielles «les caracieri^tniu
à:r dy
dz
y -5
aflmeltent les deux iMh^^irRlc"* imMuiêre^ — = fï. — = h. et l'eqiiî'tlîfm
gériëraJe des surfaces mlégraies e*t 5 = r^/(^ \ . Si m =s i , lescè**rtetr*
nstiques »unt des ilroke-* pa^^sanï par rori^iiie, el les surfaces îpiègnjc*
s«mt des càiies ayant leur sommet à rorigine. Si m = o. les ciiractêristii|ue*
Bout ile*i droites parai lèi*is au plan dt*fi .rr et reiiconirarn l'a\e Oz; les
surfaces întégiak's sout Jes ^uii'atîe^ i^onoïdes.
2** Soit l'équation py — q j^ ~ u. On ajieiçoit de suite d«'u\ roiu binai-
sons inlégrabli-"^ jH^tn les ê(|n;iitrjins dilTiMvnt îellcs des c^ractet rslii|ue5
I
et deu\ intej;rales [ireinières z = a, r^-^y^ = b. Si les axes de coor-
données sont fei iau*;uliiire'^, les rarariéi i^iiqin's siml fies cercles ayant
leur rentre sur Taxe Os et situés tians un |>lao (jarfillèle au plan de* jy.
Les surfaces inlêgrales s*»nt des surfrieesde révolution autour de 0^
i" Tra/ec foires orthogonales. — î5oit
(i7>
F(a:, j, s) = C
TcquaLion d'une lamille de ^^urfaces Z^ dépendant d'un paramètre arbi*
traire G, de telle façon que par tout point de l'efipace \ ou tout au moiiu
d une portii»n de Tespaee ) il pas*e une de ces surfaces et une seule. Pra-
pusons-nous de trouver une autre surface S, représentée par réqualtou
z - ^{T, y),
qui coupe orthogonalenieni en chai un de ces points la surface 1 paf^ant
parce point. Les païamétres directeurs des normales aux deux surfaces
ॠû? ùF ^ .^ . 1^
étant resnecliveinent ^i — ^ — pour 1 et o, o, — ^i pour a, la condition
' ù.r ùy 0^ ^ ^ '
dVirtho-çonaliic coniluil à l'équation linéaire
I
(i8)
Les courbes caractéristiques^ dont les équations diO'érentîelles sont
dx tiy dz
iix Oy as
('9)
sont des courbes qui, en chacun de leurs puintr., admettent p^ur tiiii^riiti
la normale à la surface 31 passant par ce point.
KOL/^TIUNS LÏNKAJHIS Dt J^ltKMlEM OHOKK.
53S
Sijppo*^orfi> jjiir e\eru|jle que l\>ii ail Fur, y, z) — z/(jr^ r)» la fo
jtion ^/"t *r^ ^K ^ «itiifit hoinoj^îéne el île degré 7t. Le<* »*<]ii^rîorm diflVrenlfelles
les caraclérisf itjiies sont ici
t/j*
/;
/
'cri tiirtanl l'oiiipte dt la relrttiou crKyli't', on a la cotnliinfii«ion îtite^rable
d'au TfMi tîi
dr
'inli*i;iiil(! première .r* -i- ^-^ w 5* = a, D*auirc part^ -j^
e*l «fil- îonclian ln>iiii>j;éne et de fïejijré têvo des v.iriabtes J^t JK; on âurii
%l*»nc une nouvelle i ni enraie |n'eiiiïëie pur Ufie qiifi>li alure ( n' 3ti5 )
♦ 4" Jl «-"^t quekpit'foïs jMjHsible de doieitnjner les courbes eararléi istîc|ues
Sans aucun c^deuL J'après leur déJîriiiion géuuiéti ti[ue. >i»jt« par evetnpie,
ft «lètenniiier le* surface* S telles que /<? pian tancent en un point (fuel-
^onque M Je i'une de ces fiurfaees rencontre ttne droife fixe A en un
puini T égaie me ni dis la ni du point W et d'un pidnt Jixe O de (a droite A.
Soit M uïï poinL de l'espace: il eviste ^ur la dioile A un (Nilnl T^ el un seul,
tel que TO — TiVl, et ee point est à Firitei^ection île A avec le plan mené
perpendiculairement au &e;:nient OM en son milieu. Soit D la drutte passaot
|»ar le> cleux points M et T; le plan tangent à toute surface répondant à
Tenoucé pas^anl au point M eon tient donc cette dioite D, et par suite ces
surfaces s'nl>tien rient par riiitêgtatîun rrune ê(|uatiun linéaire. Les tan-
gentes aux courbes caractéristiques rencontrant toutes ta droite A, ces
Courbe.^^ont dune descourbe^^ planes, situées dans des plans passant par A.
Les caractéristiques située» dans un de ces plans sont les courbes inté-
grales d'une équation différentielle du premier ordre, et l'on voit aisénienl,
d'après la proprieié qui les définit, que ce sont des cercles tangents en O à
la droite A. Les surfaces cherchées sont donc engendrées par des cercles
langenls en O à la droite A.
On petil disposer de la fonctino arbitraire '^\(t, i') de laçon que
la surface iiitéf^riiU? pasM* par tiiie roiirbe donnée F; on oblieiidra
Celte surlaee en prenant le Hcn des ertraclérislic|iies passant parles
diU'éient^ fioifiis de crite courbe. Si f est représentée par le sjs-
:èine de den\ éipiotion^i
ao) ^{T.y, 5) — o, t^j( j-, r, 5) — o,
tour revient à rechrrrher la rL-lation [|u'il fciut établir entre les
deu\ parainèlres fi et h pour qu'une curaetéri^liqne rt-ncoulre lu
courbe T. Il ent clair qu'on obtiendia celle relation en éliiiilnaril ^ar^
^■, z entre les d^nx équations ( 20 ) et les équMtion> là ^= rt, i' = b
de la caraelérisLitpte. Le proldcuie n'admet <pt'une .nolniifin^ à uioins
qiir lu *:ûurbe F ne soit r)l«--méiii<' une canicterisliqiie.
/an» <
cas singulier, it suflït, pour avoir mie siirrace intégrale pdâsao
F, (I
e c'onsi
i<^r kl su ri met' rnt'e narre par ime
fa
mille
caractérlstitjues» dépeiidaiiL d'un paramètre arbihaire, el dont laii
partie la courbe F. ^
I
i30. Congruenoes caractéristiques. —Atonie éqnalion hnéair
de lu forme (i3) correspond une cô//iT(/e//rt* caractéristique
formée ptir les courbes caractérisli(|ues de celle èi] nation* Inver-
semenl tonte eongruence de courbes, c'eslsj-dire toule famille d^
courbes dépeudarjt de deux païamèlrcs arbitrairesi a ej ^. esl U
congnience carnctéristique (Tune équation île la Tin me (i3) (*|^|
Supposons en efl'cl les équations qui dt'dnissent « eitb coo^rnencf
rés«dnes par rapporl aux deu\ prircimètres a et />,
tt i ;r, y, z ) = « T *' iJ^* y* z)= ù:
toute surface S,
dr
*r les courlies de celte congruencf
associées snivant une loi a rhi traire, est représentée par une équi
tîon telle que r = 7t(f/), cl Ton en déduil, en prenant les dérivée
partielles par rapport à j" et à )%
àv ài^ . /au âti , âv
__ -i 13 = t: ( « ) ( \ /i , —
ùi>
àx
dz
àx
ùy
TT '/ = ^ <
Ou
t fju vu l
V'H- oz ^ /
L'élimination de t:'(//) orinduit ;• une équation linéaire
Dur, 5) '
D I u. r )
t-î I ,r, 1' )
dont la cong:ruenee donnée est évidemment la con*:;^rnenre Ci
téris tique.
Considérons maintenant le cas général ti une (ron^rncoee déliu
par deux équations tle forni*' quelconque
(ai ) V{T^ }\ z, a, b) — t». Via-, )\ ;;, tj, h ) -= u.
Si l'on établit efHre les deux [»aranièlres a et b nnu relation di*
forme arbitraire o(a-, 6 ) ^^ o, on aura FéqualioD d une surface 5<
enfiendrée par les courbes F de la congruence en élîjuinanl a ci 6
( ' } Noua supp'^sons en outre que par an point quelconque de Tespace (ou d't
puiiion (ic IWpace) il pa^^e une de re- courbes, ce qui ri'aur«il pas heu *i t\h
ëUîeiit silutïcs sur une même surface.
re les équations {•èi) et la relalion '^ ^ u. Tu«iles ces surfaces
sfont encore, quelle quf soi! la ftmclion :p, à une mènit? équii-
I aux dérivées pîirLk'ltes du preuiH*r (K'drr. Pour obïeuir celle
a lion, on penl prorcder €onime il auH. l^as Lrois équalioos
\ U = o, V = o, o(fi, à } = o,
nisscnl trois fonelioiis iinplicrle?» z, a, h, de» variables indr-
danles x <^t _l% eU la dernière ne renferniiiiil que a el b^ ou w
eonsequeul
litre part, si Ton diirerenlie les deux ]»reniière> éqtialions {'AnL^
rapporta :i' et à y\ on |ieul di-duirt* de^ nldtious obtenues les
, f^a àb àa àh , ,
iressiious cte — ♦ -—» -^—^ ~- au jmïven de .r^ y, z, //, fj, ft, h^ eu
Ox àT ày àr ^ . t i
remplaçant ces dérivées p«r leurs valeurs dans le délerini-
It (vi3), on ari'ive à unr nouvelle relation
' ^{ X, K, ^, p. *], fi. 6 ) ^ »K
l'y aura [>lus ipi*â éliminer ft et h en Ire celle relation et les
f^ relalions ('-it) pour [uirvenir à une équation ne i'enlernuir»l
\x,y, z, p, q
juî s'appliqut* à lonle> les surfaces engendrées [>ar le» courbes
ia eon*;rneni'e. Il se rail ai si' de vérifier, diaprés la iaçon même
M celle équation a élé obtenue, qu'elle se décompose eu un
tème d*équatious linéaires en p et y; luais cela résnite aussi
sa signification. Supposons, pour (îxer les idées, que par nu
ut M de l'espace il passe ni courbes de la cono^ruence, el soient
Di, • ■ '. Um l*"^ ff* tan^^enles à ces tourbes au |iuinl .M. roule
face engendrer pnr les courbes de la eou^ruence et passant au
ni iM doit conti^nir nne des fit courbes de eeJtr coiïji^rnence qui
sent an point M, el par^ cousêquent le plan langent au point IVI
I passer par nne des droites D,, 1)^, . . , , \Kh- Soient P|. Q,, Ki
paramètres directeurs de la droite D,. TimHc surface engendrée
les courbes de la conj^ruenre doit d(ïnc satisfaire à Tune des m
SIB
<:hapitiie \xii.
èQi'ATiaNS VL\ DbHtVEES PAKTIKLLES.
P- /^ ^ Qr7
m^
et le pr^niier mrmlire Je l'équation ['2.^) est iilentique à un facteur
près, irulopt-n liant de p e\ de q^ au prodinL des m fadeurs li-
uf^aires E,, E.j, , . *. E„i. Hemarquons d'aïUeurs qu'il sera impos-
ai l> le en général de séparer anaJ vliquemeul ces m facteurs.
CerLains proldèines de géomélrie |>eiivpijt égalenienl couduirei
des équulioiï* aux dérivées |Uirlîflles du preinier ordre qiii se dé-
coiuposent en uu [irodoil de l'riclenrs Ifnêaiies. Reprenous, par
exemple, le problème des Uajecloircs orthogonales, CD considt-
lanl une l'annlle de surfaces, duul l'équalion F(x^ y^ z, C) = o
renferme le paramètie arbitraire C au degré m. Pour obtenir
l'équalion aux dérivées partielles des surfaces qui le> coupenl
oilbo*iaQaleiHC'ot, îl faut encore éliiniuer C enlre la relation F = o
el la condition
t/r
àj
dz
Par un point M de Tespace il passe, par hypothèse, m surlaces
de la famille considérée; soient D,, D^, ..., Dm les noruiates à
ces m surfaces. Le phm langent â une surface orthogonale pas^anl
en M doit renfermer une de ces djoites; Téquatioii aux dérivées
|>arti elles se décompose donc en un système de m équalioii»
linéaires en p el q.
Inversement toute équation de celte espèce fait correspondre
à chaque [>oint de Tespace m droites i)|, 1*^, .. . , Dm, cl ellr
exprime que le plan lancent à une surface intégrale renfenne une
de ces d roi les. Si nous appelons caraclêrislùjite toule courbe
telle q^ien chacun de ses points elle soii tangente à Tune de* m
droites e.oirespondiiules, les raisonnements qui ont été employé*
plus haut monlrei]l encoïc que toute surfaee intégrale er»l un lii^u
de caractérislirpies* Pour obtenir les équations dillérenlielle^ de
ces courbes, il n'est pas nécessaire d'effectuer la découqjo^ilioi»
du premier niemhn* de ré(pialiiui eti facteurs linéaires. En elTei,
en expriraaul t|ue ce premier niejnhre est divisible par le faeteur
\* p -h Q'/ ^^ R, ou arrive à des équations de condition homtïgéiîe*
en P, Q, K, qui, pour chaque [>oiut (-T, .y, 5), fournissent m svs-
lèmes de valeurs pour les rapports mutuels de ces coefiieients. ta
propor-
lionnelles rf.r, dr, dz^ on oblîeiU les équalions clitrért^nLielles des
caracU^risliijiies, el rinlëgialron de reqLiatron îiu\ dérivées par-
tieHes est ejicoie ramenée à riiilégraLion d'un svslènie d'equatioas
différentiel les ordinaires.
La iliértrie précérlente explique 1res siinpleiuerii coin m eut utie êqiialion
linéaire (i3) peut avoir de* int<}g;rales qui ne sont pas compiiï^es ditns l'm-
tégrale générale. Considérons une équation aux dérivées partielles
U6)
fir.y, z, p, q)^ iv
dont le premier membre e^t le prodiiil d'un eertain nombre de faeteurs
linéaires en /i el q. non analytiquemeut flisiincLs, et soient
^ / dy dz \ „, /' dy f/z .
les équaiions dilTêrentielleB des caracLérisliques de ce s) siéme.
Les courbes, qui représentent rinlégi aie générale de ee svslèuje, foi nient
une congruence, qui est la ront;ruence earac!ëiM>tique de l'équation (26),
et l intégrale générale se compose de*» «surfaces engendrées par les courbes
de cette con;^ruence associées sui\ant une loi arbitraire.
Mais il peut se faire que les équations (^27) admettent îles integralefs
singulières; c'esl ce qui aura lieu si la congruence caractéristique admet
une surface focale rS).
Par chaque jioint de cette surfiire il paisse alors une courbe de la con-
gruence eaiactcristique tan*;enle â L'etle î>urface; le plan tangent à (£)
conlîcrii donc uiir des droites Dj relative au point de contact, et par
suite (S) est une >urfacc intégrale de l'équation (26). D'ailleurs, elle ne
fait pas partie, au moins en général, des ^urface^ qui forment rintégraïe
générale : c'est une intégraie singulière^
Soit, par e\em}>le, ï 'équation
US;
p{^
z* ) -i- q {xy :t .s /j"*H-_x*— 4* ) =
o*
qui équivaut en réalité à den\ «équations linénires. On peut écrire les équa-
tions «liliêrentielles de^ caractéristiques
f/5
dx
{^ -'%)'- "['-{m
L'intégration est immédiate, et la congruence caractéristique est formée
par les lignes droites
I
qui
oit parallèles au plan des .rv, el tangentes au cône x^-h y^= z'^*
540
CHU'Uia: Wll. — KQITANONS kV% DKILl^'EK» PARTI KLLf-:».
L^intégtale ^**iieralc ^♦^ <oiti||(i*.(' Ho^ furtaces c»JlloKit♦^ enj^endr***;^ parce»
droites, et il y ri uiïf [riiéj;r;ile ^jtjf;julïêr*', le irone li»i-m«iin*?.
Le co«nicitfiii tie q dan.^ rc<^iialion i i8 ) irest pas^ liolomorplic dans U
Vûisiniifj;e cl'tiii pi»iitt tjiit^lcoriijiK' < jr„, y». -*« ) de ce cijric: ce qui ronfirroe
y ne remarque antêiieure { n" i28 ^
L — HtH vriO\S VLl\ IMPFb:Ki:NTIELLES TOTALES.
131. Étude de réquation dz =: \ fij- -h \^f(r* — L*exi?*tencc
dfs intr^^rales d'un syslrine co/ftpièf*'mcfif tnf*^grablr d^ét|ua-
lions aux ditrérenllelles lolalt's a i'\v éublie pltis haut (ii" 383;,
L inléjdjialion d'un pdreil sysl*^!^**^ >e rwinène ;i ['iolrgraUon dr
phisieiiTs systèmes dVt|uations din'éreiiti elles ordinaires, à une
seule variable indéjiendanle. La inrlhode, que nous allons déve-
lopper dans le cas le |dus simple, s'élend d'elle-inènie au ca^
i^énéral.
Soil l'équalion
( ly ) dz — A ( x^ y^ z ) iLr -^ ht r, y^ - > i/>%
ou z^ est une loncliou à déterminer fies deux variable<^ iodépen»
dan les x vX y. Cette éi|ualioo est équivalerjte ii deii\ relnliùu*
dislincles
(3o>
ôx
^ k{s,y. z),
Tiiule intégrale commune à cos deux ê<[uatinns >ati>fatl duuc
au^ïai aux iieiix nouvelles étjiitUion^
â^i
OiT dy Or ifz
et par suite à la relation
(3i)
1 |j — ^A»
ay ()z Ojr dz
Si celte relation ne se réduit pas à une identité, les iotégrale:» vie
Téqualion proposée (29) ne peuvent èlre prisses que paimi b
fooelions implicile?!» délinie» par Téquation (3i); un peut duac
touiuurs reconnaître, j»ai" des calculs d'éliminatiuu, si les équa-
tions (.jo) ont une inlêj^rale connnune, Mais^ pour que ce>
équations admettent une inlinité (Fin lé- raies dépendant d^uif
Four tihii'jiir loiiles les iiHt'j^riili.^s, faisons d'alioril abslractioii
lie la -.eeonilo (ii?s ëi|uaLions (3u), el considérons^ senleineiii la
prernirre. Elle constitue* si Ton y regarde Ui variable y comme
un paramètre, nne ê*]nalioïi diilereiilielie du [>i'eaîier ordre entre
Ja variable indénendante j" et la fonction iiicûnnue ;; ; elle admet
donc une inlinilé d'intégrales :; ^ fi-^i J% ^'^) dépendant d*une
constante arbitraire (>, qtie l'on peut re tu placer par une fonction
quelcoiH|ue u{y) de la variable >^ car l'expression de— reste la
même t|ijand on remplace C par une fonction de v. Tout revient
donc à délenniner celte fonction nij) de telle façon t|ue la
dérivée de la fonction ^^^'^[j', }', ''IJ')] P^*' rapport à y sott
égale à B(X,^% '^), ce qui ciuiduil à fécptation
^ût^ f}*^ tin
Or éa fi y
= *M-^7.> J Ç^-i'.J, « ^],
que Ton peut encore écrire
«/m
dr
bi,r,j, ^ir,r, "►I-^
7hi
I
Nous allons aioutrej' que le secund uietnbre de cette relation ne
dépend que des varialîle> y et u; il sulfit de \ cri lier que la dérivée
par rapport ù x est nulle identiquement, c'est-à-dire que rojî a
D'après la façon même dont bi lonction -^(jt^y^ ti) a été oblciuic,
nous avons la relation
4
iM)
qui est vérilîéej tpieU que soient ./•,>', n: on en dcdriit
OjT Oy
(iy &f ùy
" â^ du'
54^
«:H.VprrKh \\i
KQl.^TIf»^ \l\ DKRIVBES PARTIELLES.
Lu n_'niiilii<;aoi — î-» - — ^t , . par les valeurs précédentes, h
relation à vérttier se réduit à
0^ /*m àh
et le second (acteur est identiqueriieiil iriil^ en vertu de la condition
d'inlégrabilitë (i5i). I/éi[tiAtio*j (32) e-^l donc d^* la forme
(35)
du ^
soit u-^*}^{y, C) riulégraïe générale de cette équation, C étaul
une constante indépendante d la fois de a: et de y, U «^uftira de
remplacer u par '{^(^>', C) dans, la fonrtron »(j, v, u) pour avoir
riutégrale générale de Péipiation complélement intégrable ('19),
et nous voyons que lUnté fi ration de cette équation se ramène
à l'intégration successive de deux équations différentielles
o rdift a it -es ( 3 4 ) et ( à 5 ) .
Exemple. — Sait ri-qualion aux diilV'r4^uïiellç^ lutale*'
(56)
dz =. — — :— flU- H — — or,
Ty » ^ .ry -^
I
qui est èqyivaltînte au &y>lèfiie
(36/
■^>'
^(4 — .x\
La condition rrintégrabililé est vérifiée^ ei lu première des équations 1 16it
,» > . as . . I . . ,
qui est linéaire en -5 et —i admet pour intégrale générale
r
'^Jh
u{^) étant une fonction arbitra ire de k- En |>ortant celle valeur de ^ dan»
■ • ■ > , . f^« ï , , I ^ . .> .
Jii deuxième, il vient -, j- — r = u> et l on en lire u{ r ► = - — 1- C. L inte-
dy yf ' y
grale {générale de réquation (36) ei^t donc^ C désignant une constante «rbi*
tcaîre,
(3?)
S = T -h C< i -^ J^y).
Le problème précédent peut aussi élre interprété *;enmeinque*
tnent. Pour faciliter le langage, nous appelleruns encore sttr/aci
Il* — KQLATIOVS Al X DtrPËRENTJBLLËS TOTALES. 54 i
intégrale toute surface refH'ésenlée par une équation z ^ f{x^ y),
la foiielïon f(JO^ y) ëlariL nne inté^rah- de l'équaLlon ( 'Hj). Les
deux coodi lions (3o), ou
p = kir. r, ^K
HO, r. -^*
expriment que le plan tangent à la surface intégrale S en iin
point [j.\ Yy z) de celte surlace coïncide avec le plarj P ajaut ponr
équation
(38) Z — 5 = A<X _^)^B(y — J^.),
de sorte que le problème de Fîntégration de Téquation (ag) ei>t
équivalent au prolilénie de géométrie suivant :
A tout point {Xy y, 2) de l'espace on fait correspondre le
plan P pcLSsant par ce point, r/iti est représenté par C équa-
tion (38), Ttùiti^er tes sur/aces S dont le plan tangent en
chaque point [JL% y y z) est le plan P vorrespnndftnt à ce point.
L'énoncé est analogue k celui du n ' 429, Mais, dans le cas actuel,
le problème n'est pas toujours possible. Lorsque la t'ondition d*in-
tég^ralïililé (.^8) est vé.riliée^ il existe en général une intégrale et
une seule de IVquatioD (ag) prenant une valeur donnée ^g pour un
système de valeurs données (x©, j^o) des variabfes x, y. Par tout
point de Pespace il prisse donc en général une surface intégrale et
une seule.
Considérions par exemple une famille de courbes gauches F,
flépendant de deux paratn êtres arbitraires « et A, représentées par
ua système de lieux équations
O9)
u{x, y^ z)— a^ v(x^y,^) — b^
de telle sorte que par tout point de Fespaoe (ou d*une région de
Fespare) il passe nue courbe de cette fainilie et une seule. Il
n^e liste f>as toujours une lamille de surfaces S admettant ces
courbes F pour trajeriuires ortlio;40uales. En effet, le plan tangent
à la surface S passant giar un point doit coïncider avec le |>lan
normal à la courbe F passant par te même point, ^ous sommes
donc conduits à un cas particulier du problème précédent, ce qui
prouve qu'une congruence de courbes donnée arbitrairement n'est
>8S formée en général par les» trajectoires orthogonales d'une
541 CJIUMTHE Wll. — K(Jl \TIO^S \l \ HÈBIVKE.S PAltTlKLLES.
ImiïiMi" de ^ii ri aces. Le [îLiri lc*iii;eiil à hi surface S pa^ïâiliil an
jjoiiit [j.\ y^ z) fJoil èlve perjiendri iilair*? aux pldiis la»i;enls èHt
deux î>tirfrices (3t^) qui passent juir lii tan^eiile à !;i courije F. On
a donc les deux condition!»
ûu au fhi
à%' û%* àv
ds
en supposant les axes» de cnordonnées reetangulaires. On rlédiiil
de ces éi|uations Itîs valeurs de p el d«^ tf
ft == A{j?, y, z), 7 = B(x, ^. z),
et ta cundiliiin ( .i i } doit éire vérifiée iJeDti(|neiiieot pour que le
prolilèiiie Sidl possilile./
X, Y. Z dt'sij;nant des fonctionïi des variable* x, j^, 5 re^ipectiveitiiîtiL b
tiit^ttn>de pri'cëilenle (fonijc tes valeurs -uivantesi de /> et de ^^
XZ
*ï = -
vz
et réquatinn jiia dilt/'rt_'irlit:llt:>ï tniale^ peut s'i'rme
Zdz Xdr Ydy
Il est eiair ijiie cette cqutitîiiii ir>l e»miplè(*^iiienl nitègrable, et r'irUé|;r-ile
générale s^obtienl pai' des quadratures
fl^.^f^,,r^Jljy^C.
432. Méthode de Mayer. — La mêilnHle prècrdi'iiiL- c\ij;e deux i»lèa;ja-
lions suLCt^Sî^ivt'H ; un petil ii'iïipbjrer re> deux iiilé;;i niions par une *e«ilf.
erï r>|iériirit r*iiiime il suit- f^upposoiis, puiti fi\er le*» idée*, le* coefiicieiil)
A( si\ f^ z) et B|^*i', f, z ) hobniiurphes dans le ilnuiaine du point (j*,,, \\. s^)\
il exisie alois une surface iiuéf;rale et une ^t?ule Sy prtssaiii piir le point
( j-ii, y,>, iti), li>rsque la cnndïUon ( il f est satisfaite La inethodff cie M»y<*r>
pour i>ljtenîr cetle su i lace, iiîvieui à deteiminer daiionl le? *ieelk*iis fiiit*^
dans ee(»e sur6nM* par des plans |itfrallèles à Oz passant pai le ptJtfli
(■'o y»* ^lO- i^o'l 1^ l^ sec lion de So p .r le plan
( 40 ) y — y» = m i .r ~ .r„ ),
où m a uiif valeur donnée; le long île retti^ courbe T, Ton a dy — m<h.
IJ. — KQr^TïON>^ \t\ lïJFFKREMlELLfùS TOTALES.
Il en remplaçani >* ei fiy par les vak*ur«i précédenles dans l'équalion
\kn ob lient ta rclaiiim
545
'AD
qui est vrrîlié*' aussi tout le Imij^ de ia courbe F. Mais cette relatinn ne
renferme que le^ deii\ variables jr ei z\ e'esi une éqiiali«m dinereutieile
du premier ordre, dont l'intt"j;raUon fera cimnaitre la courbe F, Soit
(40
5 = ^(t: JCo, Jû, ^0, '« )
l*inieî;rale île cette t-ijualinn qui *e réiluit à Zq pnur :r = jtu- La courbe F
est représentée par \e système de$ deux équation» (4^) cl (4^)f ^^ surface
rherchée Sy élairl le lieu de la courbe f qiianil on fait varier le parauièlre m,
réquation de cette surface *i obtiendra en élinjinanl m entre \c^ ëqua-
Itîons 1 4o ) et {^%)\ il «suffit pour cela fie remplacer m par ï—
j" • — .ï'p
dans l'équation {\i\> Cetie métbnde offre une analogie évidente avec
celle qui a été indiquée poiii rinlégralinn rJeg différentielles totales
P{.r, Y )dj* -^ (^{T, Y )fiy (I* p. 3k^k On pourrait encore la g:énéraliser
en reu» plaça ni les plans (farallèJes a O^ |tar des cylindres ayant leurs
généralrice* parallèle*» à i} z et pas^anl au point donné (j-p, k,m *o )•
Reprenon* par exemple l'équation (36), et supposons xo ==^'u = »• l-n
posant^' = mx^ dy = m dx, cette équation devient
dx
mx^
j -h m x^ '
c'est une équation linéaire dont l'intégration n'offre aucune dif^culté, et
l'intégrale q^ji pour r ^ o se réduit à Zn a pour expression
La surface S^ a donc pour < quatiim -3 ~ x -h z^ii i -
vons le résultat obtenu par la joemiére inetbode.
■ xy), et nous rétro u-
433* Etude d€ 1 équation P dx -h i> dv -^ li dz = o. — Li' pro-
blème <ïe ritilf'graliim du ne cqualicHj anx dtfiei^entielles totales
Lient élre posé sou» une fortiie plus ^^éuérale et ]tliis syai*'trN)iie.
Soient P{>r, y^ ^), Q(>^. JK^ ^)^ R(x, >% z) trois fonctiun.s des
varia Ides x,y, s; ioté^Mer Féqu^ilion
;<4S; Pix.y, 3)dx ^ Q{x. y, z)dy ->r Ï{{t, y, z)dz = o,
c'est Irouver une relation F'(:r, r, ^) ^= o entre x, y, z, ([iii entraîne
entre ces trois va ri a hl es < i leurs diUViretiiielles dx^ dy^ dz la rela-
tion proposée. Si la fontrlion F con lient la variable z, on peut y
ô., IL as
545 CHAPïTHK VXÏT. ~ HQCATfONS \V\ D^IIIVÊBâ PARTIELLES.
regarder x et y connue deux variables indépendantes el :; vomn
une fonction de ces deux variables, el Ton voil que celle fonction
doit satisfaire à l'équation
<j
f|iiî est de la forme (29). La condition d'intégrahiîité (3i) devient,
en remplaçant  par
calculSf
p Q
— TT et B jiar-^ -^, et en développant l->
H
(44)
KS-.?)-Qe-'^h«(?-S)=-
é
Cette condition reste la même quand on permute circulaire-
ment.r, IS s, et P, Q, R; on l^aiirait donc obtenue aii^si si, au lieu
de regarder z comme la fonction inconnue, i*n avait pris Tune des
Variables j^^ ou r pour inconnue. Le prolJeme dt* rjnli'gration de
l'équation (4^^) ne diflere dtmc pas au f<»nd du probiéme déjà
traité, mai», en écrivant ainsi une équation aux diflTérentielles
totales, il n^esl pas néce^i^aire de i^péciUer quelles sont les variable!^
indépendantes clioisies, ^|
La condition (44) intervient dans une question qui offre un lien
étroit avec la précédente. Étant donnée une expression
P(2r, X) àœ H- Q(x, y) dy.
4
iHnit^ I
nous avon-î vu (n"* 374 el 387) qu*il existe toujours une 10
de facteurs [Jl(x, y) tels que le produit ^{V dx -k-^dy) soit b
dilierentielle totale d^une fonction des deux variables x^y* Quand
on passe de deux à trois variables^ il ûVn est plus ainsi en géuéral.
Considérons en effet trois fonctions P, Q, R, des variables .r» v, 5;
pour que le produit a ( P i-Zj: 4- Q ^^K H- K f/5 ) soit ur»e difiVreo-
lielle exacte, le facteur fji(.r,j^^ z) doit satisfaire aux trois condi*
tions
éz ày àx éz
ày "" ÔT
1
Si Ton ajoute ces trois équations, après les avoir multiplié**^
par P, Q, R, on retrouve, en divisant par ui, la condition d'întê-
grabililé (44)^ Cette condition est donc nécessaire pour que le
trinôme \^ dx ^ (^ dy -\- K dz admette un facteur intégrant. Elle
'esl aussi suffisante. En efFel, si elle est vérifiée, IVqiiation (43)
est coinplèteinerit întégrable. Suil
(45)
¥(x,y, 5)^C
rinl^grale générale de celle équation* Les valeurs de -^ et de ^
déduites de réqualioo (45) doivent être identiques aux valeurs
PO.
— -5* et — ^ tirées de Téquation (43)i puisqu'on peut disposer de
la constante <iri>itrâire C de façon que la surface intégrale passe
par un point quelconque de l^espace. Il faut pour cela que l^on ait
F' F' F'
ou fiF i^ u ( P ir/^ -h Q dy -^Wdz); le fadeur jjl^ qui est égal à la
valeur commune des rapports précédents, est donc un facteur
tntégranl* En reprenant les raisonnements du n" 374, on verrait
de même qii il existe une infinité de facteurs inlégrantSj qui sont
de la forme uirfF), tt étant une fonclion arbitraire,
La conditioïi d'iaté^^rabiliié { 44) ^-'^t un invariant, relativement à toul
ctiangernenl de variables. Coiisitlérons en effet une transfonnalion délinie
par tes foniiules
U6)
^ = /( tt, ç, w >, y == ^( u, t% w )^ z = ^{ «, 1', w ),
[•le jacobien dts fonctions /, f, «^ par rapport à u, p, w n*êtanl pas nul
' îdentîquement. Le trinôme P dsr -¥• (^ dy -r ^ ds ce change en une expres-
sion de iiirme foi me Tj fA/ h- Q» rfp -h R, dw^ P,, Qj^ R| étant des foac-
tions de m, v, w. Cela posé, si la lelaiion (44) ^^t vérifiée, la relatioi»
analogue
au^sî vérin èe identiquement. On pou ri ait s'en asfurer par un calcul
CCI (Gbap, [1, ex. lîl ), mais cela résulte au^sî de la signilicalion de
cette comlitîoii. Kn ellet» si la relation (44) e*t vérifiée, il existe deux
Coudions \i.{jr, y<^ s)el F(jp, ^, z) telles que l'on ait
[tiPdT-hQdy-^Hdz)^ dF,
Sî l'on effectue le changement de variables défini par les formules i 46),
' les fonctions {x et F se changent en deux fonctions p.|( u^ i^, w )^ F|(u, v, w)
des nouvelles variables, et l'on a identiquement dF = ^i. L'identité pré»
548 iiuprrRu \\\t. — Kt^i'VTKiNs MX t>t:nivi-:i:$ i'\HriKixt':â.
cédenlt^ de vie m rlrnir
ji, i P, du -^ Qj fA> -^ R , div) = rfF, ,
et (îîir suile le (ri nom*? Pi du -<- <^( r/v -l- K, f/tv adnii'l nn faolcur intégrant:
ce qui nuMilrL" i\u*^ Pj, Q|, H| saltsfonl au>sî à la lelaliou \ 17 ».
^.^ CetK* remarque pcrurel de prr?>enter la méthode d'iiiN'grnlion du n" 431
sous une forme plus géuc'*rale. Suppo-^ons en elfel que» par ud cha«ge-
menl de variables, on ail mis le trinôme P dx -h O dy -+- R rfr sous forwic
d*urt binôme P^ */« n- Qi dv, ne renfermant plu? que deux difTi-renticlIesi/tf
et dw Dans la relation (47), on d*d( ^uppost'r R^ = o, et cette relation se
réduit a Pi — ^ = U» — — * ce qui montre que le ra|j|)orl des deun coelfi-
f-'ients P| et Qi est indépemlatit de w. L'intégration de IVquation aui
diiTérentîelleH totales proposée est dune ramenée à rinté^ration d*aoc
équation de In forme dv-k-~<u^ ^•\du—o^ r'est-iï-dii e à une équation
difî'ei eiilielle ordinaire.
Ti>ut trinôme tel que P dx -h i) dy -^ R dz peut être ramené à on
binôme P| df>/ H- Qidi^ iTiine infinité de manierez. On peu» par exemple pro-
céder comme il *iuit. Un détermine d'abord deuv ronclfuns ii(t, }\ si
et F{\r. y. S}, telles que Vnu air, quels que soîeut dr et dy^
*)F c/F
cela revient en rt'alité à iiilé^ier Féquiition ilîll'érentielle P </*r — QV^*=Ov
z étant considérée eouiuie un paraniélre. On éttit encore l'équiitioii preeé-
dente
dF
. ("^ H — !^ U/- = ^( P f/x -H Q dy^Hdz K
Cl si Ton prenrl un nouveau ^yi^Lême de variables indépendantes, F(x, r, i>
et z étant deux de ces variables, on voit que P dj: h- Q tiy -r- H ds e^t bien
remplacé par une expression où ne ligure ni plus que les deux dilTineii-
tielles dF et ds. Ce procédé peut être varié de bien des façons. Il e§t cUir,
par exemple^ que l'on peut commencer par intégrer Péq nation
ou l'équation
q dr -+- H d& - o,
P rf;r -h R c/â = o ;
cette dernière méthode est en nalité identique à la méthode du ti" i3i
On |ieul auîisi rattacher à la remarque qui précède une élégante méibodf
d'intégration i\uG à M. Joseph Bertrand. LV^ualion (4^) i^tant «luppoff^
complètement intéj^rablc, on coninience par intégrer réqudtîim lîrn*aire
aux dérivées partielle'^
' \ dr f^s ) ày ~^\ày &r) âs^^'
ce qui r^MiânU à Vi'*ia\i{v
W existe donc rioiix fonction^; X el jx telles que Ton ait à \n fois
Q
(49) P = '^ + f^5:i:
I
et noiJ!§ pntjvnn** €*rrire 1 rrjuaiton |iriip<*sée
Or. nous avniis vu que le rapport — ne doil défieirdt e que des variable*»* «, fr\
et Ton eîit ramené à une équation difTérenlielle entre u el ^.
Cette inéllitifle paraît plus roni|iliquée que la précédente pu inique Tinté-
g rat ion de l'équcilinn ( i8)evi;;e (raliord riiUéjjralion d'un système de deux
équations diUrrentielle'* du premier ordri'. Mais eJïe est plus symétrique,
el peut être avanta^îcnse lorsque l'équation proposée est elle-même svuié-
trique en x^ }\ s. Considérons par e\einple Téquation
{y* -h yz -H s* ) dT ^ ( ^- ^~ iT -H X* ) iV K -h ( x5 -f- ,Ty -hy"^ )ds — o.
f.a condition i \fi ) est vi^iliée et l'éqiiîiii^m linéaire ( 4^} est ici
^ ÔT Oy "^ Os
le système d'équa lions dilîéreniielles correspondant
dr _ dy _ dz
; — r .7" — - y — ^'
'donne facileroeni fe*^ deuv roitibïnaî**ons inté|;rables
</( T -f- ^ -t- 5 ) = f », T dj' H- >' r/j.' — z dz — o.
. Nous pouvons rïonc prendre
550 I HAPITRK XXll. — Ë0l'*TIO?ÎS ÂtX DéBlVBES P.4RT1E1,LCS.
et le* valeurs des f^cienrs a et jjt tirées des relalions ( 49 » ^onl
^ , . , «•-*-*> T -h y -^ z u
A =r ^*H- r^-h «*H-x>'-+-r* -h ^•ï' — » H- = ■- -=
L'<^qiiattoT) irarisforniée en « et v est donc
( u^-r v}du — udi? =^ a,
oa
du
a dv — I' du
L'tntrgrale générafe est donc « — — = C, ou, en revenant aux v>-*
rîables ;r, y, z.
434. I^es pareûthèses {tu t) et les crocheti \u^ i]. — Une
équaliori aui dillt^renlielle!^ Lolales éqtjivaiil en réalilé à dent
équations ^imuUmiees p ^ A(jf, j^, ^), q = B(x, i\ ^). Considé-
rons niaînlenarU tleux équalions de form^ quelconque
(5o)
F{x, j, z, p, q) = o, ^(^» J^, ^, P^9^- o»
entre les deux variables indépendantes x et >-, une foriclron
inconnue z el ses deux dt*j'îvées parti elles p ei q.
Si t*OD peul résoudre ces deux relations par rapport à p eik q,
on est ramené à deux équations/? -^f[Xj J% 5), y = ç(x, >', 5)» de
la forme qui a été étudiée et Ton pourra examiner si ces deux rela-
tions sont compatibles. Mais on peul reconnallre si la condiliou
d'intégrabililé est vériHée sans qt^il soit nécessaire d^avoir d^âbord
résolu les équations ( jo) par rapport k p el k q\ il suffît d'appli*
quer les règles qui permelleni de calculer les dérivées des fonction*
implicites. Considércms en eU'et les relations (5o) comme définis-
sant deux fonctions implicites p ^2 /(x, >% 3), q = f{x^y^ 3) de*
trois variables jr, y y z. En dilïerentiant par rapport à x^ il %'ienl
éF àF dp àF Oti (^<t» à^ àp ci4> àg
dx Op éx àq àx d^ d/? Ox dy do?
et pai^ suite
D(F, ^} âq
lUp, q) éx
DrF, »)
Bip. jr)
=: o.
, U. ^ EQUATIONS \V\ DÎKKÉHENTI ELLES TOTALES.
On trouve de même
55 1
Ui P. ») ^ lu F. ^)
D(/7, q ) dy t)( ^. q }
IMF, ^} Op D(F, »)
D( p, g ) ^^5 TM 5, 7 )
D( F, <t>) ^ ^ IMF, *P} _
îl ( ^, ^ I (/c ' Dtp. ^} '~
En porlaiU les valeurs de ^» ^» ^i -^ dans la condilion d'in-
f âjr ÔM àx t)z
légrabililé
:>i^/ = d; ^iï3^^
celle coiidîtion développée devient
t//î ', */jr "*" ^ t/i / êq \ ày^^ ùz )
àp \âjr ^ ^ tiz / àq { Oy
— " o.
i^osons, d'une façon générale, a et v étant des fonctions
dx ùx * as
dy Oy ^ tU
j. au dv éif fiu du dv âv du ^
^ ^ èp dx dp dx àq dy àq dy*
reupressioD [a^ i'] est appelée un crochet et la condition précé-
dente peut alors s'écrire, sous forme abrégée,
(5i)
[F, *] = o.
Pour que les deux équiïtioos (5o) forment un système complè-
temeiU inlégral>le^ il faut d^abord que ceâ deux équations puissent
être résolues par rapport à p et à qr, c'est-à-dire qu'on ne puisse
pas en déduire une relation entre a:, ^, ^, indépendante àe p et
de ry, et de plus que la condition [F, 4*] :^ o soit une consé-
quence des deux relations (5o). Si le cntchel [F, 4»] est nul iden-
liquement, les deux équations F = a, <î» ^ ^ forment un système
compli^-tement intégrable, quelles que soient les constantes a été.
Si la relation [F, 4>] =: o est une cojiséquenoc de la seule équa-
tion F = o, 5ansqu^il soit nécessaire de tenir compte de la seconde
relation 4» =^ o, les deux équations F =: o, 4* := 6 forraeiit un sys-
tème complètement inlégrable quelle que soit fa constante b*
55a
€HAI»1TBK X\ll. — ¥.QlATHiSS MlX OKRIVKRS |»IHTIëLLES.
Lorsque les ilt^ix fiiTirhnnïi F et <1> (le rrnftMiiienr [las ^, Teipri;*
sioD du croctiel [F, <t>] s^ sinipIidV. On appelle parentlir^e (£i. i'J
rexiiressifin îsuï vaille» on (t et r ï^<int des ronchons quelconques
ex|iressmn su
ie x,y. p. i{ :
( W, i>) =
Ou à%'
tip d.T
dv au du ô%'
<*i* au
dp fit
dq dy dq dr
kIJL
a conuitioii pour que
les dr
*'ux e(:|uatlOlI^
¥(t, y, p. q\ ^
soient €fimp;i
itiUlf
>ld^
^( T^ y\ />. q ) =L ^
af*res eela que I ou ^\\
(F, i») = ir,
soit idpnhquemenl, soit en tenant compte de ces rplah<»ns elle*-
IIL - ÉQtJATIO.NS DU PREMIER OHDRH V THôIS VAUIAHLES
435. Intégrales complètes. — Nous tdlnus enaîn tenant nom
occu[>er de rintégrafion d'une é(pialiou anv <!érivêes parlielles Jii
preuiier ordre, de forme qnelroni|ue, mais avec deux variable»
indépendanles seulement. Lagrange a obleoii >>nr ce stijet d<
résultats très importants (jue nous yllons (fabord exposer. S(
le»
I
Inéquation proposée; le résultat fondamental obtenu par Lagrau^;^
est le suivant : si Ton connaît une (amîMe d'intégrales, d*q>endui
de deux paramètres arlïilraires, on [>eul en déduire ton le* M
autres intégrales par des difrérentiations el de^ éliiuinations. So
en effel
(/î3^ N{3t, y^ z, a^ b) ^ %y
une relation, renfermant deux constantes a et é, et déBni$<»i]
quelles f[ue soient les \aleurs attrilïuées à ces eon^tanles,
intégrale de Téquation (52). De cette relation, on déduit
valeurs des dérivées partielles/? et q de celte intégrale
(54)
èV
é\
*^v * dz
KgUATJÛNS [ïl IMîKMlER OlidRE A THDI-'* WRtABLKS,
553
Uivpothèse, Ui fond ion z- >iinsl'ail l^injour^ A rrqiinlion (5ii),
|iielâ que soienl fi el //; r<?lîmination des deux iiaramètres a el b
tMiIre len irois rela lions (53) et (54) conduira donc k IVqtia-
lion (5'^) el à Cflle-là sf^alement ('). Il s'ensuii qne celte t*qna-
tioiî (5a) exprime la condÎLion nécesîiaîre el sunîsunlê pour que
les trois éqnalions (53) el (5^) soient véiîfit^es par un système de
trois fonctions :;, /ï, ù des deux %'ariables x el y, p cl q désignant
les dérivées pari iel les dr z. Le [vroblèrne de rinlégration de
réqualîoa unique (5'-%) est donc t'quivuleiil au |irol>lème suivanl :
Troiner trois /on ri ion s z, a. h fies dtuix variable fi indépen-
danies x et y^ satisfaisant aux trois équations (53) et (dJ).
I Si z =/i(j:j y)y n ^^f'xixj y), h^=i f^y^x^ y) formetil un sys-
lèiiie de soliilions de ces trois équalious, la fonction f%{^^ y)
satisfait anssi à récjualion (5*2), qui est une conséquence de ces
Irois relalions. Invi-rsementi si f\\X^ y) esl une intéi^rale de
l'équation (5'>i), les trois rtdations (53) et (54) sool com pâli blés
ipiand oi» y ieiTi|dace z par f^ix^ r), p cl q [var les dérivées par-
lielles de y^i {^y, y). On en dédiiira donc pour a el b deux aulres
fonctions a ^^/ii{*^, y)r b^/:i(x^ y)^ qui formenl îivec/i{x, y)
in sysléme de solutions des relations (53) et (54).
Le nouveau problème, quoique d'une apparence pln« compli-
iiéê que le premier, se résout aisénienl. hin efFet, si l'on dilTé*
rentie la relation (53) par rapport a .r et à y^ en considérant
maintenant z, a^ b comnn* des fondions in connues de .r et de j^,
les relatiorjs obtenues se réduisent, en tenant compte des équa-
tions (34 )» aux deux suivantes
1 le syslèrne Coriné* par les érjuations (53) et (55) est équivalent
u système fortné pai* les lîquations (53) et f 5î).
On voit imniédialement tpie fou satisfait à ce système en
tjrfiisiul pour îrs fonrlîons inconnues a et b deux couslanles
55)
àa èx
à\_ àb_
éb àr
0\_ an
àa fiy
àV àb
otf à y
f*) En elTet* !ii rélîminaiion de* rf et de è condui^âîi ^ une autre rcla-
lon *t»(jr, y» £j p^ q) = 0, dilTiîireiîte ée. P = o, Ips deux ét|Uiilit»ns siinulU-
p r= o, <t» = o snlmctlraionl uni' intt^gral*» comniuiif? V — o. dt^pr^ndatil de
\tvk\ confiantes arbitraire* a et 6, rr qui est i*upns*^jl)Ie f u" 431). L'iulégrale
Kïn^idérée ne dèpcndritii d<>iic rn réalité que dun $€ut paramAuc.
554 CNAPITAË \X11. — ÛQV Allons AUX DKAIVÊES PARTIELLES.
quelconques. Nous retrouvons ainsi pour z Fîntégrale coanne
a priori, que Lagrange appelle intégrale comptète. Pour traiter
ta question d'une façon générale, remarquons que les équa-
tions (55) sont linéaires et homogènes en — . ^- On satisfait
donc an système des trois équations (33) et (55) en posant
à\ dV
Si ces trois équations sont compati Mes, elles définissent trois fonc-
tions s, a, 6 des deux variables x ei y, [^intégrale z^=fi{x^y)
de IVq liai ion (02) ainsi oblenue ne dépend d'aucnn paramètre
arbitraire; o f 1 T a p p e 1 1 e a u j o u r d ' li u i / ' in (èg ra le s ing filière . îii
3— et -TT ne sont pas nuls à la l'ois, 00 doit avoir, d'après les équa-
tions (55)>
DU, b)
Dfj", J^)
= o,
ce qui prouve qu'il existe entre les fonctions a et ^ au moins wnt
relation indépendante de x et de j'. S'il existe deux relations île
cette espèce, a et b se réduisent à des constantes; nous retrou-
vons l'intégrale complète. S'il existe une seule relation entre a
et b^ l'une au moins des fonctions €i el b ne se réduit pas à m\t
constante. Supposons que ce soil a\ nous pouvons alors écrire ïi
relation entre a ei b
(57) b^fiau
et les deux formules (55) deviennent
Comme a n'est pas constant par hypothèse, ces deux relations se
réduisent à une seule, el les trois équations
f58) Vfx, y, 5, /ï, 6 ) = o, 6 — ç(a), h — r ç'* «» ) — o
définissent un nouveau système de solutions des équations \h'i)
et (54)- En particulier, la fonction z ^fx [x^ y) ainsi obtenue e*t
une intégrale de l'équation proposée (5a); celte intégrale dépend
ni.
EOIUTIONS DU PftKAÏÏKft ORDRE A TROIS VARIABLES.
5S5
évidemmenl de la fonction arbitraire f(ât); nous rappellerons
I * in té g ta le gén éra te ,
Pour avoir Jd relation entre J^*y* :;, il Tandrait éliminer le para-
lïiètre arbitraire a entre les deux eqirations
(58 hiâ) \\T.y, s, a, fia)] = o,
dV
?{a) '
^'(a}:= O]
cette éliininaLion ne pent être faite que si Ton a choisi la fonction
l^(a), mais les équations» (58 bis) permetlein toujours d'exprimer
deux des coordonnées trim point d'une surface in té;; raie eu fonc-
tion de la Iroisièine coordonnée et du paramètre a.
La méthode précédente se rattache très simplement à la théorie
des surfaces enveloppes. Considérons, en elVet, la famille de sui'-
faces S, dépendant de deux constantes a et b^ qui l'or ment l'inté-
grale complète (53). Si Ton établit entre les deux paramètres a
et b une relation de forme arbitraire b ^^ f(a)j on obtient une
famille de surfaces ne dépendiuU [»Iijs que d'un paramètre arbi-
traire a, et renvcloppe de cette Camille de surfaces s'obtient préci-
giëment en éliminant a entre les deux équations (58 bis). Le pro-
cédé qui permet de déduire Tintégnile générale de l'intéi;ra!e
complète consiste don*: à prendre Fenveloppe d'une suite sim-
plement infînie d^rntégrales complètes, obtenue en établissant
entre les deux paramètres a et b une relation de forme arbitraire.
L*inléj^rale singulière s'obtient de même en prenant Tenveloppe
de toutes les intégriilcs complètes, quîiud ou fait varier les deux
paramètres a ei 6, de toutes les manières possibles (') (1? n'* 220),
Il semblerait, d'après ce qui précède, que Ton doit distinguer
ï
(*) On ë vu plu& haut ( n** 424) combien $<iiit délicates louiez ces considéra-
tion» fondécfi sur la tliét>rie des enveloppes dans t'élude des équation» difTèren-
ticllcà. Toiite^' Ic^ diflkullés si goa I ècs dan<^ l'étude des solutitms siugutiéres d'une
équation ddfcrenLietIr* du premier i»rdre se relrouvent pour les équiitionA aux
dérivées partielles du prennier ordre, et t*on est arrivé à une conclusion iden-
lique : une équalion aux dérivées partielles du prennier ordre, donnée a priori,
n'admet pas d'une f^içon normale d'intégrale singulière. Ct^tte conclusion n'est
pas eo Cuntriidictiuri avei: les raisonnements du teiite, car nou!! avons «idriiis que
l'rvn pouvait appliquer au isystèrne des trois équations (56) la tliéorie des fonc-
tions itnptirites^ et les conclusions ne sont exactes qu^autant que cette condition
I satisraile* [ Voirie Mémoire de M. Darbou* Sur fes sohtlioti^ sinffufiéres dei
tiaiiom auj: dérivées partiefles du premier ordre {Mémoires des Sai*ants
yg^rs, U WVII).]
556
(jtlitMTltf*; xxiu
ÉaLATJONS AIX UfcmVéES PARTIELLES.
Irois ealé^ories d'intégrales : l'inlégralr coniplèle, rînlêgralegé
nérule et l'intégrale siogiilière. Mais la théorie même de Lagraogf
prouve qu'il existe une inlinilé d'inlrgni le** complètes. Si, en eflV».
on t^tablit entre les deux paramètres a et b une relation d'une
forme déterminée b ^^7Z\a^ci\ 6'), renfennanl deux constantes
el 6\ Finlégrale générale tu>rres|KHidcin(p dé|rendni de ces deui
constantes ci'^ b\ el pourra jouer le rôle d'ml/*grale complète
L^ancienne intégrale complète sera maintenant comprise dan
l'intégrdle générale, el correspondra à la relation i = T.\a^a\l/i
établie entre les deux [iaranièlrcs a' cl b\ Il n'j a dnnr pas de i\h-
linclion es*if ntiflle entre l'intégrale générale et Tinlégi'ale com-
plète. Au contraire^ l'intégrale singnlière, d'après sa sigoifieatior}
géométrique, ne dt'pend pas du choix de Tinlégralc complète.
I
-i
Exemptes, — i" Soil récpi-itton de Claijaul générali*ée
on véiifie aiséuieni qu*elle admet rinlégralc complèle
(>ette intégrale ciun[*lèle se compose dune famille de (ilan^
dépendant de deux paramètres arbitraires ^7 el b\ ces plans enve-
loppent uue surface non développahle 5Jj qui esl rinlégrale ^(0-
guliére de Féqualion jjruposée. Four avoir rinlégrale génénile,
nous devuns étal>lîr entre a et b une rclalion de forme arbitraire,
sc»it b ^ 'f (<7), et chercher l'ejneloppe dn plan ainsi obtenu; cetle
enveloppe, ijiii esi représenlé*? par le >vstènie des deux équations
% =r ax — y^{a j -^ f\ n, 'JK a ij.
àf èf
^ H- >' «& { rt 1 H- -7— -K
esl irne sur lace développable tangente à la surface X tout le long
d'un courbe l\ el Ton peut éviilemnient choisir la Tonclion arbi-
traire 'f{ff) de lacon que la courbe de confact F soil une courbe
donnée à Tavauce de D.
2** Soil encore Téquation
qui adtneî Tinlégrale complèle
^ — ax ^/i '? ) }■ -*- b.
Celle équalion représejile cncojc un jiïan, et l'rnlégrale |:éû<*
I
se rompose de surfaces développable^, que Ton peut définir ^éo-
m»Hritjiieineril d'une faruii très simple. Eii effet, si, par un poioL
iixe de Fespace. l'origine par exemple, on mène des plans paml-
Irde» aux plans qui forment rîntéj^rale romplote^ ces plans ne
dépendent tjue d'un pirrainètre variable a, et enveloppent par
conséqueni un rône (ï) avant son sommet à Torigine. L*aréte de
rebroiJSseiTîent de la ^surface developpable (5y) a doue son (»lan
osculateur (pli reste con^tauitueiu paralltle à un plati tangent au
cône (T)^ et par suite les génératrices de cette surface sont paral-
lèles aux gi'nèratrices du même cône (I^ n*' 224).
Les équations (5f>), qui déterminent Tintégrale singulière, sont
dans ce cas înconipatibles, car la dernière se réduit à i = o. Il n^y
d donc pas d'inlégrale singulière.
.V' (Considérons, une fajuîlle de sphères de rayorï douné H, dont
le centre reste dans un plan tixe. Ces sphères dépendenl bien de
tleiix paramètres arbitraires, etj ^i nous prenons un système d'axes
rectangulaires avec le plan fixe pour plan des xy, elles sont repré-
sentées par réquattor»
L'é(piation an#L dérivées partielles coiresprindante s'ol>tient en
éliminant a et ù entre cette équation el les deux suivantes
ce qui
luuiie la rf'Iation
r
y — b-^qz^yi.
)-î_ ir=o,
dont la âi^nificatiim géométrique est la suivante. Elle exprime que
la portion de normale, comprise entre un point quelconque de la
surface et le plan des xy^ est con «étante et égale à R, L*inlégrale
générale est uur surface canal, enveloppe d*une sphère de ra jon R
dont le centre décrit une courbe arbitraire dans le plan des jcy, H
V a une intégrale singulière formée des deux plans 5 =: rt R* Il
esl évident que ces deux plans sont tangents à toutes les autres
surfaces intégrales.
i
SStf
CHAPITRK XXII
EQl iTIO^S At\ DRIIIVEES PARTI EU. BS.
436.
Méthodô de Jùagrange et Gharpit. — Eu résumé,
pouvoir détermint^r ton les le» intégrales d'une équalioD du pre-
mier ordre
(60)
¥{r,y, z, p, q) — o,
il suffu de connaître une intéi;rale coinplèle, cVsl-à-dire une inté-
grale dépendiiîU de deux coiislaiites arbitraires, f^oiir détermioer
une intégrale complète, supposons que, par un moyen quelconque,
on ait obtenu une autre fond ion <ï>(j?, y^ z, p, q) telle que les
deux équations
I
(61)
F = o,
^ ^ a
puissent être résolues par rapport à /> et à ^jr et Ibrnienl un sys-
tème complélement intégrable^ quelle que soit la valeur de la cun-
stante a. S'il en est ainsi, en résolvant les deux équations précé-
dentes par rappoit à p et à q, et en portant ces valeurs de /> «t
de ^ dans l'équation dz =^ p ilx -\- q dy\ ou obtient une équalioa
aux diflérenli elles totales cotnplèlemenl inlégrable
À
<«•)
iiz =Lf{j^, y, z, a)dT *^ ^i^* y^ ^» o)dy.
LHnlégration de cette équation introduit une nouvelle constante
arbitraire 6, et nous avons ainsi une intégrale de Téqualion prû*
posée, dépendant de deux eonstantes arbitraires a ei b.
La méthode d'intégration de Lagrange et Charpit consiste pré-1
cisément à adjoindre à Téqualion F = o une autre équation <^ = rt
telle que le système (61) formé par ces deux équations soit coni-
plètemenl intégrable. Il faut et il suffi! pour cela (n"434) que Fon
ait [F, <I*] = 0, é<|uation que Tou peut écrire
-(X
en posaotj pour abréger récriture»
p =
àF
^7'
La loticlion auxiliaire *(x, ^v, 5, p, q) doit donc satisfaire à uoe
t^quation linéaire aux dérivées partielles à cinq variables inrié-
peudantes. L'intégralion de cette t't|iiation linéaire »e ramène »
m, — ÉQUATIONS nV PBEMJHH OHDHK A IROIS VAKIABLKS, 559
tour à celle du sjstt'me d'ëqualions difTëreiitt elles ordioaire!»
,i^4>
fix
-^P
dq
maïs, pour robjel f]ue nous avons en vue, il u^esl pas nécessaire
d*avoir obleuu l'intégrale générale de ce système (64) : il sullil
■de connaître une inlégrale première de ce système 4> == a, telle
t|ue Ton puisse résoudre les deux équîitions F := o, 4* ^: iï par
rapport à /? et à y.
Nous pouvons donc énoncer la règle |4énérale survante :
Pour civoir une intégrale complète de i*équalion (6ii), on
nherche ci* abord une intégrale première <|> = « du système
Muxiliaire (H/{ ) telle que lejacobien ^^ — — - ne soit pas nul ,
puis on résout les deux équations F = o, ^ z= a par rapport
à p et à q. En portant les expressions obtenues pour p et q
dans réquatiofi d z ^= pdx -{- (/ dy^ on arrive à une équation
mcomplètement intégrable aux différentielles totales. L'inté-
grale générale de cette équation renferme une seconde con-
stante arbitraire b; c^esl une intégrale complète de l'équa-
tion (do).
P On connaît a priori nna intégrale de féqnation (63), la fonc-
tion F elle-même. Cette intégrale ne peut nous être d au eu ne
utilité à elle seule^ mais cela nous montre que rinlégralîon du
système (64) se ramène à Fintégration d'un système de trois
équations difl'érenlielles du premier ordre, La difliculté du pro-
blème est ainsi précisée.
Lorsque la fonction F ne dépend pas delà forjction inconnue z^
on peut supposer aussi que la fonction 4* ne déjiend pas de 5, et
la condition pour que le système (tii) soit complètement inté»
grable est alors
(F; *) =0,
ou
(63 6u)
P ^^ ^ Q ^
(/*!>
df
système auxiliaire (64) devient de même
djT dy — dp
d^^
â6o
nUf'lTRE XXIÏ, — Ki^l 4THi\»^ U\ l«KiVlVKh>i I^MïTlKLLhS,
Si riin i'»MJiiaîl iiîie inléL;rak" [H'i;rnH''ie <t* == </ de ce système,
,, D< P; *l*i , , , 1 .
UMle fiue rr ne soit ikis ntiL on est conduil a iinr etiutiltim
il MX (lidéreiuielle!* tolairs île hi loraie
dz =f(Xi y, ai (Ln -i- ^( r, ^, a ) d}%
4
ijui s'iiilù^re |jar tiiii^ quiiilraliJrt*. La ilrKirnlU' île la secrM»t]«î
parlie du problème esL donc drniinuée à^u^ c<-* cas. Il en esl de
même pour la première [laiiie, car orj connaU encore une inlr-
grale premiùre F^C du îiysU'me (6} 6/5); on peut donc: rem-
placer ce sjsténîe par un syslènje d«^ *ieiiX équations ditlVren-
lielles du premier ordre.
Exemples. — r Ccmsîd^-rons une é(|uation ne renftMmanl que l'une des
trois variables JT, y^ ^, pur excnijjlt' la variable y^ UdU* que F( k, p^ q ) = o.
On a ici X = Z = o, et par «uilt: U"* t^i|uaiiotis(64) admettent la roniLinrtÎMin
inlé^rable Jp := o. Les deu\ équiition? ï^< J'- /^' ^ ; = o, p z^ a forment
flonc un sy&i<>iTie complèieinent inu-^iiablc ; ce ijti'il e^t ai^é de vt'ritier, Ciir,
si Ton résout rêquation iirojirjsèe par ra[»p*irl â y, i'équatiun aux dilît'-
reiilielles lo laies â intL't;rer prend la forme
dz = a dx H- /(.>', a) dy,
el Ton a une intégrale <<nn|dète prir une qtiadralure
s = air-^ f /{y, a)dy -^ b.
i," Une éqyatiftn de la fornie F( z^ p^ 9) — ^* p^">it ^<* ranienei à la iVirnu*
préeédeuie en f>renanl y tU ^ pour varia ble> indépendant en. tuai» on peut
se dispenser d^. ce chan^enienL de variablej». On a ici en ed'et X = Y =^ o,
et les. équaLii>ns (lli ; donnent l'égalité
dp _ dq^
et par suite l'i ni effraie première fj = ap. Des deu\ éqintioiis
on tire ensuite
p ^fiz, a), (/ = a/(^, a).
et réq nation aux dillérentielles totales
d^ — /( J, ajidj' -h a fly)
l
Soit par exemple l'équation ^y — ^ ^ = o. Eu lui acijoi*(nani ta relalir>n
q = ap, on en lire /? ^ ^/|, q ^ ^ [/ ^^^
ei Ton a l'intégrale cum|iléie
4 a 5 = ( J? -h a y 4- h )'
formée de cvlindres paraboliques tangenis dU plan *les Ty tout le ton ^ d'une
génératrice. Le plan des Tf est une intégrale singulière.
Le* équations (64 )i dan*^ le cas» où F = pq — z^ admettent aussi l'intégrale
première p — y = a. En parlant de cette intégrale, on est conduit à lequa-
tinn aux dtirérentielle*^ totales
£ iiy
dz ^ ( y -h a)d3r -h —^ —
y -h a
que l on peut écrire aussi dx- = d( J i ce qui fournil une mtuvelJe
intégrale conipléle s = ( y -h a){x -^ b), formée de paraboloïdes tangents
au pian des xy.
3'* Soit une équation de la forme /(^, p) — /i(j', ^) =^ o. Les équations
difTèrentieiles (64 ^*5 )
dT _ dy _ — dp _ dq
4p dq ùx ày
ailmetteni rjnl<*grale |ireniière/{ j-, p) t^ a. ^\ Ton adjoint celte équation
à Téquaiiôu proposée, ou tire des deux relations
f{3^, p) = a, f^iy, q) = a,
ies valeurs de p et de t^, p = ^{^^ «)♦ ^ — ^i(/t <*)» et l'équation au\
différentielles totales
ds — t^(x, a)dx -h ^liy, a) dy
s'intégre par deu\ quadratures
z ^ / çC-Tj a}dx -^ I ^iiyi a) dy -¥- à.
Lorsqu'une équation du premier ordre e^t de la forme précédente, on
G.. IL m
56a CHAPITRE WIJ. — KgUATloNS AUX DKKIVBES RIHTIELLES,
dit que les variabtex iont séparées. Soil jjar e\cm|)le l'équation
P'F
J'Y ^ ii;
rlou^ pou von «f aussi l'écrire — == — - En égalant ces deuv rapjjort'i à une
constante rt. nous, avons Téquation au\ diffcrenlielles totales
Y
a -^
et par suile rinii'crale romplète z — h ^^—
'^ ' à la
4" Proposons-nous du trouver lt;s fonctions Fia:, y. /?, ^) telles que les
équations (.04) arlm^ttent l'inh'^grale première/»/ — qx = a. Il faut ei il
snfiit pour cela que la reUiti^Mi pdy-¥-y dp — tj dx — t €tif ^o soil unr
côiisëquenee des relations (64 bîs)^ c'est-à-dire que la fonctirm F soil ellc-
inihiie une intégrale de Têquation linéaire
h.
i}¥
t/F
*jF
ô?
^ ùq -^ âx àjr ^ ép
Le sysièîiie d'ëquatiims flillérentielles correspondantes
dx _ dy ^ dp _ dq
— y ^ ^T' ~^ —*!~ p
admet les trois intégrales premières
et la fonction F est donc de b forme Fi/ir — qx^ x^-^y*, p^-h ff*l L«
reclicrcbc il'une inttVeralc complète de l'équalion F = o est ramenée à Tin-
tëgration de deux équations simultanées de la forme
/>»-h q^ =/(^sh^j>, py-- qx), py — qs; ^ a.
En tenant compte de ridentité
ip^-^q^){'^^-^ y"^)— \ py — q^y-^ip^-^qy)*^
on déduit des riens, équations précédentes
px H- (fy = /(âf«H-^*)/(dr»-i- y», a) — a^= ^(jr^-^yi^ «j,
ce qui nou* donne les valeurs suivante*^ de /> et de q,
ay -¥• xo{X'-T-y*r a )
et l'on a une intégrale complète par une quadrature
^ — — « arc tan^; ( - -t- / tlu
^ X / J a M
uù u — x^-k- y^.
^ — ax -^y^{x^-^y^^ a)
m.
EQlT4TtOXS D{' PKËMIKII ôEDRK A TROIS VARIABLfiS,
Remarque, — J1 c>l h reiiiHrquer qu'il nVst |ias néce^*aire que la rela
Ion (63) suit vérifiée identiqij*_Miieiit pour que le sy9ièfne(fit> soit coui
plelL^m**ril inlegraltle; il -iiiltil i|u ("lie soil vrntiee en teuant compte de la
rclaiion F = o elle-même On peiil qiielqrierui* "^e seivtr île celte ctieori-
«laïK'e tlan^ I;i recîierrhe de Ifi fanrtian 'fr. En t*ftet, t mu ver une combi-
naison intégrable des equiilious (i'i4^ revient au fond à tnHi%er cinq fonc-
tions Axi ^v» ^st ^/'^ ^ff *'^^ variables >r, y\ z. p, q^ telle;* que
K^iix -^ À^ (ly -^ K^dz -^ \ftfip ^ Kfiifj
t>ïi «ne difTérentielle exacte d*^ et que l'on ait en outre
l*X^H^QX^.H-« r> -^ Qf/ )>,.^(\ -h/ïZïX;, — ^ Y H- yZ|X^= o.
Si celle ilei uiére relatinji nVsr vérifiée qu'en leihint compte de l'équa-
on F — o, la fiinctiou l* n'e^t plu- k proprement parler une intégrale
première du système if\\), Cei^icndjat^ le*i multiplicateurs Xjri X^^ .♦.,
élant è»;nii\ aux derivèen partielles de «Iî, le> tleu\ équations F = n, *t> =^ a
forment encore un s^sïéiue compl élément integrable, car réquatioji (6'i )
Icsl alor§ une eon.Héqueiice de F = o ( ^ ). Une remarque analogue ^'applique
■u système ^64 bis).
437. Problème de Gauchy. — Et»nl données iitie équation
dont |r ^rctind meniliro est holoinorphe dans le voisinage d'un s^s-
ii
(M Lorsque requaiion F = «> peut ^Ire résolue par lapport à l*unc des va-
rirfble^ .r, r, 5, p^ q. on peut ^uppu^er que la f«>u« tion *fr ue rrii ferme pas cette
variable, el elle ne llsiure pds lum plus dan*i le^ «uclTicicnts \, V, Z, F^ Q. Pour
VwcT les niées» prcriun* une équation de ta fi>rnie
/> -+-/( J, y, -, ^ 1 = o:
pour en Iniuver une *nléKf<iil^ coraplèlc, il sufrU de lui adji>irnlre une autre équa-
lian ç(Xt y, z. q ) — a^ formant avec la première un systêuie coiuplctemeiU
inlé§rrable, La L'ondilioti [p-^/t 'i] = f* devient ici
ôx âq ÔY
et la lettre p ny (i^nre pas.
Plus çénéralement, supposniis qtj\jn pui-sse Stiti^faire ii la relation F = o en
rsartl
p^/{^,y, z, X), q = 9(x, y. z, X),
\ désignant un paramètre au\di.*ïre. Il «■uflit de remplacer 'K pai une lonction
de X. ^v, z, telle que lequatifui iJz - fdx -r- ^ dy 'j'tit eompirtemtnit inlégrablc,
ce qui conduU eticiue à tine étpiatmn litièaire piuir déterminer A (Xt^Ki >*)
dy ôz ^ dk\ t)y àz ^ j àj; tiz ^ ê\\dx àz'' I
{ \î(TgïiARi, Bulletin de ht Soviete Uat/tt/itaii*/tie, i. \l\, p* l'i}.)
564 CIIAPÏTBE \XII, — ÉQUATIONS ÂlX BEBIVÉES PARTIELLES.
Ipme Je valeurs (Xo, Fy, Sq, ry,,), el une ibfiction '«^(j^) lioloniorpbe
dans If; tlotnaine du poinl y^, lelle que Ton ait o{ya):=z^,
m'{^y^)^=.q^^ on a dHinoalré plus liaul (n"* 386) que celle équation
admet une l'ntéf^rale holoniorphe dans le domaine du poîiil (x^,, k»)i
et îio rédiïisaul à la fonrlion d(»uuée '^{y)- y^our x := x^. Soit C la
courbe plaue représenlée par les deux équaiiousa* =^ x„, r =: is( v);
en langage gf'nmélricpie* le rësullat qui vient d'être rappelé |>€ul
s^énoncer cm un me il suit : il existe une surface intégrale ana-
(ylique de l'équation (65), et une seule , passant par ta courbe C,
Nous pouvons généraliser cet énoncé. Considérons d^aUord uot*
équaLion de forme quelconque
im)
ï*'{>' y^ *t P* q) ■= o.
4
el proposons-nous encore de délermfner une surface intégrale pas-
sant ()ar une courbe plane lelle que G, située dans un planx^ J<>
parallèle au plan des y;. Soil z r=^ 'f (jf) Téqualion du cylindre pru-
jelanl C parallèlement à O^. La fonction '^ tlaril liolomorfdicdans
le domaine du point j*^^ réqualion
(67)
F(xo, j^o, -s«. /?, ?o)=o
où Z(i^y(^ro), Çg=:'j'(^o), Cl OÙ Ton regarde p comme l'in-
ronnue, admet un certain uombn^ de racines. Soil po Tune d'elle?».
Si la fonction F est bolomorphe dans le voisinage du système àt
valeurs (xo, >^u, ^«t/'ût Ça)^ *^t si en outre la dérivée partielle ( --)
n'est pas nulle pour ce système de valeurs, Téquation ((>6) admfl
nne racine /? =/(-r, y^ 5, q) qui est holoniorpbe dans le vaisi-
nage des valeurs Xq^ y», 5o, ^^ (I» n° 188), et nous sommes
ramenés à une équation de la forme (65), ce qiri montre bien q»f
l'équation (66) admet une surface intégrale passant par C. Le rai*
sonnement prouve inêmfï que celte équation admet //» surfaces inté-
grales répondaul k la question si l'équalion (6y) est de degré m
par ra|iportà/>. Il u\ a d*cxce|ïiJon possible que si Tune des raciiieà
de Inéquation (67) satisfait en même temps à la relation — = o*
tous les points de C, puisque Xo, j"o? -0 sont les coordonuéesd^i
point quelconque de cette courlis.
(Considérons enfin une courbe quelcompie F, représentéepar ui '
EQUATIONS 1)1
sjstrme de deux équations
(m) ir^livi^
et soîL à d^'ierniiner unv surfaoe intégrale de l'i-quation (66) pas-
sdnl fjijr r. Cu problème peut à son tour se rameiier au prc^cédenl
au OUI yen «run cliartgemeol de variables. Si Ton pose eo effet
la relation dz ^ p dx -h tj dy rie vient
dz ^ p d\ ^ pVi\ }dY ^ qd\^
el Ton en tire
^équation (f^%) est alors remplwc^e par la suivante
I
<66 bis)
F[x^X,y),Y,.,g.^
Â'<Y,
j=.„
I
I
I
el nous aurons à recherrber une intég;rale de cette nouvelle équa-
tion se réduisant à |a(Y) pour X == o. Non* vojons donc qu'en
général tine surface intégrale d'une équation du premier ordre
est déterminée si i^on se donne une courbe située sur ce lie sur-
fact. Il peut V avoir plusieurs surfaces intégrales corres[ïOndant à
la question, si Té*] nation analofi^ne à (67) a plusieurs racines dis-
tinctes, de même t^n'une équation dîllerenlielîe du premier ordre
el de degré m en ^' admet en générai m courbes intégrales passant
pîir nu ptiinl donné. Nous reviendrons plus loin sur le cas excep-
tionnel, où les raisounemenls sont en défanl.
Ou a donné le nom de problème de Canchy au pnïbb'^me qui
consiîite â déterminer une surfaet^ inlé^^rale d^une équation aux
ilérivées partielles du premier ordre, passant pjrr une courbe
donnée. Le eboix de re nrnn a pour but de rappeler le lien et m il
qui unit ce problème an théiu'ème ^^énéral de Canchv, eumnie on
vient de l'expliquer. Nous allons montrer niainlenant comment ou
peut résoudre le [>roblème ait' (lanrhy par des calculs d'élimination,
quand on coonaîl une intégrale ct>nq>lète» ce qui nous fourni m
une véri beat ion des résultats précédents.
S'uent
\{x,y, z, a, b) — Q
une intëgrak complète el F une cmrrlir tlnrinée. n'ëlani pas située
sur riïit*^|;rale siugiilîère ni sur une des inlt'"i^ralf*s obtenues en
dnn liant a ^/ el ;* f* des vatcurs eoni^lautes. Le jirolilrnie proposé J
revient n r^'lerniiner \h funeliun '^(a) de lelle faeon que Cfttf^|
cou ri te r soit située sur la su» fiiee S définie p.jr les deux équation*
(69)
V[ j', y, 5. a, Qia^] = o.
0\ ù\
SupposoiTiï les coordonnées r, r» ^ d'no [«oint de T e\\ir\tï\éfi<
en fonclioD d'nn paramètre auxiliaire X,
(7«)
T^/td), y=f^{li X =/,(>),
et soit U(X, ft^ b) le résultat obtenu en reniplaçniil X. r, z [»ar le
expressions précédenles ilans V(a% r, s, «, ^). Le^ deux équa
lions simultanées
(70 U|X, a, <p(a)] = o. ^—
d\5
do (a
-«? f^)- <
déterminent les valeurs de ). et de a qui corresponderil îoix point-
d'inlerseclion de la conrhe V et <le la surlace S* Si la surfacr S
naîsse par la courbe F. ces deux équalions doiveul former un sys-
tème indéterminé, el par suite, en éliminiin* A mire ces di'ux rela-
tions, on doit arriver i\ une idenlité, (lelle élimination condiiil ««
une re la lion entre a^ 'f (/')• '^'{<^)
(7^)
llftï, 9(<i;, f*(a)\ =0,
c'e^t-à-dire a une éqoMtion dilïVreMiirlIe f)o premier ordre pour
déterminer '^(a). Il sembleriiil donc fpie le problème adinel une
in 11 ni té de solutions^ eonhHiivineul au résultat de Canchy. Mais il
est facile de déduire des équations ("i) nne autre relalron ne ren-
fermant pas f'(</)- En efîét, supposons la tourbe F située loiM
entière sur la surface S; quand on se déplace sur F, a esl une
fonction de \ qui satisfail à la fois aux deux équations (71), eU *i
r^m ditlérenlie 1:ï première de ces deux équations |»ar rappctrl à).,
il vient, en tenant coniple de la seconde,
<73)
Celte relation ne contient que /, a, ç{€ï), el, en éliminant î.
i
j
tît.
EOtlATlONS I>r PREMIER OHDRE A TROIS VARIABLKS.
56:
àV
entre U == o, t^ ^ o, on aboiilii à une ^^quation qui détermine la
fonction f(ci). La mélliode à laquelle on est conduit a une sigoi-
(icahoti ^éoniélrique évidente. En effet ^ rérjualion U(Xj a^ b) ^^ o
détermine les valeurs de X/qui correspondent aux points d'în-
lerseelion de la €oiirl>e F avec Tiniégrale complète; si Ton a
aussi -^ ^ o, celle équation a une racine double^ el I inlegrale
complète est tangente à F. Kn r II minant X entre les deuï rela-
ItODS li()v, a, b) ^ o, -^ == o, la condition obtenue <ti{a, 6) ^ o
exprime donc que Tïnté^rale comjdète est tangente à Vj et i'inté-
g raie cherchée pussafH par V peut être déjînie comme te/n*e-
(ûppe des intégrfdes complètes tangentes à cette courbe V\
résultat qne la géométrie rend presque intuitif ("),
438. Oaraetéristiques. Méthode de Cauchy. — La méthode de
Canchy est indépendante de la théorie de Tintégrale complète;
nous l'exposerons sous forme géomélrique. Pour cela, cherchons
d'abord la signification d'une équation aux dérivées parlieltes mm
linéaire
i(74)
F(jr, y^ 5, p, q ) — o.
Les coefficients angulaires du plan tangent a une surface inté-
grale S passant |>ar un point donné {x^ y<, s) de l'espace sont
liés par l«< relation [vrécédente. f^e plan langent ne peut donc
être un pian quelconque |ïa?isai»t par le [joint {x^ y^ z)\ puisque
(^) Il est facile d'avoir l'iniéf^ratc géïK^rale df t'équdtiofi didérentielle (73). En
effet, si î'nti rem|>lare \ par une ron^ianic arbitraire >.^, Jh foi\ctiim 9(0) di^fiiirc
par l'éqiidtioii
i^)
0[X,, a, ?»
«atisfait aussi à
IVquatiori
(e)'
9'(a) = o,
et (»arsuileà t'équatiuri obtenue en éliniiiianl >.„ entre (e) et (e)',quî n'est autre
que réqualioo (7a), La reliiCion ( e) représente dimc J'intéj^ra le générale de l'équa-
tion (7a); il y a en outre une inlégralc singulière, qui donne précisémeoi la
solution du probltfHie proposé.
'jG» TH a pitre \XU. — ÊQl AXIONS AIX l»KA]véKS PARTIELLES.
ta posilïon de < e [)l;in ne dépend tjue tl Un ^eid paramètre arbi-
iraire, il enveloppa en f^fvnéral un cùne (T) ayant son sommer au
point (x, >% 2), e{ l'éqnaîion ('j,^) exprime que le plan tangent
en un point quelconque M de r espace à toute surface inté'
grale S passant par ce point est aussi tangent à un certain
cAne (1 ) ayant son sommet en ce point.
Le cône ( ï) dépend ii;itnrel1enient de la fo ne. lion F, el aii*si de
la position de son sommet. Pour avoir re.<]tialion du cône (T) de
soinniel (^, j^, z), il faut, d'après sa définition» chercher Teuve-
loppe dn plan
(75 ) Z - 4 = ;*( X - r ) -h ç( Y -j),
les paramètres p el q étant liés |>ar la relation (74)* ^^^ d*^*t pour
cela éliminer jo el q enlre ces deux éqnalions el la nouvelle rela»
tion (!, n ' 20âj Hemarque)
I
(76)
< Y —y ) — -{\ — ^) 1- = «•
Les deux équations (75) et (76) représenlenl ta caractérislique,
c'esl-à-dîre la génératrice de contacl du plan tangent avec lej
cône (T). Si Ton suppose les axes de coordonnées rectangulaire»,]
on a immédialemenl Técpialioa du cône (N ), supplémentaire dai
cône (T), qui est engendir [lar les normales aux diverses surfaces*
intégrales passant par le point M. [^es équations de la normak
étant en effet
X — :r H- /î ( Z — j ) = o, V —y -h g» ( Z — .s ) = o,
on obtient, en élimina ni /; el q, Téq nation du cône (N)
(77)
F(^.ri
^t
z
*r i — V \
Lorsque Péqualion proposée (7^) est linéaire en p et q^ If
cône (N) est on plan, et le cône (ï) se réduit à une droite
Nous avons vu (n** 429) que l'intégra tion se ramène dans ce cas!
la recherclie des courbes, qui sont tangentes en chacun de leur
points à la droite A correspondante. On est conduit à la méthod
de (janchj en étendant ce procédé aux éqnaiitvns non linéairei
Soit S nue surface intégrale, représenlée par réquation
I
I
I
I
En chîiC|i»e [loint M de cette stirface, le pl^n taugent est aussi tan-
gent ai» cône ^^T) suivïml une génératrice (G). Nous appellerons
eourlïê rarariéristiqtn* touti* cou ri K' C de la surfdce S qiu, en
ctiaeitn de ses poÎTits, est laugente à la généra ttiee G corre;* pon-
dante. Var chaque point de S (exception faite pour les points sin-
guliers, s'il en existe), il passe nne courbe de cette espèce et une
seule. Le nom de cfirae.îêristiqttes donné à ces courbes sera jus-
tilié plus loin (n' i39). Nous allons d*abord montrer, ce qui est
la clef de la rnélhode de Cauchy, que ces courbes peuvent être
déterminées par un s\sLéme d'équations dîHérentieifes ordinaires,
sans qu'il soit uécessaire de <:onnaître la fonction /(^.r^ y). Nous
savons d'alïord que la tangente à la courbe G coïncide avec la
droite G représentée par les detix équations (75) et (7CV), que Ton
peut encore écrire
X = ,
Y ^ r
Z = ^
avec les notations du u" i3(i. Le long d une caractéristique x, y,
s, /?, fjr sont des fonctions d'une seule variable indépendante, et
nous pouvons déjà écrire entre les diiVérenlielles clx^ dy^ dz les
relations
dx
P
O
y^P^Oq
= du^
a étant une va ri al île auxiliaire fictive, qui est introduite unique-
ment pour [dus de swiiétrie dans les raisonnements. Le long de
cette courbe C, l'on a aussi
dfi = r dx -h 5 dy% dq = s dr -h t dy,
r^s, t étant les dérivées du second ordre de la fonction /(jî, _jr),
t>*autre [»art, puisque z = /"(x, y) est une intégrale de l'équation
proposée <, 74)1 ^^^ dérivées partielles r, s^ t satisfont aussi aux
deux relations
X-f-/>ZH- Pr-4- Qf = TK
pj^Qf = o,
obtenues en ditléreutiant cetle équation (*ar ra)qjort à j? et par rap-
port à y. En rem plaçai ni, dans dp et d(f, les diUerentielles lix
et dy par P dn et O du, il vient
dp — s P r H- (^ J ; du, dq = iP s -h Q l ) du.
570
CHAPITRE \Xll.
ÉOrATtONS Al\ PERIVSBS PARTIBLLES
cVsl-à-<lire, d'après les rr la lions précédentes»
dp
(X -^' pZ\du,
,1^
qZ) (in
En ajoutant ces éipialions aux equalions (78). no ni parvenons à
lin sjrslème d'équations dilFéren lie Iles ordinaires
<79) -5- = IT =
dz
_ — </p _ — dq _
Vp -h Qq X -h pZ
du,
qoi est identique au système (64) auquel on est conduit av^»c la 1
mélbode de La grange. ■
Ce système dVV|ua lions diOéreiilielles e^t absolu me ni indé|»t*n-
dant de rintéj^rale considérée. <_)n en déduii les enuclusions lUi-
vautes. Soient {Xq^ y^i ^u ) l<?s coordonnées d'un point M,) de S.
/j„ el q^ les coefficienls ati^irlaires du plan Langent en ce point. Si
la fonction F est holomorplie dans le voisinai^e dece système dr va-
leurs, et si tous les dênouiinateurs des rapports (79) ue sonl pa*
nuls à la fois pour x», r^, Zn^ p»^ Ça^ les équations (79) admettent
un système d'intégrales et un seul prenani les valeurs -jTo, J^»,, s^,/?*.
qPo pour li = ô. Il n'eusuil (pie sî detu' sttr/aœs intégrales sorti
tangentes en un point (a'o, y^, z^), elles sont tangentes tout it
long d'une courbe carartéristifjue commune passant par ce
point. Pour la commodité du langage nous appellerons élémeni
tout système de valeurs attribuées aux cinq variables x, y^ z^ p. (fl
un élémeni se eompnse, si Fou veul, de l'ensemble d'un poini de
coordonnées (.r. v% z) et du plan de coerfieients angulaires^, g,
passant par ce point. Toul le lonj; d'une conrlie caraclérîstiqoc^i
x,y, z, p el q sont des fonctions d'une variable indépendante I^H
A cfiacpie poirit d'une courbe caracléristique corres(jond donc uiî '
élément composé de ce point el du plan de coeflicients anpi-
laires /?, q, passant par ee point. Mais on a, d'après les équa-
tions (79), Zf- ^^ P -f- -^ ^l ^ ^ ^^ sorte que ce plan contient U
tangente à la courbe au point {x^y^ z)* Lorsque le point (^r.
décrit la courbe caractérlsliqtie, le plan correspondant envelort
une surface dévelop[>able pa?sanl par cette courbe: c^esl la c/éiij
ktppable caractéristique. A chaque cou ri je caractéristique rij
respond ainsi une développa ble caractéristique passant par ced
courbe ; nous ii|>|iellerous désormais caractéristique rensernM<*
de la courbe el de la déveloiq^able, ou la courbe seule, quand il
1
I
III, — EQt \TJO\S m riŒ.MIKH OBDttK A TROJI? V.\ElJ\BLES. :>7l
Ti'v aura i^Hictiiie ijuibi^Liïté il rniindre. Llne cara€l«^ri*'tiq»ie >e com-
pose, li'apivs cela, d'une infuiiré d^élëriients, dépeadaiU d'une
varia! rie iudé petit la nie, les variai tons iiiliiiîmenl petites tie x^ y,
z^ p^ q élanl lii^i's par les relaLïOi*'^ (79 J- Uue cHniclenslique esi
done complètement délinie si l'otj îie donne un de ses éléments,
et le ihéoi'ème énoncé lutjt à [heure peut encore s'énoncer sous
la forme suivante absolunienl équi va lente :
5/ deux surfaces intégrales ont un élément commun, e//es
ont en commun tous les éféments de la caractéristique issue
de cet élément.
Lfs caractéristiques dépendeut de trois [nirsimèlres arbitraires.
En effet, une caractérique est déterminée si l'on -^e donne les
coordonnées («To, j^^o, ^n, /?,h ^o ) d'im de ses éléments; on peut
regarder Tune de ces coonlonnëe>, x^ par exenr[jb\ comme avant
wne valeur niiinéric|ue donnée^ et, d*autrr |)arl^ d'après la défini-
lion même des caraetéristiqnes, on a, entre les coordonnées duu
élément quelconque, la relation F(jr4,, y^^ Zq^ /7,j, f/o) =^ ^* "
reste donc seiilemeol trois piiranuUres arbitraires.
Pour déterminer ces carat^érisliqueN, remajquons d'abord que
les équations (79) admettent l*iul<'^rale première F^consl.j
de sorte que si F(x, y, 3, />, f{) est nul pour les coordonnées
(xo, >'o? ^or /^fli 9o) de Télément iniliaU F est nul tout le long de
ia caractérislicpie issue de rei éli'meni, ce qu^il était aisé de pré-
voir» d'après la laçon même dont on a ul)tenu les équations (79).
Pour trouver les caraetéristîqtjes de It-quaiion proposée, on peut
K donc adjoindre au système (79) la relation F^o elle-même, ce
"qui ramène ce système a tin système de trois équations dfÛ\'ren'
lie Iles du premier ordre,
(Supposons qu'on ait tditenu les équations en termes finis des
caractéristiques: soient, pour fixer les idées,
^ =/l(^t ^0» yti, >So» /?«. qn)n
les équations de la caractéristique issue de Pélément
Les deu\ |>renir€n'S èf|iiations (Ho) représeutcnl la courbe carac-
5j% CHAPITRE \Xll, — ÊOlATHïV!* AI X UKRlVéES PARTIELLE.
térisLÎque elle-même, et toiile >tirrfice intégrale, élanl un lieu de
courber caracléiUliqiips, s'obLifrKlr» nri j^iipposiuil ()ue .r„j v^,, z^,
/?ih '/o sonl foiïcliuns d'un [ïiiidmèlre iiuxiliaire t\jNons sommes
donc conduits à rechercher comment on doit prendre ces cinq
fonctions de Vj pour qne la surface en^^endiée par les courhe*
caractérislîques soit unt* surface intejt;nile. Ponr traiter celle qne^-
lîon d^une fai;ou pins s v me trique, uous introduirons avec M. Dar-
honx la variable auxiliaire u.
Soient
( 8i ) ' j = G,( w, .r„, Ko, 5o, po, f 0 ).
(Ha)
J /» = <pU «, JTo, J^a, «<», fiu qn\,
i q ^ fi( U, jtq, ^o, «ot Po. 7o ),
les foruuiles qui représentent les intégrales du svstème (79) pre-
nant pour «^o les valeurs .r^, >'o, 3^,, />^, ^„ respectivetneni.
Quand on rem|ilace dans ces formules Xq^ Vu, ^q, />«* <7o par des
foncticins dune seconde variable auxiliaire t\ les équations (8h
représentent en général une surface S, a et v étant re^ardé*jî
comme deux variables indépendantes. l*onr que «jette surface S
soit une surface intégrale» dont les courbes l'^const. soient le$
caraclérisliques, il faut que les formules (82) donnent précisément
les coefficients angulaires ibi plan tangeut à celle surface, et e»
outre que Ton ait^ en tout point de S, la relation F ^ o. Les
cinq fonctions .r, y^ z^ p, q des deux variables // et i^* doivenl doue
satisfaire aux trois conditions
¥{3C,y, s, p. q) = o,
Os
àjt
— ^ p '/ -=-
du * t)u ' ou
II
= 0,
(H5)
i>5 éT ày
— ^ — p — «7-=^ — 0.
Les cinq fonctions '^1 «''lant des intégrales du sj'8téme (79)t on >«.
comme on La déjà remarqué, F(j?, >% z^p^q)^ F(.ro,^Ko. Z^.p^^q^
et par suite la relation (83) sera satisfaite pourvu que 1*011 ait
(86)
P(-riH >"0* -o. />n* r/„)^CJ.
— ÉOUATIONS DL" l»nKMlER OROftE A TROIS VARIABLES. 67 i
La relalion (84) esl saiisfaite d'elle-iiiême, car cVst une consé-
quence ties équations dilTt^rentienes('jg)* Quajilà la condition (85),
C^aiichv la Ininsforme cunime il suil.
Kn désig^naTit par H le premier membre de eeUe relation, nous
avons, en 4iiirérei*tiant par nipporl à u.
au
O^y àr dp ùy dq
tfff dv
Ôi ûtt
Oif Ou
H||^||!9l!ililre [larl, en ditlérentiunt \tnr nipport à i' la relation (84 )i
^ nous avons aussi
d-^z
l)^T
d^y àp ÙT ùq dy
" dit êv ^' du d%' ^ du dv éi^ du di^ du
En retraorhant niemijee à membre, il vient encore
dl\ ùp dx dq r^y dx dp dy dq
au dv du dv au (>t' du dv dit
OU, en remplaçant les dérivées [»ar rappori à a par leurs valeurs
tirées des formules (79),
^►H ., àx _. dy ^ dp ^éq _ / ôx èy \
du di> dv dv ^ év y dv ^ dv /
Nous effertuerons une dernière Iransfortnation, en observant
que les tînq fonctions x^ y^ z^ p, q de v satislont à Ja relation
F(x, y, s, p, q) = o,
et que, par suite, Ton a aussi
OP 0v dp dv fi-
la valeur précédente de — (leul donc s'écrire
c?H / dx ây âz\
Ou lire de cette relalion \h valeur suivante de H,
(88)
H© désîj^nant la valeur de H pour tt = o, c'esl-à-di* e quand r, y, 3,
5ji CHAPITRE XXII. — F.gl'VTlONS Al\ DKRIVÉES PARTIELLKS.
Pi q se rt^duisent respect ivcitM'iii à .z^, y^^ z^. po^ «/o* Lîi fone-
lion F, el par siuLe la dérivée partielle Z, éLnit supposées liolo-
morplies dsins le Vdisinagp des valeurs x^. r,». -^o» /^©« ?or p*"»""'
4)i*e H soit nul, il faut el il suffil (pie Hq soil nul, c'esl-à-dire
que 1 fin ait — — ^ />« -: h <7<i ^ — '
En rèsuroé, />o///' obtenir une surface intégrale ('), fY snJU
de remplacer, dans les formules (80) ou (81), ^©5 j^^f ^ot /?•» y*
par des fâncdons d'une variable auxiliaire i^, salisfaisani aii^
de u X eo n dit in n s
KH) V{3Cq, 70 1 -so, /?!*. 70) = o.
^/'o
7"
<>ro
Lii ïuélhode conduit 1res facilemeul à la solution du problèiue
de i>auchy. En eil'et, si Tou veut délerniiuei' une surface inlé|i;rale
passant par une euurbe dcnjuiT F, on peut prendre pour x», ytt* ^%
les eot^rdouuées d ini puini df eellt* courbe ijupposée^ expriitiées
en runction d'un |icjranièlre variable f, et les équations (89) deter-
niinenl />[, el (/u* La sûlution peut aussi s'énoncer en fauj^^age
^éomélri([iie; en elFel, \a première des relations «^9) expriuie
que le [dau de cueflicierjtîi angulaires p^^ *■/,,♦ passant par le
point (jTfl, j^oi ^o)* ^^l lanf;ejU au cône (T) avjut soir sonimel eii
ce poinl, vA la seconde *jue ce plan passe par la tangente à Is
courbe F. La marche à suivre peiil dune être brnmilee ain?>i : l*ar
ta tangente à la courbe F eu au puint M de cette courbe^ on
fait passer un plan tangent au cône (ï) de sont m et M; soit C
la caractéristique issue de l'élément ainsi déterminé : la sur-
face engendrée par cette caractéristique, lorsque le point M
(^) Le raisonnement suppose loulefoîs que tes dénomioiiteur» F, Q^ \ -^ pt^
Y -^ qZ ne sont pas tous nul*» fjout- les Viiteurs înitîules ^^, r,, 5^, Ptt*i%* l>*t»
cas, les fûriiniles (Hi) cl (t^a) se rédiiiiecl â ar = x^» y^y^, s = ^^^ P — ^0*
q =r q^^ laudiî^ que, ^l t'oi» syp{irime id variable auxiliaire a» les équnLiaus (7^^;
peuvent iiciuieUre des inlé^riile pieiiiiùL les viileiirs ru ili«il<*5 données ( u*
B^tHiirque). Le$ iiitégrateH de l'éijiitiLioo propos<!'C qoî ^ali'^foiil en même
ûu\ quiÉlre éq 041 Lion a
^
f»..^
t>^o,
0 = 1
X -h jo Z — 0,
échiippeat dnnc à la rnèttiode générale. De telles inlégr»le$, s'il y en m, »tifil i
ifitégr^ie^ sîngiitiétes ,■ il n'en c%isie pds d'une façuii nonuîile, pour une équ^tid
donnée a priori^ et non formée par l'éJiiiiiticUioti des couâtaiites.
I
I
courbe T\ Il t*st clair que l ^>ii doit asMUtit-T les jilîins luii^jenls
formant ri ne !»iiiLe 4:uiilimie.
(lonnidérDiis d'aboiil le cas géuëral où la tair^enLe ii la courbe F
n'est pas une génératrice du cône (T); p^ e.i f/y étaul [e*< coefli*
cieiiU dogulaireâ du plan Lancent au cône (T), les cosinus direc-
teurs de îa général ri ee de conlacl sont |iroporlionnels à ï*», Qo,
l*û/?o-t- Qo'/o (Ibrmules ^5 et "jft), La différence P^ -^ — Qo "^
n'est donc pus nulle, et par suite les valeurs de //„ et de q^ tirées
des relations (89) sont des fonctions holornorphes de v' dans le voi-
sinage du point considéré de F. D'un antre coté un peiH répondre
les deux premières équations (81) par rappojt à u et û i% car
le déterminant fonctionnel — ~- 7 se réduit pour « =^ o à
(-:-) -T^ — (t-) -t-» c est-a-direa Po-f-^ Qo — -' brj lïurlantles
valeurs de ti el de c dans la troisième fornurle i, 81 ), on voit que z
est une fonction livdomorpUe de x el de j' dans le voisinage du
point considéré (voir n^ i37).
Lorsque la tangente à la courbe I^ se eoiifùndl avec ia yenératiice de
contact du plan fie ooefficienîs angulaîrea /)o, 70 i»vec le c6iie i T ) en un
point parficultef Je celte cimibe, te |jahit est en général un point ^tn-
guli<*r ptiyr rinlé^rale cf»rrespand:inLe. Lorstjue cela a lieu en (ous tes
points tic l\ nou* a von? deux cas a tlistiiii;uer saix^nt i|ne la courbe V e*>t
une courbe caraclrrisiî^jm*, ou non.
Si la l'ourbe Test une courbe caractéristique» elte e^l lan*;cnte en eliaeun
de ses ptuiit'i a une généra tri ce G du cône l T| ayant ce pf>int pour soniniel,
«l Id développa lile caraeleri^lique e*t JVnveloppe du plan langent uu
cône (T) <«iâ\anl la ^énèralrice G. lorsque le soniniel M décrit V, La
courbe caraciérislique issue de obacun ties etéments ainsi déterminés !*e
confond avec la courbe f elle-rnéfne, et les formules i 81) ne dëlinissent
pas une surl'nee. Mais il est clair que dans ce vds le problème est indéler-
tniiié. Soient en elTet M un point de 1', F le fdan langenl au c6ne (T» de
sommet M suivant la ian}*en(e G h T, el F' une autre courbe passant
par M dont la tangente en M ^oit une droite du plan P dilTerente de G»
|>'apré« ce que nou^i venons de déniuntrer, ta surface intt^ ivraie passant
par r' rc II fer me la courbe W
576 CHAI'ITKE XXri. — KOIATIONS AIX DÉHIVÈES PARTiKLLEâ.
Si ri'(]ujiliftii |»r«>|>o!!*ée (71) n*est pa*» linéaire eo /? et ^» comtoe nou» ie
sup|ju*on^, la ctnjrbe V |»piiI *Hre tangente eti chacun dt? si?* (joints »» une
géni*tairïce G du côi>e (Tl t'«ritrs(>oijdiinU ?aii!* être une caractéristique.
Les courbe?» los |)lys ^èiierale^ jouiissaiU de cette propriété dépcDd»»ni en
elfet tV une /onction arbitraire. Soit
réquatîori du cône (T) de sommet {x<^y^ z\. Pour qu'une courbe F soit
tangente en chaïun de ses paint«% à une génératrice de < T ), les coor-
douiiées x^ y, z d'un poitil de cette courbe doivent être des fonctioDi
d'une variable v salisfaisant à la conditioti
(90)
Si l'on preud par exempl** x i^tour vaiialdr indepeudaiite, on peut choisir
arbitrairemenl y^=^f{3r)^ et en reniptaçanl y pary(;r) dans^ la relation
précédente on a une équation dilléreniielle du premier ordre pour déter-
miner J en fonction de jr. On appelle courbe inté^rnte toute courbe sa-
tisfaisant à la condition (90). ^an*^ être une courbe rariictéri«lique.
Gela pu<ïé, supposons que la courbe F, pour laquelle on veut résoudre
le problème de Caucby, soit une courbe intéj;rale. De cliaquç point M
de F part unt courbe caractérislique tangente à F. et ij résulte du calcul
fait plus haut que la surface S engendrée par ce^ caractéristiques e«l une
surface intégrale; il suffit en effet de prendre pour Xy^ yo* *o les^ coordoti-
aées d'un point de F et pour /j„, q^ les coefficients angulaires du pbn
langent au cône (T) le long de la taui;eiite à T\ Mais cette courbe P est
une ligne singulière de la surface S. Kn elTeL, s'il n'en était pa$ ainsi, lef
dérivées r, *, t auraient des valeurs finies en un point de f et, comme l'on
a déjà Qa^J*o= ï^^dy^^ les calculs fails à la (tage SGy pour établir les equi-
tions (79) s'appliqueraient sans niodilicaiirm, et l'on en conclurait qti**
la courbe F es^t une «caractéristique, ce qui est contraire a Fhipothe*f
Celte courbe F, qui est Fenveloppe des caractéristiques de la surface $.
est analogue à Faréte de rebrousseroent d'une surface développable.
Retnarque, — La mélliode de Cauchy donne aus.sî facilement
une intégrale complète. On âatisfait en eflet au% cotidilions ($9)
en posatït jf^j ^: a^ ^Ko== fe, z^^^c^ «♦ 6, c étant trois coa^Unle§
quelconque!*, /Jo etf/o t^li^nt liés par la relalionF(a» /?, c,/>5» ^^)=o.
La surface intégrale ainsi obtenue est le lieu des courbes rame-
lérisliqnes issues dn point (a, 6, c)* qui fsl évidemmeiil tin point
conique (jour cette surface. Si Ton regurde une des cutirdonn»'eî*a^
è, C comme une constante numérique, on a une intégrale complète.
I
3tu, >'y, fù, ^ù étant lies par la relation p^q^^ ^lj^o. Pour avoir l'intégrale
qui, pour J? = J'or se réduit à ^i v), nous jioseroiis, conforméincnl à la nié-
tbodc générale, J'y =^ w, Su= ^(u). et les équations (89) donnent ici
g^-^'(uh
P^'
f CO
I
L*inlétcrale demandée e;»!: donc représentée par le système des deu\ équa-
tions simultanées
qui d/ finissent ti et j comme fonctions de a: et de j^. Ces deuit équations
peuvent être remplacées par les deux suivantes,
«lont la seconde se déduit de la première en dilTérentiant par rapport au
parèinièinï u* On aura l'intci^rHle cherchée en éliminant tiy et nous pouvons
observer que ce résultat ei^t bien d'accord avec la théorie de Lagrange<
%* Reprenons Téquation de ta page 5^7
qui e\[»rime que la longueur du segment de normale limité au plan des Ty
est ejjal ;i H. Pour avoir le cône des normales (N) relatif à un point M de
l'espace, il suffira donc de décrire du point M pour centre une sphère de
rayon R, et de prendre le cône de révolution de sommet S passant par le
cercle d'intersection du plan des j-y avec celte sphrie. Le cône (T| est Ir
cône de révolution de sommet M, supplémentaire du premier. Nous c*m-
natsaons ici une intégrale complète^ les sphères de rayon R ayant leur
centre dans le plan des jt^ ; les courbes caractéristiques, intersection de
deuit sphères infiniment voisines {voir n* 4^i9 ), sont donc des cercles de
G., 11. 37
5yH cnxmTM: \\u. éqiation's aux dkhivêks partielles.
rayon R, iJotH [e> plans sunt parallèles à Ta^e des i vX ilunt les centres
sonl ilans lo [ilan fl«s jr^. Toute rourbe inlè^iale, imus ravons vu, peut
êlrc Cimsidérée cotiime l'en\eloppe des courlies caractéristiques siluêc*
sur une surface intégrale. Ce^ courbes saut dune représentées par le sys-
tème des trois équations
la fonction ç(a) étant arbitraire.
4311. La notion de caractéristique peut se défi u ire, d'une façon 1res na-
turelle, de la tbéorie de Lagrange» lSous avuns vu^ en eïfet. que, si V — o
est une inlégrale complète tle réquaiiou du jireniier ordre propo^^ce^ on
obtient une surface intégrale en élimiuaiii fi entre les deux relations
(9.) V|.r,j.,^, a. =.«)] = o. ^ + -^^ç'(a, = o.
dl
fia) étant une fonction arbitraire. Lorsque l'on donne tiu pcir^niéur a
une valeur constante, ces deu\ équations représentent une courbe* dont
le lieu est la surface intégrale. Les érjuaiions de cette courbe sont de ti
lornie
(3*)
V(>, JS ^, a. ù)
à\
à\
o» ' h —r c = o,
un do
a y b^ e étant des para m êtres arbitraires. Ces courbes forment un c^m-
plere, et nous voyons que les surfaces intégrale* sont engendrées par If*
courbes de ce complexe, associées suivant une loi convenable. Le nom de
caractéristiques donné ù ces courbes s'explique de lui-même» puisque rt!
sont les courbes de contact de l'intégrale complète avec son enveloppe.
Les dé\âloppables caractéristiques s'introduisent tout aussi natureUemeni.^
Considérons une courbe caractéristique eorrcsp" aidant aux valcuis fi^» ^»t^
Ca des paramétres a, h, c; toutes les surface» intégrales obtenues au
moyen de fonctions 9, telles que Ton ait éy == ffi^a^^)^ c© = o'(ci,»K pusscnl
par cette courbe et sont tangentes entre elles tout le long du celte cciurb*?.
car les valeurs de p et de q quî, pour un point quelconque «Vune surface
intégrale^ sont données par les formules
tgi)
_H-/.~=0,
^A
éj
sont les mêmes pour toutes ces surfaces, 11 est donc naturel d'tissociei «1
cbatpie courbe caractéi istique une ilé\clo|ipable caractéristique pa^^s^nt
par cette courbe. Les quatre équation^ t y">' M*t ( yi ) permettent d'expriaiff
quatre oes variables x, y^ s, p, q au moyen de Tune d'elles et des trui^
I
IV. — E^ït'ATlnNS IlOlUtHR Stin-IBIKIR AU
constantes arbitraires a^ b^ c. Vour df^m outrer rîdentilé de«^ nnulli|iJîcîtés
aifi^^i définies avec les caractéristiques déduite!; de la méiliode de Caitchyt
il suffit de prouver que ces nouvelU^s mulliplicitcs satisfr*tit aux équaiion*
dilTérenliclles (79)1 Je renverrai pour ct^ calcul au\ Ouvrages spéciaux.
{Leçons sur l'intégration des équalions du premier ordre, p, î7a-iiS.}
Remarque^ — La théorie ile l'iiiLé«^rale complète s'applique aussi bien
aux équations linéaires qu'aux équations non linéaires. Il semble au con-
Iraire, à première vue, que la méthode de Cauchy se présente d*une façon
tout a fait dilîérentc pour les équalions linéaires et pour les équalions non
linéaires. En etTct, les caractéristiques d'une équation linéaire^ ou d'une*
équation qui «e décompose en |dusieiirs équalions linéaires. fnrmeTil une
cojigruence, rt non un complexe. Mais, si Ton associe à chaque courbe
caractéristique une développable caracléristîque, l'anomalie disparait.
Chaque courbe caractéristique appartient en etTet à une infinité de déve-
loppables caractéristiques» dépendant d'une constante arbitraire, de sorle
que cet en^cnihlc dépend bien de trois consianles arbitraires. Re|>renons
pnr exemple Téqualion des surfaces coniques /i,r h- ç^ — z ^ u. L^équa-
lîon z ^ aj- -^ by représente une intégrale complète fornu-e de plans P
passant ^»r l'orii^ine. Les courbes caractéristiques sont des droites passant
par rori|*ine, et les développables caracléi^Ssliques sont les plans P eux-
mêmes. On obtiendra donc une caractéristique en associant à une droite
passant par l'origine un plan passant par cette droite : cet ensemble dépend
bien de trois constantes arbitraires.
P
IV. - EQUATIONS D'ORDEE SUPERIEUR AU PREMIER.
440. Généralités* — La méthode d'intégration de Lagrange et celle de
Caucfiv s*étend<*nt Tune et l'autre aux équalions aux dérivées porliellcs
du premier unlre a un nomhre quelc<iO(|ije de variables indépendantes, et
même aux systèmes d'équations siniultiinées du ]o'cmier ordre avec une
?icule fonction inconnue. Le problème parait beaucoup plus difficile
quand on passe aux équations dVirdre supérieur au premier, et ce n'est
que flans des cas particulier'* que l'on peut ramener rintégraiion d'une
équation aux dérivées parlielles d'ordre n (/î > 1) à l'intégialion d'un ou
de plusieurs systèmes d'équations ililTéienliclles ordinaires. Il en esi ainsi.
par exemple, lorsqu'une équation ne renferme que les dérivées par rap-
port à nue seule iles VE*riahles: considérons, p(»ur ïwrr les idée^, Téqua-
tion
0**^ ./ àz d«-'^\
(ai) ":^ = j\ T, y, z, --',"* t I *
^Ai le second membre ne renferme que les dérivées par ra|q>ort à a\ Si
l'on suppose que y ail une valeur con-^tante^ celte équation est en réalité
une équation différentielle ordinaire d^ordrt- n entre les deux variabtes z
mo
CHAPITIIK XXJI.
fegiATlOXS WX DÊBIVKES l'A HT ri: LIES,
•el ^» et toute intégrale de cette équation s^F(a\y), quand on v altribuc
à y une valeur constante, e^l aussi unt; inlé;:rale de la même ëqiiatia(^|
«onsMlëréc comme une équaiion différentielle ordinaire. Inversement, so^"
^ = t>(^» y, Gj, Gj, -. ., C^i) Tintéji^riile générale de cette équation difTe-
Tentielle; toute foncliou de^ deux vaiifiLles j*, j^, obtenue en reir)|daç#iiit C|.
<Lj» .... G/f par des fonetion?» arbitraires de >% e^l une inié*;rale *le iVqua-
tîon proposée, el l'on obtient toutes ces intégrales en donuiint aij\ fonction?
arbitraires toutes le^ formes ]*ossibles. Mais ce ii'esl pas là le seul cas où
Tîniéprale générale d'une équation aux dérivées partieKes d*ordrc n jicm
élre obtenue par rintég^ration d*(jii si, stéme d'équations différenlieilcs ordi-
«naires.
Les ibcorémes d*extstence de Caucby s'élendent aussi aux équations
d'ordre supérieur. Bornons-nous^ pour plus de précision, aux équatioaj
du second ordre
<95) r ^/{Jr, r, z, p, tj, s, / 1;
lie théorème d'existence peut alors s'énoncer aiii>i : Lft fonction
f{T, y, z, p. q. s, n
étant holomorphe dans le voisinage des valeurs j*o» Xn^ Suf p^, q^^ *,,
fifî soient f^^iy) et ^%(y) de {i:r fondions dey, holomorphes au voisi-
jiage de y^^ et telles que ron ait
?a(j^o) = -oi ^UX^) = q^* ?ï(j^o) = 'u. ^\(yM^=Pi>y 9', i>o) = i,;
*7 existe une fonction z des deux variables jt et y^ satisfaisant à
l'équation proposée (i>5)» holomorphe au voisinage de x^, y^^ et telle
içuCf pour T = aTy, z se réduise à "^wi y\ et — ^ à fi( y ).
La démonslralion est toute pareille à celle qui a été dévelti|»pée |duj
ftiaut < n" 386) pour les équations du premier ordre (*),
Les condilions qui déterminent la surface intégrale peuvent s'érionctr
-'géométriquenienL d*uïie façon très simple. Soit C la courbe plane repré*
■'Sentée par tes deux équations
:r = j?„.
^'^Ay);
*retle courbe G appartient a une infinité de suifaecs inlé|^raîeç, dépefidanl
d'une fonction arbitraire ^liy}. Si celle fonction ^i(y) est donnée aussi
le plan tancent à la surface est connu par là même tout le Ion» de
<'ourbe C. Par une généralisation toute semblable à celle du n" 13T, ôi
démontre qu'une surface intégrale d'une équation du second ordre dr
M
( ^) 1-;. (f JUiiSATt Siiri>j:Î!iteftce tft's ffnctious intégrâtes d'un srxtt^me d'équit*
Jionâ aux déri^fées partieites {iiniietin de la Société Aia/ hé ma tique, t "2G,
p. iay-i34).
JV. — KgUATIOKS l*'llltl>lii: SI l'KHIKl R Ai: PREMIER. 58 1
forme quelconque est rn gëni'ral fléhjrfninëc jiar la condition de passicr
par une courbe donnée \\ plane ou ^aurhe^ et d'admettre un plan langent
donne, en chaque pciînl de celle courlie. La reeJjercUe de celle surface
inlégraic constitue le problème de Canchy pour les équations aux dérivées
parliePes du second urdre à deux variabJe?. indépendantes.
4iL Équations de Monge-Ampèr©. — La picmiére niélliode générale
d'i migration |>i>tir le*^ é(|utiiii>ns du second oidre est duc à Alonge; elle a
été ensuite étendue par Auipèie è de^ éf|tiations d'une forme plu^ générale.^
c|ue l'on appelle iiiijourti'liui équations de Mong^e-Ampère.
Soient u{x^y^ z, p^ q)y v(Xy y^ 5, /?» q) deux fonctions de x^y^ ^\ pf
q\ considérons une équation du premier ordre de In forme
(96}
iL{x, y. z,p, q) -T\v{x^y, z, p, q)\.
la fonction Tt étant quelconque, En faisant varier la forme île celle fonc-
tion T.{v')y on ohlient une infituté d'équations du premier ordre; mais,
quelle que ^oit la fonction it((/), toutes le^ intégrales de l'équation {96}'
satisfont à une même éqnalion du second ordre^ indépendante de tt. Il
vient en effet, en différentiant Téqualion (gt*) par rapport à x et par rap-
port k y.
(97)
! dit àft Oit
i r- -— /? H /'
ày ifz ' ftp ik/ ^.fJr àz ' Op Oq /
rélimination de 7:'(i') entre ces deux relations conduit à une équation di*
second ordre
(98)
{ri — 5» ) -+- A r T' B j H- C / H- D — o,
I
A, B, G, D étant des fonction;» de x, y, z, />, q^ dont il serait facile d'écrire
Pexpres^ion au moyen des dérivées partielles de m et de v. Diaprés la façout
même dont on obtient cette équatiuu, srni premier membi'e est identique
au j'acobien des deu\ fonctions u(x^ y, z, p^ y) et »'(ar, ^, -5»/'» q) par
rap|>orl au\ deu\ variables x et y^ ce jacobieii étant calculé en regar-
danl z cofnnie une fonctiou de ^ el de j'^ p ei q comme ses dérivées par-
tielles. L*équation du second 4rrdre (981 cit donc équivalente à l'éqnalion
du premier ordrr (96), avec une foncliou arbitraire -(v|. Cette équatioit
du premier ordre s'appelle une intégrale intermédiaire de réquulion du
second ordre (98); nous pouvons encore l'écrire, sous une forme équiva-
lente mais plus symétriqtie.
(99)
f^iUj ç) ;=r O,
désignant une fonction arbitraire.
Les équations du second ordre auxquelles on est ainsi conduit rentrent
58>t
CUAPlTKk; %\IU
ËQtlATlOXS AUX tJi;iUV|-Ki^ PARTIBLLKS-
dan$ le tvj»e su i va ut
(icm) M /'
i K s
M "h M ri-
H, K» L, M, N étajil des fonctions de ^, j^, -5, /ï, 7. Toute éqiiauon de.
cette forme est une équation de Monge-Ampère, utais elle ne provienl
(*as eu général de rélimination <l'urie fonction arbitraire ttU'i, si le* coef-
ficients Ht K» L, m, ÎN sont qurli'onqucH. Pour t|u'î] eu soit ainsi, ce« eoef-
ficierils iloîvenl satisfaire « cerlîuntîs condition* que jïou*. nous proj>o*»«n*^
de rechercher.
Généralisant un peu \c problème^ nous diroiiï» que loutc é<|uatioo du
premier ordre
(ÏOI)
/(^»^t z. p,q)= C,
OLi G esl une constante arbitraire, est une intégrale intermédiaire de
Téquation (100), si toutes les intégrales de cette équation du premier
ordre { sauf peut-être les intégrales sin;;uHére$) satisfont au.^sî à l'équa-
tion (iooj, quelle que soit la constante C* De réquation (i*H) on déduit,
en dilTérentiant pnv rapport à r el à y.
<^f , if
t/r
of
— J
07
'V ''/'
r//'
(/y
t = a;
si de ces relations on tire deu\ des dérivées du fK-u\iéme ordre, r et f par
e\ein|jlc, et qu'on le!^ porte *lans l'équation (loo), le résultai doit se ré-
duire à une identité. En elVet, si ce résultat n'était pas indépendant de t,
on en tirerait la \ateur de t, et par suite on aurait les trois dérivées an
ï^econd ordre exprimées ou moyen de r, y y -î, /î, q. Des ditférenttations
successives pçrniettraienl d*<'x primer de proche en proche toutes lc< dé-
rivées partielles de z au moyen de »r, y^ ^, />, q* tH les intégrales cooi-
luuoes aux équations ( looj et i toi ) ne pourraient dépendre que d'un
nombre y? /h" de constantes ailiitraires. Si le résultat de In substitution est
indépendant de ^, comme ce résultai BIj:-^ j^, z^p^q) est indépendant ^UC,
l'équation (loo) ne peut admettre toutes les intégrales de Ti-qualion nuii
à moins que H ne soit ideutiqnenicnt 11 uL En résumé, pour que I équation
du premier ordre (ioi)8oil une intégrale inleruiédiaiie de Féquation (100).
il faut et il suffit que la lelatton ( 100 > entre les \ariables r, s^ f sott unr
conséquence des relations (102) entre les mêmes quantités, S*ii en e*l
ainsi, toutes {^) les intégrales de Téquatio*! ilu [premier ordre (lOI) véxi-
fient bien les relations (lo'i) et par suite l'équation (too).
Pour e\primer que réqu^ilion (loc^j e«^t iine conséqucnre atgébriqut
(') Exception doit cependant éti-e faite pour les intégrales qui Siitisfonti U
, âf àf ôf ôf d/* df , ^
fuis auit relations ^-^ 7= o, -^ = o. ^^ -*- /? -^ = o* -f f- a -r- = «^ car les éaua-
àp ùq xïx ' Oz ày ^ àz ^
tions {io'2} deviennent alors illusoires.
Ces intégrales* s'il en existe, sont des intégrales singiifièreg de réqualiou (mh^
IV.
EQUATIONS D ORDRE SL'PERICLH AU E'nF.lllt:il.
383
cjes relaiioris (\m), il est commode de se servir d'une répréçentalion géo-
métrique. Regardons ^* y% z, />, ç comme des constantes données, et r,
s^ t cotnme les coordonnées rarlésienoes d'un point dan. s J'empare à trois
dimensions. Avec ces conventions, Téquation (loo) représente une «lurfaee
du second degré Z (si N n*esi pas nul), ou un plan P (si N est nul); les
équaiious (107 ) représenlenl une droite Dj et inut revient à exprimer que
e«lte droite D appartient à la surface S ou au plan P.
Supposons N 5^0; il faut alors que la droite D se confonde avec une
génératrice rectilîgne G de la surface £. Pour obtenir ces génératriceSf
nous pouvons écrire Téquation (100), en multi[ïlianL tous les termes par fV,
♦ io3)
[\r^ L)(Nf ^ II)-^(Njf-HX, hN^h- It) ^o,
X| et Xi étant les deu% racines de l'équation du secon^l degré
Oo4) X*H-2KÀ -^ lU. - VIN =^0.
Toute génératrice rectiligne est donc représentée par Tun des deu\ s^'s-
témes d'équations
(A)
t Ns -+-X,= (A(N(-+-H),
(FJ)
Nr-K L
—
ll(N^
^
hl
N:i
^V.
^
lA{^i
-K
H),
le paramètre jx étant indéterminé. Pour que î'équation /* — C soit une Inté-
grale intermédiaire, il faut et il suffit que le système des équations (joa)
soit iNjuivalent à Tun des systèmes (A) ou (B). Kcrivnns, pnir evenipic,
que les systèmes (loa) et (V) représentent la même droite j nous avons
trois conditions seulement
if
"p _
àf <if
"y "= '
N ~
- L-pÀ,
- x,-^.lI
l
cl, en éliminant le paramétre \x, nous voyons en définitive que la fonc-
tion/(j", y^ j, p^ q) doit satisfaire aux deux équations simultanées
<io5)
^ es / dp dq
De méme^ pour que ta droile D représentée par les équations (toi) soit
une génératrice du système (B ), il faut et tt suffît que la fonction / vérifie
*4^ riUPITtlK XXIÏ. — ÉOCATIOXS AtX UÉRIVÉES PAATIBLLES.
les ri eux équations
(io5 hîs )
de MoQ^
qui se déduisent des précédentes en permutant Xi cl Xi,
La recherche des intégrales intermédiaires de l'équalion
Ampère est donc ramenée à la rcclverchc des intégrales communes à dfU\
équations simultanée** de la forme (loS). C'est là une question bren connue
que je ne puis développer ici (J). Si les coefficienis H^ K, L, M. N
sont quelconques^ Jes équaiions (io5) n^ailmetienl pas d'autre intégrale
quey=G; il en est de même des équations (io5 bls)^ et l'équation iiii^_
second ordre ifa pas d'intégrale intermédiaire. D'une façon générale, ll^^|
cas particuliers qui peuvent se présenter sont les suivants; ce qu^on dîrn
du système ( hj5 ) s'applique également hu système (io5 bis). Les équi-
lions (loj) peuvent n'admettre aucune intégrale autre que/* = C <»st
cas général ), ou admettre une, deux, ou trois intégrales distinctes; i
dit que plusieurs intégrales sont distinctes lorsqu'il n'existe entre ces inl
grales aucune relation indépendanle de a\ y^ «, /J, q* On peut toujou
trouver le nombre des intégrales distinctes par des dilTércntiaiions et d
éliminations, et ces intégrales elles-mêmes s'obtiennent par rintégraij*
d'un système d'équations diderentielles ordinaires*
Si Tun des systèmes (io5) ou (io5 bis) admet deux intégrales distinctes
w(>, y, z, /K q } et t>(.r, y, z, p. y),
le même système admet llntégrale (p(«, p)^ quelle que soit la fonction ©,
et l'équation de Monge-Ampère (loo) admet une intégrale intermédiaire
déjiendant d'une fonction arbitraire
(106)
'J,( M, V) = O.
11 est facile de vérilier que l'équation (98) obtenue plus liaut par I'cHJ
mînation de la fonction arbitraire
(eu au au du \ / àç ûv àv rh
à:r àz " Op ûq j \ ày ùz * ùp Oq j
/ 09 àv êv dv \/èu au au au \
\â3r ffz*^ ôp ôq /\ày tiz ^ tip àq j
est ideniique à Téquation (too) si les deux fonctions m et t» satisfont à li
fois à l'un des systèmes (io5) ou fio5 bis). Prenons par ei^emplc le prc-
Koi.'vnoNs tiVinDRR srpihiniËrti au kheiiikr.
5H5
mier cas; inullîplions tous \c^ termes de réquntion piH'cédeiitc par IN' cl
, ^, fàu ùu\ , . . , . .
remplnçon* \\ — - — P ~r]^ * * ' V^^^ It^tirs expressions tirées ues imjuîi-
tion^ ( loi! ^' E" doveïoppaiit les produits intliqués» on retrouve réqiialîon
., \y^ n, iM
|i>
Wir
fKs ^ Lt
M
Nf/f — *»V)^.
En rcsuinê, ponr que l'équation de Mon ^e- Ampère a fi me lie une
I intégrale intermédiaire dépendant d'une fonction arbitraire f il faut
et il suffit que Vun des systèmes (io5) ou f]o5 his) possède deust inté-
grales distinctes, Lor^iju'iï en est ainsi^ rintégratiori fJe r<r*quaiion de
.\1 on gc- Ampère est rametiée à l'întégratîon de IVquatton ilu premit^r
*îrdre o(w. t") = o, ou fr*"-(M). En gcnéraU on ne peut effectuer l'iiué-
gratîoti de cetle équation du premier ordre qu*aprés avoir pris pour la
fonction arbitraire tî(m) une forme déterminée. La solution du problème
de Cauchy pour l'équation de Monge-Ampère se ramène dans ce cas à
rinlégralion d'un système d'équations dilTérenlielbis ordinaires. Supposons
en effet que l'on %i-t donne une courbe P et une surface développable pas-
sant par relie même courbe; les coordonnées x^ y^ ^ d'un point de F et
Jcs coefficients angulaires/?, q du plan tangent au point \t^ y^ s) à cette
développable sont des fonctions d'un paramétre variable %. En rempla-
çant jr, y^ 5, /î, q par leur§ valeurs dans u et t\ les résultats sont des
fonctions U(a) et V(a) de at* Pour que l'cquiiiiou du premier ordre t' — 7î(ii)
admette une intégrale tan^^enle à la développable donnée le lon^ de la
courbe Ti ta fonction tr doit satisfaire à la relation V(a) =s 7r[tJ(at)J, qui
détermine en général cette fonction. La fonction i^iu) étant connue, on
.est ramené à trouver une intéffrale de l'équation i» = ir(«) passant par la
' courbe F; c'est-à-dire au problème de Gaucliy pour une équation du pre-
mier ordre.
Rembarque. — Nous avons supposé jusqu'ici N ?^ o. Si N est nul, Féqua-
lîon (too) représente un plan. On pourrait refaire une théorie analogue
k la précédente, mais il est facile de ramener ce cas à celui qui a été
traité. En effet, si le coefficient M n*est (*as nul, la transformai ion de
Legendre a|)pliquée à l'équation ( mio ) conduira à une équation de même
[espèce où le coefficient de rt — j* ne sera pas nul( I, n" 41 ), Si Ton a à la
fois M = o, N == o, une transformation z = *^(t, y) -hZ conduira à une
équation de mér^c forme où le t«'rme indépendant des dérivées tlu second
ordre aht Z ne *era pas nul, pourvu qu'on prenne pour la fonction '^^(^^y)
une fonction qui ne soit pas une intégrale de l'équation (too).
I
exemples. — i° Soit Téquation s^ — r/ = o. Les deu\ svstêmes (io"i)
et (loS his) se réduisent à un seul
<i/
>i.r
KQlIAriONS kVX DimiVBes PARTiBtLBS.
586 CHAPITRE XXll.
L'intégrale grnérale île la première équation est F(tt, r, />, q) ai
i£=^2 — px; en t^crivunl que F{u,y, p^ q) satisfait aussi d la senmdf
équation, on nbtient la relation
ÔF
àF
dy ^ Ou
dont Tîntégrale générale est une fonction arbitraire de />, g et <Ie
n-qy ^ z-px -- qy.
Le 8}«itéme (107) admet donc trois intégrales dislincies. et toute équation
ilu premier orrire de la forme çf/?, ^, s — pjr — qy) = 0 e*t une intè-
grnîe intermédiaire. En particulier, prenons rîntégrale intermédiaire
q =z ^(p)y dont une intégrate complète
z ■= ax -h yoia)^' b
se compose de plans; Tinlégrale générale est f<*rniée de surface* dévclop-
pables, <*t nous retrouvons un résultat déjà obtenu ( * ) ( ï, n** 4i et îtîu
a" Soit Téquation (i -4- q^)s — pqt ^ o^ qui e^piîme que les seciioc»*
de la «.urface ^ =/{x,y\ par les plans pariiitéles au plan or = o sont «le*
lignes de courbure. On fieut trouver aisément une intégrale intcrniédiiiifr
sans avoir recours à la métbode générale; si Ton écrit en effet JVqua-
tion — = — ^— 1 les deu\ membres sont les dérivées partielles par rapport
â y de log/set de - logfi -h q']. L'équation proposée admet donc une inté-
grale intermédiaire que l'on peut écrire
(108) p= v/i-./VV^),
/(x) étant une fonction nrîiitraire de t. Celte équation du premier ordrf
admet rintéj;rale complète
z = |/i ^ a*/( -r)^ ay-hbt
et l'intégrale générale est représentée par le système des deux équations
y^o'(a)^ ^ /i X ) = .>,
5 = /ï-T-rt*/('^) -+- ity-^f(n).
qui peruïettent d'exprimer y et ;; an moyen de jr et du paramétre aiiiî-
liatre a. Le lecteur vérilîera sans peine que cette solution ne diiïère qu«
par les notations de celle qui a été donnée (I, »** 252)*
3" Considérons encore l'équation s^Aps^o. que Ton peut au«§i
(^) Cet eiLempte nous fournit une eonliriitdtiofi d'une remarque faite plus bant
( note de la page S8j). On sait en effet que l'équation ^{p,q^z — /ijr — qy\^^%
contenant z — px — qy^ admet une intégrale singulière S, qui est une surlioe
non dévetoppabief et uni par conséquent ne satisfait pas à l'équation s' — r^ = «.
EXERCICES.
I
ecnrc — ^ — - a: -— = o, el qui admet par consequeni 1 inle»ra!e interni«-
diaire
(iog>
if
kz^
— Ç( v)'
ç étani une fontlion arbilraire. On peut prend it: (>our cette fonction r^ une
forme telle que Ton puisse obtenir sous forme eiipliclte l' intégrale fîéné^
raie de l'équation de Biccali (109). Nous savons, en eiïel, que celle inlé-
graie gén*-'rale est une fonction linéaire de la constante d'intégration qui
est ici une fonction arbitraire de ,r; elle est donc de la forme
= e3(jn-
^if ^ft ®* étant des fonctions déterminées de y et \ nne fonction arbi-
traire de 7, il suffira de cbûlsîr les fonctions Bj, Bj, B^ de façon que
as z-
— ^X' — ne renfeiine pas X pour que ^ soit l'intégrale générale d'une
èquati«>n de la forme (109}. On trouve ainsi tes conditions
ei — kSiQs ^ tr, 'iBiBa -+- ^'6} =: o,
qui permettent d'exprimer 81 et Bt au moyen de 63, ë,, 9j»
îi ' 1 Y*
Posons 63 = Y, il vie ni Sf^ — j Y', puis t*i = y -^rr» et l'intégrale gêne-
nt fk i
riJe de l'équation s — kpz ~ o est par conséquent
(110)
1 L'
a Y'
X étant une fonction arbitraire de j^. et Y une fonction arbitraire de j'»
EXERCICES.
t. Intégrer les équations an\ dérivées partielles
aw^p H-( jr^* -T- a 3^ y — ax^y^)q = 'lax^yz — za'^y^^
î. Trouver l'équation générale des surfaces qui coupent à angle droit
[les sphères représentées par l'équation
j^t^yt^ - 2 „ j^a- — o,
toù a est un paramètre variable.
588 Clt\('ITRE \\U. - ICQUATIONS AUX DÉftlVÉES PARTIFXLIÎS.
Déduire rlu résultat obLciiu quelques sys^lcmcs formés de trois famillei
de siirraces orthogonales.
3* Trouver Téquation aux dérivées partielles de* «urfaces décrites par
une droite qui se meut en rencontrant une Hrohe fi\e sous un angle dontu-
fntL'j^rer cette équation auv il é rivées partielles*
[Licence t' Paris, juillet 187I-]
4. Étant donnés un plan V et un point O dan*^ 1<' plan, trouver Téqua-
tîon générale de toutes les surfare^^ telles que si, par un point quelconqtio m
de Tune d'elle»^ on mène la nnrmidt' mn qui rencontre en n le plan P.
puis la perpend(cul;nrc mp à ce plan, l'aire rlu triangle 0/t/> soit égalf a
une constante tlonnèe.
[ L tW n ce: P .1 r i s , n o ve m b re 1 87 1 .]
ti. iM(?me question, en supposant qut* ranj;le itOp est constant.
[Licence; Rennes, i8S3»]
il. Déterminer toutes les surfaces qui satisfont à la conilitiOD
dans laquelle X désii^uc une constante donnéL', O Torigine des coordon-
nées, /n un point quelconque île Tune <]c ces surfaces, p le pied de ta pcr-
pcniliculaire abaissée de 0 sur le plan tangent en m, et n la trace de h
normale sur le pliin j^Oy,
[/.£*ee«re; Paris, 1875.)
7. Trotiver l'équation générali* dt'% surfaces telle!;, que si, par un point m
de l'une *rcîli:<, on mène la mu uiale mn terminée au plan des xjr^ la lon-
gueur mn soil é«;ale à la distance On,
[Licence; Poitiers, i883.|
8. On demanile les surfaces intégrales de Téquation
jry*p -h :r^yq ■=■ 5(^F'-4-^y* );
déterminer la fonction arbitraire de façon que les caractéristiques forment
une famille de lignes asymplotîqucs des •surfaces intégrales, ei trouver les
trajectoires orthogonales des surfaces ainsi obtenues.
[Licence; Paris ^ juillet 1904.)
î). (Jn considère une famille de courbes gauches {F) représentées \u(
le»; dcu% équations
où a et b sont deuii paramétres variables.
='=6^,
iteri
I
i" Dê[ji*jnt.r<jr qite res c«>urbes ^otii if> (rajectoircs ortliogonales d'une
fiimilte de sut'faces{S) à un païamélre:
2" Trouver les lignes de courbure de ces surfaces (S);
i" Montrer que ces surfaces font partie d*un sy oléine ti iple uribogonal
et trouver les deux antres familleiî de ce système,
[Licence; F*ari&, juilbn tgoi.]
10. Former Téquation aux dérivées partielles admettant l'intégrale com-
plète ^*(j-' — CI) = (z — ù)*^ et intégrer cette équation*
tl. Délermincr les surfaces telles que le segment mn de la normale,
conj|iris, entre la surface et le point d'iotcrsection n avec un plan lixe \*,
se projette sur ce plan P suivant un serment de longueur constante»
ÏÈ. Soit n le point où ta normale en m a une surface rencoiitro le plan
des jpj". Trouver le;^ surfaces telles (^ue la droite On f^oit parallèle nu
plan tangent en m. [Licence; Poitiers, juillet 1884»]
13. On denjande tic déterminer les surfaces ijui coupent sous un angle
ilonné V Ions les plans passant par une droite fixe. Monlrer que les earac-
téristiques sont des lignes de courbure des surfaces intégrales.
ii. Les courbes intégrales de Téquation aux dérivées parliclles qui admet
rinlêgrale complète
où a et h sont deux constantes arbitrsiircS) satisfont à la relation
15'. Toute courbe intégrale d'une équation aux tlcrivccs jiartïelles
F(*r, y^ z^ p, ^ ) — o» tan;[;ente en un p<Hnt iM à une géncralrice G du
cùne (T)de sommet M, a un contact ilu second ordre avec toute surface in-
tégrale tangente en M au plan tangent au cône/T ) suivant la génératrice G.
[SofHUS LiK,]
16, L'intégrale générale de Téquation de Liouville jf — c^- est donnée par
la formule
A-^X^ V;*
*>5
[On rantène celte équation à l'équation de la page Î87 en posant j- ~ ti.\
t7. Intégrer les équations
rf — «•-»-/'( J' )/>/ = o, r/ — **-T- fr* = o, rf — a^^pqt.
CHAPITRE XXI 11.
ÉLÉMliNTS DU CALCUL DES VAUl AXIONS.
Les problênnes qui font F objet du calcul des varialioiu sont
dos problèmes de maœifnutn uw de minimum de nature 1res va rire.
dans lesquels il s'agit de déleroiiner la forme d'une ou de |jlu*ieut>
IbnetioDâ inconnues. Ne pouvant consacrer à ce sujet f[u*un peiii
nombre de pages, je me borne à éUidîer en délati le plus simple
de ces prol>lèmf'S^ pour bien metlre eti évidence les dîfticyltés sp^
ciales à ce genre de questions^ et pour lâcher en mèuie temps é^
donner une idée de quelques progrès récents de celte théorie. It e$l
presque superflu d'ajouler qu'il ne sera question dans ce Chapitre
qtie de variables réelles.
L - t»UKMlèRK ET SECONDE VAIUATIONS.
44^. Défini tions. Objet du problèiae. — Soit F(x% v, y*) ud
fonction des trois variables x, y^ y\ qui est continue, ainsi quese>
dérivées partielles jusqu'à celles du troisième ordre, tant que le
point de coordonnées \x\ y) reste dans une région connexe i
plan A, et pour toutes les valeurs finies de y^ . Dans ions
exemptes que nous traiterons, cette fouclion F est analytique;!
région i^^ qui est déterminée pour clinque cas par les condilialj
i\\\ problème, peut emhrasser luut le plan ou être limitée pa
ou plusieurs courbes fronlières,
Soil/(x) une fonction continue et admettant une dérivée CG
tinue dans un intervalle {Tq, t^)\ nous dirons que celle fon
tien /(x) apiïartifml à la classe (1) dans Tintr-rvalle (jt,,, x,), LVqo
liony«— /(^), quand on fait varier .r i\Q x^^ à j:-,, reprësenli* \À
certaine courbe V: nous dirons aussi ipie celte courbe V appartic
à la classe (1). Si celte courbe V est située dans la ré-iun .K.
I. — I^IVUMIBHK ET SBCOWD£ VABIATIOPIS. ^91
fijiiclioii V[j\ /{jc), f*{^)] obtenue en remptaçaiit y jjar/(x)
el ^>' par /'(-*?) dans ^(jr, y^ y) esl conLîiiLie dans l^iuLer-
valle (JTft, JTi) et l'iulégrale
r '•■""■7 "■■'""
en indiquant la courbe I le lon^j de laquelle elle esl prise. Soient A
et B deux points c|uelcanques de la région âX^ de coordonnées
(jT^, jKt,) et (a7( , J^*)? nous supposerons toujours Xq <C^i^ On peul
joindre ceî% deux points A et B jjar une injinité d«^ courbes F de
la classe (I), situées tout entières dans la région ai. Une cpielcouqut»
Bdie ces courbes F est re[>résenlée par une équation de ia forniL-
y =. f{a;). la fonclion y"(*ï') étant une fonction de la classe ^1)^
iléiinie dans riotervalle (x©, x^)^ satisfaisant aux deux conditions
1
ro =f(^^)^ v,=/(j*,),
et telle en outre que le point de coordonnées [j:, J{x)^ reste dans
la ré*;ion A lorsque x varie de x^y à x,. A ctiaqne fonction /'(j^)
satisfaisant à ces conditions correspond une valeur déterminée de
rinlé^rale J* Le problème dont uous allons nous oce^iiper peut être
formulé ainsi : Pttrmi les c*^urbes F de fa cltîsse {l)^ Joignant les
ux points A ei Li et siluées dans la région A^ en existe-t-il
une y telle fjue r intégrale \ correspondante *nt une va leur plus
rantle ou plus peiite que pour toute autre courue satisfaisant
ux mêmes conditions ?
Il n'est nullement certain a priori quMI existe une courbe F ré-
pondant à la quesliun, Snpposous par exemjïle, que la fonction
¥{Xy y^ y) soit tonjnurs positive pour toutes les valeurs finies
Kde j^'', lorsque le pi>int {x^y) reste dans la région A. L'iotégi*ale J
a évidemnifnl unt' valeur positive pour tonte uuurbe F joignant les
»deux points A et B* la valfiir de cette intr^grale a donc une bniili.'
înférii*ure #?tçO| mais un ne peut [tas eu cnnclure qu'il existe un*'
courbe F de Fespéee considérée pour laquelle J a cette valeur m\
nous verrons plus loin qu'il n'en est pas toujours ainsi. 11 v a là
:>(|^
CHAHrilE WIIJ
ELEMENTS DU CALC[ L DES VARIATIONS-
une dilFéretice essenliclle entre les problèmes dïi calcul des varia-
tions el les problèmes de niaxiiimm et de mintinuni traités ddns le
calcul <liiïererïtiel ; noii^ snvoiis en effet qu^une fonction d'une
jU
Mt
Af
ixem\\[ej t\iii esl continue dans un inter-
valle {a, b) passe par une valeur maximnm et par tiiie valeur uji-
ni m uni dnn^ cet întervijlle (I, n" 70).
Mous ne nous occuperons que de la rechercbc de> uja\inia et
des mininia relatifs^ c'est -à-dire que nous ne cotii parerons la
valeur de l'intégrale J le long d^une courbe F joignant les deux
points A et lî qu'aux valeurs de la nu'^me inlé^^'^rale pour de*
courbes inHninieul vuisines satisfaisant aux nicuïes condilion*.
l^our lixer le> idées, nous ne rechercherons que les valeurs mi-
nima, le cas des niaxinia se ramenant au premier par le cbange-
inenl de F en — F.
1-e problème que nous nous proposons pi-ul èlre formulé ana-
lytiquement d'une façon précise. Soit >^ =/(^) une fonction df
la classe (I) dans rir*|prv»dlc (x,j, x,), prenant les valeurs y^ pour
jr z:^ x^ ^l y\ pour ,/" = :ic,, et telle que la courbe V représmlér
par Tcquation y=if(j;j s«>it à i'inléf iettr de la région ai. So'iii
un nombre positif; nous ap|>ellerHns At la région fermée du plan
limitée par les deux, parallèles x ^^x,,, x:u:: x, à Taxe Oy, et p^u
les deux courbes
et nous supposerons le nombre £ asse^ petit pour que ^^ soit tout
entière à rint:érieur de .-ft. Toute courbe de la classe (I), joi^;inl
les deux paiuls A et B, et située tout entière dans la régional*
est représentée par une équation de la forme j' =y(dr) 4- oj(x it
la fonction ci>(x) étant continue et admettant une dérivée cou-
liuue dyris rrnlervalle (xo, Xi}^ et satisfaisant en outre aux con-
ditiorts
(I) tii(x^,) = (ï, (o(arjt^ o,
|(^(^M<£»
|»<*ur i'^<4r<jri.
Mous diiojis que la fane lion /{j: ) doit ne ttn minimum de l'in-
tégrale J, s* il est possible de trouver un nombre positif i ié
que la valfirr de l^ intégrale
J= / '¥\x,f[xuf\x)\djr
ÉtfMri
I. — PHRMIEHE ET SECONDE VARL\TïONS.
\soit plus petite que la valeur de t intégrale
593
s:
¥[T,f{T)^i^(x),f{x}-\-m(:r)\djr,
I
aî(j) étant une fonction quelconque de la classe (I) dans V in-
tervalle (^0, X|), satisfaisant aux conditions (1), et n^ étant pas
n u l le ide n t iq ue ni en t .
Il est clair que Ton petit trouver trune infinUé de façons des
fonclioiiîi w(^), satisfaisant à ces conditioos, el dépendant d*au tant
de pa rame 1res arbitraires f:| 11*011 le voudra. Nous prendrons d'abord
des fonctions w(.r) oe dépendant qne d'un seul paramètre variable,
et d^une ibrme très simple. Nous désignerons d'une manière gé-
nérale par 7^{x) une fonction continue, admettant une dérivée
continue dans Fintervalle (a*,>, jC|)j et s'annukmt pour les deux
limites j^o et ^t- Il est clair que la fonction ar, (x) sera en valeur
absolue moindre que £ dans tout l'intervalle (xo, Xi) pourvu
que |3t| soit assez petit. En renqdaranl /(x) par /(x) -|- arj(^)
dans F[jr, f{^)^ /'i-^)]^ rintégrale J devient une fonction du
paramètre 7.
H)
J(>; = / ?\x,f{x)-^ ir^{x }, f {x) -^ 'xr^ {x)\dx,
et cette fonction J(x) doit être mininjum jiour la valeur a ^=r o du
parannèlre, quelle que soit la (onction 'r^{x).
Si Ton dévclo|q>e celte fonction J(a) par la formule de ïa^'lor
suivant les puissances de a, on a
J(a)-J(u)H--- J|
J,-^...
J^H-:t«A(at),
A(ct) tendant vois zéro avec a. Les quantités aJ|, ^t-J^^^ *.* sont
appelées première, seconde, . . . variation de J ; on les repré-
seote, d'après une notation duc à Lagrange^ par oJ, 0^ J, , . , , o'' J.
Remarquons que S"J est égal au produit de a'' par la valeur de la
dérivée /i**"** i-^ pour la valeur ot = o. On voit donc, en employant
la Dolatiou de Lagrange, t^u'il est nc^ccssairCf pour que la fonc-
tion f{x) rende V intégrale \ minimum, que l'on ait
ûj = 0, ô'J ^0,
i
G., ih
38
5^i i:HAI^ITHE \\\U, — ELÉUR^TS du CL^UUL DKS VAIllATtOlfS.
el ces conditioiiâ doivent élre vérifiées, (|uelle que soît la foDc-
Ltoji r^ix), pourvu seulement que cette foncLiou sait continue
ainsî (|ue sa dérivée r/{x) dans rinlervalle (Xq, x,), et soît aiilk
pour les deux Hiiiiles jc^ et x,.
4i3. Première variation Équatioa d'Euler. — De la fdi
mule (a), ou déduÎL, en ap|>HcfiiauL la forniuk- habituelle de dil-
rérenliaUon sous le signe intégral, fexpression de la preniicn-
variation
(3)
8J = ^ /'
ûF
^T^M-)-^
Or
r/(x) rfj.
y et y devant être remplacés par/(./J eL/'(x) d:ius — et — ?* Si
\<\ fonctiou y'( j:) admet une dérivée seconde coiitîinie y'^^j?), ou
peut appliquer la formule d'inté^ratîoD par pailies à T intégrait-
ùV
J. Or*
Or*
\djr.
ce qui donne
Le premier terme du second memLre est nul piii?>que la (ouc-
lion ri{x) est nulle aux deux limites» et nous avons une nouvelle
f«irme de 51
(4)
f^ ( ^ )
[5!;-^(^.j]''-
Pour que Ton ait 5J =:r u, pour toutes les formes po^stbtel
fonclion ti(j"), it est nécessairi/ que le coettieient de r^fjt:) sou*l
st^ne intégral soil nul dans tout Tintervalle (x^» ^, ;. Kti ell
supjjosons par exentple que ce coefiicieui soit positif pour
valeur Xj comprise entre «r^ et x^ ; on peut alors trouver un ititi
V»lle(So, ç,) renfermant:Fj(x<>< ç,»<./2<5i<X,) tel que
Oy dx\éy*)
soit positif dans tout Tinlervadr (Ç^^ ;,), Gimsidérons alor
fo. ctioQ (x) définie de la manière suivante : i*" t,(j?) =i d^Ji
I, — KAEMIKRE KT SECONDE VAHIATIONS. S^J
pour Ç, 5x^X|. Cette fonction est continue^ ainsi que sa dérivée j
dans rintervalle (jtoj X| ), el il est ctair que lu valeur coiTespon-
dante de oJ eM positive.
Duiic, pour f/ae la fonction /{x) rende minima l'inté^raie
drJinieJ. ii est nècessfdre que cette fonction f{x) vérifie Vé(f na-
tion différentielle ( * ;
Celte équation a été trouvée pour la première fois pur Etder;
elle s'écrit, en développant la dérivée -j- [-— j \ •
roi — r y H- î y -^ -, — — = o.
* ' e)>/'S'' iïyôy" éxùy ùy
L^iuLég^ale générale de celte équation difTéientielle du second
ordre est une fonction y^^ff^t^ Uj b) qui dépend de deux con-
siiintes arbitraires a et 6» Si Ton veut que la courbe intégrale
passe par les deux jjoiuts A el B, on doit ctioisir ces deux eon-
slanle-^ de farun k satisfaire aux deux conditions j'<j =^f[x^^ a, 6),
ïv, =^y*(jri, a, ù); ces deniE équations admettent en général un
f certain nombre de sj-slèmes de solutions eoaimunes, et la foiiclion
cherchée y (x) ne peut élre cpie ruoe des fonctions ainsi déter-
minées. Nous dirons avfr iM. Kneser tpie louie fonction y{x)
H satisfaisant à Téquation (6) est une foncLiun catrémale, el aussi
que la courbe correspondante est une courbe €.ctréniaie. De tout
(point (^„,^>'ft}de la région .^L, il pAvl nnt intinité de courbes de
celle espèce, mais il en part une seule tangente à la droite de coef-
ficient angnlairt?^^',^ pourvu que lu dérivée seconde FJ'«(x^,^4,,^,'j)
ne soit pas nulle* I^orsque cette dérivée seconde est di lié rente de
ziiri3 pour les coordonnées d'un point (pielconque de il, et pour
(' ; 0« a siipposcj |ïoi*r (jusâer de td funiiulc {'à) it \n formuli' { ^ k que! la fonc-
\\ion fl j: i .idiiicllait une déiivée seconde roritiuuc. Un autre mode év dt^iuons-
[tralion pertnel d'étatdtr rexistcnre de celle dérivée seconde {voir O. Hqlza^
" î Qn the Calcuitii of variations, p. n). Je me suis souvent ^ïervi de Ocl
Cicellcnt Ouvrage pour lii rédncttuû de ee ChapUre.
596 CUAi*lTRE XXIM- — ÊLKMIîNTS DU CALCUL DES VAftiATlONS,
loule valeur liiiie dey', le problème du culcu! des varialîons esl
dit régulier,
444. Hemarques diverses. — Lorsijue ta fonction F(-f, >%y)
ne dé|)end que àe y\ l'équation (6) se réduit à y^^ n, el toutes
les courbes eKlréiiiales sont des lignes droites.
Lorsque la foncliau F(jf, .» »y'; ne renlenne pas j , uu a immé-
diatement une intégrale première de réquai i*»n JEuIit, En effet,
si Ton pari de la première forme (5) sous laquelle on a obtenu
cette équation, ou voit qu'elle est équivaleote à réqualion du
premier ordre —, =^ C, d'où l'on tire encore y' =^ 'f (-^i C), el Tod
achèvera l'inté^i iition par nue quadrature.
On a nue siuiplificalion équivalente quand la fonction F ne
ren ternie par x. Mous pouvons en eflet écrire alors réquation (6),
en la considérant comme une équatitui diirérentielle du premier
ordre entre y eiy = p (n" 380),
f}F à^V t>-F </// à / ()V \ à? dp
éy0p
OU
^(k-,^; = o,
on a donc une intégrale pvreniière, ne i-enfermant que _y et y.
(7)
F(7,y)-y^, = G.
et il suffira encore d%rne quadrature pour achever rintégralmn
de l'équation J'Kuler (n'- 301).
Cherchons comment on doit [ïrendrc la fanctîon F(J"t k, y*) i^otir cj»i«
i'iiUt';jriile J ne dépende pas de la courlje T. U faut pour cela que iè pfc-
micre varialioii oJ soit nulle, i]uelle que f*riii celte courbe, et par suite (jn*
réquation d'Euler se réduise à une idenlité. On doit donc avoir F^» ^ 0»
et par suite F est une fonclion linéaire de^'
Si la fonction F est de celle forme, t intégrale J est une intégrale cum'-
lipje
I. — phemiére kt seconde variations. 597
landis que réquation (6) se réduit h
La condnlon ain^i trouvée est nt^cessaiie et suffisante pour que l'inli-grale
curviligne soit intlépendante du chemin <rintt!gratiou (I, n" 15'â).
r
tllS. Seconda variation. Condition de Legendre. ^ Sort /(x)
ne intëj^rale de réqiialioû d'Eiiler, continue ainsi (|ue sa dérivée
ans rinlervalle (Xj^yXi)^ prenant les valeurs 7^ et 1 , pour :r ^ x^
et x^Xif telle enfin que la courbe F représentée par IVqualîon
y ^J(x)soil à l^inlérieur de la région A- Pour que celte courbe F
rende mini ma Fintégrale J, il faut encore que la seconde varia-
lion 3*J soit positive ou nulle pour toutes les formes possibles de
la fonction vj( jr).
En appliquant de nouveau la formule de differenlialion sous le
Iflîgne intégrai, nous avons
{«)
S>J
[Pr,
«(j')-h2Qrj(^)Ti;(jr)-f- RT/»{ar)ld:r,
P, Q, R déî^ignant les fonctions de x que l'on obtient en rempla-
çant y par /(x) et y pary(.r) dans les dérivées partielles F^, ,
F^., Vyt^ D'après les bypo thèses qui ont été liai tes, ces irois fonc-
lioQS P, Q, R sont continues dans Pintervalle {Xqj Xi). Legendre
Iransformc cette expression de S- J comme il suit. Soit iv{x} une
iclion de la cl
soit celle fonction.
(i)
0
.);
tque
/'
( 2 T|T/ tr -h r^ t» ' )dx — [r^^ w ]
puisque ri{Xti) ^ r^(x^) ^=: o, et Ton peut encore écrire Fexpres-
ijoii de ô^J
W
5*J
r
[(P
')T;»'+-a(Q -h w}rj,'-h RTri'*]cf^.
Choisissons maintenant la fonction «r de façon que le coeffi-
cient de dx soit un carré parfait^ c^esl-a^ire de façon que Ton
( Q 4. «,)!_ R f P -+- «.') == o,
sij = 3t*y 'R^r/^.5__i!:^y^^,
Pi l'on voit que le signe de R doîl jouer irii rnfe î m portant dans la
discussion.
Nous déduirons d'abord de celln expression de o^.l une condi-
tion nf'ressaire obtenue par Legendre : Pour que la seconde va-
riation o^J soif positive on nulle pour toutes les /ormes pos-
sibfes de la /on cl ion r^(T), il est nécessaire que l^{jc) ne soii
n4galf/ pour aucune valeur de a; dans P intervalle (jr©, ^i).
Supposons, en eiïelj que Ton ait R(c) ■< cj^ r elanl compris
entre x^ et jt^; on peut prendre un nombre posilif h a^^sei pelil
pour que R(jr) soit négatif |>ourc — h^x^c •{- h. L*éqnalion {(\\
montre que la dérivée seconde /^ix) est continue daus f inter-
valle (f — A, c -h /*)î *^^ P^"^ suite, les fonclionîî P, Q, R admet-
lent anssi des dérivées continues dans le même intervalle. On peut
donc appliquer à Téquation diflérenlielle (îo) le théorème génén*!
de Ganchy (n''* 388, 391), et l'on en conclut qu'elle admet ime
infinité dlnlrgrales continues dans levoisinag^e de la valeur.r =rr.
Soit ir(.r) une de ces intégrales, et soil (Ç^, ç,) un intervalle com-
prenant c et assez petit pour quf? R(j*) soit négatif et iv(j:) con-
tinue dans tout cet intervalle ; (xo <; So<l c <C St -< -^i)- Considé-
rons la fonction ^^(x) définie de la manière suivante : i"Tj(jr^ :=o»
pour J^o^ J^SÇoî 2**
r^(T) = {T — l^)nT
pour Ç,|^.T*£Ç,; 3"7i(j?)=r() pour $»£j!rSj*,. On voit facilemcnl
que la valeur correspondante de 5^J est du sijscne de R(x) dans
Tinter val le (io. 5()t c'est-à-dire négative. La condition de l.egeodrf
est donc nécessaire, el Ton doit avoir R(\r)^o dans tout Finler-
valle (Tft, x^). Laissant de c6té le cas où Téqualion R(x)=<i
nurait des racines dans cet intervalle, nous supposerons désonn
que l'on a
(il) R(a^)>o pnur Xf^^T^Ti*
Il semble évident, d'après la formule (i i ), que la seconde vari
I
I
I
1. — PREMIÈRK ET SHCOMïi; VARIATIOXS. 5^
lion o-^J est jiosilive ou mille pour loutes les formes possibles île
la fonchofi r, (x), lorsque la condition de Legendre est remplie.
Mais il est à remarL|iier fjiie ta Iransfonnalion elïeetuée sur o^J
n'est «ppliciihle i|ue si la fonction n'(^) est continue dans Tinter-
valle (j?o» ^t)' I^ ïai**- donc être assuré que Téquatiozi différen-
lielle (lo) admet une intégrale continue dans tout cet intervalle
potir que la eonclusion soit légitime.
Remarquons que Tintêgrale y(^) peut être prolongée dans un
ifilervalle (X», Xq), Xo étant < jtot puisque R(*fo) n'est pas nuL
Cette intégrale peut de même élre prolongée dans un intervalle
iJTi, X|), X, étant >jri. Les fonctions P, Q^ R sont continues
Pt admellent lies dérivées continues dans Tintervalle (Xd X<), et
Ton peut supposer aussi R(,r)^o dans cet intervalle.
iiO. Condition ûb Jacobî. — L'équation (lo) est une ëqualion
de Riccati; ou peut doïjc la ramener' à une équalion linéaire du
seeond ordre (n" 4CMJ), Posons d'abord Q -h (v -^^ — R-^; rétpia-
lion (lo) est remj>lacée par une équation de même forme
dont rintégrale générale est comme on Ta vu (p. 4^4) ^ = — *
ti étant Tintégrale générale de Féq nation linéaire introduite par
Jîicobi, qui n'est autre que Téqualion d'Euler correspondant à la
liinclion F = V n^-h '^Quit' -h Ru'\
(i3)
L'intégrale générale de Téquation (lo) est donc
Mil
w = _ Q — R
Toutes les intégrales de l'équation de Jacobi sont continues
dans l'intervalle (^n, x,), et, pour que réqnalion (lo) admette
une intégrale *r continue dans cet intervalle, il faut et il suffit que
l'équation {i3) admette une intégrale ttix) ne s'annulant pas dans
ce même intervalle.
Cette condition est suffisante pour que la seconde variation 5*J
soil positive pour toutes les formes possibles de la fonction rjjr).
600 {MIAriTïUv XXI 11. — ÉLÉMENTS DT CALCIL DIS VARUTtOMS.
En effet, so!t u{x) irrae iutégrale pi^rlîcylière de IVu|i]alion de h-
cobi ne s'annulant pas pour jr^^jr^Xi* Prenons pour w{x) lu
fonclîon correspondante (if); ^expression (i i) de o^J dcvicnl
/* '' \u f^ li — r, u )*
ti^
i(T.
Il esL t:lair que o-J ne pcul elrc négatif ; pour que o-J fût nul,
il faudrait que Ton aitr/w — r^ii^o en tous les points de l'in*
lervalle (^o, J?|), ou t^ = Ce/, ce qui est impossible puisque T^{jr)
doit être nul aux deux limitas de l'intervalle, tandis que u{x) m
Test pas* Ou peut doiiiier une forme plus preeîse a cette nouvellr
condition, an moyen d'irn théorème împorlant dô à Slurni >iir le>
équations linéaires. Soit
(i5) w'-h/*!
-h flU tiz o
une équBtion dillérentielle linéaire dont les coenicients sont de!*
fonctions continues de la variable réelle x dans un intervalle
(X(,, X,); soient u^{x) et u^{x) deux intégrales distinctes quel-
conques de cette équation. Entre deux racines consértitives de
Véqualion «, (;r) = o, il y rr une rcicine et une scu/e de l'équa-
tion «j(x) = o.
Nous ne considérons, bien entendu, que les racines comprises
-dans l'intervalle (Xq, X| Y- Soient a et b dtnix racines consécu-
tives de l'équation U'i[x) =o: nous allons montrer qu'on ne peul
admettre que la seconde inlé<;rale ne s*annule pour nueune valeur
de X comprise dans l'intervalle (cr, 6). On a, d'après une formule
générale (p. 4*8),
A( Wh Wî) = f'i Wj — ^\ ^^3 = ^^ " f
ce qui prouve que les deux intégrales Ui et u^ ne peuveol
s'annuler pour une même valeur de x entre Xo et X, , car ou
aurait C := o et les deux intégrales ne seraient pas distinctes. Ou
voit de même qu'une intégrale ne peut avoir de racine doubk
entre Xq et X». De la formule précédente, on lire aussi (i
jp, 424)1 puisque par hvpf>lhcse u^io ^ = o^
r^ f/r -/ /**''
i^Aitk^jsnl '
I
I
I. — PHEWIKBE ET SFXONDE VARIATIONS. 6oi
st l'intégrale iu{^) ne s^annulail pas pour a^jc^è, Tintégrale du
second merabrc aiirail tous ses éfémenls finis et positifs lorsque x
varie de « à é, et par suite u^ib) ne pourrait être nul. L'équation
«,(^) :== o a donc au moins une racine entre a et 6; elle ne peut
en avoir drux, car le même raisonnement prouve que Féquation
«^(j?) = o devrait avoir aussi uoe racine entre a et b.
Appliquons ce résultat a l'équation linéaire de Jacolïi dont les
coetficienls sont des fonctions continues dans Tintervalle ( Xo, X^ ).
Soit iii(j:) une intégrale s'annniant pour x^.rfl; toutes les inté-
grales qui satisfont i\ cette condition ne diffèrent que par un facteur
constant^ de sorte que les autres racines de l'éqLiatioJi ;/, (x) == o
sont déterminées cl ne dépendent que de J:^^. Soit .rj^ la racine
la plus rapprochée de vr^, et comprise entre Xq et X( ; nous pose-
rons Xy 1= X| si l'intégrale qui est nulle ptiur x^x^ ne s^annule
plus entre Xq et X|. Cela posé, pour que Inéquation de Jacobi
afimeiie une intégrale parlicuh'ère ne s* annulant pas pour
^» = ^S*^*t il faut et il suffit qm* Von ait x^ <i x^.
La ciinclition est nécessaire. Eu elle t, si Von a x'^<Z x^^ tonte
intégrale de T équation (ï3) a urie racine comprise entre J'o ^1^ -^^qi
et celte racine est forcémcut comprise eutre Xq et x,.
La condilion est suffisante. Supposons en eilel Xx <i xj,, et soit
^Tj un nombre compris eutre x^ et x^^{x% < J:a<C'^o)* l^'*^^égrale
U'g{x) qui est nulle pourx = :Fa ne peut s'annuler entre x^ et x^^
puisque dans ce cas Ux{x) devrait s'annuler aussi enire x^ et jrjj;
elle ne s'annule pas non plus pour x^^^x^^ puisqu'elle est dis-
tincte de Ux{x).
Nous laissons de côté le cas où .Ci := x\^ dont la discussion est
un peu plus délicate.
En résumé^ lorsque les deux conditions de Le gendre et de
Jacobi sont vérifiées à ia fois : i** R(x) > o, pour Xi^^x^^x^^
a" Xi ■< '/'ot l^t seconde variation 5- J est positive pour toutes les
fo rm es p ossib les de la fonct io n >i ( ar ) ,
On a démontré plus haut que la condition de Legendre était
une condition nécessaire |ïO ur que S*J soit toujours positif* On
démontre aussi que, lorstpie l\>u a x» ]> j:rjj, on peut rendre o^ J <Z o
par un choix convenable de la fonction 7i(x), (Voir Bolza, loc.
cil,, p, 5i-6^). La condilion de Jacobi est donc aussi nécessaire.
On verra plus loin sa signification géométrique.
a et b iHanl les roiii-iaiitc!* arbilraires. Les roorbes extrêmales foni
CL*rrle5 dont te tii^nirc est sur 0:r; ri pst clair que, par deux poînl*> quel-
conques A el B fltî Aj il passe un de ecs cercles et un feuL Si Ton a priî
le? axes de cortnionncos île façon que Torigine suit le centre de ce cerclc^i
on â /(t) = \/a* — -r^i et les absctsfîes j^<> el j*i des points A et lî 50nl com-
prises entre — a ei-{-a( — a < j-,i < J?( < rt). La comlilion de Legendre
est vérifiée, caria dérivée secomlc F!.« ^ — (j
y
-y*) * est positive 51^ en
positif. En développant les calculs^ ou trouve pour l'équaliôn de Jacobfl
réquBtion linéaire
(ar«-
')*«'-h 'AJ*(J'«— «')«'
O,
dont l'intégrale générale est (/ = fC-K G'a?)(fl* — j*) *.
îl est clair que la condition cie Jacobl est satisfaite^ car l'intégrale parii-1
cul
iére i / ^ prtr exemple ne s'annule pas dans l'intervalle (j-^^^i )» L»
seconde variation o^J est donc toujours posiïive. I/intégrale J est mlninau
pour cet arc de cercle (voir n* 453).
a* Étant donnés dcu\ points A et B ilans le demi-plan au -de? «us de Ox,
soit à trouver la courbe joi jouant ces deux points (et «ituée au-des*ui
de 0:r)^ qui en tournant autour du 0;r en^^cndrc la surLire d'aire minimum.
Si nous admettons que la courbe qui répond à la question est de la classe (1 •»
nous sommes conduits à prendre pour F(a7, ^, y*) la fonction jr ^i -^ y'-.
la région A étant toujours le demi-plan au-dessus de Otr, I/équatiou
d'Ëuler admet Tintégrale première y = (t ^ \ n-^r'*» d'où Ton déduit aisé-^
ment l'intégrale générale
y = — \e '' -H e ^ ),
1
Les courbes ex tréma les sont ties c bai net tes ayant pour base Oj-, cl I
aura d'abord à déterminer a et b par les conditions au\ limites, ce (
conduit à une équation transcendante que nous discuterons tout à TUc
dans un cas particulier. Supposons que l'on ail obtenu une cbaînctle i
cette famille passant par deux points A et B; la condition de Lcgcndre (
toujours satisfaite, car la dérivée seconde F!J.j — y^i-k-y"^) « est toujours
positive dans b région iR. En ce qui concerne la condition de Jacobi» là
I- — MhEMlKHE ET SKCONDiv VARIATIONS.
fîo3
discussion conduit à un résuliat que je me borne à énoncer : pour que la
condition de Jacob i soii satisfaife, il fftttt et il suffit que le point de
rencottfre des tangentes fi la chaînette aux points A et B sott au-dessus
de Ojt. (LiNOELÔF-MorcNo; Calcul des variations.)
Sii|ipri5ons les ordonnées des deux points A el B éfçales, ^j =yo\ nous
choi^'irnns l'oiigine de façon que ï'on ait j-j -*- ^o ~ f»- Jl *?st clair que
Taxe i^y don être Taxe rie symétrie de la chaînette, el le paramétre a esl
dcierminê par Téquation transcendante
(ifi>
a ( ^ -^^
pour discuter celle équation, remarquons que, si Ton y remplace ^r^ et y^
par r et y, touics les chaînettes qu'elle représente, quand on fait varier <ï,
sont homotli cliques de la chaîne lie ^f qui a pour équation
y = r^ (^'-^«î"
relativement à l'orif^ine. Le problème revient donc à faire passer par les
fl /u\ points A el B une chaînette homothétique a *^, relativement à l'ori-
•jine. Soient OT et OT' le** tangentes menées de l'origine à y; toutes les
chaineltes homoihétiques sont situées dans Tangle TOT' (Jig'* ga). Si le
coefficient angulaire de \b droite OB esl supérieur au coefllcieitl angulaire
de la tangente OT, qui est égal à ï,5o88, ,.., la droite OB rencontre la
cliaîncue en fleux pnint* M el M'. Nous avons rlcux courbes eitrémales
rcpoofianl a la question; on les obtient en prenant pour rapport triiotno-
thétie ^^rrr ou rrru' ï-a comlilion rlc Jacobi n*est vérifiL-e que pour la pre-
UM Oi\i
miére de ces cliaînelles; c'est elle qui donne le minimum de la surf^ice
{voir n" 4*i:i).
6o4 cHAPixaE \\m. — éléments uv calcll des variations.
Lorsque le coefficient angulaire lit' OR est inf»^rîeui a i,5o8î*. ,.., la
(Iroîtt' OB ne rencontre pas y, et il n*e%iste pas de courbe eiitrémalt» pas-
sant par Ig^ fieii\ points A et B. Dans re cas, la li^ne join:nant A et B qui
entendre îa surface d'aîre mifiinnuni est la ligne brisée AÏ'QB fornurc par
les deux ordonnées AP, BQ des points A et B^ et le segment PQ dt
Taxe O^. On peut évidemment trouver des courbes F de la classe il
joignant les deux points A et B, aussi voisines qu'on le voudra de la ligne
brisi-e APQB, cl l'aire de la surface engendrée par Fune de ces courbas
(lidÏM'e eile-nnênie d'aussi peu qu'on b^ veut de l*.iire engendrée par la ligne
brisée, sans jamais atteindre cette valeur minimum.
3"^' Prenons encore l'exempte suivant dû à M. Weierstrass. Soit à trouver
la valeur minimum de l'intégrale
I
J = f (T-î-h A*)yîrfjr,
prise le long d'une courbe f de classe ( I ), joignant les deu\ points A ei ;
de coordonnées ( — i, « ), et (i» b). L'équation d'Euler admet l'inlégrai^
première (a-' ^ X*)y= C (n" Wi), et rîntêgrale générale est, en supp
saat d'abord X ^ o,
y = Cl -+- Cj are tangy *
Les constantes Ci et Ci étant déterminées par les conditions aux limite*»
on trouve pour la four t ion cberebée/lx),
îi Vf t ^nt
(•7)
J-=/(r) =
aie tang-
are lang j
On voit aisément que les enndilions de Legendre et de Jacobî sont
vérifiées. Rn effet R = 2(jr*— X*), et l'équation linéaire de Jacobi admet
rintégrale partie uliêre ££ — u
Les conclusions sont tout a fait différentes si X = o. L'intégrale générale
de l'équation d'Euler est dans ce cas
— H- Ci;
4
il n'cTiiste donc aucune courbe extréniale de la cla5se(l) joignant les dfw%
points A et B, sauf dans le cas banal où Ton aurait b ^ a. Dan* le cas tjui
nous occupCj la limite inférieure de l'intégrale
est égale à zéro. Il est clair que cette limite inférieure ne peut él
atteinte pour aucune fonction /(a*) de la classe ([)j prenant la \alcur
pour ^ = ^ I, et la valeur b pour x — i. Mais on peut trouver dc5 foo<
PiŒMlEHE ET SECOXDK VAHIATIOXS.
(jo5
Uns de celle espèce pour lesquelles J u urie valeur positive moindre que
Loul nombre donné* Si l'on remplace en effet /(jr) par la fonction (17)»
il %ienL
J =
X*i fj
iUrc tangr- )
hi
r' d.r
Li {-^'-^l^)''
rintégraie du second membre est pluâ petite que
l
ï-; = r-arclani;-*
On a donc
J<
A t h €1 >«
I
I
l
uarc langY
et le î^econd membre de celle inégalité tend vers ïéro a ver X. Il est facile
de vérifier que la courbe représentée par Téqualion (17) diffère de moins
en nïoins d'une lij^ne brisée lorsque À tend vers zéro*
f i8. Insuffisance des conditions précédentes. — Les conditions
de LegeiH-lri' et de Jocobi ne s uniment jjas pour assurer U: minîmuni
de rinlé^riile J. En efFel, no 115 n'avnri> comparé la valeur de l'in-
tégrale qui correspond à la fonction y=^/(^j:) q»i*aux valeurs de
la même intégrale correspondant aux fonctions d^iue famille
dépendant d'un seul paramètre arbitraire, tandis que^ dans le pro-
blème tel qu'il a été pose (n" 442) on doit comparer la valeur de J
pour K:=/(x) à la valeur de J pour l'ensemble des foncLionis de
lu forme y ^=/[x) -f- oi(^), w(x) étant une fonction quelconque
de la classe (I), assujettie seuletnenl à vérifier les conditions ( 1 ).
La seule couclusion que l'on puisse déduire de rélude qui |irécéde
est Ici suivante. Soit tùij) ujie fonclioo quelconque de classe (I),
vértlianl les conditions ( 1). L'équalion
rejirësente nn faisceau de courbes F qui restent dans la région ^^Rg
quand ou fait varier ot de o à i. Pour at == o, on u la courbe Fq qui
a pour ëqualion ^' =y"(jc), et pour a =r 1 la courbe F, qui a pour
équation J/ :^y(x) -f tù{x)* La valeur J (a) de Tinlégrale J corres-
pondant à la fonetion y*(j7) -h ati>(j:) est une fonction de a qui
<k*6
CIJAPITKS XXnU — KLfiMENTS nU lALCri. lïKS VAHlATIONh.
cuiiHinMJce par croître lorsque Fou friil varier a à partir de zéro^
mais rien ne permet cl*afflrmer que celle fonclion J(a,i va con*
slamiiient en crolhsiint lorsque a croil de o à i, aussi pelit que soil ^
le fuifubre e qui dénuiL la région Ai.
Voici un exemple qui montre bien iieLtejtie^il l'insunisance de» condi*
lions oJ = o, 5'J >o pour ai'>urt;r Je niinimuni, Soit F i=; j/*-+-j^'*; ^ti-t-
non** xo = >'o= o, ^, = I, >'t = o. Les courbes extrémales sont des dniitr^,
el la fonction extrémale répondant aux couditions aux limiies esiy(jr|— o»
On peut voir directement que la seconde variation esi positive^ car i
daos ce cas
'ir^'^dx\
pour que l'on eût S*J — o, îl fauiliait avoir r/(^f — r», et par buite tJj) — o.
Pour la fonction /(a^) = o, on a J = o, et nous allons montrer qoe Ion
peut trouver une fonction tofjrj de classe (I),, satisfaisant aux conditions
ti> { iï ) = (u ( 1 ) = o, ) ti> ( ,d? ) I < £
pour o < X < I , el telle que rintégrale
(lit une valeur né^-^ative. Considérons Ja lignr brisée APB^ les coordonnées
du point P étant i — p et^to<C/'<C i»o<Cy<C£)-
Fig. 93,
1-p
La valeur de Tintégrale suivant ceili» lig;ne brisée est égale à
Jr
jPf I —p)
V \ ^p pi'
H
ayant choisi pour q un nombre positif quelconque < t, on |»ei*l prendre
pour p un iionibre pi>silif assi-?. \\eûi pour que Jt soit nétfalif. RrTU|jta-
çons maintenant la ligne briséi^ APB par Éa li^oe Aa6H. former «le*
deux segments rectiJi^nes A a, \\b et d'un arc de cercle ah de myr^n r
langent aux deux droites PA, PB. On peut choisir le rayon r «sseî pct»I
lIKTaOI»!-: f>E: WKIKHSTHASfi.
t>07
(itjijr que l'intégrale J le Jon^ de Aabli diflcre d'au5«*î peu qu'oji Je veut
de la valeur de rintégrale Jt ïe loug de APB^ et |>ar suite pour <|uV!lie
ail une vakur négative. Or, t'urdounce d'un poïnl de ta ligne AabU est
une fontiiun de l'abscisse de la classe ( \}.
H - MÉTHODE ÙK WElliHSTRASS.
i49. Condition de Weierstrass. La fonction E. — Une uouvelte
condition nécessaire pour le minimum a ëlé obleniie par Weier-
stt^ass en comparant ta valeur de FintégraleJ suivant Tare de courbe
extréniale AB à rinlégrale prise le long d\me courbe lafiiiiment
voisine, mais coupant Tare AB sous un aii^le fini. Conservons les
jnéiiies notaliiuis et les mêmes hjpotlirses cpie dans les |>ara-
^raphes précédents. Prenons nn point P de r;jrc AB, de coordon-
nées (j:'2» y2)i ^^ ^^^^ y ^^/i{^) résiliation d%ine courlie C, p;*?^-
jiant au point P, la fonclîoii J\ étant conli nue et admettant des
dérivées du pieuiier et du deuxième ordre continues dans Tînter-
valie (xj — X, x-^-i^k); soit Q un point de C» d'ahseiss^r X2 — /*,
h étant un nombre positif inlérieur à Â' (^ i><C -^i — A <[ Cj <; -Ti ),
Posons
et considérons l^arc de courbe ÂQ {Jilf. 94) ^^* ^ P^J^i^ é<|uyiiun
Lorsque A tend versîtéro, il est clair que la ligne AQP a pour limile
l'arc A P. Soit J (A) la son» me des valeurs de Tinté^rule / F{x,y,y) dx
te long de l'arc AQ et de I arc Q[*,
(iH)
j(/.,=/
FIj:,/(jr)-h m{:r^ /jj,/V|^)^ "i^i-^r ^)]eLi:
îl résulte des hjpothéses que cette funetion ii h) est une fonction
cunliuue de Aqut a pour limite la valeur de rintrf,n'ale prisse stiivanl
Tare AP lorsque h tejid vers zéro.
«^iC-^î— /'t ^»1
en appliqua]) l comme plus haut la formule d'inlégralion par par-
ties à riolégrale / — ; —p dx^ on peiil encore écrire Piulégraie du
second membre
Celte dernière intégrale disparaît si Ton sup[>ose h ==: o, puisque
f{x) est une intégrale de l'ëq nation d'Eu 1er, et il reste, en eflecluant
le calcul de -_.. %
àh
y^ étaiil le coefficient angulaire de la tangente à Tare AP au
poinl P, el p^ le coeffîcienl angulaii-e tie la tangente à la courbe C|.
Le second membre de cette formule est une fonction des quatre
variables x^y^y^ p^ qui joue un lôle essentiel dans la tbéorie de
Weierslrass; on la représente par la lettre E,
(jg) E(jr,>'; y, p ) = ¥{x, y, p) - V{^x, y, f \ -- (p — y )F;, (^, y, /)
i
r
îl. — MÉTHODE liE WEIEBSTKASS.
et la fonnule précédeiUe |ïeut s'écrire
t>o9
i'àÙ)
De celle relu ti on, on dédiiil aïséaient uiw nouvel le condîltan
nt'L'essaire pour le m in i nui m ; unn^ rri|j|ienenins ta roiidition de
Weierstruss. Pour que la eourbe cou sidérée AB rende fîniè-
gi a le J m in im luft, îl es f n écessa ire q ue la /on et io f }
E[it,/(jt};f(:rhp]
ne soi i négative pour ait cane valeur fin te de /ï, lorsque jc varie
de JTij à Xi, Nous expiimerons cette condition d'une façon abréf<^e
en disant que la fonction Ei\r, y\ y\ p) ne peut devenir négative
en aucun point de Tare AH» puurnne valeur finie de p.
En eUet» supposons (jue pu m" un jKjinl P de Tare AB, de coor-
données {-T-2^y2)y ^^ pour une valeur linie m de p^ on ait
Prenons pour la eourbe C| la courbe ajanl pour équation
I y =/i^} -r- { m — 7i ){x - ar, ),
t|uî est tangente au point P à la droite de coelliclent angulaire ///.
La fonction J(A) délinie par ta formule (i8) qui correspond à
celle foruit; de la fonction /, (x) a sa dérivée négative pour h ^ o.
On peut donc tniuver ojt nombre positif / suffisamment petit
pour que l'un ait J(/)-<J(o), el par conséquent on aura urj
cbemin AQPB {fig* 94) ^^' ^[^^^ '^ sojnme des inlé^rales
•^•(Agi *^\MP\ *'pii)
Suit inférieure a ki valeur de rinlé^rale J le lon^ de Tare AB de la
courbe eKlrémale, <^e chemin présente deux points anguleux en i^
et Pi jnais 011 peut le rejnpiac* r par un chemin ne présentant plus
de point anguleux et donnant aussi jiyur J une valeur ijtfL-rieuœ
a celle que lournit l'arc AB. Soit iù{x) la funcliou déliuie de
la manière suivante : r* cu(.r) == /(x — jr^) — — ^ — ^ |>oiir
J?tijrl^a— /; 2"ca(j?)^ (>/rf ^y[^){x ^Xi) pour j-^— /Sj7<j?j,;
3"* iu(j?)==u (njur x^^^^^-^^' ^^ courbe A<^PB a pour équa-
G., IL 39
'Wft CHAPlTftE WIII- — EtKJiENTS l»U CiLuLL DES VARIATIONS.
tion r ^/(x) -\- tujx), et rétjualion auxiliaire Y ^^ mj(x) repr
sente une ligne brisée^ formée de trois cAlés, joignanl les dem
points d'abscisses Xq el j*i de l'axe Ox. Substituons à celte li^'oe
brisée une ligue sans point ang^uletix (n ' 448) en rem plaçant le*
parties voisines des suniinets par deux arcs de cercle de ravon très
pelil f\ Celte nairvelle ligne est représentée par u\)c équation
Y(^to»(;r), la fonction tij,(x) élaiit continue et admeilanl une
dérivée continue de x<, à Xi. On peut toujours prendre le rajonr
asse/> petit pour que la val'eur de Tintég^rale
.r) ^ t«>i(x)^ /'{^) -*- «Jj'i {J^)\dr
diflTère d'aussi peu t|irou le veut de l'intégrale le long de AQPB,
et par suite soit moindre que Fintvgrale le long de Tare AB lie^^^j
la courbe extrétnale. ^H
Nous pouvons donc ajouter aux. conditions déjà obtenues ^
(n"*4t3-446) la condition suivante : on doit ai'oir
pour toute valeur finie de p^ tout le long de /%?rc AB.
Hemarque. — On a, d*apiès la formule de Tajlor,
( /i — y' )- ,,
{•11} K\x, y; y\ p) = -^ • Fv4-^' X^ y' ^^^ P — }' ^\^
o<6^
et il est clair d'aprcs cela que ia condition de Weierslrass est cer
tai ne ruent vériliée si la dérivée j»ceonde F*.,(a:, j^, u) ri^e>t jamai
négative pour un point quelconque de l'arc Ali et pour tou
valeur linie de w. Mais cette dernière condition n^est pas néce:
saire pour que la condition (ai) ^oit satislaite,
On |n'ul remarquer que la condition de WeiersLrass donne
condition de Legendre comme cas particulier. En ellel le rapport
a,E(^, y\ y\ f*) i- • j? i i j- i / i^- ^ t^
— - — j^ — — ^ — - a pour limite» d après la lormule (2^j, ^ y^K'^iX^} i
lorsque p tead vers y'. Si la condition (21) est vérifiée pou]
toute valeur linic de />, on a donc aussi FJ.i ^ o tout le long de
rare AB.
La condition (21) de WeiersLrass est elle-même iusallisanie]
pour assurer It^ muiiniuin, comine le montre Tevemple suivant d#
1â
îr, — UKTHOllK lïE WEtliiHSTHASS. I>( I
M. BulKa. Soit F =1 ay*^ ^by^y^^ -\- •^ùxy\ a ei b étant des
consLanLe$ positives, LVquiition il'Eiiîr*r eorresfiondante esl
yi%a — ^^ byy* h- i \ bxy ' ) =; o,
et les lignes droites scint tjes courber eîtl repaies. Considérons les
dei«\ jjoirïls A (0,0) et B(i ,0); la ligne droile >' =: o qui joinï ces
deux poinis est njit^ cu>iirbf extrétnale, poin laquelle les conditions*
de Le^endre et de Jacobi soiii satislaites.^ll en est de même de la
roodilion dr Weier^lrass, car la ronclion E(^, y\ y\ />), qui a
pour 4;vpre>sion
Knjr,y\ y\p) — iy — /?)»[« — 8 èvy' -h 66rv''H- \hiTY* — Y)p -k 'ibxp^],
se rëdnit à p'^^ci H- ibxp-) pour v ^ o, el reste positivr quand x
varie de o à 1 . Cependant cette droite ne donne pns on mînimiiin
de J, En elFet, si l'on prend l'inté*;rale le loo^^ d une ligne
briser AI*B, les coordonnâmes dn point V élarit deux nombres po-
sitifs A el A% tiu voit aist'menl que Ton peut prendr»- pour h un
nombre positif Bssex petit pour que la Vtdeur de rinté»^j'ale le long
de la ligne l*risée soit n*^galive, iiiissi [vetit que soit A\ On en
concdut cuninie au n" ilH que la droite AB ne peut louroir un
minimum.
Nous «illorïs jnaintenanl établir un système de enndîtîons suffi-
santes pour dssurer le miniïnuni* Ces cotidiliojis ont d'abord été
obtenues par Weierstrass; nous adopterons la marche suivie par
M. Hilbert.
4o0« Déâ&itloxi d'un champ de courbes extrémales. — Nous
désignerons pour abréger par {{ toirle ituiibe extrémale, et nous
dirons tpie l*jut systrnie de cour lies ij, dépendant d*un pctramèlre
arbitraire, foi me uji Jaisceatt. Une portion eonnixe et (inie du
plan L*t>, située (ïaus la région .-R, forme un champ de courbes
exirémaieSj ou plus simplement un champ, s'il existe un faisceau
de courbt's ex Irt' maies, tel qu'il passe une courbe du fat sceau el
une seule par ehai|ue point de cù, le coefficient angulaire ui^x^y)
de la t.iugente an point [x^y) à la courbe tj du faisceau qui passe
par ce point et a ni ur»e fonction continue, et admettant des déri-
vées parlielles conlinues o^. et w^. dans lO. Les courbes du (aisceau
CHAPITRE XXtIl»
ELKIIENTS OU ClïiïJÏÏL DKS VAHIATIONS.
sont alors \es courbes inlt^j^fale^ de réf|ïjalioïj difïeredhell»* du
premier ordre
(23) y=«(ar,j);
de celle équation on déduit
j au du , au âu
En poi'lîiiii les valeurs de ^ el àti V* dans l'éijualion d'I^uItT,
on oblienl la retation
124;
fi»3F
à^¥
dF
dx tiu ôy '
Ou- \ Ox ffy / ûy Ou
y étant remplacée par« dans F(jr, J^* J^')» ^t celte canditioii (a^J
dent être vérifiée^ pour le» coordonnées d'un |>oint f|ueîconc|ue du
champ lO. La lune lion f/( JT, y) "^^oïL dune être une intégrale àe
Téqnatinn aux dérivées partielles ('24)1 couliniie ain^i que ^^^
dérivées parliçlles du premier urrire, dans <t>,
Inverseni<:ut, si réc|uaLiun (24) admet nne intégrale coiilinue,
et adniellant des dérivées partielles continues i/^. el fiy, dans une
région dO, cette région est un elnimp, car Téquation différen-
tielle (a3) définit une fiimiile de enurbes exlréujcilt-s» el il en passe
nne et une seule par ehatuie point de it).
Quand cm a obieiiu riatégrale générale iU* l'équation d'Euler, il c*l ea
général facile de reconnaître si une région (JÛ esi un chaiii|K Ain^î dan»
Texemple 1 1 n" iiT), nous avons vu que touie courbe es^trémale c*t un
cercle ayant son centre sur Ox, Tout domaine fini c£) situé dans le dcaii-
plan au-dessus de Ox est un rhamp: ci» effet, si nou*» Cimsidérons par
exemple les cercles a\anl rori;»i»iL' pour cenire, par ctiaque point de i.Q
il passe un de ces cercles et un seul, et la tour lion a(.r, y 1 est égale à
Dans Texeinple !£ ( 11" 147)^ les courbes exlrémales sont des chaînettes doot
la base coïncide avec Or, Soit f^Q un arc d'tiue de ces chaînettes, tel qwc
les tangentes aux ileux points 1* et Q sectiupeui en un potut T de l*avr Oi".
Toute région Ot) située dans l'angle lurmé par les ilemi'-droiies Tl*. T<^*
esi un champ; en effet» si nous prenons les arcs de chaînette homothc'
tiques à l'arc PQ relativement au sommet T de Tangle» il est clair <\ûî\
passe un de cc^ arcs et un seul par cliaque point deuE». La fonction u(x,f\
est dans ce cas racine d'une équatinii qu'il serait facile de foruier, mân
dont niHi'^ n aurons pas besoin pour la suite.
Snity^ un lire de courbe exirémale» joignant le point A(Xt«/ij|
I
tu — MÉTHODE DE WKÏEHSTHA98. 6i3
au point B(jrH k,), eL rtî|irésenïêp [Kir l'équation y ^ /(.r)» la
fonction y*!, >r) appartenunt ii \ii cliissf ( I ) dfins l'iniervalle (x^j-^ JC|).
Considérons comme plus iiaut le doiiiaino ,A, compris colre les
deux dr<MLe."i x ^^ x^^ x ^ Xi,^ et ies deux r'oiirbes Y, ^ f{x) -4- e,
\^=z f{x) — £. Nous dirons que /V/rt? tj^ appartient à un champ,
s'il eî^L possible de prendre le uoiiibre positif e tissez petit pourf|ue
la rejiîion .'♦Ij soit un champ de eo*irlies extrémales, eojn|>renant
en (trirticiilier la courbe (/». Pour (ju'il en stïit ainsi, il faut et il
suffit f pie requcitiou lirjéaire ( .i4 ) admette iiriê intégrale a{x,y)^
continue ainsi 4pre *i^e3^ dérivi-eî* partielles du premier oui ru ^ daniït'Rc*^
et se réduisant a /\x) quand on v remphue j' jiiir /'(.r) (').
Reprenons les deux i^xemjilcs tr^ilé?* plii'' liant ( n" 447). Dan? le jjre-
mier. on voif imniéflialement que tout rtc r|** rercle AH joignant deux
points A lîl fi au-dessus Hc O.r et ayant sou centre sur Ox appartient à
un cliatiip. De même dans Texeinple !*, un arc de eliai nette AB ayant pour
ba^c <_>*r appartîfut à un etiamp si le point de rencontre ries tangentes â
la chaineiie aux jKjints A et B est au-dessus de Ox. Dans ee cas, on peut
en eiïei in>uver deux points P et (^ «ur la rhainetie, teU <jue les points A
el B soient compris entie F* et Q et que les tangentes aux points P et Q
fte coupent en un point T de 0^'. Il est elaîr que le domarue t^^ sera tout
entier dans Tan^le PQT pourvu que t «oïl as^e/L jietit, et par suite sera un
rKanip.
i«^L Existence d'un champ. — L^ét|ualion d'Kuler ailruet une
infini ti' de systèmes dinlén rides, dépendant d'un paraïuèlre va-
riable Xn et se réduisatit poirr une valerir [tartietiliére de À à Tin-
légrale /"(.f ). Soil ^>^ ^ '^ { .r^ X) réquation cTime de ces familles
d* interna les ; nous supposerouïs que celle (onction '^satisfait aux
conditions stiîvantes :
r'Elle est continue, eladmel des dérivées partiedes du premier
fît du second «jrdre continites lorsque x varie de x^ à J",, et X
de — A- à + A", k étant un nombre positif;
2" Elle se réduit à f{x) pour A ^ o ;
Cl Ce problème est iodètcrrnuiét car Icj* équations y — /{x). u — f {x) repré-
scoicntT cumine il est aisé de le vérilicr, une caru€léri*tiquc (te réqualiMn ii-
néiiire (^4)^ Suieot (^^,^>%) les cuordunnées it'un point île t,'^. Si la luuction K
> e»t aniilytique, il en est de inèuie de/{xi,et réquiition linéaire (^4) •<dmet une
infinité d'intégrales buluinorpbe^ dans le ditmiiine du point {*t,n }\]^ se t'éduisîini
kf'ix) pour ^ =/(;f), tl faut de plus quu l'une d'elles soit régulière dan> Loule
la région iK^* pour que lette région sait un cliainp.
6i4
CUiPlTRi: XXIIK
I^LKMKIVTî^ Dl CAI-CIL DRS VArilATIO.NS.
i^ La fji^rivée '^{{^^ o) esl iliff treille de zéro jjoiir Xn^XÏ
Ni
eus al km s montrer que cette fonction '^( jr. )») déOnit un cKam|>
an(|iiel ;i|î|îi*ruent 1» coiirhe exlrëntàîe AB* ^^
En olVrl, 'f>( J'i tj) n^ i>'arimiliint |îa> i]|tiaiHi x varie de j'û à X|^^
an peiilj ptiisqtj** la dérivée çv(jr, X) est inir fonclion contînuedei»
deux vari«lïl<^s jr el 1, assigner un nombre positif :i ttvl <]iie '^'^ (jr. > I
ne s^arinnle p^ts ni>n plus dan!$ Le domaine 1 défini par les iné^ii-
lilés .ro^Jc^.r,, — p5X^p. Quand on fait varier j" de jtq à x,
et ). de — p à -h ?t '^ |»oiiit m de coordonnées [ jr, >- ^ q (jr, X)] |
décrit une certaine région ^^' entoura ni (jV et liniilée par Its
droites .r = Xn, x^ J*(^el par les deux cou rhes i' = '^(x^ — SK
j-^î5(x, H-p)* Nous allons montrer ipie (»ar tout piiitit de celle
région /»\' il passe une courlie et une seule de la faruî Ile considérée, i
En eÏÏeU i* opposons pour fixer les idées ^x(*^% ^*) > ^ dans .il'; ?»i
Ton donne à ^Mine valeur fixe jr2, comprise entre x^ el ^, , et qu'on
fasse varier A de — p à -4- p, »(xa,^) va en croissant deç(xa, — ?^
àç(x^, p), et le pt)inl de coordiiroiées [x.j, 'f(Xj, X)] décril un
segment de a note P* Pa? parallèle à Or, A chaque valeur de -Tj
comprise enlve Xq et x, correspond jjînsi un sej^menl de droitr
Pi Pa, et quand x^ croît de x^ à x,, le segment P| Pj décrit une
certaine région du plan qui est la région ,'♦1', On voit imniédii*-
temenl, d'après ce mode de génératiim, qu'à tout point I x, y)
de r^' correspond une valeur déterminée de X, oom|>riâe entre — p
el -h p ; soil ). = i(x, r) cette racine. I^a dérivée o\(u.\ X) n'étant
pas nulle pour la valeui^ A^*l(x, y), il résulte de la théorie
générale des foncticois iniplieiïes (I, n"21), et des hypothèses
qui ont été faite?^ sur hi fumiiou w(X^ A), que celte fonction i(x,/)
est continue, et admet des dérivée> [>artielles continuer dans U
région A\ D'antre part, le coefiicienl angulaire £/(x. r) de U
tangente à la courbe du faisceau considéré qui passe eu un paint
(x, y) de r^' est égal à 'f^x, a) = ^^x, 'i(x, y)]. Puisque le>
dérivées du seeond ordre de ^ sont continues» el que i admet de*
dérivées du premier ordre qui sont elles-nièmes ciuitinues, il s'en-
suit que «{x, y) admet aussi des déii\ées partielles, u'^ et U^.
cou ti nues dans A'. Cette région A' est donc un champ.
Soit maintenant £ le minimum des deux fonctions
ÇfO, p) — «( jr, O), t5(X, O) — fiJ^. — p)
n. — IIETHODK DE WE1KRSTR4SS.
6iS
lorsi|ue X varie de .r,i à x^* Ce nombre £ esl posili(, puiscjue les
tieux foDcLions précédentes sodL coati lui es el ne peuvent s^annuler
dans rintervalle (xq, jCi), Le domaine J{g délini par les inéga-
lités Xi^'^Jt^JT^y/lx) — £^v£/(-r)-hs est donc compris tout
entier dans le domaine A\ et par suite Ag est un clianip entourant
Tare t,'o.
On peut trouver une iaïuille d'inLég;rales y ^= ^( J, 7.) de l'éipja-
tioii d'Euler, sai îsfaisaul aux condil ions énonrées |ilus fiauL, lorsc|ue
les conditions de Legendre et de Jacobi sont véritiées piinr l'inté-
grale parhculière y(x) dans l'intervalle (;r(,, J^i)- Nous suppose-
rons piinr la déni oust ration t|ne la Ion cl ion F esl analytique. Si la
condition de Le^^endre esl vériliée, c'est-à-dire si
resre positif c]uand x varie de .r„ à ^i, la font-lion /(x) est liolo-
morphe le long du segment {xq^ x^) de lïkxe réel dans le pian
de la variable conjplcxe x. D'après un important ibéor^me dû à
M. Pûincaré (*), Tét] nation d'En 1er admet une in lin lié *l'inlégrales
dépendant d*un paramètre variable A^ que Ton peut représenter par
une série entière ordonnée suivant les puissances de ce paramètre
et convergente pourvu que Ton ail x^^^r Sx^, |A| <; k, La dérivée
^x{x^ o) se réduit ici à J\{x)^ et l'intégrale îp(x, a) satisf;Ht aux
conditions voulues pourvu que la fonction /i(x) ne s'<innule pas
pour Xo £ .r ^ J?^ . (îr, si l'on remplace y par gfj?, X) dans Téqua-
tion d'Euler,
âF ^/^\_
ày d3c \ ùy' / ~
et. qu'on dilférentie le premier membre de cette relalion par rap-
port à A, il vient
(') PoiMCAHE, Les âféihùdeâ nottveiies de la Mécanique cëleëte^l. I, chap, II,
p. S3-6o. l*c théorème de M. Poiiicaré exi^t: seiiJemtril que Id funcLiuii F{x^ y, y')
ftoit analytique en y et r\ mctiâ n'eni^e pîjs i|u'eJte soit imalytique en x. Quand
cette fonctJun n'est paà anitl^Lique en x^ les fonctjori«> f, /,^ /,, ».. ne sont pas
non plus analytique», tiiai^ dle^i âoni i^onùnues eL admettent év% dérivées du
premier et du îïecund *>rdre Luutuiues dans l'inlerviilte ( J"j,t x, ),
6] 6 CHAPITRB Wlll. — HLK\Jt-:NTS IH CAUUL PKS VARtATÎOM*.
Faisons A ^ o clans cette équation; il resle
ou, en développïint,
(26) H{r)/l{r)-h R'{>>/, (x)-t- I Q'(J-^ - IN j* ) j /^i .r > = ik
Noii'^ re(roiivi>rii? |îrei:isi'menl l*éi|yHluHi lineiiîre Je J.icnbi j^<),
Si la conilitic3n tie JciloIji e>l vérilit'e, on |ï*'uI piendre vour /i(x)
une inlf'i^ralt^ de cette équation ne ^'annulant pn^ pHur^r^Sx^XM
et la fvKïction 'f(x. X) saiisl^iil anx Cfuidrlionsi voulues. L'arc tj',
à(î courbe f^x tréma te nppariiertt donc à un champ lorsque
conditions de Le gendre et de Jacohi sont vérifiées.
On ptîut par exejiipïe (JéteriniiitT la fonclion *^{x, X) de la manière ^uj
vante. La condition de Legendre li(j:')>o étant vérifier le long de C|^,
on peut trouver (n" 446) un intervalle <\oi ^1) rompreaani Je premier
( Xg <C Xo *C ^1 <C X f )^ tel que y(:r)soit aussi liolon»*irphe dans cet inter-
valle. Prenons sur la courbe C/o prolonfjjée un point ri», à gauctie d^ A,
d'abscisse jr^f X^ < .ra< ^y), et f'onsidt-rons le faisceau des evtréinalc*
issues de ce point rA.. Soit c le coefficient uniçidaire de ta tangente en «^
à l'une de ces courbes; si Ton prend pour le paramétre X b difFêrcnce
c ^y^Xj)! toutes ces courbes sont rcprésenlêrs par une équation de li
forme ('i5), la série du second membre élani convergente dans l'iiiti^rvalle
( jt'a, Xi) puât vu que|X| re<^le plii> petit qu'un uombre positif af<^e£ petJt it*.
Toutes les courbes représentées par cette équation doivent passer par le
point ei>; il faui tionc que toutes les fonctions /"li j-^^ yi<x ), .., s'aiiniH
îenl pour x = jtj. t^n particulier yi(jr) représente une intégrale de l'èqua*
lion de iacoiii qui est nulle pour J7 = jr,. Si la condition do Jacobi est «a-
tisfaite, on peut prendre le point pI* assez voisin de A puui que cette
intégrale ne s'annule pas pour a^i< .2* 1 .rj; les courbes exirémaies issues
du point 0.^ formeront doue un cbamp limité par deu\ d'entre elles
y = 9(a7, p), _^ = ®(x» — p) et par la droite et = Xj. On en déduira encore
un champ ;flj entourant l'arc y^ en pretiaul pour £ la valeur minimum
des deu\ fonctions o(x, p) — ^(x^o) et ^(x» o)^ — o(x, — _;,t lorsque J
varie de x<> a xi.
^tti^H
(^) l^liis généraleuienl. soit y — f{x^ a, P) rinlégtidc générale de rèquatioii
d'Euler^ et soit 3(x* 2^, i(,) =/{dCr), L'intégrale générale de Tcquation lioeatrc
de Jurobi corrcspoodauL à la courbe extrémalc y ^ /{x) est, d'après ce catoti.
'•'Ma).-
m.-
où IVm doit rempLcer j. par n^ et ^ par fl,, «iprés ta différentiatitin.
11. — METHODE DE WEIERSTBAfi?.
Remarque. — On déduil aisément de ce qui j>récède ta si^'oificiilion
géométrique du la condilion de Jacobi> Si la fcumule (a5) rcprèîiente le
faî^cetiu des couibes \y isswe*^ du poinl A» le** fonction* /*i (j' ), /jCj- ), .,,
s'annulent pour x — t^^ tlfyix) €^K une inl<*grale de Téquatirm de Jacobi
s'aitnulatit pour a^ = ^o* SupposoDs que celle intégrale ait d'aulres zéros
dan^ l'intervalle ( Xo, X^ ) et soit x*^ le zéro le plu<* rapproclié de ^u* Les
points de rencunirc de la tombe t,'jj avec la combe {{i^ qui correspond à
la valeur X du |iaranir>lrc, ?ont racines de l'équatinn
(57)
D*aprè^ t^e que nous venons de voir, cette équattiMi ne peut avoir ancune
racine entre j'y cl x^^ pourvu que |X soil inférieur à un nombre pa«iiiif p
convenablement choisi. Pour X = o, cette équation adnnet la racine simple
X — J^i ; par cnni^équenl, lorsque X tend vers /.éro, Tequalion (^17) adujet
une racine qui lend vers j-J,, On peut énoncer ce résultat cotunic il suit,
i^oit A' le point d'abscisse x'^ de la courbe {j o ; lorsque |X| est très petit,
la courbe tj'x renconlie la courbe (j^ en un ou plu^^ieurs points dont Tabs-
cisse est comprise entre .r<> et \\, Celui des points dlnierseclion qui est le
plus rappmchc du poini A a pour limite le point A' lorque X lend vers
jtéro, Les points V tt A' sont dit- coftjti^'-ués^ ei ta condition de Jacobi
•^ignifie que le point \\ vanjugué de A» ne doit pas être situé entre les
points A et B.
i*>2» Formule de M. Hilbert. — Soit (t> un champ de courbes
eitlrériiale^ ; si w(.i*, r) est la iVmcMon t|in correspond à ce champ,
/ * in té g ra le cnr r / lign e
(38) 1 = Af(x,7, u) — u¥\,ix,y, u)]dx^f*,,{x,y. u)ày,
prise ie lo n g d'u n #r co u r be fer m ée q tte le o tt (/ tt e a it ft ér dti tt s te
chatttp, est égale à zéro.
En elTcl, hi coiidilitin |iour que celle irilétçri^le soil nulle est
exprimée par la l'ornirile
àF OF ûti iiu àF à^ F _ du iP_F _ é-F O^F au
0y Ou Oy Oy au ày Ou ày àu^ éJt Ou fiu- àx
et i'cUe condition est identique a T équation (a,f) a laquelle satis-
fait la fonction it{X,y),
Le long d'un arc de courbe F située dans le champ et repré-
sentée par l'éq nation y^^^ix). la fonction 'f{X} riant de la
cla^^e (I), r intégrale cui vili^ne de liilbçj t est identique à rijjté-
6i8
CUAflTAE XXllI.
ELKM&NT& DU CALCiL tlKS VARIATIONS.
0
tï^iy—tiyFlJjT.y. u}]dx.
Si en parliculier la courbe V est une courbe ex Ir^^ m aie Cf, faisant
partie du faisceau coosidéré, le long de celle courbe y' est épi à
ii(j;^ y)^ et l'intégrale curviligne 1 se réduit à Tinlégrale J quf
l^ou étudie prise le lon^^ de Çj.
ques-^l
453. Conditions suffisanteB. — Revenons maintenant â la
tion qui lait l'objet ilu calcul des variations. Les conditions de
Lc^endre el de Juiubi étant vériifées pour un arc (^^ de courba
extréinale, h rég;îon Ai est un champ entourant l'are {io, pourvfl^Ê
que le nombre positif s ail été pris assez jielit. Soit it(jc,y) la fonc-
tion cories[>oudanie qui satisfait à la condition «[x, y"(jF)]^y'(jr).
Toute courbe F de classe (1), située dans le champ Mj et joi-
gnant les deux points A el B, est représentée [>ar une équa^
tiun y^f{x) -\- to(.r), la fonction i^{x) étant de classe \\\ dao
riutervalle (j^u, .^i } et satisfaisant aux conditions
t'ù{x^)—o, i^{Ti) = o, \ui\jr)\<i
pour
a'o<3r<Xi,
Pour comparer les valeurs des deux inlé«^rales J(J^ et Jf , applî-
quims la formule de Hilberl au contour fermé, formé par les deux
courbes tj\i et f. Puisque (jo est une extrémale, cette formule nous
donne
r ¥ix,y,y)dx= f{¥(x,y. u) ^ {y'— u\¥'^{x, y. u)]dx,
Ai ' r
les deux intég^rales étant prises dans le sens voulu. On en dédu
^r-hj^=f[¥{x,y,y^^
c^est-à-dire, d'après la déllnilion de la fonction E (n** 449),
(ag) Ji-— hj^ =^ f,^^^^ -^' ^^ y ' '^^'
Dans cette formule^ k' désigne le coefficient angulaire de la tan-
gente à r, tandis que «{x, y) est le coefJicient angulaire de U
tangente à la courbe y du champ qui passe au point ^^\ y).
â
METHODE UE WKtEnSTRASS.
B19
I
[^ diir^érence Ji — iij^ sera donc positive si la fonclioii
K(t^ y: u, p)
des trois variables rnHéjjendunles x^ y, p est posilive pour les
coordonnées (.r, y) à\\u point r|ir€lcoiique Hii tloniaine /Rj et pour
tonte valeur finie Ae p\ u est supposée remplacée clans E par la
fonrlion îii x^ y\ i\i\\ convient an charnp considéré. Nous pouvons
par conséquent énonetT \n |iro|Hïsitinn suivante : La cottfhe
e rt nbîta le t,\, / /o n n e n n m in îm n n i de / * in t rg / yï (e i si la /o n c-
lion E(x, )-; w, p) est positive pour foui, point (x, y) du do-
m ni ne .Ai et pour toute valeur /in te de p.
Pour leeonnaîlre si * etie condition est satisfaite^ il faut d'aliord
avoir ealcnlé la fonction u{x^y) i\n\ convreot à un charnp parti-
culier d^extrémales^ eomprenanl (('„. On pt*nl remplacer cette con-
dition par une autre, qui est nitiins générr*le. mais d*une a [ip li-
ra t ion plus co mm ode, car elle n'evij^e pas le cal t- ni de la fonction
u{x^y). Ntjus avons en eflet, d'après la formule de Ta}'lor,
<3o) Eix.y; u,p) = ^ ^~ " ^ Fyi[x,y, u^^ip^ujl t»<ft<i,
I
et la fonction E(x^ y; w, p) sera certainement positive, si la
dérivée seconde Fy^{Xy y^ p) est pcjsitive pour tout point (x^ y)
du domaine Ai el |>onr tonte valeur finie i\e p. On en déduit aisé-
ment un syslèrae de conditions suffisantes potir que la courbe
extrëmale ^n donne uu minimum de Tiulégrale J.
Soit C une courbe fermée qneleoiMjue en î oui an t ^'o ^^ n'ayant
avec t|'(, aucun point commun; la région du plan intérieure à (j
constitue un domaine de Tare (|V et il est clair que le domaine .A^
sera intérieur a celui-là pourvu que Ton prenne t assex petit. Si
une certaine condition est vériliée po rr le domairje intérieur à C,
elle Test donc a fortiori pour A^,^ Cela posé, la courbe tj'i, rend
minimum f intégrale J si la dérivée seconde F^'t(x, v> p) est
positive dans un eertfiin domaine de l'arc (j\^ pour toute valeur
Jinie de p, et si l'on a x» <; x^.
En eflel, F'r»[j^, fi^)' /'(•^)] ^ R{*^) ^^t alors positif de Xq
à X( ; la condition de Le^encfre est doiu^ satisfaite, La eundilion rie
Jacobi lest aussi par bvpothése, et l'on peut trouver un champ Aj
6io
CIIAJMTBE WllI.
ELEMENTS lïl^ CALCl L l»KS VARIATIONS.
entourant ij^^ où la foncuimi E esl positive juMir lonti* valeur iiniej
de/ï, d^a)irè5 la furniule (3lï). On a donc lonjours J(,"^<< Ji%
Remarquons qne le^ condilions précédentes ne fornif^nl pas
un
système de condilions nécessaires* Il peut arriver eo tdFel que
E{Xyy; u, p)soh positif dao?. loiil le champ.'^£ pour loute valeur
(înic dey; sans qu'il l'D Hoit de ménic de F^..(jr, y^ p) {voir p. 6a4|«j
Exemple. — Suppo^ion*; en particulirr que F <*oit «le bi forme
On a ici Vyt^ g^ir, y)i i -^ y'*) *» de sorte que F^., est du même signe
que ffiT^ y). Si les conflitions île Legendr*.* ei de Jacohi «oui vérilîécs, I
fonction ^(t, Y\ est positive tout le long de Tare (/u : elle cji donc sum
positive dan* un certain fj<)rniïine d«» cet arc, et par suite FJ^, c«t p^^i^itif
dans tout ce domaine pour loute valeur finie de >''. La courbe {{a donne
donc un aiinimum de l intégrale. Celle remarque s'applique immcdiaie- j
meut aux exemples traités plus kiaut ( n*' 447). MÊ
Remarque. — Lorsque le poinî i j\ y ) est un point de lare Ç»V, la fonc-
tion «(j-^ >')est égale au coefficient angulaire ^r' d<» la tangente à tt« an
point (^r^y). Si b fonction E{^,y; «»/>) est positive dan« tout le do-
maine M.it pour toute valeur linie de /?, la fonction E(>, ^; y\ p) est
aussi positive tout le long de Tare f/o *> c'e^t la condition nëce?^sairc de
Weierstrass pour qu'il y ait minimum (ii" 419),
Mais la réciproque nVsl jias exacte* Il peut arriver que la fonction
}ë*{x, y\ u{T^y}^ p] soit positive pour toute valeur finie de p toul le long
de Tare {jo sa»& que celle fonction soit positive pour loule valeur finie
de/? dans ta région A^t aussi petit que soit le nombre posilifc. Hepreoons
en etfel l'exemple de M Boha ( n" 4iU, p. 6i i ), et la courbe extréma le^>^ =^o
joignant les deux points A(o, o) el B(i, o). Lc^ para 11 clés à Taxe Oj* for-
ment iiu cliamp, et la valeur cori espuiidaote de uix^ y) e§i « — o. On a
donc ici K(3^,yi u^ p} = p^{a — ^hpy -^^ihxp^)^ et cette fonction esl
positive pour toute valeur finie de/? lout le long du segment A 6. 11 n'en
est pas de même dans le rcclaugle Aï, limité par les droites jr = ci^ a* = i,
y — ^ i^ y ^ t. aussi petit que soit le nombre positif i. En effet, si Ton
£ y 1 * . . ^. . , .Al*
prend v = - , p — - » j^ ayant une valeur nosittve ïnlerieure a i el a — »
^ ^ 'à. ^ X "^ * ta
la fonction E a une valeur négative.
454. Mmimum fort et minimum faible» — Si en tm point d*al)-
scisse jr de lu courbe F, la valeur de y dilîére 1res peu de f\3£
comme ui^x^y) est lui-même très peu diflérent dey'(xi, \\%t\
i
I
II. — minUïUK [lE WKIKKSTHASS. Cil
suit (pie la dilférence u -\- ^Uy' — a) — fi»^) ^^' eile-méme très
pelile, et iTaprès la formule (3o) E(wr, yi u, y') aura le niéiue
îii^cnp niiL' F,, [x. /(.^), /'(*r)]. Olïe reuiârf|Uf curHltiîl lout
iiHlurflleuH^nl a inlrudtiire une nouvelle distiucliuiï.
Soit (rtinp lijf'oii grnrr^iîe io(jr, x) une fonctinu eunliiiue ainsi
que $a dérivée preinif're w^(x, a), dans Tifilervaile (x©, j?,), s'an-
nulanl qnel c|ue îiuil a puur .r === jr^, el pour .r := -r^^ eî se redui-
âanl idf^ntiqnejnent à zéro ponr a^ = o,
Nou* dirons cpre to(x, a) est nne varûttion fathie si à tuuL
Qoinlire positif i t*u [ïênt faire correspondre nu autre nombre
positif 0 lel que l'orj ail^ [lour x^'^x'^x^^
{l\i |wtjf, xd<£. \m_^{T, ^)\<ii,
ptjiirvn tpie |x| ?i(»il inférieur îi 8, Par opposition, on dit que ot>(a\ a)
esl une variation forte f si la première de ces condilionssenlemeiit
est vérifiée, c'esl-à-dire si à lonl nombre positif i on pent luire
correspondre un autre nombre posild o tel qne l'on ait
(**(x, xH
j*„£jr 1 jTi.
pourvu que |aj <C S, la valenr de |w^(jt, a)| n'étant assujettie à
aucnne condition lorsqne x tend vers zéro.
Les variations considérées pins baut, qui sont de la forme %7,(x)
sont des variations faibles, quelle que s*>it rjx): il suffit en eiret
que l'on ait M|a|<C«, M désign;inl la vïdenr niaxinuini deJT,(.r)|
et de \r/{x) dans Tintervalle (x^, x^), pour que les deux itiéga*
H tés (il) soient vérifiées.
Au contraire la variation
tiiij-, 3> = asm
( ;r — Ta ) {.r —t~
■■]•
OÙ // > I , est une variation forte, car on a
iM)'jr{T, n) =
!
OL^i
(-23-— ,rtt — â?,)
et Ton pent toujours l ion ver des valeurs de % moindres en valeur
absolue que tout nombre positif p, pour lesquelles |t*ij(^x, x)| esl
plus grand que tout nombre donné.
Cetle distinction est facile à saisir sur les courbes elles-mêmes.
Considéroiiis en clFet les deux courbes {{ et F re|nésentées par It's
622 CHAPITRE WHI. — ÉLÉMENTS DU C4LGDL DKS VARIATIONS.
deux éi] Il il Lions
€l faisons correspondre les poijils de ce$ deux conrbes c|ni onH
mêiiie abîïcîsse. La distance de deux poiriLs correspnndanlî» sur lei>
deux courbes esl inlVrieure à £ pourvu t|ne |a| soil <I o, saas
fpril y »îl lien de disLinj^iier si la varîalion est f.iiLle ou forlc.^
Mais.^ lor>fiiie lu variation tij(^, ol) c^lfaiùle, non seiilenienl deux
points correspondant?? sur les deox courbes sonl iulinMiieiit voisiuSj
niiiiâ l'angle des Lan^enle!^ aux deux courbes en ces points est
infiniinenl petit. Il n'en esl |duii de uiéme si la variation {j>(x^s)
esl forle ; dans ce cas, Tanj^le des (angenles aux deux courbes aux
points correspondants ne lend pas en général vers zéro, comme on
peut le véritier sur l^exemple précédenl.
{)n iailntie distinction analogue pour le niiuinium. Nous dirons'
que la courbe extréniaîe (^ donne tin rnifiùnam faible pour l'in-
tégrale J, s'il existe un nombre positif i tel que lUntégrale
i
V[:rJ{xuf{x)\dx
soit moindre que tinté g raie
/
pour toaies les for/nus possibles de la fonction t*i(.r), qui e$ii
(le classe (I) élans l'inter^'alle (x„, x^) et assujettie a vérifierl
les conditions
tu(^t^) = o, uj(x,;=o, [wCarjKt, |ui'(^)|<t,
pour x^^x'ixi.
Par opposiliiin, on dit cpie la courbe extrémale jv' =y*(x) donne*
un minimum fort f si elle 5alislaiià la condition énoncée au débuU
de ce Chapitre (n" 442). On comprend aisénieui d'après cela'
pourquoi les conditions de Legentlre et de Jacobi sorjr iosufli*
sautes pour assurer le miniuiuin fort, puisqu'on obtient ces con-
ditions en raisonnant uniquement sur des variations faibles. An \
coutriiire, ta condilion de WeiersLrass {n^ 449) a été oblenue en
considérant une variation forte.
11. — HÉtBdBE DE WKfmnSTRASâ. 62 i
TuÉoitkME. — Un arc d^exirémaie tj'o, pour lequel les coti-
ditions de Le gendre et de Jacùbi sont vtîrijiées, fournit au
moins un minimum faible poi^r V intégrale i .
En efTet, par hypothèse, la l'oDCtioD R(j^) = Fy.[j:, /(^),/'(x)]
a iioe valeur positive lorsque x croît de Xo à X|. La fonction
V*y.%{x^ y^ y) ëtanl continue, on peut donc trouver un nombre
posilifo let que Ton ait
F;,,[jr. fvx ) -h A, /'(^} -r A] > o,
po»
1^%'f^U
pourvu que \h\ et |^[ soient inférieurs k 0. Soit F une courbe voi-
I ftioe de y^ représentée par IVqnalion y =:y\a" ) -h w(jc) ; nous
[devons prendre, dans la formule (3o), en y reinpiaçant /? par)^\
u-^^iy —u)— a \x, /{T) -h tu (x^ J -i- 6 |/' iT) -^ w' (JF ) — li [jF, y ix) -^ <o (a:)] | ,
ce que l'on peut écrire, en observant que «[^i', /*(./")] ^= y (x),
el en désignant par H^ un o ombre compris entre zéro eL un,
/'(:r)-t-Otu'(:r)H-(ï— ^);«(j-. /{jr)-ntu(.r)]--«[x./(^)][
Soit [JL une liniile supérieure de \u'\ dans un certain domaine
de Ço' Preofîns un nombre positif £ leï que ê(i -h jjl) < S ; si 1oj(.ï:)|
[cl |w'(j?)| sont inférieurs à £de.r^, à x*, on a
\r—fi x)\ < 0, \ii Hr ^iy^u) -fi^r)\ < Ô,
tout le long de la courbe Vy el par conséquent la louetion
Mât positive tout le long de cette courbe. La diH'erence Ji^ — ia est
ïlic positive, d'après la formule (^29).
La ])ropasitiou établie à la lin du para|;raphe précédeiïl peut de
inéme être énoncée comme il suit.
Tiï^:oiikME. — Un arc d'extrémcsJe y^, pour lequel les condi-
tions de Le gendre et de Jacohi sont vérifiées ^ fournit un mi-
[ niM^ M rowT pour l'intégrale J, si la dérivée seconde FJ..,(a:, r,//)
6a^ i:iiAPiiHi-: wiir. — klkmknts ùd i;ALf:tL des variations.
reste /^osiià-e f*ntu toute valeur finie de p dans un certain do-
maine entounuiî (n,.
Exempie, — Suit F ^ y^iy'— r)'. On a
à/
4^ a _ ^y"i ^ xy = '^y'yy -- 1 ) ( \y'
tK
ày
^ = l'Ay"^ — ri^' ^ a = i'i( J^' — '" X >" — '"')»
/« elant c<MJi|iris entif o
t!t -r el m l'tant cuiiipiis entre — el i. Le-
courbes extréma les sont des tignes droiies, el loule rourhe entrènialc
y =1 mx -h p a|>jidrlieiit à un cliarup furjné |*ai' les droites de coeflicienl
angulaire tn; la valeur correspundaiite «II' hi fonction uijr^ y) es!
w(Xï y ) =^ /'ï- Etant donnes deu\ points A et B du plan de> :ry, la ligue
droite AB est lâ seule combe t^Miemale jûîgnaiil ees dei*x point*: celle
courbe satisfait toujours a la eriudiiioii de Jaci*bi. mais la ronditioii *1«?
Leijeiidre n'es* vérifii'e que si le coefJicienl angulaire m de la dioite AB
est inférieur à m* on supérieur à m*.
Soit As le domaine défini plus haut, relatif à la courbe e\lrématr \B;
ce domaine est un cltajup pour lequel un a u{.r^y) ^ «i. La fonctiaû
E(jf, ^; itt^ pï de Weierstni>s a pour e\preï*sion
E{3;,y; m, p);=^(p^ m)^\p^^^Ap{m — n-f-Oi — iH3w — n],
— ( /? — /w )' [ ( /m- m — 1 >' -H a m < /Il — t j I ;
cette fonction est positive pour toute valeur linie de /i, pourvu que m ^oit
négatif ou supérieur a i, et dant^ ces deux cas seulement. Nou^ sommes
donc conduits aux résultats suivants :
I" Si Ton a m <; o, ou //t ]> i , la droite AH d^oine un miniimiii] fort
pour l'iulégrale J = / j'*(^''— i )*t/x.
Il en est encore de même ^\ m = i>» ou si m = j, car la valeur de Tin»
tégrale J le long de la droite A 6 e^t nulle dans ces deux cas, tandis qu'eUf
est positive pour toute autre courbe de c!as.^e (II. joignant les de
points A et B,
il" Si Ton a o < //^ < m\ ou m" < m < i, la droite AB donne u« loh"
niniuia faible pour Tin tégrale i.
T Enlin* si INiit a m' -m S m", la droite AB ne donne ai un minimum
fort, ni un minimum faible, puisfjue la condition de Legendre n'est (m*
satisfaite.
Cet exemple, du aussi à >L Boka, conduit a des remarques Jnlére*-
santes. Ainsi nous voyons que la fonction EiT^y; m,y' } esi positive p*n*f
toute valeur finie de y\ lorsque m est négatif ou supérieur à i, quoique
la dérivée seconde ^y^ — i'A{y — m' )(y'—m''} ne soit pas positive poor
II. — METHODE DE WEIERSTRASS.
fïy
toute valeur finie fie >''. La condition Fï-> >> o n'est donc (>a*j nue cunililion
nécessaire pour <ju*îl y ait un minimum fort ( n" 453).
Consiitéion^i en particulier le cas où le roerficienl anj^ulairc de la ri roi te
\B e^t coinpriîi entre zéro et un. On peut prouver ilireclemonl qu'aucune
courbe cle clas*^e il) joignanl le^f «leu^ points \ et B, et située dans la
région ."Rç, ne peut fournir un minimum fort pour Hniêgrale J. En effet,
il est évident que, quelle que soit cette courbe, la valeur correspontlante
de rintégraleJ est positive* Lu limite inférieure de cette intégrale est donc
positive ou nulle. Or on peut joindre les deu"x points A el B ( et cela d'une
infinité de manières) par une ligne polyj(**nale située tout entière dang il-,
et dont le^ cùiés sont alternativement para II êtes à la droite ^^ — o el à la
droite y = .r, La valeur de Tinté^rale J, prise le long de cette ligne
brisée, c'eet-à-dire la «.omme des valeurs de J le long de chacun des cAtès
de celle lij^ne, est évidemment zéro. Or on peut, en procédant comme
[plus baiit ( n** 4i8|, remplacer celte ligne brisée par une courbe ï de
classe (I) joij^nant les deu\ points A et B, de telle façon que rîntégrale Ji^'
hil une valeur positive moindre que tout nombre positif donné. La limite
rînférienre de Tintégrale J est donc zéro, et cette lin»ile inférieure n'est
latteinle pour aucune courbe V de la classe ( 1 1 joignant les deux points
[A et B.
Ceci nous conduit à élargir un peu l'énoncé du problème qui a été posé
[au début de ce Chapitre, de façon à pouvoir admettre des solutions plus
l gêné rates que celles qui ont été admises jusqu'ici. Nous dirons qu'une fonc-
rtion /(t) est de la classe { l f dans Tmlervalle ( j-», jfj ) si elle satisfait aun
[conditions sniviintes : i^'/ix) est continue pour Xo^^rl jti ; 'i" fijr) est
l également continue dans Tintervalle ix», -Ti), sauf pour un nombre fini de
[valeurs de t entre jt^ et j^i ; 'i° si c est une valeur de ,r pour laquelle ^'(jf)
lest discontinue, /'(0-+-0) el /'(c — o) ont des valeurs finies. L'équation
zf{x}^ ùùfix) est une fonction de classe ( I )' dans Tint* rvalle ( jr^, xj ),
[vérifiant les deux relation»
[représente une cotirbe T\ qui est dite de classe (I/, joignant les deu\
{poinis A el B de coordonnées (jtoi/o) et (^ïi^'i)! et présentant un cer-
tain nombre de points anguleux. Une courbe F' de classe ( I)' se compose
d*après r ela d'un certain nombre d*arc5 de courbes F de la classe (I), qui
forment on trait continu sans se raccorder à leurs extrémités.
L'intégrale i prise le long de Y*
^r--f^i^.y,y)dx
[est égale, par définition, à la somme des intégrales prises le long de chacun
[des arcs de courbe de classe {I K dont se compose la courbe F.
tl est clair qu'une courbe de la classe [l] peut être considérée comme
[un cas particulier d'une courbe cle la classe (1)'. Si l'on remplace la
telssse (1 ) par la classe ^[)'dans l'énoncé du problème qui fait Tobjetde ce
G., il. 40
626 CIUPITHK Wni, — ÉLÉMENT» DU CALCLL DES VABÎATIUNg.
Chapilrf ( n"4iâ), le }jrobIéme auquel on eti conduil e*l évîdeiiinienl [iliiî.
génériil fjUf celui qui a (•lé irailé. Lorsque la solution de ce nouveau fno-
blénie est fournie par une courbe de classe {\)\ admettani des ^M>hii«
an;i;uleu\ entre A el B, une LelJe solution est dite discttniiniÂe, U est clmt
qu'une solution dii^coiilinue ne peut se ro m poser que d'iiii certain nombre
d'arcs de roiitbes extréinales. Il faut^ en *>uire, qu'au \ points anguleui^ Je
nouvelles eunJiiionsi supplt'meni aires 'soient vérifiées* D:ins l'exemple Iraii'?»
lor'^que le coefficient angulaire de la droite AB est compris entre iéro et
un, nous pouvons dire que le problème admet une infinité de solution*
discontinues.
155, Cas des extrémités variables, — Nous Lraiterons encore le
cas où les deux points A et B, au lieti d'être deux points fiites
donnés » sont assujeltis seult^ment à rester sur deux courbes
données.
Su|)|)osons d'abord que le |>oinl A est lixe, tandis i|ue le point B
est UD point inconnu d'une courbe (.], sitiu'^e diuis la région M. Il
s'agit de trouver une courbe de classe (I) joiûrnant le point Ad
un point inconnu B de la courbe (^, telle que la %al<Hjr de l'ioK'î-
grnle / F(jr, y, y)fix soit moindre qnr la valeur de la même
intégrale le lonj^^ de toute autre courbe voisine joignant le point A
à un point B' de C. Supposons que l'arc \B{/ig, çp ) satisfasses
Fig. tp.
cette condition ; il est clair d'abord que cette courbe AB doit élr?
une eour(>e extrémalç, puiî^quVn pârtîrulîer on peut supposer (|U<
le point B' coïncide avec le poiai B. Il faut en outre que cel arctjf
satisfasse aux conditions qui uni été reconnues nécessaires poar
ft, — MKTIIO^K DE WEIERSTR\«?S. ©5^
assurer le iiiinimurn, en |iar< ion lier aux conditicms de Le^^^endre
el d« Jacol>i. Lcirsqu^il eu esi aitisi, les cnuj'bes extréniiiles issues
de A et voisine^ de A d é terrai ne nt un champ eutoiiranl l'arc BA
dVxlrénicile, b élanl un point de l'arc AB ansst voisin *|u'on le
veut de A ( n" toi), Soierjl (j^^i J^-i) '^* coordonnées du poinl B»
el >oil y = ^(x) l'ëquaLioo de la courbe C. Une e\tréraale issue
de A, inliuiment voisine de AB, reni-ontre la courbe C en un
poinl B' de coordonnées [x^-hA, '^..r^-j-A)] qui lend vers B
lorsque A lend vers zéro. Nous désigueroos par SfjCa-h A) la va-
leur de rinlégrale J prise le long; de Tare dVxlrémale AB'. Pour
que Tare d'exlréniale AB donne un ininitnurji pour Tinté^rale J,
il faut évideniinent *pie la touctiou S^^x^H- A ) de h soîl mijïimum
ponr k =^ o.
Soient b el b' deux points infini menl voisins du point A pris
sur AB et AB' respectivement. La ri^giou limitée par Je con-
tour £rBB7/ est un champ pour les extréuiales rs^ue^ du poinl A,
t-l pai' suite riiitéjj;rale curvilij^ne de M. Hilberl
/ [ F( ;r, j, H j — « F^ O, y, u } ] ttr h- F«( x, y, u I dy,
*■'
prise le Ic^ng du contour total bHB^b^b, est nulle. Lorsque les
poiJiis b, b* >e rap[)roelient indéliuimi^ut â%\ point A, Tintégrale
le Ion;; de bb' tend \^vs zéro, Tiuréj^rale le loujj; de 6B y pour
lijuitf- S (.ru), r intégrale le long de ^^B' a pour limite S^-raH- A),
el it vient
* ^i
y ei y devaiit être remplacés par t5(x) el *f\^) sous le signe d'jn-
légralion. On déduit de cette formule la valeur suivante de la
dérivée S^(j:*a-h A) pour A = m,
S'(jr,) = FCxi,^„ Ki)-^(j^i— "î)Pi(^ît7tt 1*1 ),
en ivos-Aui y^^—^Ur.^, y,, = r^\x.i). n.= u{x^i^ y.)\ y\, est le
coeffieienl angulaire de la tangente à la coiirbe C ati point B, et u^
le coeflicieul angulaire de la tangente a la courlie extrémale AB en
ce même puiut B. Pour <juê Tare AB donn*^ un minimum pcnir
rinlégrale J, il faut donc que Ton ail, entre les coeflicients atïgu-
laires des tangeutcs aux deux courbes au point B^ la relation
M
6a8 CHAPITRE WllU — ÉLÉMENTS DLi CALCUL DBS VARIATIONS.
Si cette coodilion esl «*atistaile, nous dirons pnur abréger
l'arc AB coupe trans^^ersalemenf la coorbe C au jioinl B.
Soit y==y(jr, a) réqijylion £;éiiërale des ccHirbes exlremalrs"
issues du point A, a désignant un parauirtre arbitraire. On détei
minera ce paramètre en écrivant que la courbe exlr«*niale <'.0U|
transversalement la courbe C au point de rencontre- Si Ton a
déterminé un arc AB de i ourbc eitrémale salisfaisanl à cette coq*
ditiûîi, il iaudi'a d'abord, pour qu'elle rép<Hidc à la fiueslioiij
tju'elle rende uiiuioiiHii Tintét^rale J, parmi toutes le^ cnurbes
joignant les dt u% puinls A et B, el en outre que la dérivée seconde
de lu fonction S(jr2+ à) soi* positive ou nulle pour h := u. Sujh
posons par exemple F = y/i H- r'-; les extréruales sont des li^'ne^
droites, et la condition (32) se rédiril ici a i-|-y^ii, = u. La
droite AB doit dor»e être normab* à bi coni'be C au poinl B> Pour
que cette dnule AB douite uu juinimum de la distance du point A
à un point âv la courbe (Z, il faut en outre que le cercle décrit iln
point A pour centre avec AB pour rayon laisse la courbe Cà Teité-
rieur dans le voisinage du poinl B, et par suite que les deux points
A el B soient du même côlé par rapport au ceirlre de courbure de
C au point B.
Lorsque les deux points A et B siml assujettis a rester sur deux
courbes données (Jl, et C^i la courbe AB doit élre une eourlie j
eittrémale coupant transversalement la courbe C, au point A ci
la courbe C^ au point B. On a ainsi deux çiuulitions pour dëlei-
niiner les deux parauirlres dont dépend la courbe extréinale.
in6. Extension aux intégrales doubles- — Soit FCj-, y, ^. p, ^)uoe
funcLJan des cinq va natales iiidèpeiiitanies J?, >*, *, pj (j continue iiosi
que 9e.% dérivée» partielles jusqu'à celles du troisième ordre. lor54|ue le
point {T^ yy z) reste dans une région ^^fl de Te^iiace, el pour toui sy^èm*
do valeurs finies de p et de q. Considérons une courbe fermt*e \\ *ii«ée
dans A., donl la projeetion sur le plan des xy est une courbe fermée *aft*
poinl double C. Soïl z —/{J^^y Téquaiion d'une surface 5 Mïuéc dios
la région A; pour que cette surface S passe par la courbe F, il faut ft il
îiufru que la ronclion /( j:*, j^) soit as^s^ujeltie à prendre uire si»rcc>sîoil <
valeurfi donnée**, lorsque te point (r, >) décrit la courbe C. Si en oeil
celte fonction esi eonlinue. ainî^i que ses dérivées partielles du pn^mi^
ordre, lorsque le point (^,y) décrit la région A du plan des ry^ iïwAxi
parla courbe C, et sur cette courbe elle-même, nous dirons que In feu
tion/(^, /), el la surface S^ sont de Ih classe (I) dans A. BemplA
Il, — MKTHUllE Div VVFJHRSTRASS.
I>a9
ré-itiltrti est iint* fonction continue ilans A, et Tinlé^iriile doulile
{33)
J — / / F(t, y, z, p, q) dx dy
H une vîileur finie pour toute surfar** S tie classe ( ï ». Un peut se proposer
ponr cette intégrale double un problème absotnirient. nnalogue à celui que
nous avons étudié pour les courbes^ en cherchant si, parmi les surfaces S
de classe (J j, passant par la courbe T, el située> dwn> A, W en existe une
pour laquelle Tiniégrale f 33 ) a une valeur plus pclitr ijue pour toute autre
surface satisfaisant aux mentes conditions.
Désij^'nons d*une manière générale par r^tj'»^) une fonction de classe (ï)
dans A, et s*arinuiaut tout ïe long de la courbe C. Si 5 —fi'jt^ y) est
réquation d'une surface de classe (I) passant par F, l'équation
^ ^fi^yy^-^^-Tii^jy)
est l'équation tWw faj>rcau d*^ surfaces passant pEir P, et la fonction
(%l) U^) - f I y[r.y, fi ^, Y ) ■+- aTj ( jp, y), /^ -h ar^. /; H- it^; | fix dy
du paramétre ot doit être rniuirna (*our a = o, quelle que soit la forme rie
la fonction iTjCJ', j^). Il faut donc que la première variation oj soit nulle.
La formule habituelle de tlifféren lia lion *ous le signe intégral, qui s'étend
sans difficullc riux intégrales doubles, donne
(35) ^^J-^^/ /^[^V(^,J^')^-r,:,^-Tî,J./,r<K,
-»,/>, ^ devant être remplacées par /(jr. ^), /^, y^' respectivement après
la différentiation. Supposons que ta fnnctîrïn /( r,^) arlmette des dérivées
paitielles du i*ec(md ordre, continues à 1 in te rieur de C; la formule de
Grcen nous donne alors { I, n" 125)
et puisque' la fonction ipi(^, ^) est nulle tout le lon^j de C, i»n peut rem-
placer rînlégrale double de r^'j. -r— par Tîntéi^rale double du produit
chanifée de si^^ne. En opérant de même avec la dernière intégrale doubU' de
bi formule (3i>K on voit que Ton a encore
6^
nupiTRE Wil
KLEMHNTS fH r\LrrL UKS V \RUTI()\S.
r'*mr que 0.1 *'ûtt nul, |>otir iciules le«^ fi»rnitî5 possibles de II foiic-
ilitn Tj ( j% K ), il faut cl il suflh que le çoenicienl de ri{x,y) sous la signe
inlétjial Miii nul. En elTei, supposons par exemple i-e coeflicient positif
diin^ le voisinage d'un point irt, b) (iilérieur au caiitciur C; soit p un
nombre positif ïissex peiii puur que le cerele C^ de rayon p, décrit du
point (a, h) camnu*. centre, *i>it ^ rintêrieur de G, et que le coefficifiil
de i^(.r, j^) soit lui-même positif à l'intérieur de Ca. Si l'on prend
pour T^(x. y) ta fonction di^finie de la manière suivante : i" t^ = o, à
rexii'
de C
P»
I intérieur de C#i
r^ix, y) — [( J- — rt)«— I K — ^ '-— ?M*
il e?t évident que ^J sera positif. Pour que la fond ion /(jr, v ) donne ui
niinimnm de riniêgrale J, il faul donc que celle fonction /'<x, j^) soil une
intégrale de réquaiion au\ dérivées [ïarliellf*'^ du s^ronil oidre
le I
(37)
analogue à l'équation d*Euler (5 ).
On e$l ainsi conduit à rechercher si celte équation (37 r admet uncinié-
grale. prenant une suite de valeurs donnée?? le loog d'un contour fermé G,
continue et admettant des dérivées partielles du premier et du deu\iétti<î
ordre continues dans la région du plan limitée parC* C'est là un problème
de nature tout â fait diiïercnte du problème de Cauchy { n" 440 }, et qui ï\f
peut être traité que (tardes méthodes en dehors du cadre de cet Ouvrage.
Exemptes. — i" Soit F — p^ ^ q^. I /équation iiu\ dérivées partielles (I7)
est identique à réqiirïiinn de Laphjce
( 3h )
ôy^
= o;
4
on est ainsi conduit au célèbre problème de Dirichiet, qui consiste à
déterminer une intégrale de l'équation de La pi ace, continue ainsi que i«
dérivées partielles à rintéricur d*un contour fermé C^ et prenant une suite
de valeurs donnée le hin^ de ce contour. SorL^(.r. y) une soUiiiou de ce
problème: la fonction z =fi,T^ y) donne bien no minimum de I intt-gralc
iléfinie / / (/>*-»- ^ M f/xî/r; en elfet , K^fx, ^) désignant une fonetioo
qui «^'annule tout le long de C, l'on a
/ / [ i fx ^ <r )* ^ ( /; H- T,V )* ) Jx Uy
= f f \(fx )' -^ < /> }^ I ^^ <iy ^ ^ ( f if'x^x -^/rTi', \ttr dy
-^jj {irU)^^{riyf\dxdy.
e\kh*;h:ks.
63 1
La foncLioTi /(.r, K) étant utu* <nlutioii de Féquiiticiii de Lafdiire. rimé-
grale double
JT
i/x^'x'^/r'^'y)^'^ ^J^ ^^^ iiuliL% |Mnirvu ijue la fonc-
tion r^i:r^ y) soit nulle tout le long de C, diaprés le calcul fait tout à
rheure La nouvelle intégrale double est donc plus grande que la preniîêreT
à moins que Ton n'ait à la fois tj r = o, r/y^^ o^ ce qui exi^e que la fonc-
tion TiiJ%y) soit nulle. Le calcul prouve au«i?i que le problème de Diri-
clilel ne peut admettre plus d'une »^olution»
RieniHiin ilémonlrait précisément Te^islence d'une solution du pnddéme
de Diïicblet, en admettant comme évident qu*il evistaii une fonction
satisfaisant au\ conditions aux limites, et rendant n^inima Fintégrale
double / I { p'^'^ q^)dxdy.
On a fait remarquer plus liaui pourquoi ce raisonnement est insuf-
fisant ( n" 44iK Dans des travaux récente» M, Hilbert a uionlré qu'on
pouvait compléter la méthode de Riemann, de façon à rendre sa démons-
lin lion entière ui eut ri^ouienst;.
'i** La reclieicbe de b surfaee d'aire mini ma, paà-^ant par un contour
donné, conduit à citer eher le minimum de l'intégrale ilonble
//
l/i-h/î^H- q^dT dy.
L'équation aux dérivées partielles correspondante est
d i p \ d / g \_
ou, en développant,
(39) r(i H- ç*)H- (\\ -H/ï*) — ipqs = o.
Cette équation evprime que la somme des rayons de courbure principaux
est nulle. Le*« surfaces intégrales sonl les surfaces à courbure movenne
nnlle, ou surfaces mini ma.
EXERCICES.
1. Déterminer les courbes qui rendent mini ai u m l'intégrale
J = j ¥{x,y,y)dx,
la fonction F avant Tune des formes suivantes
F = ^j^(i-y^j
V
/ ^-=^ . F = ( je: - :r,)« /TT/*,
F = (a-'^j'*)Vï-ry'\
632 EXERCICKS.
2*. L'équalion d'Euler admet le multiplicateur t-?^» lorsque F est indé-
pendant de X (JAdoBi).
3'. Étant donnée une équation différentielle du second ordre
(E) y=0(x,y,y),
il existe une infinité de problèmes du calcul des variations qui conduisent
à cette équation. On obtient toutes les formes correspondantes de la
fonction F(a:, ^, ^') par des quadratures, si l'on a intégré Téquation (E).
[Darboux, Théorie des sur/aces, t. lïl, n"' 604-605.]
Remarque, — On remarque que la fonction F(ar, ^, ^') doit satisfaire
à Téquation aux dérivées partielles
^ d« F , d^F d^F dF
dy^ àyoy àx ày ôy
d'où l'on déduit une équation linéaire du premier ordre,
(^M , dM ^ (^M „ dG
ox oy oy ôy
à^F
pour déterminer M= y- r;; cette dernière équation s'intègre par une
quadrature, si l'on a intégré l'équation (E).
4*. Déduire de l'exercice précédent que l'on obtient tous les problèmes
du calcul des variations pour lesquels les extrémales sont des lignes
droites, en prenant pour F la fonction suivante
P= / iy—t)^^t.y^xt)dt^y—-^—y
^ étant une fonction arbitraire de x et de y. et 4> une fonction arbitraire
de i et de^ — xi.
FIN Dl TOME II.
— GBfîKHALm », — Ponctions monoq t':NEs , * * * * ♦ . i
25y. Défini lion s i
260. Konctions rxHitiniie» d*une viiriablc complexe 5
2bl. Fonctions niunuyène:^.. 6
2BÎ* Ft>nctioii?^ bulonimphcs» , . . . . lo
253. FonclioMs rathaifielte^. *. ii
26i, Fmdt" de <|iiclqiifs ff^iciion-?. irraltonnelle^ i3
265. Kùnelioris iitiifuniK-s el mu Iti formes.. i^
— Séries fntùireb a termes imaqihairk!^. — TiiANifCENDANTKs elemen-
TAtREH , . . . . . . , 19
266. Cercle de convergence ,...,..., ti\
267. Séries de séries aa
268. Lai fonction exponenlielle a3
259. Fooctions circulaire*.. ...,...,, ., .. a6
270. Logarithmes , , i-j
271. Fonctions inverse*» : arc sin ;, arc tang « ..,,,.. ,.., 3o
272. Appticîilion iiu Ccilrul intégral 3l
273* Décomposition en élénjenls simple* d'un*! fnnrUrm rationnelle
de si n z et de co^ z ...... 3â
271. Dévi^loopement de Log(i-+- s) 3ë
275. Extension de la formule du binôme , ♦ . ^o
, — Notions sur la bkphhsextation conforme 43
276. Imerpréiation géométrique de fa dérivée. ^3
277* llecheielie généra te d*'s transforfualians conformes
278. KeprèsenUaiflui ronforme d'un plaji sur un plan 5o
279. Théorème de KieniiÉnn Si
280- Caries géograpliH|ueT* 54
28 1 . Courbes isothermes , . , 56
— PROmJlTS INKINJa . 5iJ
*?82. Dériniiions et sénéiiilttés - 58
283. Prod u i ts il bsoî n nient cou vergen U ....... 60
284. Produits uniformémenl convergents ♦...,.♦ 63
285. Produits inli ni*, réel* ..,. 64
28t>. Développeiuenl en série entière d'un produit infini 68
Exercices - , 70
634
TVB1 K tH-:^ MATIEftKS.
CHAFITKE \IV.
ii^««*
L — INTEGHALK8 IJRFISIKH l"l|[SK8 KVTRK IIKS LLMiTKî* iH^aiMAltlKS *,. ^
287. L>i?fiiiiij*>n'<i el iÇi-*n.t'TaliLé*i «,»,,.. *..*.. .,,...*., <&
*288. CliHo^emciils de v^iriables *
lÈiK Formuler àf Weicrsira^s et de M, Darbouk -
"IW. liiiègiale*^ le long d'un cnnloiir ffrinê. , Si
*2Î*U EMension (Icîï fnrmute* du ciijcol îiiléfçrat ^
*29'2» Autre déinunslratinii dc^ ré!»ult«il$ précédents* ,,. .
II. — Ihsthuhalk dk Cauchy. — Skimes ok Taylou et de Laubiêwt. —
PoiîiTi^ Sl?fGt"lJKR!*. — IlEStOUS 91
Î93* Formule fonda rncnti» le .
294- Série de TiivU*r
^295. Tliéorènif de Liduvîtk.
^%. Série de Laurent
297. Séries diverses, .,.,,,.
298. Série de forirtioiis hoUniiorpbes ...,,*..,*..., té
299. Pôles. J'onctïtiii'^ mérunni'rpljeïi . - .,.,.. , vr^
30(K Points singuliers essentiels ,. m
301. Résidus. ..*..«.^.4 u<-
UI. — AtM'lJCATIOSS DES THHOMKMKH OENKIIAUX itS
302, Hemiirqurs di verses 1 j5
^303. Calcul d'jntéjSTiiles définies élémentnin^s .....* ,-îît^
^01. luténrales défîmes diverses , ^*1?"^"|
3\)h. Caicni dt: r i p } V (i - p ) _, rn
3f>fi. Apphcatioti an\ fuiictJtin«<» rnéroiuurplies , , *..,.,.,.... tîS
'MYi^ Appliratiou à la théorie def*. étjuatiuns. -- ,.
308. Forinuie île \f . Jensen ..... ...... . _-_
309. Formule île Lagrao^e ................... ........
310. Étude d'une fonction pour leâ valeurs infintuient grandes de 11
rariable*...
IV. — Périodes des intégrales dkpitjirs ....-,,*
311. Périodes po I a i r es. . .
312. Étude de I mtei;rale
./*
313. Périodes des intégrales nltra-eltipiiques ,.
314. Périodes de rintêgrale elUplit|ue de première espéct:.
Exercice* . « . . .
CHAlMTiiE \V.
FUNCTïONS tMFiJMMKS.
1. — Facteurs primaires ok Weikrstraîjs, — Tukorbmk dh MiTTA&-LErrL£ii.
3 lu. Expression d*uue fonction enliêrc par mu produit de factrurs
primaires.
TAWI.K DES M4TT£ilKS.
635
paie»,
316. Genre d'tine fonchtm t^ninTC i6i
I 3t7. Fonolioûs uniformes Jïvec nn nombre tini âe pn\nH sini^uliers. i6i
318. P**ni"tions uniformes avec une inllnilé de points singuliers.... ï63
3I1K Théorème de Mitlt*|>-LefQer.. \6\
3*20, Ëtufle de ijuelque^ ciis perlîculier^ , i66
3ÎL Vléthode de Caurhy . . . , i^
3*2*2. Développement de cot jî et de siii M 17a
II. -^ FoSCTIOÎfa ÛOtfBLEMlîNT PERIODIQUES, — FOKCTlONa ELLIPTIQUES 1 76
3?3. ponctions périodiques. Développements en séries. 17^?»
3*24. l(Tipo:i«sibilîLé d'une foiiclioii oiitri»rme à trois périotles 179
325, Fonctions doid>lemeiH péi Midiques i8i
3*26, Fonctions elliptiques. Propriétés fçéii étales j83
32T. La fonction pu .,, .. , , . « , 187
3*28. Relation algébrique entre pu ei p' u , 191
32y. Li* foïictiuri ;« 193
33!0. Lii foiietioii ru 19(6
331. Kxpressions ^érièraJes des fonctions elliptiques 198
33'2. Formules d'addition .,.,...... 201
333. Intégriilion des fonctions elliptiques. 3o3
334. La fonction ft , 307
ÎIL — iN'VKÏtslO^. — CoUllBKEi £»t] PHKMIKfl a^'MlK... SOg
335. Relations entre les péri<*des et le* invarianU aoy
L 336. La f<mi'tinpi inverse île riiité;g;r:ile elliptique de première espèce. Jii
I 337. Nouvelle iléfinition de pu iiu moyen des in variante 320
I 338. Xpplication aux cubique-i planes.. , ,....,. 223
^^^ 33y. Formules générales d inversion ij-j
^^H 310, Ciïurbes du premier ^enre ...^ 33i
^^B Exercices . .......... a34
^^ CHAPITRE XVI.
■ LE PHfïlJiMiKJIË^ir ANALYIKjLe.
L — DePINITIÛN d'une rOVCTION ANALYTtliUK PAW US DE SES FLKMBNT8. . . . .. . 337
3U. Première idée du prolongement analytique ^37
34'2. Nouvelle délinition des fonctions analytiques 34**
.343. Points singuliers 347
344. Problème général. 349
— lisPACtH LAi:LÎ^UHES. — CoiTPUKKS.. .... sSl
345. Lij;nc-< smguliéres. l^^^paees liieunaircs. 35l
346. Exemples , , aSS
3i7. Siaf(ularilé§ des expressions iinalytiques., ....... 3S8
348. Formu le de M . Itctni 1 te 35^
Exercices 3#î«
616
TABLK: des UATIEMBS.
CIUPITHE WIL
I. — PnOPHIfTEfi OENERALRS ,
349. Définition*
35(K Cercles de convergence ii^sociés
Toi. Intégrales double» ^^â. ..».
35*2- Eslensioii des théorêines de Caunhy*. tjê
353, Fonctions rcprescnlées par de* inlégrales définies 17Î
354, Application à la fonction P. ..* .*. J^
355, Prolongement analytique d'une fonction de deux variibles.... 37I
IL — FuNGTIONS IMrLICITES. — FoNCTJON^ ALGKBRIQCEâ tH
356, Théorème de Weicrstrass sSû
357, Points cniiques »I*S
35s. Fonciiun» algébriques. ii^
359. Intcgraleà abélienf»cs 19I
360. Théort'nje d'Abel . 19$
3^31. Appliciition unxi intégralrâ ullra-etliptique^. * sgl^
36'^. K;Lten«ion ^e 1.4 formule de La g^range.. <...... 3«>l
Exercices. ...... , «,..«.»«* 3o5
fJIAPFTRK WIIL
ÉQUATIONS UlFFÊRENrïKLLKS. — HÈTHOlïKS fiLËMIiïVTAinES D'l?(TÊ6RATtO^
L — FORMATt«?f lïES EQUATIONS DlFPÉMKMltLLKa
363. Élimination des ci»n.4Untc» .....
IL — ÉqIUTLûSs BL' Y\\ KMIKil OHDflK
364. Sépardtfon de»» variables.
365. Équditions homog^'iiCâ
366. LquatioiiM linéaire^*
367. Êquaiioii de Btriiiiulli. . . . . ^„.
36K. Équation de .lartibi *
369. Étiuation de Hiccali
Application..
370. Équaiion?* non résolues par rapport à v*.
371. Équation de L^agrao^e ,..,,.
372. Équaliou de Clairaul..
-• 373. IiUègralion des équation!» F(a7, ^'') = o, F{^, ^')=o.
374. Facteur intégrant.
375. Application à la représentation conforme....
376. Équation d'Eu 1er
377. Méthode déduite du théorème d Abel
378. Applii^ations . . ,
TAHLK llKs! 5IATIÈRHS. 6^7
IlL — Équations D*i>nDnE snpKiiiKUR* * 3^9
d"y
379. Irilrgration île réqiialii*ri —f^ =^ fi^) 339
380. Cas divers d^ubdisseuieiit . * 34î
3>t1 . ApplicctiJc^ns ; 344
Exercices 34?
Clf AJMTHE \I\.
thêorCîues d'kxi&tbncs.
1. — Calcul des hmitês 35o
382. Géfiératités 35o
363* Exhtcnce des intégrale*^ d*un sysiéme d*ê(|uatioas difTèrentiches. 35o
384. Systèmes dViquatiuns linéairef* . . 356
3H5. É<{uatîoii^ aux dilTtTcntktles lu4alcs 357
H86. A|)filiraliufi du calcul des Jin»it*?s aux équations aux dérivées
jMrtielIcs. - - .. 36o
387. Iiitc^iale générale d'un système d'équations difTérentielles . ... 354
JI. — MKTKODIi UKS APPROXIMATIONS StlCCKtiSlVEtJ. — METltODt I>K CAfCHY-
LiPsnriT^ , 369
388. Approximations successive! , 369
38U. Cus def^ équations linéaires ...,. S^a
3îWK Ev tension iiux foitciions anutyliques. ............*... 3'^4
3yi- Métbode de Caurliy-Lipsrhiiz. ,,,,.»..,.. . 3*^6
lil, — lNTï•ùIiAL^:^ tBi.^ïiiHKs. — Multiï^licatel^R 384
'Mi'l . I n légra les pre m ière-- 384
3B3» Muluplitdieur iya
IV. — Tra7«sfommati(j:vs inpinitesixalkb 395
39 i. Groupes il un paramétre. . . , 39S
395- Applicaiion iiux é'.|uaLiun§ ilifTérentielles * 399
^^.iê. TraiisruniiaUuds inlinilési maies. 4<ii
Exercices 4<^
CHAPITRE \\.
EQUATIONS L>lifFÊH£nTlELLES LIMÊAIRES.
PROPHIETKB n^NEUALkS, — SYsiTKMlia FONDAMENTAUX.. . _ 4*1
397. Points sitii^uliers d'une équalioti difTércntielle linéaire 4"
398. Syàteiiics fijudauicntaux 4*3
6S8
TABLE UËS >1ATJeill£S.
39U* Équation*^ linéaires qiielct»ni|ues ..... . .., *^.^ 4it9
4fMJ. Abais^eiiieni île Tordre d'une ét^uation linéaire .....*».. ^îï
4(M. Aiialo^icî» avec les équations algébriques 4^
402. Ei]uaLi*.*n adjoiule ... ,,, \f$
ÎI. — ÉtUDK lïE QltLQUKS EQUATfONS PAUTinULIKRES * ^^Q
MVà. Kijualiolis à coefficicnls cunstants ifln
4U4, MctIitHk- dû d'\it;iiilM?rt _ V^T
405. Kqûiitions linéaire» d'Eu 1er . 4II
4lMi. Équation de Laplace ,
m. — iNTKOhALKS RKOUI.IKHKS 454
407. Permutation des intégrales dutour d un point crtlique 44^
Kl8. Kx iiaien d u ca s ^én éral 44*
10î>. TU.oi t" me de Sï , Fucbs. .,......,,...- {5o
ilO. Équatiuri de Gauss . 4^
4 ï l . Ëq uatiif n de Bessel , , 4&
41'2. Équâti^ms de M. E. Picard
H'. — SYSTKMKS UKQDATfONS LIXEAtHES j^l"
\V,i. Pii>priêtés générales J6î
414. Systèmes linéaires à coeflidenls constants.. .., .. j66
415. Equatiao de Jacftbi. , ,....,».. ^T*
Exercices ....... 4li
CHAPITRE \XI.
ÉQUATIONS l>IFPr.RK.'<«riKUES NON LIPrftAltCS.
I. — VaLEUBS initiai. Ks E>ingPTtO?<NKLt.Ka 4|
41ti. Cas où le eoeOirieûl dilTt^rentiel devient infini ., 477'
417. Cai tiû le coefficient dilTCientiel est indéterminé, ....,,..,,,.. 4«:é
IL — ËTÛDK DE QL'ELQL'ES KQUATJONS' Dlf fnK^tKR OHDRK 4^7
419. Points singuliers des intégrales . ,......,. 4^;
420. Fonctions définie* par une équation différentielle y* —H(x,y)^ 4^
421. Fonctions uniformes déiluites de l'équation r'"* = R(j^ )...... \^
422. EitisieiuT des fon^Hions elliptique* déduite de l'équation d'Euler. 5*3
423. Équations dW'di'i^ supérieur. âo^i
lîL — Intk«bai.ks NisartjKitE^ M_
424. Intr|;rak singulière d'une équation du premier ordre.....,*.
425. Exemples. Heuiarques diverses , ,
426. Interprétation géoruélrique
4'27. Intégrale» Miigu lierez des systèmes d*éq nations dilTéi'ealieiies.»
Exercices — . . . . - *.....
TABLE [IRS MAïlKHES.
639
cn\i>nHK wiL
- E^ïlATlONî* Ll>fKAl«Ea DU PlIEMIKH OltDltK *..*.. 5l7
\2ii. MiHUode générale 6^7
42U, [ntei'prcialiim ^éfMtii'iriqyc ...*. *.....,..., 53 1
130. Cungrucni-f s cartÉOterisiiques * 536
, |l<» -^ ÉoUATlOt^S AUX lïIFFKIIJ'lNTiELLES TOTALKS 54©
i31. ÉUide de réqualjon d^ = A c?:r h- B dy 5^o
43Î. Mt-lhode de Mayer. 5^4
433. Elu lie <\e réquai ion P dj; -h Q dy -h H dz = o 5^5
^ ijli. Les fjiirentiièses {Uy v) et le* crochets \Uy i*] .............. ., âSo
||l — EQUATiONf* tic PBKMIEK UIIDRE A TÏIOIS VAHIABLKH 532
4 i5. Iiïlégratt'^s cucnpicleâ 55^
43B. iMétliodi" de Laifirange et CliarpU. 558
437. Prohlriue de Ciiucliy 56J
438. Caraclériïitiques. Méthode de Cauchy.. 067
EqLîATIOXîs l/iïMLHU; Si'PEnJEUR AIT PnEMlEB. . . . 579
4 1(K Généralilés » . . . 379
441. ÉquuUoiis de Moiige-Ampùre 58i
Exercices ♦ 587
CÏÏAPITUE Win.
ÉLÉMENTS OIT CALCUL DKS VAHlATlOÎ<S.
fRhMtKHE ET SKCONOK VAHIATIOW» SgO
442. DéfmUmiis. Objet du problème 5^
443. Première Vèirbiion. Équation d'Eulcr» , 594
444. Rciiiai"L|ue* dî verset» b^
445. Seconde viiriation. Coiidition de Legendre. , 597
44r». t^ofldittoii ilc Jat'obi 599
447. Exemples 60a
448. Inàtjftisance de» conditions précédentes , 6o5
LMeTUODK de WElKRsTHAîiï* 6*17
449. GoiiiliLion de Weietsitass. La funcLion E ^fj
4Ô0. DcJliniLjon d'un rbamp de courbes eitréiuakh. 6ir
45t. Existence d'un chamii 6i3
452. Formule de M. Ililhcrt 617
453. Condilioiii«h sufli?^anLe-^ <âi8
454^ xMitiifiiyrn fuit ei niitiitnum faible ^2ù
455. Caa des extréniités variable*,. , , . . 6a6
456. Eiktension aux intè^ralcà doubles «......«....,. ëatf
Exercices *...,. * 63i
FIN DE LA TABLE DKS MATIÈRES DU'TOMF II.
64 o
ToMJ-; I.
Page 38, Exercice 9^ au lieu de : -t»-^ , itt^ .- ^^^
Page 97, Exercice !î, au lieu de : (x — ^')y''^ Hfe . ( jt— ^)y''-
Page 3o6» ligne ii en remontant, au lieu de : o,o8856<»33, Ure : o,8554ioJ2-
Page aa3, ligne a en remonianl. au Heu c^e .• « = ^, Hrc : n — 3.
Page aî<, ligne i, au Heu de : n — 5, tire : n — \.
Page a56, ligne 8, ctm /lew </c ; Wix), tire . P(x).
Page 267, ligne 11, au Heu de ./{sinj:^ cosjr). /*>« ; R(sinx', cos^).
Page 378. Exercice \^ au Heu de : ^^^tangx, ttre : x^arv taiipjr.
Page ijo4, lignes i3 et i\ en leinonlanl, «« /tew de : pauivu que , . , >'nt. /<>« :
lorsque . , . est.
Page 40*^1 lî*inc 12 en remontaiiL au Heu de : <, tire ' %,
Page /|i5, ligne i, aw //e^f de : pourvu quL- la série soii. tire: kirtque la série est,
Page 433» lignes 8 el 9, au Heu de ; h A„ si ,.., Hre : à \,. Si .... et âufh-
primer : Lorsqu'il en csl ainsi.
Page 437, ligne 7 en remaniant, supprimer : tf^.
Page 44^1 ligne 10 en remoiiLanl, au tieu de : a%, tir^ : ap*
Pige %3, lignes îfi et io, aù Heu de : F' (5), Hre : K.
1
I
TaïUE II.
Pape B.
Page 4^*
Page t-ln,
Page i4y*
Page t5o,
Patîe ilVi,
Page a6B,
Page 261),
Pages 370
Piige 371,
Pige 299,
Page 3(>3,
Pages 3i6
Page 345,
Page 34«,
Page 56i
Page 575
ligne 5 en remontant^ au Heu de : /{x, lire : /fx)»
ligne ^ en remontant, «« /i"cr« de : est cimstamment supérieur, tire :
n'est jamîii:^ inft^rienr.
ligne 1 en remontunt. a« Heu de : {/4x'{* -x), /ire ,- v^V^^Tt^-"?)^
dernii?rc ligne, au Heu de : sinux — sin6x, Aire * ccisajr — cos^^*
ligne I, uu /*>« ^e ; e**"— e=*"S /ire / e»"— c**'.
ligne 3 de rexercicc 12, au Heu de : et OA, tire : avec OA,
ligne 3 en remontant, au tien de : s^^ ..., Z, /îre / 5^, ..., -**. ■ ^
ligne j en remoniant^ att tieu de : Of, lire : O' t,
el â-ji, au tieu de : F(5, *'), /iVe ■" /( ^? *')-
ligne 3, aii /£«(/ de : f Y c/w, tire : I Y dw.
équation (43)t «" Heu de : ^{x) = P{x) — H-^yx ) ^ i>^ Hte ^'
ligne 5 en remontant, au tieu de : C^ tire : C".
il 3 19, au lieu de : Riccatli, Hre : Rîccati.
ligne ti en reniotiiunl^ au Heu de .' ou^ Hr^ : el*
ligne II, au Heu de : q unirent Hre : quatre*
ôq
iipnc if*, au Heu de : génératrice, Hre : gén<ïnilrice.
ligne 10 en reiti^Miianl, au lieu de * — -^ »
dq
Pt^rii. - Juiprltu«rl« GACTHIEIHVILLAU!) quai {!«■ tir«a(t* Aufuvtint» >>.
i
îr o"i: 1
r^^^^w^i:-^i^^
-■ •!■:
Live Music
Archive
Librivox
Free Audio
Metropolitan Museum
Cleveland
Museum of Art
Internet
Arcade
Console Living Room
Open Library
American
Libraries
TV News
Understanding
9/11